Angular Momentum and Angular Impulse Questions in Hindi

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5\, kg$,त्रिज्या $r = 2\, m$,अभिकेंद्र बल $F_c = 9\, N$.
हम जानते हैं कि अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
मान रखने पर: $9 = \frac{0.5 \times v^2}{2}$.
$9 = 0.25 \times v^2 \implies v^2 = \frac{9}{0.25} = 36$.
अतः,वेग $v = 6\, m/s$.
कोणीय संवेग $L = mvr$.
$L = 0.5 \times 6 \times 2 = 6\, J\cdot s$.

(C) कोणीय संवेग $(L)$ में परिवर्तन की दर घूर्णन बिंदु के परितः कार्य करने वाले कुल बल आघूर्ण $(\tau)$ के बराबर होती है।
$\frac{dL}{dt} = \tau$
$\Rightarrow dL = \tau dt$
सबसे निचले बिंदु (जमीन के साथ संपर्क बिंदु) के परितः बल आघूर्ण लेने पर,बल $F$ की क्रिया रेखा की सबसे निचले बिंदु से लंबवत दूरी $(R + r)$ है।
$\tau = F \times (R + r) = 2t(R + r)$
इस मान को कोणीय संवेग के समीकरण में रखने पर:
$dL = 2t(R + r) dt$
$t = 0$ से $t$ तक समाकलन करने पर (मानते हुए कि प्रारंभिक कोणीय संवेग शून्य है):
$L = \int_{0}^{t} 2t(R + r) dt$
$L = 2(R + r) \int_{0}^{t} t dt$
$L = 2(R + r) \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t}$
$L = (R + r)t^2$

(B) किसी बिंदु $P$ के परितः कण का कोणीय संवेग $L = r \times p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ स्थिति सदिश है और $p$ रैखिक संवेग है।
क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर $v$ वेग से गति करने वाले कण के लिए,बिंदु $P$ से गति की रेखा की लंबवत दूरी $d \cos \theta$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m v (d \cos \theta)$ (घड़ी की दिशा में)।
चूँकि टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है,गेंद उसी चाल $v$ और क्षैतिज के साथ उसी कोण $\theta$ पर वापस लौटती है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = -m v (d \cos \theta)$ (घड़ी की विपरीत दिशा में)।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_f - L_i = -m v d \cos \theta - (m v d \cos \theta) = -2m v d \cos \theta$।
कोणीय संवेग में परिवर्तन का परिमाण $2mvd \cos \theta$ है।

(B) मान लीजिए कि छड़ के एक सिरे पर आवेग $J$ लगाया जाता है। यह आवेग रैखिक संवेग और कोणीय संवेग में परिवर्तन का कारण बनता है।
रैखिक आवेग: $J = M v_{cm}$,जहाँ $v_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय आवेग: $J \times \frac{L}{2} = I_{cm} \omega = \left(\frac{ML^2}{12}\right) \omega$.
इससे,$\omega = \frac{6J}{ML}$ प्राप्त होता है।
दूसरे सिरे का वेग $V = v_{cm} - \omega \frac{L}{2}$ है (क्योंकि घूर्णन दूसरे सिरे पर रैखिक गति का विरोध करता है)।
मान रखने पर: $V = \frac{J}{M} - \left(\frac{6J}{ML}\right) \frac{L}{2} = \frac{J}{M} - \frac{3J}{M} = -\frac{2J}{M}$.
परिमाण लेने पर: $V = \frac{2J}{M} \Rightarrow J = \frac{MV}{2}$.

(C) टक्कर के दौरान मध्य बिंदु $A$ के परितः निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि बिंदु $A$ के परितः निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है।
टक्कर से पहले,छड़ स्थिर है,इसलिए इसका कोणीय संवेग शून्य है।
मध्य बिंदु $A$ से $L/2$ की दूरी पर $v$ गति से चल रही $m$ द्रव्यमान की मिट्टी की गेंद का कोणीय संवेग $L = r \times p = (L/2) \times (mv) = \frac{mvL}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $A$ के परितः बाहरी टॉर्क शून्य है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
अतः,टक्कर के बाद $A$ के परितः मिट्टी-छड़ निकाय का कोणीय संवेग टक्कर से पहले मिट्टी की गेंद के कोणीय संवेग के बराबर होगा,जो कि $\frac{mvL}{2}$ है।

(B) बॉब पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
निलंबन बिंदु को मूल बिंदु मानते हुए,गुरुत्वाकर्षण बल के कारण टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times m\vec{g}$ है।
इस टॉर्क का परिमाण $\tau = mg \ell \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ डोरी द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण है।
यह टॉर्क हमेशा क्षैतिज रूप से निर्देशित होता है,जो डोरी और ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले तल के लंबवत होता है।
चूंकि कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}$ है,टॉर्क के कारण कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ की दिशा लगातार बदलती रहती है क्योंकि यह ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमता है।
हालाँकि,क्योंकि टॉर्क हमेशा कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ के लंबवत होता है,कोणीय संवेग का परिमाण स्थिर रहता है।
इसलिए,कोणीय संवेग की दिशा बदलती है लेकिन परिमाण नहीं।

(C) मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र का अंतिम वेग $V$ है और छड़ द्वारा प्राप्त कोणीय वेग $\omega$ है।
रैखिक गति के लिए आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार: $J = m(V - u) \quad ...(1)$
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार: $J \cdot \frac{l}{4} = I \omega = \left(\frac{ml^2}{12}\right) \omega \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है: $m(V - u) \cdot \frac{l}{4} = \frac{ml^2}{12} \omega \implies V - u = \frac{l}{3} \omega \implies V = u + \frac{l}{3} \omega \quad ...(3)$
केंद्र से $l/4$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ का वेग $V_P = V + \omega \cdot \frac{l}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V_P = 2u$,इसलिए $2u = V + \frac{l}{4} \omega \quad ...(4)$
समीकरण $(3)$ से $V$ का मान $(4)$ में रखने पर: $2u = (u + \frac{l}{3} \omega) + \frac{l}{4} \omega$
$u = \omega l \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \omega l \left(\frac{7}{12}\right) \implies \omega l = \frac{12}{7} u$
अब,$\omega l$ का मान $V$ के व्यंजक में रखने पर: $V = u + \frac{1}{3} \left(\frac{12}{7} u\right) = u + \frac{4}{7} u = \frac{11}{7} u$.

(A) कण का संवेग $p = m \times V = 5 \times 3 \sqrt{2} = 15 \sqrt{2} \text{ units}$ द्वारा दिया जाता है।
कण $Y = X + 4$ रेखा के अनुदिश गति करता है,जिसे $X - Y + 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से $AX + BY + C = 0$ रेखा की लंबवत दूरी $r_{\perp} = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$A = 1, B = -1, C = 4$ मान रखने पर,हमें $r_{\perp} = \frac{|4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \text{ units}$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग $L$ का परिमाण $L = p \times r_{\perp}$ है।
$L = (15 \sqrt{2}) \times (2 \sqrt{2}) = 15 \times 2 \times 2 = 60 \text{ units}$.

(B) रेखा का समीकरण $Y = X + 4$ है,जिसे $X - Y + 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d$,सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$d = \frac{|1(0) - 1(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$।
मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग $L$,$L = mvd$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान $m = 5$,$v = 3\sqrt{2}$,और $d = \frac{4}{\sqrt{2}}$ रखने पर:
$L = 5 \times 3\sqrt{2} \times \frac{4}{\sqrt{2}} = 5 \times 3 \times 4 = 60$ इकाई।

(D) किसी बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$ सदिश गुणनफल $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण एक सीधी रेखा में गति कर रहा है और निश्चित बिंदु उसी रेखा पर स्थित है,इसलिए स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा संरेख (समांतर या प्रति-समांतर) होते हैं।
$\vec{r}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$ या तो $0^\circ$ होता है या $180^\circ$ होता है।
इसलिए,कोणीय संवेग का परिमाण $L = |\vec{r}| |m\vec{v}| \sin(\theta) = 0$ होता है,क्योंकि $\sin(0^\circ) = 0$ और $\sin(180^\circ) = 0$ होता है।
अतः,पूरी गति के दौरान कोणीय संवेग शून्य रहता है।

(C) मूल बिंदु के परितः एक कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाण में,$L = mvr \sin \theta$,जहाँ $\theta$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ के बीच का कोण है।
गति की ज्यामिति से,$r \sin \theta = h$,जहाँ $h$ मूल बिंदु से गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
चूंकि कण $x-$ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा में स्थिर वेग $v$ से गति करता है,इसलिए पूरी गति के दौरान $v$ और $h$ दोनों स्थिर रहते हैं।
अतः,$L = mvh = \text{स्थिर}$.
इस प्रकार,मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

(A) घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L$,सूत्र $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
दिया गया है:
$I = 0.6 \,kg \cdot m^2$
आवृत्ति $f = 0.5 \,rev/s$
कोणीय वेग $\omega$ आवृत्ति से $\omega = 2\pi f$ द्वारा संबंधित है।
मान रखने पर:
$\omega = 2 \times \pi \times 0.5 = \pi \,rad/s$.
अब,कोणीय संवेग की गणना करने पर:
$L = 0.6 \times \pi = 0.6\pi \,kg \cdot m^2/s$.

(B) किसी बिंदु $O$ के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कण $r = 0.6\, m$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में जमीन से $h = 0.8\, m$ की ऊँचाई पर गति करता है।
मान लीजिए कि वृत्त के केंद्र के ठीक नीचे जमीन पर स्थित बिंदु $O'$ है। $O'$ के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश $\vec{r}$ का क्षैतिज घटक $r = 0.6\, m$ और ऊर्ध्वाधर घटक $h = 0.8\, m$ है।
कण का वेग $\vec{v}$ है,जो वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय है,इसलिए इसका परिमाण $v = r\omega = 0.6 \times 12 = 7.2\, m/s$ है।
$O'$ के परितः कोणीय संवेग $L = |\vec{r} \times m\vec{v}| = mvr_{\perp}$ है,जहाँ $r_{\perp}$ घूर्णन अक्ष से वेग सदिश की लंबवत दूरी है जो $O'$ से गुजरती है। चूँकि वेग क्षैतिज है और बिंदु $O'$ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर है,वेग की रेखा से बिंदु $O'$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 0.6\, m$ है।
अतः,$L = mvr = (2\, kg) \times (7.2\, m/s) \times (0.6\, m) = 8.64\, kg\, m^2\, s^{-1}$.

(A) किसी बिंदु $O$ के परितः कण का कोणीय संवेग $L = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है। $m$ द्रव्यमान के कण के लिए जो $v$ चाल से गति कर रहा है,इसका परिमाण $L = mvr_{\perp}$ है,जहाँ $r_{\perp}$ मूल बिंदु $O$ से वेग की दिशा तक की लंबवत दूरी है।
वृत्त की ज्यामिति से,स्थिति सदिश $\vec{r}$,$x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है। वेग सदिश $\vec{v}$ कण की स्थिति पर वृत्त के स्पर्शरेखीय है। स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ के बीच का कोण $(90^\circ + \theta)$ है।
मूल बिंदु $O$ से कण की दूरी $r = 2a \cos \theta$ है।
कोणीय संवेग $L = mvr \sin(90^\circ + \theta) = mvr \cos \theta$ होता है।
$r = 2a \cos \theta$ रखने पर,हमें $L = mv(2a \cos \theta) \cos \theta = 2mva \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर,$L = mva(1 + \cos 2\theta)$ प्राप्त होता है।
इकाई द्रव्यमान $(m=1)$ मानते हुए,कोणीय संवेग $va(1 + \cos 2\theta)$ है।

(A) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ द्रव्यमान $m = 2\, kg$ और स्थिति सदिश $\vec{r}(t) = 5\hat{i} - 2t^2\hat{j}$ है।
वेग सदिश $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(5\hat{i} - 2t^2\hat{j}) = -4t\hat{j}$ है।
$t = 2\, s$ पर:
स्थिति $\vec{r}(2) = 5\hat{i} - 2(2)^2\hat{j} = 5\hat{i} - 8\hat{j}$ है।
वेग $\vec{v}(2) = -4(2)\hat{j} = -8\hat{j}$ है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 2 \times [(5\hat{i} - 8\hat{j}) \times (-8\hat{j})]$ है।
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{j} = 0$ होता है:
$\vec{L} = 2 \times [5\hat{i} \times (-8\hat{j}) - 8\hat{j} \times (-8\hat{j})] = 2 \times [-40\hat{k} - 0] = -80\hat{k}\, kg\, m^2\, s^{-1}$।

(A) दिया गया है: $\vec r(t) = 2t \hat i - 3t^2 \hat j$ और $m = 2 \ kg$।
वेग $\vec v = \frac{d\vec r}{dt} = 2 \hat i - 6t \hat j$।
$t = 2 \ s$ पर,स्थिति $\vec r = 2(2) \hat i - 3(2)^2 \hat j = 4 \hat i - 12 \hat j$।
$t = 2 \ s$ पर,वेग $\vec v = 2 \hat i - 6(2) \hat j = 2 \hat i - 12 \hat j$।
संवेग $\vec p = m \vec v = 2(2 \hat i - 12 \hat j) = 4 \hat i - 24 \hat j$।
कोणीय संवेग $\vec L = \vec r \times \vec p = (4 \hat i - 12 \hat j) \times (4 \hat i - 24 \hat j)$।
सदिश गुणनफल का उपयोग करने पर: $\vec L = [4(-24) - (-12)(4)] \hat k = (-96 + 48) \hat k = -48 \hat k$।

(B) सदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
दूरी,ऊष्मा और ऊर्जा अदिश राशियाँ हैं क्योंकि इनमें केवल परिमाण होता है।
कोणीय संवेग को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह सदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित है और इसकी एक विशिष्ट दिशा होती है (जो दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित होती है),इसलिए कोणीय संवेग एक सदिश राशि है।

(D) मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,कण मूल बिंदु $O$ से $a$ की स्थिर लंबवत दूरी पर $X$-अक्ष के समानांतर गति करता है।
कोणीय संवेग का परिमाण $|L| = m v a \sin(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ के बीच का कोण है।
चूंकि $a = r \sin(\theta)$,इसलिए हमारे पास $|L| = m v a$ है।
चूंकि $m$,$v$,और $a$ सभी स्थिर हैं,इसलिए कोणीय संवेग का परिमाण स्थिर रहता है।
इसके अलावा,$\vec{L}$ की दिशा (दाएं हाथ के नियम द्वारा) $X-Y$ तल के लंबवत ($Z$-अक्ष के अनुदिश) है और कण के गति करने पर बदलती नहीं है।
अतः,कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

(A) चूंकि बेल्ट फिसलती नहीं है,इसलिए दोनों पहियों के रिम पर रैखिक गति समान होनी चाहिए:
$v_A = v_C$
$v = r\omega$ संबंध का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$r_A \omega_A = r_C \omega_C$ --- $(i)$
दिया गया है कि बड़े पहिये $(C)$ की त्रिज्या छोटे पहिये $(A)$ की त्रिज्या से तीन गुनी है:
$r_C = 3r_A$
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$r_A \omega_A = (3r_A) \omega_C$
$\omega_A = 3\omega_C$
यदि दोनों पहियों का कोणीय संवेग $(L)$ समान है:
$L_A = L_C$
$I_A \omega_A = I_C \omega_C$
$\frac{I_C}{I_A} = \frac{\omega_A}{\omega_C}$
$\omega_A = 3\omega_C$ रखने पर:
$\frac{I_C}{I_A} = \frac{3\omega_C}{\omega_C} = 3$
अतः,बड़े पहिये के जड़त्व आघूर्ण का छोटे पहिये के जड़त्व आघूर्ण से अनुपात $3$ है.

(D) कक्षीय गति में एक कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$,उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और उसके रैखिक संवेग $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित होता है,जो $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{L}$ हमेशा उस तल के लंबवत होता है जिसमें $\vec{r}$ और $\vec{p}$ दोनों स्थित होते हैं।
चूंकि स्थिति सदिश और रैखिक संवेग सदिश दोनों कक्षीय तल में स्थित होते हैं,इसलिए कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ कक्षीय तल के लंबवत होना चाहिए। यह दाएं हाथ के नियम के अनुरूप है,जहां $\vec{L}$ की दिशा घूर्णन अक्ष के अनुदिश होती है।

(C) $t$ समय पर कण का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{r} = (v_0 \cos \theta) t \hat{i} + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}$
$t$ समय पर कण का वेग सदिश इस प्रकार है:
$\vec{v} = (v_0 \cos \theta) \hat{i} + (v_0 \sin \theta - gt) \hat{j}$
कोणीय संवेग $\vec{L}$ को $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\vec{L} = m [((v_0 \cos \theta) t \hat{i} + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}) \times ((v_0 \cos \theta) \hat{i} + (v_0 \sin \theta - gt) \hat{j})]$
क्रॉस प्रोडक्ट करने पर:
$\vec{L} = m [((v_0 \cos \theta) t) (v_0 \sin \theta - gt) (\hat{i} \times \hat{j}) + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) (v_0 \cos \theta) (\hat{j} \times \hat{i})]$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$\vec{L} = m [((v_0^2 \sin \theta \cos \theta) t - v_0 g t^2 \cos \theta) \hat{k} - ((v_0^2 \sin \theta \cos \theta) t - \frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta) \hat{k}]$
$\vec{L} = m [v_0^2 \sin \theta \cos \theta t - v_0 g t^2 \cos \theta - v_0^2 \sin \theta \cos \theta t + \frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta] \hat{k}$
$\vec{L} = m [-\frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta] \hat{k} = -\frac{1}{2} mg v_0 t^2 \cos \theta \hat{k}$

(N/A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग वाला कण किसी क्षण $t$ पर बिंदु $P$ पर है। हम किसी स्वेच्छ बिंदु $O$ के परितः कण का कोणीय संवेग ज्ञात करना चाहते हैं।
कोणीय संवेग $l = r \times mv$ द्वारा दिया जाता है। इसका परिमाण $mvr \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ चित्र में दिखाए अनुसार $r$ और $v$ के बीच का कोण है।
यद्यपि कण समय के साथ अपनी स्थिति बदलता है,लेकिन $v$ की दिशा की रेखा समान रहती है। $O$ से कण की गति की रेखा की लंबवत दूरी $d = r \sin \theta$ है,जो कि एक नियतांक है।
इसके अतिरिक्त,$l$ की दिशा $r$ और $v$ वाले तल के लंबवत होती है। यह दिशा समय के साथ नहीं बदलती है। अतः,$l$ परिमाण और दिशा में समान रहता है और इसलिए यह संरक्षित रहता है।

(A) कोणीय संवेग $\vec{l}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग सदिश $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \times (p_x \hat{i} + p_y \hat{j} + p_z \hat{k})$
सारणिक रूप का उपयोग करते हुए:
$\vec{l} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix} = \hat{i}(y p_z - z p_y) - \hat{j}(x p_z - z p_x) + \hat{k}(x p_y - y p_x)$
घटकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$l_x = y p_z - z p_y$
$l_y = z p_x - x p_z$
$l_z = x p_y - y p_x$
यदि कण केवल $x-y$ तल में गति करता है,तो $z = 0$ और $p_z = 0$ होगा। इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$l_x = y(0) - (0)p_y = 0$
$l_y = (0)p_x - x(0) = 0$
$l_z = x p_y - y p_x$
चूंकि $l_x = 0$ और $l_y = 0$ है,इसलिए कोणीय संवेग का केवल $z$-घटक शेष रहता है।

(N/A) मान लीजिए कि किसी निश्चित क्षण पर दो कण चित्र में दिखाए अनुसार $P$ और $Q$ बिंदुओं पर हैं।
बिंदु $P$ के परितः निकाय का कोणीय संवेग:
$\vec{L}_{P} = m v \times 0 + m v \times d = m v d$ ... $(i)$
बिंदु $Q$ के परितः निकाय का कोणीय संवेग:
$\vec{L}_{Q} = m v \times d + m v \times 0 = m v d$ ... $(ii)$
एक बिंदु $R$ पर विचार करें,जो बिंदु $Q$ से $y$ दूरी पर है,अर्थात $QR = y$ और $PR = d - y$।
बिंदु $R$ के परितः निकाय का कोणीय संवेग:
$\vec{L}_{R} = m v \times (d - y) + m v \times y$
$= m v d - m v y + m v y$
$= m v d$ ... $(iii)$
समीकरणों $(i)$,$(ii)$,और $(iii)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{L}_{P} = \vec{L}_{Q} = \vec{L}_{R}$ ... $(iv)$
समीकरण $(iv)$ से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समानांतर रेखाओं के अनुदिश विपरीत दिशाओं में गति करने वाले दो कणों के निकाय का कोणीय संवेग उस बिंदु पर निर्भर नहीं करता है जिसके परितः इसकी गणना की जाती है।

(N/A) जिस प्रकार बल का आघूर्ण,बल का घूर्णी समतुल्य है,उसी प्रकार कोणीय संवेग,रैखिक संवेग का घूर्णी समतुल्य है।
चित्र में,$Q$ द्रव्यमान $m$ का एक कण है,जिसका कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में स्थिति सदिश $\vec{OQ} = \vec{r}$ है।
$\vec{v}$ कण का रैखिक वेग है। अतः इसका रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ है।
यह आवश्यक नहीं है कि कण $Q$ किसी दृढ़ पिंड का हिस्सा हो या वह वक्र पथ पर गति कर रहा हो।
मान लीजिए $\vec{r}$ और $\vec{p}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
$\vec{r}$ और $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल को बिंदु $O$ के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग $\vec{l}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\therefore \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$
कोणीय संवेग का मात्रक $kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}$ या $J \cdot s$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-1}]$ है।
$\vec{l}$ का परिमाण संदर्भ बिंदु के चयन पर निर्भर करता है; इसलिए,किसी कण के कोणीय संवेग को परिभाषित करते समय संदर्भ बिंदु का उल्लेख करना आवश्यक है।
$\vec{l}$ की दिशा दाएं हाथ के पेंच के नियम की सहायता से प्राप्त की जा सकती है। यहाँ $\vec{l}$,$OZ$ दिशा में है।
अब,$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$.
$\therefore |\vec{l}| = r p \sin \theta = p(r \sin \theta) = p(OR)$.
$\therefore$ कण का कोणीय संवेग = (रैखिक संवेग का परिमाण) $\times$ (संदर्भ बिंदु से रैखिक संवेग की कार्य-रेखा की लंबवत दूरी)।

(N/A) किसी कण का कोणीय संवेग $\vec{l}$,उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित होता है:
$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$
कार्तीय निर्देशांकों में,$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ और $\vec{p} = p_x\hat{i} + p_y\hat{j} + p_z\hat{k}$ है।
सारणिक (determinant) रूप का उपयोग करके सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{l} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{l} = \hat{i}(yp_z - zp_y) + \hat{j}(zp_x - xp_z) + \hat{k}(xp_y - yp_x)$
इसे $\vec{l} = l_x\hat{i} + l_y\hat{j} + l_z\hat{k}$ के साथ तुलना करने पर,हम कार्तीय घटकों को इस प्रकार प्राप्त करते हैं:
$l_x = yp_z - zp_y$
$l_y = zp_x - xp_z$
$l_z = xp_y - yp_x$
ये क्रमशः $X$,$Y$ और $Z$ अक्षों के अनुदिश कोणीय संवेग के घटक हैं।

कणों के निकाय का कुल कोणीय संवेग व्यक्तिगत कणों के कोणीय संवेग का सदिश योग होता है। $n$ कणों के निकाय के लिए,
$\overrightarrow{L} = \overrightarrow{l_{1}} + \overrightarrow{l_{2}} + \overrightarrow{l_{3}} + \ldots + \overrightarrow{l_{n}} = \sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{l_{i}}$
जहाँ $\overrightarrow{l_{i}} = \overrightarrow{r_{i}} \times \overrightarrow{p_{i}}$ $i$-वें कण का कोणीय संवेग है,$\overrightarrow{r_{i}}$ उसका स्थिति सदिश है और $\overrightarrow{p_{i}}$ उसका रैखिक संवेग है।
कुल कोणीय संवेग का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{d\overrightarrow{l_{i}}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt} \times \overrightarrow{p_{i}} + \overrightarrow{r_{i}} \times \frac{d\overrightarrow{p_{i}}}{dt} \right)$
चूंकि $\frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt} = \overrightarrow{v_{i}}$ और $\overrightarrow{v_{i}} \times \overrightarrow{p_{i}} = \overrightarrow{v_{i}} \times (m\overrightarrow{v_{i}}) = 0$,इसलिए समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} (\overrightarrow{r_{i}} \times \overrightarrow{F_{i}}) = \sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{\tau_{i}} = \overrightarrow{\tau}_{ext} + \overrightarrow{\tau}_{int}$
चूंकि आंतरिक बल समान और विपरीत दिशा में होते हैं (न्यूटन का तीसरा नियम),उनका कुल टॉर्क $\overrightarrow{\tau}_{int} = 0$ होता है। अतः,संबंध है:
$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \overrightarrow{\tau}_{ext}$

(N/A) किसी बिंदु के सापेक्ष एक कण का कोणीय संवेग $(L)$,उसके स्थिति सदिश $(r)$ और उसके रैखिक संवेग $(p)$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $L = r \times p$.
चूंकि $p = mv$,जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ कण का वेग है,इसलिए कोणीय संवेग को $L = r \times (mv) = m(r \times v)$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
कोणीय संवेग का $SI$ मात्रक $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$ या $\text{J} \cdot \text{s}$ होता है।

(N/A) कोणीय संवेग $(L)$ को स्थिति सदिश $(r)$ और रैखिक संवेग $(p)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $L = r \times p$ है।
चूंकि $p = mv$,कोणीय संवेग का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-1}] \times [L^1] = [M^1 L^2 T^{-1}]$ होता है।
द्रव्यमान का $SI$ मात्रक $kg$,वेग का $m/s$ और दूरी का $m$ है।
अतः,कोणीय संवेग का $SI$ मात्रक $kg \cdot m^2/s$ या $J \cdot s$ है।

(N/A) एक स्थिर $Z$-अक्ष के परितः घूमते हुए दृढ़ पिंड के लिए,$i$-वें कण का कोणीय संवेग $\vec{l}_i = \vec{r}_i \times \vec{p}_i$ द्वारा दिया जाता है।
दृढ़ पिंड का कुल कोणीय संवेग $\vec{L}$ उसके सभी कणों के कोणीय संवेग का सदिश योग है:
$\vec{L} = \sum_{i=1}^{n} \vec{l}_i = \sum_{i=1}^{n} (\vec{r}_i \times \vec{p}_i)$.
चूंकि $\vec{p}_i = m_i \vec{v}_i$ और घूर्णी गति के लिए $\vec{v}_i = \vec{\omega} \times \vec{r}_i$,इसलिए:
$\vec{L} = \sum_{i=1}^{n} [\vec{r}_i \times (m_i (\vec{\omega} \times \vec{r}_i))]$.
एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन के लिए,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ सभी कणों के लिए समान रहता है और घूर्णन अक्ष की दिशा में होता है (मान लीजिए कि यह $Z$-अक्ष है,$\vec{\omega} = \omega \hat{k}$)।
$Z$-अक्ष की दिशा में कोणीय संवेग का घटक:
$L_Z = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2 \omega = (\sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2) \omega$.
चूंकि जड़त्व आघूर्ण $I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$L_Z = I \omega$.
सदिश रूप में,$\vec{L} = I \vec{\omega}$,जो रैखिक गति में $\vec{p} = m \vec{v}$ के अनुरूप है।

(N/A) एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करने वाली दृढ़ वस्तु के लिए,कुल कोणीय संवेग $L$,उस अक्ष के परितः वस्तु के जड़त्व आघूर्ण $I$ और उसके कोणीय वेग $\omega$ के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र है: $L = I \omega$
जहाँ:
$L$ कोणीय संवेग है,
$I$ घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,
$\omega$ वस्तु का कोणीय वेग है।

(A) एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन गति में,दृढ़ पिंड का प्रत्येक कण घूर्णन अक्ष के लंबवत एक समतल में वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
मान लीजिए घूर्णन अक्ष $z$-अक्ष है। कण के स्थिति सदिश $\vec{r}$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: $\vec{r}_{\parallel}$ ($z$-अक्ष के अनुदिश) और $\vec{r}_{\perp}$ ($xy$-समतल में)।
किसी भी कण का वेग सदिश $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $\vec{\omega}$,$z$-अक्ष पर है,इसलिए $\vec{v}$ पूरी तरह से $xy$-समतल में स्थित होता है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = \sum (\vec{r} \times \vec{p}) = \sum m(\vec{r} \times \vec{v})$ है।
$\vec{r} = \vec{r}_{\parallel} + \vec{r}_{\perp}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\vec{L} = \sum m((\vec{r}_{\parallel} + \vec{r}_{\perp}) \times \vec{v})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\vec{r}_{\parallel}$,$z$-अक्ष के समानांतर है और $\vec{v}$,$xy$-समतल में है,उनका सदिश गुणनफल $\vec{r}_{\parallel} \times \vec{v}$ एक ऐसा सदिश देता है जो $z$-अक्ष के लंबवत होता है।
हालाँकि,एक सममित पिंड के लिए या पूरे दृढ़ पिंड पर योग करते समय,गति की वृत्ताकार सममिति के कारण घूर्णन अक्ष के लंबवत कोणीय संवेग के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिससे केवल घूर्णन अक्ष के अनुदिश घटक $(L_z)$ ही शेष रहता है।
अतः,अक्ष के लंबवत कुल कोणीय संवेग ${L_ \bot }$ शून्य होता है।

(A) हाँ,एक सीधी रेखा में गति कर रही वस्तु का उस बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग हो सकता है जो उसकी गति की रेखा पर स्थित नहीं है। कोणीय संवेग का सूत्र $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ है,जहाँ $\vec{r}$ संदर्भ बिंदु से वस्तु तक का स्थिति सदिश है और $\vec{p}$ रैखिक संवेग है। जब तक गति की रेखा संदर्भ बिंदु से होकर नहीं गुजरती,तब तक सदिश गुणनफल $\vec{r} \times \vec{p}$ शून्य नहीं होगा।

(A) हाँ,घूर्णन अक्ष बदलने पर पिंड का कोणीय संवेग बदल जाता है।
इसका कारण यह है कि कोणीय संवेग को $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब घूर्णन अक्ष बदलता है,तो नए अक्ष के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}$ बदल जाता है और कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ की दिशा भी बदल जाती है।
चूंकि $\vec{L} = I\vec{\omega}$ होता है,इसलिए घूर्णन अक्ष में परिवर्तन जड़त्व आघूर्ण $I$ और $\vec{\omega}$ की दिशा को बदल देता है,जिससे कोणीय संवेग $\vec{L}$ परिवर्तित हो जाता है।

(B) किसी कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$ को $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\vec{r}$ स्थिति सदिश है और $\vec{p}$ रैखिक संवेग है।
कोणीय संवेग का परिमाण शून्य होने के लिए,सदिश गुणनफल $\vec{r} \times \vec{p}$ शून्य होना चाहिए।
यह तब होता है जब स्थिति सदिश $\vec{r}$,रैखिक संवेग सदिश $\vec{p}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर हो,या जब $\vec{r}$ या $\vec{p}$ में से कोई एक शून्य हो।
ज्यामितीय रूप से,इसका अर्थ है कि रैखिक संवेग की कार्य रेखा मूल बिंदु (स्थिति सदिश के लिए संदर्भ बिंदु) से होकर गुजरती है।

(D) कोणीय संवेग को $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
बिंदु $A$ (वृत्ताकार पथ का केंद्र) के लिए: स्थिति सदिश $\vec{r}_A$ वृत्त के तल में है और वेग सदिश $\vec{v}$ वृत्त के स्पर्शरेखीय है। सदिश गुणनफल $\vec{r}_A \times \vec{v}$ हमेशा धनात्मक $z$-दिशा (वृत्त के तल के लंबवत) में होता है। चूंकि गति $v$ और त्रिज्या $r$ स्थिर हैं,इसलिए परिमाण $L_A = mvr$ स्थिर रहता है। अतः,$L_A$ परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर है।
बिंदु $B$ (घूर्णन अक्ष पर $A$ के ऊपर एक बिंदु) के लिए: $B$ से $M$ तक का स्थिति सदिश $\vec{r}_B$ जैसे-जैसे द्रव्यमान $M$ घूमता है,अपनी दिशा बदलता रहता है। इसलिए,कोणीय संवेग $\vec{L}_B = \vec{r}_B \times \vec{p}$ का परिमाण तो स्थिर रहेगा,लेकिन इसकी दिशा $z$-अक्ष के चारों ओर लगातार बदलती रहेगी।

(B) एक कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ अचर चाल से गति कर रहे कण के लिए,कोणीय संवेग का परिमाण $L = mvr \sin(90^{\circ}) = mvr$ होता है,जो कि अचर है।
कोणीय संवेग की दिशा दाएं हाथ के नियम द्वारा दी जाती है,जो वृत्ताकार पथ के तल के लंबवत (घूर्णन अक्ष की दिशा में) होती है।
चूंकि चाल और त्रिज्या अचर हैं और गति का तल नहीं बदलता है,इसलिए कोणीय संवेग सदिश का परिमाण और दिशा दोनों गति के दौरान अचर रहते हैं।

(B) स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = 10 \alpha t^2 \hat{i} + 5 \beta (t - 5) \hat{j}$ है।
वेग सदिश $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 20 \alpha t \hat{i} + 5 \beta \hat{j}$ है।
कोणीय संवेग $\overrightarrow{L} = m (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v})$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{L} = m [10 \alpha t^2 \hat{i} + 5 \beta (t - 5) \hat{j}] \times [20 \alpha t \hat{i} + 5 \beta \hat{j}]$.
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\overrightarrow{L} = m [ (10 \alpha t^2)(5 \beta) \hat{k} - (5 \beta (t - 5))(20 \alpha t) \hat{k} ]$.
$\overrightarrow{L} = m [ 50 \alpha \beta t^2 - 100 \alpha \beta t (t - 5) ] \hat{k}$.
$t = 0$ पर,$\overrightarrow{L} = m [ 0 - 0 ] \hat{k} = 0$.
हम $t > 0$ पर $\overrightarrow{L} = 0$ चाहते हैं:
$50 \alpha \beta t^2 - 100 \alpha \beta t (t - 5) = 0$.
$50 \alpha \beta t$ से विभाजित करने पर (चूंकि $t \neq 0$):
$t - 2(t - 5) = 0$.
$t - 2t + 10 = 0 \implies -t = -10 \implies t = 10 \text{ सेकंड}$.

(B) कोणीय संवेग $\overrightarrow{L}$ स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ और रैखिक संवेग $\overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}$ का सदिश गुणनफल होता है।
यहाँ $m = 1\,kg$,$\overrightarrow{r} = (3\hat{i} - \hat{j})\,m$,और $\overrightarrow{v} = (3\hat{j} + \hat{k})\,m/s$ दिया गया है।
$\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times (m\overrightarrow{v}) = 1 \cdot [(3\hat{i} - \hat{j}) \times (3\hat{j} + \hat{k})]$.
सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow{L} = 3\hat{i} \times 3\hat{j} + 3\hat{i} \times \hat{k} - \hat{j} \times 3\hat{j} - \hat{j} \times \hat{k}$.
इकाई सदिश के गुणों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$):
$\overrightarrow{L} = 9\hat{k} - 3\hat{j} - 0 - \hat{i} = -\hat{i} - 3\hat{j} + 9\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overrightarrow{L}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (9)^2} = \sqrt{1 + 9 + 81} = \sqrt{91}$.
अतः,$x = 91$ है।

(A) मूल बिंदु के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
एकसमान चाल $v$ से वृत्त में गति कर रहे कण के लिए,कोणीय संवेग का परिमाण $L = mvr_{\perp}$ है,जहाँ $r_{\perp}$ मूल बिंदु से वेग की रेखा तक की लंबवत दूरी है। चूंकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर नहीं है,इसलिए जैसे-जैसे कण वृत्त पर चलता है,मूल बिंदु के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}$ लगातार बदलता रहता है।
परिणामस्वरूप,जैसे-जैसे कण घूमता है,सदिश गुणनफल $\vec{r} \times \vec{v}$ का परिमाण और दिशा दोनों बदलते हैं। इसलिए,कोणीय संवेग परिमाण और दिशा दोनों में परिवर्तनशील है।

(B) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$,उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ का सदिश गुणनफल होता है।
$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$.
मान लीजिए कण की स्थिति $\vec{r} = x \hat{i} + b \hat{j}$ है,जहाँ $x$ $y$-अक्ष से क्षैतिज दूरी है और $b$ $x$-अक्ष से स्थिर लंबवत दूरी है।
कण का वेग $\vec{v} = v \hat{i}$ है (क्योंकि यह $x$-अक्ष के समानांतर गति करता है)।
अतः,$\vec{L} = (x \hat{i} + b \hat{j}) \times (m v \hat{i})$.
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{L} = (x \hat{i} \times m v \hat{i}) + (b \hat{j} \times m v \hat{i})$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{L} = 0 + m v b (-\hat{k}) = -m v b \hat{k}$.
इस प्रकार,कोणीय संवेग $-m v b \hat{k}$ है।

(C) किसी पिंड पर लगाया गया कोणीय आवेग उसके कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है,जिसे $\tau \Delta t = \Delta L = I \Delta \omega$ द्वारा दर्शाया जाता है।
एक खोखले बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $M = 2 \,kg$,त्रिज्या $R = 20 \,cm = 0.2 \,m$,कोणीय आवेग $= 20 \,Nms$।
जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2 = 2 \times (0.2)^2 = 2 \times 0.04 = 0.08 \,kg \cdot m^2$।
संबंध का उपयोग करते हुए: $20 = I \Delta \omega = 0.08 \times \Delta \omega$।
$\Delta \omega = \frac{20}{0.08} = \frac{2000}{8} = 250 \,rad/s$।

(A) किसी बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L$ उसके स्थिति सदिश $r$ और उसके रैखिक संवेग $p = mv$ के सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,$L = r \times p$।
कोणीय संवेग का परिमाण $L = m v r_{\perp}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_{\perp}$ मूल बिंदु $O$ से कण की गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
दिए गए चित्र से,कण $x$-अक्ष के समानांतर $x$-अक्ष से ($y$-दिशा में मूल बिंदु $O$ से) $b$ की स्थिर लंबवत दूरी पर गति कर रहा है।
इसलिए,लंबवत दूरी $r_{\perp} = b$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $L = m v b$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_0 = 8 \hat{j} \, m$ और वेग $\vec{v} = 3 \hat{i} \, m/s$ दिया गया है।
$t = 5 \, s$ समय पर कण की स्थिति $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}t = 8 \hat{j} + (3 \hat{i})(5) = 15 \hat{i} + 8 \hat{j} \, m$ होगी।
कण का संवेग $\vec{p} = m\vec{v} = (1)(3 \hat{i}) = 3 \hat{i} \, kg \cdot m/s$ है।
अब,$\vec{L} = (15 \hat{i} + 8 \hat{j}) \times (3 \hat{i}) = 15 \times 3 (\hat{i} \times \hat{i}) + 8 \times 3 (\hat{j} \times \hat{i})$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,इसलिए $\vec{L} = 0 + 24(-\hat{k}) = -24 \hat{k} \, kg \cdot m^2/s$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = u \cos 45^{\circ} = 20 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 20 \,m/s$ और $u_y = u \sin 45^{\circ} = 20 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 20 \,m/s$ हैं।
$t = 2 \,s$ के बाद,स्थिति निर्देशांक:
$x = u_x t = 20 \times 2 = 40 \,m$
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 20 \times 2 - \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 40 - 20 = 20 \,m$.
$t = 2 \,s$ पर वेग के घटक:
$v_x = u_x = 20 \,m/s$
$v_y = u_y - gt = 20 - 10 \times 2 = 0 \,m/s$.
मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{r} = 40 \hat{i} + 20 \hat{j}$ और $\vec{v} = 20 \hat{i} + 0 \hat{j}$.
$\vec{L} = 1 \times [(40 \hat{i} + 20 \hat{j}) \times (20 \hat{i})] = 1 \times [40 \times 20 (\hat{i} \times \hat{i}) + 20 \times 20 (\hat{j} \times \hat{i})]$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{L} = 400(-\hat{k}) = -400 \hat{k} \,kg \cdot m^2/s$.

(B) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से,मूल बिंदु के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times (m\vec{g})$ है।
चूंकि $\vec{g}$ नीचे की ओर ($-y$ दिशा) कार्य करता है,इसलिए $\vec{\tau} = (x\hat{i} + y\hat{j}) \times (-mg\hat{j}) = -xmg\hat{k}$.
बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = xmg = (v_x t)mg$ है।
कोणीय संवेग ज्ञात करने के लिए बल आघूर्ण का समाकलन करने पर: $L = \int_0^t \tau dt = \int_0^t (v_x t)mg dt = mg v_x \frac{t^2}{2}$.
दिया गया है: $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$v = 20\,ms^{-1}$,$\theta = 45^{\circ}$,$t = 2\,s$,$g = 10\,ms^{-2}$.
$v_x = v \cos 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\,ms^{-1}$.
$L = (0.1)(10)(10\sqrt{2}) \frac{2^2}{2} = 10 \times 10\sqrt{2} \times 2 = 20\sqrt{2} = \sqrt{400 \times 2} = \sqrt{800}$.
अतः,$K = 800$.

(B) रेखा का समीकरण $x - y + 4 = 0$ है。
मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L = mvd$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ चाल है,और $d$ गति की रेखा की मूल बिंदु से लंबवत दूरी है。
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है。
यहाँ,$A = 1$,$B = -1$,और $C = 4$ है। अतः,$d = \frac{|4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \,m$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 5 \,kg$ और चाल $v = 3\sqrt{2} \,m/s$ है。
इसलिए,$L = 5 \times (3\sqrt{2}) \times (2\sqrt{2}) = 5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60 \,kg \,m^2/s$.

(C) किसी बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $O$ (वृत्त का केंद्र) के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}$,$x-y$ तल में है और वेग $\vec{v}$,वृत्त के स्पर्शरेखीय है। कोणीय संवेग $\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$,$z$-अक्ष की दिशा में (गति के तल के लंबवत) होता है। चूंकि गति और त्रिज्या स्थिर हैं,इसलिए $\vec{L}_O$ का परिमाण और दिशा स्थिर रहते हैं।
बिंदु $P$ ($z$-अक्ष पर एक बिंदु) के लिए,$P$ से द्रव्यमान $m$ तक का स्थिति सदिश $\vec{r}'$ अपनी दिशा बदलता है जैसे-जैसे द्रव्यमान एक वृत्त में घूमता है। परिणामस्वरूप,सदिश गुणनफल $\vec{L}_P = \vec{r}' \times m\vec{v}$ की दिशा लगातार बदलती रहती है,भले ही इसका परिमाण स्थिर रहे। इसलिए,$\vec{L}_P$ समय के साथ बदलता है।
अतः,$\vec{L}_O$ स्थिर रहता है जबकि $\vec{L}_P$ समय के साथ बदलता है।

(C) माना छड़ का द्रव्यमान $m$ है। बिंदु $O$ से छड़ के द्रव्यमान केंद्र की दूरी $r_{cm} = L + L/2 = 3L/2$ है।
रैखिक आवेग $P = \Delta p = m v_{cm} = m (\omega r_{cm}) = m \omega (3L/2)$ है।
अतः, $P = \frac{3}{2} m \omega L$ --- $(i)$
बिंदु $O$ के परितः कोणीय आवेग $J_{\theta} = \int \tau dt = \Delta L_{ang}$ है।
आवेग $P$ बिंदु $O$ से $r = L + L/2 - x = 3L/2 - x$ की दूरी पर लगाया जाता है।
$P (3L/2 - x) = I_O \omega$, जहाँ $I_O$ बिंदु $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$I_O = I_{cm} + m(r_{cm})^2 = \frac{mL^2}{12} + m(3L/2)^2 = mL^2 (\frac{1}{12} + \frac{9}{4}) = \frac{7}{3} mL^2$ है।
अतः, $P (3L/2 - x) = (\frac{7}{3} mL^2) \omega$ --- $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$3L/2 - x = \frac{14}{9} L$
$x = \frac{3}{2} L - \frac{14}{9} L = \frac{1}{18} L$ प्राप्त होता है।
अतः, $n = 18$ है।

(D) प्रारंभिक वेग के घटक $v_x = v_0 \cos 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ और $v_y = v_0 \sin 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ हैं।
अधिकतम ऊँचाई $H$ पर,ऊर्ध्वाधर वेग घटक शून्य हो जाता है और क्षैतिज वेग $v_x = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ रहता है।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(v_0/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}$ है।
मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + H\hat{j}$ और वेग सदिश $\vec{v} = v_x\hat{i}$ है।
अतः,$\vec{L} = m(x\hat{i} + H\hat{j}) \times (v_x\hat{i}) = mH v_x (\hat{j} \times \hat{i}) = -mH v_x \hat{k}$.
मान रखने पर: $L = m \left( \frac{v_0^2}{4g} \right) \left( \frac{v_0}{\sqrt{2}} \right) = \frac{m v_0^3}{4 \sqrt{2} g}$.
दिशा ऋणात्मक $z$-अक्ष $(- \hat{k})$ की ओर है।