Errors of Measurement Questions in Hindi

(C) दोलन काल के लिए सूत्र: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$,जिसका अर्थ है $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$.
$g$ में सापेक्ष त्रुटि: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
यहाँ $l = 100 \, cm = 1000 \, mm$ और $\Delta l = 1 \, mm$ दिया गया है,इसलिए $l$ में प्रतिशत त्रुटि: $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = \frac{1}{1000} \times 100 = 0.1 \%$.
$100$ दोलनों के लिए,कुल समय $t = 100T = 200 \, s$ है। स्टॉपवॉच का अल्पतमांक $\Delta t = 0.1 \, s$ है।
दोलन काल $T$ में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{0.1}{100} = 0.001 \, s$ है।
$T$ में प्रतिशत त्रुटि: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{0.001}{2} \times 100 = 0.05 \%$.
अतः,$g$ में प्रतिशत त्रुटि: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = (0.1 \%) + 2 \times (0.05 \%) = 0.1 \% + 0.1 \% = 0.2 \%$.

(B) गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta K.E.}{K.E.} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$K.E. \text{ में प्रतिशत त्रुटि} = (m \text{ में } \% \text{ त्रुटि}) + 2 \times (v \text{ में } \% \text{ त्रुटि})$.
यह दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $2\%$ है और गति में प्रतिशत त्रुटि $3\%$ है,इन मानों को रखने पर:
$K.E. \text{ में प्रतिशत त्रुटि} = 2\% + 2 \times 3\% = 2\% + 6\% = 8\%$.
अतः,गतिज ऊर्जा के अनुमान में अधिकतम त्रुटि $8\%$ होगी।

(D) $n$ प्रेक्षणों के अंकगणितीय माध्य में यादृच्छिक त्रुटि $\Delta \bar{a} = \frac{\Delta a}{\sqrt{n}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta a$ एक एकल प्रेक्षण में त्रुटि है।
$n_1 = 100$ प्रेक्षणों के लिए,यादृच्छिक त्रुटि $x = \frac{\Delta a}{\sqrt{100}} = \frac{\Delta a}{10}$ है।
$n_2 = 400$ प्रेक्षणों के लिए,यादृच्छिक त्रुटि $x' = \frac{\Delta a}{\sqrt{400}} = \frac{\Delta a}{20}$ है।
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर: $\frac{x'}{x} = \frac{\Delta a / 20}{\Delta a / 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$।
अतः,$x' = \frac{1}{2}x$।

(B) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln V = \ln(\frac{4}{3} \pi) + 3 \ln r$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें सापेक्ष त्रुटि का सूत्र प्राप्त होता है: $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करने पर: $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$.
यह दिया गया है कि त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 1\%$ है।
अतः,आयतन में प्रतिशत त्रुटि $3 \times 1\% = 3\%$ होगी।

(C) माध्य आवर्तकाल $T = 2.00 \, s$ दिया गया है।
आवर्तकाल में माध्य निरपेक्ष त्रुटि $\Delta T = 0.05 \, s$ दी गई है।
त्रुटि के साथ मापी गई किसी भी भौतिक राशि को $(T \pm \Delta T)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,आवर्तकाल को $(2.00 \pm 0.05) \, s$ के रूप में लिखा जाएगा।

(B) दिया गया है: दूरी $S = (13.8 \pm 0.2) \ m$ और समय $t = (4.0 \pm 0.3) \ s$ है।
वेग $v = \frac{S}{t} = \frac{13.8}{4.0} = 3.45 \ ms^{-1}$ है।
वेग में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta S}{S} + \frac{\Delta t}{t}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta v}{3.45} = \frac{0.2}{13.8} + \frac{0.3}{4.0}$।
$\frac{\Delta v}{3.45} = 0.0145 + 0.075 = 0.0895$।
$\Delta v = 3.45 \times 0.0895 \approx 0.3087 \ ms^{-1}$।
एक सार्थक अंक तक पूर्णांकित करने पर,$\Delta v \approx 0.3 \ ms^{-1}$।
अतः,वेग $(3.45 \pm 0.3) \ ms^{-1}$ है।

(C) वेग $v$ को $v = \frac{d}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
भाग के लिए,सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत राशियों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है: $\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta t}{t}$.
वेग में प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta t}{t} \times 100 \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left( \frac{0.2}{13.8} \times 100 \right) + \left( \frac{0.3}{4.0} \times 100 \right)$.
$= 1.449 + 7.5 = 8.949 \% \approx 8.95 \%$.

(C) प्रतिशत त्रुटि को निरपेक्ष त्रुटि और मापे गए मान के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $100$ से गुणा किया जाता है।
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{\text{मापा गया मान} - \text{सटीक मान}}{\text{सटीक मान}} \times 100 \right) \times 100\%$.
चूंकि अंश और हर दोनों में समान भौतिक इकाइयाँ होती हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं।
अतः,प्रतिशत त्रुटि एक विमाहीन राशि है और इसका कोई मात्रक नहीं होता है।

(B) मापन की सटीकता यह मापती है कि मापा गया मान वास्तविक मान के कितना करीब है।
निरपेक्ष त्रुटि (Absolute error) को भौतिक राशि के मापे गए मान और वास्तविक मान के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि निरपेक्ष त्रुटि सीधे वास्तविक मान से विचलन को दर्शाती है,इसलिए यह मापन की सटीकता निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्राथमिक संकेतक है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ होती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\text{आयतन में प्रतिशत त्रुटि} = 3 \times \left( \frac{\Delta r}{r} \right) \times 100$.
यहाँ $r = 5.3 \, cm$ और $\Delta r = 0.1 \, cm$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = 3 \times \left( \frac{0.1}{5.3} \right) \times 100$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया संबंध: $a = \frac{b^\alpha c^\beta}{d^\gamma e^\delta}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के सिद्धांत के अनुसार,$a = b^\alpha c^\beta d^{-\gamma} e^{-\delta}$ राशि के लिए,अधिकतम सापेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत घटकों की सापेक्ष त्रुटियों के उनके घातांकों के साथ गुणनफल के योग के बराबर होती है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right)_{\max} = |\alpha| \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + |\beta| \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + |-\gamma| \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right) + |-\delta| \left( \frac{\Delta e}{e} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों $b_1\%, c_1\%, d_1\%, e_1\%$ को रखने पर:
$\left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right)_{\max} = (\alpha b_1 + \beta c_1 + \gamma d_1 + \delta e_1)\%$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हवा में भार $W_a = (5.00 \pm 0.05) \ N$.
पानी में भार $W_w = (4.00 \pm 0.05) \ N$.
पानी में भार में कमी $W_L = W_a - W_w = (5.00 - 4.00) \pm (0.05 + 0.05) = (1.00 \pm 0.10) \ N$.
आपेक्षिक घनत्व $RD = \frac{W_a}{W_L} = \frac{5.00}{1.00} = 5.0$.
अधिकतम अनुमेय प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta RD}{RD} \times 100 = \left( \frac{\Delta W_a}{W_a} + \frac{\Delta W_L}{W_L} \right) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\left( \frac{0.05}{5.00} + \frac{0.10}{1.00} \right) \times 100 = (0.01 + 0.10) \times 100 = 1\% + 10\% = 11\%$.
अतः,आपेक्षिक घनत्व $5.0 \pm 11\%$ है।

(B) दिया गया है: $V = 100 \pm 5 \, \text{V}$ और $I = 10 \pm 0.2 \, \text{A}$।
चूँकि $R = \frac{V}{I}$,$R$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right)_{\max} = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
मान रखने पर:
$= \left( \frac{5}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.2}{10} \times 100 \right)$.
$= 5\% + 2\% = 7\%$.
अतः,$R$ में कुल प्रतिशत त्रुटि $7\%$ है।

(B) चरण $1$: आवर्तकाल का औसत मान $(T_{mean})$ ज्ञात करें।
$T_{mean} = \frac{2.63 + 2.56 + 2.42 + 2.71 + 2.80}{5} = \frac{13.12}{5} = 2.624\, s \approx 2.62\, s$.
चरण $2$: प्रत्येक मापन के लिए निरपेक्ष त्रुटि $(|\Delta T_i| = |T_i - T_{mean}|)$ ज्ञात करें।
$|\Delta T_1| = |2.63 - 2.62| = 0.01\, s$
$|\Delta T_2| = |2.56 - 2.62| = 0.06\, s$
$|\Delta T_3| = |2.42 - 2.62| = 0.20\, s$
$|\Delta T_4| = |2.71 - 2.62| = 0.09\, s$
$|\Delta T_5| = |2.80 - 2.62| = 0.18\, s$
चरण $3$: औसत निरपेक्ष त्रुटि $(\Delta T_{mean})$ ज्ञात करें।
$\Delta T_{mean} = \frac{0.01 + 0.06 + 0.20 + 0.09 + 0.18}{5} = \frac{0.54}{5} = 0.108\, s$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\Delta T_{mean} = 0.11\, s$ प्राप्त होता है।

(C) यंग मापांक (Young's modulus) के लिए सूत्र $Y = \frac{4MgL}{\pi D^2 l}$ है।
$Y$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{\Delta g}{g} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta l}{l}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $M = 3.00 \, kg$ $(\Delta M = 0.01 \, kg)$,$L = 2.820 \, m$ $(\Delta L = 0.001 \, m)$,$l = 0.087 \, cm$ $(\Delta l = 0.001 \, cm)$,$D = 0.041 \, cm$ $(\Delta D = 0.001 \, cm)$ हैं।
इन मानों को त्रुटि सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = \left( \frac{0.01}{3.00} + \frac{0.001}{2.820} + 2 \times \frac{0.001}{0.041} + \frac{0.001}{0.087} \right) \times 100$.
नोट: यदि $g$ को नियत माना जाए तो $\frac{\Delta g}{g}$ पद को छोड़ दिया जाता है। मानों की गणना करने पर:
$\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 \approx (0.00333 + 0.00035 + 0.04878 + 0.01149) \times 100 \approx 0.06395 \times 100 \approx 6.4\%$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $6.5\%$ है।

(B) उत्पन्न ऊष्मा के लिए सूत्र: $H = I^2Rt$ है।
$H$ में सापेक्ष त्रुटि,त्रुटियों के संचरण के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{\Delta H}{H} = 2\frac{\Delta I}{I} + \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta t}{t}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = \left( 2 \times \frac{\Delta I}{I} \times 100 + \frac{\Delta R}{R} \times 100 + \frac{\Delta t}{t} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों $(3\%, 4\%, 6\%)$ को रखने पर:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = (2 \times 3\% + 4\% + 6\%)$.
परिणाम की गणना करने पर:
$\frac{\Delta H}{H} \times 100 = (6\% + 4\% + 6\%) = 16\%$.
अतः,$H$ के मापन में त्रुटि $\pm 16\%$ है।

(D) पिंड की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2}mv^2$ है।
चूंकि $m$ स्थिर है,गतिज ऊर्जा में सापेक्ष परिवर्तन वेग $v$ के साथ $\frac{\Delta E}{E} \approx 2 \frac{\Delta v}{v}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
दिया गया है कि वेग में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 50\%$ है,जिसका अर्थ है कि नया वेग $v' = v + 0.5v = 1.5v$ है।
नई गतिज ऊर्जा $E'$ का मान $E' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(1.5v)^2 = 2.25 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 2.25E$ होगा।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत त्रुटि $\frac{E' - E}{E} \times 100 = \frac{2.25E - E}{E} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125\%$ है।

(C) $P$ में सापेक्ष त्रुटि को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{\Delta P}{P} = 3 \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta B}{B} + 4 \frac{\Delta C}{C} + \frac{3}{2} \frac{\Delta D}{D}$.
प्रतिशत त्रुटि के व्यंजक में,प्रत्येक सापेक्ष त्रुटि पद का गुणांक कुल त्रुटि में उस राशि के योगदान का भार दर्शाता है।
गुणांक $A$ के लिए $3$,$B$ के लिए $0.5$,$C$ के लिए $4$ और $D$ के लिए $1.5$ हैं।
चूंकि $\frac{\Delta C}{C}$ का गुणांक सबसे बड़ा $(4)$ है,इसलिए राशि $C$,$P$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि उत्पन्न करती है।

(C) मान लीजिए छड़ $A$ की लंबाई $L_A = 3.25 \pm 0.01 \,cm$ है और छड़ $B$ की लंबाई $L_B = 4.19 \pm 0.01 \,cm$ है।
यह पता लगाने के लिए कि छड़ $B$,छड़ $A$ से कितनी लंबी है,हम अंतर $L_B - L_A$ की गणना करते हैं।
लंबाई में अंतर $\Delta L = L_B - L_A = (4.19 - 3.25) \pm (\Delta L_B + \Delta L_A)$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को घटाने पर: $4.19 - 3.25 = 0.94 \,cm$.
निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ने पर: $0.01 + 0.01 = 0.02 \,cm$.
अतः,अंतर $0.94 \pm 0.02 \,cm$ है।

(A) दी गई भौतिक राशि $X = M^a L^b T^c$ है।
त्रुटि के सिद्धांत के अनुसार,यदि कोई राशि $X$,मापी गई राशियों $M, L$ और $T$ से $X = M^a L^b T^c$ संबंध द्वारा जुड़ी है,तो $X$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta X}{X} = a \left( \frac{\Delta M}{M} \right) + b \left( \frac{\Delta L}{L} \right) + c \left( \frac{\Delta T}{T} \right)$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम गुणांकों के निरपेक्ष मानों पर विचार करते हैं।
$X$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta X}{X} \times 100 = a \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + b \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + c \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$ द्वारा प्राप्त होती है।
$M, L$ और $T$ के लिए दी गई प्रतिशत त्रुटियों $\alpha, \beta$ और $\gamma$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$X$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $= a\alpha + b\beta + c\gamma$.

(D) दिया गया संबंध: $A = \frac{a^2 b^3}{c \sqrt{d}}$
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ:
$\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1\%$
$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 3\%$
$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 2\%$
$\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 2\%$
$A$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र:
$\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d}$
प्रतिशत त्रुटि प्राप्त करने के लिए $100$ से गुणा करने पर:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta d}{d} \times 100 \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2(1\%) + 3(3\%) + 2\% + \frac{1}{2}(2\%)$
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2\% + 9\% + 2\% + 1\% = 14\%$
अतः,$A$ में प्रतिशत त्रुटि $14\%$ है।

(D) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$ है।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $M = 0.3 \, g, \Delta M = 0.003 \, g$; $r = 0.5 \, mm, \Delta r = 0.005 \, mm$; $L = 6 \, cm, \Delta L = 0.06 \, cm$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.003}{0.3} + 2 \times \frac{0.005}{0.5} + \frac{0.06}{6}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 + 2 \times 0.01 + 0.01 = 0.01 + 0.02 + 0.01 = 0.04$.
प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.04 \times 100 = 4\%$.

(D) दिया गया है: $V = 100\,V$,$\Delta V = 0.5\,V$,$I = 10\,A$,$\Delta I = 0.2\,A$.
प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10\,\Omega$.
प्रतिरोध में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta R}{10} = \frac{0.5}{100} + \frac{0.2}{10} = 0.005 + 0.02 = 0.025$.
अतः,$\Delta R = 10 \times 0.025 = 0.25\,\Omega$.
प्रतिरोध का मान $R \pm \Delta R = 10 \pm 0.25\,\Omega$ है।
चूंकि $10 \pm 0.25\,\Omega$ विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) ओम के नियम के अनुसार,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिरोध के मापन में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ है।
यहाँ विभवांतर में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3\%$ और धारा में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 3\%$ दी गई है।
अतः,प्रतिरोध में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 3\% + 3\% = 6\%$ होगी।

(B) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times \left( \frac{\Delta r}{r} \times 100 \right)$।
दिया गया है कि त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.2\%$ है।
अतः,आयतन में प्रतिशत त्रुटि $3 \times 0.2\% = 0.6\%$ होगी।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान,$\theta_1 = (40.6 \pm 0.2)^{\circ}C$
अंतिम तापमान,$\theta_2 = (78.9 \pm 0.3)^{\circ}C$
तापमान में वृद्धि $\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$ द्वारा दी जाती है।
$\Delta\theta = 78.9 - 40.6 = 38.3^{\circ}C$.
जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ा जाता है।
तापमान में वृद्धि में त्रुटि,$\Delta(\Delta\theta) = \Delta\theta_1 + \Delta\theta_2$.
$\Delta(\Delta\theta) = 0.2 + 0.3 = 0.5^{\circ}C$.
अतः,उचित त्रुटि सीमाओं के साथ तापमान में वृद्धि $(38.3 \pm 0.5)^{\circ}C$ है।

(A) $X$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta a}{a} + 2\frac{\Delta b}{b} + 3\frac{\Delta c}{c}$
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ हैं:
$\frac{\Delta a}{a} \times 100 = \pm 1\%$
$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = \pm 3\%$
$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = \pm 2\%$
इन मानों को त्रुटि सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = \pm 1\% + 2(\pm 3\%) + 3(\pm 2\%)$
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = \pm 1\% \pm 6\% \pm 6\%$
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम परिमाणों को जोड़ते हैं:
$\text{अधिकतम प्रतिशत त्रुटि} = 1\% + 6\% + 6\% = 13\%$
अतः,$X$ में प्रतिशत त्रुटि $\pm 13\%$ होगी।

(C) दिया गया है: लंबाई $l = (5.7 \pm 0.1) \text{ cm}$ और चौड़ाई $b = (3.4 \pm 0.2) \text{ cm}$।
क्षेत्रफल $A = l \times b = 5.7 \times 3.4 = 19.38 \text{ cm}^2$ है।
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta A}{A} = \frac{0.1}{5.7} + \frac{0.2}{3.4} = \frac{0.34 + 1.14}{19.38} = \frac{1.48}{19.38}$।
अतः,निरपेक्ष त्रुटि $\Delta A = \left( \frac{1.48}{19.38} \right) \times A = \left( \frac{1.48}{19.38} \right) \times 19.38 = 1.48 \text{ cm}^2$ है।
इस प्रकार,क्षेत्रफल $(19.38 \pm 1.48) \text{ cm}^2$ है।

(A) मापा गया तापमान $T = 37.8 ^\circ C$ है।
थर्मामीटर का अल्पतमांक निरपेक्ष त्रुटि है,$\Delta T = 0.2 ^\circ C$.
अतः,त्रुटि के साथ तापमान को $(T \pm \Delta T) = (37.8 \pm 0.2) ^\circ C$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
प्रतिशत त्रुटि की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{0.2}{37.8} \times 100 \right) \%$
$= \left( \frac{20}{37.8} \right) \% \approx 0.529 \% \approx 0.5 \%$.

(B) माना $X = ABC$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln X = \ln A + \ln B + \ln C$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dX}{X} = \frac{dA}{A} + \frac{dB}{B} + \frac{dC}{C}$।
छोटी त्रुटियों के लिए,इसे $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} + \frac{\Delta C}{C}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दिया गया है कि $a, b, c$ प्रतिशत त्रुटियां हैं,इसलिए $a = \frac{\Delta A}{A} \times 100$,$b = \frac{\Delta B}{B} \times 100$,और $c = \frac{\Delta C}{C} \times 100$ है।
अतः,$X = ABC$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta X}{X} \times 100 = (\frac{\Delta A}{A} \times 100) + (\frac{\Delta B}{B} \times 100) + (\frac{\Delta C}{C} \times 100) = a + b + c$ होगी।

(B) वलय का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः कोणीय संवेग $(J) = I \omega$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वलय का जड़त्व आघूर्ण $I = M R^2$ होता है,इसलिए $J = M R^2 \omega$ होगा।
$J$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta J}{J} = \frac{\Delta M}{M} + 2 \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \omega}{\omega}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta J}{J} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta \omega}{\omega} \times 100 \right)$.
दिया गया है कि $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1 \%$ और $\frac{\Delta \omega}{\omega} \times 100 = 1 \%$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta J}{J} \times 100 = 2 \% + 2(1 \%) + 1 \% = 2 \% + 2 \% + 1 \% = 5 \%$.

(C) स्टॉपवॉच का अल्पतमांक,जो मापन में निरपेक्ष त्रुटि को दर्शाता है,$\Delta t = \frac{1}{5} \ s = 0.2 \ s$ है।
$20$ दोलनों के लिए मापा गया समय $t = 25 \ s$ है।
प्रतिशत त्रुटि की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\text{Percentage Error} = \left( \frac{\Delta t}{t} \right) \times 100$.
मान रखने पर: $\text{Percentage Error} = \left( \frac{0.2}{25} \right) \times 100$.
$\text{Percentage Error} = 0.008 \times 100 = 0.8 \%$.

(A) दीवार की मोटाई $(t)$ बाहरी त्रिज्या $(r_1)$ और आंतरिक त्रिज्या $(r_2)$ के अंतर द्वारा दी जाती है।
$t = r_1 - r_2 = 4.23 \text{ cm} - 3.89 \text{ cm} = 0.34 \text{ cm}$.
जब दो भौतिक राशियों को घटाया जाता है,तो निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ जाती हैं।
$\Delta t = \Delta r_1 + \Delta r_2 = 0.01 \text{ cm} + 0.01 \text{ cm} = 0.02 \text{ cm}$.
अतः,दीवार की मोटाई $(t \pm \Delta t) = (0.34 \pm 0.02) \text{ cm}$ होगी।

(C) वृत्त की परिधि $C$ का सूत्र $C = \pi D$ है,जहाँ $D$ व्यास है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta D}{D}$।
दिया गया है कि व्यास में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta D}{D} \times 100\% = 4\%$ है।
इसलिए,परिधि में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta C}{C} \times 100\% = \frac{\Delta D}{D} \times 100\% = 4\%$ होगी।
अतः,परिधि में त्रुटि $4\%$ है।

(A) चरण $1$: प्रतिरोध का माध्य मान $\bar{R}$ ज्ञात कीजिए।
$\bar{R} = \frac{4.12 + 4.08 + 4.22 + 4.14}{4} = \frac{16.56}{4} = 4.14 \; \Omega$.
चरण $2$: प्रत्येक माप में निरपेक्ष त्रुटि ज्ञात कीजिए।
$\Delta R_1 = |4.14 - 4.12| = 0.02 \; \Omega$
$\Delta R_2 = |4.14 - 4.08| = 0.06 \; \Omega$
$\Delta R_3 = |4.14 - 4.22| = 0.08 \; \Omega$
$\Delta R_4 = |4.14 - 4.14| = 0.00 \; \Omega$
चरण $3$: माध्य निरपेक्ष त्रुटि $\Delta \bar{R}$ ज्ञात कीजिए।
$\Delta \bar{R} = \frac{0.02 + 0.06 + 0.08 + 0.00}{4} = \frac{0.16}{4} = 0.04 \; \Omega$.
चरण $4$: सापेक्ष त्रुटि ज्ञात कीजिए।
सापेक्ष त्रुटि $= \frac{\Delta \bar{R}}{\bar{R}} = \frac{0.04}{4.14} \approx 0.00966 \approx 0.0096$.

(A) वलय के ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I = M R^2$ है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम गुणन और घातों में त्रुटि के प्रसार के नियम का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = \frac{\Delta M}{M} \times 100 + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right)$.
दिया गया है:
द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 2 \%$.
त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1 \%$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2 \% + 2(1 \%) = 2 \% + 2 \% = 4 \%$.
अतः,जड़त्व आघूर्ण के मापन में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $4 \%$ है।

(C) मापन में सापेक्ष त्रुटि या मानक त्रुटि प्रेक्षणों की संख्या $n$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,यदि त्रुटियाँ यादृच्छिक (random) हों।
हालाँकि,माध्य निरपेक्ष त्रुटि के संदर्भ में,त्रुटि को $\Delta x_{m} = \frac{\sum |\Delta x|}{n}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
बड़ी संख्या में प्रेक्षणों के लिए,सांख्यिकीय त्रुटि (माध्य का मानक विचलन) $\sigma_{m} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्रेक्षणों की संख्या $n$,$100$ से बढ़कर $400$ हो जाती है,तो $n$ का मान $4$ गुना बढ़ जाता है।
चूँकि त्रुटि $\sqrt{n}$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए नई त्रुटि मूल त्रुटि की $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ हो जाएगी।
अतः,संभावित त्रुटि आधी हो जाती है।

(C) पुल की ऊँचाई $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $h = \frac{1}{2}gt^2$.
यहाँ $g = 9.8\;m/s^2$ और $t = 2\;s$ दिया गया है,इसलिए ऊँचाई $h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2)^2 = 19.6\;m$ है।
ऊँचाई में त्रुटि $\Delta h$ ज्ञात करने के लिए,हम $h = \frac{1}{2}gt^2$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$dh = gt \cdot dt$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $dt = \Delta t = 0.1\;s$ है:
$\Delta h = 9.8 \times 2 \times 0.1 = 1.96\;m$.
अतः,पुल की ऊँचाई के अनुमान में त्रुटि $1.96\;m$ है।

(B) माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = 16 \pm 0.6 \ ^\circ C$ है और अंतिम तापमान $T_2 = 56 \pm 0.3 \ ^\circ C$ है।
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1$ द्वारा दी जाती है।
घटाव के लिए,निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ा जाता है: $\Delta T = (56 - 16) \pm (0.3 + 0.6) \ ^\circ C$।
अतः,$\Delta T = 40 \pm 0.9 \ ^\circ C$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi l^{1/2} g^{-1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए,$T$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि है:
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} + \frac{1}{2} \frac{\Delta g}{g}$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right) \% = \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right) \% + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta g}{g} \times 100 \right) \%$.
दिया गया है कि $\left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right) \% = 2\%$ और $\left( \frac{\Delta g}{g} \times 100 \right) \% = 4\%$.
इन मानों को रखने पर:
$T$ में अधिकतम $\%$ त्रुटि $= \frac{1}{2} (2\%) + \frac{1}{2} (4\%) = 1\% + 2\% = 3\%$.
अतः,आवर्तकाल में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $\pm 3\%$ है।

(A) चरण $1$: प्रेक्षणों का माध्य मान ज्ञात कीजिए।
माध्य मान $a_{mean} = \frac{3.29 + 3.28 + 3.29 + 3.31 + 3.28 + 3.27 + 3.29 + 3.30}{8} = \frac{26.31}{8} = 3.28875 \, cm \approx 3.29 \, cm$.
चरण $2$: चौथे प्रेक्षण $(a_4 = 3.31 \, cm)$ के लिए निरपेक्ष त्रुटि ज्ञात कीजिए।
निरपेक्ष त्रुटि $\Delta a_4 = a_4 - a_{mean} = 3.31 - 3.29 = 0.02 \, cm$.
चरण $3$: आठवें प्रेक्षण $(a_8 = 3.30 \, cm)$ के लिए निरपेक्ष त्रुटि ज्ञात कीजिए।
निरपेक्ष त्रुटि $\Delta a_8 = a_8 - a_{mean} = 3.30 - 3.29 = 0.01 \, cm$.
अतः,निरपेक्ष त्रुटियाँ $0.02 \, cm$ और $0.01 \, cm$ हैं।

(A) प्रायोगिक मापन में यादृच्छिक त्रुटियाँ प्रयोग में होने वाले अज्ञात और अप्रत्याशित परिवर्तनों के कारण होती हैं।
प्रायोगिक अवलोकनों में व्यवस्थित त्रुटियाँ आमतौर पर मापन उपकरणों से उत्पन्न होती हैं,जैसे कि अंशांकन (calibration) संबंधी समस्याएँ या शून्य त्रुटि।
शून्य त्रुटि एक प्रकार की व्यवस्थित त्रुटि है क्योंकि यह सुसंगत होती है और मापे गए मानों में एक ज्ञात ऑफसेट लागू करके इसे सुधारा जा सकता है।
अतः,किसी उपकरण की शून्य त्रुटि व्यवस्थित त्रुटियाँ उत्पन्न करती है।

(A) श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R = R_1 + R_2$ होता है।
$R = 100 \,\Omega + 200 \,\Omega = 300 \,\Omega$.
श्रेणी संयोजन में अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि व्यक्तिगत निरपेक्ष त्रुटियों का योग होती है: $\Delta R = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 3 \,\Omega + 4 \,\Omega = 7 \,\Omega$.
अतः,तुल्य प्रतिरोध $(300 \pm 7) \,\Omega$ है।
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि $= \frac{7}{300} \times 100 \% = \frac{7}{3} \% \approx 2.33 \%$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.3 \%$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त की त्रिज्या $r$ और व्यास $D$ के बीच का संबंध $r = \frac{D}{2}$ है।
सापेक्ष त्रुटि को ध्यान में रखते हुए,$\frac{dr}{r} = \frac{dD}{D}$ होता है।
यहाँ व्यास में सापेक्ष त्रुटि $\frac{dD}{D} \times 100 = 4\%$ दी गई है।
अतः,त्रिज्या में त्रुटि $\frac{dr}{r} \times 100 = 4\%$ होगी।

(C) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ लंबाई है।
दिया गया है: $l = 5.0 \; cm$,$\Delta l = 0.1 \; cm$,$d = 2.00 \; cm$,$\Delta d = 0.01 \; cm$.
त्रिज्या $r = d/2 = 1.00 \; cm$ है। त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \Delta d / 2 = 0.005 \; cm$ होगी।
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ है।
प्रतिशत त्रुटि = $\left( 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} \right) \times 100$.
मान रखने पर: $\left( 2 \times \frac{0.005}{1.00} + \frac{0.1}{5.0} \right) \times 100$.
$= (2 \times 0.5 \% + 2 \%) = 1 \% + 2 \% = 3 \%$.

(A) माना खाली बीकर का द्रव्यमान $m_1 = (10.1 \pm 0.1) \, g$ है।
माना तरल से भरे बीकर का द्रव्यमान $m_2 = (17.3 \pm 0.1) \, g$ है।
तरल का द्रव्यमान $m$,$m = m_2 - m_1$ द्वारा दिया जाता है।
$m = 17.3 - 10.1 = 7.2 \, g$ है।
जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो निरपेक्ष त्रुटियां जुड़ जाती हैं।
इसलिए,तरल के द्रव्यमान में निरपेक्ष त्रुटि $\Delta m = \Delta m_1 + \Delta m_2$ होगी।
$\Delta m = 0.1 + 0.1 = 0.2 \, g$ है।
अतः,सटीकता की संभावित सीमाओं के साथ तरल का द्रव्यमान $(7.2 \pm 0.2) \, g$ होगा।

(D) दिया गया है:
$l = (4.00 \pm 0.01) \; cm \implies \frac{\Delta l}{l} = \frac{0.01}{4.00} = 0.0025$
$r = (0.250 \pm 0.001) \; cm \implies \frac{\Delta r}{r} = \frac{0.001}{0.250} = 0.004$
$m = (6.25 \pm 0.01) \; g \implies \frac{\Delta m}{m} = \frac{0.01}{6.25} = 0.0016$
घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 l}$
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} \right) \times 100\%$
$= (0.0016 + 2 \times 0.004 + 0.0025) \times 100\%$
$= (0.0016 + 0.008 + 0.0025) \times 100\%$
$= 0.0121 \times 100\% = 1.21\%$

(B) अपवर्तनांक का माध्य मान इस प्रकार है:
$\bar{n} = \frac{1.54 + 1.53 + 1.44 + 1.54 + 1.56 + 1.45}{6} = \frac{9.06}{6} = 1.51$
प्रत्येक माप में निरपेक्ष त्रुटियां:
$|\Delta n_1| = |1.51 - 1.54| = 0.03$
$|\Delta n_2| = |1.51 - 1.53| = 0.02$
$|\Delta n_3| = |1.51 - 1.44| = 0.07$
$|\Delta n_4| = |1.51 - 1.54| = 0.03$
$|\Delta n_5| = |1.51 - 1.56| = 0.05$
$|\Delta n_6| = |1.51 - 1.45| = 0.06$
माध्य निरपेक्ष त्रुटि इन निरपेक्ष त्रुटियों का औसत है:
$\Delta \bar{n} = \frac{0.03 + 0.02 + 0.07 + 0.03 + 0.05 + 0.06}{6}$
$\Delta \bar{n} = \frac{0.26}{6} \approx 0.0433$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\Delta \bar{n} = 0.04$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $L = 10.0 \pm 0.1 \; cm$,$b = 1.00 \pm 0.01 \; cm$,$t = 0.100 \pm 0.001 \; cm$.
आयतन $V = L \times b \times t = 10.0 \times 1.00 \times 0.100 = 1.000 \; cm^{3}$.
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta L}{L} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta t}{t}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.1}{10.0} + \frac{0.01}{1.00} + \frac{0.001}{0.100}$.
$\frac{\Delta V}{V} = 0.01 + 0.01 + 0.01 = 0.03$.
अतः,निरपेक्ष त्रुटि $\Delta V = 0.03 \times V = 0.03 \times 1.000 = 0.03 \; cm^{3}$.

(B) ब्लॉक का आयतन $V = l \times b \times t$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta t}{t}$ है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \left( \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta t}{t} \right) \times 100$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{0.01}{15.12} + \frac{0.01}{10.15} + \frac{0.01}{5.28} \right) \times 100$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{0.01}{15.12} \times 100 \approx 0.0661$
$\frac{0.01}{10.15} \times 100 \approx 0.0985$
$\frac{0.01}{5.28} \times 100 \approx 0.1894$
इन मानों का योग करने पर:
$0.0661 + 0.0985 + 0.1894 = 0.3540$.
उचित सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.36\%$ प्राप्त होता है।