Velocity of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,પદાર્થનો મહત્તમ વેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$v_{\max} = A\omega$
આના પરથી,આપણે કંપવિસ્તાર $A$ ને આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$A = \frac{v_{\max}}{\omega} \quad ...(i)$
જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$SHM$ કરતી પદાર્થનો મહત્તમ પ્રવેગ નીચે મુજબ છે:
$a_{\max} = \omega^2 A$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $A$ ની કિંમત $a_{\max}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_{\max} = \omega^2 \left( \frac{v_{\max}}{\omega} \right)$
$a_{\max} = \omega v_{\max}$

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સમીકરણ $x = A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$ છે.
કણનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) \right] = -A \omega \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
ઝડપ $|v|$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$ નું મૂલ્ય $1$ અથવા $-1$ થાય.
પ્રથમ ધન સમય $t$ માટે,જો આપણે $\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ લઈએ,તો આપણને $t = \frac{\pi}{4\omega}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં આપેલ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,અંતિમ સ્થાનો પર કણનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ છે. વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ થશે.
જ્યારે $\cos(\omega t) = 0$ હોય ત્યારે વેગ શૂન્ય થાય છે,જે $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \dots$ સમયે થાય છે.
શૂન્ય વેગ ધરાવતા બે ક્રમિક બિંદુઓ વચ્ચેનો સમયગાળો (એટલે કે,બે અંતિમ સ્થાનો વચ્ચે) એ એક અંતિમ સ્થાનથી બીજા અંતિમ સ્થાન સુધી પહોંચવા માટેનો સમય છે,જે આવર્તકાળનો અડધો ભાગ,$\frac{T}{2}$ છે.
આપેલ છે કે,$\frac{T}{2} = 0.5 \text{ s}$.
તેથી,$T = 1 \text{ s}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T = 1 \text{ s}$ મૂકતા,આપણને $\omega = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ rad s}^{-1}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = A\omega = 40 \,ms^{-1}$ ... $(i)$
સરળ આવર્ત ગતિ માટે મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A\omega^2 = 60 \,ms^{-2}$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{A\omega^2}{A\omega} = \frac{60}{40}$
$\omega = 1.5 \,rad/s = \frac{3}{2} \,rad/s$
આપણે જાણીએ છીએ કે આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3} \,s$
આમ,દોલનનો આવર્તકાળ $\frac{4\pi}{3} \,s$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં, મહત્તમ વેગ $v_{\text{max}} = \omega a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે, $v_{\text{max}} = 6.28 \text{ cm s}^{-1}$.
પથની લંબાઈ એ કણ દ્વારા એક દોલનમાં કાપેલું કુલ અંતર છે, જે $2a$ જેટલું હોય છે.
તેથી, $2a = 8 \text{ cm}$, જેનો અર્થ છે કે $a = 4 \text{ cm}$.
$v_{\text{max}} = \omega a$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\omega = \frac{v_{\text{max}}}{a} = \frac{6.28}{4} \text{ rad s}^{-1}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$, આપણે લખી શકીએ $\frac{2\pi}{T} = \frac{6.28}{4}$.
$\pi \approx 3.14$ મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{2 \times 3.14}{T} = \frac{6.28}{4}$.
$\frac{6.28}{T} = \frac{6.28}{4}$.
તેથી, $T = 4 \text{ s}$.

(B) બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $SHM$ ના અંતિમ સ્થાનો છે કારણ કે આ બિંદુઓ પર વેગ શૂન્ય છે.
અંતિમ સ્થાનો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $L = b - a$ છે.
$SHM$ નો કંપવિસ્તાર $A_{amp}$ એ અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેના અંતર કરતા અડધું હોય છે:
$A_{amp} = \frac{b - a}{2}$
સંતુલન સ્થાન (મધ્યમાન સ્થાન) એ $A$ અને $B$ ના મધ્યબિંદુ પર છે,જે $O$ થી $\frac{a + b}{2}$ અંતરે છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે $SHM$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A_{amp}^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર,કણ મધ્યમાન સ્થાન પર છે,તેથી સ્થાનાંતર $x = 0$ છે.
આમ,મધ્યબિંદુ પરનો વેગ એ મહત્તમ વેગ $v_{max} = \omega A_{amp}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{max} = v$,તેથી $v = \omega \left(\frac{b - a}{2}\right)$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{2v}{b - a}$
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\left(\frac{2v}{b - a}\right)} = \frac{\pi(b - a)}{v}$

(B) સરળ આવર્ત ગતિમાં,બળ $F = -kx = -m\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ બળ $F_{max} = m\omega^2 A$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાન $x$ પર બળ $F_{max}$ ના $86.6 \%$ છે,તેથી $F = 0.866 F_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2} F_{max}$.
$F = m\omega^2 x$ અને $F_{max} = m\omega^2 A$ હોવાથી,આપણને $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ મળે છે.
$SHM$ માં સ્થાન $x$ પર કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ મૂકતા,$v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2} A)^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{3}{4} A^2} = \omega \sqrt{\frac{1}{4} A^2} = \frac{1}{2} \omega A$ મળે છે.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = \omega A$ છે.
તેથી,તે બિંદુએ વેગ અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v}{v_{max}} = \frac{\frac{1}{2} \omega A}{\omega A} = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $F = -ky$ છે। આપેલ સમીકરણ $F + 0.04 \pi^2 y = 0$ પરથી, $F = -0.04 \pi^2 y$ મળે છે। આને $F = -ky$ સાથે સરખાવતા, બળ અચળાંક $k = 0.04 \pi^2 \text{ N/m}$ મળે.
કણનું દળ $m = 90 \text{ g} = 0.09 \text{ kg}$ છે।
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{0.04 \pi^2}{0.09}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2}{9}} = \frac{2 \pi}{3} \text{ rad/s}$ થાય.
કંપવિસ્તાર $A = \frac{6}{\pi} \text{ m}$ છે।
મહત્તમ વેગ $v_{\text{max}} = A \omega$ દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા, $v_{\text{max}} = \left( \frac{6}{\pi} \right) \times \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = 4 \text{ m/s}$.

(B) $t=2 \ s$ સમયે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા કણ માટે સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega(t - 2))$ છે.
આપેલ છે કે $T = 16 \ s$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad/s$ થાય.
વેગનું સમીકરણ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega(t - 2))$ છે.
$t = 4 \ s$ સમયે,$v = 4 \ m/s$:
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}(4 - 2)\right)$
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$A = \frac{4 \times 8 \times \sqrt{2}}{\pi} = \frac{32 \sqrt{2}}{\pi} \ m$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $\text{(S.H.M.)}$ માં કણનો પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મૂલ્ય લેતા,$|a| = \omega^2 |x|$.
આપેલ છે કે $x = 1 \ cm$ અને $a = 3 \ cm s^{-2}$,તેથી $3 = \omega^2 (1)$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 = 3 \ s^{-2}$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $x = 2 \ cm$ હોય ત્યારે $v = 6 \ cm s^{-1}$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$6 = \sqrt{3} \sqrt{A^2 - 2^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$36 = 3 (A^2 - 4)$.
$3$ વડે ભાગતા:
$12 = A^2 - 4$.
$A^2 = 16$.
$A = 4 \ cm$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે વેગ $v$ અને સ્થાનાંતર $x$ ને જોડતું સમીકરણ આપેલ છે:
$4v^2 = 25 - x^2$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2) = \frac{1}{4}(5^2 - x^2)$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$v = \frac{1}{2}\sqrt{5^2 - x^2} \quad ... (i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $SHM$ માં વેગનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે:
$v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} \quad ... (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{2} \ rad/s$
કંપવિસ્તાર $A = 5 \ m$
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \ s$

(B) ધારો કે કંપવિસ્તાર $A$ છે. કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{3}$ અને $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ છે.
બંને $t=0$ સમયે ઉગમબિંદુથી શરૂઆત કરતા હોવાથી,તેમનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \sin(\omega_1 t)$ અને $x_2 = A \sin(\omega_2 t)$ છે.
જ્યારે તેઓ મળે છે,ત્યારે $x_1 = x_2$,તેથી $\sin(\omega_1 t) = \sin(\omega_2 t)$.
$t=0$ પછી પ્રથમ મુલાકાત માટે,$\omega_1 t = \pi - \omega_2 t$,જે $t = \frac{\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{\pi}{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}} = 1 \ s$ આપે છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો વેગ $v = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{A\omega_1 \cos(\omega_1 t)}{A\omega_2 \cos(\omega_2 t)} = \frac{(2\pi/3) \cos(2\pi/3 \cdot 1)}{(\pi/3) \cos(\pi/3 \cdot 1)} = \frac{2 \cos(120^\circ)}{\cos(60^\circ)} = \frac{2(-1/2)}{1/2} = -2$ થાય છે.
તેથી મૂલ્યનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) આપેલ છે, કંપવિસ્તાર, $A = 0.2 \,cm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં મધ્યમાન સ્થાને વેગ એ મહત્તમ વેગ છે, $v_{\text{max}} = 5 \,m/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ વેગનું સૂત્ર $v_{\text{max}} = A \omega$ છે.
તેથી, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{v_{\text{max}}}{A}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, $\omega = \frac{5}{2 \times 10^{-3}} = 2.5 \times 10^3 = 2500 \,rad/s$.

(C) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણના સ્થાન માટેનું સમીકરણ $y(t) = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ છે.
પ્રથમ સેકન્ડમાં ($t=0$ થી $t=1$) કાપેલું અંતર $y_1 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ છે.
$t=2$ સેકન્ડે સ્થાન $y(2) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) = A \sin(\frac{\pi}{2}) = A$ છે.
બીજી સેકન્ડમાં ($t=1$ થી $t=2$) કાપેલું અંતર $y_2 = y(2) - y(1) = A - \frac{A}{\sqrt{2}} = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{y_1}{y_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(1 - 1/\sqrt{2})} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ અને વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ગોઠવતા,આપણને $\frac{y}{A} = \sin(\omega t)$ અને $\frac{v}{A \omega} = \cos(\omega t)$ મળે છે.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{v^2}{(A \omega)^2} + \frac{y^2}{A^2} = 1$ મળે છે,જે એક ઉપવલય દર્શાવે છે.
$X$-અક્ષ (વેગ) પરની ગૌણ અક્ષ $2A \omega$ છે અને $Y$-અક્ષ (સ્થાનાંતર) પરની લઘુ અક્ષ $2A$ છે.
ગૌણ અક્ષ અને લઘુ અક્ષનો ગુણોત્તર $\frac{2A \omega}{2A} = \omega$ છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $20 \pi$ છે,તેથી $\omega = 20 \pi$.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $2 \pi f = 20 \pi$.
તેથી,$f = 10 \ Hz$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ઝડપ $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $v^2 = \omega^2 (a^2 - x^2)$.
આપેલ બે કિસ્સાઓ માટે:
$v_1^2 = \omega^2 (a^2 - x_1^2) \implies 13^2 = \omega^2 (a^2 - 3^2) \implies 169 = \omega^2 (a^2 - 9) \quad (1)$
$v_2^2 = \omega^2 (a^2 - x_2^2) \implies 12^2 = \omega^2 (a^2 - 5^2) \implies 144 = \omega^2 (a^2 - 25) \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માંથી બાદ કરતા:
$169 - 144 = \omega^2 (a^2 - 9 - a^2 + 25)$
$25 = \omega^2 (16)$
$\omega^2 = \frac{25}{16} \implies \omega = \frac{5}{4} \ rad/s$.
આવૃત્તિ $f$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $\omega = 2 \pi f$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{5/4}{2 \pi} = \frac{5}{8 \pi} \ Hz$.

(A) ગતિઊર્જાના દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega_k = 176 \ rad/s$ આપેલ છે.
સરળ આવર્ત દોલક માટે,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$ છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$K = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 - \cos(2\omega t + 2\phi))$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે ગતિઊર્જા $\omega_k = 2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે,જ્યાં $\omega$ એ દોલકની કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $\omega_k = 176 \ rad/s$,તેથી $2\omega = 176 \ rad/s$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 88 \ rad/s$.
દોલકની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{88}{2 \times (22/7)} = \frac{88 \times 7}{44} = 2 \times 7 = 14 \ Hz$ થાય.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં વેગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ સમીકરણ $v^2 = 50 - x^2$ ને $v^2 = 1(50 - x^2)$ તરીકે લખી શકાય.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 1 \ \text{rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \ \text{s}$ છે.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $T = 2 \times \frac{22}{7} = \frac{44}{7} \ \text{s}$ મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$T = \frac{x}{7} \ \text{s}$ છે.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{x}{7} = \frac{44}{7}$.
તેથી,$x = 44$.