Rotational Equilibrium Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि लोहे की छड़ की लंबाई $L$ है। छड़ का भार $W$ उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो जमीन पर स्थित सिरे से $L/2$ की दूरी पर है।
मान लीजिए $R$ व्यक्ति के कंधे द्वारा छड़ पर लगाया गया प्रतिक्रिया बल है। छड़ घूर्णी संतुलन में है।
जमीन पर संपर्क बिंदु के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
भार $W$ के कारण आघूर्ण $\tau_W = W \cdot (L/2) \cos \theta$ है (जो दक्षिणावर्त दिशा में कार्य करता है)।
प्रतिक्रिया बल $R$ के कारण आघूर्ण $\tau_R = R \cdot L \cos \theta$ है (जो वामावर्त दिशा में कार्य करता है)।
घूर्णी संतुलन के लिए,जमीन पर संपर्क बिंदु के परितः कुल आघूर्ण शून्य होना चाहिए:
$\sum \tau = 0$
$R \cdot L \cos \theta = W \cdot (L/2) \cos \theta$
दोनों पक्षों को $L \cos \theta$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $\cos \theta \neq 0$):
$R = \frac{W}{2}$
अतः,व्यक्ति द्वारा अनुभव किया गया भार $\frac{W}{2}$ है।

(B) छड़ के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,धुरी बिंदु ($40 \ cm$ के निशान पर) के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि $90 \ cm$ के निशान पर लटकाया जाने वाला द्रव्यमान $m$ है।
छड़ का भार उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो $50 \ cm$ के निशान पर है।
धुरी से $400 \ g$ द्रव्यमान की दूरी $40 \ cm - 10 \ cm = 30 \ cm$ है।
धुरी से छड़ के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $50 \ cm - 40 \ cm = 10 \ cm$ है।
धुरी से अज्ञात द्रव्यमान $m$ की दूरी $90 \ cm - 40 \ cm = 50 \ cm$ है।
धुरी को संदर्भ बिंदु के रूप में लेते हुए,टॉर्क संतुलन समीकरण है:
$(400 \ g \times 30 \ cm) = (250 \ g \times 10 \ cm) + (m \times 50 \ cm)$
$12000 = 2500 + 50m$
$50m = 12000 - 2500$
$50m = 9500$
$m = \frac{9500}{50} = 190 \ g$

(B) निकाय स्थानांतरीय और घूर्णी संतुलन में है।
स्थानांतरीय संतुलन के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले बलों का योग नीचे की ओर लगने वाले बल (छड़ का भार) के बराबर होता है:
$T_1 + T_2 = mg = 10 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 100 \ N$ (समीकरण $1$)
घूर्णी संतुलन के लिए,किसी भी बिंदु पर कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए। आइए उस बिंदु के परितः टॉर्क लें जहाँ $T_2$ कार्य कर रहा है:
$\tau_{\text{net}} = 0$
$T_1 \times \ell - mg \times \frac{\ell}{2} = 0$
$T_1 \times \ell = 100 \times \frac{\ell}{2}$
$T_1 = 50 \ N$

(C) एक समान मीटर स्केल के लिए,स्केल का भार उसके गुरुत्व केंद्र पर कार्य करता है,जो $50 \ cm$ के निशान पर होता है।
मान लीजिए स्केल का भार $W = mg$ है।
पिवट बिंदु $30 \ cm$ के निशान पर है।
आघूर्णों (moments) के सिद्धांत के अनुसार,पिवट के चारों ओर वामावर्त (counter-clockwise) आघूर्णों का योग,पिवट के चारों ओर दक्षिणावर्त (clockwise) आघूर्णों के योग के बराबर होना चाहिए।
वामावर्त आघूर्ण: $60 \ N \times (30 \ cm - 10 \ cm) = 60 \times 20 = 1200 \ N \cdot cm$.
दक्षिणावर्त आघूर्ण: $W \times (50 \ cm - 30 \ cm) + 10 \ N \times (80 \ cm - 30 \ cm) = W \times 20 + 10 \times 50 = 20W + 500$.
आघूर्णों को बराबर करने पर: $1200 = 20W + 500$.
$20W = 1200 - 500 = 700$.
$W = 35 \ N$.
चूंकि $W = mg$ और $g = 10 \ m/s^2$,इसलिए $m \times 10 = 35$.
$m = 3.5 \ kg$.

(B) माना मीटर छड़ का द्रव्यमान $m$ है। एकसमान मीटर छड़ का द्रव्यमान केंद्र $50 \ cm$ के निशान पर होता है।
जब छड़ $45 \ cm$ के निशान पर संतुलित होती है,तो धुरी (pivot) $45 \ cm$ पर होती है।
धुरी से सिक्के की दूरी $|45 \ cm - 12 \ cm| = 33 \ cm$ है।
धुरी से छड़ के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $|50 \ cm - 45 \ cm| = 5 \ cm$ है।
घूर्णी संतुलन के लिए,धुरी के परितः कुल बलाघूर्ण (torque) शून्य होना चाहिए:
$\tau_{\text{net}} = 0$
$(10 \ g) \times (33 \ cm) = (m \ g) \times (5 \ cm)$
$330 = 5m$
$m = \frac{330}{5} = 66 \ g$
अतः,मीटर छड़ का द्रव्यमान $66 \ g$ है।

(D) छड़ के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,किसी भी बिंदु के परितः टॉर्क का योग शून्य होना चाहिए।
नाइफ-एज $B$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$\sum \tau_B = 0$
$N_A \cdot r - W \cdot (r - x) = 0$
जहाँ $N_A$,$A$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया है।
$N_A \cdot r = W(r - x)$
$N_A = \frac{W(r - x)}{r}$

(A) मीटर स्केल का गुरुत्व केंद्र $50 \text{ cm}$ के निशान पर होता है। वेज को इसी बिंदु पर रखा गया है।
वेज से '$W$' भार की दूरी $50 \text{ cm} - 20 \text{ cm} = 30 \text{ cm}$ है।
वेज से $25 \text{ g-wt}$ भार की दूरी $74 \text{ cm} - 50 \text{ cm} = 24 \text{ cm}$ है।
स्केल को क्षैतिज रहने के लिए, पिवट (वेज) के परितः दक्षिणावर्त आघूर्ण (clockwise moment) वामावर्त आघूर्ण (anticlockwise moment) के बराबर होना चाहिए:
$W \times 30 \text{ cm} = 25 \text{ g-wt} \times 24 \text{ cm}$
$W = \frac{25 \times 24}{30} \text{ g-wt}$
$W = \frac{600}{30} \text{ g-wt} = 20 \text{ g-wt}$

(C) मान लीजिए $M$ मीटर स्केल का द्रव्यमान है। मीटर स्केल का द्रव्यमान केंद्र $50.0 \,cm$ के निशान पर होता है।
जब स्केल $46.0 \,cm$ के निशान पर संतुलित होता है, तो स्केल के भार के कारण लगने वाला टॉर्क सिक्कों के कारण लगने वाले टॉर्क द्वारा संतुलित होना चाहिए।
चार सिक्कों का भार $W_c = 4 \times 2 \,g = 8 \,g$ है। यह $10.0 \,cm$ के निशान पर कार्य करता है।
पिवट $(46.0 \,cm)$ से सिक्कों की दूरी $d_1 = 46.0 \,cm - 10.0 \,cm = 36.0 \,cm$ है।
मीटर स्केल का भार $W_s = M \,g$ इसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है, जो $50.0 \,cm$ के निशान पर है।
पिवट से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d_2 = 50.0 \,cm - 46.0 \,cm = 4.0 \,cm$ है।
घूर्णी संतुलन के लिए, क्लॉकवाइज टॉर्क को एंटी-क्लॉकवाइज टॉर्क के बराबर होना चाहिए:
$M \,g \times d_2 = W_c \times d_1$
$M \,g \times 4.0 \,cm = 8 \,g \times 36.0 \,cm$
$4 \,M = 8 \times 36$
$M = 2 \times 36 = 72 \,g$.

(C) गेंद पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
मान लीजिए कि क्षैतिज वृत्त का केंद्र $O$ है। $O$ के सापेक्ष गेंद का स्थिति सदिश $\vec{r}$ क्षैतिज तल में है।
गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F}_g = m\vec{g}$ गेंद से नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है।
बिंदु $O$ के परितः टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F}_g$,$O$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के समानांतर है और स्थिति सदिश $\vec{r}$ क्षैतिज है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $\vec{\tau}_g = \vec{r} \times (m\vec{g})$ होता है।
हालाँकि,स्थिर कोणीय वेग के साथ एक क्षैतिज वृत्त में गति करने वाले कण के लिए,केंद्र $O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए क्योंकि कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ का परिमाण और दिशा स्थिर रहती है (सदिश $\vec{L}$ ऊर्ध्वाधर अक्ष की दिशा में होता है)। इसलिए,$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}_{net} = 0$ होने के कारण,$O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य है।