वास्तविक संख्याओं $x, y$ और $z$ के लिए,यदि $x \neq y \neq z$,$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$ और $\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right| \neq 0$ है,तो $xyz = $ . . . . . . .

तीन बिंदुओं $P(\cos \alpha, \sin \beta)$,$Q(\sin \alpha, \cos \beta)$ और $R(0,0)$ पर विचार करें,जहाँ $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$ है। तो:

यदि $\left|\begin{array}{lll}x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c\end{array}\right|=0$ है,तो $a, b, c$ हैं

यदि $a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e = \left|\begin{array}{ccc}x^{3}+3 x & x-1 & x+3 \\ x+1 & -2 x & x-4 \\ x-3 & x+4 & 3 x\end{array}\right|$ है,तो $e$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x = \frac{a}{b-c}$,$y = \frac{b}{c-a}$,और $z = \frac{c}{a-b}$ समीकरणों से $a, b, c$ का विलोपन करने पर प्राप्त समीकरण है

यदि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}&1\\{{x_2}}&{{y_2}}&1\\{{x_3}}&{{y_3}}&1\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&1\\{{a_3}}&{{b_3}}&1\end{array}} \right|$ है,तो $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ और $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3)$ शीर्षों वाले दो त्रिभुज कैसे होने चाहिए?