Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Hindi

(D) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ (तार समान होने के कारण) स्थिर रहते हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$ होता है।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$।
यहाँ $n_1 = 1 \ kHz$ और $n_2 = 1.001 \ kHz$ दिया गया है,इसलिए $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{1.001}$।
ऊष्मीय प्रसार के सूत्र $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$:
$\frac{l_1}{1.001} = l_1(1 - \alpha \times 20)$।
$1 - 20\alpha = \frac{1}{1.001} \approx 1 - 0.001$।
$20\alpha = 0.001$।
$\alpha = \frac{0.001}{20} = 0.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$।

(B) दिया गया है, डोरी की लंबाई $l = 100 \,cm = 1 \,m$ है।
तीन अनुनादी आवृत्तियाँ $f_1 = 120 \,Hz, f_2 = 200 \,Hz, f_3 = 280 \,Hz$ हैं।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी की अनुनादी आवृत्तियाँ $f_n = n f_0$ द्वारा दी जाती हैं, जहाँ $f_0$ मूल आवृत्ति है।
मूल आवृत्ति $f_0$ दी गई आवृत्तियों का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ है।
$f_0 = \text{GCD}(120, 200, 280) = 40 \,Hz$ है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2l}$ होती है।
अतः, तरंग की चाल $v = 2 l f_0$ होगी।
मान रखने पर, $v = 2 \times 1 \,m \times 40 \,Hz = 80 \,m/s$ प्राप्त होता है।

(B) अनुनादी आवृत्तियाँ $160 \,Hz$, $240 \,Hz$ और $400 \,Hz$ हैं। इन आवृत्तियों का अनुपात $160:240:400$ है, जिसे सरल करने पर $2:3:5$ प्राप्त होता है।
चूँकि ये आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति $f_0$ के हार्मोनिक्स हैं, हम $f_n = n f_0$ लिख सकते हैं, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$2:3:5$ अनुपात से, मूल आवृत्ति $f_0 = 160/2 = 80 \,Hz$ है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए मूल आवृत्ति का सूत्र $f_0 = \frac{v}{2L}$ है।
मान $f_0 = 80 \,Hz$ और $v = 160 \,m/s$ रखने पर:
$80 = \frac{160}{2L}$
$80 = \frac{80}{L}$
$L = 1 \,m = 100 \,cm$।

(D) एक खींची हुई डोरी की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है $f_1 = 300 \ Hz$,$L_1 = L$,और $T_1 = T_1$. अतः,$300 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$.
दिया गया है $f_2 = 100 \ Hz$,$L_2 = 2L$,और $T_2 = T_2$. अतः,$100 = \frac{1}{2(2L)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{300}{100} = \frac{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}}{\frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}}$.
$3 = \frac{4L}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = 2 \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$1.5 = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2.25 = \frac{T_1}{T_2}$,जो कि $\frac{9}{4} = \frac{T_1}{T_2}$ है।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = \frac{4}{9}$.

(D) कंपन करती डोरी की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
प्रारंभ में,$f_1 = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$.
दिया गया है कि लंबाई $25 \%$ कम हो जाती है,तो नई लंबाई $L_2 = L_1 - 0.25L_1 = 0.75L_1 = \frac{3}{4}L_1$.
नई आवृत्ति $f_2$ में $100 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $f_2 = f_1 + 1.00f_1 = 2f_1$.
नई स्थिति के लिए आवृत्ति सूत्र का उपयोग करने पर: $f_2 = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$.
$L_2$ और $f_2$ का मान रखने पर: $2f_1 = \frac{1}{2(\frac{3}{4}L_1)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{4}{6L_1} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{2}{3L_1} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$.
$f_2$ के व्यंजक को $f_1$ से विभाजित करने पर: $\frac{2f_1}{f_1} = \frac{\frac{2}{3L_1} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}}{\frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}}$.
$2 = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \frac{4}{3} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{T_2}{T_1} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

(C) खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $L$ लंबाई है, $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है。
प्रारंभ में, $L_1 = 0.4 \,m$, $f_1 = 250 \,Hz$, और तनाव $T_1 = T$ है。
अतः, $250 = \frac{1}{2 \times 0.4} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad ...(i)$
अंत में, $L_2 = 0.4 + 0.1 = 0.5 \,m$, और नया तनाव $T_2 = T/4$ है。
अतः, $f_2 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T/4}{\mu}} \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f_2}{250} = \frac{\frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{4\mu}}}{\frac{1}{2 \times 0.4} \sqrt{\frac{T}{\mu}}} = \frac{0.4}{0.5} \times \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} = 0.4$
$f_2 = 250 \times 0.4 = 100 \,Hz$.

(C) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ सभी खंडों के लिए समान हैं,इसलिए आवृत्ति $n$ खंड की लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(n \propto \frac{1}{l})$।
दिया गया है कि मूल आवृत्तियों का अनुपात $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ है।
इसलिए,उनकी लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{n_1} : \frac{1}{n_2} : \frac{1}{n_3} = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 6 : 3 : 2$ होगा।
तार की कुल लंबाई $L = l_1 + l_2 + l_3 = 99 \ cm$ है।
अनुपात के भागों का योग $= 6 + 3 + 2 = 11$ है।
प्रत्येक लंबाई की गणना:
$l_1 = \frac{6}{11} \times 99 = 54 \ cm$
$l_2 = \frac{3}{11} \times 99 = 27 \ cm$
$l_3 = \frac{2}{11} \times 99 = 18 \ cm$
अतः,लंबाई $54 \ cm, 27 \ cm, 18 \ cm$ है।

(B) कंपन करते हुए तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है $nl = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है。
$l_1 = 100 \,cm$ लंबाई पर,तार की आवृत्ति $n_1 = n + 8$ है (क्योंकि बीट्स सुनाई देते हैं)।
$l_2 = 101 \,cm$ लंबाई पर,तार की आवृत्ति $n_2 = n - 8$ है (जैसे-जैसे लंबाई बढ़ती है,आवृत्ति कम होती जाती है)।
$n_1 l_1 = n_2 l_2$ का उपयोग करते हुए:
$(n + 8) \times 100 = (n - 8) \times 101$
$100n + 800 = 101n - 808$
$101n - 100n = 800 + 808$
$n = 1608 \,Hz$.

(C) डोरी के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
$A$ के पहले ओवरटोन के लिए $(n=2)$: $f_{A} = \frac{2}{2l_A} \sqrt{\frac{T}{\pi r_A^2 \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ के दूसरे ओवरटोन के लिए $(n=3)$: $f_{B} = \frac{3}{2l_B} \sqrt{\frac{T}{\pi r_B^2 \rho}} = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दिया गया है कि $f_A = f_B$ और $r_A = 2r_B$:
$\frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
सरल करने पर,$\frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B} \Rightarrow \frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.
अतः,लंबाई का अनुपात $l_A : l_B = 1 : 3$ है।

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तार समान है,इसलिए $T$ (तनाव) और $m$ (प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान) स्थिर हैं,अतः $n \propto \frac{1}{l}$।
आवृत्तियों का अनुपात $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 3 : 4$ दिया गया है,इसलिए लंबाई का अनुपात व्युत्क्रमानुपाती होगा:
$l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए $1, 3, 4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $12$ से गुणा करने पर:
$l_1 : l_2 : l_3 = 12 : 4 : 3$।
भागों का योग $12 + 4 + 3 = 19$ है।
तार की कुल लंबाई $114 \ cm$ है।
अतः,लंबाई इस प्रकार है:
$l_1 = \frac{12}{19} \times 114 = 12 \times 6 = 72 \ cm$
$l_2 = \frac{4}{19} \times 114 = 4 \times 6 = 24 \ cm$
$l_3 = \frac{3}{19} \times 114 = 3 \times 6 = 18 \ cm$।
इस प्रकार,लंबाई $72 \ cm, 24 \ cm, 18 \ cm$ है।

(A) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि एक ही तार के लिए $L$ और $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $f \propto \sqrt{T}$ है।
अतः, आवृत्तियों का अनुपात: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $f_1 = 450 \,Hz$, $T_1 = 9 \,kg-wt$, और $f_2 = 900 \,Hz$।
मान रखने पर: $\frac{900}{450} = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$।
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{9}$।
$T_2 = 4 \times 9 = 36 \,kg-wt$।

(C) दिया गया है: $T_A = T_B$,$f_A = f_B$,$L_A = 80 \text{ cm}$,$L_B = x \text{ cm}$.
घनत्व का अनुपात: $\frac{d_A}{d_B} = 0.81$.
व्यास का अनुपात: $\frac{D_A}{D_B} = 2$.
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = \frac{\pi D^2}{4} \times d$.
अतः,$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left(\frac{D_A}{D_B}\right)^2 \times \frac{d_A}{d_B} = (2)^2 \times 0.81 = 4 \times 0.81 = 3.24$.
तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है।
चूंकि $f_A = f_B$ और $T_A = T_B$,इसलिए $L_A \sqrt{\mu_A} = L_B \sqrt{\mu_B}$.
$\frac{L_B}{L_A} = \sqrt{\frac{\mu_A}{\mu_B}} = \sqrt{3.24} = 1.8$.
$x = 80 \times 1.8 = 144 \text{ cm}$.

(D) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $f$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $l \propto \sqrt{T}$ है।
अतः,$\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{T_{\text{water}}}}$.
हवा में तनाव $T_{\text{air}} = mg$ है। जब पानी में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल $F_B$ ऊपर की ओर कार्य करता है,इसलिए $T_{\text{water}} = mg - F_B$.
दिया गया विशिष्ट गुरुत्व $\sigma = 8$ है,अर्थात लोहे का घनत्व $\rho = 8 \rho_w$ है। उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_w g = \frac{m}{\rho} \rho_w g = \frac{m}{8 \rho_w} \rho_w g = \frac{mg}{8}$ है।
इसलिए,$T_{\text{water}} = mg - \frac{mg}{8} = \frac{7}{8} mg = \frac{7}{8} T_{\text{air}}$.
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{\frac{7}{8} T_{\text{air}}}} = \sqrt{\frac{8}{7}}$.
दिया गया है $l_{\text{air}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times 1 \ m = \frac{1}{\sqrt{7}} \ m$.
अतः $l_{\text{water}} = l_{\text{air}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \ m$.

(A) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रारंभिक आवृत्ति: $n_1 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$.
नई लंबाई: $l' = l - 0.40l = 0.6l$.
नया तनाव: $T' = T + 0.44T = 1.44T$.
नई आवृत्ति: $n_2 = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T'}{m}} = \frac{1}{2(0.6l)} \sqrt{\frac{1.44T}{m}}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{1}{2(0.6l)} \sqrt{\frac{1.44T}{m}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}} = \frac{l}{0.6l} \times \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1.2}{0.6} = 2$.
अतः,अंतिम और प्रारंभिक आवृत्ति का अनुपात $2: 1$ है।

(B) $l$ लंबाई,$r$ त्रिज्या,$\rho$ घनत्व और $T$ तनाव वाली डोरी के लिए $p$-वें हार्मोनिक (या $(p-1)$-वें ओवरटोन) की आवृत्ति $f = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{p}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ द्वारा दी जाती है।
डोरी $A$ के लिए,पहला ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक $(p=2)$ है:
$f_A = \frac{2}{2l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
डोरी $B$ के लिए,दूसरा ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(p=3)$ है:
$f_B = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दिया गया है कि $f_A = f_B$ और $r_A = 2r_B$:
$\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
$r_A = 2r_B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
$\frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B}$.
$\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.
अतः,लंबाई का अनुपात $l_A : l_B = 1 : 3$ है।

(D) तनी हुई डोरी की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
इससे हमें संबंध $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = n$ और अंतिम आवृत्ति $n_2 = 2n$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ और अंतिम लंबाई $l_2 = \frac{3}{4}l$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{n}{2n} = \frac{\frac{3}{4}l}{l} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{9}{16} \frac{T_1}{T_2}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{9}{16} \times 4 = \frac{9}{4}$.
अतः,तनाव को $\frac{9}{4}$ के कारक से बदला जाना चाहिए।

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी की आवृत्ति का सूत्र $v = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $n$ हार्मोनिक संख्या है,$L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu = \frac{M}{L}$ है।
सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर:
$v = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{M/L}} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{TL}{M}} = \frac{n}{2} \sqrt{\frac{T}{ML}}$.
अतः,सही सूत्र $v = \frac{n}{2} \sqrt{\frac{T}{ML}}$ है।