Work Energy Theorem and Conservation of Mechanical Energy Questions in Gujarati

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,દડા પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $0$ છે.
દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ અને રેતીનું અવરોધક બળ $(F_{avg})$ છે.
દડાનું કુલ સ્થાનાંતર $H + d$ છે,જ્યાં $H = 10 \text{ m}$ અને $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય + રેતી દ્વારા થયેલું કાર્ય = ગતિઊર્જામાં ફેરફાર
$mg(H + d) - F_{avg} \times d = 0$
$F_{avg} = \frac{mg(H + d)}{d}$
કિંમતો મૂકતા: $F_{avg} = \frac{2 \times 10 \times (10 + 0.1)}{0.1} = \frac{20 \times 10.1}{0.1} = 200 \times 10.1 = 2020 \text{ N}$.

(C) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$.
આપેલ છે કે $v = 2x^2$,$x = 0$ આગળ,પ્રારંભિક વેગ $v_i = 2(0)^2 = 0 \text{ m/s}$.
$x = 5 \text{ m}$ આગળ,અંતિમ વેગ $v_f = 2(5)^2 = 2(25) = 50 \text{ m/s}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 1 \text{ kg} \times ((50 \text{ m/s})^2 - (0 \text{ m/s})^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times 2500 = 1250 \text{ J}$.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$6 \text{ kg}$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્રની ગતિ ઉર્જામાં થતો વધારો (બંને $6 \text{ kg}$ અને $2 \text{ kg}$ દળ માટે) અને $2 \text{ kg}$ દળની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારાના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 6 \text{ kg}$ અને $m_2 = 2 \text{ kg}$. જ્યારે $6 \text{ kg}$ દળ $h = 6 \text{ m}$ નીચે પડે છે,ત્યારે $2 \text{ kg}$ દળ $h = 6 \text{ m}$ ઉપર જાય છે.
$m_1$ ની સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $m_1 g h = 6 \times 10 \times 6 = 360 \text{ J}$.
$m_2$ ની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો = $m_2 g h = 2 \times 10 \times 6 = 120 \text{ J}$.
તંત્રની ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}(6 + 2)v^2 = 4v^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $m_1 g h = m_2 g h + \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$.
$360 = 120 + 4v^2$.
$240 = 4v^2$.
$v^2 = 60$.
$v = \sqrt{60} \approx 7.746 \text{ m/s}$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{\text{total}} = \Delta K$.
અહીં,કુલ કાર્ય એ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $(W_g)$ અને અવરોધક બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $(W_r)$ નો સરવાળો છે: $W_g + W_r = \Delta K$.
આપેલ છે: દળ $m = 1 \text{ g} = 0.001 \text{ kg}$,ઊંચાઈ $h = 1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \text{ m/s}$,અંતિમ વેગ $v = 5 \text{ m/s}$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_g = mgh = 0.001 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \times 1000 \text{ m} = 10 \text{ J}$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર: $\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2} \times 0.001 \text{ kg} \times (5 \text{ m/s})^2 - 0 = 0.0005 \times 25 = 0.0125 \text{ J}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં કિંમતો મૂકતા: $10 \text{ J} + W_r = 0.0125 \text{ J}$.
$W_r = 0.0125 \text{ J} - 10 \text{ J} = -9.9875 \text{ J}$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $-9.98 \text{ J}$ છે.