Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Gujarati

(D) ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $x$ છે. કણે કાપેલું અંતર $(S - x)$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$,આપણને $v^2 = 2g(S - x)$ મળે છે.
ઊંચાઈ $x$ પર સ્થિતિઊર્જા $PE = mgx$ છે.
તે ક્ષણે ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2g(S - x)) = mg(S - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE = 3 \times PE$.
કિંમતો મૂકતા: $mg(S - x) = 3(mgx)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા: $S - x = 3x$.
$S = 4x \Rightarrow x = \frac{S}{4}$.
હવે,$x$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $v^2 = 2g(S - \frac{S}{4}) = 2g(\frac{3S}{4}) = \frac{3gS}{2}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{3gS}{2}}$.
આમ,ઊંચાઈ $\frac{S}{4}$ અને ઝડપ $\sqrt{\frac{3gS}{2}}$ છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્રેકિંગ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય કારની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta KE$
કારણ કે કાર અટકી જાય છે,તેથી બ્રેકિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = -F \cdot S$ છે,જ્યાં $F$ એ બ્રેકિંગ બળ છે અને $S$ એ અટકવા માટેનું અંતર છે.
કાર $A$ માટે: $F_{A} \cdot S_{A} = KE_{A} \implies F_{A} \cdot 1000 = 100 \implies F_{A} = 0.1 \ N$.
કાર $B$ માટે: $F_{B} \cdot S_{B} = KE_{B} \implies F_{B} \cdot 1500 = 225 \implies F_{B} = 225 / 1500 = 0.15 \ N$.
હવે,ગુણોત્તર $F_{A} / F_{B} = 0.1 / 0.15 = 10 / 15 = 2/3$ થાય.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,દડા પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{ext}} + W_{\text{gravity}} = \Delta KE$
અહીં,દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર થાય છે,તેથી $\Delta KE = 0$.
બળ $F$ એ $d_1 = 0.5 \ m$ અંતર સુધી લગાડવામાં આવે છે.
બળ લગાડવાનું બંધ થાય તે બિંદુથી દડો $h = 5 \ m$ ઊંચાઈ સુધી જાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કુલ સ્થાનાંતર $d_1 + h = 0.5 + 5 = 5.5 \ m$ છે.
$W_{\text{ext}} = F \times 0.5$
$W_{\text{gravity}} = -mg(d_1 + h) = -(0.4 \times 10 \times 5.5) = -22 \ J$
આ કિંમતો પ્રમેયમાં મૂકતા:
$F \times 0.5 - 22 = 0$
$0.5F = 22$
$F = 44 \ N$.

(D) ધારો કે કણની કુલ ઊર્જા $E = mgs$ છે.
આપેલ ક્ષણે,ધારો કે સ્થિતિઊર્જા $PE = x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગતિઊર્જા $KE = 3x$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$KE + PE = E$.
$3x + x = mgs \Rightarrow 4x = mgs \Rightarrow x = \frac{mgs}{4}$.
સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh = x$ હોવાથી,$mgh = \frac{mgs}{4}$,જે ઊંચાઈ $h = \frac{s}{4}$ આપે છે.
હવે,ઝડપ $v$ માટે,આપણે $KE = \frac{1}{2}mv^2 = 3x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\frac{1}{2}mv^2 = 3 \left( \frac{mgs}{4} \right) = \frac{3mgs}{4}$.
$v^2 = \frac{3gs}{2} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{3gs}{2}}$.
આમ,ઊંચાઈ $\frac{s}{4}$ છે અને ઝડપ $\sqrt{\frac{3gs}{2}}$ છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} = KE_f - KE_i$
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને ખરબચડી સપાટી પર $x$ અંતર કાપ્યા પછી અટકી જાય છે,તેથી $KE_i = 0$ અને $KE_f = 0$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{gravity}} = mgh = (mg)h = 20 \ N \times 1.0 \ m = 20 \ J$ છે.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{friction}} = -f_k \cdot x = -(\mu \cdot mg) \cdot x = -(0.40 \times 20 \ N) \cdot x = -8x \ J$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$20 - 8x = 0$
$8x = 20$
$x = \frac{20}{8} = 2.5 \ m$.
આમ,બ્લોક ખરબચડી સપાટી પર $2.5 \ m$ અંતર કાપશે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો પદાર્થ પર માત્ર સંરક્ષી બળો કાર્ય કરતા હોય તો કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
$x = 2 \ m$ આગળની કુલ ઉર્જા એ $x = 5 \ m$ આગળની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$(KE + PE)_{x=2} = (KE + PE)_{x=5}$
આપેલ છે કે પદાર્થને $x = 2 \ m$ આગળ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી $x = 2 \ m$ આગળ તેની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ $0$ છે.
આલેખ પરથી,$x = 2 \ m$ આગળ સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ $6 \ J$ છે અને $x = 5 \ m$ આગળ $2 \ J$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$0 + 6 = \frac{1}{2} mv^2 + 2$
દળ $m = 1 \ kg$ આપેલ છે:
$6 = \frac{1}{2} (1) v^2 + 2$
$4 = \frac{1}{2} v^2$
$v^2 = 8$
$v = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \ m/s$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તંત્ર પર લાગતા તમામ બળો (આંતરિક અને બાહ્ય) દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{\text{ext}} + W_{\text{int}} = \Delta K$.
જો કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો $W_{\text{ext}} = 0$,તેથી $W_{\text{int}} = \Delta K$.
આંતરિક બળો કાર્ય કરી શકે છે (દા.ત.,વિસ્ફોટમાં અથવા સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રમાં),જે તંત્રની ગતિઊર્જામાં ફેરફાર તરફ દોરી જાય છે.
આમ,બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીમાં પણ આંતરિક બળોને કારણે તંત્રની ગતિઊર્જા વધી શકે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{mg} + W_{\text{resistive}} = \Delta KE$
છરી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને પ્રવેશ્યા પછી સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી $\Delta KE = 0 - 0 = 0$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{mg} = mg(h + x)$ છે,જ્યાં $h = 2 \ m$ અને $x = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
અવરોધક બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{\text{resistive}} = -F \cdot x$ છે.
તેથી,$mg(h + x) - Fx = 0$.
$F = \frac{mg(h + x)}{x}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = 50 \ g = 0.05 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 2 \ m$,$x = 0.1 \ m$.
$F = \frac{0.05 \times 10 \times (2 + 0.1)}{0.1} = \frac{0.5 \times 2.1}{0.1} = 5 \times 2.1 = 10.5 \ N$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = V$ છે અને $s_1 = 30 \text{ cm}$ પ્રવેશ્યા પછી અંતિમ વેગ $v = V/2$ છે। અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ ધારતા, આપણે ગતિનું ત્રીજું સમીકરણ વાપરીએ: $v^2 = u^2 + 2as_1$.
$(V/2)^2 = V^2 + 2a(30)$
$V^2/4 = V^2 + 60a$
$60a = -3V^2/4$
$a = -V^2/80$.
હવે, બુલેટ સ્થિર થાય ત્યાં સુધીના વધારાના પ્રવેશ માટે, પ્રારંભિક વેગ $u' = V/2$ અને અંતિમ વેગ $v' = 0$ છે। ધારો કે વધારાનું અંતર $s_2$ છે।
$(v')^2 = (u')^2 + 2as_2$
$0 = (V/2)^2 + 2(-V^2/80)s_2$
$V^2/4 = (V^2/40)s_2$
$s_2 = (V^2/4) \times (40/V^2) = 10 \text{ cm}$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $V$ છે અને $s_1 = 30 \ cm$ અંતર કાપ્યા પછી અંતિમ વેગ $V/2$ થાય છે. અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ ધારતા,આપણે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $v^2 = u^2 + 2as$.
$(V/2)^2 = V^2 + 2a(30)$
$V^2/4 = V^2 + 60a$
$60a = -3V^2/4$
$a = -V^2/80$.
હવે,ધારો કે બુલેટ સ્થિર થતા પહેલા વધારાનું $s_2$ અંતર કાપે છે. આ તબક્કા માટે પ્રારંભિક વેગ $V/2$ છે અને અંતિમ વેગ $0$ છે.
$0^2 = (V/2)^2 + 2(-V^2/80)s_2$
$0 = V^2/4 - (V^2/40)s_2$
$V^2/4 = (V^2/40)s_2$
$s_2 = 40/4 = 10 \ cm$.

(C) ધારો કે લોલકની લંબાઈ $L = 1 \,m$ છે અને સૌથી નીચલા બિંદુએ પ્રારંભિક ઝડપ $v_0 = 4 \,m/s$ છે。
સૌથી નીચલા બિંદુએ, સ્થિતિ ઊર્જા $0$ લેવામાં આવે છે. કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv_0^2$ છે。
જ્યારે દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે, ત્યારે ગોળાની ઊંચાઈ $h = L(1 - \cos \theta)$ થાય છે。
કિંમતો મૂકતા, $h = 1(1 - \cos 60^{\circ}) = 1(1 - 0.5) = 0.5 \,m$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, સૌથી નીચલા બિંદુએ કુલ ઊર્જા એ $\theta$ ખૂણે કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
$v^2 = v_0^2 - 2gh$
$v^2 = (4)^2 - 2(10)(0.5)$
$v^2 = 16 - 10 = 6$
$v = \sqrt{6} \,m/s$.

(A) જ્યારે લોલકના ગોળાને '$h$' ઊંચાઈ સુધી ઉપર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે અંતિમ સ્થાને રહેલી સ્થિતિ ઊર્જા મધ્યમાન સ્થાને ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh}$
લોલકની ભૂમિતિ પરથી,આધાર બિંદુથી અંતિમ સ્થાને રહેલા ગોળા સુધીનું શિરોલંબ અંતર '$l \cos \theta$' છે.
તેથી,ગોળા દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી શિરોલંબ ઊંચાઈ '$h$' છે:
$h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$
'$h$' ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{net}} = \Delta KE = KE_f - KE_i$
અહીં દળ $m = 0.25 \ kg$,ઝડપ $v = k x^{3/2}$ અને $k = 2$ આપેલ છે.
$x = 0$ આગળ,$v_i = 2(0)^{3/2} = 0 \ m/s$,તેથી $KE_i = 0 \ J$.
$x = 2 \ m$ આગળ,$v_f = 2(2)^{3/2} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \ m/s$.
$KE_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \times 0.25 \times (4\sqrt{2})^2$
$KE_f = \frac{1}{2} \times 0.25 \times 16 \times 2 = 0.25 \times 16 = 4 \ J$.
તેથી,$W_{\text{net}} = 4 \ J - 0 \ J = 4 \ J$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$0$ થી $v$ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે થયેલું કાર્ય $W_1 = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$v$ થી $2v$ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે થયેલું કાર્ય $W_2 = \Delta K = \frac{1}{2}m(2v)^2 - \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$W_2 = \frac{1}{2}m(4v^2) - \frac{1}{2}mv^2 = 2mv^2 - 0.5mv^2 = 1.5mv^2$.
$W_2$ ની $W_1$ સાથે સરખામણી કરતા:
$W_2 = 3 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 3W_1$.
તેથી,થયેલું કાર્ય એ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $v$ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે થયેલા કાર્ય કરતા ત્રણ ગણું છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પદાર્થ $u$ વેગથી $s_{1}$ અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે:
$F s_{1} = \frac{1}{2} m u^{2} \quad (i)$
બીજા કિસ્સામાં,પદાર્થ $2u$ વેગથી $s_{2}$ અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે:
$F s_{2} = \frac{1}{2} m (2u)^{2} = \frac{1}{2} m (4u^{2}) = 4 \left( \frac{1}{2} m u^{2} \right) \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{F s_{2}}{F s_{1}} = \frac{4 (\frac{1}{2} m u^{2})}{\frac{1}{2} m u^{2}}$
$\frac{s_{2}}{s_{1}} = 4$
$s_{2} = 4s_{1}$

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \,kg$,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = 490 \,J$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \,ms^{-2}$.
જરૂરી ઊંચાઈ $h$ પર,ગતિઊર્જા $KE_f$ એ પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થાય છે:
$KE_f = \frac{1}{2} KE_i = \frac{490}{2} = 245 \,J$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે:
$KE_i = KE_f + PE_f$
$KE_i = KE_f + mgh$
કિંમતો મૂકતા:
$490 = 245 + 5 \times 9.8 \times h$
$490 - 245 = 49 \times h$
$245 = 49h$
$h = \frac{245}{49} = 5 \,m$.
તેથી,ઊંચાઈ $5 \,m$ છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય કારની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય $W = F \cdot s = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$.
અહીં પ્રારંભિક ગતિઊર્જા અને અંતિમ ગતિઊર્જા (જે $0$ છે) સમાન રહેતી હોવાથી,કારને રોકવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય અચળ રહેવું જોઈએ.
$F \cdot s = F' \cdot s'$
આપેલ છે કે $F' = 3F$,તેથી:
$F \cdot s = (3F) \cdot s'$
$s' = s/3$.
આમ,જ્યારે પ્રતિરોધક બળ $3 F$ હોય ત્યારે કાર $s/3$ અંતરે અટકી જશે.

(A) અટકવાનું અંતર $S$ એ સૂત્ર $S = \frac{u^2}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે (જે સમાન બ્રેકિંગ બળ માટે અચળ રહે છે).
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $S \propto u^2$.
આપેલ છે: $u_1 = 80 \ km/h$,$S_1 = 60 \ m$,અને $u_2 = 160 \ km/h$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{S_2}{60} = \left(\frac{160}{80}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$S_2 = 4 \times 60 \ m = 240 \ m$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્રેકિંગ ફોર્સ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ટ્રેનની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = F \cdot d = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$
અહીં પ્રારંભિક વેગ $v$ અને દળ $m$ અચળ હોવાથી,ટ્રેનને અટકાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય અચળ રહેવું જોઈએ.
$F_1 d_1 = F_2 d_2$
આપેલ છે કે $F_1 = F$ અને $d_1 = x$.
નવું બળ $F_2 = \frac{F}{4}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $F \cdot x = (\frac{F}{4}) \cdot d_2$
$d_2 = 4x$.
તેથી,ટ્રેન મૂળ અંતર કરતા ચાર ગણું અંતર કાપશે.

(B) આપેલ છે: લોલકની લંબાઈ,$l = 0.5 \ m$. સૌથી નીચલા બિંદુએ ઝડપ,$v_1 = 6 \ ms^{-1}$. દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો,$\theta = 60^{\circ}$.
$\triangle OBC$ માં,$\cos \theta = \frac{OC}{OB} = \frac{l-h}{l} = \cos 60^{\circ}$.
$\Rightarrow 1 - \frac{h}{l} = 0.5 \Rightarrow \frac{h}{l} = 0.5 \Rightarrow h = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \ m$.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv_1^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh$
$v_2^2 = v_1^2 - 2gh$
$v_2^2 = (6)^2 - 2 \times 10 \times 0.25 = 36 - 5 = 31$
$v_2 = \sqrt{31} \ ms^{-1}$.
આમ,$60^{\circ}$ ના ખૂણે અંતિમ વેગ $\sqrt{31} \ ms^{-1}$ છે.

(A) પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે।
જમીન પર $(h=0)$ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (20)^2 = 200m \,J$ છે।
જમીન પર પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = 0 \,J$ છે।
કુલ ઊર્જા $E = K_i + U_i = 200m \,J$.
$5 \,m$ ની ઊંચાઈએ, સ્થિતિઊર્જા $U_5 = mgh = m(10)(5) = 50m \,J$.
આપેલ છે કે $U_5 = 100 \,J$, તેથી $50m = 100$, જેનું સાદું રૂપ આપતા $m = 2 \,kg$ મળે છે।
કુલ ઊર્જા $E = 200(2) = 400 \,J$.
$10 \,m$ ની ઊંચાઈએ, સ્થિતિઊર્જા $U_{10} = mgh = 2(10)(10) = 200 \,J$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $E = K_{10} + U_{10}$.
$400 = K_{10} + 200$.
$K_{10} = 200 \,J$.

(B) દડાનું દળ $m = 300 g = 0.3 kg$ છે. દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલી કુલ ઊંચાઈ $H = 10 m + 1.5 m = 11.5 m$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે અટકી જાય છે,તેથી ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = 0$ છે.
દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ (નીચેની તરફ) અને રેતીનું અવરોધક બળ (ઉપરની તરફ) છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_g = mgH = 0.3 \times 10 \times 11.5 = 34.5 J$.
રેતીના અવરોધ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_R = -F_R \times d$,જ્યાં $d = 1.5 m$ છે.
પ્રમેય લાગુ પાડતા: $W_g + W_R = 0
\Rightarrow 34.5 - F_R \times 1.5 = 0
\Rightarrow F_R = \frac{34.5}{1.5} = 23 N$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$
આપેલ છે:
બળ $\overrightarrow{F} = (4 \hat{i} - 15 \hat{j}) \text{ N}$
સ્થાનાંતર $\overrightarrow{S} = 6 \hat{i} \text{ m}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 7 \text{ J}$
થયેલું કાર્ય $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S} = (4 \hat{i} - 15 \hat{j}) \cdot (6 \hat{i}) = (4 \times 6) + (-15 \times 0) = 24 \text{ J}$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$K_f - K_i = W$
$K_f - 7 = 24$
$K_f = 24 + 7 = 31 \text{ J}$
તેથી, સ્થાનાંતરના અંતે ગતિઊર્જા $31 \text{ J}$ થશે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ જેવા બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
બિંદુ $A$ પર,કણ સ્થિર છે,તેથી તેની ગતિઊર્જા $0$ છે અને તેની સ્થિતિઊર્જા $mgy$ છે (સંદર્ભ સપાટી $BC$ લેતા).
બિંદુ $C$ પર,કણ $0$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી તેની સ્થિતિઊર્જા $0$ છે અને તેની ગતિઊર્જા $KE_C$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત લાગુ પાડતા:
$PE_A + KE_A = PE_C + KE_C$
$mgy + 0 = 0 + KE_C$
તેથી,બિંદુ $C$ પર ગતિઊર્જા $KE_C = mgy$ થાય.

(A) તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ તેની સ્થિતિઊર્જા $U$ અને ગતિઊર્જા $KE$ નો સરવાળો છે. એટલે કે,$E = U + KE$.
આપેલ છે,$E = 2 \ J$ અને $m = 1 \ kg$.
મહત્તમ ઝડપ શોધવા માટે,આપણે મહત્તમ ગતિઊર્જાની જરૂર છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ હોય.
$U(x) = \frac{x^2}{2} - x$.
ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જા શોધવા માટે,આપણે $\frac{dU}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2} - x) = x - 1 = 0 \implies x = 1 \ m$.
$U_{\min} = U(1) = \frac{1^2}{2} - 1 = -0.5 \ J$.
કારણ કે $E = U + KE$,તેથી $KE_{\max} = E - U_{\min} = 2 - (-0.5) = 2.5 \ J$.
$KE = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2.5 = \frac{1}{2}(1)v^2 \implies v^2 = 5 \implies v = \sqrt{5} \ ms^{-1}$.

(B) ધારો કે કુલ ઊંચાઈ $H = 30 \ m$ છે અને જે બિંદુએ સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ એ ગતિ ઊર્જા $(KE)$ કરતા બમણી છે,ત્યાં પદાર્થનો વેગ $v$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બિંદુએ કુલ ઊર્જા એ પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા જેટલી હોય છે:
$m g H = PE + KE$
આપેલ છે કે $PE = 2 \times KE$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$m g H = 2 \times KE + KE = 3 \times KE$
ગતિ ઊર્જા $KE = \frac{1}{2} m v^2$ હોવાથી:
$m g H = 3 \times (\frac{1}{2} m v^2)$
$g H = \frac{3}{2} v^2$
$v^2 = \frac{2}{3} g H$
$g = 10 \ m \ s^{-2}$ અને $H = 30 \ m$ ની કિંમતો મૂકતા:
$v^2 = \frac{2}{3} \times 10 \times 30$
$v^2 = 2 \times 10 \times 10 = 200$
$v = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$

(A) ધારો કે એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{m}{l}$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: લટકતી લંબાઈ $h_1 = \frac{l}{n}$ છે. આ ભાગનું દળ $m_1 = \lambda \cdot \frac{l}{n} = \frac{m}{n}$ છે. લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $\frac{l}{2n}$ અંતરે નીચે છે. ટેબલની સપાટીને સંદર્ભ સ્તર $(U=0)$ તરીકે લેતા,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = -m_1 g \left(\frac{l}{2n}\right) = -\left(\frac{m}{n}\right) g \left(\frac{l}{2n}\right) = -\frac{mgl}{2n^2}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ: જ્યારે સાંકળ સંપૂર્ણપણે સરકી જાય છે,ત્યારે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $\frac{l}{2}$ અંતરે નીચે હોય છે. અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = -mg \left(\frac{l}{2}\right) = -\frac{mgl}{2}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં વધારા બરાબર છે:
$K_f - K_i = U_i - U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - 0 = -\frac{mgl}{2n^2} - \left(-\frac{mgl}{2}\right)$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{mgl}{2} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$
$v^2 = gl \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$
$v = \sqrt{gl \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)}$

(D) કણની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે,તેથી જમીનથી કોઈપણ ઊંચાઈ $h$ પર,સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ અને ગતિઊર્જા $(KE)$ નો સરવાળો $H$ ઊંચાઈ પરની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા જેટલો હોય છે:
$PE + KE = m g H$ ... $(i)$
આપેલ છે કે એક ચોક્કસ ઊંચાઈએ,ગતિઊર્જા તેની સ્થિતિઊર્જા કરતાં અડધી છે:
$KE = \frac{1}{2} PE \implies PE = 2 KE$
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2 KE + KE = m g H$
$3 KE = m g H$
$KE = \frac{m g H}{3}$
કારણ કે $PE = m g h$,તેથી $PE = 2 KE = 2 \left( \frac{m g H}{3} \right) = \frac{2}{3} m g H$.
$m g h = \frac{2}{3} m g H$ ને સરખાવતા,આપણને ઊંચાઈ $h = \frac{2 H}{3}$ મળે છે.
આ ઊંચાઈએ કણની ઝડપ $v$ કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અથવા ગતિશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. કણ $H$ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડે છે,તેથી $h$ ઊંચાઈએ તેની ઝડપ $v = \sqrt{2 g (H - h)}$ દ્વારા મળે છે.
$h = \frac{2 H}{3}$ મૂકતા:
$v = \sqrt{2 g (H - \frac{2 H}{3})} = \sqrt{2 g (\frac{H}{3})} = \sqrt{\frac{2 g H}{3}}$.
આમ,ઊંચાઈ $\frac{2 H}{3}$ છે અને ઝડપ $\sqrt{\frac{2 g H}{3}}$ છે.

(A) પદાર્થ પર લાગતું બળ $\vec{F} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \hat{j}) = -(6 \hat{i} + 8 \hat{j}) \,N$ છે.
પદાર્થનો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-(6 \hat{i} + 8 \hat{j})}{2} = -(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \,m/s^2$ છે.
પદાર્થ $t = 0$ સમયે સ્થિર હોવાથી, $t = 2 \,s$ સમયે તેનો વેગ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t = 0 + (-(3 \hat{i} + 4 \hat{j})) \times 2 = -(6 \hat{i} + 8 \hat{j}) \,m/s$ થશે.
$t = 2 \,s$ સમયે પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times ((-6)^2 + (-8)^2) = 36 + 64 = 100 \,J$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, પદાર્થ પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે. પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી $(K_i = 0)$, બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \Delta K = 100 - 0 = 100 \,J$ છે.

(D) આપેલ છે, બ્લોકનું સ્થાનાંતર $x = 5t^2$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2) = 10t \,m/s$.
$t = 0 \,s$ સમયે, $v_0 = 10(0) = 0 \,m/s$.
$t = 3 \,s$ સમયે, $v_1 = 10(3) = 30 \,m/s$.
$t = 5 \,s$ સમયે, $v_2 = 10(5) = 50 \,m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થયેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$.
પ્રથમ $3 \,s$ માં થયેલ કાર્ય: $W_1 = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_0^2) = \frac{1}{2}m(30^2 - 0^2) = \frac{1}{2}m(900)$.
પ્રથમ $5 \,s$ માં થયેલ કાર્ય: $W_2 = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_0^2) = \frac{1}{2}m(50^2 - 0^2) = \frac{1}{2}m(2500)$.
ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{900}{2500} = \frac{9}{25}$.

(A) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $= m$,પ્રારંભિક વેગ $= v_1$,અંતિમ વેગ $= v_2$,અને કાપેલું અંતર $= L$.
ગોળી અવરોધક બળ $F$ અનુભવે છે,તેથી તે $a = F/m$ જેટલો નિયમિત પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2as$,જ્યાં $v = v_2$,$u = v_1$,$a = -F/m$,અને $s = L$:
$v_2^2 - v_1^2 = 2(-F/m)L$
$v_2^2 - v_1^2 = -\frac{2FL}{m}$
$F = \frac{m(v_1^2 - v_2^2)}{2L}$
અહીં $v_1 > v_2$ હોવાથી,બળ $F$ ધન મળે છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,શરૂઆતના બિંદુ '$X$' પર ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો એ શિખર '$Z$' પરની ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
$mgh + \frac{1}{2}mv^2 = mgh' + \frac{1}{2}mv'^2$
બંને બાજુ દળ $m$ વડે ભાગતા:
$gh + \frac{1}{2}v^2 = gh' + \frac{1}{2}v'^2$
$v'^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$v'^2 = 2g(h - h') + v^2$
આપેલ છે: $h = 100 \ m$,$h' = 60 \ m$,$v = 10 \ m \ s^{-1}$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$v'^2 = 2 \times 10 \times (100 - 60) + (10)^2$
$v'^2 = 20 \times 40 + 100$
$v'^2 = 800 + 100 = 900$
$v' = \sqrt{900} = 30 \ m \ s^{-1}$

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય બસની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$F \cdot s = \frac{1}{2} m v^2$
અહીં પ્રતિરોધક બળ $F$ અને પ્રારંભિક વેગ $v$ અચળ હોવાથી:
$s = \frac{m v^2}{2 F} \implies s \propto m$
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ છે અને પ્રારંભિક અંતર $s_1 = x$ છે.
$25\%$ વધારા પછી નવું દળ $m_2 = m + 0.25m = 1.25m$ થશે.
પ્રમાણસરતા $s \propto m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{s_2}{s_1} = \frac{m_2}{m_1}$
$s_2 = s_1 \cdot \frac{1.25m}{m}$
$s_2 = 1.25 x$.

(D) આપેલ પ્રારંભિક ઝડપ $u = 40 \,ms^{-1}$ અને ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
અંતિમ ઝડપ $v = 1.25 \times u = 1.25 \times 40 = 50 \,ms^{-1}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પ્રક્ષેપણ બિંદુ અને જમીન સાથે અથડાવાના બિંદુ પર કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા માટે જમીનને સંદર્ભ સ્તર તરીકે લેતા $(PE = 0)$:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2} m u^2 + mgh = \frac{1}{2} m v^2$
$m$ વડે ભાગતા અને $2$ વડે ગુણતા:
$u^2 + 2gh = v^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(40)^2 + 2 \times 10 \times h = (50)^2$
$1600 + 20h = 2500$
$20h = 2500 - 1600$
$20h = 900$
$h = \frac{900}{20} = 45 \,m$.
આમ, $h$ નું મૂલ્ય $45 \,m$ છે.

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,કુલ ઊર્જા $E = mgh$ છે.
જમીનથી $y = 0.4h$ ઊંચાઈએ,સ્થિતિઊર્જા $PE = mgy = mg(0.4h) = 0.4mgh$ થાય.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,$KE + PE = E$.
$KE = E - PE = mgh - 0.4mgh = 0.6mgh$.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE}{PE} = \frac{0.6mgh}{0.4mgh} = \frac{0.6}{0.4} = \frac{3}{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $3: 2$ છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પરિણામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = K_f - K_i$
અહીં $m = 1 \ kg$,$c = 1$,$v = x^\alpha$,$x_i = 0 \ m$,$x_f = 4 \ m$,અને $W = 128 \ J$ આપેલ છે.
$x = 0$ આગળ,$v_i = 1 \times (0)^\alpha = 0$.
$x = 4$ આગળ,$v_f = 1 \times (4)^\alpha = 4^\alpha$.
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જા સમીકરણમાં મૂકતા:
$128 = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
$128 = \frac{1}{2} (1) (4^\alpha)^2 - 0$
$128 = \frac{1}{2} (4^{2\alpha})$
$256 = 4^{2\alpha}$
કારણ કે $256 = 2^8 = (2^2)^4 = 4^4$,તેથી:
$4^4 = 4^{2\alpha}$
$2\alpha = 4$
$\alpha = 2$.

(C) ધારો કે સ્પ્રિંગનું સંકોચન $x$ (મીટરમાં) છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી કુલ સ્થિતિ ઉર્જા એ સ્પ્રિંગ દ્વારા મેળવેલી સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલી કુલ ઊંચાઈ $(h + x)$ છે,જ્યાં $h = 1.2 \ m$.
તેથી,$mg(h + x) = \frac{1}{2} kx^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10 \times (1.2 + x) = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^4) \times x^2$.
$20(1.2 + x) = 10^4 x^2$.
$24 + 20x = 10000x^2$.
$10000x^2 - 20x - 24 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $2500x^2 - 5x - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2500)(-6)}}{2(2500)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 60000}}{5000} = \frac{5 \pm \sqrt{60025}}{5000} = \frac{5 \pm 245}{5000}$.
$x > 0$ હોવાથી,$x = \frac{250}{5000} = 0.05 \ m$.
$mm$ માં ફેરવતા: $0.05 \ m = 50 \ mm$.

(A) આપેલ છે,સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \alpha x^2$.
સ્પર્શક બળ $F = m a_t = m \alpha x^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K$.
ધારો કે કણ $x = 0$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તો $K = \int_0^x F dx$.
$K = \int_0^x (m \alpha x^2) dx$.
$K = m \alpha \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^x = \frac{m \alpha}{3} x^3$.
આને આપેલ સમીકરણ $K = \beta x^c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = \frac{m \alpha}{3}$ અને $c = 3$ મળે છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય $W = \Delta KE = KE_f - KE_i$.
કણનો વેગ $v = k x^\beta$ આપેલ છે.
$x = 0$ આગળ,પ્રારંભિક વેગ $v_i = k(0)^\beta = 0$.
$x = d$ આગળ,અંતિમ વેગ $v_f = k d^\beta$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (0)^2 = 0$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (k d^\beta)^2 = \frac{1}{2} m k^2 d^{2\beta}$.
તેથી,કુલ કાર્ય $W = \frac{1}{2} m k^2 d^{2\beta} - 0 = \frac{m k^2}{2} d^{2\beta}$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $H = 12 \,m$ છે। આ ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઊર્જા $PE_1 = mgH$ છે。
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે, ત્યારે અથડામણ પહેલાં તેની ગતિ ઊર્જા $KE_1 = mgH$ હોય છે。
દડો તેની ગતિ ઊર્જાના $25 \%$ ગુમાવે છે, તેથી બાકી રહેલી ગતિ ઊર્જા $KE_2 = KE_1 - 0.25 KE_1 = 0.75 KE_1$ છે。
દડો '$h$' ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળે છે, તેથી મહત્તમ ઊંચાઈએ તેની સ્થિતિ ઊર્જા $PE_2 = mgh$ છે。
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ઊર્જાના વ્યય પછીની ગતિ ઊર્જા એ નવી ઊંચાઈ પરની સ્થિતિ ઊર્જા જેટલી હોય છે: $mgh = 0.75 mgH$.
તેથી, $h = 0.75 H$.
$H = 12 \,m$ મૂકતા: $h = 0.75 \times 12 = 9 \,m$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 3 \text{ kg}$, સ્થાનાંતર $x = \frac{t^3}{3} \text{ m}$.
પ્રથમ, સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન કરીને વેગ $v$ શોધો:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3}\right) = t^2 \text{ m/s}$.
$t = 0$ સમયે, $v_i = 0^2 = 0 \text{ m/s}$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે, $v_f = 2^2 = 4 \text{ m/s}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta KE = KE_f - KE_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 3 \times (4)^2 - \frac{1}{2} \times 3 \times (0)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 16 = 24 \text{ J}$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા ચોખ્ખા (પરિણામી) બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$W_{net} = \Delta KE = KE_f - KE_i$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે: $m = 2 \,kg$, $x = \frac{\alpha t^2}{2}$, અને $\alpha = 1 \,m/s^2$.
સૌ પ્રથમ, આપણે સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v$ શોધીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\alpha t^2}{2} \right) = \alpha t$.
$t = 2 \,s$ સમયે, વેગ $v$ થશે:
$v = 1 \times 2 = 2 \,m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$t = 0$ સમયે, $v_i = \alpha(0) = 0$.
$t = 2 \,s$ સમયે, $v_f = 2 \,m/s$.
તેથી, $W = \frac{1}{2} \times 2 \,kg \times (2 \,m/s)^2 - 0 = 4 \,J$.

(A) વાટકાની સપાટી લીસી હોવાથી,ગોળાને ગબડાવવા માટે કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી. ગોળો ફક્ત સપાટી પર સરકશે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $h = R - r$ છે.
ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જા = $mgh = mg(R - r)$.
ગોળો સરકતો હોવાથી (ગબડતો નથી),તેની કુલ ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત છે: $K = \frac{1}{2} mv^2$.
તેથી,સૌથી નીચલા બિંદુ પર કુલ ગતિઊર્જા $K = mg(R - r)$ થશે.

(C) આપેલ વેગ-સમયના આલેખ પરથી,$t = 0 \ s$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $u = 50 \ m/s$ છે. $t = 10 \ s$ સમયે વેગ $0 \ m/s$ થાય છે.
પ્રવેગ $a$ એ આલેખનો ઢાળ છે: $a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 50}{10 - 0} = -5 \ m/s^2$.
$t = 2 \ s$ સમયે વેગ $v = u + at = 50 + (-5)(2) = 40 \ m/s$ મળે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 10 \ kg \times ((40 \ m/s)^2 - (50 \ m/s)^2)$
$W = 5 \times (1600 - 2500) = 5 \times (-900) = -4500 \ J$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 6 \,kg$,સ્થાનાંતર $x = \frac{t^2}{4} \,m$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \,m/s$.
$t = 0 \,s$ સમયે,વેગ $v_i = \frac{0}{2} = 0 \,m/s$.
$t = 2 \,s$ સમયે,વેગ $v_f = \frac{2}{2} = 1 \,m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K$ જેટલું હોય છે.
$W = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 6 \times (1)^2 - \frac{1}{2} \times 6 \times (0)^2$.
$W = 3 - 0 = 3 \,J$.

(B) ધારો કે અર્ધ-વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે. મણકા $Q$ દ્વારા $B$ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $2R$ છે. તે અચળ સમક્ષિતિજ વેગ $v$ થી ગતિ કરતું હોવાથી,લાગતો સમય $t_Q = \frac{2R}{v}$ છે.
મણકા $P$ માટે,$S$ બિંદુ પર વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v$ આપેલ છે. જેમ મણકો ઘર્ષણરહિત અર્ધ-વર્તુળાકાર તાર પર નીચે સરકે છે,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તેની ઝડપ વધે છે. તેના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ હશે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો છે. મણકો અર્ધ-વર્તુળ પર ગતિ કરવા માટે બંધાયેલ હોવાથી,જેમ તે $C$ તરફ અને પછી $B$ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તેનો સમક્ષિતિજ વેગ ઘટક $v_x$ હંમેશા તેના પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $v$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હશે. કારણ કે $P$ નો સરેરાશ સમક્ષિતિજ વેગ $v$ કરતા વધારે છે અને $P$ એ કાપવાનું કુલ સમક્ષિતિજ અંતર $2R$ છે,તેથી લાગતો સમય $t_P$ એ $t_Q$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.