Rotational Equilibrium Questions in Gujarati

(A) ધારો કે લોખંડના સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. સળિયાનું વજન $W$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે જમીન પરના છેડાથી $L/2$ અંતરે છે.
ધારો કે $R$ એ વ્યક્તિના ખભા દ્વારા સળિયા પર લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ છે. સળિયો પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં છે.
જમીન પરના સંપર્ક બિંદુની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
વજન $W$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_W = W \cdot (L/2) \cos \theta$ છે (જે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં કાર્ય કરે છે).
પ્રતિક્રિયા બળ $R$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_R = R \cdot L \cos \theta$ છે (જે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે).
પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે,જમીન પરના સંપર્ક બિંદુની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\sum \tau = 0$
$R \cdot L \cos \theta = W \cdot (L/2) \cos \theta$
બંને બાજુને $L \cos \theta$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $\cos \theta \neq 0$):
$R = \frac{W}{2}$
આમ,વ્યક્તિ દ્વારા અનુભવાતું વજન $\frac{W}{2}$ છે.

(B) સળિયો પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,પીવટ પોઈન્ટ ($40 \ cm$ ના નિશાન પર) ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $90 \ cm$ ના નિશાન પર લટકાવવાનું દળ $m$ છે.
સળિયાનું વજન તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે $50 \ cm$ ના નિશાન પર છે.
પીવટથી $400 \ g$ દળનું અંતર $40 \ cm - 10 \ cm = 30 \ cm$ છે.
પીવટથી સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $50 \ cm - 40 \ cm = 10 \ cm$ છે.
પીવટથી અજ્ઞાત દળ $m$ નું અંતર $90 \ cm - 40 \ cm = 50 \ cm$ છે.
પીવટને સંદર્ભ બિંદુ તરીકે લેતા,ટોર્ક સંતુલન સમીકરણ:
$(400 \ g \times 30 \ cm) = (250 \ g \times 10 \ cm) + (m \times 50 \ cm)$
$12000 = 2500 + 50m$
$50m = 12000 - 2500$
$50m = 9500$
$m = \frac{9500}{50} = 190 \ g$

(B) તંત્ર સ્થાનાંતરીય અને ચાકગતિશીલ સંતુલનમાં છે.
સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે,ઉપરની તરફ લાગતા બળોનો સરવાળો નીચેની તરફ લાગતા બળ (સળિયાનું વજન) જેટલો થાય છે:
$T_1 + T_2 = mg = 10 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 100 \ N$ (સમીકરણ $1$)
ચાકગતિશીલ સંતુલન માટે,કોઈપણ બિંદુએ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવો જોઈએ. ચાલો $T_2$ જ્યાં લાગે છે તે બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક લઈએ:
$\tau_{\text{net}} = 0$
$T_1 \times \ell - mg \times \frac{\ell}{2} = 0$
$T_1 \times \ell = 100 \times \frac{\ell}{2}$
$T_1 = 50 \ N$

(C) એક સમાન મીટર સ્કેલ માટે,સ્કેલનું વજન તેના ગુરુત્વકેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે $50 \ cm$ ના નિશાન પર હોય છે.
ધારો કે સ્કેલનું વજન $W = mg$ છે.
પિવોટ પોઈન્ટ (આધાર બિંદુ) $30 \ cm$ ના નિશાન પર છે.
મોમેન્ટ્સના સિદ્ધાંત મુજબ,પિવોટની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશાની મોમેન્ટ્સનો સરવાળો એ પિવોટની આસપાસ ઘડિયાળની દિશાની મોમેન્ટ્સના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશાની મોમેન્ટ: $60 \ N \times (30 \ cm - 10 \ cm) = 60 \times 20 = 1200 \ N \cdot cm$.
ઘડિયાળની દિશાની મોમેન્ટ્સ: $W \times (50 \ cm - 30 \ cm) + 10 \ N \times (80 \ cm - 30 \ cm) = W \times 20 + 10 \times 50 = 20W + 500$.
મોમેન્ટ્સને સરખાવતા: $1200 = 20W + 500$.
$20W = 1200 - 500 = 700$.
$W = 35 \ N$.
કારણ કે $W = mg$ અને $g = 10 \ m/s^2$,તેથી $m \times 10 = 35$.
$m = 3.5 \ kg$.

(B) ધારો કે મીટર પટ્ટીનું દળ $m$ છે. સમાન મીટર પટ્ટીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $50 \ cm$ ના નિશાન પર હોય છે.
જ્યારે પટ્ટી $45 \ cm$ ના નિશાન પર સંતુલિત થાય છે,ત્યારે આધારબિંદુ (pivot) $45 \ cm$ પર છે.
આધારબિંદુથી સિક્કાનું અંતર $|45 \ cm - 12 \ cm| = 33 \ cm$ છે.
આધારબિંદુથી પટ્ટીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $|50 \ cm - 45 \ cm| = 5 \ cm$ છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,આધારબિંદુ પરનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\tau_{\text{net}} = 0$
$(10 \ g) \times (33 \ cm) = (m \ g) \times (5 \ cm)$
$330 = 5m$
$m = \frac{330}{5} = 66 \ g$
તેથી,મીટર પટ્ટીનું દળ $66 \ g$ છે.

(D) સળિયો ભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈપણ બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
નાઈફ-એજ $B$ ને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
$\sum \tau_B = 0$
$N_A \cdot r - W \cdot (r - x) = 0$
જ્યાં $N_A$ એ $A$ પર લાગતું લંબબળ છે.
$N_A \cdot r = W(r - x)$
$N_A = \frac{W(r - x)}{r}$

(A) મીટર સ્કેલનું ગુરુત્વકેન્દ્ર $50 \text{ cm}$ ના નિશાન પર હોય છે। ફાચર આ બિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે।
ફાચરથી '$W$' વજનનું અંતર $50 \text{ cm} - 20 \text{ cm} = 30 \text{ cm}$ છે।
ફાચરથી $25 \text{ g-wt}$ વજનનું અંતર $74 \text{ cm} - 50 \text{ cm} = 24 \text{ cm}$ છે।
સ્કેલ સમક્ષિતિજ રહે તે માટે, પીવોટ (ફાચર) ની આસપાસ ક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ જેટલી હોવી જોઈએ:
$W \times 30 \text{ cm} = 25 \text{ g-wt} \times 24 \text{ cm}$
$W = \frac{25 \times 24}{30} \text{ g-wt}$
$W = \frac{600}{30} \text{ g-wt} = 20 \text{ g-wt}$

(C) ધારો કે $M$ એ મીટર પટ્ટીનું દળ છે। મીટર પટ્ટીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $50.0 \,cm$ ના નિશાન પર છે।
જ્યારે પટ્ટી $46.0 \,cm$ ના નિશાન પર સંતુલિત થાય છે, ત્યારે પટ્ટીના વજનને કારણે લાગતું ટોર્ક સિક્કાઓને કારણે લાગતા ટોર્ક દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ।
ચાર સિક્કાઓનું વજન $W_c = 4 \times 2 \,g = 8 \,g$ છે। આ $10.0 \,cm$ ના નિશાન પર કાર્ય કરે છે।
પિવોટ $(46.0 \,cm)$ થી સિક્કાઓનું અંતર $d_1 = 46.0 \,cm - 10.0 \,cm = 36.0 \,cm$ છે।
મીટર પટ્ટીનું વજન $W_s = M \,g$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે, જે $50.0 \,cm$ ના નિશાન પર છે।
પિવોટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d_2 = 50.0 \,cm - 46.0 \,cm = 4.0 \,cm$ છે।
ભ્રમણીય સંતુલન માટે, ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક જેટલું હોવું જોઈએ:
$M \,g \times d_2 = W_c \times d_1$
$M \,g \times 4.0 \,cm = 8 \,g \times 36.0 \,cm$
$4 \,M = 8 \times 36$
$M = 2 \times 36 = 72 \,g$.

(C) દડા પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
ધારો કે સમક્ષિતિજ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. $O$ ની સાપેક્ષે દડાનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}_g = m\vec{g}$ દડામાંથી નીચેની તરફ શિરોલંબ દિશામાં લાગે છે.
બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}_g$ એ $O$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ અક્ષને સમાંતર છે અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ સમક્ષિતિજ છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે ટોર્ક $\vec{\tau}_g = \vec{r} \times (m\vec{g})$ થાય છે.
જોકે,અચળ કોણીય વેગ સાથે સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા કણ માટે,કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ કારણ કે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ નું મૂલ્ય અને દિશા અચળ રહે છે (સદિશ $\vec{L}$ શિરોલંબ અક્ષની દિશામાં હોય છે). તેથી,$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}_{net} = 0$ હોવાથી,$O$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.