Work Done by Variable Force and Force-Displacement Graph Questions in Hindi

(C) किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int (\alpha y dx + 2 \alpha x dy)$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है $\alpha = -1$,इसलिए $W = \int (-y dx - 2x dy)$।
$AB$ पथ पर: $y=1, dy=0, x: 0 \to 1$। $W_{AB} = \int_0^1 (-1) dx = -1 \ J$।
$BC$ पथ पर: $x=1, dx=0, y: 1 \to 0.5$। $W_{BC} = \int_1^{0.5} -2(1) dy = -2(0.5 - 1) = 1 \ J$।
$CD$ पथ पर: $y=0.5, dy=0, x: 1 \to 0.5$। $W_{CD} = \int_1^{0.5} -0.5 dx = -0.5(-0.5) = 0.25 \ J$।
$DE$ पथ पर: $x=0.5, dx=0, y: 0.5 \to 0$। $W_{DE} = \int_{0.5}^0 -2(0.5) dy = -1(-0.5) = 0.5 \ J$।
$EF$ पथ पर: $y=0, dy=0, x: 0.5 \to 0$। $W_{EF} = \int_{0.5}^0 0 dx = 0 \ J$।
$FA$ पथ पर: $x=0, dx=0, y: 0 \to 1$। $W_{FA} = \int_0^1 -2(0) dy = 0 \ J$।
कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DE} + W_{EF} + W_{FA} = -1 + 1 + 0.25 + 0.5 + 0 + 0 = 0.75 \ J$।

(D) दिया गया बल $\vec{F} = K \left[ \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{i} + \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{j} \right]$ है।
ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करते हुए,$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$,जहाँ $r^2 = x^2 + y^2$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर: $\vec{F} = K \left[ \frac{r \cos \theta}{r^3} \hat{i} + \frac{r \sin \theta}{r^3} \hat{j} \right] = \frac{K}{r^2} (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ इकाई त्रिज्यीय सदिश $\hat{r}$ है,अतः बल $\vec{F} = \frac{K}{r^2} \hat{r}$ है।
यह एक केंद्रीय बल है जो त्रिज्यीय दिशा में कार्य करता है।
मूल बिंदु पर केंद्रित $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए,विस्थापन सदिश $d\vec{l}$ हमेशा त्रिज्यीय सदिश $\hat{r}$ के लंबवत (वृत्त के स्पर्शरेखीय) होता है।
चूंकि बल पूरी तरह से त्रिज्यीय है और विस्थापन स्पर्शरेखीय है,इसलिए किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ होगा।

(D) बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य रेखा समाकल $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int (x^2 y \, dx + y^2 \, dy)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समाकल के अनुसार: $W = \int_0^4 x^2(10-x) \, dx + \int_0^2 y^2 \, dy$
$W = [\frac{10x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_0^4 + [\frac{y^3}{3}]_0^2$
$W = \frac{640}{3} - 64 + \frac{8}{3} = \frac{648}{3} - 64 = 216 - 64 = 152 \ J$.

(C) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य समाकलन $W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = \alpha + \beta x^2$ दिया गया है,इसलिए $x = 0$ से $x = 1 \ m$ के विस्थापन के लिए किया गया कार्य:
$W = \int_{0}^{1} (\alpha + \beta x^2) \, dx = 5 \ J$.
पद का समाकलन करने पर:
$W = [\alpha x + \frac{\beta x^3}{3}]_{0}^{1} = 5$.
सीमाओं को रखने पर:
$(\alpha(1) + \frac{\beta(1)^3}{3}) - (0) = 5$.
चूंकि $\alpha = 1 \ N$ दिया गया है:
$1 + \frac{\beta}{3} = 5$.
$\frac{\beta}{3} = 4$.
$\beta = 12 \ N/m^2$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,प्रारंभिक वेग $v_{i} = 10 \ m/s$,बल $F = -kx$,जहाँ $k = 10 \ N/m$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$a = \frac{F}{m} = -\frac{kx}{m} = -\frac{10x}{1} = -10x$।
हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$,इसलिए $v \frac{dv}{dx} = -10x$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{10}^{v} v \, dv = \int_{0.1}^{1.9} -10x \, dx$।
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{10}^{v} = -10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.1}^{1.9}$।
$\frac{v^2 - 100}{2} = -5 \left( 1.9^2 - 0.1^2 \right)$।
$\frac{v^2 - 100}{2} = -5 \left( 3.61 - 0.01 \right) = -5 \left( 3.60 \right) = -18$।
$v^2 - 100 = -36$।
$v^2 = 64$।
$v = 8 \ m/s$।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कुल बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $dW = F \cdot dx = dK$.
इसलिए,बल $F$ को $K-x$ ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा ज्ञात किया जाता है: $F = \frac{dK}{dx}$.
$x = 6 \ m$ और $x = 10 \ m$ के बीच के क्षेत्र के लिए,ग्राफ $(6, 20)$ और $(10, 0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
इस रेखा का ढाल $m = \frac{0 - 20}{10 - 6} = \frac{-20}{4} = -5 \ N$ है।
बल का परिमाण $|F| = |\frac{dK}{dx}| = |-5| = 5 \ N$ है।
अतः,$x = 9 \ m$ पर बल का परिमाण $5 \ N$ है।

(C) परिवर्ती बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F(x) = (5+3x) \text{ N}$,$x_i = 2 \text{ m}$,और $x_f = 6 \text{ m}$ दिया गया है।
$W = \int_{2}^{6} (5+3x) \, dx$.
व्यंजक का समाकलन करने पर: $W = [5x + \frac{3x^2}{2}]_{2}^{6}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $W = (5(6) + \frac{3(6)^2}{2}) - (5(2) + \frac{3(2)^2}{2})$.
$W = (30 + 54) - (10 + 6) = 84 - 16 = 68 \text{ J}$.

(C) $P-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल किए गए कार्य के बराबर होता है, जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta K)$ के बराबर है。
दिया गया द्रव्यमान $m = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg}$ है。
समलंब $OABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times (\text{ऊंचाई})$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (2 + 8) \times 5 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \text{ J}$ है。
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है, इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है। अतः, $t = 5 \text{ s}$ पर अंतिम गतिज ऊर्जा $K = 25 \text{ J}$ है。
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होती है, जहां $p$ संवेग है。
$25 = \frac{p^2}{2 \times 0.5}$
$25 = \frac{p^2}{1}$
$p^2 = 25$
$p = 5 \text{ kg m/s} = 5 \text{ N-s}$।

(NONE) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य $F-s$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$20 \, m$ की दूरी के लिए कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, हम $s = 0 \, m$ से $s = 20 \, m$ तक ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
यह क्षेत्रफल तीन भागों से बना है:
$1$. $s = 0$ से $s = 4 \, m$ तक एक त्रिभुज, जिसका आधार $4 \, m$ और ऊँचाई $10 \, N$ है: $\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \, J$.
$2$. $s = 4$ से $s = 15 \, m$ तक एक आयत, जिसकी चौड़ाई $11 \, m$ और ऊँचाई $10 \, N$ है: $\text{Area}_2 = 11 \times 10 = 110 \, J$.
$3$. $s = 15$ से $s = 20 \, m$ तक एक समलंब, जिसकी समांतर भुजाएँ $10 \, N$ और $20 \, N$ हैं और ऊँचाई $5 \, m$ है: $\text{Area}_3 = \frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 5 = \frac{1}{2} \times 30 \times 5 = 75 \, J$.
कुल कार्य $W = 20 + 110 + 75 = 205 \, J$.

(D) परिवर्ती बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \ dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F(x) = 6x^2 - 4x$,$x_1 = 2 \ m$,और $x_2 = 4 \ m$ दिया गया है।
$W = \int_{2}^{4} (6x^2 - 4x) \ dx$.
व्यंजक का समाकलन करने पर: $W = [\frac{6x^3}{3} - \frac{4x^2}{2}]_{2}^{4} = [2x^3 - 2x^2]_{2}^{4}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $W = (2(4)^3 - 2(4)^2) - (2(2)^3 - 2(2)^2)$.
$W = (2(64) - 2(16)) - (2(8) - 2(4))$.
$W = (128 - 32) - (16 - 8)$.
$W = 96 - 8 = 88 \ J$.

(D) परिवर्ती बल $F(x)$ द्वारा किया गया कार्य $W$,विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
यहाँ $F(x) = 3x^2 - 2x + 7$,$x_1 = 0 \text{ m}$ और $x_2 = 5 \text{ m}$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{5} (3x^2 - 2x + 7) \, dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$W = [x^3 - x^2 + 7x]_{0}^{5}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = (5^3 - 5^2 + 7(5)) - (0^3 - 0^2 + 7(0))$
$W = (125 - 25 + 35) - 0$
$W = 100 + 35 = 135 \text{ J}$.
अतः,किया गया कार्य $135 \text{ J}$ है।

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
दिया गया है $F(x) = (6x^2 - 4x + 3) \text{ N}$,$x_1 = 2 \text{ m}$,और $x_2 = 5 \text{ m}$।
$W = \int_{2}^{5} (6x^2 - 4x + 3) dx$
$W = [\frac{6x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 3x]_{2}^{5}$
$W = [2x^3 - 2x^2 + 3x]_{2}^{5}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = [2(5)^3 - 2(5)^2 + 3(5)] - [2(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2)]$
$W = [2(125) - 2(25) + 15] - [2(8) - 2(4) + 6]$
$W = [250 - 50 + 15] - [16 - 8 + 6]$
$W = 215 - 14 = 201 \text{ J}$.

(D) परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$, समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} F \cdot dx$ द्वारा दिया जाता है。
यहाँ $F = Kx^3$, $K = 2 \,N \cdot m^{-3}$ और विस्थापन $x = 0 \,m$ से $x = 2 \,m$ तक है。
$W = \int_{0}^{2} Kx^3 dx = K \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$.
मान रखने पर: $W = 2 \times \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right)$.
$W = 2 \times \left( \frac{16}{4} \right) = 2 \times 4 = 8 \,J$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \,kg$,त्वरण $a(x) = \beta x$,जहाँ $\beta = 5 \,s^{-2}$ है।
बल $F = m \cdot a = 1 \cdot (5x) = 5x \,N$.
किया गया कार्य $W = \int_{x_1}^{x_2} F dx$.
इकाइयों को मीटर में बदलने पर: $x_1 = 2 \,cm = 0.02 \,m$ और $x_2 = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
$W = \int_{0.02}^{0.05} 5x dx = 5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.02}^{0.05}$.
$W = \frac{5}{2} [ (0.05)^2 - (0.02)^2 ]$.
$W = 2.5 [ 25 \times 10^{-4} - 4 \times 10^{-4} ]$.
$W = 2.5 \times 21 \times 10^{-4} = 52.5 \times 10^{-4} \,J$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) \, dx$
दिया गया है $F(x) = 17 - 2x + 6x^2$,$x_i = 0 \text{ m}$,और $x_f = 8 \text{ m}$।
$W = \int_{0}^{8} (17 - 2x + 6x^2) \, dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$W = [17x - x^2 + 2x^3]_{0}^{8}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = [17(8) - (8)^2 + 2(8)^3] - [0]$
$W = [136 - 64 + 2(512)]$
$W = [72 + 1024]$
$W = 1096 \text{ J}$

(C) परिवर्ती बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{F} = -5x^4 \hat{i}$ और $d\vec{r} = dx \hat{i}$ दिया गया है,अतः किया गया कार्य:
$W = \int_{2}^{-2} (-5x^4) dx$
$W = -5 \int_{2}^{-2} x^4 dx$
$W = -5 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{2}^{-2}$
$W = -[x^5]_{2}^{-2}$
$W = -[(-2)^5 - (2)^5]$
$W = -[-32 - 32]$
$W = -[-64] = 64 \text{ J}$.

(A) दिया गया है, बल का परिमाण $|\vec{F}| = \frac{mg}{9}$ है।
बल क्षैतिज के साथ $\theta = Cx$ कोण बनाता है, जहाँ $C = 10^{\circ} \text{ m}^{-1}$ है।
बल का क्षैतिज घटक $F_x = F \cos(\theta) = F \cos(Cx)$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर: $W_{\text{net}} = \Delta K.E.$
$\int_0^x F \cos(Cx) dx = \frac{1}{2}mv^2$.
जब $\theta = 30^{\circ}$ होता है, तब $x = \frac{30^{\circ}}{10^{\circ} \text{ m}^{-1}} = 3 \text{ m}$.
मान रखने पर: $\int_0^3 \frac{mg}{9} \cos(Cx) dx = \frac{1}{2}mv^2$.
$\frac{g}{9} \left[ \frac{\sin(Cx)}{C} \right]_0^3 = \frac{1}{2}v^2$.
यदि हम दिए गए विकल्पों के अनुसार गणना करें: $\frac{10}{9 \times 10} \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} v^2$.
$\frac{1}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} v^2$.
$v^2 = \frac{1}{9} \implies v = \frac{1}{3} = 0.33 \text{ m s}^{-1}$.

(B) प्रतिरोध बल $F = -k v^{\frac{1}{3}}$ द्वारा दिया गया है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$m a = -k v^{\frac{1}{3}}$,इसलिए मंदन $a = -\frac{k}{m} v^{\frac{1}{3}}$ है।
चूंकि $a = v \frac{dv}{dx}$,हमारे पास $v \frac{dv}{dx} = -\frac{k}{m} v^{\frac{1}{3}}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v^{1 - \frac{1}{3}} dv = -\frac{k}{m} dx$ प्राप्त होता है,जो $v^{\frac{2}{3}} dv = -\frac{k}{m} dx$ में सरल हो जाता है।
प्रारंभिक वेग $v_0$ से अंतिम वेग $0$ तक $s$ दूरी के लिए दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{v_0}^{0} v^{\frac{2}{3}} dv = -\frac{k}{m} \int_{0}^{s} dx$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\left[ \frac{v^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} \right]_{v_0}^{0} = -\frac{k}{m} s$.
यह $-\frac{3}{5} v_0^{\frac{5}{3}} = -\frac{k}{m} s$ देता है।
इस प्रकार,$s = \frac{3m}{5k} v_0^{\frac{5}{3}}$,जिसका अर्थ है कि $s \propto v_0^{\frac{5}{3}}$।
इसे $s \propto v_0^\beta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\beta = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान $m = 1 \ kg$
प्रारंभिक वेग $u = 2 \ m \ s^{-1}$
मंदक बल $F = -0.5/x$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta KE = K_f - K_i$
चूंकि गोली रुक जाती है,$K_f = 0$,इसलिए $W = -K_i = -\frac{1}{2} m u^2$
$W = -\frac{1}{2} \times 1 \times (2)^2 = -2 \ J$
साथ ही,$W = \int_{x_1}^{x_2} F \ dx = \int_{10-L/2}^{10+L/2} -\frac{0.5}{x} \ dx$
$-0.5 [\ln(x)]_{10-L/2}^{10+L/2} = -2$
$\ln \left( \frac{10+L/2}{10-L/2} \right) = \frac{-2}{-0.5} = 4$
$\frac{10+L/2}{10-L/2} = e^4 = 55$
$10 + L/2 = 55(10 - L/2)$
$10 + L/2 = 550 - 27.5L$
$28L = 540$
$L = 540 / 28 \approx 19.28 \ m$
$1$ दशमलव अंक तक पूर्णांकित करने पर,$L = 19.3 \ m$.

(C) पिंड पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, $W = \Delta K = K_f - K_i$.
चूंकि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है, इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है।
किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समानांतर भुजाओं की लंबाई $3 \, m$ ($x=3$ से $x=6$ तक) और $9 \, m$ ($x=0$ से $x=9$ तक) है, और ऊंचाई $20 \, N$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times 20 = \frac{1}{2} \times 12 \times 20 = 120 \, J$.
अतः, किया गया कार्य $W = 120 \, J$.
कार्य को गतिज ऊर्जा के बराबर रखने पर: $120 = \frac{1}{2} m v^2$.
दिया गया है $m = 2.4 \, kg$, इसलिए $120 = \frac{1}{2} \times 2.4 \times v^2$.
$120 = 1.2 \times v^2$.
$v^2 = \frac{120}{1.2} = 100$.
$v = 10 \, m/s$.

(C) बल द्वारा ब्लॉक पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि ब्लॉक $x = 0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है,किसी भी स्थिति $x$ पर गतिज ऊर्जा $KE$,किए गए कार्य $W = \int_{0}^{x} F \, dx$ द्वारा दी जाती है।
$KE = \int_{0}^{x} (9 - x^2) \, dx = 9x - \frac{x^3}{3}$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम बल $F = 0$ रखते हैं ताकि वह संतुलन स्थिति मिल सके जहाँ त्वरण शून्य हो:
$9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \ m$.
$x = 3 \ m$ पर,गतिज ऊर्जा:
$KE_{max} = \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx = [9x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - 0 = 27 - 9 = 18 \ J$.

(A) एक परिवर्ती बल $F(y)$ द्वारा एक कण को $y_1$ से $y_2$ तक विस्थापित करने में किया गया कार्य $W$ समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int_{y_1}^{y_2} F(y) dy$.
यहाँ $F(y) = -\frac{K}{y^2}$,$y_1 = a$,और $y_2 = 2a$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $W = \int_{a}^{2a} (-\frac{K}{y^2}) dy$.
$W = -K \int_{a}^{2a} y^{-2} dy$.
$y^{-2}$ का समाकलन $-y^{-1} = -\frac{1}{y}$ होता है।
$W = -K [-\frac{1}{y}]_{a}^{2a}$.
$W = K [\frac{1}{y}]_{a}^{2a}$.
$W = K (\frac{1}{2a} - \frac{1}{a})$.
$W = K (\frac{1-2}{2a}) = K (-\frac{1}{2a}) = -\frac{K}{2a}$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3 \,kg$,विस्थापन $s = \frac{t^3}{3}$.
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3}) = t^2$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t$.
बल $F = ma = 3 \times 2t = 6t$.
किया गया कार्य $W = \int F \cdot ds = \int_0^2 F \cdot v dt = \int_0^2 (6t)(t^2) dt$.
$W = \int_0^2 6t^3 dt = 6 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^2$.
$W = 6 \times \frac{16}{4} = 6 \times 4 = 24 \,J$.

(D) परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W$,विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$W = \int_{x_1}^{x_2} F \cdot dx$
यहाँ $F = (g - x^2) \text{ N}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ दिया गया है,इसलिए बल $F = (10 - x^2) \text{ N}$ हो जाता है।
$x = 0$ से $x = 3$ तक समाकलन करने पर:
$W = \int_{0}^{3} (10 - x^2) dx$
$W = [10x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$
$W = (10(3) - \frac{3^3}{3}) - (10(0) - \frac{0^3}{3})$
$W = (30 - \frac{27}{3}) - 0$
$W = 30 - 9 = 21 \text{ J}$

(D) दिया गया है,द्रव्यमान $m = 10 \ kg$ और विस्थापन $x = \frac{t^3}{25} \ m$.
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{3t^2}{25} \ m/s$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{6t}{25} \ m/s^2$.
बल $F = m \cdot a = 10 \cdot \left(\frac{6t}{25}\right) = \frac{12t}{5} \ N$.
किया गया कार्य $dW = F \cdot dx = F \cdot \left(\frac{dx}{dt}\right) dt = \left(\frac{12t}{5}\right) \cdot \left(\frac{3t^2}{25}\right) dt = \frac{36t^3}{125} dt$.
पहले $2 \ s$ में किया गया कुल कार्य $W = \int_{0}^{2} \frac{36t^3}{125} dt = \frac{36}{125} \left[\frac{t^4}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{36}{125} \cdot \frac{16}{4} = \frac{36 \cdot 4}{125} = \frac{144}{125} = 1.152 \ J$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,नेट बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta E_k$।
अति सूक्ष्म विस्थापन $dx$ के लिए,किया गया कार्य $dW = F \cdot dx$ है।
इसलिए,$F = \frac{dE_k}{dx}$।
इसका अर्थ है कि कण पर कार्य करने वाला बल $E_k$ बनाम $X$ ग्राफ के ढाल (slope) के बराबर होता है।
हमें $X = 10 \ m$ पर बल ज्ञात करना है। यह बिंदु $X = 8 \ m$ और $X = 12 \ m$ के बीच के रेखाखंड पर स्थित है।
इस रेखाखंड के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(8, 40)$ और $(12, 20)$ हैं।
इस रेखा का ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{20 - 40}{12 - 8} = \frac{-20}{4} = -5 \ N$ है।
चूंकि $X = 8 \ m$ और $X = 12 \ m$ के बीच ढाल स्थिर है,इसलिए $X = 10 \ m$ पर बल $-5 \hat{i} \ N$ होगा।

(D) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य बल-विस्थापन $(F-x)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
पहले $1$ मीटर में किया गया कार्य ज्ञात करने के लिए, हम $x = 0$ और $x = 1$ के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालते हैं।
त्रिभुज का आधार $1 \,m$ है और ऊँचाई $5 \,N$ है।
$\text{किया गया कार्य} = \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
$\text{किया गया कार्य} = \frac{1}{2} \times 1 \,m \times 5 \,N = 2.5 \,J$.