सिद्ध कीजिए कि $h$ ऊँचाई वाले नत समतल (inclined plane) के निचले सिरे पर लुढ़कती हुई वस्तु (जैसे रिंग,डिस्क,बेलन या गोला) का स्थानांतरण वेग $v$,$v^{2} = \frac{2gh}{1 + k^{2}/R^{2}}$ द्वारा दिया जाता है,गतिकीय विचारों (अर्थात बलों और बलाघूर्णों पर विचार करके) का उपयोग करते हुए। नोट: $k$ वस्तु की सममिति अक्ष के परितः घूर्णन त्रिज्या है,और $R$ वस्तु की त्रिज्या है। वस्तु समतल के शीर्ष पर विरामावस्था से चलना शुरू करती है।

(N/A) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $k$ घूर्णन त्रिज्या वाली एक वस्तु $\theta$ कोण और $h$ ऊँचाई वाले नत समतल पर लुढ़क रही है।
$1$. वस्तु पर कार्य करने वाले बल:
- भार का घटक $mg \sin \theta$ जो समतल के नीचे की ओर कार्य करता है।
- घर्षण बल $f$ जो समतल के ऊपर की ओर कार्य करता है।
- अभिलंब बल $N$ जो समतल के लंबवत कार्य करता है।
$2$. गति के समीकरण:
- स्थानांतरण गति के लिए: $mg \sin \theta - f = ma$ (जहाँ $a$ रैखिक त्वरण है)।
- द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति के लिए: $\tau = I\alpha = fR$,जहाँ $I = mk^{2}$ और $\alpha = a/R$ है।
- अतः,$fR = (mk^{2})(a/R) \implies f = mk^{2}a/R^{2}$।
$3$. त्वरण $a$ के लिए हल:
- $f$ का मान स्थानांतरण समीकरण में रखने पर: $mg \sin \theta - mk^{2}a/R^{2} = ma$।
- $mg \sin \theta = ma(1 + k^{2}/R^{2}) \implies a = \frac{g \sin \theta}{1 + k^{2}/R^{2}}$।
$4$. वेग $v$ ज्ञात करना:
- $v^{2} = u^{2} + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $s = h/\sin \theta$ है:
- $v^{2} = 2 \left( \frac{g \sin \theta}{1 + k^{2}/R^{2}} \right) \left( \frac{h}{\sin \theta} \right)$।
- $v^{2} = \frac{2gh}{1 + k^{2}/R^{2}}$।
इस प्रकार,परिणाम सिद्ध होता है।