Adiabatic Process Questions in Hindi

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln P + \gamma \ln V = \ln(\text{नियतांक})$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$।
छोटे परिवर्तनों के लिए,$\frac{\Delta P}{P} = -\gamma \frac{\Delta V}{V}$।

(D) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1}$।
चूंकि गैस मोनोएटॉमिक है,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है। इसलिए,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$।
सिलेंडर में गैस का आयतन $V = A \times L$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $L$ गैस कॉलम की लंबाई है।
$V_1 = A L_1$ और $V_2 = A L_2$ रखने पर,हमें $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A L_2}{A L_1} = \frac{L_2}{L_1}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को तापमान अनुपात के समीकरण में रखने पर: $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{L_2}{L_1})^{2/3}$।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = K$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है।
दोनों पक्षों का लघुगणकीय अवकलन लेने पर: $\ln P + \gamma \ln V = \ln K$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$.
हवा (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 1.4$ है।
आयतन में प्रतिशत वृद्धि $\frac{dV}{V} \times 100 = 5\%$ दी गई है।
दबाव में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dP}{P} \times 100 = -\gamma \left( \frac{dV}{V} \times 100 \right)$ है।
मान रखने पर: $\frac{dP}{P} \times 100 = -1.4 \times 5 = -7\%$.
ऋणात्मक चिह्न दबाव में कमी को दर्शाता है। इसलिए,दबाव में प्रतिशत कमी $7\%$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma - 1} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि तापमान $\sqrt{2}$ गुना बढ़ जाता है, इसलिए $T_2 = \sqrt{2}T_1$ है।
आयतन आधा हो जाता है, इसलिए $V_2 = V_1 / 2$ है।
संबंध $\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1}$ का उपयोग करते हुए, हम मान रखते हैं:
$\frac{T_1}{\sqrt{2}T_1} = \left( \frac{V_1/2}{V_1} \right)^{\gamma - 1}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\gamma - 1}$
चूंकि $\frac{1}{\sqrt{2}} = (1/2)^{1/2}$, हम घातांकों की तुलना करते हैं:
$\gamma - 1 = 1/2 \implies \gamma = 3/2$.
रुद्धोष्म समीकरण $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ है, इसलिए $PV^{3/2} = \text{नियतांक}$।

(C) चूंकि पिस्टन संतुलन में है,इसलिए दोनों गैसें समान अंतिम दबाव $P_f$ पर होनी चाहिए।
पिस्टन का विस्थापन $x$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ दिया गया है,इसलिए बाएं और दाएं भागों के अंतिम आयतन हैं:
$V_L = V_0/2 + Ax$ और $V_R = V_0/2 - Ax$.
चूंकि पात्र और पिस्टन रुद्धोष्म हैं,दोनों गैसें रुद्धोष्म प्रक्रिया से गुजरती हैं।
बाएं गैस के लिए:
$P_1 (V_0/2)^\gamma = P_f (V_0/2 + Ax)^\gamma$
$P_f = \frac{P_1 (V_0/2)^\gamma}{(V_0/2 + Ax)^\gamma}$ ... $(i)$
दाएं गैस के लिए:
$P_2 (V_0/2)^\gamma = P_f (V_0/2 - Ax)^\gamma$
$P_f = \frac{P_2 (V_0/2)^\gamma}{(V_0/2 - Ax)^\gamma}$ ... $(ii)$
दोनों समीकरण अंतिम दबाव $P_f$ को दर्शाते हैं। अतः,विकल्प $(C)$ अंतिम दबाव के लिए एक मान्य समीकरण है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{नियतांक}$ होता है।
बिंदु $b$ ($T_1$ तापमान पर) और $c$ ($T_2$ तापमान पर) को जोड़ने वाले रुद्धोष्म वक्र $bc$ के लिए:
$T_1 V_b^{\gamma - 1} = T_2 V_c^{\gamma - 1} \implies \frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_b}{V_c} \right)^{\gamma - 1} \dots (i)$
बिंदु $a$ ($T_1$ तापमान पर) और $d$ ($T_2$ तापमान पर) को जोड़ने वाले रुद्धोष्म वक्र $ad$ के लिए:
$T_1 V_a^{\gamma - 1} = T_2 V_d^{\gamma - 1} \implies \frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_a}{V_d} \right)^{\gamma - 1} \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\left( \frac{V_b}{V_c} \right)^{\gamma - 1} = \left( \frac{V_a}{V_d} \right)^{\gamma - 1}$
अतः, $\frac{V_a}{V_d} = \frac{V_b}{V_c}$.

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E_{int} = \Delta Q - W$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया (adiabatic process) के लिए,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर,हमें $\Delta E_{int} = 0 - W$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\Delta E_{int} = -W$ हो जाता है।
अतः,सही कथन यह है कि रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि निकाय द्वारा किए गए कार्य के ऋणात्मक मान के बराबर होती है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच संबंध $PV^\gamma = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
अंतिम दाब $P_2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$.
यहाँ $V_2 = \frac{V_1}{8}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = 8$.
मान रखने पर,$P_2 = P_1 (8)^{5/3}$.
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $P_2 = P_1 (2^3)^{5/3} = P_1 (2^5) = 32 P_1$.
अतः,गैस का दाब प्रारंभिक मान का $32$ गुना हो जाएगा।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $TV^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ है।
दिया गया है: $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$,$V_2 = \frac{8}{27} V_1$,और $\gamma = 5/3$.
संबंध $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{T_2}{300} = \left( \frac{V_1}{(8/27)V_1} \right)^{5/3 - 1} = \left( \frac{27}{8} \right)^{2/3}$.
घातांक की गणना करने पर: $\left( \frac{27}{8} \right)^{2/3} = \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{2/3} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
अतः,$T_2 = 300 \times 2.25 = 675 \, K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 - 300 = 375 \, K$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ होता है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 18^{\circ}C = 18 + 273 = 291 K$.
प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$,अंतिम आयतन $V_2 = V/8$.
यदि गैस के लिए $\gamma = 1.4$ लिया जाए (जो विकल्पों के अनुसार आवश्यक है),तो $\gamma - 1 = 0.4$ होगा।
सूत्र का उपयोग करने पर: $T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 291 \times (V / (V/8))^{0.4} = 291 \times (8)^{0.4}$.
$T_2 = 291 \times 2.297 \approx 668 K$.
अतः,सही उत्तर $668 K$ है।

(A) हीलियम (एकपरमाणुक गैस) के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है।
$STP$ पर,$1 \ mole$ गैस का आयतन $22.4 \ L$ होता है।
मोलों की संख्या $n = \frac{5.6}{22.4} = \frac{1}{4} \ mole$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ होता है।
यहाँ $V_1 = 5.6 \ L$ और $V_2 = 0.7 \ L$ दिया गया है,इसलिए $V_1/V_2 = 8$ है।
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = T_1 (8)^{5/3 - 1} = T_1 (8)^{2/3} = T_1 (2^3)^{2/3} = 4T_1$।
किया गया कार्य $W = -\frac{nR(T_2 - T_1)}{\gamma - 1}$ है।
मान रखने पर: $W = -\frac{(1/4)R(4T_1 - T_1)}{5/3 - 1} = -\frac{(1/4)R(3T_1)}{2/3} = -\frac{3}{4} R T_1 \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{8} RT_1$।
कार्य का परिमाण $\frac{9}{8} RT_1$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $P \propto T^3$,इसलिए हम $T$ के घातांकों की तुलना कर सकते हैं:
$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 3$
$\gamma = 3(\gamma - 1)$
$\gamma = 3\gamma - 3$
$2\gamma = 3$
$\gamma = 3/2$
चूंकि $C_P / C_V$ का अनुपात $\gamma$ के बराबर होता है,इसलिए इसका मान $3/2$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का आदान-प्रदान शून्य होता है।
यहाँ गैस पर कार्य किया जा रहा है,जिससे उसकी आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि होती है।
कार्य को कैलोरी में बदलने पर:
$\text{ऊष्मा} = \frac{1.5 \times 10^4 \, J}{4.18 \, J/\text{cal}} \approx 3.6 \times 10^3 \, \text{cal}$.
अतः,$3.6 \times 10^3 \, \text{cal}$ के बराबर ऊर्जा कार्य के रूप में गैस में स्थानांतरित होती है,जिसे ऊष्मा के समतुल्य मान के रूप में दर्शाया गया है।

(C) जब ट्यूब अचानक फटती है,तो यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है क्योंकि परिवेश के साथ ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए समय नहीं मिलता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और दाब के बीच संबंध इस प्रकार है: $T_2 / T_1 = (P_2 / P_1)^{(\gamma - 1) / \gamma}$.
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,प्रारंभिक दाब $P_1 = 8 \text{ atm}$,अंतिम दाब $P_2 = 1 \text{ atm}$ (वायुमंडलीय दाब),और $\gamma = 1.5$.
मान रखने पर: $T_2 / 300 = (1 / 8)^{(1.5 - 1) / 1.5}$.
$T_2 / 300 = (1 / 8)^{0.5 / 1.5} = (1 / 8)^{1/3}$.
चूंकि $8^{1/3} = 2$,इसलिए $T_2 / 300 = 1 / 2$.
अतः,$T_2 = 300 / 2 = 150 \text{ K}$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव और आयतन के बीच का संबंध $PV^\gamma = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
दिया गया है: $P_1 = P$,$V_2 = \frac{V_1}{8}$,और $\gamma = 2.5 = \frac{5}{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P \times V_1^{5/2} = P' \times \left(\frac{V_1}{8}\right)^{5/2}$.
$P' = P \times \left(\frac{V_1}{V_1/8}\right)^{5/2} = P \times (8)^{5/2}$.
चूँकि $8 = 2^3$,इसलिए $P' = P \times (2^3)^{5/2} = P \times 2^{15/2} = P \times 2^{7.5}$.
अतः,$P' = P \times (2)^{7.5}$.

(A) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को सूत्र $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 1 \, mol$ और $\Delta T = (T_2 - T_1)$ दिया गया है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ होती है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta U = 1 \times \frac{R}{\gamma - 1} \times (T_2 - T_1)$ प्राप्त होता है।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\frac{R}{\gamma - 1}(T_2 - T_1)$ है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए ऊष्मा विनिमय $Q = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। चूँकि $Q = 0$,इसलिए $\Delta U = -\Delta W$।
चूँकि गैस पर कार्य किया गया है,$\Delta W = -146 \times 10^3 \, \text{J}$,इसलिए $\Delta U = 146 \times 10^3 \, \text{J}$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 10^3 \, \text{mol}$ और $\Delta T = 7 \, \text{K}$ है।
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ का उपयोग करते हुए: $146 \times 10^3 = 10^3 \times \frac{8.3}{\gamma - 1} \times 7$।
$146 = \frac{58.1}{\gamma - 1} \implies \gamma - 1 = \frac{58.1}{146} \approx 0.3979$।
$\gamma \approx 1.4$।
चूँकि द्विपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = 1.4$ होता है,इसलिए गैस द्विपरमाणुक है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^\gamma = k$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma = C_P/C_V = 3/2$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर: $\ln P + \gamma \ln V = \ln k$.
दोनों पक्षों का अवकलन (differentiation) करने पर: $\frac{\Delta P}{P} + \gamma \frac{\Delta V}{V} = 0$.
इसलिए,$\frac{\Delta V}{V} = -\frac{1}{\gamma} \frac{\Delta P}{P}$.
दिया गया है कि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{2}{3}\% = \frac{2}{300}$ और $\gamma = 3/2$,अतः:
$\frac{\Delta V}{V} = -\frac{1}{3/2} \times \frac{2}{3}\% = -\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\% = -\frac{4}{9}\%$.
ऋणात्मक चिह्न आयतन में कमी को दर्शाता है।
अतः,आयतन में प्रतिशत कमी $\frac{4}{9}\%$ है।

(B) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ का सूत्र है: $\Delta U = n C_v \Delta T$.
आदर्श गैस के लिए,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.
दिया गया है: $n = 1 \text{ mole}$,$\gamma = 1.4$,$R = 8.3 \text{ J/mol K}$,$T_1 = 27^{\circ}C$,$T_2 = 35^{\circ}C$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 35 - 27 = 8 \text{ K}$.
मान रखने पर: $\Delta U = 1 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times 8$.
$\Delta U = \frac{8.3}{0.4} \times 8 = 8.3 \times 20 = 166 \text{ J}$.
अतः,आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $166 \text{ J}$ है।

(A) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \ K$,प्रारंभिक दबाव $P_1 = 2 \ \text{atm}$,अंतिम दबाव $P_2 = 1 \ \text{atm}$ (वायुमंडलीय दबाव),और $\gamma = 1.4$.
संबंध $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$ का उपयोग करते हुए:
$T_2 = T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{1.4-1}{1.4}}$
$T_2 = 300 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{0.4}{1.4}}$
$T_2 = 300 \left( 0.5 \right)^{0.2857}$
$T_2 \approx 300 \times 0.8204 \approx 246.1 \ K$.

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करने पर,$V = \frac{\mu RT}{P}$ प्राप्त होता है।
इस मान को रुद्धोष्म समीकरण में रखने पर: $P \left( \frac{\mu RT}{P} \right)^{\gamma} = \text{नियतांक}$।
इसे सरल करने पर $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है।
$P$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $P^{1-\gamma} = \frac{\text{नियतांक}}{T^{\gamma}} = \text{नियतांक} \cdot T^{-\gamma}$।
$P = \text{नियतांक} \cdot T^{-\gamma / (1-\gamma)} = \text{नियतांक} \cdot T^{\gamma / (\gamma - 1)}$।
$P \propto T^{c}$ से तुलना करने पर,$c = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
$\gamma$ का मान रखने पर: $c = \frac{5/3}{(5/3) - 1} = \frac{5/3}{2/3} = \frac{5}{2} = 2.5$।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक दाब $P_1 = 1 \ atm = 1 \times 10^5 \ N/m^2$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 627 + 273 = 900 \ K$.
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.5 = 3/2$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और तापमान के बीच संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसलिए,$P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(P_2/P_1)^{1-\gamma} = (T_1/T_2)^{\gamma}$,जिसका अर्थ है $(P_2/P_1)^{\gamma-1} = (T_2/T_1)^{\gamma}$.
मान रखने पर: $(P_2/P_1)^{1.5-1} = (900/300)^{1.5}$.
$(P_2/P_1)^{0.5} = (3)^{1.5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $P_2/P_1 = (3)^{1.5 \times 2} = 3^3 = 27$.
अतः,$P_2 = 27 \times P_1 = 27 \times 10^5 \ N/m^2$.

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W$ ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम द्वारा दिया जाता है: $Q = \Delta U + W$। चूंकि प्रक्रिया रुद्धोष्म है,$Q = 0$,इसलिए $W = -\Delta U$ होगा।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \mu C_V(T_2 - T_1)$ होता है।
इसलिए,$W = -\mu C_V(T_2 - T_1) = \mu C_V(T_1 - T_2)$।
वैकल्पिक रूप से,रुद्धोष्म कार्य के सूत्र का उपयोग करते हुए: $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$।
हम जानते हैं कि $R = C_P - C_V$ और $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{C_P - C_V}{C_V} = \frac{R}{C_V}$।
इस मान को कार्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{R / C_V} = \mu C_V(T_1 - T_2)$।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta E_{int} + \Delta W$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$\Delta Q = 0$.
अतः,$0 = \Delta E_{int} + \Delta W$,जिसका अर्थ है $\Delta E_{int} = -\Delta W$.
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E_{int} = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
यहाँ $n = 1 \text{ kmol} = 1000 \text{ mol}$,$\Delta W = -146 \text{ kJ} = -146 \times 10^3 \text{ J}$,और $\Delta T = 7 \text{ K}$ दिया गया है।
$C_V = \frac{-\Delta W}{n \Delta T} = \frac{-(-146 \times 10^3)}{1000 \times 7} = \frac{146}{7} \approx 20.86 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$.
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$C_V = \frac{5}{2} R = 2.5 \times 8.314 \approx 20.78 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$.
चूँकि परिकलित $C_V$ का मान द्वि-परमाणुक गैस के मान से मेल खाता है,इसलिए गैस द्वि-परमाणुक है।

(B) आदर्श गैस की $rms$ चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
दिया गया है कि $rms$ चाल आधी हो जाती है,इसलिए $v_{rms,2} = \frac{1}{2} v_{rms,1}$,जिसका अर्थ है कि $T_2 = \frac{T_1}{4}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{नियतांक}$ है।
इसलिए,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1} = \frac{T_1}{T_2} = 4$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\gamma - 1 = 0.5 = \frac{1}{2}$.
यह मान रखने पर,$\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{1/2} = 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{V_2}{V_1} = 4^2 = 16$.
अतः,आयतन को $16$ गुना बढ़ाना होगा।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है, जिसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $P \propto T^3$, इसलिए घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 3$
$\gamma = 3(\gamma - 1)$
$\gamma = 3\gamma - 3$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
चूंकि $\frac{C_p}{C_v} = \gamma$, इसलिए इसका मान $1.5$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{constant}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
दिया गया आयतन परिवर्तन: $V_2 = \frac{8}{27} V_1$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$.
मान रखने पर: $T_2 = 300 \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{5}{3} - 1} = 300 \left( \frac{27}{8} \right)^{2/3}$.
$T_2 = 300 \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{2/3} = 300 \left( \frac{3}{2} \right)^2 = 300 \times \frac{9}{4} = 675 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 - 300 = 375 \ K$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव और आयतन के बीच का संबंध $PV^\gamma = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$,या $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$.
यहाँ $\gamma = 2.5 = 5/2$ और नया आयतन $V_2 = \frac{V_1}{8}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = 8$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P'}{P} = (8)^{5/2}$.
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $(2^3)^{5/2} = 2^{15/2}$.
अतः,$P' = P \times 2^{15/2}$.

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, समीकरण $PV^{\gamma} = \text{constant}$ है।
रुद्धोष्म वक्र की ढाल (slope) $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ द्वारा दी जाती है।
इस प्रकार, ढाल का परिमाण रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ के सीधे आनुपातिक है (अर्थात, $|\text{slope}| \propto \gamma$)।
एकपरमाणुक गैस ($He$ जैसी) के लिए, $\gamma = 1.66$, और द्विपरमाणुक गैस ($O_2$ जैसी) के लिए, $\gamma = 1.4$ है।
चूंकि $\gamma_{monoatomic} > \gamma_{diatomic}$ है, इसलिए एकपरमाणुक गैस के लिए रुद्धोष्म वक्र की ढाल द्विपरमाणुक गैस की तुलना में अधिक तीव्र होती है।
दिए गए $P-V$ ग्राफ से, वक्र $2$, वक्र $1$ की तुलना में अधिक तीव्र है।
इसलिए, वक्र $2$ एकपरमाणुक गैस $(He)$ के लिए है और वक्र $1$ द्विपरमाणुक गैस $(O_2)$ के लिए है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1}$।
चूंकि बेलनाकार पात्र का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है,इसलिए आयतन $V = L \times A$ होगा,जहाँ $L$ गैस स्तंभ की लंबाई है।
अतः,$\frac{V_2}{V_1} = \frac{L_2 A}{L_1 A} = \frac{L_2}{L_1}$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{L_2}{L_1})^{5/3 - 1} = (\frac{L_2}{L_1})^{2/3}$।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$V_1 = V$,$V_2 = \frac{V}{32}$,और $\gamma = 1.4$ है।
नया दाब $P_2$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$
मान रखने पर:
$P_2 = P \left( \frac{V}{V/32} \right)^{1.4}$
$P_2 = P (32)^{1.4}$
यह दिया गया है कि $(32)^{1.4} = 128$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$P_2 = 128 P$.

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है।
दिया गया है कि अंतिम आयतन $V_2 = V_1/8$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P_1 V_1^{5/3} = P_2 (V_1/8)^{5/3}$।
$P_2 = P_1 \times (V_1 / (V_1/8))^{5/3}$।
$P_2 = P_1 \times (8)^{5/3}$।
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$।
अतः,$P_2 = 32 P_1$।

(D) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,तापमान और दबाव के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\frac{T^\gamma}{P^{\gamma-1}} = \text{स्थिरांक}$
इसलिए,$\left(\frac{T_i}{T_f}\right)^\gamma = \left(\frac{P_i}{P_f}\right)^{\gamma-1}$,जिसका अर्थ है $P_f = P_i \left(\frac{T_f}{T_i}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ ...$(i)$
दिया गया है:
$T_i = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$
$T_f = 927^{\circ}C = 1200 \text{ K}$
$P_i = 2 \text{ atm}$
$\gamma = 1.4$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$P_f = 2 \times \left(\frac{1200}{300}\right)^{\frac{1.4}{1.4-1}}$
$P_f = 2 \times (4)^{\frac{1.4}{0.4}}$
$P_f = 2 \times (4)^{3.5}$
$P_f = 2 \times (2^2)^{3.5} = 2 \times 2^7 = 2^8 = 256 \text{ atm}$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = \text{constant}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दिया गया है कि $P \propto T^3$,इसलिए $P T^{-3} = \text{constant}$ है।
$T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए हल करने पर:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
चूंकि $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,इसलिए अनुपात $1.5$ है।

(C) चित्र में एक आदर्श गैस को उसके प्रारंभिक आयतन $V_0$ से $\frac{V_0}{2}$ तक कई प्रक्रियाओं द्वारा संपीड़ित करने का $P-V$ आरेख दर्शाया गया है।
गैस पर किया गया कार्य $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि $P-V$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए अधिकतम है,इसलिए गैस पर किया गया कार्य रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए अधिकतम होता है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \ K$, अंतिम आयतन $V_2 = 81 V_1$, और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.25$ है।
अंतिम तापमान $T_2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$
मान रखने पर:
$T_2 = 273 \times \left( \frac{V_1}{81 V_1} \right)^{1.25 - 1}$
$T_2 = 273 \times \left( \frac{1}{81} \right)^{0.25}$
चूंकि $0.25 = \frac{1}{4}$, इसलिए:
$T_2 = 273 \times \left( \frac{1}{81} \right)^{1/4}$
$T_2 = 273 \times \frac{1}{(3^4)^{1/4}} = \frac{273}{3} = 91 \ K$
तापमान को केल्विन से सेल्सियस में बदलने के लिए:
$T(^\circ C) = T(K) - 273$
$T(^\circ C) = 91 - 273 = -182 ^\circ C$.

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
चूंकि गैस पर कार्य किया जा रहा है,इसलिए किया गया कार्य $\Delta W = -90 \ J$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0 = \Delta U + (-90 \ J)$।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = +90 \ J$ प्राप्त होता है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$।
दिया गया है कि तापमान दोगुना हो जाता है, $T_2 = 2 T_1$, इसलिए $\frac{T_2}{T_1} = 2$।
इस संबंध में मान रखने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1} = 2$।
व्युत्क्रम लेने पर: $\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1} = \frac{1}{2}$।
इसलिए, अंतिम आयतन और प्रारंभिक आयतन का अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}$ है।
चूंकि किसी भी गैस के लिए $\gamma > 1$ होता है, इसलिए घातांक $\frac{1}{\gamma - 1} > 1$ होगा।
$1/2$ की घात $1$ से अधिक लेने पर प्राप्त मान $1/2$ से कम होता है।
अतः, $\frac{V_2}{V_1} < \frac{1}{2}$।

(A) जब टायर फटता है,तो हवा रुद्धोष्म (adiabatic) प्रसार से गुजरती है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए तापमान और दबाव के बीच संबंध है: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$.
दिया गया है: $T_1 = 27^\circ C = 300 \text{ K}$,$P_1 = 2 \text{ atm}$,$P_2 = 1 \text{ atm}$ (वायुमंडलीय दबाव),और $\gamma = 1.5$.
मान रखने पर: $\frac{T_2}{300} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1.5 - 1}{1.5}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{0.5}{1.5}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}}$.
चूंकि $2^{1/3} \approx 1.26$,इसलिए $\frac{T_2}{300} = \frac{1}{1.26} \approx 0.793$.
$T_2 = 300 \times 0.793 \approx 238 \text{ K}$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^\circ C) = 238 - 273 = -35^\circ C$. निकटतम विकल्प $-33^\circ C$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{constant}$ है,जिसका अर्थ है $T \propto V^{1 - \gamma}$।
प्रश्न के अनुसार,गैस $T \propto V^{-1/2}$ संबंध का पालन करती है।
$V$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $1 - \gamma = -1/2$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए हल करने पर,$\gamma = 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\gamma = C_P/C_V$,इसलिए इसका मान $1.5$ है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P^{1-\gamma} \propto T^{-\gamma}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P \propto T^{-\frac{\gamma}{1-\gamma}}$ या $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$।
इसे दिए गए संबंध $P \propto T^C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $C = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ होता है।
$\gamma$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$C = \frac{5/3}{5/3 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = 5/2$।

(C) एक प्रतिवर्ती रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $P V^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} + P \cdot \gamma V^{\gamma-1} = 0$
ढाल $\frac{dP}{dV}$ के लिए सूत्र:
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P}{V}$
दिए गए मान $P = 0.7 \times 10^5 \, N/m^2$,$V = 0.0049 \, m^3$,और $\gamma = 1.4$ हैं।
इन मानों को ढाल के सूत्र में रखने पर:
$\text{ढाल} = -\frac{1.4 \times (0.7 \times 10^5)}{0.0049}$
$\text{ढाल} = -\frac{0.98 \times 10^5}{0.0049}$
$\text{ढाल} = -\frac{98000}{0.0049} = -2.0 \times 10^7 \, N/m^5$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_i = 300 \ K$, प्रारंभिक दबाव $P_i = P$, अंतिम दबाव $P_f = 4P$, और प्रक्रिया संबंध $PV^{4/3} = \text{constant}$ है।
आदर्श गैस के लिए, $V = \frac{nRT}{P}$ होता है।
दिए गए संबंध में $V$ का मान रखने पर: $P \left( \frac{nRT}{P} \right)^{4/3} = \text{constant}$।
इसे सरल करने पर $P \cdot P^{-4/3} \cdot T^{4/3} = \text{constant}$ प्राप्त होता है, जो $T^{4/3} \cdot P^{-1/3} = \text{constant}$ देता है।
अतः, $\frac{T_f^{4/3}}{P_f^{1/3}} = \frac{T_i^{4/3}}{P_i^{1/3}}$।
$T_f$ के लिए सूत्र बनाने पर: $T_f = T_i \left( \frac{P_f}{P_i} \right)^{(1/3) / (4/3)} = T_i \left( \frac{P_f}{P_i} \right)^{1/4}$।
मान रखने पर: $T_f = 300 \times \left( \frac{4P}{P} \right)^{1/4} = 300 \times (4)^{1/4} = 300 \times (2^2)^{1/4} = 300 \times 2^{1/2} = 300\sqrt{2} \ K$।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,गैस पर किया गया कार्य $W = \frac{nR\Delta T}{1 - \gamma}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 1 \text{ kilo mole} = 1000 \text{ moles}$,$R = 8.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$,$\Delta T = 7 \ K$,और $W = -146 \ kJ = -146000 \ J$ (कार्य गैस पर किया गया है)।
मान रखने पर: $-146000 = \frac{1000 \times 8.3 \times 7}{1 - \gamma}$.
$1 - \gamma = -\frac{58100}{146000} \approx -0.3979 \approx -0.4$.
$1 - \gamma = -0.4 \Rightarrow \gamma = 1.4$.
चूँकि द्विपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = 1.4$ होता है,इसलिए गैस द्विपरमाणुक है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $dQ = dU + PdV = 0$ है,इसलिए $dU = -PdV$ है।
दिया गया है $U = V \cdot E = V \cdot (aT^4)$,जहाँ $a$ एक स्थिरांक है।
तब $dU = d(aVT^4) = a(T^4 dV + 4VT^3 dT)$ होगा।
$P = \frac{1}{3} aT^4$ का उपयोग करके $dU = -PdV$ में मान रखने पर:
$aT^4 dV + 4aVT^3 dT = -\frac{1}{3} aT^4 dV$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4aVT^3 dT = -\frac{4}{3} aT^4 dV$ मिलता है।
$4aVT^3$ से विभाजित करने पर: $\frac{dT}{T} = -\frac{1}{3} \frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln T = -\frac{1}{3} \ln V + C$,जिसका अर्थ है $T \propto V^{-1/3}$।
चूंकि $V = \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $V \propto R^3$ है।
अतः,$T \propto (R^3)^{-1/3} = \frac{1}{R}$।