Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Gujarati

(C) મશીન દ્વારા કરવામાં આવેલ ઉપયોગી કાર્ય (બ્લોક દ્વારા મેળવેલ સ્થિતિ ઉર્જા) એ કાર્યક્ષમતા અને ઇનપુટ ઉર્જાના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$U = \eta \times E_{\text{in}} = \frac{2}{3} \times 12 \text{ J} = 8 \text{ J}$.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = mgh$ હોવાથી,$8 = 2 \times 10 \times h$,જે પરથી $h = \frac{8}{20} = 0.4 \text{ m}$ મળે છે.
જ્યારે બ્લોક મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m/s}$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,આકૃતિમાં દર્શાવેલ બિંદુ $B$ પર:
સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ માં ઘટાડો = ગતિ ઉર્જા $(KE)$ માં વધારો
$mg(H - h) = \frac{1}{2} mv^2$
$v = \sqrt{2g(H - h)}$
બિંદુ $C$ છોડ્યા પછી,તકતી $h$ ઊંચાઈથી પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$h = \frac{1}{2} gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
બિંદુ $D$ થી તકતી દ્વારા કપાતું આડું અંતર $s$ છે:
$s = v \times t = \sqrt{2g(H - h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$s = \sqrt{4h(H - h)} = 2\sqrt{hH - h^2}$
મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{ds}{dh} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{hH - h^2}} \cdot (H - 2h) = 0$
$H - 2h = 0 \Rightarrow h = \frac{H}{2}$
$h = \frac{H}{2}$ ની કિંમત $s$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$s_{max} = \sqrt{4 \cdot \frac{H}{2} \cdot (H - \frac{H}{2})} = \sqrt{2H \cdot \frac{H}{2}} = \sqrt{H^2} = H$

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K$.
આપેલ છે કે,ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = -25 \ J$ (કારણ કે તેમાં ઘટાડો થાય છે).
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r} = (3 \hat{i} - 4 \hat{\jmath}) \ m$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $r = |\vec{r}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ m$ છે.
બળનું મૂલ્ય $F = 10 \ N$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{r} = F r \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $-25 = 10 \times 5 \times \cos \theta$.
$-25 = 50 \cos \theta$.
$\cos \theta = -25 / 50 = -1/2$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(-1/2) = 120^{\circ}$.

(B) આપેલ છે,પદાર્થનું દળ $= M$.
રેતીના ભોંયતળિયાથી ઊંચાઈ $= h$.
રેતીમાં કપાયેલું અંતર $= x$.
ધારો કે પદાર્થ સપાટી સાથે $v$ વેગથી અથડાય છે.
ગતિના સમીકરણ મુજબ,$v^2 = u^2 + 2gh$. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી,$v^2 = 2gh$ ... $(i)$.
જ્યારે પદાર્થ રેતીમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે $x$ અંતર કાપ્યા પછી તે સ્થિર થઈ જાય છે. ધારો કે $F$ એ સરેરાશ અવરોધક બળ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ચોખ્ખા બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
રેતીની અંદર પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($Mg$ નીચેની તરફ) અને અવરોધ ($F$ ઉપરની તરફ) છે.
ચોખ્ખું બળ $= Mg - F$.
થયેલ કાર્ય $= (Mg - F)x$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $= K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}Mv^2$.
બંનેને સરખાવતા: $(Mg - F)x = -\frac{1}{2}Mv^2$.
$v^2 = 2gh$ ની કિંમત મૂકતા: $(Mg - F)x = -\frac{1}{2}M(2gh) = -Mgh$.
$Mgx - Fx = -Mgh$.
$Fx = Mgx + Mgh$.
$F = Mg\left(\frac{x+h}{x}\right)$.

(B) મશીન દ્વારા ખર્ચવામાં આવેલી કુલ ઉર્જા $E = 100 \,J$ છે.
મશીન $70 \%$ કાર્યક્ષમ હોવાથી, પદાર્થને ઊંચકવા માટે કરવામાં આવેલું ઉપયોગી કાર્ય (જે ઊંચાઈ પર સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે) છે:
$E^{\prime} = 100 \,J$ ના $70 \% = \frac{70}{100} \times 100 = 70 \,J$.
જ્યારે પદાર્થને આ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે પદાર્થમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા નીચે પડતી વખતે ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
હવાના અવરોધને અવગણતા, જમીન પર પહોંચતી વખતે પદાર્થની ગતિઊર્જા મેળવેલી સ્થિતિઊર્જા જેટલી એટલે કે $70 \,J$ હશે.

(A) જમીન પર પદાર્થની પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા તેની ગતિઊર્જા છે:
$E_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \,kg \times (8 \,ms^{-1})^2 = 64 \,J$
મહત્તમ ઊંચાઈ પર પદાર્થની અંતિમ યાંત્રિક ઉર્જા તેની સ્થિતિઊર્જા છે:
$E_f = m g h = 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} \times 3 \,m = 60 \,J$
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,હવાના અવરોધ જેવા અસંરક્ષી બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ યાંત્રિક ઉર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું હોય છે:
$W_{\text{air}} = E_i - E_f = 64 \,J - 60 \,J = 4 \,J$
તેથી,હવાના અવરોધ દ્વારા થયેલું કાર્ય $4 \,J$ છે.

(A) $1$. ગતિપથના મહત્તમ બિંદુ પર,ગોળીનો શિરોલંબ વેગ $0$ હોય છે. સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u \cos \theta = 50 \cos \theta$ છે.
$2$. અથડામણ દરમિયાન વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_x = (m + 3m) V$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત દળનો વેગ છે. તેથી,$V = \frac{50 \cos \theta}{4} = 12.5 \cos \theta$.
$3$. અથડામણ પછી લોલક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} (4m) V^2 = (4m) g h$,જ્યાં $h$ એ પ્રાપ્ત કરેલી શિરોલંબ ઊંચાઈ છે. શિરોલંબ સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણા માટે,$h = L(1 - \cos 120^{\circ}) = L(1 - (-0.5)) = 1.5 L$.
$4$. $L = \frac{10}{3} \text{ m}$ મૂકતા,$h = 1.5 \times \frac{10}{3} = 5 \text{ m}$ મળે છે.
$5$. $\frac{1}{2} V^2 = g h$ નો ઉપયોગ કરતા,$V^2 = 2 \times 10 \times 5 = 100$,તેથી $V = 10 \text{ ms}^{-1}$.
$6$. $12.5 \cos \theta = 10$ ને સરખાવતા,$\cos \theta = \frac{10}{12.5} = 0.8$ મળે છે. આમ,$\theta = \cos^{-1}(0.8)$.

(A) પગલું $1$: કારનો અંતિમ વેગ $m/s$ માં ગણો. $v = 43.2 \ km/h = 43.2 \times (5/18) \ m/s = 12 \ m/s$.
પગલું $2$: કારની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર ગણો. $\Delta K = (1/2)mv^2 = 0.5 \times 1000 \ kg \times (12 \ m/s)^2 = 500 \times 144 = 72,000 \ J$.
પગલું $3$: $20 \%$ કાર્યક્ષમતાને ધ્યાનમાં લેતા પેટ્રોલમાંથી જરૂરી કુલ ઊર્જા ગણો. $\text{જરૂરી ઊર્જા} = \Delta K / \text{કાર્યક્ષમતા} = 72,000 \ J / 0.20 = 360,000 \ J$.
પગલું $4$: વપરાયેલ પેટ્રોલનું કદ ગણો. આપેલ છે કે $1 \ litre = 1000 \ cm^3$ (અથવા $cc$) $6 \times 10^7 \ J$ ઊર્જા આપે છે. તેથી,$1 \ cc$ ઊર્જા $(6 \times 10^7 \ J) / 1000 = 6 \times 10^4 \ J$ આપે છે.
પગલું $5$: પેટ્રોલનું કદ = $(\text{જરૂરી ઊર્જા}) / (\text{પ્રતિ } cc \text{ ઊર્જા}) = 360,000 \ J / (6 \times 10^4 \ J/cc) = 6 \ cc$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = 8 \ kg \ m/s$,બળ $F = 0.2 \ N$,સમય $t = 10 \ s$.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $F \cdot t = \Delta p = p_2 - p_1$.
$0.2 \times 10 = p_2 - 8$.
$2 = p_2 - 8 \Rightarrow p_2 = 10 \ kg \ m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \ J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \ J$.
ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \ J$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,અંતિમ વેગ $\vec{v} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \,m/s$,સમય $t = 2 \,s$.
અંતિમ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \,m/s$ છે.
રમકડા દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times 13 = 0.13 \,J$ છે.
રમકડાને આપવામાં આવેલ સરેરાશ પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta K}{t} = \frac{0.13 \,J}{2 \,s} = 0.065 \,W$ થાય.

(C) આપેલ છે:
કૂવાની ઊંડાઈ,$d = 30 \,m$
દર મિનિટે પાણીનું કદ,$V = 1800 \,L = 1800 \times 10^{-3} \,m^3 = 1.8 \,m^3$
દર મિનિટે પાણીનું દળ,$m = \rho \times V = 1000 \,kg/m^3 \times 1.8 \,m^3 = 1800 \,kg$
પાઇપનો આડછેદ,$A = 30 \,cm^2 = 30 \times 10^{-4} \,m^2$
સમય,$t = 60 \,s$
પાણીના પ્રવાહનો વેગ,$v = \frac{V}{A \times t} = \frac{1.8}{30 \times 10^{-4} \times 60} = \frac{1.8}{0.18} = 10 \,m/s$
એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$W = mgd + \frac{1}{2}mv^2$
$W = (1800 \times 10 \times 30) + (\frac{1}{2} \times 1800 \times 10^2)$
$W = 540000 + 90000 = 630000 \,J$
એન્જિનનો પાવર,$P = \frac{W}{t} = \frac{630000}{60} = 10500 \,W$
$P = 10.5 \,kW$

(D) આપેલ છે: પાવર $P = 7 \,W$, દળ $m = 15 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $v_i = 3 \,ms^{-1}$, અને અંતિમ વેગ $v_f = 5 \,ms^{-1}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, થયેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 15 \times (5^2 - 3^2) = \frac{1}{2} \times 15 \times (25 - 9) = \frac{1}{2} \times 15 \times 16 = 120 \,J$.
પાવર અચળ હોવાથી, $P = \frac{W}{t}$, તેથી લાગતો સમય $t = \frac{W}{P} = \frac{120}{7} \,s$.
ગતિના સમીકરણ $v_f = v_i + at$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રવેગ $a$ શોધીએ:
$a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{5 - 3}{120/7} = \frac{2 \times 7}{120} = \frac{14}{120} = \frac{7}{60} \,ms^{-2}$.
હવે, ગતિના સમીકરણ $v_f^2 - v_i^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરીને, અંતર $s$:
$s = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a} = \frac{25 - 9}{2 \times (7/60)} = \frac{16 \times 60}{14} = \frac{8 \times 60}{7} = \frac{480}{7} \approx 68.57 \,m$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકના પૂર્ણાંક મુજબ, અંતર $70 \,m$ છે.

(A) $\text{કોઈ પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલો હોય છે,જે ચોખ્ખા બળ અને વેગના ડોટ પ્રોડક્ટ } P = \vec{F}_{net} \cdot \vec{v} \text{ જેટલો છે.}
\text{તણાવ બળ હંમેશા લોલકના વેગને લંબ હોવાથી,તે કોઈ કાર્ય કરતું નથી અને શૂન્ય પાવર આપે છે.}
\text{માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કાર્ય કરે છે. વેગની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક } mg \sin \theta \text{ છે.}
\text{તેથી,} P = (mg \sin \theta) v.
\text{ઊર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા,} \theta_0 = 60^{\circ} \text{ થી મુક્ત કરવામાં આવે ત્યારે } \theta \text{ ખૂણે વેગ } v = \sqrt{2gl(\cos \theta - \cos \theta_0)} \text{ મળે છે.}
\text{અહીં } l = 1 \,m, m = 10^{-3} \,kg, g = 10 \,ms^{-2}, \theta = 30^{\circ}, \text{અને } \theta_0 = 60^{\circ} \text{ છે.}
v = \sqrt{2 \times 10 \times 1 \times (\cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ})} = \sqrt{20 \times (0.866 - 0.5)} = \sqrt{7.32} \approx 2.705 \,ms^{-1}.
\text{હવે,} P = mg \sin 30^{\circ} \times v = 10^{-3} \times 10 \times 0.5 \times 2.705 = 0.013525 \,W = 13.525 \,mW.
\text{આમ,સાચો જવાબ } 13.5 \,mW \text{ છે।}$

(B) આપેલ છે:
પદાર્થનું દળ, $m = 2 \,kg$
પ્રવેગ, $\vec{a} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) \,ms^{-2}$
સ્થાનાંતર, $\vec{s} = (3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) \,m$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પદાર્થ પર લાગતું બળ:
$\vec{F} = m \vec{a} = 2(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) = (4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) \,N$
કાર્ય $(W)$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s}$
$W = (4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$
$W = (4 \times 3) + (6 \times -1) + (-2 \times 2)$
$W = 12 - 6 - 4$
$W = 2 \,J$

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
પદાર્થનું કોઈપણ ક્ષણે સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = F s \cos \theta$ છે.
$\theta = 90^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $W = F s \cos 90^{\circ} = F s (0) = 0$ મળે છે.
આમ,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી.

(D) પુનઃપ્રાપ્તિનો સહગુણક $e$ એ અલગીકરણના સાપેક્ષ વેગ અને અભિગમના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$e = \frac{v_{sep}}{v_{app}}$
પ્રથમ અથડામણ માટે,આપણને આપેલ છે કે અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ એ અલગીકરણના સાપેક્ષ વેગ કરતા બમણો છે:
$v_{app,1} = 2 v_{sep,1} \implies e_1 = \frac{v_{sep,1}}{v_{app,1}} = \frac{1}{2}$
આપણને પુનઃપ્રાપ્તિના સહગુણકોનો ગુણોત્તર $e_1 : e_2 = 3 : 1$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $e_2 = \frac{e_1}{3}$.
$e_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$e_2 = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
કારણ કે $e_2 = \frac{v_{sep,2}}{v_{app,2}} = \frac{1}{6}$,તેથી બીજી અથડામણમાં અભિગમના સાપેક્ષ વેગ અને અલગીકરણના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{app,2}}{v_{sep,2}} = \frac{1}{e_2} = \frac{6}{1}$

(A) આપેલ પરિસ્થિતિમાં અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે ગોળી તેમાંથી પસાર થયા પછી તરત જ રેતીની થેલીનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$p_i = p_f$
$m_1 v_0 = m_2 v_2 + m_1 \left(\frac{v_0}{3}\right)$
$m_2 v_2 = m_1 v_0 - \frac{m_1 v_0}{3} = \frac{2 m_1 v_0}{3}$
$v_2 = \frac{2 m_1 v_0}{3 m_2}$
હવે,રેતીની થેલી $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે. યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નીચેના ભાગે થેલીની ગતિ ઉર્જા મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$KE = PE$
$\frac{1}{2} m_2 v_2^2 = m_2 g h$
$h = \frac{v_2^2}{2 g}$
$v_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = \frac{1}{2 g} \left(\frac{2 m_1 v_0}{3 m_2}\right)^2$

(D) ધારો કે $m = 25 \,g = 0.025 \,kg$ એ ગોળીનું દળ છે અને $u = 250 \,m/s$ એ તેનો પ્રારંભિક વેગ છે।
ધારો કે $M = 1 \,kg$ એ લાકડાના બ્લોકનું દળ છે।
ધારો કે $v_1$ એ ગોળીનો અંતિમ વેગ છે અને $v_2$ એ ગોળી બહાર નીકળ્યા પછી તરત જ બ્લોકનો વેગ છે।
સૌ પ્રથમ, આપણે બ્લોક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કારણ કે તે $h = 20 \,cm = 0.2 \,m$ ની ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે:
$\frac{1}{2} M v_2^2 = M g h$
$v_2 = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \,m/s$
ત્યારબાદ, અથડામણ દરમિયાન સિસ્ટમ (ગોળી + બ્લોક) માટે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$m u = m v_1 + M v_2$
$0.025 \times 250 = 0.025 \times v_1 + 1 \times 2$
$6.25 = 0.025 v_1 + 2$
$0.025 v_1 = 4.25$
$v_1 = \frac{4.25}{0.025} = 170 \,m/s$
આમ, બ્લોકમાંથી બહાર નીકળતી વખતે ગોળીની ઝડપ $170 \,m/s$ છે।

(B) પગલું $1$: હથોડા અને ખીલી વચ્ચેની અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરો.
$M \times 20 + m \times 0 = (M + m) \times v'$
$v' = \frac{20M}{M+m}$
પગલું $2$: દીવાલના સરેરાશ અવરોધક બળ $F$ ને શોધવા માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો.
અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ તંત્ર $(M+m)$ ની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$F \times d = \frac{1}{2} (M+m) (v')^2$
અહીં,$d = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$.
પગલું $3$: સમીકરણમાં કિંમતો મૂકો.
$F = \frac{(M+m) \times (v')^2}{2d}$
$F = \frac{(M+m)}{2 \times 10^{-2}} \times \left( \frac{20M}{M+m} \right)^2$
$F = \frac{(M+m)}{2 \times 10^{-2}} \times \frac{400M^2}{(M+m)^2}$
$F = \frac{200M^2}{(M+m) \times 10^{-2}} = \frac{2M^2}{M+m} \times 10^4$
આમ,સરેરાશ અવરોધ $\frac{2M^2}{M+m} \times 10^4$ છે.

(B) ધારો કે $M = 2.9 \ kg$ અને $m = 0.1 \ kg$. અથડામણ પછી સંયુક્ત દળનો પ્રારંભિક વેગ $V$ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
$M(0) + m(150) = (M + m)V$
$0.1 \times 150 = (2.9 + 0.1)V$
$15 = 3V \Rightarrow V = 5 \ m/s$.
હવે,ધારો કે $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે સંયુક્ત દળનો વેગ $v$ છે. યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણ મુજબ:
$\frac{1}{2}(M+m)V^2 = \frac{1}{2}(M+m)v^2 + (M+m)gL(1 - \cos \theta)$
$\frac{1}{2}(5)^2 = \frac{1}{2}v^2 + 10 \times 0.5 \times (1 - \cos 60^{\circ})$
$12.5 = 0.5v^2 + 5 \times (1 - 0.5) = 0.5v^2 + 2.5$
$0.5v^2 = 10 \Rightarrow v^2 = 20 \ m^2/s^2$.
ખૂણા $\theta$ પર દોરીમાં તણાવ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T - (M+m)g \cos \theta = \frac{(M+m)v^2}{L}$
$T = (M+m) \left( g \cos \theta + \frac{v^2}{L} \right)$
$T = 3 \left( 10 \times \cos 60^{\circ} + \frac{20}{0.5} \right)$
$T = 3 \left( 10 \times 0.5 + 40 \right) = 3 \times 45 = 135 \ N$.

(C) ધારો કે ગોળીનું દળ $m_1 = 0.02 \ kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 250 \ ms^{-1}$ છે.
બ્લોકનું દળ $m_2 = 0.23 \ kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \ ms^{-1}$ છે.
અથડામણ પછી,ગોળી અને બ્લોક સામાન્ય વેગ $v$ સાથે એકસાથે ગતિ કરે છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
$0.02 \times 250 + 0.23 \times 0 = (0.02 + 0.23) v$
$5 = 0.25 v$
$v = \frac{5}{0.25} = 20 \ ms^{-1}$
હવે,સંયુક્ત દળ $M = m_1 + m_2 = 0.25 \ kg$ ખરબચડી સપાટી પર ગતિ કરે છે અને $d = 40 \ m$ અંતર કાપ્યા પછી સ્થિર થાય છે. ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot d = 0 - \frac{1}{2} M v^2$
$\mu M g d = \frac{1}{2} M v^2$
$\mu = \frac{v^2}{2 g d}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{(20)^2}{2 \times 9.8 \times 40} = \frac{400}{784} \approx 0.51$

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઢાળની ટોચ પર રહેલી વસ્તુની સ્થિતિ ઉર્જા ઢાળના તળિયે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિ ઉર્જા = $mgh$.
જ્યારે વસ્તુ સપાટ ટ્રેક પર ગતિ કરે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય વસ્તુને $d$ અંતરે અટકાવે છે.
ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = f \times d = \mu mgd$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જાને ઘર્ષણ દ્વારા થયેલા કાર્ય સાથે સરખાવતા:
$mgh = \mu mgd$
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$d = \frac{h}{\mu}$

(A) $1$. જ્યારે બ્લોક $C$ બ્લોક $A$ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે $A$ સાથે ચોંટી જાય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત તંત્ર $(A+C)$ નો વેગ $v' = \frac{mv}{m+m} = \frac{v}{2}$ થાય છે.
$2$. હવે તંત્રમાં $2m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે,જે બ્લોક $B$ (દળ $m$) સાથે જોડાયેલ છે.
$3$. મહત્તમ સંકોચન $x$ ત્યારે થાય છે જ્યારે બંને દળ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય. રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m_1 = 2m$ અને $m_2 = m$,આપણને $\mu = \frac{2m}{3}$ મળે છે.
$4$. સેન્ટર ઓફ માસ ફ્રેમમાં ગતિઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $\frac{1}{2} \mu v_{rel}^2 = \frac{1}{2} k x^2$.
$5$. અહીં $v_{rel} = \frac{v}{2}$ છે. તેથી,$\frac{1}{2} (\frac{2m}{3}) (\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2} k x^2$.
$6$. $x$ માટે ઉકેલતા: $x^2 = \frac{mv^2}{6k}$. તેથી,$x \propto v \sqrt{\frac{m}{k}}$.
$7$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$x \propto v \sqrt{\frac{m}{2k}}$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્રેકિંગ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K$.
અંતિમ વેગ $0$ હોવાથી,બ્રેકિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $F \cdot S = \frac{1}{2} m v^2$ થાય.
આમ,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $S = \frac{m v^2}{2 F}$ મળે.
અહીં $v$ અને $F$ અચળ હોવાથી,$S \propto m$ થાય.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કુલ દળ $m_1 = 80 \ kg + 100 \ kg = 180 \ kg$ છે. તેથી,$S_1 = \frac{180 v^2}{2 F}$.
બીજા કિસ્સામાં,કુલ દળ $m_2 = 80 \ kg + 100 \ kg + 60 \ kg = 240 \ kg$ છે. તેથી,$S_2 = \frac{240 v^2}{2 F}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{180}{240} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$4 S_1 = 3 S_2$.

(A) આપેલ મૂલ્યો: $m = 0.2 \ kg$,$h = 2 \ m$,$x = 0.1 \ m$,$k = 50 \ N \ m^{-1}$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા બ્લોકની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v = x \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.1 \times \sqrt{\frac{50}{0.2}} = 0.1 \times \sqrt{250} = 0.1 \times 15.81 = 1.581 \ m \ s^{-1}$.
હવે,સ્લેબ છોડ્યા પછી બ્લોક પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. જમીન પર અથડાવા માટે લાગતો સમય ઊભી ઊંચાઈ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 0.4 \Rightarrow t = \sqrt{0.4} \approx 0.632 \ s$.
કાપેલું આડું અંતર:
$s = v \times t = 1.581 \times 0.632 \approx 0.999 \ m \approx 1.0 \ m$ (અથવા આપેલા વિકલ્પો મુજબ $0.99 \ m$).

(B) આપેલ છે: દળ $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$, ઊંચાઈ $h = 3.2 \ m$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ ms^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 6 \ ms^{-1}$, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$.
$h$ ઊંચાઈએ પદાર્થની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $PE_i = mgh = 0.5 \times 10 \times 3.2 = 16 \ J$ છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $KE_i = \frac{1}{2}mu^2 = 0 \ J$ છે.
કુલ પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા $E_i = PE_i + KE_i = 16 \ J$.
જમીન પર અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $PE_f = 0 \ J$ છે.
અંતિમ ગતિ ઉર્જા $KE_f = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (6)^2 = 0.25 \times 36 = 9 \ J$ છે.
કુલ અંતિમ યાંત્રિક ઉર્જા $E_f = PE_f + KE_f = 9 \ J$.
હવાના અવરોધને કારણે ગુમાવેલી ઉર્જા એ પ્રારંભિક અને અંતિમ યાંત્રિક ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$Loss = E_i - E_f = 16 \ J - 9 \ J = 7 \ J$.

(A) પદાર્થને આપવામાં આવતો પાવર $P = \frac{dK}{dt} = 3t^2 + 3$ છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે $0$ થી $3 \ s$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{K} dK = \int_{0}^{3} (3t^2 + 3) dt$
$K = [t^3 + 3t]_{0}^{3} = (3^3 + 3(3)) - 0 = 27 + 9 = 36 \ J$.
શરૂઆતનો વેગ શૂન્ય હોવાથી,શરૂઆતની ગતિઊર્જા શૂન્ય છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$36 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2$
$36 = 0.25 \times v^2$
$v^2 = \frac{36}{0.25} = 144$
$v = \sqrt{144} = 12 \ ms^{-1}$.

(D) ધારો કે પદાર્થ સ્થિર થાય તે પહેલાં '$s$' અંતર સુધી ઉપર તરફ સરકે છે.
પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ $h = s \sin \theta$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{friction} + W_{gravity} = K_f - K_i$
$-\mu mg \cos \theta \cdot s - mg \sin \theta \cdot s = 0 - E$
$\mu mgs \cos \theta + mgs \sin \theta = E$
$s(mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)) = E$
$s = \frac{E}{mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)}$
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_{against\ friction} = |W_{friction}| = \mu mg \cos \theta \cdot s$ છે.
'$s$' ની કિંમત મૂકતા:
$W_{against\ friction} = \mu mg \cos \theta \cdot \left( \frac{E}{mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)} \right)$
$W_{against\ friction} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$

(C) વિધાન $(I)$ નું વિશ્લેષણ: ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$. $K-x$ વક્રનો ઢાળ $\frac{dK}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}mv^2) = mv \frac{dv}{dx} = m \cdot a$. $m$ અચળ હોવાથી,ઢાળ પ્રવેગ $a$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$ નું વિશ્લેષણ: પ્રારંભિક વેગ $u = 30 \ m/s$,ઊંચાઈ $h = 15 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$. જમીન સાથે અથડાતા પહેલાનો વેગ $v^2 = u^2 + 2gh = 30^2 + 2(10)(15) = 900 + 300 = 1200 \ (m/s)^2$. અથડામણ પહેલાની ગતિઊર્જા $E_i = \frac{1}{2}m(1200)$. અથડામણ પછી,તે $15 \ m$ સુધી ઉપર જાય છે,તેથી અથડામણ પછીનો વેગ $v' = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(10)(15)} = \sqrt{300} \ m/s$. અથડામણ પછીની ગતિઊર્જા $E_f = \frac{1}{2}m(300)$. ઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta E = E_i - E_f = \frac{1}{2}m(1200 - 300) = \frac{1}{2}m(900)$. ટકાવારી ઘટાડો $= (\frac{\Delta E}{E_i}) \times 100 = (\frac{900}{1200}) \times 100 = 75 \%$. તેથી,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
વિધાન $(III)$ નું વિશ્લેષણ: $v^2 = u^2 + 2as$ પરથી,જ્યાં $u=0$ અને $a = F/m$,આપણને $v^2 = 2(F/m)s$ મળે છે. તેથી $v = \sqrt{2Fs/m}$. વેગ એ $\sqrt{m}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,$m$ ના સમપ્રમાણમાં નથી. તેથી,વિધાન $(III)$ ખોટું છે.

(A) પ્રથમ, હોડીનો પ્રવેગ શોધો: $a = \frac{v-u}{t} = \frac{20-0}{5} = 4 \,m/s^2$.
ત્યારબાદ, હોડી દ્વારા કાપેલું અંતર શોધો: $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50 \,m$.
સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર $P_{av} = \frac{W}{t} = \frac{F_{boat} \times S}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $45000 = \frac{F_{boat} \times 50}{5} = F_{boat} \times 10$.
આમ, હોડીના એન્જિન દ્વારા લાગતું બળ $F_{boat} = 4500 \,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_{boat} - F_{drag} = ma$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $4500 - F_{drag} = 1000 \times 4 = 4000 \,N$.
તેથી, ડ્રેગ ફોર્સ $F_{drag} = 4500 - 4000 = 500 \,N$ મળે.

(B) આપેલ છે: બળ $F = 5 N$,દળ $m = 500 g = 0.5 kg$,સ્થાનાંતર $s = 5 m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = F/m = 5 / 0.5 = 10 m/s^2$ મળે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + (1/2)at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$5 = 0 + (1/2) \times 10 \times t^2$.
$5 = 5t^2 \Rightarrow t^2 = 1 \Rightarrow t = 1 s$.
થયેલું કાર્ય $W = F \times s = 5 N \times 5 m = 25 J$ છે.
સરેરાશ પાવર $P_{avg} = W / t = 25 J / 1 s = 25 W$ થાય.

(C) $1$. સૌ પ્રથમ, યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઢાળના તળિયે તકતીનો વેગ $v$ શોધીએ:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh}$
અહીં $h = 10 \,cm = 0.1 \,m$ અને $g = 10 \,m/s^2$ આપેલ છે, તેથી $v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.1} = \sqrt{2} \,m/s$.
$2$. જ્યારે તકતી પાટિયા પર આવે છે, ત્યારે તેઓ સામાન્ય વેગ $v'$ સાથે ગતિ કરે છે। વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = (m + M)v' \implies v' = \frac{mv}{m+M}$
$3$. ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_f)$ એ તંત્રની ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_f = K_{final} - K_{initial} = \frac{1}{2}(m+M)v'^2 - \frac{1}{2}mv^2$
$v' = \frac{mv}{m+M}$ મૂકતા:
$W_f = -\frac{1}{2}mv^2 \left(\frac{M}{m+M}\right)$
$4$. ઘર્ષણ દ્વારા થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય:
$|W_f| = mgh \left(\frac{M}{m+M}\right)$
કિંમતો મૂકતા $m = 10^{-3} \,kg$, $M = 100 \times 10^{-3} \,kg$, $g = 10 \,m/s^2$, $h = 0.1 \,m$:
$|W_f| = (10^{-3}) \times 10 \times 0.1 \times \left(\frac{100}{101}\right) \approx 0.001 \,J$.
નોંધ: જો ઊંચાઈ $10 \,m$ લેવામાં આવે, તો જવાબ $0.1 \,J$ મળે છે।

(A)
આપેલ છે: દળ $m = 2 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (20 \hat{i} + 24 \hat{j}) \,m/s$.
$t$ સમયે વેગનો શિરોલંબ ઘટક:
$v_y = u_y - gt$
$t = 8 \,s$ સમયે,
$v_y = 24 - (10 \times 8) = 24 - 80 = -56 \,m/s$
સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે:
$v_x = 20 \,m/s$
અતએ, અંતિમ વેગ:
$\vec{v} = (20 \hat{i} - 56 \hat{j}) \,m/s$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta PE$ એ ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta KE$ ના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોય છે:
$\Delta PE = -\Delta KE = KE_i - KE_f$
$\Delta PE = \frac{1}{2} m (u^2 - v^2)
= \frac{1}{2} \times 2 \times [(20^2 + 24^2) - (20^2 + (-56)^2)]$
$\Delta PE = (400 + 576) - (400 + 3136)
= 976 - 3536 = -2560 \,J$
કિલોજૂલમાં ફેરવતા:
$\Delta PE = -2.56 \,kJ$

(D) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અથડામણ પહેલાંનું કુલ વેગમાન $=$ અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન.
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
અહીં, બોક્સનું દળ $m_1 = m_2 = 3 \,kg$, ગતિ કરતા બોક્સની ઝડપ $u_1 = 4 \,m/s$ અને બીજા બોક્સની પ્રારંભિક ઝડપ $u_2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3 \times 4 + 3 \times 0 = (3 + 3) v$
$12 = 6v \Rightarrow v = 2 \,m/s$
આમ, બંને પદાર્થો અથડામણ પછી $2 \,m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
હવે, ટેબલની ધારથી જમીન સુધી ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$Total Energy_{initial} = Total Energy_{final}$
$KE_{initial} + PE_{initial} = KE_{final} + PE_{final}$
જમીનને સંદર્ભ સપાટી $(h=0)$ લેતા:
$\frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + (m_1 + m_2) g h = KE_{final} + 0$
$\frac{1}{2} \times (3 + 3) \times (2)^2 + (3 + 3) \times 10 \times 1 = KE_{final}$
$\frac{1}{2} \times 6 \times 4 + 6 \times 10 = KE_{final}$
$12 + 60 = 72 \,J$
તેથી, બોક્સ જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં તેમની ગતિઊર્જા $72 \,J$ હશે.

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે દડો ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરતો નથી. જ્યારે દડો ઉછળે છે,ત્યારે તેની યાંત્રિક ઉર્જા જમીન સાથેના ઘર્ષણ અને હવાના અવરોધને કારણે ગરમી અને ધ્વનિ ઉર્જા તરીકે વ્યય પામે છે.
કારણ $(R)$ સાચું છે કારણ કે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે. સિસ્ટમની (દડો + આસપાસનું વાતાવરણ) કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) ધારો કે દડાનું દળ $m$ છે. જ્યારે દડો $h = 10 ~m$ ની ઊંચાઈ પર હોય ત્યારે તેનો વેગ $v_0$ છે.
જમીન સાથે અથડાતા પહેલા,ધારો કે તેનો વેગ $v$ છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાની ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2 + mgh$ છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $10 ~m$ ની ઊંચાઈએ વેગ $v_0$ છે. ધારો કે કુલ ઊંચાઈ $H$ છે જ્યાંથી તે પડ્યો હતો. તેથી $\frac{1}{2} m v^2 = mgH$.
અથડામણ પછી,તે તેની ગતિઊર્જાના $50 \%$ ગુમાવે છે. બાકી રહેલી ગતિઊર્જા $K_f = 0.5 \times K_i = 0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2)$ છે.
આ ઊર્જા તેને $h = 10 ~m$ ની ઊંચાઈ સુધી પાછા ઉપર જવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. તેથી,$0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2) = mgh$.
$h = 10 ~m$ અને $g = 9.8 ~m/s^2$ મૂકતા:
$0.25 v^2 = 9.8 \times 10 = 98$.
$v^2 = 392$.
હવે,$10 ~m$ ની ઊંચાઈથી જમીન સુધીની ગતિને ધ્યાનમાં લેતા: $v^2 = v_0^2 + 2gh$.
$392 = v_0^2 + 2 \times 9.8 \times 10$.
$392 = v_0^2 + 196$.
$v_0^2 = 196$.
$v_0 = 14 ~m/s$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 4 \,kg$,પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = 8 \,kg \,m/s$,બળ $F = 0.2 \,N$,સમય $t = 10 \,s$.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = F \times t$ છે.
$\Delta p = 0.2 \,N \times 10 \,s = 2 \,kg \,m/s$.
અંતિમ વેગમાન $p_2 = p_1 + \Delta p = 8 + 2 = 10 \,kg \,m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \,J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \,J$.
ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \,J$.

(A) આપેલ છે,લગાડેલું બળ,$F=10 \,N$.
બ્લોકનું દળ,$m=2 \,kg$.
ગતિજ ઘર્ષણાંક,$\mu=0.2$.
લંબબળ,$N=mg=2 \times 10=20 \,N$.
ઘર્ષણ બળ,$f=\mu N=0.2 \times 20=4 \,N$.
પરિણામી બળ,$F_{\text{net}}=F-f=10-4=6 \,N$.
પ્રવેગ,$a=\frac{F_{\text{net}}}{m}=\frac{6}{2}=3 \,m/s^2$.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u=0)$ $t=4 \,s$ માં કાપેલું અંતર:
$s=ut+\frac{1}{2}at^2=0+\frac{1}{2} \times 3 \times (4)^2=24 \,m$.
$10 \,N$ ના લગાડેલા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_1)$:
$W_1=F \times s=10 \times 24=240 \,J$.
$4 \,N$ ના ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_2)$:
$W_2=f \times s \times \cos(180^{\circ})=-4 \times 24=-96 \,J$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, તમામ બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે।
$W_{gravity} + W_{air} = \Delta K$
$mgh + W_{air} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
આપેલ છે: $m = 10 \,g = 0.01 \,kg$, $h = 50 \,m$, $v_i = 1000 \,ms^{-1}$, $v_f = 500 \,ms^{-1}$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
$W_{gravity} = mgh = 0.01 \times 10 \times 50 = 5 \,J$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (500^2 - 1000^2) = 0.005 \times (250000 - 1000000) = 0.005 \times (-750000) = -3750 \,J$.
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં મૂકતા:
$5 + W_{air} = -3750$
$W_{air} = -3750 - 5 = -3755 \,J$.
હવાના અવરોધ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય એ હવાના અવરોધ દ્વારા થયેલા કાર્યનું ઋણ મૂલ્ય છે.
હવાના અવરોધ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $= -(-3755 \,J) = 3755 \,J$.

(C) ધારો કે $S_2$ નો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_2 = v \hat{i}$ છે અને $S_1$ નો વેગ $\vec{u}_1 = 0$ છે. અથડામણ પછી,$S_2$ વેગ $\vec{v}_2 = \frac{v}{2} \hat{j}$ સાથે ગતિ કરે છે (ધારો કે તે ધન $y$-દિશામાં ગતિ કરે છે). ધારો કે $S_1$ નો વેગ $\vec{v}_1 = v_{1x} \hat{i} + v_{1y} \hat{j}$ છે.
$x$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_2 v = m_1 v_{1x} + m_2(0) \implies v_{1x} = \frac{m_2}{m_1} v$
$y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$0 = m_1 v_{1y} + m_2 \left(\frac{v}{2}\right) \implies v_{1y} = -\frac{m_2 v}{2m_1}$
$S_1$ ના વેગનું મૂલ્ય $v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2} = \sqrt{\left(\frac{m_2 v}{m_1}\right)^2 + \left(-\frac{m_2 v}{2m_1}\right)^2} = \frac{m_2 v}{m_1} \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{m_2 v}{m_1} \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથે $S_1$ ની દિશા $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_{1y}}{v_{1x}} = \frac{-m_2 v / 2m_1}{m_2 v / m_1} = -\frac{1}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $S_2$ ઋણ $y$-દિશામાં ગતિ કરતું હોત,તો $\tan \theta = \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ અથવા $\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ થાય.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.1 \ kg$,વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = 2 \ kg \ m/s$,સમય $t = 1 \ s$,$g = 10 \ m/s^2$.
$\Delta p = F_{net} \times t$ હોવાથી,$F_{net} = \frac{\Delta p}{t} = \frac{2}{1} = 2 \ N$ મળે.
બ્લોક માટે,પરિણામી બળ $T - mg = F_{net}$ છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે. દોરી દળરહિત અને ગરગડી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,$T = F$ થાય.
તેથી,$F - mg = 2 \ N \Rightarrow F - (0.1 \times 10) = 2 \Rightarrow F - 1 = 2 \Rightarrow F = 3 \ N$.
આમ,દોરીમાં તણાવ $T = F = 3 \ N$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{2}{0.1} = 20 \ m/s^2$.
સ્થાનાંતર $S = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times (1)^2 = 10 \ m$.
તણાવ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_T = T \times S = 3 \times 10 = 30 \ J$.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_g = mg \times S = (0.1 \times 10) \times 10 = 10 \ J$.

(A, B, C) $1$. છોકરીની સાપેક્ષમાં, દડાનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે અને અંતિમ વેગ $v$ છે. ગતિઊર્જા $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ છે. આમ, છોકરી દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી, વિકલ્પ $A$ અને $B$ સાચા છે.
$2$. જમીનની સાપેક્ષમાં, દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અંતિમ વેગ $v+u$ છે. ટ્રેન દ્વારા થયેલ કાર્ય એ જમીન પરથી જોતા દડાની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર અને છોકરી દ્વારા થયેલ કાર્યનો તફાવત છે: $W_{\text{train}} = \Delta E_{k, \text{ground}} - W_{\text{girl}} = [\frac{1}{2}m(v+u)^2 - \frac{1}{2}mu^2] - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v^2 + u^2 + 2vu - u^2) - \frac{1}{2}mv^2 = mvu$. તેથી, વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$3$. જમીન પર ઉભેલા વ્યક્તિ દ્વારા માપવામાં આવેલ ગતિઊર્જામાં વધારો $\Delta E_{k, \text{ground}} = \frac{1}{2}m(v+u)^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mvu$ છે. આમ, વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.