Errors of Measurement Questions in Gujarati

(C) વર્તુળાકાર પ્લેટ પરનું દબાણ $p$ એ સૂત્ર $p = \frac{F}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $A$ એ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે. પ્લેટ વર્તુળાકાર હોવાથી,$A = \pi R^2$,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$p = \frac{F}{\pi R^2}$.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$p$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta R}{R}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = \left( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે બળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 5 \%$ અને ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 3 \%$ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$p$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 5 \% + 2(3 \%) = 5 \% + 6 \% = 11 \%$.
આમ,દબાણના માપનમાં થતી પ્રતિશત ત્રુટિ $11 \%$ છે.

(B) ભૌતિક રાશિ $X = \frac{L}{T^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,$X$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $L$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 \% = 3 \%$ અને $T$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \times 100 \% = 2 \%$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{L}{T^2}$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \% \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \% \right)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $3 \% + 2 \times (2 \%) = 3 \% + 4 \% = 7 \%$.

(A) ધારો કે મહત્તમ તાપમાન $T_1 = 44^{\circ} C \pm 0.5^{\circ} C$ છે અને ન્યૂનતમ તાપમાન $T_2 = 22^{\circ} C \pm 0.5^{\circ} C$ છે.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = T_1 - T_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તફાવતનું મૂલ્ય $44^{\circ} C - 22^{\circ} C = 22^{\circ} C$ છે.
બાદબાકી માટે ભૂલ પ્રસરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બે રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની નિરપેક્ષ ભૂલોનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,તફાવતમાં ભૂલ $\Delta(\Delta T) = \Delta T_1 + \Delta T_2 = 0.5^{\circ} C + 0.5^{\circ} C = 1.0^{\circ} C$ થશે.
આમ,તાપમાનનો તફાવત $22^{\circ} C \pm 1^{\circ} C$ છે.

(B) ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S$ એ $S = 4\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પૃષ્ઠફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta S}{S} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta S}{S} \times 100 = 1.2 \%$,તેથી $2 \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 1.2 \%$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.6 \%$.
ગોળાનું કદ $V$ એ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{\Delta r}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 0.6 \% = 1.8 \%$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = (10 \pm 0.5) \text{ A}$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = (100 \pm 6) \text{ V}$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$R = \frac{V}{I}$.
અવરોધમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{6}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.5}{10} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 6\% + 5\% = 11\%$.

(D) આપેલ છે: $C = (4.0 \pm 0.2) \mu F$ અને $V = (10.0 \pm 0.1) V$.
કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V$ દ્વારા મળે છે.
સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી: $Q = 4.0 \mu F \times 10.0 V = 40 \mu C$.
વિદ્યુતભારમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{\Delta C}{C} + \frac{\Delta V}{V}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{0.2}{4.0} + \frac{0.1}{10.0} = 0.05 + 0.01 = 0.06$.
વિદ્યુતભારમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6 \%$.
તેથી,કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $40 \mu C \pm 6 \%$ છે.

(C) આપેલ સંબંધ $S = \frac{a^{1/2} b}{c^3 d^4}$ છે.
$S$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિઓના પ્રસરણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta S}{S} = \frac{1}{2} \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + 3 \frac{\Delta c}{c} + 4 \frac{\Delta d}{d}$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓની કિંમતો મૂકતા:
$\left( \frac{\Delta S}{S} \times 100 \right) = \frac{1}{2} \times (2 \%) + (1 \%) + 3 \times (1 \%) + 4 \times (1 \%)$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 1 \% + 1 \% + 3 \% + 4 \% = 9 \%$.
તેથી,$S$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $9 \%$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $Z = \frac{A B^{1/2}}{C^2}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$Z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta B}{B} + 2 \frac{\Delta C}{C}$.
અહીં $A, B$ અને $C$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $1\%$ આપેલી છે,તેથી:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta B}{B} \times 100 = 1\%$,અને $\frac{\Delta C}{C} \times 100 = 1\%$.
આ કિંમતોને $Z$ ની પ્રતિશત ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Z}{Z} \times 100 = \left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta Z}{Z} \times 100 = 1\% + \frac{1}{2}(1\%) + 2(1\%) = 1\% + 0.5\% + 2\% = 3.5\%$.

(D) આપેલ છે કે,અવલોકનોની સંખ્યા,$n=5$.
અવલોકનો $a_1=2.4 \ m, a_2=2.5 \ m, a_3=2.6 \ m, a_4=2.8 \ m, a_5=3.0 \ m$ છે.
અવલોકનોનું સરેરાશ મૂલ્ય,$\bar{a} = \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5} = \frac{2.4+2.5+2.6+2.8+3.0}{5} = \frac{13.3}{5} = 2.66 \ m$.
વ્યક્તિગત અવલોકિત મૂલ્યોમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ:
$|\Delta a_1| = |2.4 - 2.66| = 0.26 \ m$
$|\Delta a_2| = |2.5 - 2.66| = 0.16 \ m$
$|\Delta a_3| = |2.6 - 2.66| = 0.06 \ m$
$|\Delta a_4| = |2.8 - 2.66| = 0.14 \ m$
$|\Delta a_5| = |3.0 - 2.66| = 0.34 \ m$
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ,$\Delta \bar{a} = \frac{0.26+0.16+0.06+0.14+0.34}{5} = \frac{0.96}{5} = 0.192 \ m$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ = $\frac{\Delta \bar{a}}{\bar{a}} = \frac{0.192}{2.66} \approx 0.072$.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1 \ m$,પહોળાઈ $b = 50 \ cm = 0.5 \ m$.
લંબાઈમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta l}{l} = 1 \% = 0.01$ અને પહોળાઈમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta b}{b} = 1 \% = 0.01$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = 1 \times 0.5 = 0.5 \ m^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta A}{A} = \frac{\delta l}{l} + \frac{\delta b}{b}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\delta A}{A} = 0.01 + 0.01 = 0.02$.
ક્ષેત્રફળમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\delta A = A \times 0.02 = 0.5 \times 0.02 = 0.01 \ m^2$ થાય.
તેથી,ત્રુટિ સાથે ટેબલનું ક્ષેત્રફળ $A \pm \delta A = (0.5 \pm 0.01) \ m^2$ થાય.

(A) માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta x = 0.05 \ m$ છે.
માપેલ લંબાઈ $x = 5 \ m$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ એ નિરપેક્ષ ત્રુટિ અને માપેલ મૂલ્યનો ગુણોત્તર છે: $\frac{\Delta x}{x} = \frac{0.05}{5} = 0.01$.
પ્રતિશત ત્રુટિ સાપેક્ષ ત્રુટિને $100$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે: $\text{Percentage Error} = \frac{\Delta x}{x} \times 100 \% = 0.01 \times 100 \% = 1 \%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) દડાનું સરેરાશ દળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\bar{M} = \frac{2.61 + 2.58 + 2.40 + 2.73 + 2.80}{5} = \frac{13.12}{5} = 2.624 \,g \approx 2.62 \,g$.
દરેક માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ નીચે મુજબ છે:
$|\Delta M_1| = |2.62 - 2.61| = 0.01 \,g$
$|\Delta M_2| = |2.62 - 2.58| = 0.04 \,g$
$|\Delta M_3| = |2.62 - 2.40| = 0.22 \,g$
$|\Delta M_4| = |2.62 - 2.73| = 0.11 \,g$
$|\Delta M_5| = |2.62 - 2.80| = 0.18 \,g$
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ એ આ નિરપેક્ષ ત્રુટિઓની સરેરાશ છે:
$\Delta \bar{M} = \frac{0.01 + 0.04 + 0.22 + 0.11 + 0.18}{5} = \frac{0.56}{5} = 0.112 \,g \approx 0.11 \,g$.

(C) આપેલ છે,વાહકમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = (5 \pm 0.2) \text{ A}$,જ્યાં $\Delta I = 0.2 \text{ A}$ છે.
ઉત્પન્ન થતો વોલ્ટેજ $V = (60 \pm 6) \text{ V}$,જ્યાં $\Delta V = 6 \text{ V}$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = RI$,તેથી $R = V/I$.
અવરોધ $R$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{6}{60} + \frac{0.2}{5}$.
પદોની ગણતરી કરતા: $\frac{\Delta R}{R} = 0.1 + 0.04 = 0.14$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા: $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.14 \times 100 = 14\%$.

(C) ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{l^3}$.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3 \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો: $m = 20 \text{ kg}$,$\Delta m = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$,$l = 100 \text{ cm}$,$\Delta l = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{20} + 3 \times \frac{0.1}{100}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.0005 + 3 \times 0.001 = 0.0005 + 0.003 = 0.0035$.
આમ,સાપેક્ષ ત્રુટિ $3.5 \times 10^{-3}$ છે.

(B) આપેલ છે:
લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ,$\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$
બળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4 \%$
આપણે જાણીએ છીએ કે દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$P = \frac{F}{A}$
પ્લેટ ચોરસ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = L^2$ થાય.
તેથી,$P = \frac{F}{L^2}$.
દબાણમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \left( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 4 \% + 2(3 \%) = 4 \% + 6 \% = 10 \%$
આમ,દબાણની ગણતરીમાં મહત્તમ ત્રુટિ $10 \%$ છે.

(C) સાદા લોલક માટે આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $l = 1.01 \ m$,$\Delta l = 0.01 \ m$,$T_{total} = 63 \ s$,$\Delta T_{total} = 3 \ s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{T_{total}}{30} = \frac{63}{30} = 2.1 \ s$.
આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta T_{total}}{30} = \frac{3}{30} = 0.1 \ s$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.01}{1.01} + 2 \times \frac{0.1}{2.1} \approx 0.0099 + 0.0952 \approx 0.1051$.
પ્રતિશત ત્રુટિ = $0.1051 \times 100 \% \approx 10.5 \%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $10 \%$ છે.

(C) આપેલ સૂત્ર $X = \frac{A^2 B}{C^{1/3} D^3}$ છે.
ભૂલના પ્રસરણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$X$ માં સાપેક્ષ ભૂલ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \right) + \left( \frac{\Delta B}{B} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \right)$.
હવે,દરેક પદનો ટકાવારી ભૂલમાં ફાળો ગણીએ:
$A$ નો ફાળો = $2 \times 2 \% = 4 \%$.
$B$ નો ફાળો = $1 \times 2 \% = 2 \%$.
$C$ નો ફાળો = $\frac{1}{3} \times 4 \% = 1.33 \%$.
$D$ નો ફાળો = $3 \times 5 \% = 15 \%$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$X$ માં ટકાવારી ભૂલમાં ન્યૂનતમ ફાળો $C$ દ્વારા મળે છે.

(D) ધારો કે સ્કેલનું દળ $M = 100 \ g$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(50 \ cm)$ પર કાર્ય કરે છે. ધારો કે દરેક પ્લેટનું દળ $m = 200 \ g$ છે જે $0 \ cm$ અને $100 \ cm$ પર છે. ધરી $45 \ cm$ પર છે.
$45 \ cm$ પરના બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક (moments) લેતા:
ઘડિયાળની દિશામાં ટોર્ક: $M_{veg} \times (100 - 45) + m \times (100 - 45) + M \times (50 - 45) = 300 \times (45 - 0) + m \times (45 - 0)$
$M_{veg} \times 55 + 200 \times 55 + 100 \times 5 = 300 \times 45 + 200 \times 45$
$55 M_{veg} + 11000 + 500 = 13500 + 9000$
$55 M_{veg} + 11500 = 22500$
$55 M_{veg} = 11000$
$M_{veg} = 200 \ g$.
સાચું વજન $300 \ g$ છે અને માપેલું વજન $200 \ g$ છે. તેથી ભૂલ $|300 - 200| = 100 \ g$ છે.

(D) પગલું $1$: અવલોકનોનું સરેરાશ મૂલ્ય શોધો.
સરેરાશ મૂલ્ય $\bar{x} = \frac{2.62 + 2.68 + 2.58 + 2.57 + 2.54 + 2.55}{6} = \frac{15.54}{6} = 2.59 \ mPa \cdot s$.
પગલું $2$: દરેક અવલોકન માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ $|\Delta x_i| = |x_i - \bar{x}|$ શોધો.
$|\Delta x_1| = |2.62 - 2.59| = 0.03$
$|\Delta x_2| = |2.68 - 2.59| = 0.09$
$|\Delta x_3| = |2.58 - 2.59| = 0.01$
$|\Delta x_4| = |2.57 - 2.59| = 0.02$
$|\Delta x_5| = |2.54 - 2.59| = 0.05$
$|\Delta x_6| = |2.55 - 2.59| = 0.04$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ શોધો.
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta \bar{x} = \frac{0.03 + 0.09 + 0.01 + 0.02 + 0.05 + 0.04}{6} = \frac{0.24}{6} = 0.04 \ mPa \cdot s$.

(C) દબાણ $P$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ પર લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $P = F/A$.
$s$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = s^2$ થાય.
તેથી,$P = F/s^2$.
દબાણમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta s}{s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 1 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા,દબાણમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \% + 2(1 \%) = 3 \% + 2 \% = 5 \%$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$.
$k$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $m = 10 \ g$,$\Delta m = 10 \ mg = 0.01 \ g$.
$50$ દોલનો માટેનો સમય $t = 60 \ s$ છે,અને રિઝોલ્યુશન $\Delta t = 2 \ s$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{t}{50} = \frac{60}{50} = 1.2 \ s$.
આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{50} = \frac{2}{50} = 0.04 \ s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta k}{k} = \frac{0.01}{10} + 2 \times \frac{0.04}{1.2} = 0.001 + 0.0666... = 0.06766...$
પ્રતિશત ત્રુટિ = $0.06766 \times 100 \% \approx 6.76 \%$.

(C) પગલું $1$: સળિયાની સરેરાશ લંબાઈની ગણતરી કરો:
$\ell_{\text{mean}} = \frac{20.00 + 19.75 + 17.01 + 18.25}{4} = \frac{75.01}{4} = 18.7525 \ cm \approx 18.75 \ cm$.
પગલું $2$: દરેક માપન માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરો:
$|\Delta \ell_1| = |20.00 - 18.75| = 1.25 \ cm$
$|\Delta \ell_2| = |19.75 - 18.75| = 1.00 \ cm$
$|\Delta \ell_3| = |17.01 - 18.75| = 1.74 \ cm$
$|\Delta \ell_4| = |18.25 - 18.75| = 0.50 \ cm$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરો:
$\Delta \ell_{\text{mean}} = \frac{1.25 + 1.00 + 1.74 + 0.50}{4} = \frac{4.49}{4} = 1.1225 \ cm \approx 1.12 \ cm$.
પગલું $4$: સાપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરો:
$\text{સાપેક્ષ ત્રુટિ} = \frac{\Delta \ell_{\text{mean}}}{\ell_{\text{mean}}} = \frac{1.12}{18.75} \approx 0.06$.

(D) ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અવરોધ $R$ ની ગણતરી $R = V/I$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
અહીં $V = 10 \text{ V}$ અને $I = 5 \text{ A}$ આપેલ છે,તેથી $R = 10 / 5 = 2 \text{ } \Omega$.
અવરોધમાં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ છે.
લઘુત્તમ માપન આપેલ છે: $\Delta V = 500 \text{ mV} = 0.5 \text{ V}$ અને $\Delta I = 200 \text{ mA} = 0.2 \text{ A}$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta R = R \times (\frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I})$
$\Delta R = 2 \times (\frac{0.5}{10} + \frac{0.2}{5})$
$\Delta R = 2 \times (0.05 + 0.04)$
$\Delta R = 2 \times (0.09) = 0.18 \text{ } \Omega$.

(C) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,આપણે ઘનફળને વ્યાસના પદમાં $V = \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{\pi}{6} D^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta D}{D}$ મળે છે.
આપેલ છે કે વ્યાસના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = 2\%$ છે.
તેથી,ઘનફળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta D}{D} \times 100) = 3 \times 2\% = 6\%$ થશે.

(B) નળાકારની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi (d/2)^2 l} = \frac{4m}{\pi d^2 l}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta l}{l}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.02}{97.42} + 2 \times \left( \frac{0.02}{20.20} \right) + \frac{0.05}{8.35}$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{0.02}{97.42} \approx 0.000205$,
$2 \times \left( \frac{0.02}{20.20} \right) \approx 0.001980$,
$\frac{0.05}{8.35} \approx 0.005988$.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો કરતા: $\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0.000205 + 0.001980 + 0.005988 = 0.008173$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \% \approx 0.008173 \times 100 \% = 0.8173 \% \approx 0.82 \%$ થાય.