Doppler’s Effect Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે. અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ $v_0 = \frac{v}{5}$ ઝડપે ગતિ કરે છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$f' = f \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right)$
$f' = f \left( \frac{\frac{6v}{5}}{v} \right)$
$f' = f \left( \frac{6}{5} \right) = 1.2 f$
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા નોંધાયેલ આભાસી આવૃત્તિ $1.2 f$ છે.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $f^{\prime}$ નું સૂત્ર $f^{\prime} = f_0 \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right)$ છે.
અહીં,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_0$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે,અને $v_s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે સ્ત્રોત સ્થિર છે,તેથી $v_s = 0$.
અવલોકનકાર સ્ત્રોત તરફ $v_0 = \frac{v}{5}$ ની ઝડપથી ગતિ કરે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $f^{\prime} = f_0 \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = f_0 \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2 f_0$.
આવૃત્તિમાં થતો આંશિક વધારો $\frac{f^{\prime} - f_0}{f_0} = \frac{1.2 f_0 - f_0}{f_0} = 0.2$ છે.
તેને ટકાવારીમાં દર્શાવતા: $0.2 \times 100 \% = 20 \%$.

(B) ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ, જ્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાથી દૂર જતા હોય:
$f' = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right)$
અહીં, અવલોકિત આવૃત્તિ $f' = 1980 \,Hz$ છે.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \,ms^{-1}$ છે.
અવલોકનકારનો વેગ $v_o = 10 \,ms^{-1}$ (દૂર જાય છે, તેથી અંશમાં ઋણ ચિહ્ન).
ઉદગમનો વેગ $v_s = 10 \,ms^{-1}$ (દૂર જાય છે, તેથી છેદમાં ધન ચિહ્ન).
કિંમતો મૂકતા:
$1980 = f_0 \left( \frac{340 - 10}{340 + 10} \right)$
$1980 = f_0 \left( \frac{330}{350} \right)$
$f_0 = 1980 \times \frac{350}{330}$
$f_0 = 1980 \times \frac{35}{33}$
$f_0 = 60 \times 35 = 2100 \,Hz$.

(A) અહીં, ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યું છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારથી દૂર જાય છે, ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ વાસ્તવિક આવૃત્તિ કરતા ઓછી હોય છે.
આભાસી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
જ્યાં:
$f = 2000 \,Hz$ (વાસ્તવિક આવૃત્તિ)
$v = 340 \,m/s$ (ધ્વનિનો વેગ)
$v_s = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$ (ઉદગમનો વેગ)
કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime} = 2000 \left( \frac{340}{340 + 20} \right)$
$f^{\prime} = 2000 \left( \frac{340}{360} \right)$
$f^{\prime} = 2000 \left( \frac{17}{18} \right) \approx 1888.89 \,Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, આપણને $f^{\prime} \approx 1889 \,Hz$ મળે છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ, ઇમારત પરથી પરાવર્તિત થઈને ગતિશીલ અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી અવાજની આવૃત્તિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right) \quad ... (i)$
અહીં, $v = 340 \,m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે.
$v_b = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} \,m/s = 20 \,m/s$ એ બસની ઝડપ છે.
$f = 1.7 \,kHz$ એ હોર્ન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી મૂળ આવૃત્તિ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા, આપણને મળે છે:
$f^{\prime} = 1.7 \left( \frac{340 + 20}{340 - 20} \right) \,kHz$
$f^{\prime} = 1.7 \left( \frac{360}{320} \right) \,kHz$
$f^{\prime} = 1.7 \times 1.125 \,kHz = 1.9125 \,kHz$
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $f^{\prime} \approx 1.9 \,kHz$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકની કિંમત $1.8 \,kHz$ છે.

(B) આપેલ છે: ઉદગમની આવૃત્તિ, $f = 495 \,Hz$. ધ્વનિની ઝડપ, $v_s = u$. બંને ટ્રકની ઝડપ, $v_o = v_s' = 0.1 u$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે ટ્રક એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા હોય.
ગતિશીલ ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$v_1 = f \left( \frac{v_s + v_o}{v_s - v_s'} \right) = 495 \left( \frac{u + 0.1 u}{u - 0.1 u} \right) = 495 \left( \frac{1.1 u}{0.9 u} \right) = 495 \times \frac{11}{9} = 55 \times 11 = 605 \,Hz$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે ટ્રક એકબીજાને પસાર કરી ગયા હોય (દૂર જઈ રહ્યા હોય).
ગતિશીલ ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$v_2 = f \left( \frac{v_s - v_o}{v_s + v_s'} \right) = 495 \left( \frac{u - 0.1 u}{u + 0.1 u} \right) = 495 \left( \frac{0.9 u}{1.1 u} \right) = 495 \times \frac{9}{11} = 45 \times 9 = 405 \,Hz$.
તફાવતનું મૂલ્ય:
$|v_1 - v_2| = 605 \,Hz - 405 \,Hz = 200 \,Hz$.

(A) ધારો કે હોર્ન $A$ અને $B$ ની આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $n_A$ અને $n_B$ છે.
આપેલ છે કે જ્યારે બંને હોર્ન એકસાથે વગાડવામાં આવે ત્યારે ડ્રાઈવર $10$ સેકન્ડમાં $50$ બીટ્સ નોંધે છે:
$|n_A - n_B| = \frac{50}{10} = 5 \,Hz$.
જ્યારે ટ્રક $v_s = 10 \,m/s$ ની ઝડપે દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતા પડઘાની આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n_B' = n_B \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right)$, જ્યાં $v = 330 \,m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે.
$n_B' = n_B \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = n_B \left( \frac{340}{320} \right) = n_B \left( \frac{17}{16} \right) = 1.0625 n_B$.
પડઘા સાથેની બીટ ફ્રીક્વન્સી $n_B' - n_B = 5 \,Hz$ છે.
$1.0625 n_B - n_B = 5 \implies 0.0625 n_B = 5$.
$n_B = \frac{5}{0.0625} = 80 \,Hz$.
આપેલ છે કે $n_A$ ઘટાડવાથી બીટ ફ્રીક્વન્સી $|n_A - n_B|$ વધે છે, જેનો અર્થ છે કે $n_A < n_B$.
તેથી, $|n_A - n_B| = 5$ હોવાથી, $n_B - n_A = 5$ મળે.
$n_A = n_B - 5 = 80 - 5 = 75 \,Hz$.

(C) સ્થિર અવરોધ દ્વારા પરાવર્તિત ધ્વનિ તરંગોની આવૃત્તિ, ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ:
$f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$f_1 = 1000 \left( \frac{330}{330 - 33} \right) = \frac{1000 \times 330}{297} \text{ Hz}$.
હવે, પરાવર્તિત તરંગો એક સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે (સ્થિર) અને રીસીવર (સ્ત્રોત સાથે ગતિ કરતું) પરાવર્તિત તરંગો તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v + v_D}{v} \right)$
$f_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$f_2 = \left( \frac{1000 \times 330}{297} \right) \left( \frac{330 + 33}{330} \right) = \frac{1000 \times 363}{297} \text{ Hz}$.
$f_2 = 1000 \times 1.2 = 1200 \text{ Hz} = 1.2 \text{ kHz}$.

(B) જ્યારે સ્ત્રોત, સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા સાથે $\theta$ ખૂણે ગતિ કરતો હોય ત્યારે સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $v^{\prime}$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v^{\prime} = v \left( \frac{V}{V - v_s \cos \theta} \right)$
જ્યાં $V = 340 \,m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે, $v_s = \frac{100}{3} \,m/s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે, અને $v = 640 \,Hz$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે.
સ્ત્રોત, બિંદુ $A$ અને અવલોકનકાર $O$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી, સ્ત્રોત અને $O$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50 \,m$ છે.
તેથી, $\cos \theta = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$.
કિંમતો મૂકતા:
$v^{\prime} = 640 \left( \frac{340}{340 - (\frac{100}{3}) \times (\frac{3}{5})} \right)$
$v^{\prime} = 640 \left( \frac{340}{340 - 20} \right)$
$v^{\prime} = 640 \times \frac{340}{320}$
$v^{\prime} = 640 \times \frac{34}{32} = 20 \times 34 = 680 \,Hz$.

(B) ધારો કે સ્ત્રોતોની આવૃત્તિ $n = 680 \ Hz$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \ ms^{-1}$ છે.
શ્રોતા $A$ થી $B$ તરફ $u$ વેગથી ગતિ કરે છે.
સ્ત્રોત $A$ થી દૂર જતી વખતે શ્રોતા દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n'$ છે:
$n' = n \left( \frac{v - u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 - u}{340} \right) = 2(340 - u)$
સ્ત્રોત $B$ તરફ ગતિ કરતી વખતે શ્રોતા દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n''$ છે:
$n'' = n \left( \frac{v + u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 + u}{340} \right) = 2(340 + u)$
બીટ આવૃત્તિ એ બે આભાસી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$|n'' - n'| = 10$
$2(340 + u) - 2(340 - u) = 10$
$680 + 2u - 680 + 2u = 10$
$4u = 10$
$u = 2.5 \ ms^{-1}$

(B) ઉદગમનો વેગ $v_s = r \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 2 m$ અને $\omega = 15 rad/s$ આપેલ છે,તેથી $v_s = 2 \times 15 = 30 m/s$.
સ્થિર શ્રોતા અને ગતિશીલ ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$ છે.
જ્યારે ઉદગમ સીધું શ્રોતા તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે મહત્તમ આવૃત્તિ સંભળાય છે,જે $\theta = 0^\circ$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $\cos \theta = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $f' = 540 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 540 \left( \frac{330}{300} \right) = 540 \times 1.1 = 594 Hz$.

(B) ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ, સ્ત્રોતથી દૂર જતા નિરીક્ષક દ્વારા સીધો સંભળાતો અવાજ: $f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$.
અહીં $f_1 = 970 \,Hz$, $f_0 = 1000 \,Hz$, અને $v = 330 \,m/s$ આપેલ છે: $970 = 1000 \left( \frac{330}{330 + v_s} \right)$.
$v_s$ માટે ઉકેલતા: $330 + v_s = \frac{1000 \times 330}{970} \approx 340.2 \,m/s$, તેથી $v_s \approx 10.2 \,m/s$.
ટેકરી પરથી પરાવર્તિત અવાજ એ રીતે વર્તે છે જાણે તે નિરીક્ષક તરફ આવતા સ્ત્રોતમાંથી આવતો હોય. પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ $f_2$ નું સૂત્ર: $f_2 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $f_2 = 1000 \left( \frac{330}{330 - 10.2} \right) = 1000 \left( \frac{330}{319.8} \right) \approx 1031.89 \,Hz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં, આવૃત્તિ આશરે $1032 \,Hz$ છે.

(D) આપેલ છે:
વ્હિસલની આવૃત્તિ,$f_0 = 660 \,Hz$
ધ્વનિની ઝડપ,$v = 340 \,m/s$
વ્હિસલની કોણીય ઝડપ,$\omega = 10 \,rad/s$
વર્તુળની ત્રિજ્યા,$r = 1 \,m$
વ્હિસલનો રેખીય વેગ $v_s = \omega r = 10 \times 1 = 10 \,m/s$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે શ્રોતા વર્તુળના કેન્દ્રથી લાંબા અંતરે હોય,ત્યારે વ્હિસલ અને શ્રોતાને જોડતી રેખા પર વ્હિસલનો વેગનો ઘટક ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે વ્હિસલ સીધી શ્રોતા તરફ ગતિ કરતી હોય.
સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર:
$f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$f = 660 \times \left( \frac{340}{340 - 10} \right)$
$f = 660 \times \left( \frac{340}{330} \right)$
$f = 2 \times 340 = 680 \,Hz$
આમ,શ્રોતા દ્વારા સંભળાતી મહત્તમ આવૃત્તિ $680 \,Hz$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: કોણીય ઝડપ $\omega = 40 \ rad \ s^{-1}$,ત્રિજ્યા $r = 50 \ cm = 0.5 \ m$.
સ્ત્રોતની રેખીય ઝડપ $v_s = r \omega = 0.5 \times 40 = 20 \ m \ s^{-1}$ છે.
મહત્તમ આવૃત્તિ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર (જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે) $n_{\max} = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે.
ન્યૂનતમ આવૃત્તિ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર (જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જાય છે) $n_{\min} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$ થાય.
કિંમતો $v = 340 \ m \ s^{-1}$ અને $v_s = 20 \ m \ s^{-1}$ મૂકતા:
$\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{340 + 20}{340 - 20} = \frac{360}{320} = \frac{9}{8}$.
આમ,ગુણોત્તર $9: 8$ છે.

(A) ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ છે:
$f' = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$f_0 = 1000 \ Hz$ (સ્ત્રોતની આવૃત્તિ)
$v = 333 \ m/s$ (ધ્વનિનો વેગ)
$v_o = 33 \ m/s$ (અવલોકનકારનો વેગ,સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતો હોવાથી ધન)
$v_s = 33 \ m/s$ (સ્ત્રોતનો વેગ,અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતો હોવાથી ધન)
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 1000 \left( \frac{333 + 33}{333 - 33} \right)$
$f' = 1000 \left( \frac{366}{300} \right)$
$f' = 1000 \times 1.22 = 1220 \ Hz$

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે અવલોકનકાર $v_0$ વેગ સાથે સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $N_{\text{approach}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$N_{\text{approach}} = N \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
અહીં $N = 850 \text{ Hz}$, $v = 340 \text{ m/s}$, અને $v_0 = 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \text{ m/s}$.
$N_{\text{approach}} = 850 \left( \frac{340 + 20}{340} \right) = 850 \left( \frac{360}{340} \right) = 900 \text{ Hz}$.
જ્યારે અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જાય છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $N_{\text{separation}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$N_{\text{separation}} = N \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$
$N_{\text{separation}} = 850 \left( \frac{340 - 20}{340} \right) = 850 \left( \frac{320}{340} \right) = 800 \text{ Hz}$.
બંને આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત:
$\Delta N = N_{\text{approach}} - N_{\text{separation}} = 900 \text{ Hz} - 800 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$.

(B) આપેલ છે:
ધ્વનિનો વેગ,$v = 340 \ m/s$
શ્રવણકર્તા (કાર) નો વેગ,$v_L = 17 \ m/s$
ઉદગમ (બસ) નો વેગ,$v_S = ?$
ઉત્સર્જિત હોર્નની આવૃત્તિ,$f = 640 \ Hz$
આભાસી આવૃત્તિ,$f' = 680 \ Hz$
ડોપ્લર અસર મુજબ,આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_L}{v - v_S} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$680 = 640 \left( \frac{340 + 17}{340 - v_S} \right)$
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા:
$17 = 16 \left( \frac{357}{340 - v_S} \right)$
$17(340 - v_S) = 16 \times 357$
$5780 - 17v_S = 5712$
$17v_S = 5780 - 5712$
$17v_S = 68$
$v_S = 4 \ m/s$

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવાજનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે દેખીતી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$f = 640 \ Hz$ (સ્ત્રોતની આવૃત્તિ)
$v = 340 \ ms^{-1}$ (અવાજની ઝડપ)
$v_s = 20 \ ms^{-1}$ (સ્ત્રોત/ટ્રેનની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 640 \left( \frac{340}{340 - 20} \right)$
$f' = 640 \left( \frac{340}{320} \right)$
$f' = 640 \times 1.0625 = 680 \ Hz$
તેથી,પ્લેટફોર્મ પર ઉભેલી વ્યક્તિને સંભળાતી આવૃત્તિ $680 \ Hz$ હશે.