Adiabatic Process Questions in Hindi

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$। चूंकि $Q = 0$,इसलिए $W = -\Delta U$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि किया गया कार्य आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के ऋणात्मक मान के बराबर है,अर्थात $|W| = |\Delta U|$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T$ होता है। इसलिए,किया गया कार्य $W = -nC_v(T_2 - T_1) = nC_v(T_1 - T_2)$ होता है। किए गए कार्य का परिमाण $(T_2 - T_1)$ के समानुपाती है। अतः,कथन $(E)$ सही है।
कथन $(A), (C),$ और $(D)$ गलत हैं क्योंकि वे समतापीय या अन्य प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं,न कि रुद्धोष्म प्रक्रियाओं का।
इसलिए,सही विकल्प केवल $(B), (E)$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 800 \ cm^3$,अंतिम आयतन $V_2 = 200 \ cm^3$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.5$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ होता है।
मान रखने पर: $300 \times (800)^{1.5-1} = T_2 \times (200)^{1.5-1}$.
$300 \times (800)^{0.5} = T_2 \times (200)^{0.5}$.
$T_2 = 300 \times \left( \frac{800}{200} \right)^{0.5} = 300 \times (4)^{0.5} = 300 \times 2 = 600 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 600 \ K - 300 \ K = 300 \ K$ है।

(C) चूंकि गैस एक ऊष्मारोधी कंटेनर में है और अचानक संकुचित होती है,इसलिए यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ है।
यहाँ,$V_f = \frac{1}{8} V_i$,जिसका अर्थ है $\frac{V_i}{V_f} = 8$।
अंतिम दबाव और प्रारंभिक दबाव का अनुपात $\frac{P_f}{P_i} = \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^\gamma$ है।
मान रखने पर,$\frac{P_f}{P_i} = (8)^{5/3}$।
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$।
अतः,अंतिम दबाव और प्रारंभिक दबाव का अनुपात $32$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए संबंध $TV^{x} = \text{constant}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = \gamma - 1$ प्राप्त होता है।
एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2 R}{3/2 R} = \frac{5}{3}$ होता है।
अब $x$ के व्यंजक में $\gamma$ का मान रखने पर:
$x = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.

(D) दिया गया है: $\mu = 1 \text{ mole}$,$\gamma = \frac{5}{3}$,$T_1 = 127^{\circ} C = 400 \ K$,$V_2 = \frac{8}{27} V_1$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{5}{3}-1} = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{2}{3}} = 400 \times \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{\frac{2}{3}} = 400 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2 = 400 \times \frac{9}{4} = 900 \ K$.
निकाय पर किया गया कार्य $W = -\frac{\mu R (T_2 - T_1)}{\gamma - 1}$.
$R = 2 \text{ cal/mol K}$ का उपयोग करने पर,$W = -\frac{1 \times 2 \times (900 - 400)}{\frac{5}{3} - 1} = -\frac{2 \times 500}{\frac{2}{3}} = -\frac{1000 \times 3}{2} = -1500 \text{ cal}$.
निकाय पर किए गए कार्य का परिमाण $1500 \text{ cal}$ है।

(A) दिया गया है कि,$V_2 = \frac{V_1}{4}$ और $\gamma = 1.5$ है।
चूंकि संपीड़न अचानक होता है,इसलिए यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
मान रखने पर,हमें $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{V_1}{V_2} = 4$ और $\gamma - 1 = 1.5 - 1 = 0.5$ है,इसलिए $T_2 = T_1 (4)^{0.5} = T_1 \times 2 = 2 T_1$ होगा।
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 2 T_1 - T_1 = T_1$ है।
गैस सामान्य तापमान पर है,इसलिए $T_1 = 273 \ K$ है।
अतः,तापमान में वृद्धि $273 \ K$ है।

(C) रुद्धोष्म (Adiabatic) संपीडन के लिए,संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ होता है।
दिया गया है: $V_{\text{new}} = \frac{1}{4} V$ और $\gamma = \frac{3}{2}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के समीकरण का उपयोग करने पर:
$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$
$P \cdot V^{\gamma} = P_{\text{new}} \cdot \left(\frac{V}{4}\right)^{\gamma}$
$\frac{P_{\text{new}}}{P} = \left(\frac{V}{V/4}\right)^{\gamma} = (4)^{\gamma}$
$\frac{P_{\text{new}}}{P} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$
अतः,$P_{\text{new}} = 8P$।

(A) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $Q = \Delta U + W$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $Q = 0$ होता है।
प्रथम नियम के समीकरण में $Q = 0$ रखने पर: $0 = \Delta U + W$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\Delta U = -W$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन $\Delta U = -W$ एक रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाता है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $p$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध पॉइसन के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $p V^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$.
आदर्श गैस समीकरण $pV = RT$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $V = \frac{RT}{p}$.
इस मान को रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$p \left( \frac{RT}{p} \right)^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$
$p^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$
$p \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$.
इसकी तुलना दिए गए संबंध $p \propto T^{C}$ से करने पर,हमें $C = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
$\gamma$ का मान रखने पर:
$C = \frac{5/3}{5/3 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = \frac{5}{2}$.

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,ऊष्मा का आदान-प्रदान $\Delta Q = 0$ होता है।
इसलिए,$0 = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है $\Delta U = -\Delta W$।
जब गैस को संकुचित किया जाता है,तो गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए $\Delta W$ ऋणात्मक होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$\Delta U = -(\text{ऋणात्मक मान})$,जिससे $\Delta U$ धनात्मक प्राप्त होता है।
आंतरिक ऊर्जा में धनात्मक परिवर्तन $(\Delta U > 0)$ का अर्थ है कि गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को $\Delta Q = \Delta U + W$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $0 = \Delta U + W$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta U = -W$।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
यहाँ $T_1 = T$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$ और $\gamma = 3/2$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T V^{\gamma-1} = T_2 (2V)^{\gamma-1}$।
$T_2 = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ होता है।
मान रखने पर: $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2}$।
$W = 2 R T \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} R T (\sqrt{2}-1) = R T (2 - \sqrt{2})$।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
दिया गया है $V_i = V_0$,$V_f = \frac{V_0}{32}$,और $\gamma = \frac{7}{5}$.
तब $\gamma - 1 = \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}$.
मान रखने पर: $T_i (V_0)^{2/5} = T_f \left(\frac{V_0}{32}\right)^{2/5}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_0}{V_0/32}\right)^{2/5} = T_i (32)^{2/5}$.
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $T_f = T_i (2^5)^{2/5} = T_i (2^2) = 4T_i$.
$T_f = xT_i$ की तुलना $T_f = 4T_i$ से करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $(P)$ और तापमान $(T)$ के बीच संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इसे $P \propto T^{c}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ होती है।
रुद्धोष्म घातांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1.4$ है।
$c$ के व्यंजक में $\gamma$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$c = \frac{1.4}{1.4 - 1} = \frac{1.4}{0.4} = \frac{14}{4} = 3.5$ है।
अतः,$c$ का मान $3.5$ है।

(D) पॉलिट्रोपिक प्रक्रिया $PV^{n} = \text{constant}$ के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C$ का सूत्र $C = C_{V} + \frac{R}{1-n}$ है।
दिया गया है कि विशिष्ट ऊष्मा $C = 0$, इसलिए: $0 = C_{V} + \frac{R}{1-n}$.
$C_{V} = \frac{R}{\gamma-1}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $0 = \frac{R}{\gamma-1} + \frac{R}{1-n}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{R}{n-1} = \frac{R}{\gamma-1}$.
इसका अर्थ है कि $n-1 = \gamma-1$, जो सरल होकर $n = \gamma$ हो जाता है।
अतः, यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है और $n$ का मान $\gamma$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गैस मोनोएटॉमिक है, इसलिए रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 5/3$ है।
अतः, $\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$ है।
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ वाले सिलेंडर में गैस का आयतन $V = A \times L$ होता है।
इस प्रकार, $T_1 (A L_1)^{2/3} = T_2 (A L_2)^{2/3}$ होगा।
पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $(T_2 / T_1) = (L_1 / L_2)^{2/3}$ प्राप्त होता है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ होता है।
माना प्रारंभिक दाब $P_1 = P_0$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V}{8}$ है।
रुद्धोष्म घातांक $\gamma = \frac{4}{3}$ दिया गया है।
संबंध $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ का उपयोग करने पर:
$P_0 V^{\gamma} = P_2 \left(\frac{V}{8}\right)^{\gamma}$.
$P_2 = P_0 \left(\frac{V}{V/8}\right)^{\gamma} = P_0 (8)^{\gamma}$.
$\gamma = \frac{4}{3}$ रखने पर:
$P_2 = P_0 (8)^{4/3} = P_0 (2^3)^{4/3} = P_0 (2^4) = 16 P_0$.
अतः,नया दाब $16 P_0$ होगा।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ को $\Delta U = Q + W$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $W$ निकाय पर किया गया कार्य है।
यह दिया गया है कि आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि निकाय पर किए गए कार्य के बराबर है, इसलिए $\Delta U = W$ है।
इसे प्रथम नियम के समीकरण के साथ तुलना करने पर, हमें $Q = 0$ प्राप्त होता है।
एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है $(Q = 0)$, उसे रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
इसलिए, $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ होगा।
दिया गया है कि प्रारंभिक अवस्था $(T_1, V_1) = (T, V)$ और अंतिम अवस्था $(T_2, V_2) = (xT, V/27)$ है।
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करने पर: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$T(V)^{2/3} = (xT) \left(\frac{V}{27}\right)^{2/3}$.
$1 = x \left(\frac{1}{27}\right)^{2/3}$.
$1 = x \left(\left(\frac{1}{3^3}\right)^{1/3}\right)^2 = x \left(\frac{1}{3^2}\right) = x \left(\frac{1}{9}\right)$.
अतः, $x = 9$ प्राप्त होता है।

(A) गैस के अणुओं का r.m.s. वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, $v_{rms}$ को $4$ गुना कम करने का अर्थ है कि तापमान $T$ को $4^2 = 16$ गुना कम करना होगा।
अतः, $T_f = \frac{T_i}{16}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ है।
इस प्रकार, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$।
मान रखने पर, $T_i V_i^{1.5-1} = \frac{T_i}{16} V_f^{1.5-1}$।
$V_i^{0.5} = \frac{1}{16} V_f^{0.5}$।
$\sqrt{V_i} = \frac{1}{16} \sqrt{V_f}$।
$\sqrt{\frac{V_f}{V_i}} = 16$।
$\frac{V_f}{V_i} = 16^2 = 256$।
इसलिए, गैस का $256$ गुना प्रसार करना होगा।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
दिया गया है कि गैस मोनोएटॉमिक है,इसलिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है।
इसलिए,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$।
अंतिम आयतन $V_2 = 12.5 \% \text{ of } V_1 = 0.125 V_1 = (1/8) V_1$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $T_1 V_1^{2/3} = T_2 (V_1/8)^{2/3}$।
$T_2 = T_1 \times (V_1 / (V_1/8))^{2/3} = T_1 \times (8)^{2/3}$।
$T_2 = T_1 \times (2^3)^{2/3} = T_1 \times 2^2 = 4T_1$।
इसे $T_2 = xT_1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(D) अचानक संपीड़न के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 360 \text{ c.c.}$,अंतिम आयतन $V_2 = 90 \text{ c.c.}$,प्रारंभिक दाब $P_1 = P$,और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/2$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$P \times (360)^{5/2} = P_2 \times (90)^{5/2}$
$P_2 = P \times \left( \frac{360}{90} \right)^{5/2}$
$P_2 = P \times (4)^{5/2}$
$P_2 = P \times (2^2)^{5/2}$
$P_2 = P \times 2^5$
$P_2 = 32P$
अतः,अंतिम दाब $32P$ होगा।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$
दिया गया है:
मोल की संख्या $n = 1$
कार्य $W = 6R$
प्रारंभिक तापमान $T_i = T$
विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = 5/3$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$6R = \frac{1 \cdot R(T - T_f)}{(5/3) - 1}$
$6R = \frac{R(T - T_f)}{2/3}$
$6R = \frac{3R(T - T_f)}{2}$
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर:
$6 = \frac{3(T - T_f)}{2}$
$12 = 3(T - T_f)$
$4 = T - T_f$
$T_f = T - 4$
अतः,गैस का अंतिम तापमान $(T - 4) \ K$ होगा।

(C) $P-V$ आरेख में,रुद्धोष्म प्रक्रिया का ढाल (slope) $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जबकि समतापीय प्रक्रिया का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma > 1$ है,इसलिए रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होता है।
दिए गए $P-V$ ग्राफ को देखने पर,$AD$ और $BC$ खंड $AB$ और $CD$ खंडों की तुलना में अधिक तीव्र ढाल प्रदर्शित करते हैं।
अतः,रुद्धोष्म प्रक्रियाएं $AD$ और $BC$ क्षेत्रों द्वारा दर्शाई गई हैं।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $T^{\gamma} P^{1-\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ है।
घातांक $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ में $\gamma$ का मान रखने पर:
$x = \frac{1.4}{1.4-1} = \frac{1.4}{0.4} = \frac{14}{4} = 3.5$.
अतः,$P \propto T^{3.5}$,इसलिए $x$ का मान $3.5$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है $P \propto T^K$,इसलिए $K = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ है।
हम जानते हैं कि $C_p = C_v + R$। दिया गया है $R = 0.4 C_v$,इसलिए $C_p = C_v + 0.4 C_v = 1.4 C_v$ है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{1.4 C_v}{C_v} = 1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ है।
$K$ के व्यंजक में $\gamma = 7/5$ रखने पर:
$K = \frac{7/5}{(7/5) - 1} = \frac{7/5}{2/5} = \frac{7}{2}$।

(A) एडियाबेटिक प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,तापमान का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ है।
मोनोएटॉमिक आदर्श गैस के लिए,एडियाबेटिक घातांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
अतः,$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ होगा।
चूंकि गैस स्थिर अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ वाले सिलेंडर में है,इसलिए आयतन $V = A \times L$ है। अतः,$V_1 = A L_1$ और $V_2 = A L_2$ होगा।
इन मानों को तापमान अनुपात समीकरण में रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{A L_1}{A L_2}\right)^{2/3} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^{2/3}$।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$V_2 = (8/27) V_1$,और $\gamma = 5/3$.
मान रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_1}{(8/27)V_1}\right)^{(5/3)-1} = \left(\frac{27}{8}\right)^{2/3}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
$T_2 = 2.25 \times 300 \ K = 675 \ K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 \ K - 300 \ K = 375 \ K$ है।

(C) चूंकि संपीड़न अचानक होता है,इसलिए यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $V_2 = \frac{V_1}{4}$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = 4$.
दिया गया है: $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = (4)^{3/2}$.
मान की गणना करने पर: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
अतः,अंतिम दाब $P_2 = 8 P_1$ होगा,जो प्रारंभिक दाब का $8$ गुना है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से अछूता रहता है,जिसका अर्थ है कि कोई ऊष्मा विनिमय नहीं होता है $(Q = 0)$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$। चूंकि $Q = 0$,हमारे पास $\Delta U = -W$ है,जिसका अर्थ है कि किया गया सारा कार्य आंतरिक ऊर्जा की कीमत पर होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए अवस्था का समीकरण $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है। कथन $PV = \text{नियतांक}$ एक समतापीय प्रक्रिया का वर्णन करता है,रुद्धोष्म का नहीं।
इसलिए,'$PV=$ नियतांक' कथन गलत है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,निकाय को दी गई ऊष्मा $\Delta Q$ का मान $\Delta Q = \Delta U + dW$ होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $0 = \Delta U + dW$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\Delta U = -dW$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थिति $\Delta U = -dW$ एक रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाती है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ होता है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$,इसलिए $V = \frac{m}{\rho}$ होगा। इसे रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P \left(\frac{m}{\rho}\right)^{\gamma} = \text{नियतांक}$
$P \rho^{-\gamma} = \text{नियतांक}$
अतः,$\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)^{\gamma}$।
दिया गया है कि $\frac{\rho^{\prime}}{\rho} = 32$ और $\gamma = \frac{7}{5}$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{\frac{7}{5}}$
$\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{\frac{7}{5}} = 2^7 = 128$।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक होता है,जिसका अर्थ है कि निकाय में या निकाय से ऊष्मा का कोई स्थानांतरण नहीं होता है $(dQ = 0)$।
कारण: यह प्रक्रिया आमतौर पर बहुत तेजी से होती है,जिससे निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए पर्याप्त समय नहीं मिल पाता है।

(C) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $(\Delta U)$ में परिवर्तन केवल तापमान में परिवर्तन पर निर्भर करता है और इसे सूत्र $\Delta U = nC_v\Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
एक आदर्श गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$ होती है।
इस मान को आंतरिक ऊर्जा के सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: $\Delta U = n \left(\frac{R}{\gamma-1}\right) (T_2 - T_1)$।
अतः, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\frac{nR}{\gamma-1}(T_2 - T_1)$ है।

(D) अचानक संपीड़न के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ है।
दिया गया है: $V_1 = V$,$V_2 = \frac{V}{4}$,$P_1 = P$ और $\gamma = \frac{5}{2}$।
इन मानों को रुद्धोष्म समीकरण में रखने पर:
$P \cdot V^{\gamma} = P_2 \cdot \left(\frac{V}{4}\right)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot \left(\frac{V}{V/4}\right)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot (4)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot (4)^{5/2}$
$P_2 = P \cdot (2^2)^{5/2}$
$P_2 = P \cdot 2^5$
$P_2 = 32 P$.

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को $\Delta Q = \Delta U + W$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इसे प्रथम नियम के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $0 = \Delta U + W$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta U = -W$।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $p$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $p V^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
माना प्रारंभिक दाब $p$ और प्रारंभिक आयतन $V$ है।
अंतिम आयतन $V' = \frac{V}{8}$ है।
रुद्धोष्म समीकरण का उपयोग करने पर: $p V^{\gamma} = P' (V')^{\gamma}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $p V^{4/3} = P' \left(\frac{V}{8}\right)^{4/3}$.
$P' = p \left(\frac{V}{V/8}\right)^{4/3} = p (8)^{4/3}$.
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $P' = p (2^3)^{4/3} = p (2^4) = 16p$.
अतः,नया दाब $16p$ होगा।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ होता है।
रुद्धोष्म पथ $BC$ के लिए,बिंदु $B$ और $C$ उस रुद्धोष्म वक्र पर स्थित हैं जो $T_1$ और $T_2$ समतापीय वक्रों को जोड़ता है। अतः:
$T_1 V_b^{\gamma-1} = T_2 V_c^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1} \quad ---(1)$
रुद्धोष्म पथ $AD$ के लिए,बिंदु $A$ और $D$ उस रुद्धोष्म वक्र पर स्थित हैं जो $T_1$ और $T_2$ समतापीय वक्रों को जोड़ता है। अतः:
$T_1 V_a^{\gamma-1} = T_2 V_d^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1} \quad ---(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \frac{V_b}{V_c} = \frac{V_a}{V_d}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{V_b}{V_a} = \frac{V_c}{V_d}$
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) चूंकि संपीड़न अचानक होता है,इसलिए यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,$V_1 = V$,$V_2 = V/8$,और $\gamma = 5/3$.
मान रखने पर:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 300 \times \left( \frac{V}{V/8} \right)^{(5/3) - 1}$
$T_2 = 300 \times (8)^{2/3}$
$T_2 = 300 \times (2^3)^{2/3} = 300 \times 2^2 = 300 \times 4 = 1200 \ K$.

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ समीकरण द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,दो अलग-अलग अवस्थाओं $(P_1, V_1, T_1)$ और $(P_2, V_2, T_2)$ के लिए,यह संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ के रूप में मान्य है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव और आयतन के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ के रूप में दिया जाता है। यहाँ, $\gamma = 3/2$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके, हम $P = nRT/V$ लिख सकते हैं।
इसे रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(nRT/V)V^{\gamma} = \text{constant}$, जो सरल होकर $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ हो जाता है।
चूँकि $\gamma = 3/2$ है, संबंध $TV^{(3/2 - 1)} = TV^{1/2} = \text{constant}$ बन जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक अवस्था $(T_1, V_1)$ है और अंतिम अवस्था $(T_2, V_2)$ है।
दिया गया है कि $T_1 = T$ और $V_2 = V_1/2$ है।
$T_1 V_1^{1/2} = T_2 V_2^{1/2}$ का उपयोग करने पर:
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{1/2} = T (V_1 / (V_1/2))^{1/2} = T (2)^{1/2} = \sqrt{2}T$.

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $T \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ के अनुसार,हम इसे $T \propto V^{-1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $TV^{1/2} = \text{constant}$।
दोनों व्यंजकों $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ और $TV^{1/2} = \text{constant}$ की तुलना करने पर,हमें $\gamma - 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए हल करने पर,हमें $\gamma = 1 + 0.5 = 1.5$ प्राप्त होता है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को $\Delta Q = \Delta U + dW$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $dW$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $0 = \Delta U + dW$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta U = -dW$ होता है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि गैस को उसके प्रारंभिक आयतन के $(1/8)$ भाग तक संपीड़ित किया जाता है,इसलिए $V_2 = V_1 / 8$,जिसका अर्थ है कि $V_1 / V_2 = 8$ है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 4/3$ दिया गया है।
इन मानों को रुद्धोष्म समीकरण में रखने पर:
$P_2 / P_1 = (V_1 / V_2)^\gamma$
$P_2 / P_0 = (8)^{4/3}$
$P_2 / P_0 = (2^3)^{4/3} = 2^4 = 16$
अतः,नया दाब $P_2 = 16 P_0$ होगा।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ है।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$.
यहाँ $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ और $V_2 = \frac{8}{27} V_1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
चूंकि $\gamma = 5/3$,इसलिए $\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
मान रखने पर: $\frac{T_2}{300} = \left(\frac{27}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
$T_2 = \frac{9}{4} \times 300 = 9 \times 75 = 675 \ K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 \ K - 300 \ K = 375 \ K$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ होता है। चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए $\rho \propto \frac{1}{V}$ होता है।
यह दिया गया है कि अंतिम घनत्व प्रारंभिक घनत्व का दोगुना है,$\rho_2 = 2\rho_1$,जिसका अर्थ है $V_2 = \frac{V_1}{2}$ या $\frac{V_1}{V_2} = 2$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ है।
इसलिए,अंतिम दाब $P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P_2 = p \times (2)^{7/5} = p \times (2)^{1.4}$ प्राप्त होता है।
मान की गणना करने पर,$2^{1.4} \approx 2.639$ होता है।
अतः,अंतिम दाब लगभग $2.63p$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1$,अंतिम आयतन $V_2 = V_1/8$,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ है।
अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब के अनुपात के लिए: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma$।
मान रखने पर: $\frac{P_2}{P_1} = (8)^{5/3}$।
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$।
अतः,अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $32$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ से, हमारे पास $V = \frac{RT}{P}$ है।
रुद्धोष्म समीकरण में $V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P \left( \frac{RT}{P} \right)^{\gamma} = \text{नियतांक}$
$P \cdot \frac{T^{\gamma}}{P^{\gamma}} = \text{नियतांक}'$
$P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{नियतांक}'$
$P^{1-\gamma} = \frac{\text{नियतांक}'}{T^{\gamma}}$
$P = \text{नियतांक}'' \cdot T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$
इसे $P \propto T^{x}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म घातांक $\gamma = 1.4$ (या $\frac{7}{5}$) होता है।
$\gamma$ का मान रखने पर:
$x = \frac{1.4}{1.4 - 1} = \frac{1.4}{0.4} = 3.5$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।