Work Done by Variable Force and Force-Displacement Graph Questions in Hindi

(A) शक्ति $P$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर के बराबर है: $P = \frac{dK}{dt}$.
दिया गया है $P = 3t^2 - 2t + 1$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K$ ज्ञात करने के लिए,हम $t_1 = 2 \text{ s}$ से $t_2 = 4 \text{ s}$ तक समय के सापेक्ष शक्ति का समाकलन करते हैं:
$\Delta K = \int_{2}^{4} P \, dt = \int_{2}^{4} (3t^2 - 2t + 1) \, dt$.
समाकलन करने पर:
$\Delta K = [t^3 - t^2 + t]_{2}^{4}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$t = 4$ पर: $4^3 - 4^2 + 4 = 64 - 16 + 4 = 52$.
$t = 2$ पर: $2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6$.
अतः,$\Delta K = 52 - 6 = 46 \text{ J}$.

(C) शक्ति $P$ को समय के सापेक्ष गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $P = \frac{d(K.E.)}{dt}$.
इसलिए,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K.E.$ दिए गए समय अंतराल पर शक्ति के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\Delta K.E. = \int_{t_1}^{t_2} P \, dt = \int_{2}^{4} (4t^3 - 5t + 2) \, dt$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\Delta K.E. = [t^4 - \frac{5}{2}t^2 + 2t]_{2}^{4}$.
$t = 4$ पर: $(4)^4 - \frac{5}{2}(4)^2 + 2(4) = 256 - 40 + 8 = 224$.
$t = 2$ पर: $(2)^4 - \frac{5}{2}(2)^2 + 2(2) = 16 - 10 + 4 = 10$.
अतः,$\Delta K.E. = 224 - 10 = 214 \, J$.

(C) $x$-अक्ष के अनुदिश कार्य करने वाले परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = 3x^2 - 2x + 7$,$x_1 = 0$,और $x_2 = 5$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{5} (3x^2 - 2x + 7) \, dx$
$W = [x^3 - x^2 + 7x]_{0}^{5}$
$W = (5^3 - 5^2 + 7(5)) - (0^3 - 0^2 + 7(0))$
$W = (125 - 25 + 35) - 0$
$W = 135 \, J$.

(C) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x = 0$ से $x = 35\,m$ तक किया गया कार्य ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = 10$ तक के समलंब का क्षेत्रफल,$x = 10$ से $x = 30$ तक के आयत का क्षेत्रफल और $x = 30$ से $x = 35$ तक के समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
$x = 0$ से $x = 10$ तक का क्षेत्रफल: $\frac{1}{2} \times (10) \times (10) = 50\,J$.
$x = 10$ से $x = 30$ तक का क्षेत्रफल: $(30 - 10) \times 10 = 200\,J$.
$x = 30$ से $x = 35$ तक का क्षेत्रफल: $\frac{1}{2} \times (10 + 5) \times (35 - 30) = \frac{1}{2} \times 15 \times 5 = 37.5\,J$.
कुल कार्य $W = 50 + 200 + 37.5 = 287.5\,J$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x = 0$ से $x = 6$ तक का क्षेत्रफल: $\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 = 30\,J$.
$x = 6$ से $x = 9$ तक का क्षेत्रफल: $\text{Area}_2 = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (9 - 6) \times (-5) = 3 \times (-5) = -15\,J$.
$x = 9$ से $x = 13$ तक का क्षेत्रफल: $\text{Area}_3 = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (13 - 9) \times 5 = 4 \times 5 = 20\,J$.
$x = 13$ से $x = 16$ तक का क्षेत्रफल: $\text{Area}_4 = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (16 - 13) \times (-5) = 3 \times (-5) = -15\,J$.
कुल कार्य $W = \text{Area}_1 + \text{Area}_2 + \text{Area}_3 + \text{Area}_4 = 30 - 15 + 20 - 15 = 20\,J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = K_f - K_i$.
दिया गया है $K_i = 25\,J$,इसलिए $20 = K_f - 25$.
अतः,$K_f = 20 + 25 = 45\,J$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है,जिसमें क्षेत्रफल के बीजगणितीय चिह्न को ध्यान में रखा जाता है।
ग्राफ से,$x = 0$ से $x = 4\,m$ तक का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर एक त्रिभुज है:
क्षेत्रफल$_1 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4\,m \times 20\,N = 40\,J$.
$x = 4\,m$ से $x = 8\,m$ तक का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के नीचे एक त्रिभुज है:
क्षेत्रफल$_2 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (8 - 4)\,m \times (-20\,N) = \frac{1}{2} \times 4\,m \times (-20\,N) = -40\,J$.
कुल किया गया कार्य $W = \text{क्षेत्रफल}_1 + \text{क्षेत्रफल}_2 = 40\,J + (-40\,J) = 0\,J$.

(A) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 = 25\, J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है,जो $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर है।
किया गया कार्य $W = \int_{0}^{8} F dx = \text{ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
$x=0$ से $x=2$ तक का क्षेत्रफल (अक्ष के ऊपर त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\, J$.
$x=2$ से $x=5$ तक का क्षेत्रफल (अक्ष के नीचे त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 3 \times (-1) = -1.5\, J$.
$x=5$ से $x=8$ तक का क्षेत्रफल (अक्ष के ऊपर त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\, J$.
कुल कार्य $W = 2 - 1.5 + 4.5 = 5\, J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + W = 25 + 5 = 30\, J$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कण पर बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta KE = KE_{final} - KE_{initial}$
किया गया कार्य $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
क्षेत्रफल = ($x=0$ से $x=2$ तक आयत का क्षेत्रफल) + ($x=2$ से $x=3$ तक समलंब का क्षेत्रफल)
क्षेत्रफल = $(2\, m \times 2\, N) + \frac{(2\, N + 3\, N) \times (3\, m - 2\, m)}{2}$
क्षेत्रफल = $4\, J + \frac{5\, N \times 1\, m}{2} = 4\, J + 2.5\, J = 6.5\, J$
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए $KE_{initial} = 0$.
अतः,$KE_{final} = 6.5\, J$.

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = \int_{0}^{6} F \cdot dx = x = 0$ से $x = 6$ तक वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल में $x = 0$ से $x = 3$ तक एक आयत और $x = 3$ से $x = 6$ तक एक त्रिभुज शामिल है।
आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (3 - 0) \times 3 = 9 \text{ इकाई}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (6 - 3) \times 3 = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \text{ इकाई}$.
कुल कार्य $W = 9 + 4.5 = 13.5 \text{ J}$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-स्थिति ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
हमें $x = 1\, cm$ से $x = 5\, cm$ तक किए गए कार्य की गणना करनी है।
$x = 1$ से $x = 2$ के लिए क्षेत्रफल: $F = 10\, dyne$,$\Delta x = 1\, cm$. कार्य $W_1 = 10 \times 1 = 10\, erg$.
$x = 2$ से $x = 3$ के लिए क्षेत्रफल: $F = 20\, dyne$,$\Delta x = 1\, cm$. कार्य $W_2 = 20 \times 1 = 20\, erg$.
$x = 3$ से $x = 4$ के लिए क्षेत्रफल: $F = -20\, dyne$,$\Delta x = 1\, cm$. कार्य $W_3 = -20 \times 1 = -20\, erg$.
$x = 4$ से $x = 5$ के लिए क्षेत्रफल: $F = 10\, dyne$,$\Delta x = 1\, cm$. कार्य $W_4 = 10 \times 1 = 10\, erg$.
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 10 + 20 - 20 + 10 = 20\, erg$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta KE)$ किए गए कार्य $(W)$ के बराबर होता है।
किया गया कार्य समय के सापेक्ष पावर का समाकलन है: $\Delta KE = \int_{t_1}^{t_2} P \, dt$.
दिया गया है $P = 3t^2 - 2t + 1$,इसलिए $t = 2$ से $t = 4$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta KE = \int_{2}^{4} (3t^2 - 2t + 1) \, dt$
$= [t^3 - t^2 + t]_{2}^{4}$
$= (4^3 - 4^2 + 4) - (2^3 - 2^2 + 2)$
$= (64 - 16 + 4) - (8 - 4 + 2)$
$= 52 - 6 = 46 \text{ J}$.

(B) एक कण पर $x_i$ से $x_f$ तक गति करते समय एक परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$ समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} F \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया बल $F = cx$ है और समाकलन की सीमाएँ $x = 0$ से $x = x_1$ हैं,इसलिए हम सूत्र में मान रखते हैं:
$W = \int_{0}^{x_1} cx \, dx$
चूँकि $c$ एक स्थिरांक है,हम इसे समाकलन से बाहर ले सकते हैं:
$W = c \int_{0}^{x_1} x \, dx$
समाकलन के घात नियम $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$W = c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1}$
$W = c \left( \frac{x_1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
$W = \frac{1}{2} cx_1^2$

(C) त्वरण-विस्थापन वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल को समाकलन $\int a \, dx$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम से,$a = \frac{F}{m}$ होता है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int \frac{F}{m} \, dx = \frac{1}{m} \int F \, dx$ प्राप्त होता है।
चूंकि किया गया कार्य $W = \int F \, dx$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE$ के बराबर होता है,इसलिए यह व्यंजक $\frac{\Delta KE}{m}$ हो जाता है।
अतः,त्वरण-विस्थापन वक्र का क्षेत्रफल प्रति इकाई द्रव्यमान गतिज ऊर्जा में परिवर्तन को दर्शाता है।

(B) परिवर्ती बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} F_x \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec{F} = (-6x^3 \hat{i}) \, N$,अतः बल का घटक $F_x = -6x^3$ है।
समाकलन की सीमाएँ $x_i = 4 \, m$ से $x_f = -2 \, m$ तक हैं।
$W = \int_{4}^{-2} (-6x^3) \, dx$
$W = -6 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{4}^{-2}$
$W = -6 \left( \frac{(-2)^4}{4} - \frac{4^4}{4} \right)$
$W = -6 \left( \frac{16}{4} - \frac{256}{4} \right)$
$W = -6 \left( 4 - 64 \right)$
$W = -6 \left( -60 \right) = 360 \, J$.

(B) परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$,विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int F \, dx$.
दिए गए बल $F = ax + bx^2$ के लिए,हम बिना खिंची स्थिति $(x = 0)$ से खिंची हुई स्थिति $(x = L)$ तक समाकलन करते हैं:
$W = \int_{0}^{L} (ax + bx^2) \, dx$
$W = \left[ \frac{ax^2}{2} + \frac{bx^3}{3} \right]_{0}^{L}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \left( \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} \right) - (0 + 0)$
$W = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3}$

(D) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
यहाँ $F = 15 - 4x$ दिया गया है और तय की गई दूरी $x = 0$ से $x = 2\,m$ तक है।
$W = \int_{0}^{2} (15 - 4x) dx$.
व्यंजक का समाकलन करने पर: $W = [15x - 2x^2]_{0}^{2}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $W = (15(2) - 2(2)^2) - (15(0) - 2(0)^2)$.
$W = (30 - 8) - 0 = 22\,J$.

(A) परिवर्ती बल $\vec F$ द्वारा किया गया कार्य $W$ रेखा समाकल द्वारा दिया जाता है: $W = \int \vec F \cdot d\vec r$.
दिया गया है $\vec F = (2x\hat i + y\hat j)$ और $d\vec r = (dx\hat i + dy\hat j)$.
$W = \int_{(0,0)}^{(1,2)} (2x\hat i + y\hat j) \cdot (dx\hat i + dy\hat j) = \int_{(0,0)}^{(1,2)} (2x\,dx + y\,dy)$.
पदों का अलग-अलग समाकलन करने पर:
$W = \int_{0}^{1} 2x\,dx + \int_{0}^{2} y\,dy$.
$W = [x^2]_{0}^{1} + [\frac{y^2}{2}]_{0}^{2}$.
$W = (1^2 - 0^2) + (\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2})$.
$W = 1 + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3\,units$.

(D) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
कार्य $W = \int F \, dx = \text{ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
$x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल धनात्मक और $x$-अक्ष के नीचे के क्षेत्रफल ऋणात्मक लिए जाते हैं।
$1$. $x=0$ से $x=1$ तक का क्षेत्रफल: आधार $1$ और ऊँचाई $10$ वाला त्रिभुज। क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 10 = 5\,J$.
$2$. $x=1$ से $x=2$ तक का क्षेत्रफल: चौड़ाई $1$ और ऊँचाई $10$ वाला आयत। क्षेत्रफल $A_2 = 1 \times 10 = 10\,J$.
$3$. $x=2$ से $x=3$ तक का क्षेत्रफल: आधार $1$ और ऊँचाई $10$ वाला त्रिभुज। क्षेत्रफल $A_3 = \frac{1}{2} \times 1 \times 10 = 5\,J$.
$4$. $x=3$ से $x=4$ तक का क्षेत्रफल: आधार $1$ और ऊँचाई $-10$ वाला त्रिभुज। क्षेत्रफल $A_4 = \frac{1}{2} \times 1 \times (-10) = -5\,J$.
$5$. $x=4$ से $x=5$ तक का क्षेत्रफल: चौड़ाई $1$ और ऊँचाई $-10$ वाला आयत। क्षेत्रफल $A_5 = 1 \times (-10) = -10\,J$.
कुल कार्य $W = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = 5 + 10 + 5 - 5 - 10 = 5\,J$.

(A) परिवर्ती बल $F_x$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} F_x \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F_x = -6x^3$ और सीमाएँ $x_i = 4\, m$ से $x_f = -2\, m$ हैं।
$W = \int_{4}^{-2} (-6x^3) \, dx$
$W = -6 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{4}^{-2}$
$W = -\frac{6}{4} [(-2)^4 - (4)^4]$
$W = -1.5 [16 - 256]$
$W = -1.5 [-240]$
$W = 360\, J$.

(C) दिए गए ग्राफ से,हम बल घटकों के लिए समीकरण निर्धारित करते हैं:
$1$. $F_x$ बनाम $x$ के लिए: ढाल $\tan(37^\circ) = 3/4$ है। अंतःखंड $10$ है। अतः,$F_x = \frac{3}{4}x + 10$.
$2$. $F_y$ बनाम $y$ के लिए: रेखा $(0, 20)$ और $(15, 0)$ से गुजरती है। ढाल $(0-20)/(15-0) = -4/3$ है। अतः,$F_y = -\frac{4}{3}y + 20$.
$3$. $F_z$ बनाम $z$ के लिए: रेखा $(0, -16)$ और $(12, 0)$ से गुजरती है। ढाल $(0 - (-16))/(12-0) = 16/12 = 4/3$ है। अतः,$F_z = \frac{4}{3}z - 16$.
किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{x_A}^{x_B} F_x dx + \int_{y_A}^{y_B} F_y dy + \int_{z_A}^{z_B} F_z dz$.
$W = \int_{0}^{8} (\frac{3}{4}x + 10) dx + \int_{5}^{20} (-\frac{4}{3}y + 20) dy + \int_{12}^{0} (\frac{4}{3}z - 16) dz$.
प्रत्येक समाकलन की गणना करने पर:
$W_x = [\frac{3}{8}x^2 + 10x]_0^8 = \frac{3}{8}(64) + 10(8) = 24 + 80 = 104 \ J$.
$W_y = [-\frac{2}{3}y^2 + 20y]_5^{20} = (-\frac{2}{3}(400) + 400) - (-\frac{2}{3}(25) + 100) = (-\frac{800}{3} + \frac{1200}{3}) - (-\frac{50}{3} + \frac{300}{3}) = \frac{400}{3} - \frac{250}{3} = \frac{150}{3} = 50 \ J$.
$W_z = [\frac{2}{3}z^2 - 16z]_{12}^0 = (0) - (\frac{2}{3}(144) - 16(12)) = -(96 - 192) = -(-96) = 96 \ J$.
कुल कार्य $W = 104 + 50 + 96 = 250 \ J$.

(D) एक संरक्षी बल के लिए,$F = -dU/dx$ होता है। संतुलन वहां होता है जहां $F = 0$ हो। दिए गए $F-x$ ग्राफ में,बिंदु $A$ और $C$ पर बल शून्य है।
संतुलन बिंदु अस्थिर तब होता है जब संतुलन स्थिति से थोड़ा विस्थापन करने पर उत्पन्न बल पिंड को संतुलन बिंदु से और दूर धकेलता है।
अस्थिर संतुलन के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U$ अधिकतम होनी चाहिए,जिसका अर्थ है $d^2U/dx^2 < 0$। चूंकि $F = -dU/dx$,यह $dF/dx > 0$ के अनुरूप है।
बिंदु $A$ पर,$F-x$ ग्राफ की ढाल $(dF/dx)$ ऋणात्मक है।
बिंदु $C$ पर,$F-x$ ग्राफ की ढाल $(dF/dx)$ धनात्मक है।
इसलिए,बिंदु $C$ पर पिंड अस्थिर संतुलन में है।

(A) गतिज ऊर्जा में हानि घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है,जो बल-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर है।
क्षेत्रफल = $x = 0$ से $5$ तक समलंब का क्षेत्रफल + $x = 5$ से $10$ तक आयत का क्षेत्रफल + $x = 10$ से $20$ तक समलंब का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (5 + 15) \times 5 + (15 \times 5) + \frac{1}{2} \times (15 + 10) \times 10$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 20 \times 5 + 75 + \frac{1}{2} \times 25 \times 10$
क्षेत्रफल = $50 + 75 + 125 = 250\, J$.
अतः,गतिज ऊर्जा में हानि $250\, J$ है।

(C) $y$-अक्ष के अनुदिश कार्य करने वाले परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int_{y_1}^{y_2} F \, dy$.
यहाँ $F = 20 + 10y$,$y_1 = 0 \; m$ और $y_2 = 1 \; m$ दिया गया है,इसलिए:
$W = \int_{0}^{1} (20 + 10y) \, dy$.
पद दर पद समाकलन करने पर:
$W = [20y + 10 \cdot \frac{y^2}{2}]_{0}^{1}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$W = [20y + 5y^2]_{0}^{1}$.
सीमाओं (limits) को लागू करने पर:
$W = (20(1) + 5(1)^2) - (20(0) + 5(0)^2)$.
$W = 20 + 5 = 25 \; J$.

(C) बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2$। यहाँ द्रव्यमान $m = 500 \; g = 0.5 \; kg$ है।
$1$. $X = 8 \; m$ तक किया गया कार्य:
$W_8 = (20 \; N \times 5 \; m) + (10 \; N \times 3 \; m) = 100 + 30 = 130 \; J$।
$W = \frac{1}{2} m v^2$ का उपयोग करने पर: $130 = \frac{1}{2} (0.5) v_8^2 \Rightarrow v_8^2 = 520 \Rightarrow v_8 = \sqrt{520} \approx 22.8 \; m/s \approx 23 \; m/s$।
$2$. $X = 12 \; m$ तक किया गया कार्य:
$W_{12} = W_8 + (8 \; m \text{ से } 10 \; m \text{ के बीच का क्षेत्रफल}) + (10 \; m \text{ से } 12 \; m \text{ के बीच का क्षेत्रफल})$।
$8 \; m$ से $10 \; m$ के बीच का क्षेत्रफल = $(2 \; m) \times (-25 \; N) = -50 \; J$।
$10 \; m$ से $12 \; m$ के बीच का क्षेत्रफल = $(2 \; m) \times (10 \; N) = 20 \; J$।
$W_{12} = 130 - 50 + 20 = 100 \; J$।
$W = \frac{1}{2} m v^2$ का उपयोग करने पर: $100 = \frac{1}{2} (0.5) v_{12}^2 \Rightarrow v_{12}^2 = 400 \Rightarrow v_{12} = 20 \; m/s \approx 20.6 \; m/s$ (निकटतम विकल्प)।
अतः, वेग लगभग $23 \; m/s$ और $20.6 \; m/s$ हैं।

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य रेखा समाकल $W = \int_{A}^{B} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$A(1, 0)$ और $B(0, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का समीकरण $y = -x + 1$ या $x + y = 1$ है।
अतः,$d\overrightarrow{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j}$ है।
किया गया कार्य $W = \int_{A}^{B} (-x \hat{i} + y \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j}) = \int_{A}^{B} (-x dx + y dy)$ है।
$x=1$ से $x=0$ और $y=0$ से $y=1$ की सीमाएँ रखने पर:
$W = \int_{1}^{0} -x dx + \int_{0}^{1} y dy$
$W = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{1}^{0} + \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$W = -\left( \frac{0^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) + \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
$W = -\left( 0 - 0.5 \right) + \left( 0.5 - 0 \right) = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ J}$.

(N/A) लगाए गए बल का आलेख चित्र में दिखाया गया है। $x = 20 \; m$ पर,लगाया गया बल $\vec{F} = 50 \; N \neq 0$ है। हमें दिया गया है कि घर्षण बल $f$ का मान $|f| = 50 \; N$ है। यह गति का विरोध करता है और $F$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है। इसलिए इसे बल अक्ष के ऋणात्मक पक्ष पर दिखाया गया है।
महिला द्वारा किया गया कार्य:
$W_F = \text{आयत } ABCD \text{ का क्षेत्रफल} + \text{समलंब } CDEI \text{ का क्षेत्रफल}$
$W_F = (100 \; N \times 10 \; m) + \frac{1}{2} \times (100 \; N + 50 \; N) \times (20 \; m - 10 \; m)$
$W_F = 1000 \; J + \frac{1}{2} \times 150 \; N \times 10 \; m$
$W_F = 1000 \; J + 750 \; J = 1750 \; J$
घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य:
$W_f = \text{आयत } AGHI \text{ का क्षेत्रफल}$
$W_f = (-50 \; N) \times 20 \; m$
$W_f = -1000 \; J$
बल अक्ष के ऋणात्मक पक्ष पर क्षेत्रफल का मान ऋणात्मक होता है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है: $K_{f} - K_{i} = W$.
$W = \int_{0.1}^{2.01} F_{r} \, dx = \int_{0.1}^{2.01} \left( -\frac{k}{x} \right) dx = -k [\ln(x)]_{0.1}^{2.01} = -k \ln\left( \frac{2.01}{0.1} \right) = -k \ln(20.1)$.
यहाँ $m = 1 \; kg$,$v_{i} = 2 \; m \; s^{-1}$,और $k = 0.5 \; J$ दिया गया है:
$K_{i} = \frac{1}{2} m v_{i}^{2} = \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^{2} = 2 \; J$.
$K_{f} = K_{i} - k \ln(20.1) = 2 - 0.5 \times \ln(20.1)$.
$\ln(20.1) \approx 3.00$ लेने पर,$K_{f} = 2 - 0.5 \times 3.00 = 2 - 1.5 = 0.5 \; J$.
अब,$v_{f} = \sqrt{\frac{2 K_{f}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5}{1}} = \sqrt{1} = 1 \; m \; s^{-1}$.

(N/A) वह बल जिसका परिमाण या दिशा (या दोनों) स्थिति के साथ बदलते हैं,उसे परिवर्ती बल कहा जाता है। प्रकृति में नियत बल दुर्लभ हैं; परिवर्ती बल अधिक सामान्यतः देखे जाते हैं।
चित्र एक विमीय गति में परिवर्ती बल $F(x)$ और विस्थापन $x$ के बीच का ग्राफ दर्शाता है।
यदि विस्थापन $\Delta x$ बहुत छोटा है,तो इस अंतराल के दौरान बल $F(x)$ को लगभग नियत माना जा सकता है। इस छोटे विस्थापन के दौरान किया गया कार्य छोटे आयताकार पट्टी के क्षेत्रफल के बराबर होता है,जो $\Delta W = F(x) \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
कुल किया गया कार्य प्रारंभिक स्थिति $x_i$ से अंतिम स्थिति $x_f$ तक ऐसी सभी छायांकित आयताकार पट्टियों के क्षेत्रफलों का योग है,जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:
$W = \sum_{x_i}^{x_f} F(x) \Delta x$
यदि विस्थापन $\Delta x$ को शून्य के करीब आने दिया जाए,तो योग में पदों की संख्या बिना किसी सीमा के बढ़ती है,और योग वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर एक निश्चित मान तक पहुँच जाता है।
अतः,पूरे पथ पर किया गया कार्य है:
$W = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{x_i}^{x_f} F(x) \Delta x$
$W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$
इस प्रकार,एक परिवर्ती बल के लिए,किए गए कार्य को विस्थापन के सापेक्ष बल के निश्चित समाकल (definite integral) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(N/A) परिवर्ती बल वह बल है जिसका परिमाण या दिशा (या दोनों) समय या स्थिति के साथ बदलते रहते हैं। उदाहरण के लिए,स्प्रिंग बल $(F = -kx)$ या दो पिंडों के बीच की दूरी बदलने पर गुरुत्वाकर्षण बल।
एक विमीय गति में,यदि किसी वस्तु पर $F(x)$ बल कार्य कर रहा है,तो वस्तु के प्रारंभिक स्थान $x_i$ से अंतिम स्थान $x_f$ तक विस्थापित होने में किया गया कार्य $W$,बल का विस्थापन के सापेक्ष समाकलन (integral) करने पर प्राप्त होता है:
$W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) \, dx$

(B) जब कोई वस्तु $x_1$ से $x_2$ स्थिति तक गति करती है,तो परिवर्ती बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
ज्यामितीय रूप से,यह समाकलन $x_1$ और $x_2$ सीमाओं के बीच बल-स्थिति $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल को दर्शाता है।
अतः,बल-स्थिति ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।

(B) बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल बल द्वारा किए गए कार्य को दर्शाता है।
गणितीय रूप से,$W = \int F \, dx$,जो $F-x$ प्लॉट में वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

(N/A) कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ संरक्षित रहती है और इसे $E = K + V(x)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है और $V(x)$ स्थितिज ऊर्जा है। दिया गया है कि $E = E_0$,इसलिए $K = E_0 - V(x)$ होगा।
$1$. गतिज ऊर्जा $(K)$ बनाम $x$ ग्राफ:
- बिंदु $A$ और $F$ पर,$V(x) = E_0$,इसलिए $K = E_0 - E_0 = 0$ होगा।
- $C$ और $D$ के बीच,$V(x) = 0$,इसलिए $K = E_0$ (अधिकतम गतिज ऊर्जा) होगा।
- बिंदु $B$ पर,$V(x) > 0$,इसलिए $K = E_0 - V(x) < E_0$ होगा।
- $K$ बनाम $x$ का ग्राफ स्थितिज ऊर्जा ग्राफ का $E_0$ ऊपर की ओर स्थानांतरित प्रतिबिंब होगा।
$2$. वेग $(v)$ बनाम $x$ ग्राफ:
- चूंकि $K = \frac{1}{2} m v^2$,इसलिए $v = \pm \sqrt{\frac{2K}{m}}$ होगा।
- $A$ और $F$ पर,$K = 0$,इसलिए $v = 0$ होगा।
- $C$ और $D$ पर,$K$ अधिकतम है,इसलिए $v$ अधिकतम है $(v = \pm \sqrt{\frac{2E_0}{m}})$।
- वेग ग्राफ $v$ के लिए धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान दिखाएगा जो कण की विपरीत दिशाओं में गति के अनुरूप है।

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल या समाकलन $W = \int F(x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
पहले भाग के लिए $(0 \leq x \leq 15\, m)$,बल स्थिर $F = 200\, N$ है।
$W_1 = 200 \times 15 = 3000\, J$.
दूसरे भाग के लिए $(15 < x \leq 30\, m)$,बल $15\, m$ की दूरी में $200\, N$ से घटकर $100\, N$ हो जाता है।
बल का फलन $F(x) = 200 - \frac{200 - 100}{15}(x - 15) = 200 - \frac{100}{15}(x - 15) = 300 - \frac{100}{15}x$ है।
$W_2 = \int_{15}^{30} (300 - \frac{100}{15}x) dx = [300x - \frac{100}{30}x^2]_{15}^{30}$.
$W_2 = (300(30) - \frac{100}{30}(900)) - (300(15) - \frac{100}{30}(225)) = (9000 - 3000) - (4500 - 750) = 6000 - 3750 = 2250\, J$.
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = 3000 + 2250 = 5250\, J$ है।

(A) दिया गया बल $F = -\alpha x^{2}$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$ma = -\alpha x^{2}$,इसलिए $a = -\frac{\alpha}{m} x^{2}$।
हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v \frac{dv}{dx} = -\frac{\alpha}{m} x^{2}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$v dv = -\frac{\alpha}{m} x^{2} dx$।
दोनों पक्षों का $v = v_{0}$ से $v = 0$ और $x = 0$ से $x = x_{f}$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{v_{0}}^{0} v dv = -\frac{\alpha}{m} \int_{0}^{x_{f}} x^{2} dx$।
समाकलन का मान निकालने पर:
$\left[ \frac{v^{2}}{2} \right]_{v_{0}}^{0} = -\frac{\alpha}{m} \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{x_{f}}$।
$0 - \frac{v_{0}^{2}}{2} = -\frac{\alpha}{m} \frac{x_{f}^{3}}{3}$।
$\frac{v_{0}^{2}}{2} = \frac{\alpha x_{f}^{3}}{3m}$।
$x_{f}$ के लिए हल करने पर:
$x_{f}^{3} = \frac{3 m v_{0}^{2}}{2 \alpha}$।
$x_{f} = \left( \frac{3 m v_{0}^{2}}{2 \alpha} \right)^{\frac{1}{3}}$।

(D) $y$-अक्ष के अनुदिश कार्य करने वाले परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{y_1}^{y_2} F_y \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $F = (5y + 20) \hat{j} \, N$,अतः विस्थापन की दिशा में बल का घटक $F_y = (5y + 20) \, N$ है।
समाकलन की सीमाएँ $y_1 = 0 \, m$ से $y_2 = 10 \, m$ तक हैं।
$W = \int_{0}^{10} (5y + 20) \, dy$
$W = \left[ \frac{5y^2}{2} + 20y \right]_{0}^{10}$
$W = \left( \frac{5(10)^2}{2} + 20(10) \right) - (0 + 0)$
$W = \left( \frac{5 \times 100}{2} + 200 \right)$
$W = 250 + 200 = 450 \, J$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta KE)$ कण पर किए गए कार्य $(W)$ के बराबर होता है।
किया गया कार्य रेखा समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int (4x \hat{i} + 3y^2 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $W = \int_{1}^{2} 4x \, dx + \int_{2}^{3} 3y^2 \, dy$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$W = [2x^2]_{1}^{2} + [y^3]_{2}^{3}$.
$W = (2(2)^2 - 2(1)^2) + (3^3 - 2^3)$.
$W = (8 - 2) + (27 - 8)$.
$W = 6 + 19 = 25 \, J$.
अतः,गतिज ऊर्जा में $25 \, J$ का परिवर्तन होता है।

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य $F-x$ वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x$-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल धनात्मक होता है,और $x$-अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक होता है।
आइए प्रत्येक ग्राफ के लिए कुल क्षेत्रफल की गणना करें:
चित्र-$a$: क्षेत्रफल में $0$ से $x_{0}$ तक एक ऋणात्मक त्रिभुज और $x_{0}$ से $x_{1}$ तक एक धनात्मक त्रिभुज शामिल है। कुल क्षेत्रफल $W_{1}$ छोटा धनात्मक है।
चित्र-$b$: क्षेत्रफल में $0$ से $x_{0}$ तक एक ऋणात्मक त्रिभुज और $x_{0}$ से $x_{2}$ तक एक धनात्मक समलंब (trapezoid) शामिल है। कुल क्षेत्रफल $W_{2}$ काफी धनात्मक है।
चित्र-$c$: क्षेत्रफल में $0$ से $x_{0}$ तक एक ऋणात्मक त्रिभुज और $x_{0}$ से $x_{2}$ तक एक बड़ा धनात्मक समलंब शामिल है। कुल क्षेत्रफल $W_{3}$ सबसे बड़ा धनात्मक है।
चित्र-$d$: क्षेत्रफल में $0$ से $x_{0}$ तक एक धनात्मक त्रिभुज,$x_{0}$ से $x_{2}$ तक एक बड़ा ऋणात्मक समलंब,और $x_{2}$ से $x_{3}$ तक एक छोटा धनात्मक त्रिभुज शामिल है। कुल क्षेत्रफल $W_{4}$ ऋणात्मक है।
कुल क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,हमें $W_{3} > W_{2} > W_{1} > W_{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्रव्यमान $m = 2\,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 4\,ms^{-1}$ जब $x = 0.5\,m$ है।
मंदक बल $F = -kx = -12x$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{F}{m} = \frac{-12x}{2} = -6x$.
हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$,इसलिए $v \frac{dv}{dx} = -6x$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{4}^{v} v \, dv = \int_{0.5}^{1.5} -6x \, dx$.
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{4}^{v} = -6 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.5}^{1.5}$.
$\frac{v^2 - 16}{2} = -3 [ (1.5)^2 - (0.5)^2 ]$.
$\frac{v^2 - 16}{2} = -3 [ 2.25 - 0.25 ] = -3 [ 2 ] = -6$.
$v^2 - 16 = -12$.
$v^2 = 4$,जिससे $v = 2\,ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) कार्य-गतिज ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
किया गया कार्य बल-विस्थापन ग्राफ में $x=4 \,m$ से $x=8 \,m$ के बीच के क्षेत्रफल के बराबर होता है। ग्राफ से,$x=4 \,m$ पर $F=1.5 \,N$ और $x=8 \,m$ पर $F=3 \,N$ है।
यह क्षेत्रफल एक समलंब (trapezoid) है जिसकी ऊँचाई $h = (8-4) = 4 \,m$ है और समांतर भुजाएँ $F_1 = 1.5 \,N$ और $F_2 = 3 \,N$ हैं।
$W = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (F_1 + F_2) \times \Delta x = \frac{1}{2} \times (1.5 + 3) \times 4 = 2 \times 4.5 = 9 \,J$.
यहाँ $m = 0.5 \,kg$ और $v_i = 3.16 \,ms^{-1}$ दिया गया है।
$9 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (v_f^2 - (3.16)^2)$
$9 = 0.25 \times (v_f^2 - 9.9856)$
$36 = v_f^2 - 9.9856$
$v_f^2 = 45.9856$
$v_f \approx 6.78 \,ms^{-1} \approx 6.8 \,ms^{-1}$.

(A) $F-x$ ग्राफ एक सीधी रेखा है। रेखा का समीकरण $F = x \tan \alpha - F_0$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma = m v \frac{dv}{dx}$ है।
अतः,$m v \frac{dv}{dx} = x \tan \alpha - F_0$ है।
दोनों पक्षों का $x=0$ से $x=x_f$ तक समाकलन करने पर (जहाँ वेग $v$ शून्य से शून्य हो जाता है):
$\int_{0}^{0} m v \, dv = \int_{0}^{x_f} (x \tan \alpha - F_0) \, dx$ है।
बायां पक्ष $0$ है,इसलिए:
$0 = \left[ \frac{x^2}{2} \tan \alpha - F_0 x \right]_{0}^{x_f}$ है।
$0 = \frac{x_f^2}{2} \tan \alpha - F_0 x_f$ है।
चूंकि $x_f \neq 0$,हम $x_f$ से विभाजित करते हैं:
$0 = \frac{x_f}{2} \tan \alpha - F_0$ है।
$x_f = \frac{2 F_0}{\tan \alpha}$ है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बल द्वारा किया गया कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_F = \Delta K$
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है $(v_i = 0)$ और हमें वह स्थिति ज्ञात करनी है जहाँ उसकी गति फिर से शून्य हो जाती है $(v_f = 0)$,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 0 - 0 = 0$ है।
अतः,बल द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य होना चाहिए:
$W_F = \int F dx = 0$
किया गया कार्य $F-x$ वक्र के नीचे के कुल क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x=0$ से $x=3$ तक का क्षेत्रफल (धनात्मक क्षेत्रफल):
क्षेत्रफल$_1 = \frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 1 + \frac{1}{2} \times 20 \times 2 = 15 + 20 = 35 \text{ J}$.
$x=3$ से $x=6$ तक का क्षेत्रफल (ऋणात्मक क्षेत्रफल):
क्षेत्रफल$_2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (-20) = -30 \text{ J}$.
$x=6$ पर कुल क्षेत्रफल $35 - 30 = 5 \text{ J}$ है। विकल्पों को देखते हुए,$x=6$ सबसे उपयुक्त उत्तर है।

(D) एक चर बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य $W$,जब कण $x_1$ से $x_2$ तक गति करता है,समाकलन $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F(x) = 3x^2 + 2x - 10$,$x_1 = 0$ और $x_2 = 1 \, m$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x - 10) \, dx$
$W = [x^3 + x^2 - 10x]_{0}^{1}$
$W = (1^3 + 1^2 - 10(1)) - (0^3 + 0^2 - 10(0))$
$W = (1 + 1 - 10) - 0$
$W = -8 \, J$.

(A) जब कोई कण $x_1$ से $x_2$ तक गति करता है,तो परिवर्ती बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$ और $x_2 = 5$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$
$W = (35 - 25 + 125) - 0$
$W = 135 \ J$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $dW = F \cdot dx = dK$.
इसलिए,बल $F$ को गतिज ऊर्जा-स्थिति ग्राफ की ढाल द्वारा दर्शाया जाता है: $F = \frac{dK}{dx}$.
चूंकि $F = ma$,इसलिए त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{1}{m} \cdot \frac{dK}{dx}$.
इसका अर्थ है कि त्वरण $K-x$ ग्राफ की ढाल के सीधे समानुपाती होता है।
बिंदु $A$ पर,ढाल धनात्मक है,इसलिए बल धनात्मक है (त्वरित हो रहा है)।
बिंदु $B$ पर,ढाल शून्य है,इसलिए बल शून्य है।
बिंदु $C$ पर,ढाल शून्य है,इसलिए बल शून्य है।
बिंदु $D$ पर,ग्राफ की ढाल सबसे अधिक (अधिकतम) है,जिसका अर्थ है कि बल और परिणामस्वरूप त्वरण अपने अधिकतम मान पर हैं।
अतः,सही कथन यह है कि $D$ पर कण का त्वरण अधिकतम है।

(D) बल $F$ का क्षैतिज घटक वस्तु में त्वरण उत्पन्न करता है।
$F \cos \theta = ma$
चूंकि $a = v \frac{dv}{dx}$,इसलिए:
$F \cos \theta = m v \frac{dv}{dx}$
$2 \cos (kx) = m v \frac{dv}{dx}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $x$ तक और $v$ के सापेक्ष $0$ से $v$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^v m v \, dv = \int_0^x 2 \cos (kx) \, dx$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{2}{k} [\sin (kx)]_0^x$
चूंकि गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ और $\theta = kx$ है:
$K.E. = \frac{2}{k} \sin \theta$
इसे दिए गए व्यंजक $E = \frac{n}{k} \sin \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(B) परिवर्ती बल $F(y)$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{y_1}^{y_2} F(y) \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F(y) = 5 + 3y^2$,$y_1 = 2 \, m$,और $y_2 = 5 \, m$ दिया गया है।
$W = \int_{2}^{5} (5 + 3y^2) \, dy$
$W = [5y + y^3]_{2}^{5}$
$W = (5(5) + 5^3) - (5(2) + 2^3)$
$W = (25 + 125) - (10 + 8)$
$W = 150 - 18 = 132 \, J$.

(D) गतिज ऊर्जा में हानि,मंदक बल के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है।
मंदक बल $F = m \cdot a = m \cdot (2x)$ है।
मंदक बल के विरुद्ध किया गया कार्य $W = \int_{0}^{x} F \, dx = \int_{0}^{x} m(2x) \, dx = m \cdot x^2$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 10\,g = 10^{-2}\,kg$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा में हानि $= 10^{-2} \cdot x^2 = \frac{x^2}{100} = \left(\frac{10}{x}\right)^{-2}\,J$ है।
इसे दिए गए व्यंजक $\left(\frac{10}{x}\right)^{-n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
यहाँ $F(x) = 2 + 3x$,$x_1 = 0$,और $x_2 = 4$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{4} (2 + 3x) dx$.
व्यंजक का समाकलन करने पर: $W = [2x + \frac{3x^2}{2}]_{0}^{4}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $W = (2(4) + \frac{3(4)^2}{2}) - (2(0) + \frac{3(0)^2}{2})$.
$W = (8 + \frac{3 \times 16}{2}) - 0$.
$W = 8 + 3 \times 8 = 8 + 24 = 32 \, J$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
यहाँ $F = 5x$,$x_1 = 2\,m$,और $x_2 = 4\,m$ दिया गया है।
$W = \int_{2}^{4} 5x\,dx$.
$W = 5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4}$.
$W = \frac{5}{2} [4^2 - 2^2]$.
$W = \frac{5}{2} [16 - 4]$.
$W = \frac{5}{2} \times 12$.
$W = 5 \times 6 = 30\,J$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य समाकलन $W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = (3x^2 + 2x - 5) \text{ N}$,$x_1 = 2 \text{ m}$,और $x_2 = 4 \text{ m}$ दिया गया है।
$W = \int_{2}^{4} (3x^2 + 2x - 5) \, dx$
पदों का समाकलन करने पर: $W = [x^3 + x^2 - 5x]_{2}^{4}$
ऊपरी सीमा $(x = 4)$ पर मान रखने पर: $(4)^3 + (4)^2 - 5(4) = 64 + 16 - 20 = 60$
निचली सीमा $(x = 2)$ पर मान रखने पर: $(2)^3 + (2)^2 - 5(2) = 8 + 4 - 10 = 2$
मानों को घटाने पर: $W = 60 - 2 = 58 \text{ J}$.