Velocity of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $4v^2 = 16 - x^2$ છે.
બંને બાજુ $16$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{4v^2}{16} + \frac{x^2}{16} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{v^2}{4} + \frac{x^2}{16} = 1$ થાય છે.
આને $SHM$ ના પ્રમાણિત વેગ-સ્થાનાંતર સંબંધ $\frac{v^2}{(A\omega)^2} + \frac{x^2}{A^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A^2 = 16 \Rightarrow A = 4$ અને $(A\omega)^2 = 4 \Rightarrow A\omega = 2$.
$A = 4$ ની કિંમત $A\omega = 2$ માં મૂકતા,$4\omega = 2$ મળે,તેથી $\omega = 0.5 \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi \text{ s}$ છે.

(D) સ્થાનાંતર માટેના આપેલા સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(10t + \phi)$ અને $y_2 = 5 \cos(10t)$ છે.
વેગ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતરનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ.
$y_1$ માટે,વેગ $v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 4 \times 10 \cos(10t + \phi) = 40 \sin(10t + \phi + \frac{\pi}{2})$.
$y_2$ માટે,વેગ $v_2 = \frac{dy_2}{dt} = -5 \times 10 \sin(10t) = 50 \sin(10t + \pi)$.
વેગ $v_1$ ની કળા $\theta_1 = 10t + \phi + \frac{\pi}{2}$ છે.
વેગ $v_2$ ની કળા $\theta_2 = 10t + \pi$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \theta_1 - \theta_2 = (10t + \phi + \frac{\pi}{2}) - (10t + \pi) = \phi - \frac{\pi}{2}$.

(B) કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{0.4} = 5 \pi \, rad/s$ છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ પર કોણીય વેગ $\Omega$ નું સૂત્ર $\Omega = \omega \sqrt{\theta_{0}^{2} - \theta^{2}}$ છે,જ્યાં $\theta_{0}$ એ કોણીય કંપવિસ્તાર છે.
અહીં $\theta_{0} = \pi \, rad$ અને $\theta = \pi/2 \, rad$ આપેલ છે:
$\Omega = 5 \pi \sqrt{\pi^{2} - (\pi/2)^{2}}$
$\Omega = 5 \pi \sqrt{\pi^{2} - \frac{\pi^{2}}{4}}$
$\Omega = 5 \pi \sqrt{\frac{3 \pi^{2}}{4}}$
$\Omega = 5 \pi \cdot \frac{\pi \sqrt{3}}{2} = \frac{5 \pi^{2} \sqrt{3}}{2}$.
$\pi^{2} \approx 9.87$ અને $\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા:
$\Omega \approx \frac{5 \times 9.87 \times 1.732}{2} \approx 42.76 \, rad/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $42.7 \, rad/s$ છે.

(C) આપેલ છે,કંપનવિસ્તાર $A = 5\, cm$ અને સ્થાનાંતર $x = 4\, cm$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં વેગનું મૂલ્ય $|v| = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x = 4\, cm$ પર $|v| = |a|$:
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega \sqrt{5^2 - 4^2} = 4\omega^2$
$\omega \sqrt{25 - 16} = 4\omega^2$
$3\omega = 4\omega^2$
$\omega = \frac{3}{4}\, rad/s$
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$:
$T = \frac{2\pi}{3/4} = \frac{8\pi}{3}\, s$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે:
$(i)$ વેગ $v$ અને સ્થાનાંતર $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$,જે લંબગોળનું સમીકરણ છે,પરવલયનું નહીં. તેથી,$(i)$ ખોટું છે.
$(ii)$ સમય સાથે વેગનું સમીકરણ $v(t) = A\omega \cos(\omega t)$ છે,જે સાઈનસૉઈડલ વિધેય છે. તેથી,$(ii)$ સાચું છે.
$(iii)$ પ્રવેગ $a(t) = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ છે. $v = A\omega \cos(\omega t)$ અને $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ પરથી,$(v/A\omega)^2 + (a/A\omega^2)^2 = \cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t) = 1$ મળે છે. આ લંબગોળનું સમીકરણ છે. તેથી,$(iii)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(ii)$ અને $(iii)$ સાચા છે.

(D) $SHM$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{K/m}$ છે.
કણનો વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F(t) = -Kx = -KA \sin(\omega t)$ છે.
પુનઃસ્થાપક બળ દ્વારા આપવામાં આવતી પાવર $P = F \cdot v = (-KA \sin(\omega t)) \cdot (A\omega \cos(\omega t))$ છે.
$P = -KA^2 \omega \sin(\omega t) \cos(\omega t) = -\frac{1}{2} KA^2 \omega \sin(2\omega t)$.
પાવરનું મૂલ્ય $|P| = \frac{1}{2} KA^2 \omega |\sin(2\omega t)|$ છે.
મહત્તમ પાવર ત્યારે મળે છે જ્યારે $|\sin(2\omega t)| = 1$ હોય,તેથી $P_{max} = \frac{1}{2} KA^2 \omega$.
$\omega = \sqrt{K/m}$ મૂકતા,આપણને $P_{max} = \frac{1}{2} KA^2 \sqrt{\frac{K}{m}} = \frac{K^{3/2} A^2}{2\sqrt{m}}$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = A\omega$ છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
એક સંપૂર્ણ દોલનમાં,કણ $x = 0$ થી $x = A$ સુધી,પછી $x = -A$ સુધી અને પાછો $x = 0$ સુધી ગતિ કરે છે.
કુલ કાપેલું અંતર $d = A + 2A + A = 4A$ છે.
એક સંપૂર્ણ દોલન માટે લાગતો સમય એટલે આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
તેથી,સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4A}{T} = \frac{4A}{2\pi/\omega} = \frac{2A\omega}{\pi}$.
$v_{max} = A\omega$ મૂકતા,આપણને $v_{avg} = \frac{2v_{max}}{\pi}$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં કણની મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $v_{max} = \frac{2\pi A}{T}$,જેનો અર્થ છે કે $A = \frac{v_{max} T}{2\pi}$.
એક સંપૂર્ણ દોલનમાં,કણ $T$ સમયમાં કુલ $4A$ જેટલું અંતર કાપે છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4A}{T}$.
$A$ ની કિંમત સરેરાશ ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{4}{T} \times \left( \frac{v_{max} T}{2\pi} \right) = \frac{4 v_{max}}{2\pi} = \frac{2v_{max}}{\pi}$.

(B) પિસ્ટનનો સ્ટ્રોક એ કંપવિસ્તાર કરતાં બમણો $(2A)$ હોય છે.
આપેલ છે કે,$2A = 6\,m$,તેથી કંપવિસ્તાર $A = 3\,m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200\,rad\,min^{-1}$.
કોણીય આવૃત્તિને $rad\,s^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $60$ વડે ભાગાકાર કરીશું:
$\omega = \frac{200}{60} = \frac{10}{3}\,rad\,s^{-1}$.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની મહત્તમ ઝડપ $(V_{\max})$ શોધવાનું સૂત્ર $V_{\max} = A\omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_{\max} = 3 \times \frac{10}{3} = 10\,m\,s^{-1}$.

(B) $S.H.M$ કરતા કણનો $x$ સ્થાનાંતર પર વેગ $v$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
અહીં કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અને સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{\sqrt{3}A}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi A}{T}$.

(C) $S.H.M.$ માં મહત્તમ વેગનું સૂત્ર $V_{\max} = \omega A = 0.2 \ m/s$ છે.
$S.H.M.$ માં પ્રવેગનું સૂત્ર $|a| = \omega^2 x$ છે. આપેલ છે કે $x = 0.1 \ m$ પર $a = 0.4 \ m/s^2$,તેથી $0.4 = \omega^2 (0.1)$.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{0.4}{0.1} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 2 \ rad/s$.
મહત્તમ વેગના સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $2 \times A = 0.2$.
તેથી,કંપવિસ્તાર $A = \frac{0.2}{2} = 0.1 \ m$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો $x$ સ્થાન પર વેગ $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ વેગ $V_{\max} = \omega A$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V = \frac{V_{\max}}{3} = \frac{\omega A}{3}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\omega A}{3} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
બંને બાજુ $\omega$ વડે ભાગતા: $\frac{A}{3} = \sqrt{A^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{A^2}{9} = A^2 - x^2$.
$x^2$ માટે ગોઠવતા: $x^2 = A^2 - \frac{A^2}{9} = \frac{8A^2}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x = \sqrt{\frac{8A^2}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}A$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો પ્રવેગ $f = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રવેગ-સમય આલેખ મુજબ,$t = 0$ સમયે,$f$ ઋણ છે અને તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર છે. આ સૂચવે છે કે કણ ધન અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ પર છે.
સ્થાનાંતર માટેનું સમીકરણ $x = A \cos(\omega t)$ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v = 0$ છે.
$t = T/4$ સમયે,$v = -A\omega$ (ન્યૂનતમ) છે.
$t = T/2$ સમયે,$v = 0$ છે.
$t = 3T/4$ સમયે,$v = A\omega$ (મહત્તમ) છે.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $t=0$ પર $0$ થી શરૂ થાય છે,$t=T/4$ પર ઋણ ન્યૂનતમ મૂલ્ય પર જાય છે,$t=T/2$ પર $0$ માંથી પસાર થાય છે અને $t=3T/4$ પર ધન મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે,તે આલેખ $A$ છે.

(B) ગતિનું સમીકરણ $x = a \sin(\omega t + \pi/6)$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \pi/6)$.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = a\omega$ છે.
આપણને આપેલ છે કે વેગ મહત્તમ વેગના અડધા જેટલો છે: $v = \frac{1}{2} v_{max} = \frac{a\omega}{2}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $a\omega \cos(\omega t + \pi/6) = \frac{a\omega}{2}$,જેનું સાદું રૂપ $\cos(\omega t + \pi/6) = 1/2$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^{\circ}) = 1/2$ અથવા $\cos(\pi/3) = 1/2$,તેથી $\omega t + \pi/6 = \pi/3$.
$\omega = 2\pi/T$ મૂકતા: $(2\pi/T)t + \pi/6 = \pi/3$.
$(2\pi/T)t = \pi/3 - \pi/6 = \pi/6$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = (\pi/6) \times (T/2\pi) = T/12$.

(C) $S.H.M.$ માં સ્થાનાંતર $x$ પર કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
મધ્યમાન સ્થાને,$x = 0$,તેથી વેગ $v = \omega \sqrt{a^2 - 0^2} = a\omega$.
કંપવિસ્તારના અડધા અંતરે,$x = \frac{a}{2}$.
આ કિંમત વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $V' = \omega \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \omega \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \omega \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\omega$.
કારણ કે $v = a\omega$,તેથી $V' = \frac{\sqrt{3}}{2}v$ મળે છે.

(B) $SHM$ માં સ્થાનાંતર $x$ પર કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$.
આપેલ શરતો માટે:
$v_1^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ --- $(1)$
$v_2^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$v_1^2 - v_2^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2)$
$\omega^2 = \frac{v_1^2 - v_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
$\omega = \left[ \frac{v_1^2 - v_2^2}{x_2^2 - x_1^2} \right]^{1/2}$
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$f = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{v_1^2 - v_2^2}{x_2^2 - x_1^2} \right]^{1/2}$

(C) આલેખ પરથી,કંપવિસ્તાર $A$ એ સરેરાશ સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર છે,જે $A = 0.2 \, m$ છે.
આવર્તકાળ $T$ એ એક પૂર્ણ દોલન માટે લાગતો સમય છે. આલેખ પરથી,એક પૂર્ણ ચક્ર $t = 0$ થી શરૂ થાય છે અને $t = 2 \, s$ પર પૂર્ણ થાય છે,તેથી $T = 2 \, s$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, rad/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો મહત્તમ વેગ $V_{\max}$ એ $V_{\max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_{\max} = 0.2 \times \pi = 0.2\pi \, m/s$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x$ પર ઝડપ $v$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$
આ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા આપણને મળે છે:
$v^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = v^2$,$x = x^2$,$m = -\omega^2$ (ઢાળ) અને $c = \omega^2 A^2$ (y-અંતઃખંડ) છે.
અહીં ઢાળ ઋણ $(-\omega^2)$ હોવાથી,$v^2$ વિરુદ્ધ $x^2$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ અને ધન y-અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે.
તેથી,સાચો આલેખ y-અક્ષ પરથી શરૂ થતી અને નીચે તરફ જતી સીધી રેખા છે.

(C) $SHM$ કરતા કણની ઝડપ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે. જેમ કણ મધ્યમાન સ્થાનથી દૂર જાય છે,તેમ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|x|$ વધે છે,જેના કારણે ઝડપ $v$ ઘટે છે. આમ,વિધાન સાચું છે.
$SHM$ માં પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવેગ હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે. જ્યારે કણ મધ્યમાન સ્થાનથી દૂર જાય છે,ત્યારે વેગ મધ્યમાન સ્થાનથી દૂરની દિશામાં હોય છે,તેથી પ્રવેગ અને વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે (મંદન). જોકે,જ્યારે કણ મધ્યમાન સ્થાન તરફ આવે છે,ત્યારે વેગ મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે,તેથી પ્રવેગ અને વેગ સમાન દિશામાં હોય છે (પ્રવેગિત ગતિ). તેથી,કારણ ખોટું છે કારણ કે પ્રવેગ હંમેશા વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં હોતો નથી.

(D) પિસ્ટનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \; rad/min$ આપેલ છે.
સ્ટ્રોક એ કંપવિસ્તાર કરતાં બમણો છે $(2A = 1.0 \; m)$.
તેથી,કંપવિસ્તાર $A = \frac{1.0 \; m}{2} = 0.5 \; m$ થાય.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની મહત્તમ ઝડપ $(v_{\max})$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\max} = A \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v_{\max} = 0.5 \; m \times 200 \; rad/min = 100 \; m/min$ મળે છે.

(N/A) ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $\omega$ કોણીય ઝડપથી ગતિ કરતા કણનો રેખીય વેગ $v = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ પર કણના રેખીય વેગની દિશા તે બિંદુએ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
આકૃતિ મુજબ,રેખીય વેગ $A \omega$ ના બે પરસ્પર લંબ ઘટકો મળે છે. $X$-અક્ષની દિશામાંનો ઘટક $A \omega \sin (\omega t + \phi)$ છે,જે સમય $t$ પર $X$-અક્ષ પરના કણના પ્રક્ષેપનો વેગ દર્શાવે છે.
કારણ કે પ્રક્ષેપ ઉગમબિંદુ તરફ ગતિ કરે છે (ધન $X$-અક્ષની વિરુદ્ધ દિશામાં),તેથી વેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$v(t) = -A \omega \sin (\omega t + \phi)$
આ સમીકરણ $SHM$ કરતી કણનો તાત્કાલિક વેગ દર્શાવે છે.

(N/A) $SHM$ કરતા કણનો તાત્ક્ષણિક વેગ એ સમય સાથે સ્થાનાંતરમાં થતા ફેરફારનો દર છે.
ધારો કે $A$ કંપવિસ્તાર અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ ધરાવતા $SHM$ કણનું $t$ સમયે સ્થાનાંતર નીચે મુજબ છે:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \quad \dots (1)$
જ્યાં $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા છે.
સમીકરણ $(1)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા તાત્ક્ષણિક વેગ મળે છે:
$v(t) = \frac{d[x(t)]}{dt} = \frac{d}{dt}[A \cos(\omega t + \phi)]$
$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi)$
કારણ કે $\sin(\omega t + \phi) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\omega t + \phi)}$,આ કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v(t) = -A \omega (\pm \sqrt{1 - \cos^2(\omega t + \phi)})$
$v(t) = \pm \omega \sqrt{A^2 - A^2 \cos^2(\omega t + \phi)}$
$x^2 = A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
વિશેષ કિસ્સાઓ:
$(1)$ સરેરાશ સ્થાન (મધ્યમાન સ્થાન) પર,$x = 0$:
$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - 0} = \pm \omega A$
આમ,મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega$ છે.
$(2)$ અંતિમ બિંદુઓ (વિસ્થાપન બિંદુઓ) પર,$x = \pm A$:
$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - A^2} = 0$
આમ,અંતિમ બિંદુઓ પર $SHM$ કણનો વેગ શૂન્ય હોય છે.

(N/A) $X$-અક્ષ પર $SHM$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા અચળાંક છે.
તાત્કાલિક વેગ $v(t)$ એ સ્થાનાંતર $x(t)$ નું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [A \sin(\omega t + \phi)]$
$v(t) = A \omega \cos(\omega t + \phi)$
વૈકલ્પિક રીતે,સ્થાનાંતર $x$ ના સંદર્ભમાં વેગ:
$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$

(B) $SHM$ કરતી કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + 90^{\circ})$ નો ઉપયોગ કરીને વેગના સમીકરણને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$v(t) = A \omega \sin(\omega t + \phi + 90^{\circ})$.
સ્થાનાંતરની કળા $(\omega t + \phi)$ અને વેગની કળા $(\omega t + \phi + 90^{\circ})$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2} \text{ રેડિયન}$ મળે છે.

(A) $SHM$ માં કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega = \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$SHM$ માં કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A \omega^2 = \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવેગને મહત્તમ વેગ વડે ભાગતા:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{A \omega^2}{A \omega} = \omega$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\alpha}{\beta} = \omega$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f$ હોવાથી,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે:
$\frac{\alpha}{\beta} = 2 \pi f$.
તેથી,આવૃત્તિ $f$ થશે:
$f = \frac{\alpha}{2 \pi \beta}$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\max} = A \omega$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 4 \, cm = 4 \times 10^{-2} \, m$ અને આવર્તકાળ $T = 0.05 \, s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{0.05} = 40 \pi \, rad/s$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{\max} = (4 \times 10^{-2} \, m) \times (40 \pi \, rad/s)$
$v_{\max} = 1.6 \pi \, m/s$.

(A) પથ લંબાઈ (કુલ કંપવિસ્તાર ગાળો) $2A = 8 \ cm$ છે.
તેથી,કંપવિસ્તાર $A = 4 \ cm$ છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળ $T$ નો ચોથો ભાગ છે,જે $1 \ s$ આપેલ છે.
તેથી,$T/4 = 1 \ s$,જેનો અર્થ છે કે $T = 4 \ s$.
સંતુલન (મધ્યમાન) સ્થાન પર વેગ એ મહત્તમ વેગ છે,જે $v_{\max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega = 2\pi/T$ મૂકતા,આપણને $v_{\max} = A(2\pi/T)$ મળે છે.
$v_{\max} = 4 \times (2\pi / 4) = 2\pi \ cm/s$.

(A) સરળ આવર્ત દોલકનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = A\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સરળ આવર્ત દોલકનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,મહત્તમ પ્રવેગ અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{A\omega^2}{A\omega} = \omega$ થાય છે.

(B) સંદર્ભ વર્તુળ પર કણ $P$ નું સ્થાન $x = R \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$-અક્ષ પરના પ્રક્ષેપ બિંદુ $P_1$ નો વેગ એ તેના સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = -R\omega \sin(\omega t + \phi)$.
જેમ જેમ કણ $P$ પ્રથમ ચરણમાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ),ખૂણો $\theta = (\omega t + \phi)$ એ $0$ અને $\pi/2$ ની વચ્ચે છે.
આ વિસ્તારમાં,$\sin(\omega t + \phi)$ ધન છે.
તેથી,$v = -R\omega \sin(\omega t + \phi)$ ઋણ હશે.
ભૌમિતિક રીતે,જેમ $P$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેમ તેનો પ્રક્ષેપ $P_1$ ઉગમબિંદુ $O$ તરફ (એટલે કે જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ) ગતિ કરે છે,જે ઋણ વેગ સૂચવે છે.

(N/A) $SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર નીચે મુજબ છે:
$x = A \cos(\omega t)$,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સ્થાનાંતરની કળા $\theta_{1} = \omega t$ છે.
વેગ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતરનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[A \cos(\omega t)]$
$v = -A\omega \sin(\omega t)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} + \theta)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વેગને આ રીતે લખી શકીએ:
$v = A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$
વેગની કળા $\theta_{2} = \omega t + \frac{\pi}{2}$ છે.
વેગ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો કળા તફાવત:
$\Delta\theta = \theta_{2} - \theta_{1}$
$\Delta\theta = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - \omega t$
$\Delta\theta = \frac{\pi}{2}$
આમ,વેગ એ સ્થાનાંતર કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલી કળામાં આગળ છે.

(B) $SHM$ કરતી કણ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન લેતા,વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \omega A \cos(\omega t + \phi)$ મળે છે.
સ્થાનાંતરના સમીકરણ પરથી,$\sin(\omega t + \phi) = \frac{x}{A}$.
વેગના સમીકરણ પરથી,$\cos(\omega t + \phi) = \frac{v}{\omega A}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\frac{x}{A})^2 + (\frac{v}{\omega A})^2 = 1$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{(\omega A)^2} = 1$ મળે છે.
આ લંબગોળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a = A$ અને $b = \omega A$ છે.

(C) $S.H.M.$ કરતા કણનો સ્થાનાંતર $x$ આગળ વેગ $v$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$.
પદોને ગોઠવતા: $v^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$,જે $v^2 + \omega^2 x^2 = \omega^2 A^2$ આપે છે.
બંને બાજુ $\omega^2 A^2$ વડે ભાગતા: $\frac{v^2}{(\omega A)^2} + \frac{x^2}{A^2} = 1$.
આ સમીકરણ ઉપવલય (ellipse) ના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1$ જેવું છે,જ્યાં $y$ એ વેગ છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
તેથી,સ્થાનાંતરના વિધેય તરીકે વેગનો આલેખ ઉપવલય છે.

(D) $S.H.M.$ માં $y$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = a\omega$ છે.
આપેલ છે કે ઝડપ $v = \frac{v_{\max}}{2}$,તેથી $\frac{a\omega}{2} = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{a^2}{4} = a^2 - y^2$.
સ્થાનાંતર $y$ માટે ગોઠવતા: $y^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.
આમ,$y = \frac{\sqrt{3} a}{2}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{\sqrt{x} a}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો $x$ સ્થાનાંતરે વેગ $v^{2} = \omega^{2}(A^{2} - x^{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સ્થાનો માટે:
$v_{1}^{2} = \omega^{2}(A^{2} - x_{1}^{2}) \implies A^{2} = x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega^{2}}$
$v_{2}^{2} = \omega^{2}(A^{2} - x_{2}^{2}) \implies A^{2} = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega^{2}}$
$A^{2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega^{2}} = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega^{2}}$
$\frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{\omega^{2}} = x_{2}^{2} - x_{1}^{2}$
$\omega^{2} = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}$
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$\omega^{2} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}$ થાય.
$\frac{4\pi^{2}}{T^{2}} = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}}$

(B) આપેલ સમીકરણ $x = \sin \pi (t + 1/3) \, m$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,$x = \sin (\pi t + \pi/3) \, m$ મળે છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [\sin (\pi t + \pi/3)] = \pi \cos (\pi t + \pi/3) \, m/s$.
$t = 1 \, s$ સમયે:
$v = \pi \cos (\pi(1) + \pi/3) = \pi \cos (4\pi/3) \, m/s$.
કારણ કે $\cos (4\pi/3) = \cos (\pi + \pi/3) = -\cos (\pi/3) = -1/2$:
$v = \pi \times (-1/2) = -\pi/2 \, m/s$.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે:
$|v| = |-\pi/2| = \pi/2 \, m/s$.
$cm/s$ માં રૂપાંતર કરતા $(1 \, m = 100 \, cm)$:
$|v| = (\pi/2) \times 100 = 50\pi \, cm/s$.
$\pi = 3.14$ લેતા:
$|v| = 50 \times 3.14 = 157 \, cm/s$.

(B) $SHM$ માં રહેલા કણ માટે,તેનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ પર નીચે મુજબ આધાર રાખે છે:
$v = \omega \sqrt{A^{2} - x^{2}}$
જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$v^{2} = \omega^{2} (A^{2} - x^{2})$
$v^{2} = \omega^{2} A^{2} - \omega^{2} x^{2}$
પદોને ગોઠવતા:
$v^{2} + \omega^{2} x^{2} = \omega^{2} A^{2}$
$\omega^{2} A^{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{v^{2}}{(\omega A)^{2}} + \frac{x^{2}}{A^{2}} = 1$
આ સમીકરણ $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે લંબગોળ (ellipse) દર્શાવે છે.
તેથી,વેગ $v$ અને સ્થાનાંતર $x$ વચ્ચેનો આલેખ લંબગોળાકાર છે.

(C) $SHM$ કરતા કણની મહત્તમ ઝડપ $(V_{\max})$ નું સૂત્ર $V_{\max} = A \omega$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે:
કંપવિસ્તાર $A = 20 \, cm = 0.2 \, m$
આવર્તકાળ $T = 1 \, s$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \, rad/s$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V_{\max} = A \omega$
$V_{\max} = 0.2 \, m \times 2 \pi \, rad/s$
$V_{\max} = 0.4 \pi \, m/s$
$\pi \approx 3.14$ લેતા:
$V_{\max} = 0.4 \times 3.14 = 1.256 \, m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $S.H.M.$ માં રહેલા કણનો $x$ સ્થાનાંતર પરનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે:
$x_1 = 4 \, m$ માટે,$v_1 = 3 \, m/s$. તેથી,$3 = \omega \sqrt{A^2 - 4^2} \implies 9 = \omega^2 (A^2 - 16) \quad (i)$
$x_2 = 3 \, m$ માટે,$v_2 = 4 \, m/s$. તેથી,$4 = \omega \sqrt{A^2 - 3^2} \implies 16 = \omega^2 (A^2 - 9) \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{9}{16} = \frac{\omega^2 (A^2 - 16)}{\omega^2 (A^2 - 9)} = \frac{A^2 - 16}{A^2 - 9}$
$9(A^2 - 9) = 16(A^2 - 16)$
$9A^2 - 81 = 16A^2 - 256$
$7A^2 = 175 \implies A^2 = 25 \implies A = 5 \, m$
$A^2 = 25$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$9 = \omega^2 (25 - 16) = 9\omega^2$
$\omega^2 = 1 \implies \omega = 1 \, rad/s$
આમ,કોણીય આવૃત્તિ $1 \, rad/s$ અને કંપવિસ્તાર $5 \, m$ છે.

(A) આપેલ આલેખ પરથી,કંપવિસ્તાર $(A)$ એ મહત્તમ સ્થાનાંતર છે,જે $A = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે.
મહત્તમ વેગ $(v_{max})$ નું સૂત્ર $v_{max} = A \omega = 0.4 \, m/s$ છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $0.1 \times \omega = 0.4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 4 \, rad/s$.
દોલનનો આવર્તકાળ $(T)$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega = 4 \, rad/s$ મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, s$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બે લોલક સમાન હોવાથી,તેમનું દળ,લંબાઈ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ સમાન છે. પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે તેમનો કંપનવિસ્તાર $A$ પણ સમાન છે.
બંને લોલક વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{4}$ અચળ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની આવૃત્તિઓ સમાન છે.
જેમ કે $v_{max} = A\omega$ એ માત્ર કંપનવિસ્તાર અને કોણીય આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,અને બંને લોલક માટે આ બંને પરિમાણો સમાન છે,તેથી બીજા લોલકનો મહત્તમ વેગ પણ $v$ જ રહેશે.

(A) આપેલ છે:
દળ $m = 1.00 \times 10^{-20} \,kg$
આવર્તકાળ $T = 1.00 \times 10^{-5} \,s$
મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = A \omega = 1.00 \times 10^3 \,m/s$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1.00 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 10^5 \,rad/s$
મહત્તમ ઝડપના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$v_{max} = A \omega$
$1.00 \times 10^3 = A \times (2\pi \times 10^5)$
કંપવિસ્તાર $A$ માટે ઉકેલતા:
$A = \frac{1.00 \times 10^3}{2\pi \times 10^5} = \frac{1}{2\pi} \times 10^{-2} \,m$
$A \approx 0.15915 \times 10^{-2} \,m = 1.5915 \times 10^{-3} \,m$
$1 \,m = 1000 \,mm$ હોવાથી:
$A = 1.5915 \times 10^{-3} \times 10^3 \,mm = 1.5915 \,mm$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$A = 1.59 \,mm$.

(B) કણ $t = 0$ સમયે મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ થી શરૂઆત કરે છે.
મધ્યમાન સ્થાને કળા (phase) $\phi_1 = 0$ છે.
મધ્યમાન અને અંતિમ સ્થાનની વચ્ચેના મધ્યબિંદુએ સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ છે.
સમીકરણ $x = A \sin \omega t$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$.
આથી $\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$,તેથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{\pi}{6 \omega}$.
કાપેલું કુલ અંતર $d = \frac{A}{2} - 0 = \frac{A}{2}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ = $\text{કુલ અંતર} / \text{કુલ સમય}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{A/2}{\pi / (6 \omega)} = \frac{A}{2} \times \frac{6 \omega}{\pi} = \frac{3 A \omega}{\pi}$.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $v^2 + ax^2 = b$.
$v^2$ ને અલગ કરવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $v^2 = b - ax^2$.
જમણી બાજુથી $a$ સામાન્ય લેતા: $v^2 = a \left( \frac{b}{a} - x^2 \right)$.
$S.H.M.$ માં કણના વેગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\omega^2 = a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{a}$.
દોલન આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{\omega}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $f = \frac{\sqrt{a}}{2 \pi}$.

(D) સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $x = 10 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt}$.
$v = \frac{d}{dt} \left[10 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{2}\right)\right] = -10 \cdot 2 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{2}\right)$.
$v = -20 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{2}\right)$.
$t = \frac{1}{6} \, s$ સમયે,વેગ:
$v = -20 \pi \sin \left(2 \pi \cdot \frac{1}{6} + \frac{\pi}{2}\right) = -20 \pi \sin \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right)$.
$v = -20 \pi \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin \left(150^\circ\right) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$v = -20 \pi \cdot \frac{1}{2} = -10 \pi$.
વેગનું મૂલ્ય $|v| = 10 \pi \approx 10 \cdot 3.14 = 31.4 \, cm/s$ છે.

(B) $SHM$ માટે આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{v dv}{dx} = -\omega^2 x$.
સ્થાનાંતર $x$ પર વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુઓનું સંકલન કરીશું:
$\int_{v_0}^{v} v dv = \int_{0}^{x} -\omega^2 x dx$.
સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{v_0}^{v} = -\omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x}$.
$\frac{1}{2}(v^2 - v_0^2) = -\frac{\omega^2 x^2}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$v^2 - v_0^2 = -\omega^2 x^2$.
$v$ માટે ગોઠવતા:
$v^2 = v_0^2 - \omega^2 x^2$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$v = \sqrt{v_0^2 - \omega^2 x^2}$.

(C) કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.25 \sin(200t)$ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $A = 0.25 \ cm$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
કણનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [0.25 \sin(200t)] = 0.25 \times 200 \cos(200t) = 50 \cos(200t)$
મહત્તમ ઝડપ $v_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos(200t) = 1$ હોય:
$v_{max} = A \omega = 0.25 \times 200 = 50 \ cm \ s^{-1}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 250\,g = 0.25\,kg$,બળ $F = -25x$,અને મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = 4\,m/s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $ma = -25x$,જે આપણને $a = -\frac{25}{0.25}x = -100x$ આપે છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = 100$ મળે છે,તેથી $\omega = 10\,rad/s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 = 10 \times A$.
તેથી,$A = 0.4\,m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $A = 0.4 \times 100 = 40\,cm$.

(C) આપેલ સમીકરણ $4v^2 = 50 - x^2$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $v^2 = \frac{50}{4} - \frac{x^2}{4} = 12.5 - \frac{x^2}{4}$ મળે છે.
આને $SHM$ ના પ્રમાણિત વેગના સમીકરણ $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ સાથે સરખાવતા,આપણે સમીકરણને $v^2 = \frac{1}{4}(50 - x^2) = \frac{50}{4}(1 - \frac{x^2}{50})$ તરીકે લખીએ છીએ.
આમ,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,જે આપે છે $\omega = \frac{1}{2} \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ થાય છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$T = 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \ s$ મળે છે.
આને આપેલ આવર્તકાળ $\frac{x}{7} \ s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 88$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મધ્યમાન સ્થાને વેગ $V_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = 4 \ cm$ અને $V_{max} = 10 \ cm/s$ આપેલ છે,તેથી $10 = 4\omega$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\omega = 2.5 \ rad/s$ મળે છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે વેગ $V$ નું સૂત્ર $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 = 2.5 \sqrt{4^2 - x^2}$.
$2.5$ વડે ભાગતા: $2 = \sqrt{16 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = 16 - x^2$.
તેથી,$x^2 = 12$,જેનો અર્થ છે કે $x = \sqrt{12} \ cm$.
આને $\sqrt{\alpha} \ cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 12$ મળે છે.