Angular Momentum and Angular Impulse Questions in Hindi

(C) किसी बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक द्रव्यमान के लिए,समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से वेग सदिश (जो भुजा के अनुदिश है) तक की लंबवत दूरी $r_{\perp}$ केंद्रक से भुजा तक की दूरी है।
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक से किसी भी भुजा की दूरी $r_{\perp} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ होती है।
प्रत्येक द्रव्यमान का वेग $V_0$ है जो त्रिभुज की भुजाओं के अनुदिश निर्देशित है।
केंद्रक के परितः एक द्रव्यमान का कोणीय संवेग $L_1 = m V_0 r_{\perp} = m V_0 \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)$ है।
चूंकि वेग इस प्रकार निर्देशित हैं कि तीनों द्रव्यमान समान घूर्णन दिशा (दक्षिणावर्त या वामावर्त) में कोणीय संवेग में योगदान करते हैं,इसलिए कुल कोणीय संवेग $L = 3 \times L_1$ होगा।
$L = 3 \times m V_0 \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{3}{2\sqrt{3}} m V_0 a = \frac{\sqrt{3}}{2} m V_0 a$.

(A) कण का स्थिति सदिश $\vec{r} = (1 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) \ m$ है।
वेग सदिश $\vec{v} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ m/s$ और द्रव्यमान $m = 4 \ kg$ है।
कोणीय संवेग $\vec{L}$ को सदिश गुणनफल $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m \vec{v})$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{L} = (\hat{i} + \hat{j}) \times [4 \times (4 \hat{i} + 2 \hat{j})]$.
$\vec{L} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (16 \hat{i} + 8 \hat{j})$.
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{L} = 16(\hat{i} \times \hat{i}) + 8(\hat{i} \times \hat{j}) + 16(\hat{j} \times \hat{i}) + 8(\hat{j} \times \hat{j})$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ है।
$\vec{L} = 0 + 8(\hat{k}) + 16(-\hat{k}) + 0 = 8 \hat{k} - 16 \hat{k} = -8 \hat{k} \ kg \cdot m^2/s$.

(C) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण के लिए,कोणीय संवेग को $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग सदिश $\vec{p}$ दोनों वृत्ताकार गति के तल में स्थित होते हैं।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ की दिशा गति के तल के लंबवत होती है।
चूंकि कण एक निश्चित वृत्ताकार पथ पर चलने के लिए बाध्य है,इसलिए गति का तल नहीं बदलता है।
अतः,गति में परिवर्तन के बावजूद,पूरी गति के दौरान कोणीय संवेग सदिश की दिशा स्थिर रहती है।

(B) कोणीय संवेग $L$ को सूत्र $L = I \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
एक ठोस गोले के लिए,उसकी घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
घूर्णन काल $T$ के पदों में कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ होता है।
इन मानों को कोणीय संवेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = I \omega = \left( \frac{2}{5} MR^2 \right) \left( \frac{2 \pi}{T} \right)$.
अतः,$L = \frac{4 \pi MR^2}{5 T}$।

(A) मूल बिंदु के सापेक्ष किसी कण का कोणीय संवेग $L$, उसके स्थिति सदिश $r$ और रैखिक संवेग $p = Mv$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
$L = r \times (Mv)$
चूंकि द्रव्यमान $M$, $X$-अक्ष के समानांतर एकसमान वेग $v$ से गति कर रहा है, हम इसकी स्थिति को $r = xi + yj$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $y$, $X$-अक्ष से लंबवत दूरी है जो स्थिर रहती है।
वेग सदिश $v = vi$ है।
कोणीय संवेग $L = (xi + yj) \times (Mvi) = Mv(xi \times i) + Mv(yj \times i)$ होगा।
चूंकि $i \times i = 0$ और $j \times i = -k$, हमें $L = -Mvyk$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M$, $v$, और $y$ सभी स्थिर हैं, इसलिए कोणीय संवेग $L$ का परिमाण और दिशा समय के साथ स्थिर रहते हैं।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: $m$ द्रव्यमान के कण का कोणीय संवेग $L$,जो $r$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग के साथ गति कर रहा है,$L = I\omega = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ द्रव्यमान $m$ और कोणीय वेग $\omega$ स्थिर रहते हैं।
प्रारंभ में,$L = m\omega r^2$ है।
जब डोरी की लंबाई आधी कर दी जाती है,तो नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ हो जाती है।
नया कोणीय संवेग $L'$ इस प्रकार है:
$L' = m\omega(r')^2 = m\omega\left(\frac{r}{2}\right)^2$
$L' = m\omega\left(\frac{r^2}{4}\right) = \frac{1}{4}(mr^2\omega)$
$L' = \frac{L}{4}$.

(A) अवधारणा: छड़ पर लगाया गया कोणीय आवेग उसके कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
द्रव्यमान केंद्र $O$ के परितः कोणीय आवेग $J_{\theta} = P \cdot \frac{l}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग $L = I \omega$ है,जहाँ $I = \frac{m l^2}{12}$ छड़ का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
कोणीय आवेग को कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर करने पर:
$P \cdot \frac{l}{2} = I \omega$
$P \cdot \frac{l}{2} = \left( \frac{m l^2}{12} \right) \omega$
कोणीय वेग $\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{P \cdot l}{2} \cdot \frac{12}{m l^2} = \frac{6 P}{m l}$
छड़ एक स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूमती है। $\Delta \theta = \frac{\pi}{2}$ कोण पर घूमने में लगा समय $\Delta t$ है:
$\Delta t = \frac{\Delta \theta}{\omega} = \frac{\pi / 2}{6 P / (m l)} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{m l}{6 P} = \frac{\pi m l}{12 P}$

(B) घूर्णी गतिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
इससे,हम लिख सकते हैं $L = \sqrt{2IE}$.
दिया गया है कि $I_1 = \frac{I_2}{3} \implies I_2 = 3I_1$ और $E_1 = 27E_2$.
कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\sqrt{2I_1E_1}}{\sqrt{2I_2E_2}}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{E_1}{E_2}} = \sqrt{\frac{I_1}{3I_1} \cdot \frac{27E_2}{E_2}}$.
$\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 27} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$L_1 : L_2$ का अनुपात $3: 1$ है।

(B) किसी कण का कोणीय संवेग उसके स्थिति सदिश और रैखिक संवेग के क्रॉस गुणनफल द्वारा परिभाषित होता है: $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}$.
क्रॉस गुणनफल के गुणों के अनुसार,सदिश $\overrightarrow{L}$,$\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{p}$ दोनों के लंबवत होता है।
कोणीय संवेग का परिमाण $L = rp \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$,$\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{p}$ के बीच का कोण है।
परिमाण $L$ के अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर होता है।
इसलिए,$\overrightarrow{L}$ तब अधिकतम होता है जब $\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{r}$ के लंबवत होता है।

(A) बल आघूर्ण $(\tau)$ और कोणीय संवेग में परिवर्तन $(\Delta L)$ के बीच का संबंध कोणीय आवेग-संवेग प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $\Delta L = \int \tau dt$.
चूंकि बल आघूर्ण नियत है, इसलिए कोणीय संवेग में परिवर्तन बल आघूर्ण और समय का गुणनफल होता है: $\Delta L = \tau \times \Delta t$.
दिया गया है:
बल आघूर्ण $(\tau)$ = $200 \, N-m$
समय $(\Delta t)$ = $4 \, s$
गणना:
$\Delta L = 200 \, N-m \times 4 \, s = 800 \, kg-m^{2}/s$.
अतः, कोणीय संवेग में परिवर्तन $800 \, kg-m^{2}/s$ है।

(A) टॉर्क $\tau$ और कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L$ के बीच का संबंध घूर्णन के लिए आवेग-संवेग प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $\Delta L = \int \tau \ dt$.
चूंकि टॉर्क $\tau = 50 \ Nm$ स्थिर है और $8 \ s$ के समय अंतराल के लिए कार्य करता है,इसलिए कोणीय संवेग में परिवर्तन है:
$\Delta L = \tau \times \Delta t$
$\Delta L = 50 \ Nm \times 8 \ s$
$\Delta L = 400 \ kg \cdot m^2/s$.
अतः,कोणीय संवेग में परिवर्तन $400 \ kg \cdot m^2/s$ है।

(A) किसी बिंदु $O$ के परितः कण का कोणीय संवेग $L$ सदिश गुणनफल $L = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग का परिमाण $L = mvr \sin(\theta)$ है,जहाँ $r$ मूल बिंदु $O$ से कण का स्थिति सदिश है,$v$ वेग है,और $\theta$ $\vec{r}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण है।
इसे $L = mv d$ के रूप में भी लिखा जा सकता है,जहाँ $d = r \sin(\theta)$ मूल बिंदु $O$ से कण की गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
चूंकि कण एक सीधी रेखा में गति कर रहा है,इसलिए मूल बिंदु $O$ से गति की रेखा की लंबवत दूरी $d$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ और गति $v$ भी स्थिर हैं (एकसमान गति),इसलिए गुणनफल $mvd$ स्थिर रहता है।
अतः,$A$ से $B$ तक की गति के दौरान $O$ के परितः कण का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

(C) रेखा का समीकरण $y = x + a$ है। इसे $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m_{slope} = 1$ प्राप्त होता है। चूँकि $\tan \theta = m_{slope} = 1$,इसलिए कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
वेग सदिश $\vec{v}$,धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। अतः,$\vec{v} = v \cos 45^{\circ} \hat{i} + v \sin 45^{\circ} \hat{j} = \frac{v}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j})$ है।
मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m (\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x - y + a = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|(1)(0) - (1)(0) + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
कोणीय संवेग का परिमाण $L = mvd = m v \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) = \frac{mva}{\sqrt{2}}$ होगा।

(B) दिया गया है: व्यास $D = 1 \,m$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \,m$। द्रव्यमान $m = 20 \,kg$। आवृत्ति $n = 120$ चक्कर प्रति मिनट $= 2$ चक्कर प्रति सेकंड।
अपनी धुरी के परितः फ्लाईव्हील (डिस्क) का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ होता है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14 \times 2 = 12.56 \,rad/s$।
कोणीय संवेग $L = I\omega = (\frac{1}{2}mr^2) \times (2\pi n)$।
मान रखने पर: $L = \frac{20 \times (0.5)^2}{2} \times 2 \times 3.14 \times 2$।
$L = 5 \times 3.14 \times 2 = 31.4 \,kg-m^2/s$।

(C) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,कण का वेग पूरी तरह से क्षैतिज होता है,जो $v_x = u \cos \theta$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर कण का स्थिति सदिश $\vec{r} = x \hat{i} + h_{\max} \hat{j}$ है,जहाँ $h_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
संवेग $\vec{p} = m v_x \hat{i} = m u \cos \theta \hat{i}$ है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = (x \hat{i} + h_{\max} \hat{j}) \times (m u \cos \theta \hat{i}) = -m u \cos \theta h_{\max} \hat{k}$ है।
इसका परिमाण $L = m u \cos \theta \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m u^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{2g}$ है।
अतः,$L \propto u^3$ है।

(A) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{r} = x(t) \hat{i} + b \hat{j}$ और $\vec{v} = v \hat{i}$ दिया गया है।
$\vec{L} = (x(t) \hat{i} + b \hat{j}) \times (m v \hat{i}) = x(t) m v (\hat{i} \times \hat{i}) + b m v (\hat{j} \times \hat{i})$.
चूँकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,हमें $\vec{L} = -b m v \hat{k}$ प्राप्त होता है।
कोणीय संवेग का परिमाण $|\vec{L}| = | -b m v | = b m v$ है।
चूँकि $b$,$m$,और $v$ सभी नियतांक हैं,कोणीय संवेग का परिमाण $|\vec{L}|$ स्थिर रहता है और यह कोण $\theta$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,$|\vec{L}|$ और $\theta$ के बीच का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा होगा।

(A) बिंदु $O$ के परितः किसी कण का कोणीय संवेग $L$ सूत्र $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है। इसका परिमाण $L = mvr \sin \theta$ है,जहाँ $r \sin \theta$ बिंदु $O$ से गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
कण $A$ के लिए: $m_A = 6.5 \ kg$,$v_A = 2.2 \ m/s$,और लंबवत दूरी $r_A = 1.5 \ m$ है। गति दक्षिणावर्त (clockwise) है,इसलिए $L_A = -m_A v_A r_A = -(6.5 \times 2.2 \times 1.5) = -21.45 \ kg \ m^2/s$ है।
कण $B$ के लिए: $m_B = 3.1 \ kg$,$v_B = 3.6 \ m/s$,और लंबवत दूरी $r_B = 2.8 \ m$ है। गति वामावर्त (counter-clockwise) है,इसलिए $L_B = +m_B v_B r_B = +(3.1 \times 3.6 \times 2.8) = +31.248 \ kg \ m^2/s$ है।
कुल कोणीय संवेग $L = L_A + L_B = -21.45 + 31.248 = 9.798 \ kg \ m^2/s \approx 9.8 \ kg \ m^2/s$ है।

(D) स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$ होता है,तो वेग सदिश $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ भी अपना चिह्न बदलकर $-\vec{v}$ हो जाता है।
रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ अपना चिह्न बदलकर $-m\vec{v} = -\vec{p}$ हो जाता है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ अपना चिह्न बदलकर $-\vec{a}$ हो जाता है।
कोणीय संवेग को $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$ और $\vec{v} \rightarrow -\vec{v}$ होता है,तो नया कोणीय संवेग $\vec{L}' = (-\vec{r}) \times (-m\vec{v}) = (-1)(-1)(\vec{r} \times m\vec{v}) = \vec{L}$ होता है।
अतः,कोणीय संवेग अपना चिह्न नहीं बदलता है।

(B) एक कण का दूसरे कण के सापेक्ष कोणीय संवेग $L = m \cdot v_{\text{rel}} \cdot r_{\perp}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कार $A$ का द्रव्यमान $m = 10^3 \text{ kg}$ है।
कार $B$ के सापेक्ष कार $A$ का सापेक्ष वेग $v_{\text{rel}} = v_A - v_B = 72 \text{ km/h} - 36 \text{ km/h} = 36 \text{ km/h}$ है।
सापेक्ष वेग को $SI$ इकाइयों में बदलने पर: $v_{\text{rel}} = 36 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 10 \text{ m/s}$।
पटरियों के बीच की लंबवत दूरी $r_{\perp} = 10 \text{ m}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $L = 1000 \times 10 \times 10 = 10^5 \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$ (या $\text{J} \cdot \text{s}$)।