Adiabatic Process Questions in Hindi

(D) एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,उसे रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस प्रक्रिया में,ऊष्मा का आदान-प्रदान $dQ = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$,इसलिए रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$dU = -dW$ होता है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,निकाय अपनी आंतरिक ऊर्जा की कीमत पर परिवेश पर कार्य करता है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान $(U = n C_v T)$ पर निर्भर करती है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में कमी का अर्थ है तापमान $(T)$ में कमी।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$p V = n R T$ होता है।
चूंकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं और रुद्धोष्म प्रसार के दौरान तापमान $T$ घटता है,इसलिए गुणनफल $p V$ भी घटता है।

(D) $(i)$ वक्र $OA$ समदाबी प्रक्रिया को दर्शाता है (क्योंकि दाब स्थिर है)।
(ii) वक्र $OB$ समतापीय प्रक्रिया को दर्शाता है।
(iii) वक्र $OC$ रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाता है,क्योंकि रुद्धोष्म प्रक्रिया की ढाल समतापीय प्रक्रिया की तुलना में अधिक तीव्र होती है।
(iv) वक्र $OD$ समआयतनिक प्रक्रिया को दर्शाता है (क्योंकि आयतन स्थिर है)।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए समीकरण $P V^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दाब का घन आयतन की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती है, इसलिए $P^3 \propto V^{-4}$, जिसका अर्थ है $P^3 V^4 = \text{constant}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, हमें $(P^3 V^4)^{1/3} = \text{constant}^{1/3}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $P V^{4/3} = \text{constant}$ हो जाता है।
इसकी तुलना मानक रुद्धोष्म समीकरण $P V^{\gamma} = \text{constant}$ से करने पर, हम पाते हैं कि $\gamma = 4/3$ है।
अतः, विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = 1.33$ है।

(B) जब साइकिल का टायर अचानक फट जाता है,तो यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
इसका कारण यह है कि हवा का विस्तार बहुत तेजी से होता है,जिससे सिस्टम (टायर के अंदर की हवा) और परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए समय नहीं मिलता है।
चूंकि $dQ = 0$,इसलिए यह प्रक्रिया रुद्धोष्म प्रक्रिया की शर्त को पूरा करती है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P^2 \propto T^3$,इसलिए हम लिख सकते हैं $P \propto T^{3/2}$,जिसका अर्थ है $P T^{-3/2} = \text{constant}$।
$P T^{-3/2} = \text{constant}$ की तुलना $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ से करने पर,हम दिए गए संबंध को $P^{1} T^{-3/2} = \text{constant}$ के रूप में लिखते हैं।
घातांक $\frac{1}{1-\gamma}$ लेने पर,हमें $P T^{\frac{-3/2}{1-\gamma}} = \text{constant}$ प्राप्त होता है।
$T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$2\gamma = -3(1-\gamma) \implies 2\gamma = -3 + 3\gamma \implies \gamma = 3$।
आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ होती है।
$\gamma = 3$ रखने पर,हमें $C_V = \frac{R}{3-1} = \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) रुद्धोष्म संपीड़न में,गैस पर कार्य किया जाता है,जिससे उसकी आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है। चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा उसके निरपेक्ष तापमान $(U \propto T)$ के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए गैस का तापमान बढ़ जाता है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,औसत गतिज ऊर्जा भी बढ़ती है।
गतिज ऊर्जा में यह वृद्धि इसलिए होती है क्योंकि संपीड़न के दौरान,अणु गतिशील पिस्टन (दीवार) से टकराते हैं। जब कोई अणु अपनी ओर आती हुई दीवार से टकराता है,तो प्रत्यास्थ टक्कर के कारण अणु की गति (और इसलिए गतिज ऊर्जा) बढ़ जाती है,जो एक गतिशील बल्ले से टकराने वाली गेंद के समान है। इसलिए,कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

(A) मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C$ को $1 \text{ mole}$ गैस का तापमान $1 \text{ K}$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$C = \frac{\Delta Q}{n \Delta T}$ होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक होता है,जिसका अर्थ है कि पर्यावरण के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है।
इसलिए,ऊष्मा में परिवर्तन $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $C = \frac{0}{n \Delta T} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रुद्धोष्म परिवर्तन से गुजरने वाली गैस की विशिष्ट ऊष्मा $0$ होती है।

(B) गैस का अचानक संपीड़न एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात) है।
दिया गया है:
प्रारंभिक दाब $P_1 = P$
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 400 \ cc$
अंतिम आयतन $V_2 = 100 \ cc$
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.5 = 3/2$
रुद्धोष्म समीकरण में मान रखने पर:
$P \times (400)^{3/2} = P_2 \times (100)^{3/2}$
$P_2 = P \times (400/100)^{3/2}$
$P_2 = P \times (4)^{3/2}$
$P_2 = P \times (2^2)^{3/2}$
$P_2 = P \times 2^3$
$P_2 = 8P$
अतः,अंतिम दाब $8P$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $Q = \Delta U + W$ है। चूंकि प्रक्रिया रुद्धोष्म है,$Q = 0$,इसलिए $W = -\Delta U$ होगा।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
दिया गया है: $n = 3$ मोल,$\Delta T = -50^{\circ} C$ (चूंकि तापमान घट रहा है)।
इसलिए,$\Delta U = 3 \times (\frac{5}{2} R) \times (-50) = 3 \times 2.5 R \times (-50) = -375 R$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = -\Delta U = -(-375 R) = 375 R$ होगा।

(C) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, दबाव $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, हमें $\log P + \gamma \log V = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है, जिसे $\log P = -\gamma \log V + C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है, जहाँ ढाल $m = -\gamma$ है।
ग्राफ से, ढाल की गणना इस प्रकार की जाती है:
$m = \frac{\log P_2 - \log P_1}{\log V_2 - \log V_1} = \frac{2.20 - 2.48}{1.4 - 1.2} = \frac{-0.28}{0.2} = -1.4$.
चूंकि $m = -\gamma$, इसलिए $-\gamma = -1.4$, जिसका अर्थ है कि $\gamma = 1.4$।
अतः, विशिष्ट ऊष्मा क्षमताओं का अनुपात $1.4$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln P + \gamma \ln V = \text{स्थिरांक}$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$।
इसलिए,दबाव में आंशिक परिवर्तन $\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म घातांक $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ है।
आयतन में वृद्धि $\frac{dV}{V} = 0.5 \% = 0.005$ दी गई है।
मान रखने पर: $\frac{dP}{P} = -1.4 \times 0.5 \% = -0.7 \%$।
अतः,दबाव में परिवर्तन $-0.7 \%$ है।

(A) एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है। $STP$ पर,$1$ मोल गैस $22.4$ लीटर आयतन घेरती है। अतः,मोलों की संख्या $n = 5.6 / 22.4 = 0.25$ मोल है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ होता है।
यहाँ $V_1 = 5.6$ $L$,$V_2 = 0.7$ $L$,और $T_1 = 273$ $K$ दिया गया है।
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 273 \times (5.6/0.7)^{5/3-1} = 273 \times (8)^{2/3} = 273 \times 4 = 1092$ $K$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस पर किया गया कार्य $W = -\Delta U = -n C_v (T_2 - T_1)$ होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = 3R/2$ होता है।
$W = -0.25 \times (3R/2) \times (1092 - 273) = -0.375 R \times 819 = -307.125 R$.
गैस पर किया गया कार्य का परिमाण लगभग $307 R$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, किया गया कार्य $W$ का सूत्र है: $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$।
चूंकि $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$, इसलिए $P_f = P_i (V_i / V_f)^\gamma$ होता है।
दिया गया है $V_f = 8 V_i$ और एकपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = 5/3$, इसलिए $P_f = P_i (1/8)^{5/3} = P_i / 32$ प्राप्त होता है।
इन मानों को कार्य के सूत्र में रखने पर: $W = \frac{P_i V_i - (P_i / 32)(8 V_i)}{5/3 - 1} = \frac{P_i V_i - P_i V_i / 4}{2/3} = \frac{(3/4) P_i V_i}{2/3} = \frac{9}{8} P_i V_i$।
दिया गया है $W = 180 \text{ J}$ और $P_i = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$, इसलिए $180 = \frac{9}{8} \times 10^5 \times V_i$।
$V_i = \frac{180 \times 8}{9 \times 10^5} = \frac{160}{10^5} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}^3$।
इसे $\text{cm}^3$ में बदलने पर: $1.6 \times 10^{-3} \times 10^6 \text{ cm}^3 = 1600 \text{ cm}^3$।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $T_1 = 300 \ K$,$V_2 = 2V_1$,और $\gamma = 1.5$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
मान रखने पर: $300 \times (V_1)^{1.5-1} = T_2 \times (2V_1)^{1.5-1}$.
$300 \times (V_1)^{0.5} = T_2 \times (2)^{0.5} \times (V_1)^{0.5}$.
$T_2 = \frac{300}{\sqrt{2}} = \frac{300}{1.414} \approx 212.13 \ K$.
तापमान में गिरावट $\Delta T = T_1 - T_2 = 300 - 212.13 = 87.87 \ K$.
निकटतम पूर्णांक में,तापमान में गिरावट लगभग $88 \ K$ है।

(B) दिया है: $P_1 = 10^5 \text{ Nm}^{-2}$,$V_1 = 16 \text{ L} = 16 \times 10^{-3} \text{ m}^3$,$V_2 = 2 \text{ L} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$,$C_v = \frac{3R}{2}$.
आदर्श गैस के लिए,$C_p = C_v + R = \frac{3R}{2} + R = \frac{5R}{2}$.
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2 R}{3/2 R} = \frac{5}{3}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = 10^5 \left( \frac{16}{2} \right)^{5/3} = 10^5 \times (8)^{5/3} = 10^5 \times (2^3)^{5/3} = 10^5 \times 2^5 = 32 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$.
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$.
$W = \frac{(10^5 \times 16 \times 10^{-3}) - (32 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3})}{5/3 - 1} = \frac{1600 - 6400}{2/3} = \frac{-4800}{2/3} = -4800 \times \frac{3}{2} = -7200 \text{ J} = -7.2 \text{ kJ}$.
चूंकि गैस द्वारा किया गया कार्य $-7.2 \text{ kJ}$ है,इसलिए गैस पर किया गया कार्य $7.2 \text{ kJ}$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = -\Delta U = -\frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{f}{2} nR (T_i - T_f)$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए: $n_1 = 2$,$f_1 = 3$,$T_{i1} = 80^{\circ} C$,$T_{f1} = 50^{\circ} C$.
$W = \frac{3}{2} \times 2 \times R \times (80 - 50) = 3R \times 30 = 90R$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए: $n_2 = 3$,$f_2 = 5$,$T_{i2} = 50^{\circ} C$,$T_{f2} = 20^{\circ} C$.
$W' = \frac{5}{2} \times 3 \times R \times (50 - 20) = \frac{15}{2} R \times 30 = 15R \times 15 = 225R$.
अब,अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{W'}{W} = \frac{225R}{90R} = \frac{225}{90} = 2.5$.
अतः,$W' = 2.5 W$.

(D) एकपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f=3$ है।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ होता है।
यहाँ $T_1 = 630 \,K$, $V_1 = V$, और $V_2 = 27V$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर:
$630 \times V^{\frac{5}{3}-1} = T_2 \times (27V)^{\frac{5}{3}-1}$
$630 = T_2 \times (27)^{\frac{2}{3}}$
$630 = T_2 \times (3^3)^{\frac{2}{3}}$
$630 = T_2 \times 3^2$
$630 = T_2 \times 9$
$T_2 = \frac{630}{9} = 70 \,K$.

(B) निकाय पर किया गया कार्य,$W = 166.28 \ J$.
तापमान में वृद्धि,$\Delta T = 8^{\circ} C = 8 \ K$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,गैस पर किया गया कार्य $W = \frac{nR\Delta T}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 1 \ mol$ और $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $166.28 = \frac{1 \times 8.314 \times 8}{\gamma - 1}$.
$\gamma - 1 = \frac{66.512}{166.28} = 0.4$.
$\gamma = 1.4$.
चूंकि रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4$ द्विपरमाणुक गैस के लिए होता है,इसलिए गैस द्विपरमाणुक है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$,जिसका अर्थ है $V = \frac{nRT}{P}$।
$V$ के इस व्यंजक को रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P \left( \frac{nRT}{P} \right)^{\gamma} = \text{नियतांक}$।
चूंकि $n$ और $R$ नियतांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$P \cdot \frac{T^{\gamma}}{P^{\gamma}} = \text{नियतांक}$।
$P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{नियतांक}$।

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,निकाय को दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ और निकाय द्वारा किए गए कार्य $(\Delta W)$ के योग के बराबर होती है:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर:
$0 = \Delta U + \Delta W$
अतः,$\Delta U = -\Delta W$।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय और उसके परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है $(dQ = 0)$.
एक आदर्श गैस के लिए उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया में,दाब $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $C_p/C_v$) है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम दाब को $P = \frac{nRT}{V}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{nRT}{V})V^{\gamma} = \text{नियतांक}$.
चूंकि $nR$ एक नियतांक है,इसलिए हमें $T V^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ है।
अतः,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$,जिसका अर्थ है $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 37^{\circ} C = 310.15 \text{ K}$,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 1.5$,और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V_1}{2}$।
इन मानों को रखने पर: $T_2 = 310.15 \times \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^{1.5-1} = 310.15 \times (2)^{0.5} = 310.15 \times \sqrt{2}$।
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर,हमें $T_2 = 310.15 \times 1.414 \approx 438.55 \text{ K}$ प्राप्त होता है।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ} C) = 438.55 - 273.15 = 165.4^{\circ} C$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,अंतिम तापमान लगभग $165.3^{\circ} C$ है।

(D) एडियाबेटिक प्रक्रिया के लिए,दबाव $p$ और तापमान $T$ के बीच संबंध $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_1^\gamma p_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma p_2^{1-\gamma}$।
$p_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$p_2 = p_1 \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}$।
दी गई मान: $p_1 = 4 \text{ atm} = 2^2 \text{ atm}$,$\gamma = 5/3$,$T_1 = 27^{\circ} \text{C} = 300 \text{ K}$,और $T_2 = 327^{\circ} \text{C} = 600 \text{ K}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$p_2 = 2^2 \left(\frac{300}{600}\right)^{\frac{5/3}{1-5/3}} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5/3}{-2/3}} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{-5/2} = 2^2 \times 2^{5/2}$।
$p_2 = 2^{2 + 5/2} = 2^{9/2} \text{ atm}$।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
चूंकि $\Delta Q = 0$ है, इसलिए $\Delta U = -\Delta W$ होगा।
गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = 83 \,J$ दिया गया है, अतः $\Delta U = -83 \,J$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का सूत्र $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{11}{10} R$ दी गई है, इसलिए $C_V = C_p - R = \frac{11}{10} R - R = \frac{1}{10} R$।
मान रखने पर: $-83 = 1 \times (\frac{1}{10} \times 8.3) \times (T_f - 125)$।
$-83 = 0.83 \times (T_f - 125)$।
$T_f - 125 = \frac{-83}{0.83} = -100$।
अतः, $T_f = 125 - 100 = 25^{\circ} C$।

(D) जब संपीड़न प्रक्रिया अचानक या त्वरित रूप से की जाती है,तो ऊष्मा के स्थानांतरण के लिए पर्याप्त समय नहीं मिलता है; इसलिए,यह प्रक्रिया एक रुद्धोष्म (adiabatic) संपीड़न प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P V^\gamma = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$.
अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब के अनुपात के लिए: $\frac{P_f}{P_i} = \left( \frac{V_i}{V_f} \right)^\gamma$.
यहाँ $V_f = \frac{V_i}{4}$ और $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर:
$\frac{P_f}{P_i} = \left( \frac{V_i}{V_i / 4} \right)^{1.5} = (4)^{1.5} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
अतः,अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $8:1$ है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक होता है,जिसका अर्थ है कि निकाय और पर्यावरण के बीच कोई ऊष्मा विनिमय $(dQ = 0)$ नहीं होता है।
इस स्थिति को बनाए रखने के लिए,पात्र को एक आदर्श ऊष्मारोधी होना चाहिए।
थर्मस फ्लास्क को विशेष रूप से चालन,संवहन और विकिरण के माध्यम से ऊष्मा के स्थानांतरण को कम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है,जो इसे रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए दिए गए विकल्पों में से सबसे अच्छा विकल्प बनाता है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta Q$ प्रणाली को दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $\Delta W$ प्रणाली द्वारा किया गया कार्य है।
यह दिया गया है कि प्रणाली द्वारा किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा में हुई कमी के बराबर है,इसलिए $\Delta W = -\Delta U$,जिसका अर्थ है कि $\Delta U + \Delta W = 0$।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर,हमें $\Delta Q = 0$ प्राप्त होता है।
वह प्रक्रिया जिसमें परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता $(\Delta Q = 0)$,उसे रुद्धोष्म (एडियाबेटिक) प्रक्रिया कहा जाता है।
अतः,प्रणाली में रुद्धोष्म परिवर्तन हुआ होगा।

(C) दिया गया है: मोलों की संख्या $n = 5$, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \, K$ ($STP$ पर), अंतिम तापमान $T_2 = 673 \, K$, गैस नियतांक $R = 8.3 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$, और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4$ है।
आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ का सूत्र है: $\Delta U = n C_v \Delta T$।
चूंकि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$, समीकरण में मान रखने पर:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) (T_2 - T_1)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.3}{1.4 - 1} \right) \times (673 - 273)$।
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.3}{0.4} \right) \times 400$।
$\Delta U = 5 \times 8.3 \times 1000$।
$\Delta U = 41500 \, J = 41.5 \, kJ$।
अतः, आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $41.5 \, kJ$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव और आयतन के बीच संबंध $pV^{\gamma} = \text{constant}$ है।
प्रारंभ में, भाग $A$ के लिए: $p_A = p$, $V_A = 5V$. भाग $B$ के लिए: $p_B = 8p$, $V_B = V$.
जब पिस्टन को मुक्त किया जाता है, तो यह तब तक गति करता है जब तक कि दोनों भागों में दबाव समान न हो जाए। मान लीजिए अंतिम दबाव $p_f$ है और अंतिम आयतन $V_A'$ और $V_B'$ हैं।
चूंकि कुल आयतन स्थिर है, $V_A' + V_B' = 5V + V = 6V$.
रुद्धोष्म प्रसार/संपीड़न के लिए: $p(5V)^{\gamma} = p_f(V_A')^{\gamma}$ और $(8p)(V)^{\gamma} = p_f(V_B')^{\gamma}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{p(5V)^{\gamma}}{(8p)V^{\gamma}} = \frac{p_f(V_A')^{\gamma}}{p_f(V_B')^{\gamma}} \implies \frac{5^{\gamma}}{8} = \left(\frac{V_A'}{V_B'}\right)^{\gamma}$.
यहाँ $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ दिया गया है, इसलिए $\frac{5^{3/2}}{8} = \left(\frac{V_A'}{V_B'}\right)^{3/2}$.
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर: $\left(\frac{5^{3/2}}{8}\right)^{2/3} = \frac{V_A'}{V_B'} \implies \frac{5}{8^{2/3}} = \frac{V_A'}{V_B'} \implies \frac{5}{4} = \frac{V_A'}{V_B'}$.
इस प्रकार, $V_A' = \frac{5}{4}V_B'$.
$V_A' + V_B' = 6V$ में मान रखने पर: $\frac{5}{4}V_B' + V_B' = 6V \implies \frac{9}{4}V_B' = 6V \implies V_B' = \frac{24}{9}V = \frac{8}{3}V$.
अतः $V_A' = 6V - \frac{8}{3}V = \frac{18-8}{3}V = \frac{10}{3}V$.

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि प्रक्रिया $p V^{3/2} = \text{स्थिरांक}$ का पालन करती है, इसलिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 3/2$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_i = T$ और प्रारंभिक आयतन $V_i = V$ है।
गैस को उसके प्रारंभिक आयतन के आधे तक संकुचित किया जाता है, इसलिए $V_f = V/2$ है।
संबंध $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_f = T_i \left( \frac{V_i}{V_f} \right)^{\gamma-1}$
मान रखने पर: $T_f = T \left( \frac{V}{V/2} \right)^{3/2 - 1}$
$T_f = T (2)^{1/2} = \sqrt{2} T$.

(D) गैस के अणुओं की $rms$ चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,यदि $rms$ चाल आधी हो जाती है,तो तापमान $T$ प्रारंभिक तापमान का $(1/2)^2 = 1/4$ हो जाता है।
अतः,$T_f = \frac{T_i}{4}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ है।
अतः,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
मान रखने पर: $T_i (200)^{\gamma-1} = \frac{T_i}{4} (V_f)^{\gamma-1}$.
यहाँ $\gamma = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $\gamma - 1 = 0.5 = 1/2$.
$200^{1/2} = \frac{1}{4} V_f^{1/2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $200 = \frac{1}{16} V_f$.
$V_f = 200 \times 16 = 3200 \ cc$.

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम कहता है कि $Q = \Delta U + W$। चूंकि प्रक्रिया रुद्धोष्म है, $Q = 0$, जिसका अर्थ है $W = -\Delta U$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $n = 1 \,mol$, $C_v = 0.8 \,kJ \,mol^{-1} \,K^{-1}$ (मोलर ऊष्मा धारिता मानते हुए)।
अतः, $\Delta U = 1 \,mol \times 0.8 \,kJ \,mol^{-1} \,K^{-1} \times (250 \,K - 200 \,K) = 0.8 \times 50 = 40 \,kJ$।
चूंकि $W = -\Delta U$, गैस द्वारा किए गए कार्य का परिमाण $40 \,kJ$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए $\gamma = 5/3$.
$STP$ पर,$1 \ mole$ गैस $22.4 \ L$ आयतन घेरती है। दिया गया है $V_i = 5.6 \ L$,अतः मोलों की संख्या $n = \frac{5.6}{22.4} = 0.25 \ mole = \frac{1}{4} \ mole$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
$T_f = T_i \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{5.6}{0.7}\right)^{(5/3)-1} = T(8)^{2/3} = T(2^3)^{2/3} = 4T$.
अब,$W = \frac{n R (T - 4T)}{(5/3) - 1} = \frac{(1/4) R (-3T)}{2/3} = \frac{-3/4 RT}{2/3} = -\frac{9}{8} RT$.
चूंकि गैस का संपीड़न हो रहा है,कार्य गैस पर किया जा रहा है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।

(B) ऊष्मागतिकी (thermodynamics) के प्रथम नियम से, हमारे पास समीकरण $dQ = dU + dW$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में, परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है, इसलिए $dQ = 0$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर, हमें $0 = dU + dW$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $dU = -dW$।
चूंकि गैस $4.5 \,J$ का बाहरी कार्य करती है, इसलिए $dW = 4.5 \,J$ है।
अतः, $dU = -4.5 \,J$।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU$ ऋणात्मक है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा $4.5 \,J$ कम हो जाएगी।

(B) अचानक संपीड़न एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$.
दिया गया है $V_2 = \frac{8}{27} V_1$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{5}{3}-1} = 400 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{2}{3}}$
$T_2 = 400 \times \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{\frac{2}{3}} = 400 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2 = 400 \times \frac{9}{4} = 900 \ K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 900 \ K - 400 \ K = 500 \ K$ है।

(B) संपीडन अनुपात $r = V_1/V_2 = 20$ द्वारा दिया गया है।
अतः,$V_2 = V_1/20 = (10^{-3}/20) \ m^3$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$p_1 V_1^\gamma = p_2 V_2^\gamma$।
इसलिए,$p_2 = p_1 (V_1/V_2)^\gamma = 10^5 \times (20)^{1.4} = 10^5 \times 66.3 = 66.3 \times 10^5 \ Pa$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W = \frac{(10^5 \times 10^{-3}) - (66.3 \times 10^5 \times 10^{-3} / 20)}{1.4 - 1}$।
$W = \frac{100 - 331.5}{0.4} = \frac{-231.5}{0.4} = -578.75 \ J \approx -579 \ J$।
चूंकि कार्य गैस पर किया जा रहा है,इसलिए मान ऋणात्मक है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $P V^\gamma = \text{स्थिरांक}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln P + \gamma \ln V = \text{स्थिरांक}$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{dV}{V} = -\frac{1}{\gamma} \frac{dP}{P}$.
दिया गया है कि दबाव $0.1 \%$ कम हो जाता है, इसलिए $\frac{dP}{P} = -0.001$.
$\gamma = \frac{5}{3}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{dV}{V} = -\frac{1}{5/3} \times (-0.001) = \frac{3}{5} \times 0.001 = 0.6 \times 0.001 = 0.0006$.
इसे प्रतिशत में बदलने पर: $0.0006 \times 100 \% = 0.06 \%$.
अतः, आयतन में $0.06 \%$ की वृद्धि होगी।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$,अंतिम आयतन $V_2 = 3V$,और प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3}$ है।
संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$
$\frac{T_2}{300} = \left(\frac{V}{3V}\right)^{\frac{5}{3}-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}}$
$T_2 = 300 \times (3)^{-\frac{2}{3}} = 300 \times \frac{1}{3^{0.666}} \approx 300 \times 0.4807 \approx 144.2 \text{ K}$.

(A) दिया गया है: मोलों की संख्या $n = 2$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 327 + 273 = 600 \ K$,विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{4}{3}$।
आयतन में $700 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $V_2 = V_1 + 7V_1 = 8V_1$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 600 \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{4}{3}-1} = 600 \left( \frac{1}{8} \right)^{1/3} = 600 \times \frac{1}{2} = 300 \ K$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ होता है।
$W = \frac{2 \times 8.3 \times (600 - 300)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{2 \times 8.3 \times 300}{1/3} = 2 \times 8.3 \times 300 \times 3 = 14940 \ J = 14.94 \ kJ$।

(D) अचानक संपीड़न के लिए,प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\gamma = 1.5$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक अवस्था $(T_1, V_1)$ है और अंतिम अवस्था $(T_2, V_2)$ है।
दिया गया है कि $T_2 = 2T_1$ और $\gamma = 1.5$ है।
संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_1 V_1^{1.5-1} = 2T_1 V_2^{1.5-1}$
$V_1^{0.5} = 2 V_2^{0.5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V_1 = 4 V_2$,जिसका अर्थ है $V_2 = \frac{V_1}{4} = 0.25 V_1$।
आयतन में कमी $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.25 V_1 = 0.75 V_1$ है।
प्रतिशत कमी $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = 0.75 \times 100 = 75\%$ है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU$ को $dU = dQ - dW$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $dQ$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $dW$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
यह दिया गया है कि निकाय द्वारा किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा में हुई कमी के बराबर है,इसलिए $dW = -dU$ होगा।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर:
$dU = dQ - (-dU)$
$dU = dQ + dU$
$dQ = 0$
चूंकि ऊष्मा विनिमय $dQ$ शून्य है,इसलिए यह प्रक्रिया एक रुद्धोष्म प्रक्रिया है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T V^{\gamma-1} = (T/2) (4V)^{\gamma-1}$।
दोनों पक्षों को $T V^{\gamma-1}$ से विभाजित करने पर,हमें $1 = (1/2) (4)^{\gamma-1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 = 4^{\gamma-1}$।
चूंकि $4 = 2^2$,इसलिए $2^1 = (2^2)^{\gamma-1} = 2^{2\gamma-2}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $1 = 2\gamma - 2$,जिससे $2\gamma = 3$,और $\gamma = 3/2$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ होता है।
$T_1 = T$,$T_2 = T/2$,और $\gamma = 3/2$ रखने पर: $W = \frac{nR(T - T/2)}{3/2 - 1} = \frac{nR(T/2)}{1/2} = nRT$।
आदर्श गैस के लिए $PV = nRT$ होता है,इसलिए $W = PV$ प्राप्त होता है।
$W = \alpha PV$ की तुलना $W = PV$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंतिम आयतन $V_2 = 2V$ और अंतिम तापमान $T_2 = T/2$ है।
इन मानों को रुद्धोष्म संबंध में रखने पर:
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$
$T \cdot V^{\gamma-1} = (T/2) \cdot (2V)^{\gamma-1}$
दोनों पक्षों को $T \cdot V^{\gamma-1}$ से विभाजित करने पर:
$1 = (1/2) \cdot 2^{\gamma-1}$
$2 = 2^{\gamma-1}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांक भी समान होने चाहिए:
$1 = \gamma - 1$
$\gamma = 2$.

(B) टायर का फटना एक रुद्धोष्म (adiabatic) विस्तार प्रक्रिया है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और दबाव $P$ के बीच का संबंध $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_1^\gamma P_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma P_2^{1-\gamma}$.
दिया गया है: $P_1 = 2 \text{ atm}$,$P_2 = 1 \text{ atm}$ (वायुमंडलीय दबाव),$T_1 = T$,और $\gamma = \frac{3}{2}$.
इन मानों को रखने पर:
$T^{\frac{3}{2}} (2)^{1 - \frac{3}{2}} = T_2^{\frac{3}{2}} (1)^{1 - \frac{3}{2}}$
$T^{\frac{3}{2}} (2)^{-\frac{1}{2}} = T_2^{\frac{3}{2}}$
$T_2 = T \times (2)^{-\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}}$
$T_2 = T \times (2)^{-\frac{1}{3}}$
$T_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} T$.

(B) वह प्रक्रिया जिसमें कोई ऊष्मा विनिमय $(Q = 0)$ नहीं होता है,उसे रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया कहा जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 V^{2(\gamma-1)} = \text{नियतांक}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए नियम $T^2 V^\alpha = \text{नियतांक}$ से करने पर,हमें $\alpha = 2(\gamma-1)$ प्राप्त होता है।
बहुपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ सामान्यतः $\frac{4}{3}$ होता है।
$\alpha$ के व्यंजक में $\gamma = \frac{4}{3}$ रखने पर:
$\alpha = 2 \left( \frac{4}{3} - 1 \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$.

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $p$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $p V^\gamma = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए,अवस्थाएँ $(2p_0, V_0)$ और $(p_0, V_1)$ हैं।
अतः,$(2p_0) V_0^\gamma = p_0 V_1^\gamma$.
$p_0$ से विभाजित करने पर,हमें $2 V_0^\gamma = V_1^\gamma$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $V_1 = 2^{1/\gamma} V_0$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W$,$W = \frac{p_i V_i - p_f V_f}{\gamma - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए मान रखने पर:
$W = \frac{(2p_0)(V_0) - (p_0)(V_1)}{\gamma - 1} = \frac{2p_0 V_0 - p_0 (2^{1/\gamma} V_0)}{\gamma - 1}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $W = \frac{p_0 V_0 (2 - 2^{1/\gamma})}{\gamma - 1} = \frac{p_0 V_0 (2^{1/\gamma} - 2)}{1 - \gamma}$ प्राप्त होता है।

(B) एडियाबेटिक प्रक्रिया में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta W = \frac{\mu R \Delta T}{\gamma - 1}$.
$1$ मोल मोनोएटॉमिक गैस के लिए $(\mu = 1)$: $\Delta T = 20^{\circ} C$,$\gamma = 5/3$. अतः,$W = \frac{1 \times R \times 20}{(5/3 - 1)} = \frac{20R}{2/3} = 30R$ ... $(i)$.
$6$ मोल रिजिड डायटॉमिक गैस के लिए $(\mu = 6)$: $\Delta T = 20^{\circ} C$,$\gamma = 7/5$. किया गया कार्य $W'$ इस प्रकार है: $W' = \frac{6 \times R \times 20}{(7/5 - 1)} = \frac{120R}{2/5} = \frac{120R \times 5}{2} = 300R$.
$W'$ की $W$ के साथ तुलना करने पर: $W' = 300R = 10 \times (30R) = 10W$.

(D) आदर्श गैस की वह प्रक्रिया जिसमें निकाय और उसके परिवेश के बीच कोई ऊष्मा स्थानांतरित नहीं होती है,उसे रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया कहा जाता है।
इस प्रक्रिया में,ऊष्मा का आदान-प्रदान $dQ = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dU = dQ - dW$,जो रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए $dU = -dW$ हो जाता है।

(D) दिया गया है,$1$ मोल $N_2$ गैस का प्रारंभिक तापमान $T_1 = 300 \,K$ है। गैस का प्रारंभिक दबाव $p_1 = p$ और अंतिम दबाव $p_2 = 10p$ है। एक कठोर द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 7/5 = 1.4$ है।
दबाव और तापमान के बीच रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1^\gamma p_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma p_2^{1-\gamma}$।
$T_2$ के लिए हल करने पर: $(T_2/T_1)^\gamma = (p_1/p_2)^{1-\gamma} = (p_2/p_1)^{\gamma-1}$।
$T_2 = T_1 \times (p_2/p_1)^{(\gamma-1)/\gamma} = 300 \times (10p/p)^{(1.4-1)/1.4} = 300 \times 10^{2/7}$।
चूंकि $10^{2/7} = (10^2)^{1/7} = 100^{1/7} = 1.9$,इसलिए $T_2 = 300 \times 1.9 = 570 \,K$ प्राप्त होता है।