SHM of Simple Pendulum Questions in Hindi

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{\text{eff}}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$(a)$ जब लिफ्ट स्थिर होती है $(a = 0)$,तो प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}} = g$ होता है। अतः,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.
$(b)$ जब लिफ्ट $a = \frac{g}{6}$ के त्वरण से ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}} = g + a = g + \frac{g}{6} = \frac{7g}{6}$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T^{\prime}$ इस प्रकार होगा:
$T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{7g/6}} = 2 \pi \sqrt{\frac{6\ell}{7g}}$.
इसे मूल आवर्तकाल $T$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T^{\prime} = \sqrt{\frac{6}{7}} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \right) = \sqrt{\frac{6}{7}} T$.

(A) यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार,लोलक के गोलक का अधिकतम वेग उसकी सबसे निचली स्थिति में प्राप्त होता है।
माना कि डोरी की लंबाई $\ell = 250\,cm = 2.5\,m$ है।
गोलक जिस ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ से नीचे गिरता है,वह इस प्रकार है:
$h = \ell - \ell \cos 60^{\circ} = \ell(1 - \cos 60^{\circ})$
$h = 2.5 \times (1 - 0.5) = 2.5 \times 0.5 = 1.25\,m$
ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए,उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$v_{\max} = \sqrt{2gh}$
$v_{\max} = \sqrt{2 \times 10 \times 1.25} = \sqrt{25} = 5\,m/s$

(C) $S.H.M.$ के लिए मानक समीकरण $Y = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = A \sin(\pi t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = \pi \, rad/s$ प्राप्त होती है।
एक सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\omega^2 = \frac{g}{\ell}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ell = \frac{g}{\omega^2}$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 980 \, cm/s^2$ और $\omega = \pi \, rad/s$ का मान रखने पर:
$\ell = \frac{980}{\pi^2} \approx \frac{980}{9.8696} \approx 99.3 \, cm$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,हमें $\ell \approx 99.4 \, cm$ प्राप्त होता है।

(B) जब गोलक को पानी में डुबोया जाता है तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ इस प्रकार होता है:
$g' = g - \frac{F_B}{m} = g - \frac{\rho_w V g}{\rho_b V} = g \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_b}\right)$
गोलक का आपेक्षिक घनत्व $\rho_b / \rho_w = 5$ दिया गया है,इसलिए $\rho_w / \rho_b = 1/5$.
$g' = g \left(1 - \frac{1}{5}\right) = g \left(\frac{4}{5}\right) = 0.8g$
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ होता है।
अतः,नया आवर्तकाल $T'$ होगा:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{0.8g}} = T \sqrt{\frac{1}{0.8}} = T \sqrt{\frac{5}{4}}$
चूंकि $T = 10 \, s$ दिया गया है:
$T' = 10 \sqrt{\frac{5}{4}} = 10 \frac{\sqrt{5}}{2} = 5 \sqrt{5} \, s$
इसे $5 \sqrt{x} \, s$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई वाहन $\alpha$ झुकाव वाले घर्षणहीन नत समतल पर नीचे की ओर गति करता है,तो उसका त्वरण $a = g \sin \alpha$ होता है जो नत समतल की दिशा में नीचे की ओर होता है।
वाहन के अंदर गुरुत्वीय त्वरण $(g_{eff})$ ज्ञात करने के लिए,हम लोलक के गोलक पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo-force) पर विचार करते हैं।
प्रभावी त्वरण,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ और वाहन के त्वरण के ऋणात्मक $(-a)$ का सदिश योग होता है।
$g_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$.
इन घटकों को नत समतल के लंबवत दिशा में वियोजित करने पर,हमें $g_{eff} = g \cos \alpha$ प्राप्त होता है।
सरल लोलक का दोलन काल $T = 2 \pi \sqrt{L / g_{eff}}$ द्वारा दिया जाता है।
$g_{eff} = g \cos \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g \cos \alpha}}$ प्राप्त होता है।

(A) बड़े आयामों के लिए एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left( 1 + \frac{\theta_{0}^{2}}{16} \right)$
जहाँ $\theta_{0}$ माध्य स्थिति से कोणीय आयाम है।
जैसे-जैसे आयाम $\theta_{0}$ बढ़ता है,आवर्तकाल $T$ भी बढ़ता है।
$T$ और $\theta_{0}$ के बीच का संबंध परवलयिक है,जिसका अर्थ है कि $T$,$\theta_{0}$ के साथ गैर-रेखीय रूप से,ऊपर की ओर वक्रता के साथ बढ़ता है।
इसलिए,सही आलेख वह है जो $T$ को $\theta_{0}$ के साथ बढ़ते हुए दिखाता है,जो आलेख $A$ के अनुरूप है।

(C) जब गुब्बारे को क्षैतिज रूप से थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो उत्प्लावन बल का क्षैतिज घटक जमीन से जुड़ी डोरी के सिरे के परितः एक टॉर्क उत्पन्न करता है। यह टॉर्क गुब्बारे के पार्श्व दोलन उत्पन्न करता है।
प्रत्यानयन टॉर्क है:
$\tau_1 = F_b \sin \theta \times l = V(\rho_{air} - \rho_{He})g l \sin \theta$
छोटे कोणीय विस्थापन के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,अतः:
$\tau_1 = V(\rho_{air} - \rho_{He})g l \theta$
गुब्बारे पर जड़त्वीय टॉर्क है:
$\tau_2 = I \alpha = (m l^2) \alpha = (V \rho_{He}) l^2 \alpha$
दोनों टॉर्क को बराबर करने पर (प्रत्यानयन प्रकृति को ध्यान में रखते हुए):
$V \rho_{He} l^2 \alpha = -V(\rho_{air} - \rho_{He}) g l \theta$
$\alpha = -\left(\frac{\rho_{air} - \rho_{He}}{\rho_{He}}\right) \frac{g}{l} \theta$
सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega^2 = \left(\frac{\rho_{air} - \rho_{He}}{\rho_{He}}\right) \frac{g}{l}$
आवर्तकाल $T$ है:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\left(\frac{\rho_{He}}{\rho_{air} - \rho_{He}}\right) \frac{l}{g}}$

(C) एक सरल लोलक के लिए,गति का समीकरण $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \sin \theta = 0$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,जो सरल आवर्त गति का आवर्तकाल $T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ देता है।
हालाँकि,बड़े आयामों के लिए (जैसे $45^{\circ}$),हम विस्तार $\sin \theta \approx \theta - \frac{\theta^3}{6}$ का उपयोग करते हैं।
आयाम $\theta_0$ वाले लोलक के लिए आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = T_0 \left( 1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \dots \right)$ है (जहाँ $\theta_0$ रेडियन में है)।
चूँकि $\theta_0 = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \text{ रेडियन}$ है,इसलिए पद $\frac{\theta_0^2}{16}$ धनात्मक है।
अतः,आवर्तकाल $T$ का मान $T_0$ से थोड़ा अधिक होगा।

(B) मान लीजिए कि क्षैतिज स्थिति से छोड़े जाने के बाद $\theta$ स्थिति पर लोलक का वेग $v$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
चूंकि क्षैतिज से नीचे गिरी ऊंचाई $h = l \cos \theta$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$mg(l \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$
$\Rightarrow \frac{v^2}{l} = 2g \cos \theta$
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_c = \frac{v^2}{l} = 2g \cos \theta$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण डोरी के लंबवत गुरुत्वाकर्षण के घटक के कारण होता है:
$a_t = g \sin \theta$.
यदि कुल त्वरण सदिश $\vec{a}$ डोरी के साथ (जो त्रिज्यीय त्वरण की दिशा है) $\phi$ कोण बनाता है,तो:
$\tan \phi = \frac{a_t}{a_c}$
$a_t$ और $a_c$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \phi = \frac{g \sin \theta}{2g \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{2}$
अतः,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{2}\right)$।

(A) सरल आवर्त गति करने वाले एक सरल लोलक के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ है।
इन समीकरणों से,हमारे पास है:
$\frac{v}{A\omega} = \cos(\omega t)$ और $\frac{a}{-A\omega^2} = \sin(\omega t)$.
सर्वसमिका $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{v}{A\omega}\right)^2 + \left(\frac{a}{-A\omega^2}\right)^2 = 1$
$\frac{v^2}{A^2\omega^2} + \frac{a^2}{A^2\omega^4} = 1$
यह $v-a$ तल में एक दीर्घवृत्त का समीकरण है,जहाँ $v$ क्षैतिज अक्ष पर है और $a$ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर है। अतः,सही ग्राफ $I$ है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
एक सरल लोलक में,घर्षण की अनुपस्थिति में कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। अपने चरम स्थितियों पर लोलक की कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा होती है,जो $U = mgh$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ दोलन के सबसे निचले बिंदु से बॉब की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
चूँकि लोलक शून्य प्रारंभिक वेग के साथ बिंदु $A$ से शुरू होता है,इसकी कुल ऊर्जा $E = mgh_A$ है। दूसरे चरम बिंदु $D$ पर,वेग फिर से शून्य है,इसलिए इसकी कुल ऊर्जा $E = mgh_D$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$mgh_A = mgh_D$,जिसका अर्थ है कि $h_A = h_D$। चूँकि $A$ और $B$ एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित हैं,इसलिए $h_A = h_B$ होता है। अतः,$h_D = h_B$,जिसका अर्थ है कि चरम बिंदु $D$ को उसी क्षैतिज रेखा $A B$ पर स्थित होना चाहिए।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l_{eff}}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l_{eff}$ लोलक की प्रभावी लंबाई है।
$l_{eff}$ निलंबन बिंदु और बॉब के द्रव्यमान केंद्र (center of mass) के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,जब बॉब पानी से भरा होता है,तो द्रव्यमान केंद्र बॉब के ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
जैसे-जैसे पानी बाहर निकलता है,निकाय (बॉब + शेष पानी) का द्रव्यमान केंद्र नीचे की ओर खिसकता है,जिससे प्रभावी लंबाई $l_{eff}$ बढ़ जाती है। परिणामस्वरूप,आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे पानी का स्तर गिरता रहता है और बॉब खाली हो जाता है,द्रव्यमान केंद्र अंततः वापस बॉब के ज्यामितीय केंद्र पर आ जाता है।
चूंकि इस दूसरे चरण के दौरान प्रभावी लंबाई $l_{eff}$ कम हो जाती है,इसलिए आवर्तकाल $T$ घट जाता है।
अतः,आवर्तकाल $T$ पहले बढ़ता है और फिर घटता है।

(D) द्रव्यमान $m$,बिंदु $Q$ से $H$ ऊँचाई पर है,जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य ली गई है। चित्र की ज्यामिति से,यदि किसी कोण $\theta$ पर,द्रव्यमान $m$ की सबसे निचले बिंदु $Q$ से ऊँचाई $h$ है,तो $\triangle ABC$ से,$\cos \theta = \frac{R-h}{R} \Rightarrow h = R(1 - \cos \theta)$। अतः,स्थितिज ऊर्जा $U(\theta) = mgh = mgR(1 - \cos \theta)$ है।
$(b)$ स्थिति $\theta$ पर गतिज ऊर्जा $K(\theta)$,प्रारंभिक स्थिति $P$ से स्थिति $\theta$ तक पहुँचने में हुई स्थितिज ऊर्जा की हानि है। अतः,$K(\theta) = mgH - U(\theta) = mgH - mgR(1 - \cos \theta) = mg(H - R(1 - \cos \theta))$ है।
$(c)$ $H \ll R$ के लिए,गति सरल आवर्त गति है जिसका आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ है। $P$ से $Q$ तक जाने में लगा समय इस आवर्तकाल का एक-चौथाई है। अतः,$t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4} \sqrt{\frac{R}{g}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R}{g}}$ है।
$(d)$ सबसे निचले बिंदु $Q$ पर ऊर्जा संरक्षण के नियम से,यदि $m$ का वेग $v$ है,तो $\frac{1}{2}mv^2 = mgH \Rightarrow mv^2 = 2mgH$। अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{2mgH}{R}$ है। $Q$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ के लिए $N - mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow N = mg + \frac{2mgH}{R} = mg(1 + \frac{2H}{R})$ है। यह ब्लॉक द्वारा सतह पर लगाया गया बल है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति में स्थितिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$m g x(1-\cos \theta) = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 g x(1-\cos \theta)$
$v = \sqrt{2 g x(1-\cos \theta)}$
$\theta_1$ कोण पर पहली स्थिति के लिए,$v_1 = \sqrt{2 g x(1-\cos \theta_1)}$.
$\theta_2$ कोण पर दूसरी स्थिति के लिए,$v_2 = \sqrt{2 g x(1-\cos \theta_2)}$.
दोनों गतियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{2 g x(1-\cos \theta_1)}}{\sqrt{2 g x(1-\cos \theta_2)}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta_1}{1-\cos \theta_2}}$

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{\text{eff}}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
$1$. स्थिर लिफ्ट के लिए,$g_{\text{eff}} = g$,इसलिए $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
$2$. जब लिफ्ट स्थिर गति से नीचे उतरती है,तो त्वरण शून्य होता है। अतः,$g_{\text{eff}} = g$,और आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. इसलिए,$T_0 = T_1$.
$3$. जब लिफ्ट निरंतर नीचे की ओर त्वरण $a$ के साथ उतरती है,तो लोलक के गोलक पर ऊपर की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $ma$ कार्य करता है। प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}} = g - a$ हो जाता है। चूँकि $g - a < g$,नया आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g - a}}$,$T_0$ और $T_1$ से अधिक होगा।
अतः,$T_0 = T_1 < T_2$.

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सेकंड लोलक के लिए,आवर्तकाल $T$ स्थिर $(T = 2 \text{ s})$ होता है।
सूत्र से,$T^2 \propto \frac{l}{g}$,जिसका अर्थ है कि स्थिर $T$ के लिए $l \propto g$ होता है।
यदि नए ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$,पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का $4$ गुना है $(g' = 4g)$,तो आवर्तकाल $T$ को स्थिर रखने के लिए,नई लंबाई $l'$ को अनुपात $\frac{l'}{l} = \frac{g'}{g}$ को संतुष्ट करना चाहिए।
मान रखने पर,हमें $\frac{l'}{l} = \frac{4g}{g} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,लोलक की लंबाई को उसकी मूल लंबाई का $4$ गुना किया जाना चाहिए।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब गोलक को द्रव में डुबोया जाता है,तो उस पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल (upthrust) कार्य करता है।
मान लीजिए धातु का घनत्व $\rho$ है और द्रव का घनत्व $\sigma$ है। दिया गया है कि $\sigma = \frac{\rho}{4}$।
गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{\text{eff}}$ इस प्रकार है: $g_{\text{eff}} = g(1 - \frac{\sigma}{\rho})$।
$\sigma = \frac{\rho}{4}$ रखने पर,हमें $g_{\text{eff}} = g(1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4}g$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\frac{3}{4}g}} = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{3g}}$।
इसे सरल करने पर $T' = \sqrt{\frac{4}{3}} \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = \frac{2}{\sqrt{3}}T$ प्राप्त होता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
$L_1 = 1.21 \,m$ लंबाई वाले पहले लोलक के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{1.21}{g}} = 1.1 \times 2 \pi \sqrt{\frac{1}{g}}$ है।
$L_2 = 1.0 \,m$ लंबाई वाले दूसरे लोलक के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{1.0}{g}}$ है।
अतः,$T_1 = 1.1 T_2 = \frac{11}{10} T_2$,जिसका अर्थ है $10 T_1 = 11 T_2$।
मान लीजिए कि जब वे फिर से समान कला में होते हैं,तो लंबे लोलक के दोलनों की संख्या $n_1$ है और छोटे लोलक के दोलनों की संख्या $n_2$ है।
समान कला में होने की शर्त $n_1 T_1 = n_2 T_2$ है।
$T_1 = \frac{11}{10} T_2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n_1 (\frac{11}{10} T_2) = n_2 T_2$ प्राप्त होता है,जो $11 n_1 = 10 n_2$ में सरल हो जाता है।
सबसे छोटे पूर्णांक मानों के लिए,$n_1 = 10$ और $n_2 = 11$ प्राप्त होते हैं।
इसलिए,लंबे लोलक के $10$ दोलनों के बाद दोनों लोलक फिर से समान कला में होंगे।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$T_1 = 60 \, s$ और लंबाई $l_1$ है।
जब लंबाई $44 \%$ बढ़ाई जाती है,तो नई लंबाई $l_2 = l_1 + 0.44 l_1 = 1.44 l_1$ हो जाती है।
नया आवर्तकाल $T_2$ का मान $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
अतः,$T_2 = 1.2 \times T_1 = 1.2 \times 60 \, s = 72 \, s$.

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्राकृतिक लघुगणक लेकर और अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि लंबाई में $0.2 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta L}{L} = 0.002$ है।
अतः,आवर्तकाल में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 0.002 = 0.001$ है।
प्रति दिन खोया हुआ समय $\Delta T = \left( \frac{\Delta T}{T} \right) \times t$ है,जहाँ $t = 24 \times 3600 \, s = 86400 \, s$ है।
मान रखने पर,$\Delta T = 0.001 \times 86400 = 86.4 \, s$।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब गोलक को द्रव में डुबोया जाता है,तो उस पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल (upthrust) कार्य करता है।
प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}}$ का मान $g_{\text{eff}} = g(1 - \frac{\rho_L}{\rho_S})$ होता है,जहाँ $\rho_L$ द्रव का घनत्व है और $\rho_S$ ठोस (लोहे) का घनत्व है।
दिया गया है कि $\rho_L = \frac{1}{12} \rho_S$,इसलिए $\frac{\rho_L}{\rho_S} = \frac{1}{12}$.
अतः,$g_{\text{eff}} = g(1 - \frac{1}{12}) = g(\frac{11}{12})$.
नया आवर्तकाल $T'$ का मान $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(\frac{11}{12})}}$ होगा।
इसलिए,$T' = T \sqrt{\frac{12}{11}}$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
जब एक धनावेशित लोलक को ऊपर की ओर निर्देशित विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है, तो लोलक के गोलक पर ऊपर की दिशा में विद्युत बल $F_e = qE$ कार्य करता है।
अतः प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g - \frac{qE}{m}$ हो जाता है।
चूंकि $g_{eff} < g$, इसलिए आवर्तकाल के सूत्र में हर (denominator) का मान कम हो जाता है।
अतः, विद्युत क्षेत्र के बिना वाले मामले की तुलना में आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$ है,इसलिए $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{9.8}}$।
जब लिफ्ट $a = 3 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी त्वरण $g' = g + a = 9.8 + 3 = 12.8 \ m/s^2$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $t'$ है: $t' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{12.8}}$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{t'}{t} = \frac{2\pi \sqrt{l/12.8}}{2\pi \sqrt{l/9.8}} = \sqrt{\frac{9.8}{12.8}}$।
अतः,$t' = t \sqrt{\frac{9.8}{12.8}}$।

(D) सरल लोलक की डोरी में अधिकतम तनाव उसके दोलन के सबसे निचले बिंदु पर होता है।
सबसे निचले बिंदु पर,तनाव $T$ का मान $T = mg + \frac{mv^2}{l}$ होता है,जहाँ $v$ सबसे निचले बिंदु पर वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,अधिकतम कोणीय विस्थापन $\theta_0$ पर स्थितिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgl(1 - \cos \theta_0) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta_0)$
$v^2$ का मान तनाव के समीकरण में रखने पर:
$T_{\max} = mg + \frac{m(2gl(1 - \cos \theta_0))}{l}$
$T_{\max} = mg + 2mg(1 - \cos \theta_0)$
छोटे कोणों के लिए,हम $\cos \theta_0 \approx 1 - \frac{\theta_0^2}{2}$ सन्निकटन का उपयोग करते हैं:
$T_{\max} = mg + 2mg(1 - (1 - \frac{\theta_0^2}{2}))$
$T_{\max} = mg + 2mg(\frac{\theta_0^2}{2})$
$T_{\max} = mg(1 + \theta_0^2)$

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे एक कृत्रिम उपग्रह के अंदर,उपग्रह और उसके अंदर की हर वस्तु भारहीनता की स्थिति में होती है,जिसका अर्थ है कि प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = 0$ है।
सूत्र में $g_{eff} = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $T \rightarrow \infty$।
अतः,लोलक का आवर्तकाल अनंत होता है।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $(T)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T^2 = \frac{4\pi^2}{g} \times L$
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = T^2$,$x = L$,और ढाल $m = \frac{4\pi^2}{g}$ है।
चूँकि $m$ एक धनात्मक नियतांक है,इसलिए $T^2$ बनाम $L$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी।
अतः,सही ग्राफ विकल्प $(C)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) एक सरल लोलक में अधिकतम तनाव माध्य स्थिति पर होता है,जो $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा चरम स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - \cos \theta_0)$,जहाँ $\sin \theta_0 = \frac{A}{l} = \frac{10}{100} = 0.1$ है।
अतः,$\frac{mv^2}{l} = 2mg(1 - \cos \theta_0)$.
इसे तनाव के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $T_{max} = mg + 2mg(1 - \cos \theta_0) = mg(3 - 2\cos \theta_0)$.
चूँकि $\cos \theta_0 = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_0} = \sqrt{1 - (0.1)^2} = \sqrt{0.99} \approx 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$.
$T_{max} = 0.25 \times 9.8 \times (3 - 2 \times 0.995) = 2.45 \times (3 - 1.99) = 2.45 \times 1.01 = 2.4745$.
दिया गया है कि $T_{max} = \frac{x}{40}$,इसलिए $x = 40 \times 2.4745 = 98.98 \approx 99$.

(B) निम्नतम स्थिति में,वेग $v$ है। त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्री है,जो $a_{low} = \frac{v^2}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है।
चरम स्थिति में,वेग शून्य है। त्वरण पूरी तरह से स्पर्शरेखीय है,जो $a_{ext} = g \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
निम्नतम बिंदु और चरम बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} mv^2 = mg \ell(1 - \cos \theta) \Rightarrow \frac{v^2}{\ell} = 2g(1 - \cos \theta)$.
यह दिया गया है कि त्वरण के परिमाण समान हैं:
$a_{low} = a_{ext} \Rightarrow \frac{v^2}{\ell} = g \sin \theta$.
$\frac{v^2}{\ell}$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$2g(1 - \cos \theta) = g \sin \theta \Rightarrow 2(1 - \cos \theta) = \sin \theta$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ और $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$2(2 \sin^2(\theta/2)) = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$.
$2 \sin(\theta/2)$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\theta \neq 0$):
$2 \sin(\theta/2) = \cos(\theta/2) \Rightarrow \tan(\theta/2) = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।

(B) $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $h = 2R$,इसलिए $g' = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2 = \frac{g}{9}$।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ होता है।
सेकंड लोलक के लिए,$T = 2 \ s$।
मान रखने पर: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g/9}} = 2\pi \sqrt{\frac{9\ell}{g}}$।
$2$ से भाग देने पर: $1 = \pi \sqrt{\frac{9\ell}{g}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 = \pi^2 \left( \frac{9\ell}{g} \right)$।
दिया गया है $g = \pi^2 \ m/s^2$,इस मान को समीकरण में रखने पर: $1 = \pi^2 \left( \frac{9\ell}{\pi^2} \right) = 9\ell$।
अतः,$\ell = \frac{1}{9} \ m$।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है। आवर्तकाल गोलक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
दिया गया है कि नई लंबाई $\ell^{\prime} = \frac{\ell}{2}$ है।
नया आवर्तकाल $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell^{\prime}}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{2g}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} T$.
प्रश्न के अनुसार,$T^{\prime} = \frac{x}{2} T$.
इसलिए,$\frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) एक सरल लोलक के लिए,कोणीय त्वरण $\alpha$ को समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega^2 = \frac{g}{l}$ है।
चूंकि दोनों लोलकों का कोणीय त्वरण परिमाण में समान है,इसलिए हमारे पास $|\alpha_1| = |\alpha_2|$ है।
$\alpha$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{g}{l_1} \theta_1 = \frac{g}{l_2} \theta_2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से गुरुत्वीय त्वरण $g$ को हटाने पर,हमें $\frac{\theta_1}{l_1} = \frac{\theta_2}{l_2}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\theta_1 l_2 = \theta_2 l_1$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d$ है। छड़ से गोलक की ऊर्ध्वाधर दूरी $h = \ell \sin 45^{\circ} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ है।
जब गोलक को डोरियों के तल के लंबवत एक छोटे कोण $\theta$ पर विस्थापित किया जाता है,तो लोलक की प्रभावी लंबाई छड़ से गोलक तक की लंबवत दूरी होती है,जो $h = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ है।
छोटे दोलनों के लिए प्रत्यानयन बल गुरुत्वाकर्षण के घटक द्वारा प्रदान किया जाता है,और यह गति $L_{eff} = h = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ लंबाई के एक सरल लोलक के समतुल्य है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ है।
$L_{eff} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ रखने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{\sqrt{2} g}}$ प्राप्त होता है।

(A) गाड़ी के संदर्भ में,लोलक के बॉब पर लगने वाले छद्म बल (pseudo force) के कारण इसकी संतुलन स्थिति स्थानांतरित हो जाती है। लोलक पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण $g_{\text{eff}}$,गुरुत्वीय त्वरण $g$ और गाड़ी की गति की विपरीत दिशा में छद्म त्वरण $a = \sqrt{3}g$ का सदिश योग है।
$g_{\text{eff}} = \sqrt{g^2 + a^2} = \sqrt{g^2 + (\sqrt{3}g)^2} = \sqrt{g^2 + 3g^2} = \sqrt{4g^2} = 2g$.
दिया गया है $g = \pi^2 \ m/s^2$,इसलिए $g_{\text{eff}} = 2\pi^2 \ m/s^2$.
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$L = 50 \ cm = 0.5 \ m$ और $g_{\text{eff}} = 2\pi^2 \ m/s^2$ रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{2\pi^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{2} \cdot \frac{1}{\pi^2}} = 2\pi \cdot \frac{1}{\pi} \sqrt{0.25} = 2 \cdot 0.5 = 1.0 \ s$.

(A) सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \,s$ होता है। आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है。
चूंकि $T$ स्थिर $(2 \,s)$ है, इसलिए $\ell \propto g$ होगा, जिसका अर्थ है $\frac{\ell'}{\ell} = \frac{g'}{g}$。
गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है。
ग्रह के लिए, $M' = 1.5M$ और $R' = 1.5R$ है。
अतः, $g' = \frac{G(1.5M)}{(1.5R)^2} = \frac{1.5}{2.25} \frac{GM}{R^2} = \frac{1}{1.5} g$。
इस मान को लंबाई के अनुपात में रखने पर: $\ell' = \ell \times \frac{g'}{g} = 1 \,m \times \frac{1}{1.5} = \frac{1}{1.5} \,m \approx 0.67 \,m$。

(D) सेकंड्स लोलक वह लोलक है जिसका आवर्तकाल $2 \text{ s}$ होता है।
पृथ्वी की परिक्रमा कर रही अंतरिक्ष प्रयोगशाला में,प्रयोगशाला और उसके अंदर की हर वस्तु भारहीनता की स्थिति में होती है।
इसका अर्थ है कि प्रयोगशाला के अंदर गुरुत्वीय त्वरण $(g_{\text{eff}})$ $0$ है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}}$ है।
सूत्र में $g_{\text{eff}} = 0$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,लोलक का आवर्तकाल अनंत होगा।

(D) माना लोलक की लंबाई $r$ है। जब गोलक को माध्य स्थिति से $90^{\circ}$ पर विस्थापित किया जाता है,तो निम्नतम बिंदु के सापेक्ष इसकी ऊँचाई $r$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$PE_{top} = KE_{bottom}$
$mgr = \frac{1}{2}mv^2$
$mv^2 = 2mgr$
निम्नतम स्थिति में,गोलक पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। परिणामी बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T - mg = \frac{mv^2}{r}$
$T = mg + \frac{mv^2}{r}$
समीकरण में $mv^2 = 2mgr$ रखने पर:
$T = mg + \frac{2mgr}{r} = mg + 2mg = 3mg$.

(C) गोलक पर कार्य करने वाला विद्युत बल $F_{\text{electric}} = qE$ है,जो चित्र के अनुसार ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
गोलक का प्रभावी भार $mg_{\text{eff}} = mg - F_{\text{electric}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}} = g - \frac{qE}{m}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$g_{\text{eff}}$ का मान रखने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g - \frac{qE}{m}}} = 2 \pi \left[ \frac{L}{g - \frac{qE}{m}} \right]^{\frac{1}{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर लिफ्ट के लिए,$g_{eff} = g$,इसलिए $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{3} \ s$ है।
जब लिफ्ट $a = g/3$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3L}{4g}} = \sqrt{\frac{3}{4}} \times (2\pi \sqrt{\frac{L}{g}})$ द्वारा दिया जाता है।
$T_1 = \sqrt{3} \ s$ का मान रखने पर,हमें $T_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5 \ s$ प्राप्त होता है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,निलंबन बिंदु स्थिर है,इसलिए $g_{eff} = g = 10 \ m/s^2$। अतः,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$।
जब निलंबन बिंदु $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ होता है।
विस्थापन $y = kt^2$ दिया गया है,इसलिए त्वरण $a$ विस्थापन का समय के सापेक्ष द्वितीय अवकलज है: $a = \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d^2}{dt^2}(kt^2) = 2k$।
चूंकि $k = 1 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $a = 2(1) = 2 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$g_{eff} = g + a = 10 + 2 = 12 \ m/s^2$।
नया आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{12}}$ होगा।
अब,अनुपात $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{4\pi^2 (L/g)}{4\pi^2 (L/g_{eff})} = \frac{g_{eff}}{g} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$,जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{L}$ है।
माना मूल लंबाई $L_1 = L$ है और मूल आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
नई लंबाई $L_2 = 3L$ है।
माना नया आवर्तकाल $T_2$ है।
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{L}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{T_2}{T} = \sqrt{\frac{3L}{L}} = \sqrt{3}$.
अतः,$T_2 = \sqrt{3} T$.

(D) वॉच ग्लास में दोलन करने वाला एक छोटा गोला एक सरल लोलक की तरह कार्य करता है।
इस समतुल्य लोलक की प्रभावी लंबाई $L$,वॉच ग्लास की वक्रता त्रिज्या $R$ के बराबर होती है।
दिया गया है,$R = 1.6 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$।
सरल लोलक के आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$।
$T = 2\pi \sqrt{0.16}$।
$T = 2\pi \times 0.4$।
$T = 0.8\pi \ s$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो $g_{eff} = g$,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो प्रभावी गुरुत्व $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$ है।
दिया गया है कि $T' = \frac{T}{2}$,इसलिए $\frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$।
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \right) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} \left( \frac{L}{g} \right) = \frac{L}{g+a}$।
इसे सरल करने पर $g + a = 4g$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 3g$।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $T \propto \sqrt{l}$,इसलिए $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ होगा।
यह दिया गया है कि आवर्तकाल में $20 \%$ की वृद्धि होती है,अतः नया आवर्तकाल $T_2 = T_1 + 0.20 T_1 = 1.2 T_1$ होगा।
इसलिए,$\frac{T_2}{T_1} = 1.2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \frac{l_2}{l_1}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{l_2}{l_1} = (1.2)^2 = 1.44$ होगा।

(A) गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
ग्रह के लिए दिया गया है: $M_p = 2M_e$ और $R_p = 2R_e$।
अतः,पृथ्वी और ग्रह पर गुरुत्व का अनुपात:
$\frac{g_e}{g_p} = \frac{M_e}{M_p} \times \left(\frac{R_p}{R_e}\right)^2 = \frac{M_e}{2M_e} \times \left(\frac{2R_e}{R_e}\right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$।
इसलिए,$g_p = \frac{g_e}{2}$।
लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ होता है,जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$।
इसलिए,$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}} = \sqrt{2}$।
चूंकि पृथ्वी पर सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T_e = 2 \ s$ है,हमें प्राप्त होता है:
$T_p = T_e \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ s$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{4}$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर त्वरित होती है,तो गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{\text{eff}} = g - a$ हो जाता है।
$g_{\text{eff}} = g - \frac{g}{4} = \frac{3g}{4}$.
नया आवर्तकाल $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\frac{3g}{4}}}$ होगा।
$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{4L}{3g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \times \sqrt{\frac{4}{3}}$.
चूंकि $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$,इसलिए $T_1 = T \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} T$ प्राप्त होता है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
जब बॉब को द्रव में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल के कारण प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ बदल जाता है।
प्रभावी भार $W' = V \rho g - V \sigma g$,जहाँ $\rho$ बॉब का घनत्व है और $\sigma$ द्रव का घनत्व है।
दिया गया है कि $\sigma = \frac{\rho}{8}$,अतः प्रभावी त्वरण $g'$ है:
$g' = g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right) = g \left(1 - \frac{1}{8}\right) = g \left(\frac{7}{8}\right)$.
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(7/8)}} = \sqrt{\frac{8}{7}} \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = \sqrt{\frac{8}{7}} T$.

(A) छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ वाले एक सरल लोलक के लिए,समय $t$ पर कोणीय स्थिति $\theta(t)$ सरल आवर्त गति $(SHM)$ के समीकरण द्वारा दी जाती है: $\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t)$.
यहाँ,प्रारंभिक कोणीय विस्थापन $\theta$ है,इसलिए $\theta(t) = \theta \cos(\omega t)$.
सरल लोलक की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का मान $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ होता है।
अतः,समय $t$ पर कोणीय विस्थापन $\theta(t) = \theta \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} \cdot t\right)$ है।
चाप के अनुदिश गोलक का रैखिक विस्थापन $s$,लोलक की लंबाई और कोणीय विस्थापन के गुणनफल के बराबर होता है: $s = L \cdot \theta(t)$.
$\theta(t)$ का मान रखने पर,हमें $s = L \theta \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} \cdot t\right)$ प्राप्त होता है।

(D) सरल लोलक की आवृत्ति का सूत्र है: $n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि आवृत्ति $n$,लंबाई $L$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $n \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$।
इसलिए,आवृत्तियों का अनुपात होगा: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$।
दिया गया है कि आवृत्तियों का अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \frac{3}{2}$ है,लंबाई का अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\frac{n_1}{n_2})^2 = \frac{L_2}{L_1} \Rightarrow (\frac{3}{2})^2 = \frac{L_2}{L_1} \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{L_2}{L_1}$।
अतः,लंबाई का अनुपात $L_1 : L_2$ का मान $4 : 9$ है।

(C) एक सरल लोलक की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$।
मान लीजिए मूल लंबाई $l_1 = l$ है और मूल आवृत्ति $f_1 = f$ है।
लंबाई को उसकी मूल लंबाई से तीन गुना बढ़ा दिया जाता है,इसलिए नई लंबाई $l_2 = l + 3l = 4l$ होगी।
संबंध $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{l}{4l}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,नई आवृत्ति $f_2 = \frac{f}{2}$ होगी।