Velocity of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર $x = \frac{2A}{3}$ પર,વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{2A}{3})^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\sqrt{5}A\omega}{3}$ છે.
જ્યારે ઝડપ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વેગ $v' = 3v = 3 \times \frac{\sqrt{5}A\omega}{3} = \sqrt{5}A\omega$ થાય છે.
ધારો કે નવો કંપવિસ્તાર $A'$ છે. સમાન સ્થાન $x = \frac{2A}{3}$ પર નવો વેગ $v' = \omega \sqrt{(A')^2 - x^2}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\sqrt{5}A\omega = \omega \sqrt{(A')^2 - (\frac{2A}{3})^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $5A^2 = (A')^2 - \frac{4A^2}{9}$.
$(A')^2 = 5A^2 + \frac{4A^2}{9} = \frac{45A^2 + 4A^2}{9} = \frac{49A^2}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $A' = \frac{7A}{3}$.
આને $\frac{nA}{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 7$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \ m$ છે.
આવર્તકાળ $T = 3.14 \ s$. આપણે જાણીએ છીએ કે $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$3.14 = \frac{2 \times 3.14}{\omega}$,તેથી $\omega = 2 \ rad/s$ મળે છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)\right]$.
$v = 10 \omega \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
$t = 0$ સમયે,વેગ $v = 10 \times 2 \times \cos \left(0 + \frac{\pi}{3}\right)$ થશે.
$v = 20 \times \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \ m/s$.

(A) $\text{સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ } (V_{\max}) \text{ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: } V_{\max} = \omega A$.
અહીં, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$, જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આપેલ છે: $A = 0.06 \,m$ અને $T = 3.14 \,s \approx \pi \,s$.
કિંમતો મૂકતા:
$V_{\max} = \left(\frac{2\pi}{\pi}\right) \times 0.06 = 2 \times 0.06 = 0.12 \,m/s$.
વેગને $cm/s$ માં ફેરવવા માટે, આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$V_{\max} = 0.12 \times 100 = 12 \,cm/s$.

(A) આપેલ છે: સ્થાન $x = 4 \ m$,વેગ $v = 2 \ ms^{-1}$,પ્રવેગ $a = 16 \ ms^{-2}$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $16 = \omega^2(4) \Rightarrow \omega^2 = 4 \Rightarrow \omega = 2 \ rad/s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં વેગનું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) \Rightarrow \frac{v^2}{\omega^2} = A^2 - x^2$.
$A$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $A^2 = \frac{v^2}{\omega^2} + x^2$.
કિંમતો મૂકતા: $A^2 = \frac{2^2}{2^2} + 4^2 = \frac{4}{4} + 16 = 1 + 16 = 17$.
તેથી,$A = \sqrt{17} \ m$. આને $\sqrt{x} \ m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 17$ મળે છે.

(C) $S.H.M.$ માં રહેલા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x$ પર વેગ $V$ નું સૂત્ર $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ છે અને પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે.
પ્રવેગના સમીકરણ પરથી,$x = -a/\omega^2$ મળે છે.
આ કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $V^2 = \omega^2 A^2 - a^2/\omega^2$.
બે સ્થિતિઓ માટે:
$V_1^2 = \omega^2 A^2 - a_1^2/\omega^2$
$V_2^2 = \omega^2 A^2 - a_2^2/\omega^2$
બંનેની બાદબાકી કરતા: $V_1^2 - V_2^2 = (a_2^2 - a_1^2)/\omega^2$.
બે સ્થિતિઓ વચ્ચેનું અંતર $d = |x_1 - x_2| = |(-a_1/\omega^2) - (-a_2/\omega^2)| = |a_2 - a_1|/\omega^2$.
બાદબાકીના પરિણામ પરથી,$1/\omega^2 = (V_1^2 - V_2^2) / (a_2^2 - a_1^2)$.
આ કિંમત અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા: $d = |a_2 - a_1| \cdot \frac{V_1^2 - V_2^2}{a_2^2 - a_1^2} = \frac{V_1^2 - V_2^2}{a_2 + a_1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) કણનું સ્થાનાંતર $x = A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$ અને $\omega = 2 \pi \text{ rad/s}$ છે.
કણનો વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t)$.
ઝડપ $|v| = A \omega |\sin(\omega t)|$ છે.
મહત્તમ ઝડપ ત્યારે મળે છે જ્યારે $|\sin(\omega t)| = 1$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$.
પ્રથમ વખત માટે,$\omega t = \frac{\pi}{2}$ લો.
$\omega = 2 \pi$ મૂકતા,આપણને $2 \pi t = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = 1/4 \text{ s}$ મળે છે.

(D) $S.H.M.$ માં '$x$' સ્થાનાંતરે કણની ઝડપ $u = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણની મહત્તમ ઝડપ $V_{\text{max}} = a\omega$ છે.
આપેલ છે કે ઝડપ '$u$' એ મહત્તમ ઝડપ કરતા અડધી છે,તેથી $u = \frac{V_{\text{max}}}{2} = \frac{a\omega}{2}$.
ઝડપ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{a\omega}{2} = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$.
બંને બાજુથી $\omega$ દૂર કરતા: $\frac{a}{2} = \sqrt{a^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{a^2}{4} = a^2 - x^2$.
'$x^2$' માટે ગોઠવતા: $x^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.

(A) કણનું સ્થાનાંતર $x = A \cos(\omega t + \pi/6)$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \pi/6)$.
ઝડપ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે વેગનું મૂલ્ય $|v|$ મહત્તમ હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $|\sin(\omega t + \pi/6)| = 1$ હોય.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $(\omega t + \pi/6) = \pi/2$ હોય.
$\omega t + \pi/6 = \pi/2$ લેતા,આપણને $\omega t = \pi/2 - \pi/6 = 3\pi/6 - \pi/6 = 2\pi/6 = \pi/3$ મળે છે.
તેથી,$t = \frac{\pi}{3 \omega} \text{ s}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1 \,kg$, બળ અચળાંક $k = 4 \,N/m$, વેગ $v = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$, કંપવિસ્તાર $A = 0.4 \,m$.
પ્રથમ, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{4/1} = 2 \,rad/s$ ગણો.
$S.H.M.$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.2 = 2 \sqrt{0.4^2 - x^2}$.
$2$ વડે ભાગતા: $0.1 = \sqrt{0.16 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $0.01 = 0.16 - x^2$.
$x^2$ માટે ગોઠવતા: $x^2 = 0.16 - 0.01 = 0.15$.
તેથી, સ્થાનાંતર $x = \sqrt{0.15} \,m$ થાય.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં આવર્તકાળ $T$ આપેલ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ થશે.
$x = \frac{a}{2}$ સ્થાને વેગ:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi a}{T}$.

(C) મધ્યમાન સ્થાને વેગ મહત્તમ હોય છે, જે $v_{\max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = 4 \,cm$ અને $v_{\max} = 12 \,cm/s$ આપેલ છે.
તેથી, $\omega = \frac{v_{\max}}{A} = \frac{12}{4} = 3 \,rad/s$.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$.
$x$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $x^2 = A^2 - \frac{v^2}{\omega^2}$.
કિંમતો $A = 4$, $v = 6$ અને $\omega = 3$ મૂકતા:
$x^2 = 4^2 - \frac{6^2}{3^2} = 16 - \frac{36}{9} = 16 - 4 = 12$.
તેથી, $x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \,cm$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,$x$ સ્થાનાંતરે વેગ $V$ નું સૂત્ર $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ મળે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2)$ --- $(1)$
$V_2^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V_1^2}{V_2^2} = \frac{A^2 - x_1^2}{A^2 - x_2^2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$V_1^2(A^2 - x_2^2) = V_2^2(A^2 - x_1^2)$
$V_1^2 A^2 - V_1^2 x_2^2 = V_2^2 A^2 - V_2^2 x_1^2$
$A^2$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$A^2(V_1^2 - V_2^2) = V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2$
$A^2 = \frac{V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}$
વર્ગમૂળ લેતા,કંપવિસ્તાર મળે છે:
$A = \sqrt{\frac{V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}}$

(C) આપેલ છે:
- પ્રારંભિક મહત્તમ વેગ $V = A\omega$ છે.
- કંપવિસ્તાર બમણો થાય છે: $A' = 2A$.
- આવર્તકાળ ત્રીજા ભાગનો થાય છે: $T' = \frac{T}{3}$.
પગલું $1$: નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega'$ શોધો.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,નવી કોણીય આવૃત્તિ:
$\omega' = \frac{2\pi}{T'} = \frac{2\pi}{T/3} = 3 \left(\frac{2\pi}{T}\right) = 3\omega$.
પગલું $2$: નવો મહત્તમ વેગ $V'$ શોધો.
મહત્તમ વેગનું સૂત્ર $V_{\max} = A\omega$ છે.
$V' = A' \omega' = (2A)(3\omega) = 6(A\omega)$.
$V = A\omega$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$V' = 6V$.

(D) ધારો કે બે ક્ષણો પર કણના સ્થાન $x_1$ અને $x_2$ છે.
$SHM$ માં પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મૂલ્યો ધ્યાનમાં લેતા,$a_1 = \omega^2 |x_1|$ અને $a_2 = \omega^2 |x_2|$.
$SHM$ માં વેગ $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ક્ષણ માટે: $u^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ . . . $(i)$
બીજી ક્ષણ માટે: $V^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ . . . $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $u^2 - V^2 = \omega^2 (x_2^2 - x_1^2) = \omega^2 (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ . . . $(iii)$
પ્રવેગના સમીકરણો પરથી: $a_2 - a_1 = \omega^2 (x_2 - x_1)$ (ધારો કે $x_2 > x_1$).
જો કે,સ્થાન વચ્ચેનું અંતર $|x_2 - x_1|$ છે.
$a_1 = \omega^2 x_1$ અને $a_2 = \omega^2 x_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x_1 = a_1/\omega^2$ અને $x_2 = a_2/\omega^2$ મળે છે.
વેગના તફાવતમાં કિંમત મૂકતા: $u^2 - V^2 = \omega^2 (x_2^2 - x_1^2) = \omega^2 (a_2^2/\omega^4 - a_1^2/\omega^4) = \frac{1}{\omega^2} (a_2^2 - a_1^2)$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega^2 = \frac{a_2^2 - a_1^2}{u^2 - V^2}$.
અંતર $d = |x_2 - x_1| = |\frac{a_2 - a_1}{\omega^2}| = |\frac{a_2 - a_1}{(a_2^2 - a_1^2)/(u^2 - V^2)}| = |\frac{u^2 - V^2}{a_2 + a_1}|$.
આમ,અંતર $\frac{u^2 - V^2}{a_1 + a_2}$ છે.

(B) $S.H.M.$ કરતા કણની મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે ઝડપ $V$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ અને સ્થાનાંતર $x = \frac{a}{3}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2 - (\frac{a}{3})^2}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{9}}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{\frac{8 a^2}{9}}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \times \frac{2 \sqrt{2} a}{3}$
$V = \frac{4 \sqrt{2} \pi a}{3 T}$

(C) $S.H.M.$ માં $x$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ વેગ $V_{\max} = \omega A$ છે.
આપેલ છે કે ઝડપ $V = \frac{V_{\max}}{3} = \frac{\omega A}{3}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\omega A}{3} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{A^2}{9} = A^2 - x^2$.
$x^2$ માટે ગોઠવતા: $x^2 = A^2 - \frac{A^2}{9} = \frac{8A^2}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x = \sqrt{\frac{8}{9} A^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} A$.

(A) ધારો કે બે ક્ષણો પર કણના સ્થાન $x_1$ અને $x_2$ છે.
$S.H.M.$ માં,પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે. મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા,$\alpha = \omega^2 |x_1|$ અને $\beta = \omega^2 |x_2|$.
આમ,$|x_1| = \frac{\alpha}{\omega^2}$ અને $|x_2| = \frac{\beta}{\omega^2}$.
$S.H.M.$ માં વેગ $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ક્ષણ માટે: $u^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ . . . $(i)$
બીજી ક્ષણ માટે: $v^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ . . . $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $u^2 - v^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2) = \omega^2(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.
જેમ કે $\alpha = \omega^2 x_1$ અને $\beta = \omega^2 x_2$,આપણી પાસે $\alpha + \beta = \omega^2(x_1 + x_2)$ છે.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $u^2 - v^2 = \omega^2(x_2 - x_1) \cdot \frac{\alpha + \beta}{\omega^2}$.
તેથી,બે સ્થાન વચ્ચેનું અંતર $|x_2 - x_1| = \frac{u^2 - v^2}{\alpha + \beta}$ છે.

(D) $S.H.M.$ માં કણનો મહત્તમ વેગ $V = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આપેલ છે કે નવો આવર્તકાળ $T' = \frac{1}{3}T$ અને નવો કંપવિસ્તાર $A' = 2A$ છે.
નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \frac{2\pi}{T'} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}T} = 3 \left(\frac{2\pi}{T}\right) = 3\omega$ થશે.
નવો મહત્તમ વેગ $V' = A'\omega'$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V' = (2A) \times (3\omega) = 6(A\omega) = 6V$.

(B) સ્થાનાંતર માટે આપેલા સમીકરણો:
$y_1 = 0.1 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{3} \right)$
$y_2 = 0.1 \cos (100 \pi t) = 0.1 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2} \right)$
વેગ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos \left(100 \pi t + \frac{\pi}{3} \right) = 10 \pi \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \pi \sin \left(100 \pi t + \frac{5\pi}{6} \right)$
$v_2 = \frac{dy_2}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \pi \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \pi \sin (100 \pi t + \pi)$
$v_1$ ની કળા $\phi_1 = 100 \pi t + \frac{5\pi}{6}$ છે અને $v_2$ ની કળા $\phi_2 = 100 \pi t + \pi$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2 = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}$.

(B) કણનું સ્થાનાંતર $x = a \sin (\omega t - \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતરનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [a \sin (\omega t - \phi)] = a \omega \cos (\omega t - \phi)$.
હવે,આપેલ સમય $t = \frac{\phi}{\omega}$ ને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = a \omega \cos \left( \omega \left( \frac{\phi}{\omega} \right) - \phi \right)$.
$v = a \omega \cos (\phi - \phi) = a \omega \cos (0)$.
કારણ કે $\cos 0^{\circ} = 1$,તેથી:
$v = a \omega \times 1 = a \omega$.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ: $S.H.M.$ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
મહત્તમ ઝડપ $V = A \omega$ છે.
એક સંપૂર્ણ સમયગાળા $T$ માં,કણ કુલ $4A$ જેટલું અંતર કાપે છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4A}{T}$.
જેમ કે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ અને $\omega = \frac{V}{A}$,તેથી $T = \frac{2\pi A}{V}$ મળે.
સરેરાશ ઝડપના સૂત્રમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{4A}{\left(\frac{2\pi A}{V}\right)} = \frac{4A \cdot V}{2\pi A} = \frac{2V}{\pi}$.

(C) રેખીય $S.H.M$ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = a \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 5 \sin(4t - \frac{\pi}{6})$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $a = 5 \ cm$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \ rad/s$ મળે છે.
$S.H.M$ માં $x$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $v$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$
આપેલ કિંમતો $a = 5 \ cm$,$x = 3 \ cm$ અને $\omega = 4 \ rad/s$ મૂકતા:
$v = 4 \sqrt{5^2 - 3^2}$
$v = 4 \sqrt{25 - 9}$
$v = 4 \sqrt{16}$
$v = 4 \times 4 = 16 \ cm/s$.
આમ,કણનો વેગ $16 \ cm/s$ છે.

(D) $S.H.M.$ માં,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યમાન સ્થિતિ $(x = 0)$ પર,વેગ મહત્તમ $(v_{max} = A\omega)$ હોય છે.
પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યમાન સ્થિતિ $(x = 0)$ પર,પ્રવેગ ન્યૂનતમ $(a = 0)$ હોય છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ હંમેશા મધ્યમાન સ્થિતિ તરફ હોય છે.
કુલ ઉર્જા $E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}kA^2$ દરેક સમયે અચળ રહે છે.
તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે મધ્યમાન સ્થિતિએ વેગ ન્યૂનતમ નહીં પણ મહત્તમ હોય છે.

(D) આપેલ છે,$x = A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
જ્યારે $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) = -1$ થાય ત્યારે વેગનું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે ફેઝ એંગલ $\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\pi}{2}$ થાય.
$\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies \omega t = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
$t = \frac{5\pi}{4\omega}$.
જોકે,આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રશ્ન એવા સમયની વાત કરે છે જ્યારે કણ સંતુલન સ્થિતિ $(x=0)$ પર પહોંચે છે. $\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ લેતા,$\omega t = \frac{\pi}{4}$ મળે છે,તેથી $t = \frac{\pi}{4\omega}$.

(B) આપેલ છે: આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \text{ s}$, કુલ પથ લંબાઈ $= 4 \text{ cm}$.
કંપવિસ્તાર $A = \frac{\text{પથ લંબાઈ}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2 \pi / \sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ rad/s}$.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 |x|$ અને વેગનું મૂલ્ય $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
આપેલ છે કે $v = a$, તેથી $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 |x|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\omega^2 (A^2 - x^2) = \omega^4 x^2$.
$\omega^2$ વડે ભાગતા: $A^2 - x^2 = \omega^2 x^2$.
કિંમતો મૂકતા: $2^2 - x^2 = (\sqrt{3})^2 x^2$.
$4 - x^2 = 3x^2 \implies 4x^2 = 4 \implies x^2 = 1$.
આમ, $x = 1 \text{ cm}$.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{max} = \omega A = \frac{2 \pi}{T} A$.
અહીં,$A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક મહત્તમ વેગ $v = \frac{2 \pi A}{T}$ છે.
જો કંપવિસ્તાર ત્રણ ગણો $(A' = 3A)$ અને આવર્તકાળ બમણો $(T' = 2T)$ કરવામાં આવે,તો નવો મહત્તમ વેગ $V'_{max}$ નીચે મુજબ થશે:
$V'_{max} = \frac{2 \pi A'}{T'} = \frac{2 \pi (3A)}{2T} = \frac{3}{2} \left( \frac{2 \pi A}{T} \right) = 1.5 v$.
તેથી,નવો મહત્તમ વેગ $1.5 v$ થશે.

(B) $S.H.M.$ માં કણનો પ્રવેગ $a = \omega^2 x$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
અહીં $a = 0.5 \,m/s^2$ અને $x = 0.02 \,m$ આપેલ છે.
$\omega^2 = \frac{a}{x} = \frac{0.5}{0.02} = 25 \,rad^2/s^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\omega = 5 \,rad/s$ મળે છે.
મહત્તમ વેગ $V_{\max}$ નું સૂત્ર $V_{\max} = A \omega$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
અહીં $A = 0.1 \,m$ આપેલ છે.
તેથી,$V_{\max} = 0.1 \times 5 = 0.5 \,m/s$.

(D) $S.H.M.$ માં $x$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઝડપ $V_{\max}$ મધ્યમાન સ્થિતિએ મળે છે અને તે $V_{\max} = A\omega$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઝડપ $V$ એ મહત્તમ ઝડપના ચોથા ભાગની છે:
$V = \frac{1}{4} V_{\max}$
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \frac{1}{4} (A\omega)$
$\sqrt{A^2 - x^2} = \frac{A}{4}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A^2 - x^2 = \frac{A^2}{16}$
$x^2 = A^2 - \frac{A^2}{16} = \frac{15A^2}{16}$
$x = \frac{A\sqrt{15}}{4}$

(C) આપેલ છે,$y_{1} = 2 \sin (10 t + \theta)$.
વેગ $V_{1} = \frac{dy_{1}}{dt} = 2 \times 10 \cos (10 t + \theta) = 20 \cos (10 t + \theta)$.
આપેલ છે,$y_{2} = 3 \cos 10 t = 3 \sin (10 t + \frac{\pi}{2})$.
વેગ $V_{2} = \frac{dy_{2}}{dt} = 3 \times 10 \cos (10 t + \frac{\pi}{2}) = 30 \cos (10 t + \frac{\pi}{2})$.
$V_{1}$ ની કળા $\phi_{1} = 10 t + \theta$ છે.
$V_{2}$ ની કળા $\phi_{2} = 10 t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_{1} - \phi_{2} = (10 t + \theta) - (10 t + \frac{\pi}{2}) = \theta - \frac{\pi}{2}$.

(B) $S.H.M.$ માં સ્થાનાંતર $x$ પર કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = \frac{2A}{3}$ પર,વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{2A}{3})^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \omega A$ છે.
જ્યારે ઝડપ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વેગ $v' = 3v = 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \omega A = \sqrt{5} \omega A$ થાય.
$S.H.M.$ ની કુલ ઉર્જા કોઈપણ બિંદુએ અચળ રહે છે,તેથી $E' = K' + U$.
નવી કુલ ઉર્જા $E' = \frac{1}{2} m \omega^2 A'^2$ છે.
$x = \frac{2A}{3}$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{2A}{3})^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{4A^2}{9}$ છે.
નવી ગતિ ઉર્જા $K' = \frac{1}{2} m v'^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{5} \omega A)^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (5A^2)$ છે.
કુલ ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} m \omega^2 A'^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{4A^2}{9}) + \frac{1}{2} m \omega^2 (5A^2)$.
$A'^2 = \frac{4A^2}{9} + 5A^2 = A^2 (\frac{4+45}{9}) = \frac{49A^2}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$A' = \frac{7A}{3}$ મળે છે.

(A) $S.H.M.$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
આપેલ છે: $m = 10 \ kg$,$k = 10 \ N/m$,$A = 0.5 \ m$,અને $v = 40 \ cm/s = 0.4 \ m/s$.
પ્રથમ,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{10}{10}} = 1 \ rad/s$ ગણો.
હવે,કિંમતોને વેગના સમીકરણમાં મૂકો: $0.4 = 1 \cdot \sqrt{(0.5)^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $0.16 = 0.25 - x^2$.
$x^2$ માટે ગોઠવતા: $x^2 = 0.25 - 0.16 = 0.09$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x = 0.3 \ m$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો $x$ સ્થાનાંતરે વેગ $v$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
અહીં આપેલ છે કે કણ મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ ની વચ્ચે અડધે રસ્તે છે,તેથી સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ થશે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ છે.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{\frac{3 A^2}{4}}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \times \frac{\sqrt{3} A}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi A}{T}$

(D) સંતુલન સ્થિતિથી શરૂઆત કરતા $S.H.M.$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ છે: $v = \pi \ m \ s^{-1}$,$T = 16 \ s$,અને $t = 2 \ s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad \ s^{-1}$ છે.
વેગના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\pi = A \times \frac{\pi}{8} \times \cos\left(\frac{\pi}{8} \times 2\right)$
$\pi = A \times \frac{\pi}{8} \times \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$1 = \frac{A}{8} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$A = 8\sqrt{2} \ m$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\max} = A \omega$ છે, જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે。
આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 50 \,mm = 50 \times 10^{-3} \,m = 0.05 \,m$.
આવર્તકાળ $T = 2 \,s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2} = \pi \,rad/s$.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\max} = 0.05 \times \pi \approx 0.05 \times 3.14159 = 0.157 \,ms^{-1}$.
આમ, આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $0.15 \,ms^{-1}$ છે।

(C) $SHM$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$SHM$ માં કણનો પ્રવેગ $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રવેગનું મૂલ્ય વેગના મૂલ્ય જેટલું છે:
$\omega^2 x = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
$\omega x = \sqrt{A^2 - x^2}$ (સમીકરણ $i$)
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \,s$ આપેલ હોવાથી,કોણીય આવૃત્તિ:
$\omega = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{3} \,rad/s$.
$\omega$ ની કિંમત સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$\sqrt{3} x = \sqrt{A^2 - x^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3x^2 = A^2 - x^2$
$4x^2 = A^2 \Rightarrow A = 2x$.
પથ લંબાઈ $4 \,cm$ છે,તેથી કંપવિસ્તાર $A = \frac{\text{પથ લંબાઈ}}{2} = 2 \,cm$.
$A = 2 \,cm$ ને $A = 2x$ માં મૂકતા:
$2 = 2x \Rightarrow x = 1 \,cm$.

(D) $S.H.M.$ માં વેગ માટેનું સમીકરણ આપેલ છે: $4V^2 = 50 - x^2$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$V^2 = \frac{1}{4}(50 - x^2) = \frac{1}{4}(50 - x^2)$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત $S.H.M.$ વેગ સમીકરણ $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ સાથે સરખાવતા,આપેલ સમીકરણને $V^2 = \frac{1}{4} \cdot 50 - \frac{1}{4}x^2$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega^2 = \frac{1}{4}$,તેથી $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા,$T = 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \text{ સેકન્ડ}$ મળે છે.
આને આપેલ આવર્તકાળ $\frac{x}{7}$ સાથે સરખાવતા,$x = 88$ મળે છે.

(B) $S.H.M.$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x_1 = 3 \ cm$ માટે,$v_1 = 8 \ cm/s$: $8 = \omega \sqrt{A^2 - 3^2} \implies 8 = \omega \sqrt{A^2 - 9}$ ... $(i)$
$x_2 = 4 \ cm$ માટે,$v_2 = 6 \ cm/s$: $6 = \omega \sqrt{A^2 - 4^2} \implies 6 = \omega \sqrt{A^2 - 16}$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{8}{6} = \frac{\sqrt{A^2 - 9}}{\sqrt{A^2 - 16}} \implies \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{A^2 - 9}}{\sqrt{A^2 - 16}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{16}{9} = \frac{A^2 - 9}{A^2 - 16} \implies 16(A^2 - 16) = 9(A^2 - 9)$
$16A^2 - 256 = 9A^2 - 81 \implies 7A^2 = 175 \implies A^2 = 25 \ cm^2$.
$A^2 = 25$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$6 = \omega \sqrt{25 - 16} = \omega \sqrt{9} = 3\omega \implies \omega = 2 \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$ મળે છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિથી શરૂ થતા $S.H.M.$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t) \dots (i)$ છે.
આપેલ છે: $v = \pi \ m/s$,$T = 12 \ s$,અને $t = 2 \ s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6} \ rad/s$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\pi = A \times \frac{\pi}{6} \times \cos\left(\frac{\pi}{6} \times 2\right)$
$\pi = A \times \frac{\pi}{6} \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5 = \frac{1}{2}$,તેથી:
$1 = \frac{A}{6} \times \frac{1}{2}$
$1 = \frac{A}{12}$
$A = 12 \ m$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ ($S$.$H$.$M$.) કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $(V_{\max})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{\max} = A \omega$,જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 7 \ mm = 7 \times 10^{-3} \ m$,મહત્તમ વેગ $V_{\max} = 4.4 \ ms^{-1}$,અને $\pi = \frac{22}{7}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $4.4 = (7 \times 10^{-3}) \times \left(\frac{2 \times 22/7}{T}\right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $4.4 = (7 \times 10^{-3}) \times \left(\frac{44}{7T}\right)$.
$4.4 = \frac{44 \times 10^{-3}}{T}$.
$T = \frac{44 \times 10^{-3}}{4.4} = 10 \times 10^{-3} = 0.01 \ s$.

(C) $S.H.M.$ માં મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ અંતરે કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ મળે.
આપેલ શરતો માટે:
$V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2)$ $(i)$
$V_2^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2)$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માંથી બાદ કરતા:
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2 - A^2 + x_1^2)$
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(x_1^2 - x_2^2)$
$\omega^2 = \frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$

(C) $SHM$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ છે.
હવે,વિકલ્પ $(c)$ માં આપેલ પદનું પરિમાણીય વિશ્લેષણ કરીએ:
$\frac{a T}{v}$ નું પરિમાણ $= \frac{[L T^{-2}] [T]}{[L T^{-1}]} = \frac{[L T^{-1}]}{[L T^{-1}]} = [M^0 L^0 T^0]$.
આ પદ પરિમાણરહિત છે અને તે $SHM$ ની લાક્ષણિકતા દર્શાવતો અચળાંક છે,તેથી તે સમય સાથે બદલાતું નથી.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $SHM$ કરતી કણ માટે વેગ $v$ અને પ્રવેગ $a$ નીચેના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
$a = -\omega^2 y$
મધ્ય સ્થિતિએ,સ્થાનાંતર $y = 0$ હોય છે.
વેગના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$v = \omega \sqrt{A^2 - 0} = \omega A$
આમ,વેગ મહત્તમ $(v_{\max} = \omega A)$ હોય છે.
પ્રવેગના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$a = -\omega^2 (0) = 0$
આમ,પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.

(B) $SHM$ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 3 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{4}\right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $A = 3 \ m$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \ rad/s$ મળે છે.
$SHM$ માં કણની મહત્તમ ઝડપ $v_{\max}$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\max} = \omega A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\max} = (2 \pi \ rad/s) \times (3 \ m) = 6 \pi \ m/s$.
આમ,કંપવિસ્તાર $3 \ m$ અને મહત્તમ ઝડપ $6 \pi \ m/s$ છે.

(D) કણનું સ્થાન $x = 2 \cos (2t)$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને વેગ $v$ મળે છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [2 \cos (2t)] = -2 \sin (2t) \times 2 = -4 \sin (2t) \,m/s$.
જ્યારે $|\sin (2t)| = 1$ હોય ત્યારે વેગ મહત્તમ હોય છે,તેથી $|v_{\max}| = 4 \,m/s$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નું સૂત્ર $K_{\max} = \frac{1}{2} m (v_{\max})^2$ છે.
આપેલ દળ $m = 2 \,kg$ અને $v_{\max} = 4 \,m/s$ કિંમતો મૂકતા:
$K_{\max} = \frac{1}{2} \times 2 \,kg \times (4 \,m/s)^2 = 16 \,J$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે, મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા અને મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = A\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $v_{max} = 5 \,m \,s^{-1}$ અને $a_{max} = 10 \,m \,s^{-2}$.
$a_{max}$ ના સમીકરણને $v_{max}$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે: $\frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{A\omega^2}{A\omega} = \omega$.
તેથી, $\omega = \frac{10}{5} = 2 \,rad \,s^{-1}$.
આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $T = \frac{2\pi}{2} = \pi \,s$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં,$x$ સ્થાનાંતર પર વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
શરૂઆતમાં,વેગ $v_1 = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
ફટકો લાગ્યા પછી,વેગ $v_2 = 2v_1 = 2\omega \sqrt{A^2 - x^2}$ થાય છે.
ધારો કે નવો કંપવિસ્તાર $A'$ છે. કારણ કે આવૃત્તિ $\omega$ અચળ રહે છે,સમાન સ્થાન $x$ પર નવો વેગ $v_2 = \omega \sqrt{A'^2 - x^2}$ થશે.
$v_2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\omega \sqrt{A'^2 - x^2} = 2\omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $A'^2 - x^2 = 4(A^2 - x^2)$.
$A'^2 - x^2 = 4A^2 - 4x^2$.
$A'^2 = 4A^2 - 3x^2$.
તેથી,નવો કંપવિસ્તાર $A' = \sqrt{4A^2 - 3x^2}$ છે.

(C) પ્રથમ કણનું સ્થાનાંતર $y_1 = 0.1 \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{3})$ છે. વેગ $v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos(100 \pi t + \frac{\pi}{3}) = 10 \pi \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2})$ છે.
$t=0$ સમયે,$v_1$ ની કળા $\phi_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$ છે.
બીજા કણનું સ્થાનાંતર $y_2 = 0.1 \cos(\pi t) = 0.1 \sin(\pi t + \frac{\pi}{2})$ છે. વેગ $v_2 = \frac{dy_2}{dt} = 0.1 \times \pi \cos(\pi t + \frac{\pi}{2}) = 0.1 \pi \sin(\pi t + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = 0.1 \pi \sin(\pi t + \pi)$ છે.
$t=0$ સમયે,$v_2$ ની કળા $\phi_2 = \pi$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |\pi - \frac{5\pi}{6}| = \frac{\pi}{6}$ થાય.

(A) સંતુલન સ્થિતિથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = 10 \,cm$ અને $x = 5 \,cm$ આપેલ છે,તેથી $5 = 10 \sin(\omega t)$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t) = 1/2$.
આમ,$\omega t = \pi/6$. કારણ કે $\omega = 2\pi/T$,આપણને $t = \frac{\pi/6}{2\pi/T} = T/12$ મળે છે.
$T = 0.6 \,s$ આપેલ હોવાથી,સમયગાળો $t = 0.6/12 = 0.05 \,s$ થાય છે.
સરેરાશ વેગ $V_{\text{mean}}$ એ કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$V_{\text{mean}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$.
સંતુલન સ્થિતિ ($t_i = 0$ સમયે $x_i = 0$) થી $t_f = 0.05 \,s$ સમયે $x_f = 5 \,cm$ સુધી:
$V_{\text{mean}} = \frac{5 \,cm - 0}{0.05 \,s} = 100 \,cm/s = 1 \,m/s$.

(A) આપેલ છે, દળ $m = 400 \, g = 0.4 \, kg$.
બળ $F = -10 x$.
$S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -m \omega^2 x$ સાથે સરખાવતા, આપણને $m \omega^2 = 10$ મળે છે.
$m$ ની કિંમત મૂકતા:
$0.4 \omega^2 = 10$
$\omega^2 = \frac{10}{0.4} = 25$
$\omega = 5 \, rad/s$.
દોલનના કેન્દ્ર પર મહત્તમ ઝડપ $V_{max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_{max} = 10 \, m/s$ આપેલ હોવાથી:
$10 = 5 \times A$
$A = \frac{10}{5} = 2 \, m$.