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Adiabatic Process Questions in Hindi
Class 11 Physics · Thermodynamics · Adiabatic Process
325+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 325 questions in Hindi
151
MediumMCQ
क्या रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा बदलती है?
A
हाँ
B
नहीं
C
गैस पर निर्भर करता है
D
प्रक्रिया पर निर्भर करता है
Solution
(A) हाँ,रुद्धोष्म प्रक्रिया में एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा बदलती है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,ऊष्मा का आदान-प्रदान $\Delta Q = 0$ होता है।
इसलिए,$0 = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta U = -\Delta W$।
चूंकि रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस द्वारा या गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए $\Delta W \neq 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\Delta U \neq 0$। अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,ऊष्मा का आदान-प्रदान $\Delta Q = 0$ होता है।
इसलिए,$0 = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta U = -\Delta W$।
चूंकि रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस द्वारा या गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए $\Delta W \neq 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\Delta U \neq 0$। अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन होता है।
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Difficult
क्या बिना ऊष्मा दिए किसी गैस का तापमान बढ़ाना संभव है? समझाइए।
Solution
(A) हाँ,रुद्धोष्म (adiabatic) संपीड़न के दौरान,गैस का तापमान बढ़ जाता है जबकि उसे कोई ऊष्मा नहीं दी जाती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार:
$\Delta Q = dU + dW$
चूंकि $\Delta Q = 0$,इसलिए $0 = dU + dW$,जिसका अर्थ है $dU = -dW$।
संपीड़न के दौरान,गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए किया गया कार्य $dW$ ऋणात्मक होता है $(dW < 0)$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $dU = -(-|dW|) = |dW|$।
चूंकि $dU > 0$,गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके परम तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होती है $(U \propto T)$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि के परिणामस्वरूप गैस का तापमान बढ़ जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार:
$\Delta Q = dU + dW$
चूंकि $\Delta Q = 0$,इसलिए $0 = dU + dW$,जिसका अर्थ है $dU = -dW$।
संपीड़न के दौरान,गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए किया गया कार्य $dW$ ऋणात्मक होता है $(dW < 0)$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $dU = -(-|dW|) = |dW|$।
चूंकि $dU > 0$,गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके परम तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होती है $(U \propto T)$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि के परिणामस्वरूप गैस का तापमान बढ़ जाता है।
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Difficult
मान लीजिए कि एक साइकिल के टायर में पंप द्वारा हवा भरी जा रही है। मान लीजिए $V$ टायर का आयतन (नियत) है और पंप के प्रत्येक स्ट्रोक पर $\Delta V$ ( < < V) हवा को रुद्धोष्म (adiabatically) रूप से ट्यूब में स्थानांतरित किया जाता है। जब ट्यूब में दबाव $P_1$ से बढ़कर $P_2$ हो जाता है, तो किया गया कार्य क्या है?
Solution
(N/A) प्रत्येक स्ट्रोक पर जब $\Delta V$ आयतन की हवा टायर में जोड़ी जाती है, तो दबाव $\Delta P$ बढ़ जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $P V^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$.
एक स्ट्रोक से पहले और बाद की स्थिति पर विचार करने पर:
$P (V + \Delta V)^{\gamma} = (P + \Delta P) V^{\gamma}$
$P V^{\gamma} (1 + \frac{\Delta V}{V})^{\gamma} = (P + \Delta P) V^{\gamma}$
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर:
$P (1 + \gamma \frac{\Delta V}{V}) = P + \Delta P$
$P + \gamma P \frac{\Delta V}{V} = P + \Delta P$
$\gamma P \frac{\Delta V}{V} = \Delta P \implies \Delta V = \frac{V}{\gamma P} \Delta P$
अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तनों की सीमा में, $dV = \frac{V}{\gamma P} dP$.
दबाव को $P_1$ से $P_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = \int P dV = \int_{P_1}^{P_2} P \left( \frac{V}{\gamma P} dP \right)$
$W = \frac{V}{\gamma} \int_{P_1}^{P_2} dP$
$W = \frac{V}{\gamma} (P_2 - P_1)$
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $P V^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$.
एक स्ट्रोक से पहले और बाद की स्थिति पर विचार करने पर:
$P (V + \Delta V)^{\gamma} = (P + \Delta P) V^{\gamma}$
$P V^{\gamma} (1 + \frac{\Delta V}{V})^{\gamma} = (P + \Delta P) V^{\gamma}$
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर:
$P (1 + \gamma \frac{\Delta V}{V}) = P + \Delta P$
$P + \gamma P \frac{\Delta V}{V} = P + \Delta P$
$\gamma P \frac{\Delta V}{V} = \Delta P \implies \Delta V = \frac{V}{\gamma P} \Delta P$
अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तनों की सीमा में, $dV = \frac{V}{\gamma P} dP$.
दबाव को $P_1$ से $P_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = \int P dV = \int_{P_1}^{P_2} P \left( \frac{V}{\gamma P} dP \right)$
$W = \frac{V}{\gamma} \int_{P_1}^{P_2} dP$
$W = \frac{V}{\gamma} (P_2 - P_1)$
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DifficultMCQ
एक इंजन $20\,^{\circ}C$ और $1\,atm$ पर $5$ मोल हवा लेता है और इसे रुद्धोष्म (adiabatic) रूप से इसके मूल आयतन के $1/10$ भाग तक संकुचित करता है। हवा को कठोर अणुओं से बना एक द्वि-परमाणुक आदर्श गैस मानते हुए,इस प्रक्रिया के दौरान इसकी आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $X\,kJ$ है। $X$ का मान निकटतम पूर्णांक में ज्ञात कीजिए।
A
$46.87$
B
$45.78$
C
$55.78$
D
$50.23$
Solution
(A) कठोर अणुओं वाली द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 7/5 = 1.4$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 20 + 273 = 293\,K$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
दिया गया है $V_2 = V_1 / 10$,इसलिए $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma-1} = 293 \times (10)^{0.4} = 293 \times 2.5118 \approx 735.96\,K$.
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = n (fR/2) (T_2 - T_1)$.
$n = 5$,$f = 5$,और $R = 8.314\,J/(mol\cdot K)$ का उपयोग करने पर:
$\Delta U = 5 \times (5 \times 8.314 / 2) \times (735.96 - 293) = 12.5 \times 8.314 \times 442.96 \approx 46056\,J = 46.056\,kJ$.
निकटतम पूर्णांक में,$X \approx 46$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 20 + 273 = 293\,K$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
दिया गया है $V_2 = V_1 / 10$,इसलिए $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma-1} = 293 \times (10)^{0.4} = 293 \times 2.5118 \approx 735.96\,K$.
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = n (fR/2) (T_2 - T_1)$.
$n = 5$,$f = 5$,और $R = 8.314\,J/(mol\cdot K)$ का उपयोग करने पर:
$\Delta U = 5 \times (5 \times 8.314 / 2) \times (735.96 - 293) = 12.5 \times 8.314 \times 442.96 \approx 46056\,J = 46.056\,kJ$.
निकटतम पूर्णांक में,$X \approx 46$.
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MediumMCQ
एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,एक द्विपरमाणुक (diatomic) गैस का घनत्व उसके प्रारंभिक मान का $32$ गुना हो जाता है। गैस का अंतिम दाब प्रारंभिक दाब का $n$ गुना पाया जाता है। $n$ का मान है
A
$326$
B
$\frac{1}{32}$
C
$32$
D
$128$
Solution
(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$,इसलिए $V = \frac{m}{\rho}$ होता है।
इसे रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P \left(\frac{m}{\rho}\right)^{\gamma} = \text{constant}$.
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \rho^{\gamma}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{P_f}{P_i} = \left(\frac{\rho_f}{\rho_i}\right)^{\gamma}$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ है।
दिया गया है कि $\rho_f = 32 \rho_i$,इसलिए $\frac{\rho_f}{\rho_i} = 32$.
इस प्रकार,$n = \frac{P_f}{P_i} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^7 = 128$.
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$,इसलिए $V = \frac{m}{\rho}$ होता है।
इसे रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P \left(\frac{m}{\rho}\right)^{\gamma} = \text{constant}$.
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \rho^{\gamma}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{P_f}{P_i} = \left(\frac{\rho_f}{\rho_i}\right)^{\gamma}$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ है।
दिया गया है कि $\rho_f = 32 \rho_i$,इसलिए $\frac{\rho_f}{\rho_i} = 32$.
इस प्रकार,$n = \frac{P_f}{P_i} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^7 = 128$.
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DifficultMCQ
कठोर द्वि-परमाणुक अणुओं से बनी एक गैस शुरू में मानक स्थितियों $(T_1 = 300 \, K)$ में थी। फिर,गैस को उसके प्रारंभिक आयतन के पांचवें हिस्से तक रुद्धोष्म (adiabatically) रूप से संकुचित किया गया। अंतिम अवस्था में घूर्णन करते हुए अणु की औसत गतिज ऊर्जा क्या होगी?
A
$1.44 \, J$
B
$4.55 \, J$
C
$787.98 \times 10^{-23} \, J$
D
$757.3 \times 10^{-23} \, J$
Solution
(C) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म घातांक $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ है।
दिया गया है $T_1 = 300 \, K$ और $V_2 = \frac{V_1}{5}$,इसलिए:
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 300 \times (5)^{\frac{7}{5}-1} = 300 \times 5^{0.4}$.
$5^{0.4} \approx 1.9036$ लेने पर,$T_2 = 300 \times 1.9036 = 571.08 \, K$.
द्वि-परमाणुक अणु के लिए घूर्णन की औसत गतिज ऊर्जा $E_{rot} = k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, J/K$ है।
$E_{rot} = 1.38 \times 10^{-23} \times 571.08 = 788.09 \times 10^{-23} \, J$,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ है।
दिया गया है $T_1 = 300 \, K$ और $V_2 = \frac{V_1}{5}$,इसलिए:
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 300 \times (5)^{\frac{7}{5}-1} = 300 \times 5^{0.4}$.
$5^{0.4} \approx 1.9036$ लेने पर,$T_2 = 300 \times 1.9036 = 571.08 \, K$.
द्वि-परमाणुक अणु के लिए घूर्णन की औसत गतिज ऊर्जा $E_{rot} = k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, J/K$ है।
$E_{rot} = 1.38 \times 10^{-23} \times 571.08 = 788.09 \times 10^{-23} \, J$,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।
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MediumMCQ
चित्र में एक द्वि-परमाणुक आदर्श गैस प्रणाली का $P-V$ आरेख दिखाया गया है जो एक चक्रीय प्रक्रिया से गुजर रही है। रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया $CD$ के दौरान किया गया कार्य है ($\gamma=1.4$ का उपयोग करें) ($J$ में):
A
$-500$
B
$-400$
C
$400$
D
$200$
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया $C$ से $D$ तक होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किए गए कार्य का सूत्र है:
$W = \frac{P_D V_D - P_C V_C}{1 - \gamma}$
दिए गए $P-V$ आरेख से:
बिंदु $C$ पर: $P_C = 100 \, N/m^2$,$V_C = 4 \, m^3$
बिंदु $D$ पर: $P_D = 200 \, N/m^2$,$V_D = 3 \, m^3$
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{(200 \times 3) - (100 \times 4)}{1 - 1.4}$
$W = \frac{600 - 400}{-0.4}$
$W = \frac{200}{-0.4}$
$W = -500 \, J$
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किए गए कार्य का सूत्र है:
$W = \frac{P_D V_D - P_C V_C}{1 - \gamma}$
दिए गए $P-V$ आरेख से:
बिंदु $C$ पर: $P_C = 100 \, N/m^2$,$V_C = 4 \, m^3$
बिंदु $D$ पर: $P_D = 200 \, N/m^2$,$V_D = 3 \, m^3$
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{(200 \times 3) - (100 \times 4)}{1 - 1.4}$
$W = \frac{600 - 400}{-0.4}$
$W = \frac{200}{-0.4}$
$W = -500 \, J$
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MediumMCQ
एक आदर्श गैस के रुद्धोष्म (adiabatic) प्रसार के लिए,इसके दाब में भिन्नात्मक परिवर्तन किसके बराबर है (जहाँ $\gamma$ विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात है):
A
$-\gamma \frac{ dV }{ V }$
B
$-\gamma \frac{ V }{ dV }$
C
$-\frac{1}{\gamma} \frac{ dV }{ V }$
D
$\frac{ dV }{ V }$
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = 0$
अवकलज ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = -\gamma P V^{\gamma-1}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P V^{\gamma-1}}{V^{\gamma}}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P}{V}$
दोनों पक्षों को $dV$ से गुणा करने और $P$ से विभाजित करने पर दाब में भिन्नात्मक परिवर्तन प्राप्त होता है:
$\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = 0$
अवकलज ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = -\gamma P V^{\gamma-1}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P V^{\gamma-1}}{V^{\gamma}}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P}{V}$
दोनों पक्षों को $dV$ से गुणा करने और $P$ से विभाजित करने पर दाब में भिन्नात्मक परिवर्तन प्राप्त होता है:
$\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$
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DifficultMCQ
$\gamma=1.5$ वाले गैस के एक नमूने को एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया से गुजारा जाता है जिसमें आयतन $1200 \, cm^3$ से घटकर $300 \, cm^3$ हो जाता है। यदि प्रारंभिक दाब $200 \, kPa$ है,तो प्रक्रिया में गैस द्वारा किए गए कार्य का निरपेक्ष मान (जूल में) ज्ञात कीजिए।
A
$0.5$
B
$240$
C
$48$
D
$480$
Solution
(D) दिया गया है: $\gamma = 1.5$,$P_1 = 200 \, kPa = 2 \times 10^5 \, Pa$,$V_1 = 1200 \, cm^3 = 1.2 \times 10^{-3} \, m^3$,$V_2 = 300 \, cm^3 = 0.3 \times 10^{-3} \, m^3$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P_2 = P_1 (V_1 / V_2)^{\gamma} = 200 \times (1200 / 300)^{1.5} = 200 \times (4)^{1.5} = 200 \times 8 = 1600 \, kPa = 16 \times 10^5 \, Pa$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$ होता है।
$W = \frac{(2 \times 10^5 \times 1.2 \times 10^{-3}) - (16 \times 10^5 \times 0.3 \times 10^{-3})}{1.5 - 1} = \frac{240 - 480}{0.5} = \frac{-240}{0.5} = -480 \, J$.
अतः,कार्य का निरपेक्ष मान $|W| = 480 \, J$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P_2 = P_1 (V_1 / V_2)^{\gamma} = 200 \times (1200 / 300)^{1.5} = 200 \times (4)^{1.5} = 200 \times 8 = 1600 \, kPa = 16 \times 10^5 \, Pa$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$ होता है।
$W = \frac{(2 \times 10^5 \times 1.2 \times 10^{-3}) - (16 \times 10^5 \times 0.3 \times 10^{-3})}{1.5 - 1} = \frac{240 - 480}{0.5} = \frac{-240}{0.5} = -480 \, J$.
अतः,कार्य का निरपेक्ष मान $|W| = 480 \, J$ है।
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DifficultMCQ
एक मोनोएटोमिक आदर्श गैस, जो शुरू में $T_{1}$ तापमान पर है, एक घर्षण रहित पिस्टन लगे सिलेंडर में बंद है। पिस्टन को अचानक मुक्त करके गैस को $T_{2}$ तापमान तक रुद्धोष्म (adiabatic) रूप से प्रसारित होने दिया जाता है। यदि $l_{1}$ और $l_{2}$ क्रमशः प्रसार से पहले और बाद में गैस कॉलम की लंबाई हैं, तो $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ का मान क्या होगा?
A
$\left(\frac{l_{1}}{l_{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$
B
$\frac{l_{1}}{l_{2}}$
C
$\left(\frac{l_{2}}{l_{1}}\right)^{\frac{2}{3}}$
D
$\frac{l_{2}}{l_{1}}$
Solution
(C) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
एक मोनोएटोमिक आदर्श गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
अतः, संबंध $T_{1}V_{1}^{\gamma-1} = T_{2}V_{2}^{\gamma-1}$ हो जाता है।
तापमान के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1}$।
चूंकि गैस $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले सिलेंडर में है, इसलिए आयतन $V = A \times l$ होता है, जहाँ $l$ गैस कॉलम की लंबाई है।
$V_{1} = A l_{1}$ और $V_{2} = A l_{2}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$ प्राप्त होता है।
$\gamma = \frac{5}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{l_{2}}{l_{1}}\right)^{\frac{2}{3}}$।
एक मोनोएटोमिक आदर्श गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
अतः, संबंध $T_{1}V_{1}^{\gamma-1} = T_{2}V_{2}^{\gamma-1}$ हो जाता है।
तापमान के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1}$।
चूंकि गैस $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले सिलेंडर में है, इसलिए आयतन $V = A \times l$ होता है, जहाँ $l$ गैस कॉलम की लंबाई है।
$V_{1} = A l_{1}$ और $V_{2} = A l_{2}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$ प्राप्त होता है।
$\gamma = \frac{5}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{l_{2}}{l_{1}}\right)^{\frac{2}{3}}$।
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MediumMCQ
दी गई आकृति में,एक द्विपरमाणुक गैस के $1 \, mol$ के नमूने पर एक चक्रीय प्रक्रिया $ABCDA$ हो रही है। प्रक्रिया $A \rightarrow B$ और $C \rightarrow D$ के दौरान गैस का तापमान क्रमशः $T_{1}$ और $T_{2}$ $(T_{1} > T_{2})$ है। यदि प्रक्रियाएं $BC$ और $DA$ रुद्धोष्म (adiabatic) हैं,तो किए गए कार्य के लिए सही विकल्प चुनें।
A
$W_{AB} < W_{CD}$
B
$W_{AD} = W_{BC}$
C
$W_{BC} + W_{DA} > 0$
D
$W_{AB} = W_{DC}$
Solution
(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $BC$ के लिए,गैस का तापमान $T_1$ ($B$ पर) से $T_2$ ($C$ पर) हो जाता है। अतः,$W_{BC} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $DA$ के लिए,गैस का तापमान $T_2$ ($D$ पर) से $T_1$ ($A$ पर) हो जाता है। अतः,$W_{DA} = \frac{nR(T_2 - T_1)}{\gamma - 1} = -\frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$।
यहाँ,रुद्धोष्म प्रक्रियाओं में किए गए कार्य का परिमाण समान है लेकिन चिह्न विपरीत हैं। यदि प्रश्न परिमाण (magnitude) के बारे में है,तो $W_{AD} = W_{BC}$ सही विकल्प है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $BC$ के लिए,गैस का तापमान $T_1$ ($B$ पर) से $T_2$ ($C$ पर) हो जाता है। अतः,$W_{BC} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $DA$ के लिए,गैस का तापमान $T_2$ ($D$ पर) से $T_1$ ($A$ पर) हो जाता है। अतः,$W_{DA} = \frac{nR(T_2 - T_1)}{\gamma - 1} = -\frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$।
यहाँ,रुद्धोष्म प्रक्रियाओं में किए गए कार्य का परिमाण समान है लेकिन चिह्न विपरीत हैं। यदि प्रश्न परिमाण (magnitude) के बारे में है,तो $W_{AD} = W_{BC}$ सही विकल्प है।
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MediumMCQ
एक मोल आदर्श गैस को एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया से गुजारा जाता है जहाँ तापमान $27^{\circ}C$ से बढ़कर $37^{\circ}C$ हो जाता है। यदि आदर्श गैस बहुपरमाणुक अणुओं से बनी है जिनमें $4$ कंपन मोड (vibrational modes) हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
A
गैस पर किया गया कार्य $582\,J$ के करीब है
B
गैस द्वारा किया गया कार्य $332\,J$ के करीब है
C
गैस द्वारा किया गया कार्य $582\,J$ के करीब है
D
गैस पर किया गया कार्य $332\,J$ के करीब है
Solution
(A) बहुपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $f = f_{\text{trans}} + f_{\text{rot}} + f_{\text{vib}}$.
यहाँ $f_{\text{trans}} = 3$,$f_{\text{rot}} = 3$,और $f_{\text{vib}} = 2 \times 4 = 8$ (क्योंकि प्रत्येक कंपन मोड $2$ स्वतंत्रता की कोटि प्रदान करता है)।
अतः,$f = 3 + 3 + 8 = 14$.
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{14} = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR\Delta T}{1-\gamma}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 1$,$R = 8.314\,J/mol\cdot K$,$\Delta T = 37 - 27 = 10\,K$,और $\gamma = 8/7$.
$W = \frac{1 \times 8.314 \times 10}{1 - 8/7} = \frac{83.14}{-1/7} = -83.14 \times 7 = -581.98\,J \approx -582\,J$.
चूंकि किया गया कार्य $W$ ऋणात्मक है,इसलिए गैस पर कार्य किया जाता है।
यहाँ $f_{\text{trans}} = 3$,$f_{\text{rot}} = 3$,और $f_{\text{vib}} = 2 \times 4 = 8$ (क्योंकि प्रत्येक कंपन मोड $2$ स्वतंत्रता की कोटि प्रदान करता है)।
अतः,$f = 3 + 3 + 8 = 14$.
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{14} = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR\Delta T}{1-\gamma}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 1$,$R = 8.314\,J/mol\cdot K$,$\Delta T = 37 - 27 = 10\,K$,और $\gamma = 8/7$.
$W = \frac{1 \times 8.314 \times 10}{1 - 8/7} = \frac{83.14}{-1/7} = -83.14 \times 7 = -581.98\,J \approx -582\,J$.
चूंकि किया गया कार्य $W$ ऋणात्मक है,इसलिए गैस पर कार्य किया जाता है।
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MediumMCQ
नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन-$I$: जब $\mu$ मात्रा में एक आदर्श गैस अवस्था $(P_1, V_1, T_1)$ से अवस्था $(P_2, V_2, T_2)$ तक रुद्धोष्म (adiabatic) परिवर्तन से गुजरती है,तो किया गया कार्य $W = \frac{\mu R(T_2 - T_1)}{1 - \gamma}$ होता है,जहाँ $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
कथन-$II$: उपरोक्त स्थिति में,जब गैस पर कार्य किया जाता है,तो गैस का तापमान बढ़ जाएगा।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
कथन-$I$: जब $\mu$ मात्रा में एक आदर्श गैस अवस्था $(P_1, V_1, T_1)$ से अवस्था $(P_2, V_2, T_2)$ तक रुद्धोष्म (adiabatic) परिवर्तन से गुजरती है,तो किया गया कार्य $W = \frac{\mu R(T_2 - T_1)}{1 - \gamma}$ होता है,जहाँ $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
कथन-$II$: उपरोक्त स्थिति में,जब गैस पर कार्य किया जाता है,तो गैस का तापमान बढ़ जाएगा।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
कथन-$I$ और कथन-$II$ दोनों सत्य हैं।
B
कथन-$I$ और कथन-$II$ दोनों असत्य हैं।
C
कथन-$I$ सत्य है लेकिन कथन-$II$ असत्य है।
D
कथन-$I$ असत्य है लेकिन कथन-$II$ सत्य है।
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$\mu$ मोल आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ का सूत्र $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ है,जिसे $W = \frac{\mu R(T_2 - T_1)}{1 - \gamma}$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,कथन-$I$ सत्य है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = W + \Delta U$ होता है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$Q = 0$,इसलिए $\Delta U = -W$ होता है।
जब गैस पर कार्य किया जाता है,तो $W < 0$ होता है। इसलिए,$\Delta U = -W > 0$ होता है। चूँकि $\Delta U = \mu C_V \Delta T$,आंतरिक ऊर्जा में धनात्मक परिवर्तन तापमान में वृद्धि को दर्शाता है। अतः,कथन-$II$ सत्य है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = W + \Delta U$ होता है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$Q = 0$,इसलिए $\Delta U = -W$ होता है।
जब गैस पर कार्य किया जाता है,तो $W < 0$ होता है। इसलिए,$\Delta U = -W > 0$ होता है। चूँकि $\Delta U = \mu C_V \Delta T$,आंतरिक ऊर्जा में धनात्मक परिवर्तन तापमान में वृद्धि को दर्शाता है। अतः,कथन-$II$ सत्य है।
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DifficultMCQ
$P$ दाब और $V$ आयतन वाली एक एकपरमाणुक गैस को अचानक उसके मूल आयतन के आठवें भाग तक संपीड़ित किया जाता है। स्थिर एन्ट्रॉपी पर अंतिम दाब $.....P$ होगा।
A
$1$
B
$8$
C
$32$
D
$64$
Solution
(C) स्थिर एन्ट्रॉपी वाली प्रक्रिया एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
दिया गया है,प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V}{8}$ है।
रुद्धोष्म समीकरण का उपयोग करने पर: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$।
मान रखने पर: $P \cdot V^{5/3} = P_2 \cdot (\frac{V}{8})^{5/3}$।
$P_2 = P \cdot (\frac{V}{V/8})^{5/3} = P \cdot (8)^{5/3}$।
$P_2 = P \cdot (2^3)^{5/3} = P \cdot 2^5$।
$P_2 = 32P$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
दिया गया है,प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V}{8}$ है।
रुद्धोष्म समीकरण का उपयोग करने पर: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$।
मान रखने पर: $P \cdot V^{5/3} = P_2 \cdot (\frac{V}{8})^{5/3}$।
$P_2 = P \cdot (\frac{V}{V/8})^{5/3} = P \cdot (8)^{5/3}$।
$P_2 = P \cdot (2^3)^{5/3} = P \cdot 2^5$।
$P_2 = 32P$।
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MediumMCQ
एक द्विपरमाणुक गैस $\left(\gamma = \frac{7}{5}\right)$ का दाब $P_{1}$ और घनत्व $d_{1}$ एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के दौरान अचानक बदलकर क्रमशः $P_{2} (> P_{1})$ और $d_{2}$ हो जाते हैं। गैस का तापमान बढ़ता है और अपने प्रारंभिक तापमान का $......$ गुना हो जाता है। (दिया है $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 32$)
A
$5$
B
$2$
C
$4$
D
$8$
Solution
(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और घनत्व $d$ के बीच संबंध $P \propto d^{\gamma}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \left(\frac{d_{2}}{d_{1}}\right)^{\gamma}$.
दिया है $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 32$ और $\gamma = \frac{7}{5}$,इसलिए $\frac{P_{2}}{P_{1}} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^7 = 128$.
आदर्श गैस समीकरण $P = \frac{dRT}{M}$ का उपयोग करने पर,हमें $T \propto \frac{P}{d}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{P_{1}} \times \frac{d_{1}}{d_{2}}$.
मान रखने पर,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = 128 \times \frac{1}{32} = 4$.
इस प्रकार,तापमान अपने प्रारंभिक तापमान का $4$ गुना हो जाता है।
अतः,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \left(\frac{d_{2}}{d_{1}}\right)^{\gamma}$.
दिया है $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 32$ और $\gamma = \frac{7}{5}$,इसलिए $\frac{P_{2}}{P_{1}} = (32)^{7/5} = (2^5)^{7/5} = 2^7 = 128$.
आदर्श गैस समीकरण $P = \frac{dRT}{M}$ का उपयोग करने पर,हमें $T \propto \frac{P}{d}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{P_{1}} \times \frac{d_{1}}{d_{2}}$.
मान रखने पर,$\frac{T_{2}}{T_{1}} = 128 \times \frac{1}{32} = 4$.
इस प्रकार,तापमान अपने प्रारंभिक तापमान का $4$ गुना हो जाता है।
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AdvancedMCQ
एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = 5pV/2 + C$ द्वारा दी गई है,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है। $pV$-तल में रुद्धोष्म (adiabats) का समीकरण क्या होगा?
A
$p^{5} V^{7} = \text{स्थिरांक}$
B
$p^{7} V^{5} = \text{स्थिरांक}$
C
$p^{3} V^{5} = \text{स्थिरांक}$
D
$p^{5} V^{2} = \text{स्थिरांक}$
Solution
(A) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{V} = \frac{dU}{dT}$ द्वारा दी जाती है।
$1$ मोल आदर्श गैस के लिए,$U = \frac{f}{2}RT + C$,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
दिया गया है $U = \frac{5}{2}pV + C$। चूँकि $1$ मोल के लिए $pV = RT$,इसलिए $U = \frac{5}{2}RT + C$ होगा।
इसे $U = \frac{f}{2}RT + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{f}{2} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f = 5$।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma$ का मान $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए समीकरण $pV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
$\gamma = \frac{7}{5}$ रखने पर,हमें $pV^{7/5} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की घात $5$ करने पर,हमें $p^{5}V^{7} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
$1$ मोल आदर्श गैस के लिए,$U = \frac{f}{2}RT + C$,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
दिया गया है $U = \frac{5}{2}pV + C$। चूँकि $1$ मोल के लिए $pV = RT$,इसलिए $U = \frac{5}{2}RT + C$ होगा।
इसे $U = \frac{f}{2}RT + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{f}{2} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f = 5$।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma$ का मान $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए समीकरण $pV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
$\gamma = \frac{7}{5}$ रखने पर,हमें $pV^{7/5} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों की घात $5$ करने पर,हमें $p^{5}V^{7} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$T$ प्रारंभिक तापमान पर एक गैस $V$ आयतन से $2 \, V$ आयतन तक अचानक प्रसारित होती है। तो,
A
प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है
B
प्रक्रिया समतापीय (isothermal) है
C
इस प्रक्रिया में किया गया कार्य $n R T \ln_{e}(2)$ है,जहाँ $n$ गैस के मोलों की संख्या है
D
प्रक्रिया में एन्ट्रॉपी नहीं बदलती है
Solution
(A) अचानक हुए प्रसार में,समय की अवधि बहुत कम होती है।
चूंकि प्रक्रिया बहुत तेजी से होती है,इसलिए गैस और उसके परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए पर्याप्त समय नहीं मिलता है।
इसलिए,ऊष्मा का प्रवाह $\Delta Q = 0$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें कोई ऊष्मा न तो प्रणाली में प्रवेश करती है और न ही बाहर निकलती है,रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया कहलाती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
चूंकि प्रक्रिया बहुत तेजी से होती है,इसलिए गैस और उसके परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए पर्याप्त समय नहीं मिलता है।
इसलिए,ऊष्मा का प्रवाह $\Delta Q = 0$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें कोई ऊष्मा न तो प्रणाली में प्रवेश करती है और न ही बाहर निकलती है,रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया कहलाती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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AdvancedMCQ
एक मोल आदर्श गैस की ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3R(1 + aRT)}{2}$ पाई जाती है,जहाँ $a$ एक नियतांक है। उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार के दौरान इस गैस द्वारा पालन किया जाने वाला समीकरण है
A
$TV^{3/2} e^{aRT} = \text{नियतांक}$
B
$TV^{3/2} e^{3aRT/2} = \text{नियतांक}$
C
$TV^{3/2} = \text{नियतांक}$
D
$TV^{3/2} e^{2aRT/3} = \text{नियतांक}$
Solution
(A) उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $dQ = dU + dW = 0$ है,इसलिए $dU = -dW$।
दिया गया है $dU = C_V dT$ और $dW = P dV = \frac{RT}{V} dV$ (एक मोल आदर्श गैस के लिए)।
अतः,$C_V dT = -\frac{RT}{V} dV$।
$C_V = \frac{3R(1 + aRT)}{2}$ रखने पर:
$\frac{3R(1 + aRT)}{2} dT = -\frac{RT}{V} dV$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{3(1 + aRT)}{2T} dT = -\frac{R}{V} dV$।
$\frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\frac{R}{V} dV$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\int \frac{R}{V} dV$।
$\frac{3}{2} (\ln T + aRT) = -R \ln V + \text{नियतांक}$।
$\ln T^{3/2} + \frac{3}{2} aRT = -\ln V^R + \text{नियतांक}$।
$\ln (T^{3/2} V^R) + \frac{3}{2} aRT = \text{नियतांक}$।
चूंकि $R$ एक नियतांक है,हम इसे $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{नियतांक}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{नियतांक}$ है।
दिया गया है $dU = C_V dT$ और $dW = P dV = \frac{RT}{V} dV$ (एक मोल आदर्श गैस के लिए)।
अतः,$C_V dT = -\frac{RT}{V} dV$।
$C_V = \frac{3R(1 + aRT)}{2}$ रखने पर:
$\frac{3R(1 + aRT)}{2} dT = -\frac{RT}{V} dV$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{3(1 + aRT)}{2T} dT = -\frac{R}{V} dV$।
$\frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\frac{R}{V} dV$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\int \frac{R}{V} dV$।
$\frac{3}{2} (\ln T + aRT) = -R \ln V + \text{नियतांक}$।
$\ln T^{3/2} + \frac{3}{2} aRT = -\ln V^R + \text{नियतांक}$।
$\ln (T^{3/2} V^R) + \frac{3}{2} aRT = \text{नियतांक}$।
चूंकि $R$ एक नियतांक है,हम इसे $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{नियतांक}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{नियतांक}$ है।
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AdvancedMCQ
$n$ मोल वास्तविक गैस का अवस्था समीकरण $\left(p+\frac{n^2 a}{V^2}\right)(V-n b)=n R T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ गैस के स्थिरांक हैं। इस गैस के लिए एक अर्ध-स्थैतिक रुद्धोष्म (quasistatic adiabat) प्रक्रिया का समीकरण निम्नलिखित में से कौन सा हो सकता है? (मान लें कि $C_V$,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा,तापमान से स्वतंत्र है।)
A
$T(V-n b)^{R / C_V} = \text{स्थिरांक}$
B
$T(V-n b)^{C_V / R} = \text{स्थिरांक}$
C
$\left(T+\frac{a b}{V^2 R}\right)(V-n b)^{R / C_V} = \text{स्थिरांक}$
D
$\left(T+\frac{n^2 a b}{V^2 R}\right)(V-n b)^{C_V / R} = \text{स्थिरांक}$
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार $dU = dQ + dW$ होता है। चूँकि $dQ = 0$,इसलिए $dU = dW = -p dV$ होगा।
वान डर वाल्स गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$,$T$ और $V$ दोनों पर निर्भर करती है। अवकल परिवर्तन $dU = C_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV$ है।
ऊष्मागतिक संबंध $\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p$ का उपयोग करने पर,और अवस्था समीकरण $p = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}$ से,हमें $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{V-nb}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{nR}{V-nb}\right) - \left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}\right) = \frac{n^2 a}{V^2}$।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $C_V dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV = -p dV$।
$C_V dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV = -\left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}\right) dV$।
$C_V dT = -\frac{nRT}{V-nb} dV$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{dT}{T} = -\frac{nR}{C_V} \frac{dV}{V-nb}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln T = -\frac{nR}{C_V} \ln(V-nb) + \text{स्थिरांक}$।
$T(V-nb)^{nR/C_V} = \text{स्थिरांक}$। चूँकि $n$ स्थिरांक है,यह $T(V-nb)^{R/C_V} = \text{स्थिरांक}$ के बराबर है।
वान डर वाल्स गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$,$T$ और $V$ दोनों पर निर्भर करती है। अवकल परिवर्तन $dU = C_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV$ है।
ऊष्मागतिक संबंध $\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p$ का उपयोग करने पर,और अवस्था समीकरण $p = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}$ से,हमें $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{V-nb}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{nR}{V-nb}\right) - \left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}\right) = \frac{n^2 a}{V^2}$।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $C_V dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV = -p dV$।
$C_V dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV = -\left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}\right) dV$।
$C_V dT = -\frac{nRT}{V-nb} dV$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{dT}{T} = -\frac{nR}{C_V} \frac{dV}{V-nb}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln T = -\frac{nR}{C_V} \ln(V-nb) + \text{स्थिरांक}$।
$T(V-nb)^{nR/C_V} = \text{स्थिरांक}$। चूँकि $n$ स्थिरांक है,यह $T(V-nb)^{R/C_V} = \text{स्थिरांक}$ के बराबर है।
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MediumMCQ
एक गैस का बल्क मॉडुलस $B = -V (dp / dV)$ के रूप में परिभाषित है। रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,$B$ का परिवर्तन $p^n$ के समानुपाती है। एक आदर्श गैस के लिए $n$ का मान है:
A
शून्य
B
$1$
C
$5 / 3$
D
$2$
Solution
(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए बल्क मॉडुलस $B$ का सूत्र $B = -V (dp / dV)$ है।
आदर्श गैस के लिए रुद्धोष्म प्रक्रिया में,दाब $p$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $pV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ होता है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dp V^{\gamma} + p (\gamma V^{\gamma-1}) dV = 0$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$dp / dV = -\gamma p / V$ मिलता है।
इस मान को $B$ के व्यंजक में रखने पर,$B = -V (-\gamma p / V) = \gamma p$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\gamma$ एक नियतांक है,इसलिए $B \propto p^1$ होता है।
दिए गए संबंध $B \propto p^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 1$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस के लिए रुद्धोष्म प्रक्रिया में,दाब $p$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $pV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ होता है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dp V^{\gamma} + p (\gamma V^{\gamma-1}) dV = 0$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$dp / dV = -\gamma p / V$ मिलता है।
इस मान को $B$ के व्यंजक में रखने पर,$B = -V (-\gamma p / V) = \gamma p$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\gamma$ एक नियतांक है,इसलिए $B \propto p^1$ होता है।
दिए गए संबंध $B \propto p^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 1$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
जेट विमान $30000 \,ft$ से अधिक ऊंचाई पर उड़ते हैं, जहां हवा बहुत ठंडी $-40^{\circ} C$ होती है और दबाव $0.28 \,atm$ होता है। केबिन का दबाव $1 \,atm$ बनाए रखने के लिए एक कंप्रेसर का उपयोग किया जाता है जो बाहर की हवा को एडियाबेटिक रूप से अंदर लाता है। केबिन का तापमान $25^{\circ} C$ आरामदायक बनाए रखने के लिए, हमें अतिरिक्त रूप से किसकी आवश्यकता होगी?
A
केबिन में इंजेक्ट की गई हवा को गर्म करने के लिए एक हीटर
B
केबिन में इंजेक्ट की गई हवा को ठंडा करने के लिए एक एयर-कंडीशनर
C
न तो हीटर और न ही एयर-कंडीशनर, कंप्रेसर पर्याप्त है
D
कंप्रेसर चक्र के दो हिस्सों में वैकल्पिक रूप से गर्म और ठंडा करना
Solution
(B) कंप्रेसर में हवा का संपीड़न एक एडियाबेटिक प्रक्रिया है।
एडियाबेटिक संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $P_{\text{in}}^{1-\gamma} T_{\text{in}}^{\gamma} = P_{\text{out}}^{1-\gamma} T_{\text{out}}^{\gamma}$ है।
दिया गया है $P_{\text{in}} = 0.28 \,atm$, $T_{\text{in}} = -40^{\circ} C = 233 \,K$, $P_{\text{out}} = 1 \,atm$, और $\gamma = 1.4 = 7/5$ है।
मान रखने पर: $(0.28)^{1-1.4} (233)^{1.4} = (1)^{1-1.4} (T_{\text{out}})^{1.4}$।
$(0.28)^{-0.4} (233)^{1.4} = (T_{\text{out}})^{1.4}$।
$T_{\text{out}} = 233 \times (0.28)^{-0.4/1.4} = 233 \times (0.28)^{-2/7}$।
इसकी गणना करने पर, $T_{\text{out}} \approx 233 \times 1.48 \approx 345 \,K$ प्राप्त होता है।
चूंकि $345 \,K$ लगभग $72^{\circ} C$ है, जो केबिन के आवश्यक तापमान $25^{\circ} C$ से काफी अधिक है, इसलिए हवा को ठंडा करने के लिए एयर-कंडीशनर की आवश्यकता होगी।
एडियाबेटिक संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $P_{\text{in}}^{1-\gamma} T_{\text{in}}^{\gamma} = P_{\text{out}}^{1-\gamma} T_{\text{out}}^{\gamma}$ है।
दिया गया है $P_{\text{in}} = 0.28 \,atm$, $T_{\text{in}} = -40^{\circ} C = 233 \,K$, $P_{\text{out}} = 1 \,atm$, और $\gamma = 1.4 = 7/5$ है।
मान रखने पर: $(0.28)^{1-1.4} (233)^{1.4} = (1)^{1-1.4} (T_{\text{out}})^{1.4}$।
$(0.28)^{-0.4} (233)^{1.4} = (T_{\text{out}})^{1.4}$।
$T_{\text{out}} = 233 \times (0.28)^{-0.4/1.4} = 233 \times (0.28)^{-2/7}$।
इसकी गणना करने पर, $T_{\text{out}} \approx 233 \times 1.48 \approx 345 \,K$ प्राप्त होता है।
चूंकि $345 \,K$ लगभग $72^{\circ} C$ है, जो केबिन के आवश्यक तापमान $25^{\circ} C$ से काफी अधिक है, इसलिए हवा को ठंडा करने के लिए एयर-कंडीशनर की आवश्यकता होगी।
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AdvancedMCQ
एक वैन डर वाल्स गैस अवस्था समीकरण $\left(p+\frac{n^2 a}{V^2}\right)(V-n b)=n R T$ का पालन करती है। इसकी आंतरिक ऊर्जा $U=C T-\frac{n^2 a}{V}$ द्वारा दी गई है। इस गैस के लिए एक क्वासीस्टैटिक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया का समीकरण क्या है?
A
$T^{C / n R} \cdot V = \text{स्थिरांक}$
B
$T^{(C+n R) / n R} \cdot V = \text{स्थिरांक}$
C
$T^{C / n R} \cdot(V-n b) = \text{स्थिरांक}$
D
$p^{(C+n R) / n R} \cdot(V-n b) = \text{स्थिरांक}$
Solution
(C) एक क्वासीस्टैटिक रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $dQ = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$dU = dQ - dW$,इसलिए $dW = -dU$ होता है।
दिया गया है $U = CT - \frac{n^2 a}{V}$,आंतरिक ऊर्जा में अवकलित परिवर्तन $dU = C dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV$ है।
साथ ही,किया गया कार्य $dW = p dV$ है।
$dW = -dU$ को बराबर करने पर,हमें $p dV = -(C dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV)$ प्राप्त होता है।
वैन डर वाल्स समीकरण $p = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}$ को उपरोक्त समीकरण में रखने पर:
$(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}) dV = -C dT - \frac{n^2 a}{V^2} dV$.
दोनों पक्षों से $-\frac{n^2 a}{V^2} dV$ पद कट जाएगा:
$\frac{nRT}{V-nb} dV = -C dT$.
चरों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dV}{V-nb} = -\frac{C}{nR} \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dV}{V-nb} = -\frac{C}{nR} \int \frac{dT}{T}$.
इससे $\ln(V-nb) = -\frac{C}{nR} \ln T + \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\ln(V-nb) + \ln(T^{C/nR}) = \text{स्थिरांक}$ मिलता है।
अतः,$T^{C/nR} \cdot (V-nb) = \text{स्थिरांक}$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$dU = dQ - dW$,इसलिए $dW = -dU$ होता है।
दिया गया है $U = CT - \frac{n^2 a}{V}$,आंतरिक ऊर्जा में अवकलित परिवर्तन $dU = C dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV$ है।
साथ ही,किया गया कार्य $dW = p dV$ है।
$dW = -dU$ को बराबर करने पर,हमें $p dV = -(C dT + \frac{n^2 a}{V^2} dV)$ प्राप्त होता है।
वैन डर वाल्स समीकरण $p = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}$ को उपरोक्त समीकरण में रखने पर:
$(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{n^2 a}{V^2}) dV = -C dT - \frac{n^2 a}{V^2} dV$.
दोनों पक्षों से $-\frac{n^2 a}{V^2} dV$ पद कट जाएगा:
$\frac{nRT}{V-nb} dV = -C dT$.
चरों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dV}{V-nb} = -\frac{C}{nR} \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dV}{V-nb} = -\frac{C}{nR} \int \frac{dT}{T}$.
इससे $\ln(V-nb) = -\frac{C}{nR} \ln T + \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\ln(V-nb) + \ln(T^{C/nR}) = \text{स्थिरांक}$ मिलता है।
अतः,$T^{C/nR} \cdot (V-nb) = \text{स्थिरांक}$।
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MediumMCQ
यदि एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के दौरान गैसों के मिश्रण का दबाव उसके निरपेक्ष तापमान के वर्ग के समानुपाती पाया जाता है,तो गैसों के मिश्रण के लिए $C_p / C_v$ का अनुपात ......... है।
A
$2$
B
$1.5$
C
$1.67$
D
$2.1$
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और निरपेक्ष तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
यह दिया गया है कि $P \propto T^2$,इसलिए घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 2$
$\gamma = 2(\gamma - 1)$
$\gamma = 2\gamma - 2$
$\gamma = 2$.
चूंकि $C_p / C_v$ का अनुपात $\gamma$ के रूप में परिभाषित है,इसलिए इसका मान $2$ है।
इसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
यह दिया गया है कि $P \propto T^2$,इसलिए घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 2$
$\gamma = 2(\gamma - 1)$
$\gamma = 2\gamma - 2$
$\gamma = 2$.
चूंकि $C_p / C_v$ का अनुपात $\gamma$ के रूप में परिभाषित है,इसलिए इसका मान $2$ है।
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EasyMCQ
$NTP$ पर द्वि-परमाणुक गैस की रुद्धोष्म (adiabatic) प्रत्यास्थता ........ $N/m^2$ है।
A
$0$
B
$1 \times 10^5$
C
$1.4 \times 10^5$
D
$2.75 \times 10^5$
Solution
(C) गैस की रुद्धोष्म प्रत्यास्थता का सूत्र $E_{adiabatic} = \gamma P$ है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है और $P$ दबाव है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = 1.4$ होता है।
$NTP$ (सामान्य तापमान और दबाव) पर,दबाव $P$ लगभग $1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_{adiabatic} = 1.4 \times 1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ प्राप्त होता है।
$E_{adiabatic} \approx 1.418 \times 10^5 \, N/m^2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.4 \times 10^5 \, N/m^2$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = 1.4$ होता है।
$NTP$ (सामान्य तापमान और दबाव) पर,दबाव $P$ लगभग $1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_{adiabatic} = 1.4 \times 1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ प्राप्त होता है।
$E_{adiabatic} \approx 1.418 \times 10^5 \, N/m^2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.4 \times 10^5 \, N/m^2$ है।
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MediumMCQ
गैसों का एक मिश्रण जो $STP$ पर है और जिसके लिए $\gamma = 1.5$ है,उसे अचानक उसके मूल आयतन के $\frac{1}{9}$ भाग तक संकुचित किया जाता है। मिश्रण का अंतिम तापमान .......... $^{\circ}C$ है।
A
$300$
B
$546$
C
$420$
D
$872$
Solution
(B) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \, K$ ($STP$ पर)।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$।
अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V}{9}$।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.5$।
संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 273 \times \left( \frac{V}{V/9} \right)^{1.5-1}$
$T_2 = 273 \times (9)^{0.5}$
$T_2 = 273 \times 3 = 819 \, K$।
तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273$
$T(^{\circ}C) = 819 - 273 = 546 \, ^{\circ}C$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \, K$ ($STP$ पर)।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$।
अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V}{9}$।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.5$।
संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 273 \times \left( \frac{V}{V/9} \right)^{1.5-1}$
$T_2 = 273 \times (9)^{0.5}$
$T_2 = 273 \times 3 = 819 \, K$।
तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273$
$T(^{\circ}C) = 819 - 273 = 546 \, ^{\circ}C$।
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MediumMCQ
एक गैस (जिसके लिए $\gamma = 5/3$ है) के समतापीय प्रक्रम की ढाल $3 \times 10^5 \, N/m^2$ है। यदि वही गैस रुद्धोष्म (adiabatic) परिवर्तन से गुजर रही है,तो उस क्षण पर रुद्धोष्म प्रत्यास्थता ........... $\times 10^5 \, N/m^2$ होगी।
A
$3$
B
$5$
C
$6$
D
$10$
Solution
(B) समतापीय प्रक्रम के लिए,$P-V$ ग्राफ की ढाल समतापीय प्रत्यास्थता द्वारा दी जाती है,जो गैस के दाब $P$ के बराबर होती है।
दिया गया है,समतापीय प्रक्रम की ढाल $= P = 3 \times 10^5 \, N/m^2$.
गैस की रुद्धोष्म प्रत्यास्थता का सूत्र है: $\text{Adiabatic Elasticity} = \gamma P$.
यहाँ $\gamma = 5/3$ और $P = 3 \times 10^5 \, N/m^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{Adiabatic Elasticity} = (5/3) \times (3 \times 10^5) = 5 \times 10^5 \, N/m^2$.
अतः,रुद्धोष्म प्रत्यास्थता $5 \times 10^5 \, N/m^2$ है।
दिया गया है,समतापीय प्रक्रम की ढाल $= P = 3 \times 10^5 \, N/m^2$.
गैस की रुद्धोष्म प्रत्यास्थता का सूत्र है: $\text{Adiabatic Elasticity} = \gamma P$.
यहाँ $\gamma = 5/3$ और $P = 3 \times 10^5 \, N/m^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{Adiabatic Elasticity} = (5/3) \times (3 \times 10^5) = 5 \times 10^5 \, N/m^2$.
अतः,रुद्धोष्म प्रत्यास्थता $5 \times 10^5 \, N/m^2$ है।
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DifficultMCQ
चित्र में एक आदर्श एकपरमाणुक (monatomic) गैस के लिए रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के दौरान दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच परिवर्तन दर्शाया गया है। बिंदु $A$ पर,आयतन के सापेक्ष दबाव में परिवर्तन की दर का परिमाण क्या है?
A
$\frac{3 P_0}{5 V_0}$
B
$\frac{5 P_0}{3 V_0}$
C
$\frac{3 P_0}{2 V_0}$
D
$\frac{5 P_0}{2 V_0}$
Solution
(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$P V^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dV}(P V^{\gamma}) = 0$
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} + P \cdot \gamma V^{\gamma-1} = 0$
$\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$
आयतन के सापेक्ष दबाव में परिवर्तन की दर का परिमाण $\left| \frac{dP}{dV} \right| = \gamma \frac{P}{V}$ है।
आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ है।
बिंदु $A$ पर,दबाव $P = 3 P_0$ और आयतन $V = 2 V_0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left| \frac{dP}{dV} \right| = \frac{5}{3} \times \frac{3 P_0}{2 V_0} = \frac{5 P_0}{2 V_0}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
$P V^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dV}(P V^{\gamma}) = 0$
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} + P \cdot \gamma V^{\gamma-1} = 0$
$\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$
आयतन के सापेक्ष दबाव में परिवर्तन की दर का परिमाण $\left| \frac{dP}{dV} \right| = \gamma \frac{P}{V}$ है।
आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ है।
बिंदु $A$ पर,दबाव $P = 3 P_0$ और आयतन $V = 2 V_0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left| \frac{dP}{dV} \right| = \frac{5}{3} \times \frac{3 P_0}{2 V_0} = \frac{5 P_0}{2 V_0}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
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MediumMCQ
चित्र एक आदर्श गैस के लिए $\log T$ और $\log V$ स्केल पर रुद्धोष्म (adiabatic) वक्र को दर्शाता है। गैस ............ है।
A
एक-परमाणुक
B
द्वि-परमाणुक
C
बहु-परमाणुक
D
एक-परमाणुक और द्वि-परमाणुक का मिश्रण
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $T V^{\gamma-1} = K$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ एक स्थिरांक है।
दोनों तरफ लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें $\log T + (\gamma-1) \log V = \log K$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log T$,$x = \log V$,और ढाल (slope) $m = -(\gamma-1)$ है।
दिए गए ग्राफ से,बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(1, 4)$ और $(4, 2)$ हैं।
ढाल $m$ की गणना $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 4}{4 - 1} = \frac{-2}{3}$ के रूप में की जाती है।
ढालों की तुलना करने पर,हमें $-(\gamma-1) = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$।
इसलिए,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।
चूंकि एक-परमाणुक गैस के लिए $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है,इसलिए गैस एक-परमाणुक है।
दोनों तरफ लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें $\log T + (\gamma-1) \log V = \log K$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log T$,$x = \log V$,और ढाल (slope) $m = -(\gamma-1)$ है।
दिए गए ग्राफ से,बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(1, 4)$ और $(4, 2)$ हैं।
ढाल $m$ की गणना $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 4}{4 - 1} = \frac{-2}{3}$ के रूप में की जाती है।
ढालों की तुलना करने पर,हमें $-(\gamma-1) = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$।
इसलिए,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।
चूंकि एक-परमाणुक गैस के लिए $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है,इसलिए गैस एक-परमाणुक है।
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EasyMCQ
वायु में ध्वनि के संचरण की घटना है
A
एक समतापीय प्रक्रिया
B
एक रुद्धोष्म (एडियाबेटिक) प्रक्रिया
C
एक समदाबी प्रक्रिया
D
एक समआयतनिक प्रक्रिया
Solution
(B) सही उत्तर $B$ है।
न्यूटन के अनुसार,वायु में ध्वनि के संचरण को शुरू में एक समतापीय प्रक्रिया माना गया था। हालाँकि,इससे ध्वनि की गणना की गई गति और प्रयोगात्मक गति के बीच विसंगति पैदा हो गई थी।
लाप्लास ने इसमें सुधार करते हुए यह प्रस्तावित किया कि ध्वनि तरंगों में संपीड़न और विरलन इतनी तेजी से होते हैं कि प्रणाली और परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए समय नहीं मिलता है।
इसलिए,वायु में ध्वनि के संचरण की घटना एक रुद्धोष्म (एडियाबेटिक) प्रक्रिया है।
न्यूटन के अनुसार,वायु में ध्वनि के संचरण को शुरू में एक समतापीय प्रक्रिया माना गया था। हालाँकि,इससे ध्वनि की गणना की गई गति और प्रयोगात्मक गति के बीच विसंगति पैदा हो गई थी।
लाप्लास ने इसमें सुधार करते हुए यह प्रस्तावित किया कि ध्वनि तरंगों में संपीड़न और विरलन इतनी तेजी से होते हैं कि प्रणाली और परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए समय नहीं मिलता है।
इसलिए,वायु में ध्वनि के संचरण की घटना एक रुद्धोष्म (एडियाबेटिक) प्रक्रिया है।
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EasyMCQ
एक सिलेंडर जिसमें एक गतिशील पिस्टन है,उसमें मानक तापमान और दबाव पर $3 \ moles$ हाइड्रोजन गैस भरी है। सिलेंडर की दीवारें ऊष्मा रोधी हैं और पिस्टन पर रेत का ढेर होने के कारण वह भी ऊष्मा रोधी है। यदि गैस को उसके मूल आयतन के आधे तक संकुचित किया जाता है,तो गैस का दबाव कितने गुना बढ़ जाएगा?
A
$(2)^{7/5}$
B
$(2)^{1/5}$
C
$(5)^{7/5}$
D
$(2)^{2/5}$
Solution
(A) यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है क्योंकि सिलेंडर की दीवारें और पिस्टन ऊष्मा रोधी हैं।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ है।
यहाँ,$V_2 = \frac{V_1}{2}$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = 2$ है।
हाइड्रोजन (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5}$ है।
इन मानों को रुद्धोष्म समीकरण में रखने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = (2)^{7/5}$।
अतः,दबाव $(2)^{7/5}$ के कारक से बढ़ जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ है।
यहाँ,$V_2 = \frac{V_1}{2}$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = 2$ है।
हाइड्रोजन (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5}$ है।
इन मानों को रुद्धोष्म समीकरण में रखने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = (2)^{7/5}$।
अतः,दबाव $(2)^{7/5}$ के कारक से बढ़ जाता है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से किस प्रक्रिया में किया गया कार्य निकाय की आंतरिक ऊर्जा के बराबर होता है?
A
रुद्धोष्म (Adiabatic) प्रक्रिया
B
समतापीय प्रक्रिया
C
समआयतनिक प्रक्रिया
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta Q$ विनिमय की गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $\Delta W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इसे प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $0 = \Delta U + \Delta W$ प्राप्त होता है।
यह $\Delta W = -\Delta U$ या $\Delta U = -\Delta W$ के रूप में सरल हो जाता है।
यदि हम निकाय पर किए गए कार्य के परिमाण $(W_{on} = -\Delta W)$ पर विचार करें,तो $W_{on} = \Delta U$ होता है।
अतः,रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय पर किया गया कार्य निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इसे प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $0 = \Delta U + \Delta W$ प्राप्त होता है।
यह $\Delta W = -\Delta U$ या $\Delta U = -\Delta W$ के रूप में सरल हो जाता है।
यदि हम निकाय पर किए गए कार्य के परिमाण $(W_{on} = -\Delta W)$ पर विचार करें,तो $W_{on} = \Delta U$ होता है।
अतः,रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय पर किया गया कार्य निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
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MediumMCQ
एक काल्पनिक गैस का रुद्धोष्म (adiabatic) प्रसार इस प्रकार होता है कि उसका आयतन $8 \ L$ से बदलकर $27 \ L$ हो जाता है। यदि गैस के अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $\frac{16}{81}$ है, तो $\frac{C_P}{C_V}$ का अनुपात क्या होगा?
A
$\frac{4}{3}$
B
$\frac{3}{1}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{3}{2}$
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब और आयतन के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ है।
अतः, $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$, जिसका अर्थ है $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$.
दिया गया है, $V_1 = 8 \ L$, $V_2 = 27 \ L$, और $\frac{P_2}{P_1} = \frac{16}{81}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{16}{81} = \left( \frac{8}{27} \right)^{\gamma}$.
हम $\frac{16}{81}$ को $\left( \frac{2}{3} \right)^4$ और $\frac{8}{27}$ को $\left( \frac{2}{3} \right)^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः, $\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \left( \left( \frac{2}{3} \right)^3 \right)^{\gamma} = \left( \frac{2}{3} \right)^{3\gamma}$.
घातांकों की तुलना करने पर, हमें $4 = 3\gamma$ प्राप्त होता है, जिससे $\gamma = \frac{4}{3}$ मिलता है।
अतः, $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$, जिसका अर्थ है $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$.
दिया गया है, $V_1 = 8 \ L$, $V_2 = 27 \ L$, और $\frac{P_2}{P_1} = \frac{16}{81}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{16}{81} = \left( \frac{8}{27} \right)^{\gamma}$.
हम $\frac{16}{81}$ को $\left( \frac{2}{3} \right)^4$ और $\frac{8}{27}$ को $\left( \frac{2}{3} \right)^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः, $\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \left( \left( \frac{2}{3} \right)^3 \right)^{\gamma} = \left( \frac{2}{3} \right)^{3\gamma}$.
घातांकों की तुलना करने पर, हमें $4 = 3\gamma$ प्राप्त होता है, जिससे $\gamma = \frac{4}{3}$ मिलता है।
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MediumMCQ
$T$ तापमान पर गैस के एक नमूने का आयतन दोगुना होने तक रुद्धोष्म (adiabatic) विस्तार किया जाता है। इस प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए (दिया गया है,$\gamma = 3/2$):
A
$W = TR[\sqrt{2} - 2]$
B
$W = \frac{T}{R}[\sqrt{2} - 2]$
C
$W = \frac{R}{T}[2 - \sqrt{2}]$
D
$W = RT[2 - \sqrt{2}]$
Solution
(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
यहाँ $T_1 = T$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,और $\gamma = 3/2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $T V^{3/2-1} = T_2 (2V)^{3/2-1} \implies T V^{1/2} = T_2 (2V)^{1/2}$।
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = T / \sqrt{2}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ होता है।
मान रखने पर: $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{1/2} = 2R(T - T/\sqrt{2}) = 2RT(1 - 1/\sqrt{2}) = RT(2 - \sqrt{2})$।
यहाँ $T_1 = T$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,और $\gamma = 3/2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $T V^{3/2-1} = T_2 (2V)^{3/2-1} \implies T V^{1/2} = T_2 (2V)^{1/2}$।
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = T / \sqrt{2}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ होता है।
मान रखने पर: $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{1/2} = 2R(T - T/\sqrt{2}) = 2RT(1 - 1/\sqrt{2}) = RT(2 - \sqrt{2})$।
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MediumMCQ
एक गैस को रुद्धोष्म (adiabatically) रूप से संपीड़ित किया जाता है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?
A
निकाय को कोई ऊष्मा प्रदान नहीं की जाती है।
B
गैस का तापमान बढ़ जाता है।
C
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन गैस पर किए गए कार्य के बराबर होता है।
D
आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
Solution
(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $\Delta W$ गैस द्वारा किया गया कार्य है।
चूंकि $\Delta Q = 0$,इसलिए $\Delta U = -\Delta W$ होता है।
रुद्धोष्म संपीड़न में,आयतन घटता है $(V \downarrow)$,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W$ ऋणात्मक $(-ve)$ होता है।
अतः,$\Delta U = -(-ve) = +ve$,जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा तापमान का फलन है,आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि का अर्थ है कि तापमान में वृद्धि होती है $(T \uparrow)$।
अतः,'आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है' कथन सत्य नहीं है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $\Delta W$ गैस द्वारा किया गया कार्य है।
चूंकि $\Delta Q = 0$,इसलिए $\Delta U = -\Delta W$ होता है।
रुद्धोष्म संपीड़न में,आयतन घटता है $(V \downarrow)$,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W$ ऋणात्मक $(-ve)$ होता है।
अतः,$\Delta U = -(-ve) = +ve$,जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा तापमान का फलन है,आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि का अर्थ है कि तापमान में वृद्धि होती है $(T \uparrow)$।
अतः,'आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है' कथन सत्य नहीं है।
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MediumMCQ
एक आदर्श गैस का प्रारंभिक दाब और आयतन $P_0$ और $V_0$ हैं। जब गैस को अचानक संपीड़ित करके आयतन $\frac{V_0}{4}$ कर दिया जाता है,तो गैस का अंतिम दाब क्या होगा? (दिया गया है: $\gamma =$ नियत दाब और नियत आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात)
A
$P_0(4)^{\frac{1}{\gamma}}$
B
$P_0(4)^\gamma$
C
$P_0$
D
$4P_0$
Solution
(B) चूंकि गैस को अचानक संपीड़ित किया जाता है,इसलिए यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए गैस का समीकरण $PV^\gamma = \text{constant}$ है।
प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं को लागू करने पर: $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
दिया गया है $P_1 = P_0$,$V_1 = V_0$,और $V_2 = \frac{V_0}{4}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P_0 V_0^\gamma = P_2 \left(\frac{V_0}{4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 (4)^\gamma$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए गैस का समीकरण $PV^\gamma = \text{constant}$ है।
प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं को लागू करने पर: $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
दिया गया है $P_1 = P_0$,$V_1 = V_0$,और $V_2 = \frac{V_0}{4}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P_0 V_0^\gamma = P_2 \left(\frac{V_0}{4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/4}\right)^\gamma$.
$P_2 = P_0 (4)^\gamma$.
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DifficultMCQ
एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के दौरान,एक गैस का दबाव उसके निरपेक्ष तापमान के घन (cube) के समानुपाती पाया जाता है। गैस के लिए $\frac{C_p}{C_v}$ का अनुपात क्या है?
A
$\frac{5}{3}$
B
$\frac{3}{2}$
C
$\frac{7}{5}$
D
$\frac{9}{7}$
Solution
(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = \text{constant}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $P \propto T^3$,इसलिए $P T^{-3} = \text{constant}$.
$T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए हल करने पर:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $\frac{C_p}{C_v} = \gamma = \frac{3}{2}$ है।
दिया गया है कि $P \propto T^3$,इसलिए $P T^{-3} = \text{constant}$.
$T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए हल करने पर:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $\frac{C_p}{C_v} = \gamma = \frac{3}{2}$ है।
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DifficultMCQ
$T$ तापमान पर गैस के एक नमूने को रुद्धोष्म (adiabatically) रूप से उसके आयतन से दोगुना विस्तारित किया जाता है। गैस के लिए रुद्धोष्म नियतांक $\gamma = 3/2$ है। इस प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य है: $(\mu = 1 \text{ mole})$
A
$RT[\sqrt{2}-2]$
B
$RT[1-2\sqrt{2}]$
C
$RT[2\sqrt{2}-1]$
D
$RT[2-\sqrt{2}]$
Solution
(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 1$,$T_i = T$,और $V_f = 2V_i$ दिया गया है।
रुद्धोष्म संबंध $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ है।
मान रखने पर: $T V^{\gamma-1} = T_f (2V)^{\gamma-1}$।
$T_f = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$।
अब,कार्य के सूत्र में $T_f$ का मान रखने पर:
$W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2} = 2RT \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = RT \left(\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}\right) = RT(2 - \sqrt{2})$।
यहाँ $n = 1$,$T_i = T$,और $V_f = 2V_i$ दिया गया है।
रुद्धोष्म संबंध $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ है।
मान रखने पर: $T V^{\gamma-1} = T_f (2V)^{\gamma-1}$।
$T_f = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$।
अब,कार्य के सूत्र में $T_f$ का मान रखने पर:
$W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2} = 2RT \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = RT \left(\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}\right) = RT(2 - \sqrt{2})$।
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DifficultMCQ
एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के दौरान,यदि किसी गैस का दबाव उसके निरपेक्ष तापमान के घन (cube) के समानुपाती पाया जाता है,तो गैस के लिए $\frac{C_p}{C_V}$ का अनुपात क्या होगा?
A
$\frac{5}{3}$
B
$\frac{9}{7}$
C
$\frac{3}{2}$
D
$\frac{7}{5}$
Solution
(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P \propto T^3$,जिसे हम $P = k T^3$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $P T^{-3} = \text{constant}$।
इसे मानक रुद्धोष्म संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ के साथ तुलना करने पर,हम दिए गए संबंध को $n$ घात तक बढ़ाते हैं ताकि $T$ का घातांक समान हो जाए:
$(P T^{-3})^n = P^n T^{-3n} = \text{constant}$।
$P^{1-\gamma} T^{\gamma}$ और $P^n T^{-3n}$ से $T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\gamma = -3n$ और $1-\gamma = n$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण में $n = 1-\gamma$ रखने पर: $\gamma = -3(1-\gamma) = -3 + 3\gamma$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $2\gamma = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\gamma = \frac{3}{2}$।
अतः,अनुपात $\frac{C_p}{C_V} = \gamma = \frac{3}{2}$ है।
दिया गया है कि $P \propto T^3$,जिसे हम $P = k T^3$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $P T^{-3} = \text{constant}$।
इसे मानक रुद्धोष्म संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ के साथ तुलना करने पर,हम दिए गए संबंध को $n$ घात तक बढ़ाते हैं ताकि $T$ का घातांक समान हो जाए:
$(P T^{-3})^n = P^n T^{-3n} = \text{constant}$।
$P^{1-\gamma} T^{\gamma}$ और $P^n T^{-3n}$ से $T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\gamma = -3n$ और $1-\gamma = n$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण में $n = 1-\gamma$ रखने पर: $\gamma = -3(1-\gamma) = -3 + 3\gamma$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $2\gamma = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\gamma = \frac{3}{2}$।
अतः,अनुपात $\frac{C_p}{C_V} = \gamma = \frac{3}{2}$ है।
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DifficultMCQ
एक ही गैस के लिए दो अलग-अलग रुद्धोष्म (adiabatic) पथ $P-V$ आरेख में दिखाए गए अनुसार दो समतापी (isothermal) वक्रों को काटते हैं। अनुपात $\frac{V_a}{V_d}$ और अनुपात $\frac{V_b}{V_c}$ के बीच का संबंध क्या है?
A
$\frac{V_a}{V_d}=\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{-1}$
B
$\frac{V_a}{V_d} \neq \frac{V_b}{V_c}$
C
$\frac{V_a}{V_d}=\frac{V_b}{V_c}$
D
$\frac{V_a}{V_d}=\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^2$
Solution
(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदुओं $a$ और $d$ को जोड़ने वाले रुद्धोष्म पथ के लिए:
$T_a V_a^{\gamma-1} = T_d V_d^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_d}{T_a}$
बिंदुओं $b$ और $c$ को जोड़ने वाले रुद्धोष्म पथ के लिए:
$T_b V_b^{\gamma-1} = T_c V_c^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_c}{T_b}$
चूंकि बिंदु $a$ और $b$ एक ही समतापी वक्र पर स्थित हैं,इसलिए $T_a = T_b$ है। इसी प्रकार,बिंदु $d$ और $c$ एक ही समतापी वक्र पर स्थित हैं,इसलिए $T_d = T_c$ है।
इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$\frac{T_d}{T_a} = \frac{T_c}{T_b}$
अतः,$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1}$
इससे हमें प्राप्त होता है $\frac{V_a}{V_d} = \frac{V_b}{V_c}$।
बिंदुओं $a$ और $d$ को जोड़ने वाले रुद्धोष्म पथ के लिए:
$T_a V_a^{\gamma-1} = T_d V_d^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_d}{T_a}$
बिंदुओं $b$ और $c$ को जोड़ने वाले रुद्धोष्म पथ के लिए:
$T_b V_b^{\gamma-1} = T_c V_c^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_c}{T_b}$
चूंकि बिंदु $a$ और $b$ एक ही समतापी वक्र पर स्थित हैं,इसलिए $T_a = T_b$ है। इसी प्रकार,बिंदु $d$ और $c$ एक ही समतापी वक्र पर स्थित हैं,इसलिए $T_d = T_c$ है।
इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$\frac{T_d}{T_a} = \frac{T_c}{T_b}$
अतः,$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1}$
इससे हमें प्राप्त होता है $\frac{V_a}{V_d} = \frac{V_b}{V_c}$।
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DifficultMCQ
एक आदर्श गैस $(\gamma=1.5)$ का आयतन रुद्धोष्म (adiabatic) रूप से $5 \ L$ से बदलकर $4 \ L$ हो जाता है। प्रारंभिक दाब और अंतिम दाब का अनुपात क्या है?
A
$4/5$
B
$16/25$
C
$8/(5\sqrt{5})$
D
$2/\sqrt{5}$
Solution
(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $V_i = 5 \ L$,$V_f = 4 \ L$,और $\gamma = 1.5 = 3/2$.
समीकरण में मान रखने पर: $P_i (5)^{3/2} = P_f (4)^{3/2}$.
प्रारंभिक दाब और अंतिम दाब का अनुपात ज्ञात करने के लिए: $\frac{P_i}{P_f} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}$.
मान की गणना करने पर: $\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}}$.
दिया गया है: $V_i = 5 \ L$,$V_f = 4 \ L$,और $\gamma = 1.5 = 3/2$.
समीकरण में मान रखने पर: $P_i (5)^{3/2} = P_f (4)^{3/2}$.
प्रारंभिक दाब और अंतिम दाब का अनुपात ज्ञात करने के लिए: $\frac{P_i}{P_f} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}$.
मान की गणना करने पर: $\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}}$.
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DifficultMCQ
$T$ तापमान पर $1$ मोल गैस के एक नमूने को रुद्धोष्म (adiabatically) रूप से उसके आयतन से दोगुना विस्तारित किया जाता है। यदि गैस के लिए रुद्धोष्म स्थिरांक $\gamma = \frac{3}{2}$ है,तो प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य क्या है?
A
$RT[2-\sqrt{2}]$
B
$\frac{R}{T}[2-\sqrt{2}]$
C
$RT[2+\sqrt{2}]$
D
$\frac{T}{R}[2+\sqrt{2}]$
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ है।
यहाँ $n = 1$,प्रारंभिक तापमान $= T$,प्रारंभिक आयतन $= V$,अंतिम आयतन $= 2V$ और $\gamma = \frac{3}{2}$ दिया गया है।
संबंध लागू करने पर: $T(V)^{\frac{3}{2}-1} = T_f(2V)^{\frac{3}{2}-1}$.
$T(V)^{\frac{1}{2}} = T_f(2)^{\frac{1}{2}}(V)^{\frac{1}{2}}$.
$T = T_f \sqrt{2} \Rightarrow T_f = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W = \frac{1 \cdot R(T - \frac{T}{\sqrt{2}})}{\frac{3}{2} - 1}$.
$W = \frac{R T (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\frac{1}{2}} = 2RT \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$W = RT(2 - \sqrt{2})$.
यहाँ $n = 1$,प्रारंभिक तापमान $= T$,प्रारंभिक आयतन $= V$,अंतिम आयतन $= 2V$ और $\gamma = \frac{3}{2}$ दिया गया है।
संबंध लागू करने पर: $T(V)^{\frac{3}{2}-1} = T_f(2V)^{\frac{3}{2}-1}$.
$T(V)^{\frac{1}{2}} = T_f(2)^{\frac{1}{2}}(V)^{\frac{1}{2}}$.
$T = T_f \sqrt{2} \Rightarrow T_f = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W = \frac{1 \cdot R(T - \frac{T}{\sqrt{2}})}{\frac{3}{2} - 1}$.
$W = \frac{R T (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\frac{1}{2}} = 2RT \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$W = RT(2 - \sqrt{2})$.
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Advanced
एक छोटा गोलाकार मोनोएटॉमिक आदर्श गैस का बुलबुला $\left(\gamma=\frac{5}{3}\right)$ $\rho_{\ell}$ घनत्व वाले तरल के अंदर फंसा हुआ है (चित्र देखें)। मान लें कि बुलबुला तरल के साथ कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं करता है। बुलबुले में $n$ मोल गैस है। जब बुलबुला नीचे होता है तो गैस का तापमान $T_0$ होता है, तरल की ऊंचाई $H$ है और वायुमंडलीय दबाव $P_0$ है (पृष्ठ तनाव की उपेक्षा करें)।
$1.$ जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर की ओर बढ़ता है, उत्प्लावन बल के अलावा, उस पर निम्नलिखित बल कार्य कर रहे होते हैं:
$(A)$ केवल गुरुत्वाकर्षण बल
$(B)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल और तरल के दबाव के कारण बल
$(C)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल, तरल के दबाव के कारण बल और तरल की श्यानता के कारण बल
$(D)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल और तरल की श्यानता के कारण बल
$2.$ जब गैस का बुलबुला नीचे से $y$ ऊंचाई पर होता है, तो उसका तापमान होता है:
$(A)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{2 / 5}$
$(B)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{2 / 5}$
$(C)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{3 / 5}$
$(D)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{3 / 5}$
$3.$ गैस के बुलबुले पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल है (मान लें $R$ सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है):
$(A)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} gy\right)^{7 / 5}}$
$(B)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{3 / 5}}$
$(C)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} g H\right)^{3 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right)^{8 / 5}}$
$(D)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{3 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{2 / 5}}$
प्रश्न $1, 2,$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर की ओर बढ़ता है, उत्प्लावन बल के अलावा, उस पर निम्नलिखित बल कार्य कर रहे होते हैं:
$(A)$ केवल गुरुत्वाकर्षण बल
$(B)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल और तरल के दबाव के कारण बल
$(C)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल, तरल के दबाव के कारण बल और तरल की श्यानता के कारण बल
$(D)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बल और तरल की श्यानता के कारण बल
$2.$ जब गैस का बुलबुला नीचे से $y$ ऊंचाई पर होता है, तो उसका तापमान होता है:
$(A)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{2 / 5}$
$(B)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{2 / 5}$
$(C)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} gH}{P_0+\rho_{\ell} gy}\right)^{3 / 5}$
$(D)$ $T_0\left(\frac{P_0+\rho_{\ell} g(H-y)}{P_0+\rho_{\ell} g H}\right)^{3 / 5}$
$3.$ गैस के बुलबुले पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल है (मान लें $R$ सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है):
$(A)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} gy\right)^{7 / 5}}$
$(B)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{2 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{3 / 5}}$
$(C)$ $\rho_{\ell} nRgT_0 \frac{\left(P_0+\rho_{\ell} g H\right)^{3 / 5}}{\left(P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right)^{8 / 5}}$
$(D)$ $\frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{\left(P_0+\rho_{\ell} gH\right)^{3 / 5}\left[P_0+\rho_{\ell} g(H-y)\right]^{2 / 5}}$
प्रश्न $1, 2,$ और $3$ के उत्तर दें।
Solution
(B,B,B) $1.$ जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर की ओर बढ़ता है, यह गुरुत्वाकर्षण बल (भार) और उत्प्लावन बल (जो तरल द्वारा लगाए गए दबाव बल का परिणामी है) का अनुभव करता है। समस्या में यह निर्दिष्ट नहीं है कि तरल गति में है या बुलबुला एक स्थिर टर्मिनल वेग से आगे बढ़ रहा है, इसलिए बुलबुले पर कार्य करने वाले मुख्य बल गुरुत्वाकर्षण और उत्प्लावन बल (दबाव बल) हैं। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है क्योंकि कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$।
नीचे, $P_1 = P_0 + \rho_{\ell} gH$ और $T_1 = T_0$।
नीचे से $y$ ऊंचाई पर, गहराई $(H-y)$ है, इसलिए $P_2 = P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)$।
$P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है $T_2 = T_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{\frac{1-5/3}{5/3}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{-2/5} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}{P_0 + \rho_{\ell} gH}\right)^{2/5}$। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ उत्प्लावन बल $F_B = \rho_{\ell} V_2 g$। आदर्श गैस नियम के अनुसार, $V_2 = \frac{nRT_2}{P_2}$।
$T_2 = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $V_2 = \frac{nR T_0}{P_2} \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5} = \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}}$।
अतः, $F_B = \rho_{\ell} g \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}} = \frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{(P_0 + \rho_{\ell} gH)^{2/5} [P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)]^{3/5}}$। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है क्योंकि कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$।
नीचे, $P_1 = P_0 + \rho_{\ell} gH$ और $T_1 = T_0$।
नीचे से $y$ ऊंचाई पर, गहराई $(H-y)$ है, इसलिए $P_2 = P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)$।
$P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है $T_2 = T_1 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{\frac{1-5/3}{5/3}} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} gH}{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}\right)^{-2/5} = T_0 \left(\frac{P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)}{P_0 + \rho_{\ell} gH}\right)^{2/5}$। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ उत्प्लावन बल $F_B = \rho_{\ell} V_2 g$। आदर्श गैस नियम के अनुसार, $V_2 = \frac{nRT_2}{P_2}$।
$T_2 = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = T_0 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $V_2 = \frac{nR T_0}{P_2} \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5} = \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}}$।
अतः, $F_B = \rho_{\ell} g \frac{nRT_0}{P_1^{2/5} P_2^{3/5}} = \frac{\rho_{\ell} nRgT_0}{(P_0 + \rho_{\ell} gH)^{2/5} [P_0 + \rho_{\ell} g(H-y)]^{3/5}}$। अतः, विकल्प $(B)$ सही है।
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DifficultMCQ
एक द्विपरमाणुक आदर्श गैस को रुद्धोष्म (adiabatically) रूप से उसके प्रारंभिक आयतन के $\frac{1}{32}$ भाग तक संपीड़ित किया जाता है। यदि गैस का प्रारंभिक तापमान $T_1$ (केल्विन में) है और अंतिम तापमान $a T_1$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{7}{5}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
दिया गया है कि $V_2 = \frac{V_1}{32}$ और $T_2 = a T_1$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T_1 V_1^{\frac{7}{5}-1} = (a T_1) \left(\frac{V_1}{32}\right)^{\frac{7}{5}-1}$।
$T_1 V_1^{2/5} = a T_1 \left(\frac{V_1}{32}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{32}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{2^2}\right) = a \left(\frac{1}{4}\right)$।
इसलिए,$a = 4$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{7}{5}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
दिया गया है कि $V_2 = \frac{V_1}{32}$ और $T_2 = a T_1$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T_1 V_1^{\frac{7}{5}-1} = (a T_1) \left(\frac{V_1}{32}\right)^{\frac{7}{5}-1}$।
$T_1 V_1^{2/5} = a T_1 \left(\frac{V_1}{32}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{32}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5}$।
$1 = a \left(\frac{1}{2^2}\right) = a \left(\frac{1}{4}\right)$।
इसलिए,$a = 4$।
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DifficultMCQ
$STP$ पर $5.6 \text{ liter}$ हीलियम गैस को रुद्धोष्म (adiabatic) रूप से संपीड़ित करके $0.7 \text{ liter}$ कर दिया जाता है। यदि प्रारंभिक तापमान $T_1$ है,तो इस प्रक्रिया में किया गया कार्य क्या होगा?
A
$\frac{9}{8} R T_1$
B
$\frac{3}{2} R T_1$
C
$\frac{15}{8} R T_1$
D
$\frac{9}{2} R T_1$
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 5.6 \text{ L}$,अंतिम आयतन $V_2 = 0.7 \text{ L}$।
हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए $\gamma = \frac{5}{3}$।
मोल की संख्या $n = \frac{5.6 \text{ L}}{22.4 \text{ L}} = \frac{1}{4} \text{ mol}$।
रुद्धोष्म संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = T_1 \left( \frac{5.6}{0.7} \right)^{\frac{5}{3}-1} = T_1 (8)^{2/3} = T_1 (2^3)^{2/3} = 4T_1$।
अब,किया गया कार्य $W$ ज्ञात करते हैं:
$W = \frac{\frac{1}{4} R (T_1 - 4T_1)}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{4} R (-3T_1)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} R (-3T_1) \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{8} R T_1$।
कार्य का परिमाण $\frac{9}{8} R T_1$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 5.6 \text{ L}$,अंतिम आयतन $V_2 = 0.7 \text{ L}$।
हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए $\gamma = \frac{5}{3}$।
मोल की संख्या $n = \frac{5.6 \text{ L}}{22.4 \text{ L}} = \frac{1}{4} \text{ mol}$।
रुद्धोष्म संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = T_1 \left( \frac{5.6}{0.7} \right)^{\frac{5}{3}-1} = T_1 (8)^{2/3} = T_1 (2^3)^{2/3} = 4T_1$।
अब,किया गया कार्य $W$ ज्ञात करते हैं:
$W = \frac{\frac{1}{4} R (T_1 - 4T_1)}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{4} R (-3T_1)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} R (-3T_1) \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{8} R T_1$।
कार्य का परिमाण $\frac{9}{8} R T_1$ है।
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MediumMCQ
एक मोल एकपरमाणुक आदर्श गैस का रुद्धोष्म (adiabatic) प्रसार होता है जिसमें इसका आयतन अपने प्रारंभिक मान का आठ गुना हो जाता है। यदि गैस का प्रारंभिक तापमान $100 K$ है और सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.0 J mol^{-1} K^{-1}$ है,तो इसकी आंतरिक ऊर्जा में कमी,जूल में,कितनी है?
A
$500$
B
$600$
C
$900$
D
$100$
Solution
(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ है,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$।
दिया गया है $V_2 = 8 V_1$ और $T_1 = 100 K$।
$T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 100 \times \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = 100 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 25 K$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = \frac{3}{2} R$।
$\Delta U = 1 \times \frac{3}{2} \times 8.0 \times (25 - 100) = 12 \times (-75) = -900 J$।
आंतरिक ऊर्जा में कमी $|\Delta U| = 900 J$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ है,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$।
दिया गया है $V_2 = 8 V_1$ और $T_1 = 100 K$।
$T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 100 \times \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = 100 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 25 K$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = \frac{3}{2} R$।
$\Delta U = 1 \times \frac{3}{2} \times 8.0 \times (25 - 100) = 12 \times (-75) = -900 J$।
आंतरिक ऊर्जा में कमी $|\Delta U| = 900 J$ है।
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AdvancedMCQ
पानी के अंदर एक गोलाकार बुलबुले की त्रिज्या $R$ है। बुलबुले के अंदर का दबाव और पानी का दबाव $p_0$ लें। अब बुलबुला त्रिज्यीय रूप से रुद्धोष्म (adiabatic) तरीके से संकुचित होता है ताकि इसकी त्रिज्या $(R-a)$ हो जाए। $a \ll R$ के लिए,प्रक्रिया में किए गए कार्य का परिमाण $(4 \pi p_0 R a^2) X$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X$ एक स्थिरांक है और $\gamma = C_p / C_V = 41 / 30$ है। $X$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$2.02$
B
$2.04$
C
$2.05$
D
$2.06$
Solution
(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$.
अवकलन करने पर,$V^{\gamma} dP + \gamma P V^{\gamma-1} dV = 0$,जिससे $dP = -\gamma P \frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या में छोटे परिवर्तन $a$ के लिए आयतन में परिवर्तन $dV = 4 \pi R^2 a$ है।
दबाव में परिवर्तन $\Delta P = |dP| = \gamma P_0 \frac{4 \pi R^2 a}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{3 \gamma P_0 a}{R}$ है।
किया गया कार्य $W$ औसत दबाव परिवर्तन और आयतन में परिवर्तन का गुणनफल है:
$W = \frac{1}{2} (\Delta P) (dV) = \frac{1}{2} \left( \frac{3 \gamma P_0 a}{R} \right) (4 \pi R^2 a) = 6 \pi \gamma P_0 R a^2$.
दिया गया है कि $W = (4 \pi P_0 R a^2) X$,इसलिए:
$4 \pi P_0 R a^2 X = 6 \pi \gamma P_0 R a^2 \Rightarrow X = \frac{6 \gamma}{4} = 1.5 \gamma$.
$\gamma = 41/30$ रखने पर:
$X = 1.5 \times \frac{41}{30} = \frac{3}{2} \times \frac{41}{30} = \frac{41}{20} = 2.05$.
अवकलन करने पर,$V^{\gamma} dP + \gamma P V^{\gamma-1} dV = 0$,जिससे $dP = -\gamma P \frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या में छोटे परिवर्तन $a$ के लिए आयतन में परिवर्तन $dV = 4 \pi R^2 a$ है।
दबाव में परिवर्तन $\Delta P = |dP| = \gamma P_0 \frac{4 \pi R^2 a}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{3 \gamma P_0 a}{R}$ है।
किया गया कार्य $W$ औसत दबाव परिवर्तन और आयतन में परिवर्तन का गुणनफल है:
$W = \frac{1}{2} (\Delta P) (dV) = \frac{1}{2} \left( \frac{3 \gamma P_0 a}{R} \right) (4 \pi R^2 a) = 6 \pi \gamma P_0 R a^2$.
दिया गया है कि $W = (4 \pi P_0 R a^2) X$,इसलिए:
$4 \pi P_0 R a^2 X = 6 \pi \gamma P_0 R a^2 \Rightarrow X = \frac{6 \gamma}{4} = 1.5 \gamma$.
$\gamma = 41/30$ रखने पर:
$X = 1.5 \times \frac{41}{30} = \frac{3}{2} \times \frac{41}{30} = \frac{41}{20} = 2.05$.
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Advanced
एक ऊष्मीय रूप से अछूते सिलेंडर में बीच में एक ऊष्मीय रूप से अछूता और घर्षण रहित चलने योग्य विभाजक है,जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। विभाजक के प्रत्येक तरफ,एक मोल आदर्श गैस है,जिसकी स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = 2R$ है। यहाँ,$R$ गैस नियतांक है। प्रारंभ में,प्रत्येक तरफ का आयतन $V_0$ और तापमान $T_0$ है। बाईं ओर एक इलेक्ट्रिक हीटर है,जिसे बहुत कम शक्ति पर चालू किया जाता है ताकि बाईं ओर की गैस को ऊष्मा $Q$ स्थानांतरित की जा सके। परिणामस्वरूप,विभाजक धीरे-धीरे दाईं ओर बढ़ता है,जिससे दाईं ओर का आयतन घटकर $V_0 / 2$ हो जाता है। परिणामस्वरूप,बाईं और दाईं ओर की गैस का तापमान क्रमशः $T_L$ और $T_R$ हो जाता है। सिलेंडर,हीटर और विभाजक के तापमान में होने वाले परिवर्तनों को अनदेखा करें।
$(1)$ $\frac{T_R}{T_0}$ का मान है
$(A)$ $\sqrt{2}$ $(B)$ $\sqrt{3}$ $(C)$ $2$ $(D)$ $3$
$(2)$ $\frac{Q}{RT_0}$ का मान है
$(A)$ $4(2\sqrt{2}+1)$ $(B)$ $4(2\sqrt{2}-1)$ $(C)$ $(5\sqrt{2}+1)$ $(D)$ $(5\sqrt{2}-1)$
$(1)$ $\frac{T_R}{T_0}$ का मान है
$(A)$ $\sqrt{2}$ $(B)$ $\sqrt{3}$ $(C)$ $2$ $(D)$ $3$
$(2)$ $\frac{Q}{RT_0}$ का मान है
$(A)$ $4(2\sqrt{2}+1)$ $(B)$ $4(2\sqrt{2}-1)$ $(C)$ $(5\sqrt{2}+1)$ $(D)$ $(5\sqrt{2}-1)$
Solution
(A,B) दाईं ओर के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है क्योंकि विभाजक और सिलेंडर ऊष्मीय रूप से अछूते हैं। गैस एक प्रतिवर्ती रुद्धोष्म संपीड़न से गुजरती है।
दिया गया है $C_v = 2R$,इसलिए $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = 2R$,जिसका अर्थ है $\gamma - 1 = 0.5$,इसलिए $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$।
दाईं ओर की रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए: $T_0 V_0^{\gamma-1} = T_R V_R^{\gamma-1}$।
दिया गया है $V_R = \frac{V_0}{2}$,इसलिए $T_R = T_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma-1} = T_0 (2)^{0.5} = \sqrt{2} T_0$। अतः,$\frac{T_R}{T_0} = \sqrt{2}$। (प्रश्न $(1)$ के लिए सही विकल्प $A$ है)
दाईं ओर के लिए,अंतिम दबाव $P_R = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma} = P_0 (2)^{1.5} = 2\sqrt{2} P_0$ है। चूंकि विभाजक घर्षण रहित है,इसलिए दोनों तरफ का दबाव समान है: $P_L = P_R = 2\sqrt{2} P_0$।
बाईं ओर के लिए,अंतिम आयतन $V_L = 2V_0 - V_R = 2V_0 - 0.5V_0 = 1.5V_0$ है।
बाईं ओर के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $T_L = \frac{P_L V_L}{nR} = \frac{(2\sqrt{2} P_0)(1.5 V_0)}{1 \cdot R} = 3\sqrt{2} \left(\frac{P_0 V_0}{R}\right) = 3\sqrt{2} T_0$।
आपूर्ति की गई ऊष्मा $Q = \Delta U_L + \Delta U_R + W_{ext}$। चूंकि सिलेंडर अछूता है,$Q = \Delta U_L + \Delta U_R$ (क्योंकि बाईं ओर की गैस द्वारा किया गया कार्य दाईं ओर की गैस पर किए गए कार्य के बराबर है)।
$Q = n C_v (T_L - T_0) + n C_v (T_R - T_0) = 1 \cdot 2R (3\sqrt{2} T_0 - T_0) + 1 \cdot 2R (\sqrt{2} T_0 - T_0)$।
$Q = 2R T_0 (3\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - 1) = 2R T_0 (4\sqrt{2} - 2) = 4R T_0 (2\sqrt{2} - 1)$।
अतः,$\frac{Q}{RT_0} = 4(2\sqrt{2} - 1)$। (प्रश्न $(2)$ के लिए सही विकल्प $B$ है)
दिया गया है $C_v = 2R$,इसलिए $C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = 2R$,जिसका अर्थ है $\gamma - 1 = 0.5$,इसलिए $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$।
दाईं ओर की रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए: $T_0 V_0^{\gamma-1} = T_R V_R^{\gamma-1}$।
दिया गया है $V_R = \frac{V_0}{2}$,इसलिए $T_R = T_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma-1} = T_0 (2)^{0.5} = \sqrt{2} T_0$। अतः,$\frac{T_R}{T_0} = \sqrt{2}$। (प्रश्न $(1)$ के लिए सही विकल्प $A$ है)
दाईं ओर के लिए,अंतिम दबाव $P_R = P_0 \left(\frac{V_0}{V_0/2}\right)^{\gamma} = P_0 (2)^{1.5} = 2\sqrt{2} P_0$ है। चूंकि विभाजक घर्षण रहित है,इसलिए दोनों तरफ का दबाव समान है: $P_L = P_R = 2\sqrt{2} P_0$।
बाईं ओर के लिए,अंतिम आयतन $V_L = 2V_0 - V_R = 2V_0 - 0.5V_0 = 1.5V_0$ है।
बाईं ओर के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $T_L = \frac{P_L V_L}{nR} = \frac{(2\sqrt{2} P_0)(1.5 V_0)}{1 \cdot R} = 3\sqrt{2} \left(\frac{P_0 V_0}{R}\right) = 3\sqrt{2} T_0$।
आपूर्ति की गई ऊष्मा $Q = \Delta U_L + \Delta U_R + W_{ext}$। चूंकि सिलेंडर अछूता है,$Q = \Delta U_L + \Delta U_R$ (क्योंकि बाईं ओर की गैस द्वारा किया गया कार्य दाईं ओर की गैस पर किए गए कार्य के बराबर है)।
$Q = n C_v (T_L - T_0) + n C_v (T_R - T_0) = 1 \cdot 2R (3\sqrt{2} T_0 - T_0) + 1 \cdot 2R (\sqrt{2} T_0 - T_0)$।
$Q = 2R T_0 (3\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} - 1) = 2R T_0 (4\sqrt{2} - 2) = 4R T_0 (2\sqrt{2} - 1)$।
अतः,$\frac{Q}{RT_0} = 4(2\sqrt{2} - 1)$। (प्रश्न $(2)$ के लिए सही विकल्प $B$ है)
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MediumMCQ
$0^{\circ} C$ तापमान पर एक आदर्श गैस को अचानक उसके आयतन के एक चौथाई तक संकुचित किया जाता है। यदि स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $3/2$ है, तो ऊष्मागतिकी प्रक्रिया के कारण तापमान में परिवर्तन . . . . . . $K$ है।
A
$545$
B
$173$
C
$273$
D
$373$
Solution
(C) यह प्रक्रिया अचानक संपीड़न है, जो एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$, प्रारंभिक आयतन $V_1 = V_0$, अंतिम आयतन $V_2 = V_0/4$, और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 3/2$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$273 \times V_0^{(3/2 - 1)} = T_2 \times (V_0/4)^{(3/2 - 1)}$.
$273 \times V_0^{0.5} = T_2 \times (V_0/4)^{0.5}$.
$273 = T_2 \times (1/4)^{0.5} = T_2 \times (1/2)$.
$T_2 = 273 \times 2 = 546 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 \ K - 273 \ K = 273 \ K$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$, प्रारंभिक आयतन $V_1 = V_0$, अंतिम आयतन $V_2 = V_0/4$, और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 3/2$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$273 \times V_0^{(3/2 - 1)} = T_2 \times (V_0/4)^{(3/2 - 1)}$.
$273 \times V_0^{0.5} = T_2 \times (V_0/4)^{0.5}$.
$273 = T_2 \times (1/4)^{0.5} = T_2 \times (1/2)$.
$T_2 = 273 \times 2 = 546 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 \ K - 273 \ K = 273 \ K$ है।
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EasyMCQ
एक आदर्श गैस में रुद्धोष्म (adiabatic) परिवर्तन में किया गया कार्य केवल किस पर निर्भर करता है?
A
इसके दबाव में परिवर्तन
B
इसकी विशिष्ट ऊष्मा में परिवर्तन
C
इसके आयतन में परिवर्तन
D
इसके तापमान में परिवर्तन
Solution
(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि $\Delta Q = 0$ है,इसलिए $\Delta W = -\Delta U$ प्राप्त होता है।
एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,किया गया कार्य $\Delta W = -nC_{v} \Delta T$ है।
यह दर्शाता है कि रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य केवल तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ पर निर्भर करता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि $\Delta Q = 0$ है,इसलिए $\Delta W = -\Delta U$ प्राप्त होता है।
एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_{v} \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,किया गया कार्य $\Delta W = -nC_{v} \Delta T$ है।
यह दर्शाता है कि रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य केवल तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ पर निर्भर करता है।
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MediumMCQ
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
A
मोलर ऊष्मा धारिता अनंत है
B
गैस द्वारा किया गया कार्य आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि के बराबर है
C
मोलर ऊष्मा धारिता शून्य है
D
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,गैस की आंतरिक ऊर्जा कम हो जाती है
Solution
(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $dQ = 0$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,मोलर ऊष्मा धारिता $C$ को $C = \frac{dQ}{n dT}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $dQ = 0$ है,इसलिए मोलर ऊष्मा धारिता $C = 0$ होती है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$ होता है। चूंकि $dQ = 0$ है,इसलिए $dU = -dW$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि गैस द्वारा किया गया कार्य आंतरिक ऊर्जा में कमी के बराबर होता है।
अतः,यह कथन कि मोलर ऊष्मा धारिता शून्य है,सही है।
परिभाषा के अनुसार,मोलर ऊष्मा धारिता $C$ को $C = \frac{dQ}{n dT}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $dQ = 0$ है,इसलिए मोलर ऊष्मा धारिता $C = 0$ होती है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$ होता है। चूंकि $dQ = 0$ है,इसलिए $dU = -dW$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि गैस द्वारा किया गया कार्य आंतरिक ऊर्जा में कमी के बराबर होता है।
अतः,यह कथन कि मोलर ऊष्मा धारिता शून्य है,सही है।
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View SolutionThermodynamics — Adiabatic Process · Frequently Asked Questions
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