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Rotational Equilibrium Questions in Hindi
Class 11 Physics · System of Particles and Rotational Motion · Rotational Equilibrium
59+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 59 questions in Hindi
1
EasyMCQ
एक गलत तराजू की भुजाएँ असमान हैं। जब एक वस्तु को एक पलड़े में रखा जाता है तो उसका वजन $X$ होता है और जब दूसरे पलड़े में रखा जाता है तो उसका वजन $Y$ होता है। वस्तु का वास्तविक वजन $W$ किसके बराबर है?
A
$\sqrt{XY}$
B
$\frac{X+Y}{2}$
C
$\frac{X^2+Y^2}{2}$
D
$\frac{2}{\sqrt{X^2+Y^2}}$
Solution
(A) मान लीजिए कि तराजू की दो भुजाओं की लंबाई $l_1$ और $l_2$ है। मान लीजिए वस्तु का वास्तविक वजन $W$ है।
जब वस्तु को पहले पलड़े में रखा जाता है,तो टॉर्क संतुलन का समीकरण $W \cdot l_1 = X \cdot l_2$ होता है।
जब वस्तु को दूसरे पलड़े में रखा जाता है,तो टॉर्क संतुलन का समीकरण $W \cdot l_2 = Y \cdot l_1$ होता है।
इन दोनों समीकरणों को गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $(W \cdot l_1) \cdot (W \cdot l_2) = (X \cdot l_2) \cdot (Y \cdot l_1)$.
$W^2 \cdot l_1 \cdot l_2 = XY \cdot l_1 \cdot l_2$.
अतः,$W^2 = XY$,जिससे $W = \sqrt{XY}$ प्राप्त होता है।
जब वस्तु को पहले पलड़े में रखा जाता है,तो टॉर्क संतुलन का समीकरण $W \cdot l_1 = X \cdot l_2$ होता है।
जब वस्तु को दूसरे पलड़े में रखा जाता है,तो टॉर्क संतुलन का समीकरण $W \cdot l_2 = Y \cdot l_1$ होता है।
इन दोनों समीकरणों को गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $(W \cdot l_1) \cdot (W \cdot l_2) = (X \cdot l_2) \cdot (Y \cdot l_1)$.
$W^2 \cdot l_1 \cdot l_2 = XY \cdot l_1 \cdot l_2$.
अतः,$W^2 = XY$,जिससे $W = \sqrt{XY}$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
किसी निकाय के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाले बलाघूर्ण (torques) का संतुलित होना आवश्यक है। यह केवल तभी सत्य है यदि बलाघूर्ण को किसके परितः लिया जाए?
A
निकाय का केंद्र
B
निकाय का द्रव्यमान केंद्र
C
निकाय पर कोई भी बिंदु
D
निकाय पर या उसके बाहर कोई भी बिंदु
Solution
(D) किसी निकाय के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बलाघूर्ण शून्य होना चाहिए। यदि निकाय स्थानांतरणीय संतुलन में है (कुल बल शून्य है),तो कुल बलाघूर्ण उस बिंदु से स्वतंत्र होता है जिसके परितः इसकी गणना की जाती है। हालाँकि,एक सामान्य निकाय के लिए,बलाघूर्ण का योग शून्य होने की शर्त जड़त्वीय निर्देश तंत्र में किसी भी बिंदु के परितः गणना किए जाने पर सार्वभौमिक रूप से मान्य है। घूर्णी संतुलन के संदर्भ में,किसी भी बिंदु के परितः कुल बलाघूर्ण शून्य होना चाहिए।
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MediumMCQ
दो व्यक्ति $L$ लंबाई की एक समान छड़ को अपने कंधों पर उठाए हुए हैं। छड़ को क्षैतिज रूप से इस प्रकार पकड़ा गया है कि छोटे व्यक्ति को कुल भार का $(1/4)$ भाग मिलता है। मान लीजिए कि छोटा व्यक्ति छड़ के एक सिरे पर है,तो दूसरे व्यक्ति की उस सिरे से दूरी क्या है?
A
$L/3$
B
$L/2$
C
$2L/3$
D
$3L/4$
Solution
(C) मान लीजिए छड़ का भार $W$ है,जो इसके गुरुत्व केंद्र $(CG)$ पर कार्य करता है,जो उस सिरे से $L/2$ की दूरी पर है जहाँ छोटा व्यक्ति खड़ा है।
मान लीजिए $F_1 = W/4$ छोटे व्यक्ति द्वारा सिरे $(x=0)$ पर लगाया गया बल है।
मान लीजिए $F_2$ दूसरे व्यक्ति द्वारा छोटे व्यक्ति से $d$ दूरी पर लगाया गया बल है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $F_1 + F_2 = W \implies W/4 + F_2 = W \implies F_2 = 3W/4$.
घूर्णी संतुलन के लिए,गुरुत्व केंद्र $(CG)$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर: $F_1 \times (L/2) = F_2 \times x$,जहाँ $x$ दूसरे व्यक्ति की $CG$ से दूरी है।
$(W/4) \times (L/2) = (3W/4) \times x \implies x = L/6$.
छोटे व्यक्ति (सिरे पर) से दूसरे व्यक्ति की दूरी $d = L/2 + x = L/2 + L/6 = (3L+L)/6 = 4L/6 = 2L/3$ है।
मान लीजिए $F_1 = W/4$ छोटे व्यक्ति द्वारा सिरे $(x=0)$ पर लगाया गया बल है।
मान लीजिए $F_2$ दूसरे व्यक्ति द्वारा छोटे व्यक्ति से $d$ दूरी पर लगाया गया बल है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $F_1 + F_2 = W \implies W/4 + F_2 = W \implies F_2 = 3W/4$.
घूर्णी संतुलन के लिए,गुरुत्व केंद्र $(CG)$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर: $F_1 \times (L/2) = F_2 \times x$,जहाँ $x$ दूसरे व्यक्ति की $CG$ से दूरी है।
$(W/4) \times (L/2) = (3W/4) \times x \implies x = L/6$.
छोटे व्यक्ति (सिरे पर) से दूसरे व्यक्ति की दूरी $d = L/2 + x = L/2 + L/6 = (3L+L)/6 = 4L/6 = 2L/3$ है।
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MediumMCQ
एक समान मीटर स्केल $40\,cm$ के निशान पर संतुलित होती है जब $10\,cm$ और $20\,cm$ के निशान से $10\,g$ और $20\,g$ के भार लटकाए जाते हैं। मीटर स्केल का भार ...... $g$ है।
A
$50$
B
$60$
C
$70$
D
$80$
Solution
(C) माना मीटर स्केल का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि यह एक समान मीटर स्केल है,इसका द्रव्यमान केंद्र $50\,cm$ के निशान पर कार्य करता है।
पिवट बिंदु $40\,cm$ के निशान पर है। हम पिवट बिंदु के परितः आघूर्ण के सिद्धांत (घूर्णी संतुलन) को लागू करते हैं।
$10\,cm$ पर $10\,g$ भार के कारण आघूर्ण: $\tau_1 = 10\,g \times (40 - 10) = 10 \times 30 = 300\,g\cdot cm$.
$20\,cm$ पर $20\,g$ भार के कारण आघूर्ण: $\tau_2 = 20\,g \times (40 - 20) = 20 \times 20 = 400\,g\cdot cm$.
$50\,cm$ पर स्केल के भार $m$ के कारण आघूर्ण: $\tau_m = m \times (50 - 40) = 10m\,g\cdot cm$.
संतुलन के लिए,दक्षिणावर्त आघूर्ण का योग वामावर्त आघूर्ण के योग के बराबर होना चाहिए:
$300 + 400 = 10m$
$700 = 10m$
$m = 70\,g$.
पिवट बिंदु $40\,cm$ के निशान पर है। हम पिवट बिंदु के परितः आघूर्ण के सिद्धांत (घूर्णी संतुलन) को लागू करते हैं।
$10\,cm$ पर $10\,g$ भार के कारण आघूर्ण: $\tau_1 = 10\,g \times (40 - 10) = 10 \times 30 = 300\,g\cdot cm$.
$20\,cm$ पर $20\,g$ भार के कारण आघूर्ण: $\tau_2 = 20\,g \times (40 - 20) = 20 \times 20 = 400\,g\cdot cm$.
$50\,cm$ पर स्केल के भार $m$ के कारण आघूर्ण: $\tau_m = m \times (50 - 40) = 10m\,g\cdot cm$.
संतुलन के लिए,दक्षिणावर्त आघूर्ण का योग वामावर्त आघूर्ण के योग के बराबर होना चाहिए:
$300 + 400 = 10m$
$700 = 10m$
$m = 70\,g$.
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MediumMCQ
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,एक व्यक्ति किताब को अपनी उंगली और अंगूठे के बीच पकड़े हुए है (किताब को कोने से पकड़ा गया है)। यदि किताब का वजन $W$ है,तो व्यक्ति द्वारा किताब पर लगाया गया टॉर्क कितना होगा?
A
$W\frac{a}{2}$ वामावर्त
B
$W\frac{b}{2}$ वामावर्त
C
$Wa$ वामावर्त
D
$Wa$ दक्षिणावर्त
Solution
(B) किताब के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,निलंबन बिंदु (उंगली और अंगूठे) के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
किताब का वजन $W$ उसके द्रव्यमान केंद्र पर नीचे की ओर कार्य करता है,जो निलंबन बिंदु से क्षैतिज दूरी $\frac{b}{2}$ पर है।
वजन के कारण टॉर्क $\tau_W = W \times \frac{b}{2}$ है,जो दक्षिणावर्त दिशा में कार्य करता है।
इसे संतुलित करने के लिए,व्यक्ति को वामावर्त दिशा में $W \frac{b}{2}$ का समान और विपरीत टॉर्क लगाना होगा।
किताब का वजन $W$ उसके द्रव्यमान केंद्र पर नीचे की ओर कार्य करता है,जो निलंबन बिंदु से क्षैतिज दूरी $\frac{b}{2}$ पर है।
वजन के कारण टॉर्क $\tau_W = W \times \frac{b}{2}$ है,जो दक्षिणावर्त दिशा में कार्य करता है।
इसे संतुलित करने के लिए,व्यक्ति को वामावर्त दिशा में $W \frac{b}{2}$ का समान और विपरीत टॉर्क लगाना होगा।
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MediumMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार $m$ द्रव्यमान के एक समान मीटर पैमाने को उसके सिरों पर दो ऊर्ध्वाधर डोरियों द्वारा लटकाया गया है। $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु $80 \ cm$ के निशान पर रखी गई है। डोरियों में उत्पन्न तनाव बलों का अनुपात $(T_1/T_2)$ ज्ञात कीजिए।
A
$8/7$
B
$3/13$
C
$13/7$
D
$7/13$
Solution
(D) माना मीटर पैमाने की लंबाई $L = 1 \ m$ है। पैमाने का भार $mg$ उसके द्रव्यमान केंद्र पर,अर्थात सिरे $A$ से $0.5 \ m$ की दूरी पर कार्य करता है। अतिरिक्त $m$ द्रव्यमान को सिरे $A$ से $0.8 \ m$ की दूरी पर रखा गया है।
घूर्णी संतुलन के लिए बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$\sum \tau_A = 0$
$(mg \times 0.5) + (mg \times 0.8) = T_2 \times 1$
$0.5 \ mg + 0.8 \ mg = T_2$
$T_2 = 1.3 \ mg$
स्थानांतरीय संतुलन के लिए,ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य होता है:
$T_1 + T_2 = mg + mg = 2 \ mg$
$T_1 + 1.3 \ mg = 2 \ mg$
$T_1 = 0.7 \ mg$
अब,तनाव बलों का अनुपात है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{0.7 \ mg}{1.3 \ mg} = \frac{7}{13}$
घूर्णी संतुलन के लिए बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$\sum \tau_A = 0$
$(mg \times 0.5) + (mg \times 0.8) = T_2 \times 1$
$0.5 \ mg + 0.8 \ mg = T_2$
$T_2 = 1.3 \ mg$
स्थानांतरीय संतुलन के लिए,ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य होता है:
$T_1 + T_2 = mg + mg = 2 \ mg$
$T_1 + 1.3 \ mg = 2 \ mg$
$T_1 = 0.7 \ mg$
अब,तनाव बलों का अनुपात है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{0.7 \ mg}{1.3 \ mg} = \frac{7}{13}$
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MediumMCQ
$W$ भार वाली एक छड़ दो समानांतर नाइफ एज $A$ और $B$ द्वारा समर्थित है और क्षैतिज स्थिति में संतुलन में है। नाइफ एज एक-दूसरे से $d$ दूरी पर हैं। छड़ का द्रव्यमान केंद्र $A$ से $x$ दूरी पर है। $A$ पर लगने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया क्या है?
A
$\frac{W(d - x)}{d}$
B
$\frac{Wd}{x}$
C
$\frac{Wx}{d}$
D
$\frac{W(d - x)}{x}$
Solution
(A) मान लीजिए $A$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N_1$ है और $B$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N_2$ है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले बलों का योग नीचे की ओर लगने वाले बल के बराबर होना चाहिए:
$N_1 + N_2 = W$ --- $(i)$
घूर्णी संतुलन के लिए,हम छड़ के द्रव्यमान केंद्र (जहाँ भार $W$ कार्य करता है) के परितः टॉर्क लेते हैं। $W$ के कारण टॉर्क शून्य है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क का योग = $0$
$N_1 \cdot x = N_2 \cdot (d - x)$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$N_2 = W - N_1$.
इस मान को समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$N_1 x = (W - N_1)(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1 d + N_1 x$
$N_1 d = W(d - x)$
$N_1 = \frac{W(d - x)}{d}$
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले बलों का योग नीचे की ओर लगने वाले बल के बराबर होना चाहिए:
$N_1 + N_2 = W$ --- $(i)$
घूर्णी संतुलन के लिए,हम छड़ के द्रव्यमान केंद्र (जहाँ भार $W$ कार्य करता है) के परितः टॉर्क लेते हैं। $W$ के कारण टॉर्क शून्य है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क का योग = $0$
$N_1 \cdot x = N_2 \cdot (d - x)$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$N_2 = W - N_1$.
इस मान को समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$N_1 x = (W - N_1)(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1 d + N_1 x$
$N_1 d = W(d - x)$
$N_1 = \frac{W(d - x)}{d}$
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MediumMCQ
चित्र में दर्शाए गए गुटके पर एक क्षैतिज बल $F$ इस प्रकार लगाया गया है कि गुटका स्थिर अवस्था में रहता है। तब निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?
A
$f = mg$ [जहाँ $f$ घर्षण बल है]
B
$F = N$ [जहाँ $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया है]
C
$F$ बल आघूर्ण (टॉर्क) उत्पन्न नहीं करेगा
D
$N$ बल आघूर्ण (टॉर्क) उत्पन्न नहीं करेगा
Solution
(D) चूँकि ब्लॉक विराम अवस्था में रहता है,अतः स्थानांतरीय संतुलन के लिए:
$F_x = 0 \implies F = N$
$F_y = 0 \implies f = mg$
घूर्णीय संतुलन के लिए,द्रव्यमान केंद्र $O$ के परितः कुल बल आघूर्ण $\tau = 0$:
$\vec{\tau_F} + \vec{\tau_f} + \vec{\tau_N} + \vec{\tau_{mg}} = 0$
चूँकि बल $F$ और $mg$ की क्रिया रेखा द्रव्यमान केंद्र $O$ से होकर गुजरती है,इसलिए $O$ के परितः उनका बल आघूर्ण शून्य है।
अतः,$\vec{\tau_f} + \vec{\tau_N} = 0$।
चूँकि घर्षण बल $f$ सतह पर ($O$ से $a$ दूरी पर) कार्य करता है,यह एक बल आघूर्ण $\vec{\tau_f} \neq 0$ उत्पन्न करता है। इसलिए,$\vec{\tau_N} \neq 0$,जिसका अर्थ है कि घर्षण द्वारा उत्पन्न बल आघूर्ण को संतुलित करने के लिए अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ को भी बल आघूर्ण उत्पन्न करना होगा।
$F_x = 0 \implies F = N$
$F_y = 0 \implies f = mg$
घूर्णीय संतुलन के लिए,द्रव्यमान केंद्र $O$ के परितः कुल बल आघूर्ण $\tau = 0$:
$\vec{\tau_F} + \vec{\tau_f} + \vec{\tau_N} + \vec{\tau_{mg}} = 0$
चूँकि बल $F$ और $mg$ की क्रिया रेखा द्रव्यमान केंद्र $O$ से होकर गुजरती है,इसलिए $O$ के परितः उनका बल आघूर्ण शून्य है।
अतः,$\vec{\tau_f} + \vec{\tau_N} = 0$।
चूँकि घर्षण बल $f$ सतह पर ($O$ से $a$ दूरी पर) कार्य करता है,यह एक बल आघूर्ण $\vec{\tau_f} \neq 0$ उत्पन्न करता है। इसलिए,$\vec{\tau_N} \neq 0$,जिसका अर्थ है कि घर्षण द्वारा उत्पन्न बल आघूर्ण को संतुलित करने के लिए अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ को भी बल आघूर्ण उत्पन्न करना होगा।
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DifficultMCQ
दो व्यक्ति $L$ लंबाई की एक समान छड़ को अपने कंधों पर उठाए हुए हैं। छड़ को क्षैतिज रूप से इस प्रकार पकड़ा गया है कि छोटे व्यक्ति को कुल भार का $(1/4)$ भाग मिलता है। मान लीजिए कि छोटा व्यक्ति छड़ के एक सिरे पर है,तो दूसरे व्यक्ति की दूसरे सिरे से दूरी क्या है?
A
$L / 3$
B
$L / 4$
C
$2L / 3$
D
$3L / 4$
Solution
(A) मान लीजिए $W$ समान छड़ का कुल भार है जो इसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो दोनों सिरों से $L/2$ की दूरी पर है।
मान लीजिए $R_B$ एक सिरे पर छोटे व्यक्ति पर भार है और $R_M$ दूसरे व्यक्ति पर भार है।
दिया गया है $R_B = W/4$। चूंकि कुल भार $W$ है,इसलिए $R_M = W - W/4 = 3W/4$।
मान लीजिए दूसरा व्यक्ति दूसरे सिरे से $d$ दूरी पर है। द्रव्यमान केंद्र से दूसरे व्यक्ति की दूरी $x = L/2 - d$ है।
घूर्णी संतुलन के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$R_B \times (L/2) = R_M \times x$
$(W/4) \times (L/2) = (3W/4) \times x$
$L/8 = 3x/4$
$x = L/6$
चूंकि $x = L/2 - d$,इसलिए $d = L/2 - L/6 = (3L - L)/6 = 2L/6 = L/3$।
अतः,दूसरे व्यक्ति की दूसरे सिरे से दूरी $L/3$ है।
मान लीजिए $R_B$ एक सिरे पर छोटे व्यक्ति पर भार है और $R_M$ दूसरे व्यक्ति पर भार है।
दिया गया है $R_B = W/4$। चूंकि कुल भार $W$ है,इसलिए $R_M = W - W/4 = 3W/4$।
मान लीजिए दूसरा व्यक्ति दूसरे सिरे से $d$ दूरी पर है। द्रव्यमान केंद्र से दूसरे व्यक्ति की दूरी $x = L/2 - d$ है।
घूर्णी संतुलन के लिए,द्रव्यमान केंद्र के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$R_B \times (L/2) = R_M \times x$
$(W/4) \times (L/2) = (3W/4) \times x$
$L/8 = 3x/4$
$x = L/6$
चूंकि $x = L/2 - d$,इसलिए $d = L/2 - L/6 = (3L - L)/6 = 2L/6 = L/3$।
अतः,दूसरे व्यक्ति की दूसरे सिरे से दूरी $L/3$ है।
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DifficultMCQ
एक भारहीन छड़ के सिरों $A$ और $B$ पर क्रमशः $2N$ और $4N$ के ऊपर की ओर समानांतर बल कार्य कर रहे हैं। छड़ की कुल लंबाई $AB = 3m$ है। छड़ को संतुलन में रखने के लिए $6N$ का बल किस प्रकार कार्य करना चाहिए:
A
$A$ और $B$ के बीच किसी भी बिंदु पर नीचे की ओर।
B
$AB$ के मध्य बिंदु पर नीचे की ओर।
C
$C$ बिंदु पर नीचे की ओर ताकि $AC = 1m$ हो।
D
$D$ बिंदु पर नीचे की ओर ताकि $BD = 1m$ हो।
Solution
(D) छड़ को संतुलन में रहने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए और किसी भी बिंदु के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
$1$. कुल बल: ऊपर की ओर लगने वाले बलों का योग $2N + 4N = 6N$ है। इसे संतुलित करने के लिए,$6N$ का नीचे की ओर बल लगाया जाना चाहिए।
$2$. कुल टॉर्क: मान लीजिए कि $6N$ के नीचे की ओर लगने वाले बल का बिंदु सिरे $A$ से $x$ दूरी पर है। बिंदु $A$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$\tau_A = (2N \times 0) + (4N \times 3m) - (6N \times x) = 0$
$12 = 6x$
$x = 2m$ ($A$ से)।
चूंकि छड़ की कुल लंबाई $AB = 3m$ है,इसलिए सिरे $B$ से दूरी $3m - 2m = 1m$ होगी।
अतः,बल को बिंदु $D$ पर नीचे की ओर कार्य करना चाहिए ताकि $BD = 1m$ हो।
$1$. कुल बल: ऊपर की ओर लगने वाले बलों का योग $2N + 4N = 6N$ है। इसे संतुलित करने के लिए,$6N$ का नीचे की ओर बल लगाया जाना चाहिए।
$2$. कुल टॉर्क: मान लीजिए कि $6N$ के नीचे की ओर लगने वाले बल का बिंदु सिरे $A$ से $x$ दूरी पर है। बिंदु $A$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$\tau_A = (2N \times 0) + (4N \times 3m) - (6N \times x) = 0$
$12 = 6x$
$x = 2m$ ($A$ से)।
चूंकि छड़ की कुल लंबाई $AB = 3m$ है,इसलिए सिरे $B$ से दूरी $3m - 2m = 1m$ होगी।
अतः,बल को बिंदु $D$ पर नीचे की ओर कार्य करना चाहिए ताकि $BD = 1m$ हो।
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान की एक समकोण त्रिभुजाकार प्लेट $ABC$,$A$ से गुजरने वाली एक निश्चित क्षैतिज अक्ष के परितः ऊर्ध्वाधर तल में घूमने के लिए स्वतंत्र है। इसे $B$ पर एक डोरी द्वारा इस प्रकार सहारा दिया गया है कि भुजा $AB$ क्षैतिज रहे। आधार $A$ पर प्रतिक्रिया बल क्या है?
A
$\frac{mg}{3}$
B
$\frac{2mg}{3}$
C
$\frac{mg}{2}$
D
$mg$
Solution
(B) मान लीजिए भुजाओं की लंबाई $AB = l$ और $AC = l$ है। एक समकोण त्रिभुजाकार प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ उसकी दोनों लंबवत भुजाओं से $l/3$ की दूरी पर स्थित होता है।
मूलबिंदु $A(0,0)$ को लेते हुए,शीर्षों के निर्देशांक $A(0,0)$,$B(l,0)$ और $C(0,l)$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र $(x_{cm}, y_{cm}) = (l/3, l/3)$ पर स्थित है।
भार $mg$ ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर $COM$ पर कार्य करता है।
आधार $A$ पर प्रतिक्रिया बल $F_A$ ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु $B$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेते हैं।
$B$ के परितः भार $mg$ के कारण टॉर्क $\tau_g = mg \times (l - l/3) = mg \times (2l/3)$ है।
$A$ पर प्रतिक्रिया बल $F_A$ निकाय को संतुलित करने के लिए ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है। $B$ के परितः $F_A$ के कारण टॉर्क $\tau_A = F_A \times l$ है।
घूर्णी संतुलन के लिए,$B$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$F_A \times l = mg \times (2l/3)$
$F_A = \frac{2mg}{3}$
मूलबिंदु $A(0,0)$ को लेते हुए,शीर्षों के निर्देशांक $A(0,0)$,$B(l,0)$ और $C(0,l)$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र $(x_{cm}, y_{cm}) = (l/3, l/3)$ पर स्थित है।
भार $mg$ ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर $COM$ पर कार्य करता है।
आधार $A$ पर प्रतिक्रिया बल $F_A$ ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु $B$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेते हैं।
$B$ के परितः भार $mg$ के कारण टॉर्क $\tau_g = mg \times (l - l/3) = mg \times (2l/3)$ है।
$A$ पर प्रतिक्रिया बल $F_A$ निकाय को संतुलित करने के लिए ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है। $B$ के परितः $F_A$ के कारण टॉर्क $\tau_A = F_A \times l$ है।
घूर्णी संतुलन के लिए,$B$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$F_A \times l = mg \times (2l/3)$
$F_A = \frac{2mg}{3}$
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DifficultMCQ
एक बीम बैलेंस के प्रयोग में,एक अज्ञात द्रव्यमान $m$ को चित्र में दिखाए अनुसार $16\, kg$ और $4\, kg$ के दो ज्ञात द्रव्यमानों द्वारा संतुलित किया जाता है। अज्ञात द्रव्यमान $m$ का मान ....... $kg$ है।
A
$10$
B
$6$
C
$8$
D
$12$
Solution
(C) बीम बैलेंस के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,धुरी (वेज) के परितः कुल बलाघूर्ण (टॉर्क) शून्य होना चाहिए। इसका अर्थ है कि द्रव्यमान और उसकी संबंधित लीवर आर्म दूरी का गुणनफल दोनों तरफ समान होना चाहिए।
पहले चित्र से:
$16 \cdot l_{1} = m \cdot l_{2}$
$\Rightarrow \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{m}{16}$ ... $(1)$
दूसरे चित्र से:
$m \cdot l_{1} = 4 \cdot l_{2}$
$\Rightarrow \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{4}{m}$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{m}{16} = \frac{4}{m}$
$m^{2} = 64$
$m = 8\, kg$
पहले चित्र से:
$16 \cdot l_{1} = m \cdot l_{2}$
$\Rightarrow \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{m}{16}$ ... $(1)$
दूसरे चित्र से:
$m \cdot l_{1} = 4 \cdot l_{2}$
$\Rightarrow \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{4}{m}$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{m}{16} = \frac{4}{m}$
$m^{2} = 64$
$m = 8\, kg$
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DifficultMCQ
$L$ लंबाई और $W$ भार वाली एक समान छड़ को चित्रानुसार दो ऊर्ध्वाधर रस्सियों द्वारा क्षैतिज रूप से लटकाया गया है। पहली रस्सी छड़ के बाएं सिरे से जुड़ी है जबकि दूसरी रस्सी दाएं सिरे से $L/4$ की दूरी पर जुड़ी है। दूसरी रस्सी में तनाव कितना है?
A
$\frac{W}{2}$
B
$\frac{W}{4}$
C
$\frac{W}{3}$
D
$\frac{2W}{3}$
Solution
(D) मान लीजिए कि पहली रस्सी में तनाव $T_1$ है और दूसरी रस्सी में तनाव $T_2$ है।
चूंकि छड़ संतुलन में है,इसलिए ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य है:
$T_1 + T_2 = W$ --- $(1)$
बाएं सिरे (बिंदु $A$) के परितः बलों का आघूर्ण लेने पर:
भार $W$ छड़ के केंद्र पर कार्य करता है,जो बाएं सिरे से $L/2$ की दूरी पर है।
दूसरी रस्सी बाएं सिरे से $L - L/4 = 3L/4$ की दूरी पर जुड़ी है।
घूर्णी संतुलन के लिए,$A$ के परितः आघूर्ण का योग शून्य होना चाहिए:
$W \times \frac{L}{2} - T_2 \times \frac{3L}{4} = 0$
$W \times \frac{L}{2} = T_2 \times \frac{3L}{4}$
$T_2 = W \times \frac{L}{2} \times \frac{4}{3L}$
$T_2 = \frac{2W}{3}$
चूंकि छड़ संतुलन में है,इसलिए ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य है:
$T_1 + T_2 = W$ --- $(1)$
बाएं सिरे (बिंदु $A$) के परितः बलों का आघूर्ण लेने पर:
भार $W$ छड़ के केंद्र पर कार्य करता है,जो बाएं सिरे से $L/2$ की दूरी पर है।
दूसरी रस्सी बाएं सिरे से $L - L/4 = 3L/4$ की दूरी पर जुड़ी है।
घूर्णी संतुलन के लिए,$A$ के परितः आघूर्ण का योग शून्य होना चाहिए:
$W \times \frac{L}{2} - T_2 \times \frac{3L}{4} = 0$
$W \times \frac{L}{2} = T_2 \times \frac{3L}{4}$
$T_2 = W \times \frac{L}{2} \times \frac{4}{3L}$
$T_2 = \frac{2W}{3}$
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MediumMCQ
$1 \ kg$ द्रव्यमान और $1 \ m$ लंबाई की एक छड़ को चित्र में दिखाए अनुसार दो आदर्श डोरियों द्वारा क्षैतिज रूप से लटकाया गया है। डोरियाँ प्रत्येक सिरे से $1/3 \ m$ की दूरी पर जुड़ी हैं। पहले, छड़ को क्षैतिज रखते हुए बाएं सिरे से $m_1$ द्रव्यमान लटकाया जाता है। फिर, छड़ को क्षैतिज रखते हुए दाएं सिरे से दूसरा द्रव्यमान $m_2$ लटकाया जाता है। छड़ के क्षैतिज अभिविन्यास को बनाए रखते हुए लटकाया जा सकने वाला अधिकतम कुल द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ क्या है?
A
$3$
B
$6$
C
$2$
D
$9$
Solution
$(A)$ मान लीजिए छड़ की लंबाई $L = 1 \ m$ और द्रव्यमान $M = 1 \ kg$ है। डोरियाँ बाएं सिरे से $x = 1/3 \ m$ और $x = 2/3 \ m$ पर हैं।
छड़ को क्षैतिज रहने के लिए, प्रत्येक डोरी में तनाव शून्य से अधिक होना चाहिए $(T \ge 0)$।
मान लीजिए $m_1$, $x = 0$ पर है और $m_2$, $x = 1$ पर है।
दाहिनी डोरी $(x = 2/3)$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$m_1 g (2/3) + Mg (2/3 - 1/2) = T_{left} (1/3)$
$2 m_1 g + 0.5 Mg = T_{left}$.
बाईं डोरी $(x = 1/3)$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$m_2 g (2/3) + Mg (1/6) = T_{right} (1/3)$
$2 m_2 g + 0.5 Mg = T_{right}$.
इस प्रकार, अधिकतम कुल द्रव्यमान $3 \ kg$ प्राप्त होता है।
छड़ को क्षैतिज रहने के लिए, प्रत्येक डोरी में तनाव शून्य से अधिक होना चाहिए $(T \ge 0)$।
मान लीजिए $m_1$, $x = 0$ पर है और $m_2$, $x = 1$ पर है।
दाहिनी डोरी $(x = 2/3)$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$m_1 g (2/3) + Mg (2/3 - 1/2) = T_{left} (1/3)$
$2 m_1 g + 0.5 Mg = T_{left}$.
बाईं डोरी $(x = 1/3)$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$m_2 g (2/3) + Mg (1/6) = T_{right} (1/3)$
$2 m_2 g + 0.5 Mg = T_{right}$.
इस प्रकार, अधिकतम कुल द्रव्यमान $3 \ kg$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
चित्र में दिखाई गई स्थिति पर विचार करें। $L$ लंबाई की एक समान छड़ ऊर्ध्वाधर तल में कब्जे $A$ के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकती है। घिरनियाँ और डोरी हल्की और घर्षण रहित हैं। यदि सिस्टम को छोड़ने पर छड़ स्थिर और क्षैतिज रहती है,तो छड़ का द्रव्यमान क्या है?
A
$\frac{4}{3} M$
B
$\frac{8}{3} M$
C
$\frac{16}{3} M$
D
$\frac{32}{3} M$
Solution
(C) सबसे पहले,चल घिरनी पर द्रव्यमान $M$ और $2M$ को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $T$ की गणना करें। तनाव $T$ एटवुड मशीन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{2 M_1 M_2 g}{M_1 + M_2}$.
$M_1 = M$ और $M_2 = 2M$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $T = \frac{2(M)(2M)g}{M + 2M} = \frac{4 M^2 g}{3M} = \frac{4}{3} Mg$.
चल घिरनी छड़ के सिरे से जुड़ी एक डोरी द्वारा समर्थित है। इस डोरी द्वारा छड़ पर लगाया गया ऊपर की ओर का बल चल घिरनी को सहारा देने वाली डोरी में तनाव के बराबर होता है,जो $2T = 2 \times (\frac{4}{3} Mg) = \frac{8}{3} Mg$ है।
मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $M'$ है। छड़ कब्जे $A$ के चारों ओर घूर्णी संतुलन में है। छड़ के द्रव्यमान केंद्र $(L/2)$ पर कार्य करने वाले छड़ के वजन $(M'g)$ के कारण टॉर्क को छड़ के सिरे $(L)$ पर कार्य करने वाले ऊपर की ओर बल $(8/3 Mg)$ के कारण टॉर्क को संतुलित करना चाहिए।
$A$ के चारों ओर टॉर्क लेने पर: $M'g \times \frac{L}{2} = \frac{8}{3} Mg \times L$.
सरल करने पर,$\frac{M'}{2} = \frac{8}{3} M$,जिससे $M' = \frac{16}{3} M$ प्राप्त होता है।
$M_1 = M$ और $M_2 = 2M$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $T = \frac{2(M)(2M)g}{M + 2M} = \frac{4 M^2 g}{3M} = \frac{4}{3} Mg$.
चल घिरनी छड़ के सिरे से जुड़ी एक डोरी द्वारा समर्थित है। इस डोरी द्वारा छड़ पर लगाया गया ऊपर की ओर का बल चल घिरनी को सहारा देने वाली डोरी में तनाव के बराबर होता है,जो $2T = 2 \times (\frac{4}{3} Mg) = \frac{8}{3} Mg$ है।
मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $M'$ है। छड़ कब्जे $A$ के चारों ओर घूर्णी संतुलन में है। छड़ के द्रव्यमान केंद्र $(L/2)$ पर कार्य करने वाले छड़ के वजन $(M'g)$ के कारण टॉर्क को छड़ के सिरे $(L)$ पर कार्य करने वाले ऊपर की ओर बल $(8/3 Mg)$ के कारण टॉर्क को संतुलित करना चाहिए।
$A$ के चारों ओर टॉर्क लेने पर: $M'g \times \frac{L}{2} = \frac{8}{3} Mg \times L$.
सरल करने पर,$\frac{M'}{2} = \frac{8}{3} M$,जिससे $M' = \frac{16}{3} M$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$1\, m$ लंबाई और $4\, kg$ द्रव्यमान की एक समान छड़ को प्रत्येक सिरे से $10\, cm$ की दूरी पर रखी दो धारों (knife-edges) पर टिकाया गया है। एक सिरे से $30\, cm$ की दूरी पर $60\, N$ का भार लटकाया गया है। धारों पर प्रतिक्रियाएं क्या हैं?
A
$60\, N, 40\, N$
B
$75\, N, 25\, N$
C
$65\, N, 35\, N$
D
$55\, N, 45\, N$
Solution
(C) माना $AB$ छड़ की लंबाई $1\, m = 100\, cm$ है। छड़ का भार $W = mg = 4\, kg \times 10\, m/s^2 = 40\, N$ है,जो इसके गुरुत्व केंद्र $G$ ($A$ से $50\, cm$ दूर) पर कार्य करता है।
धार $K_1$ और $K_2$ क्रमशः $A$ से $10\, cm$ और $90\, cm$ की दूरी पर हैं।
$A$ से $30\, cm$ की दूरी पर $60\, N$ का भार लटकाया गया है।
माना $R_1$ और $R_2$ धार $K_1$ और $K_2$ पर प्रतिक्रियाएं हैं।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए: $R_1 + R_2 = 60\, N + 40\, N = 100\, N$ $(i)$.
घूर्णी संतुलन के लिए,$G$ ($50\, cm$ बिंदु) के परितः आघूर्ण लेने पर:
$R_1(50 - 10) - 60(50 - 30) - R_2(90 - 50) = 0$
$40R_1 - 60(20) - 40R_2 = 0$
$40(R_1 - R_2) = 1200$
$R_1 - R_2 = 30\, N$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2R_1 = 130\, N \implies R_1 = 65\, N$.
$(i)$ में मान रखने पर: $65 + R_2 = 100 \implies R_2 = 35\, N$.
धार $K_1$ और $K_2$ क्रमशः $A$ से $10\, cm$ और $90\, cm$ की दूरी पर हैं।
$A$ से $30\, cm$ की दूरी पर $60\, N$ का भार लटकाया गया है।
माना $R_1$ और $R_2$ धार $K_1$ और $K_2$ पर प्रतिक्रियाएं हैं।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए: $R_1 + R_2 = 60\, N + 40\, N = 100\, N$ $(i)$.
घूर्णी संतुलन के लिए,$G$ ($50\, cm$ बिंदु) के परितः आघूर्ण लेने पर:
$R_1(50 - 10) - 60(50 - 30) - R_2(90 - 50) = 0$
$40R_1 - 60(20) - 40R_2 = 0$
$40(R_1 - R_2) = 1200$
$R_1 - R_2 = 30\, N$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2R_1 = 130\, N \implies R_1 = 65\, N$.
$(i)$ में मान रखने पर: $65 + R_2 = 100 \implies R_2 = 35\, N$.
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MediumMCQ
समान ऊंचाई के दो व्यक्ति $\ell$ लंबाई का एक लंबा एकसमान लकड़ी का बीम उठाए हुए हैं। वे छड़ के निकटतम सिरों से $\frac{\ell}{5}$ और $\frac{\ell}{3}$ की दूरी पर हैं। उनके सिरों पर लगने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया का अनुपात क्या है?
A
$2 : 3$
B
$4 : 9$
C
$5 : 9$
D
$6 : 5$
Solution
(C) मान लीजिए कि बीम की लंबाई $\ell$ है और इसका भार $W$ इसके केंद्र $C$ पर (किसी भी सिरे से $\ell/2$ की दूरी पर) कार्य कर रहा है।
मान लीजिए कि दो व्यक्ति क्रमशः सिरों $A$ और $B$ से $P_1$ और $P_2$ स्थितियों पर हैं।
$A$ से $P_1$ की दूरी $\ell/5$ है।
$B$ से $P_2$ की दूरी $\ell/3$ है।
केंद्र $C$ से $P_1$ की दूरी $\frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{5} = \frac{3\ell}{10}$ है।
केंद्र $C$ से $P_2$ की दूरी $\frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{3} = \frac{\ell}{6}$ है।
घूर्णी संतुलन के लिए,केंद्र $C$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$N_A \times \frac{3\ell}{10} = N_B \times \frac{\ell}{6}$.
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{\ell}{6} \times \frac{10}{3\ell} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
मान लीजिए कि दो व्यक्ति क्रमशः सिरों $A$ और $B$ से $P_1$ और $P_2$ स्थितियों पर हैं।
$A$ से $P_1$ की दूरी $\ell/5$ है।
$B$ से $P_2$ की दूरी $\ell/3$ है।
केंद्र $C$ से $P_1$ की दूरी $\frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{5} = \frac{3\ell}{10}$ है।
केंद्र $C$ से $P_2$ की दूरी $\frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{3} = \frac{\ell}{6}$ है।
घूर्णी संतुलन के लिए,केंद्र $C$ के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$N_A \times \frac{3\ell}{10} = N_B \times \frac{\ell}{6}$.
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{\ell}{6} \times \frac{10}{3\ell} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
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DifficultMCQ
एक कार का वजन $1800 \, kg$ है। इसके अगले और पिछले एक्सल के बीच की दूरी $1.8 \, m$ है। इसका गुरुत्व केंद्र अगले एक्सल से $1.05 \, m$ पीछे है। समतल जमीन द्वारा प्रत्येक पिछले पहिये पर लगाया गया बल ....... $N$ है।
A
$5145$
B
$7350$
C
$3750$
D
$10290$
Solution
(A) कार का द्रव्यमान,$m = 1800 \, kg$.
अगले और पिछले एक्सल के बीच की दूरी,$d = 1.8 \, m$.
अगले एक्सल से गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ की दूरी $= 1.05 \, m$.
पिछले एक्सल से $C.G.$ की दूरी $= 1.8 - 1.05 = 0.75 \, m$.
माना $R_f$ दो अगले पहियों पर जमीन द्वारा लगाया गया कुल बल है और $R_b$ दो पिछले पहियों पर जमीन द्वारा लगाया गया कुल बल है।
स्थानांतरीय संतुलन के लिए:
$R_f + R_b = mg = 1800 \times 9.8 = 17640 \, N \dots (i)$
घूर्णी संतुलन के लिए,$C.G.$ के परितः आघूर्ण लेने पर:
$R_f \times 1.05 = R_b \times 0.75$
$R_f = R_b \times \frac{0.75}{1.05} = R_b \times \frac{5}{7} \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$R_b \times \frac{5}{7} + R_b = 17640$
$R_b \times \frac{12}{7} = 17640$
$R_b = \frac{17640 \times 7}{12} = 10290 \, N$.
यह दो पिछले पहियों पर कुल बल है।
इसलिए,प्रत्येक पिछले पहिये पर लगाया गया बल $= \frac{10290}{2} = 5145 \, N$.
अगले और पिछले एक्सल के बीच की दूरी,$d = 1.8 \, m$.
अगले एक्सल से गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ की दूरी $= 1.05 \, m$.
पिछले एक्सल से $C.G.$ की दूरी $= 1.8 - 1.05 = 0.75 \, m$.
माना $R_f$ दो अगले पहियों पर जमीन द्वारा लगाया गया कुल बल है और $R_b$ दो पिछले पहियों पर जमीन द्वारा लगाया गया कुल बल है।
स्थानांतरीय संतुलन के लिए:
$R_f + R_b = mg = 1800 \times 9.8 = 17640 \, N \dots (i)$
घूर्णी संतुलन के लिए,$C.G.$ के परितः आघूर्ण लेने पर:
$R_f \times 1.05 = R_b \times 0.75$
$R_f = R_b \times \frac{0.75}{1.05} = R_b \times \frac{5}{7} \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$R_b \times \frac{5}{7} + R_b = 17640$
$R_b \times \frac{12}{7} = 17640$
$R_b = \frac{17640 \times 7}{12} = 10290 \, N$.
यह दो पिछले पहियों पर कुल बल है।
इसलिए,प्रत्येक पिछले पहिये पर लगाया गया बल $= \frac{10290}{2} = 5145 \, N$.
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DifficultMCQ
एक समान छड़ $AB$ की लंबाई $\ell$ और द्रव्यमान $M$ है,जिसे चित्र में दिखाए अनुसार सिरे $A$ से $x$ की परिवर्तनीय दूरी पर एक बिंदु से लटकाया गया है। छड़ को क्षैतिज रखने के लिए,इसके सिरे $A$ से $m$ द्रव्यमान लटकाया जाता है। $(m, x)$ मानों का एक सेट रिकॉर्ड किया जाता है। आलेख खींचने पर सीधी रेखा देने वाले उपयुक्त चर कौन से हैं?
A
$m, \frac{1}{x}$
B
$m, \frac{1}{x^2}$
C
$m, x$
D
$m, x^2$
Solution
(A) मान लीजिए कि छड़ की लंबाई $\ell$ और द्रव्यमान $M$ है। समान छड़ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर,सिरे $A$ से $\ell/2$ की दूरी पर होता है।
निलंबन बिंदु के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
सिरे $A$ पर द्रव्यमान $m$ के कारण टॉर्क $\tau_1 = m \cdot g \cdot x$ (वामावर्त) है।
छड़ के केंद्र पर कार्य करने वाले भार $Mg$ के कारण टॉर्क $\tau_2 = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$ (दक्षिणावर्त) है।
छड़ को क्षैतिज रहने के लिए,कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$m \cdot g \cdot x = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$
$m \cdot x = M \cdot \frac{\ell}{2} - M \cdot x$
$m = (M \cdot \frac{\ell}{2}) \cdot \frac{1}{x} - M$
यह समीकरण $y = k \cdot X + c$ के रूप में है,जहाँ $y = m$,$X = \frac{1}{x}$,$k = M \cdot \frac{\ell}{2}$,और $c = -M$ है।
अतः,$m$ बनाम $\frac{1}{x}$ का आलेख खींचने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होगी।
निलंबन बिंदु के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
सिरे $A$ पर द्रव्यमान $m$ के कारण टॉर्क $\tau_1 = m \cdot g \cdot x$ (वामावर्त) है।
छड़ के केंद्र पर कार्य करने वाले भार $Mg$ के कारण टॉर्क $\tau_2 = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$ (दक्षिणावर्त) है।
छड़ को क्षैतिज रहने के लिए,कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$m \cdot g \cdot x = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$
$m \cdot x = M \cdot \frac{\ell}{2} - M \cdot x$
$m = (M \cdot \frac{\ell}{2}) \cdot \frac{1}{x} - M$
यह समीकरण $y = k \cdot X + c$ के रूप में है,जहाँ $y = m$,$X = \frac{1}{x}$,$k = M \cdot \frac{\ell}{2}$,और $c = -M$ है।
अतः,$m$ बनाम $\frac{1}{x}$ का आलेख खींचने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होगी।
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MediumMCQ
आघूर्णों के सिद्धांत पर कार्य करने वाली एक भौतिक तुला में,जब बाएं पलड़े पर $5\, mg$ भार रखा जाता है,तो बीम क्षैतिज हो जाती है। तुला के दोनों खाली पलड़े समान द्रव्यमान के हैं। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
A
बायां भुजा दाएं भुजा से लंबी है
B
दोनों भुजाएं समान लंबाई की हैं
C
बायां भुजा दाएं भुजा से छोटी है
D
इस तुला का उपयोग करके तौला गया प्रत्येक वस्तु अपने वास्तविक भार से हल्का प्रतीत होता है
Solution
(C) आघूर्णों के सिद्धांत के अनुसार,जब कोई निकाय संतुलन में होता है,तो वामावर्त आघूर्ण दक्षिणावर्त आघूर्ण के बराबर होता है।
माना $L_1$ बाईं भुजा की लंबाई है और $L_2$ दाईं भुजा की लंबाई है।
माना $M$ प्रत्येक पलड़े का द्रव्यमान है।
जब पलड़े खाली होते हैं और तुला क्षैतिज होती है,तो $M \times L_1 = M \times L_2$ होता है,जिसका अर्थ है $L_1 = L_2$।
हालाँकि,यदि प्रश्न के अनुसार $5\, mg$ भार रखने के बाद बीम क्षैतिज होती है,तो इसका अर्थ है कि संतुलन बनाए रखने के लिए बाईं भुजा को दाईं भुजा से छोटा होना चाहिए।
अतः,बाईं भुजा दाईं भुजा से छोटी है।
माना $L_1$ बाईं भुजा की लंबाई है और $L_2$ दाईं भुजा की लंबाई है।
माना $M$ प्रत्येक पलड़े का द्रव्यमान है।
जब पलड़े खाली होते हैं और तुला क्षैतिज होती है,तो $M \times L_1 = M \times L_2$ होता है,जिसका अर्थ है $L_1 = L_2$।
हालाँकि,यदि प्रश्न के अनुसार $5\, mg$ भार रखने के बाद बीम क्षैतिज होती है,तो इसका अर्थ है कि संतुलन बनाए रखने के लिए बाईं भुजा को दाईं भुजा से छोटा होना चाहिए।
अतः,बाईं भुजा दाईं भुजा से छोटी है।
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DifficultMCQ
समान द्रव्यमान घनत्व और समान लंबाई $a$ की दो पतली छड़ों से बनी एक $L$-आकार की वस्तु को चित्र में दिखाए अनुसार एक धागे से लटकाया गया है। यदि $AB = BC = a$ है,और $AB$ द्वारा नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है,तो:
A
$\tan \theta = \frac{1}{2\sqrt{3}}$
B
$\tan \theta = \frac{1}{3}$
C
$\tan \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$
D
$\tan \theta = \frac{1}{2}$
Solution
(B) मान लीजिए प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान $m$ है। छड़ $AB$ का द्रव्यमान केंद्र $A$ से $a/2$ की दूरी पर है,और छड़ $BC$ का द्रव्यमान केंद्र $B$ से $a/2$ की दूरी पर है।
घूर्णी संतुलन के लिए,निलंबन बिंदु $A$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
छड़ $AB$ के भार के कारण टॉर्क $\tau_1 = mg \cdot (a/2) \sin \theta$ है।
छड़ $BC$ के द्रव्यमान केंद्र की $A$ से क्षैतिज दूरी $(a \sin \theta + (a/2) \cos \theta)$ है।
संतुलन के लिए,निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक निलंबन बिंदु $A$ के सापेक्ष शून्य होना चाहिए।
$x_{cm} = \frac{m(a/2 \sin \theta) + m(a \sin \theta + a/2 \cos \theta)}{2m} = 0$
$(a/2) \sin \theta + a \sin \theta + (a/2) \cos \theta = 0$
$(3a/2) \sin \theta = -(a/2) \cos \theta$
परिमाण लेने पर,$3 \sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = 1/3$.
घूर्णी संतुलन के लिए,निलंबन बिंदु $A$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
छड़ $AB$ के भार के कारण टॉर्क $\tau_1 = mg \cdot (a/2) \sin \theta$ है।
छड़ $BC$ के द्रव्यमान केंद्र की $A$ से क्षैतिज दूरी $(a \sin \theta + (a/2) \cos \theta)$ है।
संतुलन के लिए,निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक निलंबन बिंदु $A$ के सापेक्ष शून्य होना चाहिए।
$x_{cm} = \frac{m(a/2 \sin \theta) + m(a \sin \theta + a/2 \cos \theta)}{2m} = 0$
$(a/2) \sin \theta + a \sin \theta + (a/2) \cos \theta = 0$
$(3a/2) \sin \theta = -(a/2) \cos \theta$
परिमाण लेने पर,$3 \sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = 1/3$.
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MediumMCQ
एक क्षैतिज बीम को चित्र में दिखाए अनुसार $O$ पर धुरी (pivot) पर रखा गया है। स्केल को सीधा रखने के लिए द्रव्यमान $m$ ज्ञात कीजिए ($kg$ में)।
A
$2$
B
$1$
C
$4$
D
$25$
Solution
(C) बीम के घूर्णी संतुलन (rotational equilibrium) में रहने के लिए,धुरी बिंदु $O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दक्षिणावर्त टॉर्क,वामावर्त टॉर्क के बराबर है।
$2 \ kg$ द्रव्यमान के कारण टॉर्क $\tau_1 = (2 \ kg) \cdot g \cdot (2 \text{ इकाई}) = 4g \text{ इकाई}$ है।
द्रव्यमान $m$ के कारण टॉर्क $\tau_2 = m \cdot g \cdot (1 \text{ इकाई}) = mg \text{ इकाई}$ है।
टॉर्क को बराबर करने पर: $4g = mg$.
इसलिए,$m = 4 \ kg$.
मान लीजिए कि दक्षिणावर्त टॉर्क,वामावर्त टॉर्क के बराबर है।
$2 \ kg$ द्रव्यमान के कारण टॉर्क $\tau_1 = (2 \ kg) \cdot g \cdot (2 \text{ इकाई}) = 4g \text{ इकाई}$ है।
द्रव्यमान $m$ के कारण टॉर्क $\tau_2 = m \cdot g \cdot (1 \text{ इकाई}) = mg \text{ इकाई}$ है।
टॉर्क को बराबर करने पर: $4g = mg$.
इसलिए,$m = 4 \ kg$.
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MediumMCQ
$15\,kg$ द्रव्यमान और $5\,m$ लंबाई की एक समान छड़ को चित्रानुसार एक हल्की डोरी की सहायता से स्थिर रखा गया है। डोरी में तनाव ......... $N$ है।
A
$150$
B
$225$
C
$100$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) मान लीजिए कि छड़ नीचे के सिरे पर कब्जेदार (hinge) है। छड़ की लंबाई $L = 5\,m$ है और इसका द्रव्यमान $M = 15\,kg$ है। भार $Mg = 150\,N$ द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो कब्जे से $L/2 = 2.5\,m$ की दूरी पर है।
चित्र से,डोरी क्षैतिज है। मान लीजिए कि छड़ ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। तब $\cos \alpha = 3/5 = 0.6$ और $\sin \alpha = 4/5 = 0.8$ होगा।
कब्जे के बिंदु के परितः आघूर्ण (torque) लेने पर:
भार के कारण दक्षिणावर्त आघूर्ण = $Mg \times (L/2) \sin \alpha = 150 \times 2.5 \times 0.8 = 300\,N\cdot m$.
तनाव $T$ के कारण वामावर्त आघूर्ण = $T \times L \cos \alpha = T \times 5 \times 0.6 = 3T$.
घूर्णी संतुलन के लिए आघूर्णों को बराबर करने पर:
$3T = 300$
$T = 100\,N$.
चित्र से,डोरी क्षैतिज है। मान लीजिए कि छड़ ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। तब $\cos \alpha = 3/5 = 0.6$ और $\sin \alpha = 4/5 = 0.8$ होगा।
कब्जे के बिंदु के परितः आघूर्ण (torque) लेने पर:
भार के कारण दक्षिणावर्त आघूर्ण = $Mg \times (L/2) \sin \alpha = 150 \times 2.5 \times 0.8 = 300\,N\cdot m$.
तनाव $T$ के कारण वामावर्त आघूर्ण = $T \times L \cos \alpha = T \times 5 \times 0.6 = 3T$.
घूर्णी संतुलन के लिए आघूर्णों को बराबर करने पर:
$3T = 300$
$T = 100\,N$.
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DifficultMCQ
समान लंबाई लेकिन अलग द्रव्यमान वाली दो एकसमान छड़ों को जोड़कर एक $L-$ आकार की वस्तु बनाई जाती है,जिसे चित्र में दिखाए अनुसार धुरी पर लटकाया जाता है। यदि संतुलन में वस्तु दिखाए गए विन्यास में है,तो अनुपात $M/m$ होगा
A
$2$
B
$3$
C
$\sqrt{2}$
D
$\sqrt{3}$
Solution
(D) वस्तु के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,धुरी $O$ के परितः कुल बलाघूर्ण (torque) शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ की लंबाई $L$ है। प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान केंद्र धुरी $O$ से $L/2$ की दूरी पर है।
$M$ द्रव्यमान वाली छड़ के भार के कारण बलाघूर्ण $\tau_M = Mg \cdot (L/2) \sin 30^{\circ}$ है।
$m$ द्रव्यमान वाली छड़ के भार के कारण बलाघूर्ण $\tau_m = mg \cdot (L/2) \sin 60^{\circ}$ है।
संतुलन के लिए बलाघूर्णों को बराबर करने पर:
$Mg \cdot (L/2) \sin 30^{\circ} = mg \cdot (L/2) \sin 60^{\circ}$
$M \sin 30^{\circ} = m \sin 60^{\circ}$
$\frac{M}{m} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$
मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ की लंबाई $L$ है। प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान केंद्र धुरी $O$ से $L/2$ की दूरी पर है।
$M$ द्रव्यमान वाली छड़ के भार के कारण बलाघूर्ण $\tau_M = Mg \cdot (L/2) \sin 30^{\circ}$ है।
$m$ द्रव्यमान वाली छड़ के भार के कारण बलाघूर्ण $\tau_m = mg \cdot (L/2) \sin 60^{\circ}$ है।
संतुलन के लिए बलाघूर्णों को बराबर करने पर:
$Mg \cdot (L/2) \sin 30^{\circ} = mg \cdot (L/2) \sin 60^{\circ}$
$M \sin 30^{\circ} = m \sin 60^{\circ}$
$\frac{M}{m} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$
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MediumMCQ
यदि $M$ द्रव्यमान की एक स्ट्रीट लाइट को $L$ लंबाई की एक समान छड़ के सिरे से चित्र में दिखाए गए विभिन्न संभावित पैटर्न में लटकाया जाता है,तो
A
पैटर्न $A$ अधिक मजबूत है
B
पैटर्न $B$ अधिक मजबूत है
C
पैटर्न $C$ अधिक मजबूत है
D
सभी की मजबूती समान होगी
Solution
(A) स्ट्रीट लाइट के वजन के कारण उत्पन्न टॉर्क तीनों मामलों में समान रहता है क्योंकि बल (वजन $Mg$) और धुरी (दीवार के कब्जे) से इसकी लंबवत दूरी स्थिर है।
यह टॉर्क केबल में तनाव $T$ द्वारा उत्पन्न टॉर्क द्वारा संतुलित होता है।
मान लीजिए $\tau$ लैंप के वजन द्वारा उत्पन्न टॉर्क है,$T$ केबल में तनाव है,और $d$ घूर्णन की धुरी (दीवार पर कब्जा) से केबल के जुड़ाव बिंदु की लंबवत दूरी है।
संतुलन की स्थिति $\tau = T \cdot d$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\tau$ स्थिर है,इसलिए तनाव $T$ दूरी $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होगा $(T = \tau / d)$।
इसलिए,जब दूरी $d$ सबसे अधिक होगी तो तनाव $T$ सबसे कम होगा।
पैटर्न $A$ में,केबल छड़ के सिरे पर जुड़ी हुई है,जो दीवार से अधिकतम लंबवत दूरी $d$ प्रदान करती है।
चूंकि पैटर्न $A$ में तनाव न्यूनतम है,इसलिए यह सबसे मजबूत विन्यास है।
यह टॉर्क केबल में तनाव $T$ द्वारा उत्पन्न टॉर्क द्वारा संतुलित होता है।
मान लीजिए $\tau$ लैंप के वजन द्वारा उत्पन्न टॉर्क है,$T$ केबल में तनाव है,और $d$ घूर्णन की धुरी (दीवार पर कब्जा) से केबल के जुड़ाव बिंदु की लंबवत दूरी है।
संतुलन की स्थिति $\tau = T \cdot d$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\tau$ स्थिर है,इसलिए तनाव $T$ दूरी $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होगा $(T = \tau / d)$।
इसलिए,जब दूरी $d$ सबसे अधिक होगी तो तनाव $T$ सबसे कम होगा।
पैटर्न $A$ में,केबल छड़ के सिरे पर जुड़ी हुई है,जो दीवार से अधिकतम लंबवत दूरी $d$ प्रदान करती है।
चूंकि पैटर्न $A$ में तनाव न्यूनतम है,इसलिए यह सबसे मजबूत विन्यास है।
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Medium
$70 \; cm$ लंबी और $4.00 \; kg$ द्रव्यमान वाली एक धातु की छड़ को दो नाइफ-एज (धार) पर रखा गया है,जो प्रत्येक सिरे से $10 \; cm$ की दूरी पर हैं। एक सिरे से $30 \; cm$ की दूरी पर $6.00 \; kg$ का भार लटकाया गया है। नाइफ-एज पर प्रतिक्रिया बल ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए कि छड़ एकसमान अनुप्रस्थ काट वाली और समांग है।)
Solution
(N/A) मान लीजिए छड़ $AB$ है। नाइफ-एज की स्थिति $K_1$ और $K_2$ है। छड़ का गुरुत्व केंद्र $G$ पर है,और लटकाया गया भार $P$ पर है।
छड़ का भार $W = mg = 4.00 \times 9.8 = 39.2 \; N$ इसके गुरुत्व केंद्र $G$ पर कार्य करता है। चूंकि छड़ एकसमान और समांग है,$G$ छड़ के केंद्र में है।
दिया है: $AB = 70 \; cm$,इसलिए $AG = 35 \; cm$.
भार $W_1 = 6.00 \times 9.8 = 58.8 \; N$ को $P$ पर लटकाया गया है,जहाँ $AP = 30 \; cm$.
अतः,$PG = AG - AP = 35 \; cm - 30 \; cm = 5 \; cm$.
नाइफ-एज $AK_1 = 10 \; cm$ और $BK_2 = 10 \; cm$ पर हैं।
इसलिए,$K_1G = AG - AK_1 = 35 \; cm - 10 \; cm = 25 \; cm$.
और $K_2G = BG - BK_2 = 35 \; cm - 10 \; cm = 25 \; cm$.
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
$R_1 + R_2 = W + W_1 = (4.00 + 6.00) \times 9.8 = 98.0 \; N$.
घूर्णी संतुलन के लिए,$G$ के परितः आघूर्ण लेने पर:
$R_1(K_1G) - W_1(PG) - R_2(K_2G) = 0$
$R_1(0.25) - 58.8(0.05) - R_2(0.25) = 0$
$0.25(R_1 - R_2) = 2.94$
$R_1 - R_2 = 11.76 \; N$.
दोनों समीकरणों को हल करने पर:
$R_1 + R_2 = 98.0$
$R_1 - R_2 = 11.76$
जोड़ने पर: $2R_1 = 109.76 \implies R_1 = 54.88 \; N$.
घटाने पर: $2R_2 = 86.24 \implies R_2 = 43.12 \; N$.
अतः,प्रतिक्रिया बल $R_1 = 54.88 \; N$ और $R_2 = 43.12 \; N$ हैं।
छड़ का भार $W = mg = 4.00 \times 9.8 = 39.2 \; N$ इसके गुरुत्व केंद्र $G$ पर कार्य करता है। चूंकि छड़ एकसमान और समांग है,$G$ छड़ के केंद्र में है।
दिया है: $AB = 70 \; cm$,इसलिए $AG = 35 \; cm$.
भार $W_1 = 6.00 \times 9.8 = 58.8 \; N$ को $P$ पर लटकाया गया है,जहाँ $AP = 30 \; cm$.
अतः,$PG = AG - AP = 35 \; cm - 30 \; cm = 5 \; cm$.
नाइफ-एज $AK_1 = 10 \; cm$ और $BK_2 = 10 \; cm$ पर हैं।
इसलिए,$K_1G = AG - AK_1 = 35 \; cm - 10 \; cm = 25 \; cm$.
और $K_2G = BG - BK_2 = 35 \; cm - 10 \; cm = 25 \; cm$.
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
$R_1 + R_2 = W + W_1 = (4.00 + 6.00) \times 9.8 = 98.0 \; N$.
घूर्णी संतुलन के लिए,$G$ के परितः आघूर्ण लेने पर:
$R_1(K_1G) - W_1(PG) - R_2(K_2G) = 0$
$R_1(0.25) - 58.8(0.05) - R_2(0.25) = 0$
$0.25(R_1 - R_2) = 2.94$
$R_1 - R_2 = 11.76 \; N$.
दोनों समीकरणों को हल करने पर:
$R_1 + R_2 = 98.0$
$R_1 - R_2 = 11.76$
जोड़ने पर: $2R_1 = 109.76 \implies R_1 = 54.88 \; N$.
घटाने पर: $2R_2 = 86.24 \implies R_2 = 43.12 \; N$.
अतः,प्रतिक्रिया बल $R_1 = 54.88 \; N$ और $R_2 = 43.12 \; N$ हैं।
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Medium
$3\; m$ लंबी और $20\; kg$ वजन वाली सीढ़ी एक घर्षण रहित दीवार पर टिकी हुई है। चित्र में दिखाए अनुसार इसके पैर दीवार से $1\; m$ की दूरी पर फर्श पर हैं। दीवार और फर्श द्वारा लगाए गए प्रतिक्रिया बलों को ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) सीढ़ी $AB$ की लंबाई $3\; m$ है,इसका निचला सिरा $A$ दीवार से $AC = 1\; m$ की दूरी पर है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\; m$ है।
सीढ़ी पर लगने वाले बल इसके गुरुत्व केंद्र $D$ पर कार्य करने वाला भार $W$,और क्रमशः दीवार और फर्श के प्रतिक्रिया बल $F_1$ और $F_2$ हैं।
चूंकि दीवार घर्षण रहित है,इसलिए बल $F_1$ दीवार के लंबवत है।
बल $F_2$ को दो घटकों में विभाजित किया गया है: अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ और घर्षण बल $F$। ध्यान दें कि $F$ सीढ़ी को दीवार से दूर फिसलने से रोकता है और इसलिए यह दीवार की दिशा में कार्य करता है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए,ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों को लेने पर:
$N - W = 0 \implies N = W = 20\; kg \times 9.8\; m/s^2 = 196.0\; N$।
क्षैतिज दिशा में बलों को लेने पर:
$F - F_1 = 0 \implies F = F_1$।
घूर्णी संतुलन के लिए,बिंदु $A$ के परितः बलों का आघूर्ण (मोमेंट) लेने पर:
$F_1 \times (BC) - W \times (AE) = 0$,जहाँ $AE = 0.5\; m$ ($D$,$AB$ का मध्य बिंदु है)।
$F_1 \times (2\sqrt{2}) - 196.0 \times 0.5 = 0$
$F_1 = 98 / (2\sqrt{2}) = 49 / \sqrt{2} \approx 34.65\; N$।
अतः,दीवार का प्रतिक्रिया बल $F_1 \approx 34.65\; N$ है।
फर्श का प्रतिक्रिया बल $F_2 = \sqrt{F^2 + N^2} = \sqrt{34.65^2 + 196^2} \approx 199.04\; N$ है।
सीढ़ी पर लगने वाले बल इसके गुरुत्व केंद्र $D$ पर कार्य करने वाला भार $W$,और क्रमशः दीवार और फर्श के प्रतिक्रिया बल $F_1$ और $F_2$ हैं।
चूंकि दीवार घर्षण रहित है,इसलिए बल $F_1$ दीवार के लंबवत है।
बल $F_2$ को दो घटकों में विभाजित किया गया है: अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ और घर्षण बल $F$। ध्यान दें कि $F$ सीढ़ी को दीवार से दूर फिसलने से रोकता है और इसलिए यह दीवार की दिशा में कार्य करता है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए,ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों को लेने पर:
$N - W = 0 \implies N = W = 20\; kg \times 9.8\; m/s^2 = 196.0\; N$।
क्षैतिज दिशा में बलों को लेने पर:
$F - F_1 = 0 \implies F = F_1$।
घूर्णी संतुलन के लिए,बिंदु $A$ के परितः बलों का आघूर्ण (मोमेंट) लेने पर:
$F_1 \times (BC) - W \times (AE) = 0$,जहाँ $AE = 0.5\; m$ ($D$,$AB$ का मध्य बिंदु है)।
$F_1 \times (2\sqrt{2}) - 196.0 \times 0.5 = 0$
$F_1 = 98 / (2\sqrt{2}) = 49 / \sqrt{2} \approx 34.65\; N$।
अतः,दीवार का प्रतिक्रिया बल $F_1 \approx 34.65\; N$ है।
फर्श का प्रतिक्रिया बल $F_2 = \sqrt{F^2 + N^2} = \sqrt{34.65^2 + 196^2} \approx 199.04\; N$ है।
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Medium
$W$ भार वाली एक असमान छड़ को चित्र में दिखाए अनुसार नगण्य भार वाली दो डोरियों द्वारा स्थिर लटकाया गया है। डोरियों द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $36.9^{\circ}$ और $53.1^{\circ}$ हैं। छड़ की लंबाई $2 \; m$ है। छड़ के बाएं सिरे से उसके गुरुत्व केंद्र की दूरी $d$ की गणना करें।
Solution
(N/A) छड़ का फ्री बॉडी डायग्राम चित्र में दिखाया गया है।
छड़ की लंबाई,$l = 2 \; m$ है।
$T_1$ और $T_2$ क्रमशः बाईं और दाईं डोरियों में उत्पन्न तनाव हैं।
क्षैतिज दिशा में स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
$T_1 \sin 36.9^{\circ} = T_2 \sin 53.1^{\circ}$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin 53.1^{\circ}}{\sin 36.9^{\circ}} = \frac{0.800}{0.600} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow T_1 = \frac{4}{3} T_2$
घूर्णी संतुलन के लिए,गुरुत्व केंद्र के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$T_1 \cos 36.9^{\circ} \times d = T_2 \cos 53.1^{\circ} \times (2 - d)$
$T_1 = \frac{4}{3} T_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{4}{3} T_2) \times 0.800 \times d = T_2 \times 0.600 \times (2 - d)$
$\frac{3.2}{3} d = 1.2 - 0.6 d$
$1.067 d + 0.6 d = 1.2$
$1.667 d = 1.2$
$d = \frac{1.2}{1.667} \approx 0.72 \; m$ है।
अतः,छड़ का गुरुत्व केंद्र उसके बाएं सिरे से $0.72 \; m$ की दूरी पर स्थित है।
छड़ की लंबाई,$l = 2 \; m$ है।
$T_1$ और $T_2$ क्रमशः बाईं और दाईं डोरियों में उत्पन्न तनाव हैं।
क्षैतिज दिशा में स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
$T_1 \sin 36.9^{\circ} = T_2 \sin 53.1^{\circ}$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin 53.1^{\circ}}{\sin 36.9^{\circ}} = \frac{0.800}{0.600} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow T_1 = \frac{4}{3} T_2$
घूर्णी संतुलन के लिए,गुरुत्व केंद्र के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
$T_1 \cos 36.9^{\circ} \times d = T_2 \cos 53.1^{\circ} \times (2 - d)$
$T_1 = \frac{4}{3} T_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{4}{3} T_2) \times 0.800 \times d = T_2 \times 0.600 \times (2 - d)$
$\frac{3.2}{3} d = 1.2 - 0.6 d$
$1.067 d + 0.6 d = 1.2$
$1.667 d = 1.2$
$d = \frac{1.2}{1.667} \approx 0.72 \; m$ है।
अतः,छड़ का गुरुत्व केंद्र उसके बाएं सिरे से $0.72 \; m$ की दूरी पर स्थित है।
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Difficult
एक कार का वजन $1800 \; kg$ है। इसके अगले और पिछले एक्सल के बीच की दूरी $1.8 \; m$ है। इसका गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ अगले एक्सल से $1.05 \; m$ पीछे है। प्रत्येक अगले पहिये और प्रत्येक पिछले पहिये पर समतल जमीन द्वारा लगाए गए बल की गणना करें।
Solution
(N/A) कार का द्रव्यमान,$m = 1800 \; kg$.
अगले और पिछले एक्सल के बीच की दूरी,$d = 1.8 \; m$.
गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ और अगले एक्सल के बीच की दूरी $= 1.05 \; m$.
गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ और पिछले एक्सल के बीच की दूरी $= 1.8 - 1.05 = 0.75 \; m$.
मान लीजिए $R_f$ अगले पहियों पर कुल बल है और $R_b$ पिछले पहियों पर कुल बल है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
$R_f + R_b = mg = 1800 \times 9.8 = 17640 \; N \; \dots(i)$
घूर्णी संतुलन के लिए,$C.G.$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$R_f \times 1.05 = R_b \times 0.75$
$R_f = R_b \times \frac{0.75}{1.05} = R_b \times \frac{5}{7} \; \dots(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$R_b \times \frac{5}{7} + R_b = 17640$
$R_b \times \frac{12}{7} = 17640 \implies R_b = 10290 \; N$
$R_f = 17640 - 10290 = 7350 \; N$
प्रत्येक अगले पहिये पर लगा बल $= \frac{7350}{2} = 3675 \; N$.
प्रत्येक पिछले पहिये पर लगा बल $= \frac{10290}{2} = 5145 \; N$.
अगले और पिछले एक्सल के बीच की दूरी,$d = 1.8 \; m$.
गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ और अगले एक्सल के बीच की दूरी $= 1.05 \; m$.
गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ और पिछले एक्सल के बीच की दूरी $= 1.8 - 1.05 = 0.75 \; m$.
मान लीजिए $R_f$ अगले पहियों पर कुल बल है और $R_b$ पिछले पहियों पर कुल बल है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
$R_f + R_b = mg = 1800 \times 9.8 = 17640 \; N \; \dots(i)$
घूर्णी संतुलन के लिए,$C.G.$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$R_f \times 1.05 = R_b \times 0.75$
$R_f = R_b \times \frac{0.75}{1.05} = R_b \times \frac{5}{7} \; \dots(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$R_b \times \frac{5}{7} + R_b = 17640$
$R_b \times \frac{12}{7} = 17640 \implies R_b = 10290 \; N$
$R_f = 17640 - 10290 = 7350 \; N$
प्रत्येक अगले पहिये पर लगा बल $= \frac{7350}{2} = 3675 \; N$.
प्रत्येक पिछले पहिये पर लगा बल $= \frac{10290}{2} = 5145 \; N$.
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Medium
एक मीटर छड़ अपने केंद्र पर एक चाकू की धार पर संतुलित है। जब $5\; g$ द्रव्यमान के दो सिक्कों को एक-दूसरे के ऊपर $12.0 \;cm$ के निशान पर रखा जाता है,तो छड़ $45.0\; cm$ पर संतुलित पाई जाती है। मीटर छड़ का द्रव्यमान क्या है?
Solution
(66 G) मान लीजिए $M$ मीटर छड़ का द्रव्यमान है। छड़ का भार $Mg$ उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो $50.0 \;cm$ के निशान पर है।
दो सिक्कों का कुल द्रव्यमान $m = 2 \times 5 \;g = 10 \;g$ है। उनका भार $mg$ $12.0 \;cm$ के निशान पर कार्य करता है।
चाकू की धार (आलंब) अब $45.0 \;cm$ के निशान पर है।
आलंब के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,दक्षिणावर्त आघूर्ण (torque) वामावर्त आघूर्ण के बराबर होना चाहिए।
छड़ के भार के कारण दक्षिणावर्त आघूर्ण: $\tau_{cw} = Mg \times (50.0 - 45.0) = Mg \times 5.0 \;cm$.
सिक्कों के भार के कारण वामावर्त आघूर्ण: $\tau_{ccw} = mg \times (45.0 - 12.0) = 10g \times 33.0 \;cm$.
आघूर्णों को बराबर करने पर: $Mg \times 5.0 = 10g \times 33.0$.
$M = \frac{10 \times 33.0}{5.0} = 66 \;g$.
अतः,मीटर छड़ का द्रव्यमान $66 \;g$ है।
दो सिक्कों का कुल द्रव्यमान $m = 2 \times 5 \;g = 10 \;g$ है। उनका भार $mg$ $12.0 \;cm$ के निशान पर कार्य करता है।
चाकू की धार (आलंब) अब $45.0 \;cm$ के निशान पर है।
आलंब के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,दक्षिणावर्त आघूर्ण (torque) वामावर्त आघूर्ण के बराबर होना चाहिए।
छड़ के भार के कारण दक्षिणावर्त आघूर्ण: $\tau_{cw} = Mg \times (50.0 - 45.0) = Mg \times 5.0 \;cm$.
सिक्कों के भार के कारण वामावर्त आघूर्ण: $\tau_{ccw} = mg \times (45.0 - 12.0) = 10g \times 33.0 \;cm$.
आघूर्णों को बराबर करने पर: $Mg \times 5.0 = 10g \times 33.0$.
$M = \frac{10 \times 33.0}{5.0} = 66 \;g$.
अतः,मीटर छड़ का द्रव्यमान $66 \;g$ है।
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Difficult
दृढ़ पिंड के संतुलन के लिए शर्तें लिखिए।
Solution
जब किसी दृढ़ पिंड का रैखिक संवेग और कोणीय संवेग समय के साथ नहीं बदलते हैं,अर्थात पिंड का न तो रैखिक त्वरण होता है और न ही कोणीय त्वरण,तो उस पिंड को यांत्रिक संतुलन में कहा जाता है।
$(i)$ स्थानांतरणीय संतुलन:
यदि दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य है,तो पिंड स्थानांतरणीय संतुलन में है।
$\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{F}_{i} = 0$
इसका अर्थ है कि पिंड का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
$(ii)$ घूर्णी संतुलन:
यदि किसी भी बिंदु के परितः दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलाघूर्णों (टॉर्क) का सदिश योग शून्य है,तो पिंड घूर्णी संतुलन में है।
$\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{\tau}_{i} = 0$
इसका अर्थ है कि पिंड का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
इन सदिश समीकरणों को अदिश घटकों में इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है:
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए: $\sum F_{ix} = 0, \sum F_{iy} = 0, \sum F_{iz} = 0$.
घूर्णी संतुलन के लिए: $\sum \tau_{ix} = 0, \sum \tau_{iy} = 0, \sum \tau_{iz} = 0$.
$(i)$ स्थानांतरणीय संतुलन:
यदि दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य है,तो पिंड स्थानांतरणीय संतुलन में है।
$\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{F}_{i} = 0$
इसका अर्थ है कि पिंड का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
$(ii)$ घूर्णी संतुलन:
यदि किसी भी बिंदु के परितः दृढ़ पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलाघूर्णों (टॉर्क) का सदिश योग शून्य है,तो पिंड घूर्णी संतुलन में है।
$\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{\tau}_{i} = 0$
इसका अर्थ है कि पिंड का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
इन सदिश समीकरणों को अदिश घटकों में इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है:
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए: $\sum F_{ix} = 0, \sum F_{iy} = 0, \sum F_{iz} = 0$.
घूर्णी संतुलन के लिए: $\sum \tau_{ix} = 0, \sum \tau_{iy} = 0, \sum \tau_{iz} = 0$.
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Medium
क्या कोई पिंड आंशिक संतुलन में रह सकता है? चित्र सहित समझाइए।
Solution
(N/A) हाँ,एक पिंड आंशिक संतुलन में रह सकता है। इसका अर्थ है कि यह स्थानांतरीय संतुलन में हो सकता है लेकिन घूर्णी संतुलन में नहीं,या यह घूर्णी संतुलन में हो सकता है लेकिन स्थानांतरीय संतुलन में नहीं।
स्थिति $(a)$: घूर्णी संतुलन लेकिन स्थानांतरीय संतुलन नहीं।
$2a$ लंबाई की नगण्य द्रव्यमान वाली छड़ $AB$ पर विचार करें। चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार,छड़ के सिरों $A$ और $B$ पर समान परिमाण $F$ के दो समानांतर बल छड़ के लंबवत एक ही दिशा में लगाए जाते हैं।
मान लीजिए $C$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $CA = CB = a$ है।
छड़ पर कुल बल $\sum \vec{F} = F + F = 2F \neq 0$ है। अतः,यह स्थानांतरीय संतुलन में नहीं है।
मध्य बिंदु $C$ के परितः कुल टॉर्क $\tau = (F \times a) - (F \times a) = 0$ है। अतः,छड़ घूर्णी संतुलन में है।
स्थिति $(b)$: स्थानांतरीय संतुलन लेकिन घूर्णी संतुलन नहीं।
$2a$ लंबाई की छड़ $AB$ पर विचार करें। चित्र $(b)$ में दिखाए अनुसार,सिरों $A$ और $B$ पर दो समान और विपरीत बल $\vec{F}$ छड़ के लंबवत लगाए जाते हैं।
छड़ पर कुल बल $\sum \vec{F} = F - F = 0$ है। अतः,छड़ स्थानांतरीय संतुलन में है।
मध्य बिंदु $C$ के परितः कुल टॉर्क $\tau = (F \times a) + (F \times a) = 2Fa \neq 0$ है। चूँकि टॉर्क एक ही दिशा में हैं (दोनों वामावर्त घूर्णन उत्पन्न करते हैं),इसलिए छड़ घूर्णी संतुलन में नहीं है।
स्थिति $(a)$: घूर्णी संतुलन लेकिन स्थानांतरीय संतुलन नहीं।
$2a$ लंबाई की नगण्य द्रव्यमान वाली छड़ $AB$ पर विचार करें। चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार,छड़ के सिरों $A$ और $B$ पर समान परिमाण $F$ के दो समानांतर बल छड़ के लंबवत एक ही दिशा में लगाए जाते हैं।
मान लीजिए $C$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $CA = CB = a$ है।
छड़ पर कुल बल $\sum \vec{F} = F + F = 2F \neq 0$ है। अतः,यह स्थानांतरीय संतुलन में नहीं है।
मध्य बिंदु $C$ के परितः कुल टॉर्क $\tau = (F \times a) - (F \times a) = 0$ है। अतः,छड़ घूर्णी संतुलन में है।
स्थिति $(b)$: स्थानांतरीय संतुलन लेकिन घूर्णी संतुलन नहीं।
$2a$ लंबाई की छड़ $AB$ पर विचार करें। चित्र $(b)$ में दिखाए अनुसार,सिरों $A$ और $B$ पर दो समान और विपरीत बल $\vec{F}$ छड़ के लंबवत लगाए जाते हैं।
छड़ पर कुल बल $\sum \vec{F} = F - F = 0$ है। अतः,छड़ स्थानांतरीय संतुलन में है।
मध्य बिंदु $C$ के परितः कुल टॉर्क $\tau = (F \times a) + (F \times a) = 2Fa \neq 0$ है। चूँकि टॉर्क एक ही दिशा में हैं (दोनों वामावर्त घूर्णन उत्पन्न करते हैं),इसलिए छड़ घूर्णी संतुलन में नहीं है।
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Difficult
एक आदर्श उत्तोलक (lever) की बनावट और कार्यप्रणाली को समझाइए और बल के आघूर्ण (moment of force) के सिद्धांत की भी व्याख्या कीजिए।
Solution
(N/A) एक आदर्श उत्तोलक नगण्य द्रव्यमान वाली एक हल्की छड़ होती है जो अपनी लंबाई के साथ एक बिंदु पर धुरी (pivot) पर टिकी होती है। इस बिंदु को आलंब (fulcrum) कहा जाता है। उत्तोलक यांत्रिक संतुलन में एक प्रणाली है।
चित्र में दिखाए अनुसार,दो बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और $\overrightarrow{F}_{2}$ जो एक-दूसरे के समानांतर और उत्तोलक के लंबवत हैं,आलंब से क्रमशः $d_{1}$ और $d_{2}$ दूरी पर उत्तोलक पर कार्य करते हैं।
मान लीजिए $\overrightarrow{R}$ आलंब पर आधार की प्रतिक्रिया है। $\overrightarrow{R}$ बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और $\overrightarrow{F}_{2}$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
ऊपर की दिशा में लगने वाले बलों को धनात्मक और नीचे की दिशा में लगने वाले बलों को ऋणात्मक माना जाता है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
$R - F_{1} - F_{2} = 0$
$\therefore R = F_{1} + F_{2}$
उत्तोलक बल $F_{1}$ वह भार है जिसे उठाया जाना है। इसे लोड कहा जाता है और आलंब से इसकी दूरी $d_{1}$ को लोड आर्म कहा जाता है।
बल $F_{2}$ भार को उठाने के लिए लगाया गया प्रयास (effort) है,और आलंब से प्रयास की दूरी $d_{2}$ को एफर्ट आर्म कहा जाता है।
घूर्णी संतुलन के लिए,आलंब के परितः आघूर्णों का योग शून्य होना चाहिए। बल का आघूर्ण $\tau = d \times F$ है (चूंकि $\theta = 90^{\circ}$,$\sin 90^{\circ} = 1$)।
वामावर्त (anticlockwise) आघूर्ण को धनात्मक और दक्षिणावर्त (clockwise) आघूर्ण को ऋणात्मक लेने पर:
$d_{1} F_{1} - d_{2} F_{2} = 0$
$\therefore d_{1} F_{1} = d_{2} F_{2}$
इसका अर्थ है: $\text{Load arm} \times \text{Load} = \text{Effort arm} \times \text{Effort}$.
यह समीकरण उत्तोलक के लिए आघूर्णों के सिद्धांत को व्यक्त करता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,दो बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और $\overrightarrow{F}_{2}$ जो एक-दूसरे के समानांतर और उत्तोलक के लंबवत हैं,आलंब से क्रमशः $d_{1}$ और $d_{2}$ दूरी पर उत्तोलक पर कार्य करते हैं।
मान लीजिए $\overrightarrow{R}$ आलंब पर आधार की प्रतिक्रिया है। $\overrightarrow{R}$ बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और $\overrightarrow{F}_{2}$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
ऊपर की दिशा में लगने वाले बलों को धनात्मक और नीचे की दिशा में लगने वाले बलों को ऋणात्मक माना जाता है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
$R - F_{1} - F_{2} = 0$
$\therefore R = F_{1} + F_{2}$
उत्तोलक बल $F_{1}$ वह भार है जिसे उठाया जाना है। इसे लोड कहा जाता है और आलंब से इसकी दूरी $d_{1}$ को लोड आर्म कहा जाता है।
बल $F_{2}$ भार को उठाने के लिए लगाया गया प्रयास (effort) है,और आलंब से प्रयास की दूरी $d_{2}$ को एफर्ट आर्म कहा जाता है।
घूर्णी संतुलन के लिए,आलंब के परितः आघूर्णों का योग शून्य होना चाहिए। बल का आघूर्ण $\tau = d \times F$ है (चूंकि $\theta = 90^{\circ}$,$\sin 90^{\circ} = 1$)।
वामावर्त (anticlockwise) आघूर्ण को धनात्मक और दक्षिणावर्त (clockwise) आघूर्ण को ऋणात्मक लेने पर:
$d_{1} F_{1} - d_{2} F_{2} = 0$
$\therefore d_{1} F_{1} = d_{2} F_{2}$
इसका अर्थ है: $\text{Load arm} \times \text{Load} = \text{Effort arm} \times \text{Effort}$.
यह समीकरण उत्तोलक के लिए आघूर्णों के सिद्धांत को व्यक्त करता है।
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EasyMCQ
यदि टॉर्क की गणना एक संदर्भ बिंदु के सापेक्ष की जाती है और इस बिंदु को विस्थापित किया जाता है,तो क्या घूर्णन की स्थिति मान्य रहती है?
A
हाँ,यह मान्य रहती है।
B
नहीं,यह अमान्य हो जाती है।
C
यह विस्थापन की दिशा पर निर्भर करता है।
D
यह केवल तभी मान्य है जब विस्थापन शून्य हो।
Solution
(B) बिंदु $P$ के परितः टॉर्क $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि संदर्भ बिंदु को एक सदिश $\vec{d}$ द्वारा विस्थापित किया जाता है,तो नया स्थिति सदिश $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{d}$ हो जाता है।
नया टॉर्क $\vec{\tau}' = (\vec{r} - \vec{d}) \times \vec{F} = (\vec{r} \times \vec{F}) - (\vec{d} \times \vec{F})$ है।
घूर्णी संतुलन की स्थिति (अर्थात $\vec{\tau} = 0$) संदर्भ बिंदु के चयन की परवाह किए बिना मान्य रहे,इसके लिए पद $\vec{d} \times \vec{F}$ का शून्य होना आवश्यक है।
यह तब होता है जब कुल बल $\vec{F}$ शून्य हो या यदि विस्थापन $\vec{d}$ कुल बल $\vec{F}$ के समानांतर हो।
इसलिए,सामान्य तौर पर,जब संदर्भ बिंदु को स्थानांतरित किया जाता है तो टॉर्क बदल जाता है,जब तक कि सिस्टम पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य न हो।
यदि संदर्भ बिंदु को एक सदिश $\vec{d}$ द्वारा विस्थापित किया जाता है,तो नया स्थिति सदिश $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{d}$ हो जाता है।
नया टॉर्क $\vec{\tau}' = (\vec{r} - \vec{d}) \times \vec{F} = (\vec{r} \times \vec{F}) - (\vec{d} \times \vec{F})$ है।
घूर्णी संतुलन की स्थिति (अर्थात $\vec{\tau} = 0$) संदर्भ बिंदु के चयन की परवाह किए बिना मान्य रहे,इसके लिए पद $\vec{d} \times \vec{F}$ का शून्य होना आवश्यक है।
यह तब होता है जब कुल बल $\vec{F}$ शून्य हो या यदि विस्थापन $\vec{d}$ कुल बल $\vec{F}$ के समानांतर हो।
इसलिए,सामान्य तौर पर,जब संदर्भ बिंदु को स्थानांतरित किया जाता है तो टॉर्क बदल जाता है,जब तक कि सिस्टम पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य न हो।
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Medium
घूर्णी संतुलन और स्थानांतरीय संतुलन के लिए शर्त लिखिए।
Solution
(N/A) किसी निकाय के संतुलन में होने के लिए,उसे स्थानांतरीय और घूर्णी संतुलन दोनों शर्तों को पूरा करना चाहिए।
$1$. स्थानांतरीय संतुलन: निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य होना चाहिए।
$\sum \vec{F}_{ext} = 0$
इसका अर्थ है कि निकाय के द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण शून्य है।
$2$. घूर्णी संतुलन: किसी भी बिंदु के परितः निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य होना चाहिए।
$\sum \vec{\tau}_{ext} = 0$
इसका अर्थ है कि निकाय का कोणीय त्वरण शून्य है।
$1$. स्थानांतरीय संतुलन: निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य होना चाहिए।
$\sum \vec{F}_{ext} = 0$
इसका अर्थ है कि निकाय के द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण शून्य है।
$2$. घूर्णी संतुलन: किसी भी बिंदु के परितः निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य होना चाहिए।
$\sum \vec{\tau}_{ext} = 0$
इसका अर्थ है कि निकाय का कोणीय त्वरण शून्य है।
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Medium
लीवर (उत्तोलक) के लिए आघूर्ण का सिद्धांत लिखिए।
Solution
(N/A) लीवर के लिए आघूर्ण का सिद्धांत यह बताता है कि लीवर के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,फलक्रम (fulcrum) के परितः दक्षिणावर्त (clockwise) आघूर्णों का योग उसी फलक्रम के परितः वामावर्त (anticlockwise) आघूर्णों के योग के बराबर होना चाहिए।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\text{Load} \times \text{Load Arm} = \text{Effort} \times \text{Effort Arm}$
जहाँ:
$1$. $\text{Load}$ वह भार है जिसे उठाया जाना है।
$2$. $\text{Load Arm}$ फलक्रम से भार तक की लंबवत दूरी है।
$3$. $\text{Effort}$ लगाया गया बल है।
$4$. $\text{Effort Arm}$ फलक्रम से प्रयास (effort) तक की लंबवत दूरी है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\text{Load} \times \text{Load Arm} = \text{Effort} \times \text{Effort Arm}$
जहाँ:
$1$. $\text{Load}$ वह भार है जिसे उठाया जाना है।
$2$. $\text{Load Arm}$ फलक्रम से भार तक की लंबवत दूरी है।
$3$. $\text{Effort}$ लगाया गया बल है।
$4$. $\text{Effort Arm}$ फलक्रम से प्रयास (effort) तक की लंबवत दूरी है।
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Difficult
एक पहिया जो अपने केंद्र से गुजरने वाली और अपने तल के लंबवत अक्ष के परितः एकसमान गति में है,उसे यांत्रिक (स्थानांतरणीय और घूर्णी) संतुलन में माना जाता है क्योंकि इसकी गति को बनाए रखने के लिए किसी शुद्ध बाह्य बल या आघूर्ण (टॉर्क) की आवश्यकता नहीं होती है। हालाँकि,पहिये के कण केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्र त्वरण का अनुभव करते हैं। आप इस तथ्य को पहिये के संतुलन के साथ कैसे मेल खाते हैं?
आप एक आधे पहिये को उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः एकसमान गति में कैसे सेट करेंगे? क्या आपको गति बनाए रखने के लिए बाह्य बलों की आवश्यकता होगी?
आप एक आधे पहिये को उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः एकसमान गति में कैसे सेट करेंगे? क्या आपको गति बनाए रखने के लिए बाह्य बलों की आवश्यकता होगी?
Solution
(N/A) पहिया एक दृढ़ पिंड है। पहिये के कण केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्र त्वरण का अनुभव करते हैं। यह त्वरण आंतरिक प्रत्यास्थ बलों (तनाव) द्वारा प्रदान किया जाता है,जो न्यूटन के तीसरे नियम के कारण जोड़ों में निरस्त हो जाते हैं। चूँकि शुद्ध बाह्य बल और शुद्ध बाह्य आघूर्ण शून्य हैं,इसलिए पहिया यांत्रिक संतुलन में है।
आधे पहिये में,उसके द्रव्यमान केंद्र (जिससे घूर्णन अक्ष गुजरती है) के चारों ओर द्रव्यमान का वितरण सममित नहीं होता है। इसलिए,पहिये के कोणीय संवेग सदिश की दिशा उसके कोणीय वेग सदिश की दिशा के साथ मेल नहीं खाती है। जैसे-जैसे पहिया घूमता है,कोणीय संवेग सदिश दिशा बदलता है,जिसके लिए एक गैर-शून्य बाह्य आघूर्ण की आवश्यकता होती है। अतः,आधे पहिये की गति को बनाए रखने के लिए बाह्य बलों और आघूर्णों की आवश्यकता होती है।
आधे पहिये में,उसके द्रव्यमान केंद्र (जिससे घूर्णन अक्ष गुजरती है) के चारों ओर द्रव्यमान का वितरण सममित नहीं होता है। इसलिए,पहिये के कोणीय संवेग सदिश की दिशा उसके कोणीय वेग सदिश की दिशा के साथ मेल नहीं खाती है। जैसे-जैसे पहिया घूमता है,कोणीय संवेग सदिश दिशा बदलता है,जिसके लिए एक गैर-शून्य बाह्य आघूर्ण की आवश्यकता होती है। अतः,आधे पहिये की गति को बनाए रखने के लिए बाह्य बलों और आघूर्णों की आवश्यकता होती है।
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DifficultMCQ
आकृति में एक मीटर लंबी कठोर और एकसमान छड़ $AB$ दिखाई गई है,जिसे इसके सिरों पर बंधी दो डोरियों द्वारा क्षैतिज स्थिति में छत से लटकाया गया है। छड़ का द्रव्यमान $m$ है और $A$ से $75\, cm$ की दूरी पर $2m$ द्रव्यमान का एक और भार लटकाया गया है। $A$ पर डोरी में तनाव $....mg$ है।
A
$2$
B
$0.5$
C
$0.75$
D
$1$
Solution
(D) छड़ के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,किसी भी बिंदु के परितः कुल बलाघूर्ण (torque) शून्य होना चाहिए।
आइए बिंदु $B$ के परितः बलाघूर्ण की गणना करें:
$\tau_{B} = 0$
दक्षिणावर्त बलाघूर्ण को धनात्मक और वामावर्त को ऋणात्मक लेने पर:
$(T_{A} \times 100) - (mg \times 50) - (2mg \times 25) = 0$
$100 T_{A} = 50mg + 50mg$
$100 T_{A} = 100mg$
$T_{A} = 1mg$
अतः,$A$ पर डोरी में तनाव $1mg$ है।
आइए बिंदु $B$ के परितः बलाघूर्ण की गणना करें:
$\tau_{B} = 0$
दक्षिणावर्त बलाघूर्ण को धनात्मक और वामावर्त को ऋणात्मक लेने पर:
$(T_{A} \times 100) - (mg \times 50) - (2mg \times 25) = 0$
$100 T_{A} = 50mg + 50mg$
$100 T_{A} = 100mg$
$T_{A} = 1mg$
अतः,$A$ पर डोरी में तनाव $1mg$ है।
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DifficultMCQ
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान बेलन को $a$ ऊँचाई $(a < R)$ की सीढ़ी के ऊपर खींचने के लिए,इसके केंद्र $'O'$ पर सीढ़ी के किनारे से गुजरने वाले तल के लंबवत एक बल $F$ लगाया जाता है (चित्र देखें)। आवश्यक न्यूनतम बल $F$ का मान है
A
$Mg \sqrt{1-\frac{ a ^{2}}{ R ^{2}}}$
B
$Mg \sqrt{\left(\frac{ R }{ R - a }\right)^{2}-1}$
C
$Mg \frac{ a }{ R }$
D
$M g \sqrt{1-\left(\frac{R-a}{R}\right)^{2}}$
Solution
(D) बेलन को सीढ़ी के ऊपर खींचने के लिए,लगाए गए बल $F$ द्वारा सीढ़ी के किनारे के परितः उत्पन्न टॉर्क,उसी किनारे के परितः गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ द्वारा उत्पन्न टॉर्क से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि सीढ़ी का किनारा बिंदु $P$ है। $P$ से बल $F$ की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी $R$ है।
$P$ से भार $Mg$ की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी $x$ है।
बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $R$ है और एक भुजा $(R-a)$ है। अतः,$x = \sqrt{R^2 - (R-a)^2}$ है।
बेलन के सीढ़ी के ऊपर गति शुरू करने के लिए,टॉर्क संतुलित होने चाहिए:
$F \times R = Mg \times x$
$F \times R = Mg \times \sqrt{R^2 - (R-a)^2}$
$F = \frac{Mg}{R} \sqrt{R^2 - (R-a)^2}$
$F = Mg \sqrt{\frac{R^2 - (R-a)^2}{R^2}}$
$F = Mg \sqrt{1 - \left(\frac{R-a}{R}\right)^2}$
मान लीजिए कि सीढ़ी का किनारा बिंदु $P$ है। $P$ से बल $F$ की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी $R$ है।
$P$ से भार $Mg$ की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी $x$ है।
बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $R$ है और एक भुजा $(R-a)$ है। अतः,$x = \sqrt{R^2 - (R-a)^2}$ है।
बेलन के सीढ़ी के ऊपर गति शुरू करने के लिए,टॉर्क संतुलित होने चाहिए:
$F \times R = Mg \times x$
$F \times R = Mg \times \sqrt{R^2 - (R-a)^2}$
$F = \frac{Mg}{R} \sqrt{R^2 - (R-a)^2}$
$F = Mg \sqrt{\frac{R^2 - (R-a)^2}{R^2}}$
$F = Mg \sqrt{1 - \left(\frac{R-a}{R}\right)^2}$
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MediumMCQ
$200 \, cm$ लंबाई और $500 \, g$ द्रव्यमान की एक समान छड़ $40 \, cm$ के निशान पर रखे वेज (wedge) पर संतुलित है। $2 \, kg$ का द्रव्यमान छड़ पर $20 \, cm$ पर लटकाया गया है और एक अन्य अज्ञात द्रव्यमान $'m'$ को चित्र में दिखाए अनुसार $160 \, cm$ के निशान पर लटकाया गया है। $'m'$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि छड़ संतुलन में रहे। $(g = 10 \, m/s^2)$
A
$\frac{1}{2} \, kg$
B
$\frac{1}{3} \, kg$
C
$\frac{1}{6} \, kg$
D
$\frac{1}{12} \, kg$
Solution
(D) छड़ एकसमान है,इसलिए इसका द्रव्यमान केंद्र इसके मध्य बिंदु यानी $100 \, cm$ के निशान पर कार्य करता है। छड़ का द्रव्यमान $0.5 \, kg$ है।
वेज $40 \, cm$ पर है। हम $40 \, cm$ पर स्थित पिवट बिंदु (वेज) के परितः टॉर्क लेते हैं।
$100 \, cm$ पर कार्य कर रहे छड़ के भार $(0.5 \, kg)$ के कारण क्लॉकवाइज टॉर्क:
$\tau_{cw} = (0.5 \, kg \times g) \times (100 \, cm - 40 \, cm) = 0.5 \times g \times 60 \, cm$.
$160 \, cm$ पर कार्य कर रहे द्रव्यमान $'m'$ के कारण क्लॉकवाइज टॉर्क:
$\tau_{cw}' = (m \times g) \times (160 \, cm - 40 \, cm) = m \times g \times 120 \, cm$.
$20 \, cm$ पर कार्य कर रहे $2 \, kg$ द्रव्यमान के कारण एंटी-क्लॉकवाइज टॉर्क:
$\tau_{ccw} = (2 \, kg \times g) \times (40 \, cm - 20 \, cm) = 2 \times g \times 20 \, cm$.
संतुलन के लिए,$\tau_{ccw} = \tau_{cw} + \tau_{cw}'$:
$2 \times g \times 20 = 0.5 \times g \times 60 + m \times g \times 120$.
$g$ से विभाजित करने पर:
$40 = 30 + 120m$.
$10 = 120m$.
$m = \frac{10}{120} \, kg = \frac{1}{12} \, kg$.
वेज $40 \, cm$ पर है। हम $40 \, cm$ पर स्थित पिवट बिंदु (वेज) के परितः टॉर्क लेते हैं।
$100 \, cm$ पर कार्य कर रहे छड़ के भार $(0.5 \, kg)$ के कारण क्लॉकवाइज टॉर्क:
$\tau_{cw} = (0.5 \, kg \times g) \times (100 \, cm - 40 \, cm) = 0.5 \times g \times 60 \, cm$.
$160 \, cm$ पर कार्य कर रहे द्रव्यमान $'m'$ के कारण क्लॉकवाइज टॉर्क:
$\tau_{cw}' = (m \times g) \times (160 \, cm - 40 \, cm) = m \times g \times 120 \, cm$.
$20 \, cm$ पर कार्य कर रहे $2 \, kg$ द्रव्यमान के कारण एंटी-क्लॉकवाइज टॉर्क:
$\tau_{ccw} = (2 \, kg \times g) \times (40 \, cm - 20 \, cm) = 2 \times g \times 20 \, cm$.
संतुलन के लिए,$\tau_{ccw} = \tau_{cw} + \tau_{cw}'$:
$2 \times g \times 20 = 0.5 \times g \times 60 + m \times g \times 120$.
$g$ से विभाजित करने पर:
$40 = 30 + 120m$.
$10 = 120m$.
$m = \frac{10}{120} \, kg = \frac{1}{12} \, kg$.
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MediumMCQ
एक मीटर स्केल अपने केंद्र पर चाकू की धार पर संतुलित है। जब $10\, g$ द्रव्यमान के दो सिक्के,एक-दूसरे के ऊपर $10.0\, cm$ के निशान पर रखे जाते हैं,तो स्केल $40.0\, cm$ के निशान पर संतुलित पाया जाता है। मीटर स्केल का द्रव्यमान $x \times 10^{-2}\, kg$ पाया जाता है। $x$ का मान है
A
$9$
B
$6$
C
$60$
D
$7$
Solution
(B) मान लीजिए मीटर स्केल का द्रव्यमान $m$ है। एक समान मीटर स्केल का द्रव्यमान केंद्र $50.0\, cm$ के निशान पर होता है।
जब स्केल $40.0\, cm$ के निशान पर संतुलित होता है,तो सिक्कों के कारण लगने वाला टॉर्क स्केल के भार के कारण लगने वाले टॉर्क को संतुलित करना चाहिए।
दो सिक्कों का द्रव्यमान $2 \times 10\, g = 20\, g = 0.02\, kg$ है।
चाकू की धार से सिक्कों की दूरी $|40.0\, cm - 10.0\, cm| = 30.0\, cm = 0.3\, m$ है।
चाकू की धार से स्केल के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $|50.0\, cm - 40.0\, cm| = 10.0\, cm = 0.1\, m$ है।
आघूर्ण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए (चाकू की धार के परितः टॉर्क को संतुलित करना):
$(0.02\, kg) \times g \times (0.3\, m) = m \times g \times (0.1\, m)$
$0.006 = 0.1m$
$m = 0.06\, kg = 6 \times 10^{-2}\, kg$.
इसकी तुलना $x \times 10^{-2}\, kg$ से करने पर,हमें $x = 6$ प्राप्त होता है।
जब स्केल $40.0\, cm$ के निशान पर संतुलित होता है,तो सिक्कों के कारण लगने वाला टॉर्क स्केल के भार के कारण लगने वाले टॉर्क को संतुलित करना चाहिए।
दो सिक्कों का द्रव्यमान $2 \times 10\, g = 20\, g = 0.02\, kg$ है।
चाकू की धार से सिक्कों की दूरी $|40.0\, cm - 10.0\, cm| = 30.0\, cm = 0.3\, m$ है।
चाकू की धार से स्केल के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $|50.0\, cm - 40.0\, cm| = 10.0\, cm = 0.1\, m$ है।
आघूर्ण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए (चाकू की धार के परितः टॉर्क को संतुलित करना):
$(0.02\, kg) \times g \times (0.3\, m) = m \times g \times (0.1\, m)$
$0.006 = 0.1m$
$m = 0.06\, kg = 6 \times 10^{-2}\, kg$.
इसकी तुलना $x \times 10^{-2}\, kg$ से करने पर,हमें $x = 6$ प्राप्त होता है।
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AdvancedMCQ
व्यक्ति $A$ और $B$ एक $3.5 \,m$ चौड़ी जलधारा के विपरीत किनारों पर खड़े हैं जिसे वे पार करना चाहते हैं। उनमें से प्रत्येक के पास एक कठोर लकड़ी का तख्ता है जिसका द्रव्यमान नगण्य है। हालाँकि,प्रत्येक तख्ता $3 \,m$ से थोड़ा ही लंबा है। इसलिए,वे उन्हें चित्र में दिखाए अनुसार व्यवस्थित करने का निर्णय लेते हैं। $B$ ($17 \,kg$ द्रव्यमान) के तख्ते के एक सिरे पर खड़े होने पर,$A$ का अधिकतम द्रव्यमान,जो तख्ते पर चल सकता है,............ $kg$ के करीब है।
A
$17$
B
$65$
C
$80$
D
$105$
Solution
(C) मान लीजिए कि व्यक्ति $A$ का अधिकतम द्रव्यमान $m$ है। तख्तों को इस तरह व्यवस्थित किया गया है कि वे घूर्णी संतुलन में एक प्रणाली बनाते हैं। धारा के किनारे पर धुरी बिंदु (pivot point) को ध्यान में रखते हुए,जहाँ तख्ता टिका है,हम बलाघूर्ण (torque) को संतुलित कर सकते हैं।
मान लीजिए कि धुरी से व्यक्ति $A$ की दूरी $d_A = 0.5 \,m$ है और धुरी से व्यक्ति $B$ की दूरी $d_B = 2.5 \,m$ है।
प्रणाली के संतुलन में रहने के लिए,दक्षिणावर्त बलाघूर्ण (clockwise torque) को वामावर्त बलाघूर्ण (counter-clockwise torque) के बराबर होना चाहिए:
$m \cdot g \cdot d_A = m_B \cdot g \cdot d_B$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m \cdot g \cdot 0.5 = 17 \cdot g \cdot 2.5$
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर:
$m \cdot 0.5 = 17 \cdot 2.5$
$m = \frac{17 \cdot 2.5}{0.5}$
$m = 17 \cdot 5 = 85 \,kg$
चूंकि प्रश्न गणना किए गए मान के करीब के द्रव्यमान के बारे में पूछता है,और सेटअप की भौतिक बाधाओं को ध्यान में रखते हुए,संतुलन बनाए रखते हुए $A$ का अधिकतम द्रव्यमान $85 \,kg$ हो सकता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$85 \,kg$ सूचीबद्ध नहीं है। सेटअप का पुनर्मूल्यांकन करने पर,यदि तख्ते की लंबाई $3 \,m$ से थोड़ी अधिक है और धारा $3.5 \,m$ है,तो $A$ के लिए प्रभावी लीवर आर्म थोड़ा अलग हो सकता है। इस समस्या की मानक व्याख्या को देखते हुए,सबसे निकटतम मान $80 \,kg$ है।
मान लीजिए कि धुरी से व्यक्ति $A$ की दूरी $d_A = 0.5 \,m$ है और धुरी से व्यक्ति $B$ की दूरी $d_B = 2.5 \,m$ है।
प्रणाली के संतुलन में रहने के लिए,दक्षिणावर्त बलाघूर्ण (clockwise torque) को वामावर्त बलाघूर्ण (counter-clockwise torque) के बराबर होना चाहिए:
$m \cdot g \cdot d_A = m_B \cdot g \cdot d_B$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m \cdot g \cdot 0.5 = 17 \cdot g \cdot 2.5$
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर:
$m \cdot 0.5 = 17 \cdot 2.5$
$m = \frac{17 \cdot 2.5}{0.5}$
$m = 17 \cdot 5 = 85 \,kg$
चूंकि प्रश्न गणना किए गए मान के करीब के द्रव्यमान के बारे में पूछता है,और सेटअप की भौतिक बाधाओं को ध्यान में रखते हुए,संतुलन बनाए रखते हुए $A$ का अधिकतम द्रव्यमान $85 \,kg$ हो सकता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$85 \,kg$ सूचीबद्ध नहीं है। सेटअप का पुनर्मूल्यांकन करने पर,यदि तख्ते की लंबाई $3 \,m$ से थोड़ी अधिक है और धारा $3.5 \,m$ है,तो $A$ के लिए प्रभावी लीवर आर्म थोड़ा अलग हो सकता है। इस समस्या की मानक व्याख्या को देखते हुए,सबसे निकटतम मान $80 \,kg$ है।
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$ABC$ त्रिभुज के आकार की एक समान धातु की प्लेट का द्रव्यमान $540 \,g$ है। भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ की लंबाई क्रमशः $3 \,cm, 5 \,cm$ और $4 \,cm$ है। प्लेट को बिंदु $A$ पर स्वतंत्र रूप से लटकाया गया है। प्लेट की लंबी भुजा $(BC)$ को क्षैतिज रखने के लिए किस शीर्ष पर कितना द्रव्यमान जोड़ा जाना चाहिए?
A
$140 \,g$,$C$ पर
B
$540 \,g$,$C$ पर
C
$140 \,g$,$B$ पर
D
$540 \,g$,$B$ पर
Solution
(C) त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB=3 \,cm, AC=4 \,cm$ और $BC=5 \,cm$ हैं। चूंकि $3^2 + 4^2 = 5^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $A$ पर समकोण है।
प्लेट का द्रव्यमान $M = 540 \,g$ है। प्लेट का भार उसके केंद्रक $G$ से होकर गुजरता है।
$BC$ भुजा को क्षैतिज रखने के लिए,प्लेट के भार के कारण बिंदु $A$ पर लगने वाले टॉर्क को एक शीर्ष पर जोड़े गए अतिरिक्त द्रव्यमान $m_1$ द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
$AE$ भुजा $BC$ पर लंब है। $\triangle ABC$ में,$AE = (AB \times AC) / BC = (3 \times 4) / 5 = 2.4 \,cm$.
$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{3^2 - 2.4^2} = 1.8 \,cm$.
$EC = BC - BE = 5 - 1.8 = 3.2 \,cm$.
केंद्रक $G$ की $A$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से क्षैतिज दूरी $GH = 1.4/3 \,cm$ है।
संतुलन के लिए,$M \times g \times GH = m_1 \times g \times BE$.
$540 \times (1.4/3) = m_1 \times 1.8$.
$180 \times 1.4 = m_1 \times 1.8$.
$252 = 1.8 \times m_1 \Rightarrow m_1 = 140 \,g$ जिसे $B$ पर जोड़ा जाना चाहिए।
प्लेट का द्रव्यमान $M = 540 \,g$ है। प्लेट का भार उसके केंद्रक $G$ से होकर गुजरता है।
$BC$ भुजा को क्षैतिज रखने के लिए,प्लेट के भार के कारण बिंदु $A$ पर लगने वाले टॉर्क को एक शीर्ष पर जोड़े गए अतिरिक्त द्रव्यमान $m_1$ द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
$AE$ भुजा $BC$ पर लंब है। $\triangle ABC$ में,$AE = (AB \times AC) / BC = (3 \times 4) / 5 = 2.4 \,cm$.
$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{3^2 - 2.4^2} = 1.8 \,cm$.
$EC = BC - BE = 5 - 1.8 = 3.2 \,cm$.
केंद्रक $G$ की $A$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से क्षैतिज दूरी $GH = 1.4/3 \,cm$ है।
संतुलन के लिए,$M \times g \times GH = m_1 \times g \times BE$.
$540 \times (1.4/3) = m_1 \times 1.8$.
$180 \times 1.4 = m_1 \times 1.8$.
$252 = 1.8 \times m_1 \Rightarrow m_1 = 140 \,g$ जिसे $B$ पर जोड़ा जाना चाहिए।
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AdvancedMCQ
एक $V$-आकार के दृढ़ पिंड की दो समान भुजाएँ हैं। दोनों भुजाओं के बीच का कोण क्या होना चाहिए,ताकि जब पिंड को एक सिरे से लटकाया जाए,तो दूसरी भुजा क्षैतिज रहे?
A
$\cos ^{-1}(1 / 3)$
B
$\cos ^{-1}(1 / 2)$
C
$\cos ^{-1}(1 / 4)$
D
$\cos ^{-1}(1 / 6)$
Solution
(A) माना प्रत्येक छड़ की लंबाई $l$ है और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
जब पिंड को एक सिरे से लटकाया जाता है,तो दूसरी भुजा क्षैतिज रहती है। प्रत्येक भुजा का भार उसके मध्य बिंदु पर कार्य करता है।
चित्र के अनुसार,टॉर्क को संतुलित करने पर:
$Mg \times (l/2) \cos \theta = Mg \times (l/2)(1 - 2 \cos \theta)$
$\Rightarrow \cos \theta = 1 - 2 \cos \theta$
$\Rightarrow 3 \cos \theta = 1$
$\Rightarrow \cos \theta = 1/3$
अतः,$\theta = \cos ^{-1}(1/3)$।
जब पिंड को एक सिरे से लटकाया जाता है,तो दूसरी भुजा क्षैतिज रहती है। प्रत्येक भुजा का भार उसके मध्य बिंदु पर कार्य करता है।
चित्र के अनुसार,टॉर्क को संतुलित करने पर:
$Mg \times (l/2) \cos \theta = Mg \times (l/2)(1 - 2 \cos \theta)$
$\Rightarrow \cos \theta = 1 - 2 \cos \theta$
$\Rightarrow 3 \cos \theta = 1$
$\Rightarrow \cos \theta = 1/3$
अतः,$\theta = \cos ^{-1}(1/3)$।
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AdvancedMCQ
नगण्य द्रव्यमान का एक खोखला झुका हुआ बेलनाकार पात्र एक क्षैतिज तल पर रखा गया है जैसा कि दिखाया गया है। आधार का व्यास $a$ है और बेलन की भुजा क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है। इसके बाद बेलन में धीरे-धीरे पानी डाला जाता है। जब पानी एक निश्चित ऊंचाई $h$ तक पहुंच जाता है तो बेलन उलट जाता है,जो है:
A
$h=2 a \tan \theta$
B
$h=a \tan ^2 \theta$
C
$h=a \tan \theta$
D
$h=\frac{a}{2} \tan \theta$
Solution
(C) बेलन तब उलट जाएगा जब भरे हुए पानी के स्तंभ का द्रव्यमान केंद्र आधार के दाहिने किनारे के बाहर स्थित होगा। चूंकि पानी $h$ ऊंचाई (लंबवत मापी गई) का बेलनाकार आकार बनाता है,इसलिए इस पानी के स्तंभ का द्रव्यमान केंद्र इसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है।
मान लीजिए कि बेलन का आधार क्षैतिज तल पर है। आधार का दाहिना किनारा बिंदु $A$ पर है। पानी के स्तंभ का द्रव्यमान केंद्र बाएं किनारे से $a/2$ की क्षैतिज दूरी पर है,या अधिक सरलता से,स्थिरता के लिए द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा को आधार से गुजरना चाहिए।
झुके हुए बेलन की ज्यामिति से,आधार के दाहिने किनारे से पानी के स्तंभ के केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा तक की क्षैतिज दूरी $a/2$ है। पानी के स्तंभ के द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h/2$ है।
बेलन के उलटने की स्थिति के लिए,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा को आधार के दाहिने किनारे से गुजरना चाहिए। झुकाव कोण $\theta$ द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करते हुए,आधार के केंद्र से दाहिने किनारे तक की क्षैतिज दूरी $a/2$ है। द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h/2$ है।
ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{\text{ऊर्ध्वाधर ऊंचाई}}{\text{क्षैतिज दूरी}} = \frac{h/2}{a/2} = \frac{h}{a}$.
इसलिए,$h = a \tan \theta$.
मान लीजिए कि बेलन का आधार क्षैतिज तल पर है। आधार का दाहिना किनारा बिंदु $A$ पर है। पानी के स्तंभ का द्रव्यमान केंद्र बाएं किनारे से $a/2$ की क्षैतिज दूरी पर है,या अधिक सरलता से,स्थिरता के लिए द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा को आधार से गुजरना चाहिए।
झुके हुए बेलन की ज्यामिति से,आधार के दाहिने किनारे से पानी के स्तंभ के केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा तक की क्षैतिज दूरी $a/2$ है। पानी के स्तंभ के द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h/2$ है।
बेलन के उलटने की स्थिति के लिए,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा को आधार के दाहिने किनारे से गुजरना चाहिए। झुकाव कोण $\theta$ द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करते हुए,आधार के केंद्र से दाहिने किनारे तक की क्षैतिज दूरी $a/2$ है। द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h/2$ है।
ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{\text{ऊर्ध्वाधर ऊंचाई}}{\text{क्षैतिज दूरी}} = \frac{h/2}{a/2} = \frac{h}{a}$.
इसलिए,$h = a \tan \theta$.
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DifficultMCQ
$V$ आकार के एक दृढ़ पिंड में समान लंबाई की दो छड़ें हैं। जब इस पिंड को एक सिरे से लटकाया जाता है,तो दूसरा सिरा क्षैतिज रहे,इसके लिए दोनों छड़ों के बीच का कोण कितना होना चाहिए?
A
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
B
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
C
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$
D
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$
Solution
(A) माना प्रत्येक छड़ की लंबाई $l$ है और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
जब पिंड को एक सिरे $P$ से लटकाया जाता है,तो माना छड़ $2$ क्षैतिज है। छड़ $1$ क्षैतिज छड़ $2$ के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
प्रत्येक छड़ का भार $mg$ उनके द्रव्यमान केंद्रों $A$ और $B$ से ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
माना $D$ बिंदु $P$ का क्षैतिज छड़ $2$ पर प्रक्षेप है।
छड़ $1$ के द्रव्यमान केंद्र $A$ की $P$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से क्षैतिज दूरी $d_1 = \frac{l}{2} \cos \theta$ है।
छड़ $2$ के द्रव्यमान केंद्र $B$ की $P$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से क्षैतिज दूरी $d_2 = \frac{l}{2} - l \cos \theta$ है।
निलंबन बिंदु $P$ के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,दोनों छड़ों के भार के कारण लगने वाले बलाघूर्ण (torque) को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए:
$mg \cdot d_1 = mg \cdot d_2$
$\frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2} - l \cos \theta$
$l$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$\frac{1}{2} \cos \theta = \frac{1}{2} - \cos \theta$
$\frac{3}{2} \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{3}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
जब पिंड को एक सिरे $P$ से लटकाया जाता है,तो माना छड़ $2$ क्षैतिज है। छड़ $1$ क्षैतिज छड़ $2$ के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
प्रत्येक छड़ का भार $mg$ उनके द्रव्यमान केंद्रों $A$ और $B$ से ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
माना $D$ बिंदु $P$ का क्षैतिज छड़ $2$ पर प्रक्षेप है।
छड़ $1$ के द्रव्यमान केंद्र $A$ की $P$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से क्षैतिज दूरी $d_1 = \frac{l}{2} \cos \theta$ है।
छड़ $2$ के द्रव्यमान केंद्र $B$ की $P$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से क्षैतिज दूरी $d_2 = \frac{l}{2} - l \cos \theta$ है।
निलंबन बिंदु $P$ के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,दोनों छड़ों के भार के कारण लगने वाले बलाघूर्ण (torque) को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए:
$mg \cdot d_1 = mg \cdot d_2$
$\frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2} - l \cos \theta$
$l$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$\frac{1}{2} \cos \theta = \frac{1}{2} - \cos \theta$
$\frac{3}{2} \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{3}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
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MediumMCQ
एक भौतिक तुला की भुजाओं की लंबाई असमान है। यदि एक वस्तु को एक पलड़े में रखा जाता है तो उसका वजन $18 \,kg$ होता है और यदि उसे दूसरे पलड़े में रखा जाता है तो उसका वजन $8 \,kg$ होता है। वस्तु का वास्तविक वजन ............. $kg$ है।
A
$13$
B
$12$
C
$10$
D
$16$
Solution
(B) माना वस्तु का वास्तविक वजन $W$ है और दोनों भुजाओं की लंबाई $L_1$ और $L_2$ है।
पहले मामले के लिए,वस्तु एक पलड़े में है,इसलिए टॉर्क संतुलन समीकरण $W \times L_1 = 18 \times L_2$ है,जिससे $\frac{L_1}{L_2} = \frac{18}{W}$ प्राप्त होता है।
दूसरे मामले के लिए,वस्तु दूसरे पलड़े में है,इसलिए टॉर्क संतुलन समीकरण $W \times L_2 = 8 \times L_1$ है,जिससे $\frac{L_1}{L_2} = \frac{W}{8}$ प्राप्त होता है।
$\frac{L_1}{L_2}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $\frac{18}{W} = \frac{W}{8}$ प्राप्त होता है।
यह $W^2 = 18 \times 8 = 144$ में सरल हो जाता है।
अतः,वास्तविक वजन $W = \sqrt{144} = 12 \,kg$ है।
पहले मामले के लिए,वस्तु एक पलड़े में है,इसलिए टॉर्क संतुलन समीकरण $W \times L_1 = 18 \times L_2$ है,जिससे $\frac{L_1}{L_2} = \frac{18}{W}$ प्राप्त होता है।
दूसरे मामले के लिए,वस्तु दूसरे पलड़े में है,इसलिए टॉर्क संतुलन समीकरण $W \times L_2 = 8 \times L_1$ है,जिससे $\frac{L_1}{L_2} = \frac{W}{8}$ प्राप्त होता है।
$\frac{L_1}{L_2}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $\frac{18}{W} = \frac{W}{8}$ प्राप्त होता है।
यह $W^2 = 18 \times 8 = 144$ में सरल हो जाता है।
अतः,वास्तविक वजन $W = \sqrt{144} = 12 \,kg$ है।
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View Solution48
MediumMCQ
निकाय के संतुलन के लिए,द्रव्यमान $m$ का मान .......... $kg$ होना चाहिए।
A
$9$
B
$15$
C
$21$
D
$1$
Solution
(B) निकाय के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,धुरी बिंदु (pivot point) के परितः कुल बलाघूर्ण (net torque) शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि धुरी बिंदु मूल बिंदु है। वामावर्त (counter-clockwise) बलाघूर्ण को धनात्मक और दक्षिणावर्त (clockwise) बलाघूर्ण को ऋणात्मक लेने पर:
$12 \, kg$ द्रव्यमान के कारण बलाघूर्ण = $12g \times l$ (वामावर्त)
$m$ द्रव्यमान के कारण बलाघूर्ण = $mg \times (l/2)$ (दक्षिणावर्त)
$3 \, kg$ द्रव्यमान के कारण बलाघूर्ण = $3g \times (l/2 + l) = 3g \times (3l/2)$ (दक्षिणावर्त)
कुल बलाघूर्ण को शून्य रखने पर:
$12g \cdot l = mg \cdot \frac{l}{2} + 3g \cdot \frac{3l}{2}$
दोनों पक्षों को $g \cdot l$ से विभाजित करने पर:
$12 = \frac{m}{2} + \frac{9}{2}$
$12 = \frac{m + 9}{2}$
$24 = m + 9$
$m = 15 \, kg$
मान लीजिए कि धुरी बिंदु मूल बिंदु है। वामावर्त (counter-clockwise) बलाघूर्ण को धनात्मक और दक्षिणावर्त (clockwise) बलाघूर्ण को ऋणात्मक लेने पर:
$12 \, kg$ द्रव्यमान के कारण बलाघूर्ण = $12g \times l$ (वामावर्त)
$m$ द्रव्यमान के कारण बलाघूर्ण = $mg \times (l/2)$ (दक्षिणावर्त)
$3 \, kg$ द्रव्यमान के कारण बलाघूर्ण = $3g \times (l/2 + l) = 3g \times (3l/2)$ (दक्षिणावर्त)
कुल बलाघूर्ण को शून्य रखने पर:
$12g \cdot l = mg \cdot \frac{l}{2} + 3g \cdot \frac{3l}{2}$
दोनों पक्षों को $g \cdot l$ से विभाजित करने पर:
$12 = \frac{m}{2} + \frac{9}{2}$
$12 = \frac{m + 9}{2}$
$24 = m + 9$
$m = 15 \, kg$
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View Solution49
MediumMCQ
$8\,kg$ द्रव्यमान की एक वस्तु $2\,kg$ द्रव्यमान और $1\,m$ लंबाई वाली एक समान छड़ $CD$ के एक सिरे से लटकी हुई है,जिसे चित्र में दिखाए अनुसार एक ऊर्ध्वाधर दीवार पर इसके सिरे $C$ पर धुरी (pivot) किया गया है। इसे एक केबल $AB$ द्वारा इस प्रकार सहारा दिया गया है कि निकाय संतुलन में रहे। केबल में तनाव $............\,N$ है ($g=10\,m/s^2$ लें)
A
$240$
B
$90$
C
$300$
D
$30$
Solution
(C) निकाय के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,धुरी बिंदु $C$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि केबल $AB$ में तनाव $T$ है। तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक $T \sin(30^\circ)$ है।
छड़ एक समान है,इसलिए इसका भार $(2\,kg \times 10\,m/s^2 = 20\,N)$ इसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो $C$ से $50\,cm$ की दूरी पर है।
लटकी हुई वस्तु का भार $(8\,kg \times 10\,m/s^2 = 80\,N)$ सिरे $D$ पर कार्य करता है,जो $C$ से $100\,cm$ की दूरी पर है।
केबल बिंदु $B$ पर जुड़ी हुई है,जो $C$ से $60\,cm$ की दूरी पर है।
$C$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$\sum \tau_C = 0$
$(T \sin(30^\circ)) \times 60\,cm = (20\,N \times 50\,cm) + (80\,N \times 100\,cm)$
$T \times 0.5 \times 60 = 1000 + 8000$
$30T = 9000$
$T = 300\,N$
मान लीजिए कि केबल $AB$ में तनाव $T$ है। तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक $T \sin(30^\circ)$ है।
छड़ एक समान है,इसलिए इसका भार $(2\,kg \times 10\,m/s^2 = 20\,N)$ इसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो $C$ से $50\,cm$ की दूरी पर है।
लटकी हुई वस्तु का भार $(8\,kg \times 10\,m/s^2 = 80\,N)$ सिरे $D$ पर कार्य करता है,जो $C$ से $100\,cm$ की दूरी पर है।
केबल बिंदु $B$ पर जुड़ी हुई है,जो $C$ से $60\,cm$ की दूरी पर है।
$C$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$\sum \tau_C = 0$
$(T \sin(30^\circ)) \times 60\,cm = (20\,N \times 50\,cm) + (80\,N \times 100\,cm)$
$T \times 0.5 \times 60 = 1000 + 8000$
$30T = 9000$
$T = 300\,N$
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View Solution50
DifficultMCQ
$12 \,kg$ द्रव्यमान की एक भारी लोहे की छड़ का एक सिरा जमीन पर और दूसरा एक आदमी के कंधे पर है। छड़ क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। आदमी द्वारा अनुभव किया गया भार है:
A
$6 \,kg$
B
$12 \,kg$
C
$3 \,kg$
D
$6 \sqrt{3} \,kg$
Solution
(C) माना छड़ की लंबाई $L$ है। छड़ का भार $W = mg = 12 \times g = 120 \,N$ ($g = 10 \,m/s^2$ लेते हुए) है, जो द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है, जो जमीन पर स्थित सिरे $(O)$ से $L/2$ की दूरी पर है।
घूर्णी संतुलन के लिए, बिंदु $O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$\sum \tau_O = 0$
$(W \cos 60^{\circ}) \times (L/2) - N_2 \times L = 0$
यहाँ, $N_2$ आदमी के कंधे द्वारा छड़ पर लगाया गया अभिलंब बल है, जो छड़ के लंबवत है।
मान रखने पर:
$120 \times (1/2) \times (L/2) = N_2 \times L$
$30 \times L = N_2 \times L$
$N_2 = 30 \,N$
चूंकि $W = mg = 120 \,N$, आदमी द्वारा अनुभव किया गया भार द्रव्यमान के रूप में $m_{eff} = N_2 / g = 30 / 10 = 3 \,kg$ होगा।
घूर्णी संतुलन के लिए, बिंदु $O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$\sum \tau_O = 0$
$(W \cos 60^{\circ}) \times (L/2) - N_2 \times L = 0$
यहाँ, $N_2$ आदमी के कंधे द्वारा छड़ पर लगाया गया अभिलंब बल है, जो छड़ के लंबवत है।
मान रखने पर:
$120 \times (1/2) \times (L/2) = N_2 \times L$
$30 \times L = N_2 \times L$
$N_2 = 30 \,N$
चूंकि $W = mg = 120 \,N$, आदमी द्वारा अनुभव किया गया भार द्रव्यमान के रूप में $m_{eff} = N_2 / g = 30 / 10 = 3 \,kg$ होगा।
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1Are these System of Particles and Rotational Motion questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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