જો $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $A^{n}=\begin{bmatrix} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{bmatrix}$,જ્યાં $n \in N$.

(N/A) આપેલ છે કે $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવું છે કે $P(n): A^{n}=\begin{bmatrix} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{bmatrix}$ દરેક $n \in N$ માટે સત્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$A^{1} = \begin{bmatrix} 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = A$. આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $A^{k} = \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$A^{k+1} = A \cdot A^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા,પરિણામી શ્રેણિકનો દરેક ઘટક $(1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1}) = 3 \cdot 3^{k-1} = 3^{k} = 3^{(k+1)-1}$ થશે.
આમ,$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \end{bmatrix}$.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આ પરિણામ દરેક $n \in N$ માટે સાચું છે.