SHM of Simple Pendulum Questions in Hindi

(C) मान लीजिए $T_1$ और $T_2$ दो लोलकों के आवर्तकाल हैं,और $\ell_1$ और $\ell_2$ उनकी लंबाइयाँ हैं।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि समान समय $t$ में,पहला लोलक $n_1 = 11$ दोलन करता है और दूसरा $n_2 = 9$ दोलन करता है।
अतः,$t = n_1 T_1 = n_2 T_2$।
$11 \times 2\pi \sqrt{\frac{\ell_1}{g}} = 9 \times 2\pi \sqrt{\frac{\ell_2}{g}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $121 \times \frac{\ell_1}{g} = 81 \times \frac{\ell_2}{g}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{81}{121}$।

(C) क्षैतिज तल में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = l \sin \theta$ है।
गोले (bob) पर कार्य करने वाले बल हैं:
$(i)$ $T$,डोरी में तनाव।
$(ii)$ $Mg$,गोले का भार जो नीचे की ओर कार्य करता है।
तनाव $T$ को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = Mg$ --- $(1)$
क्षैतिज घटक (अभिकेंद्र बल): $T \sin \theta = Mr \omega^2 = M(l \sin \theta) \omega^2$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{M(l \sin \theta) \omega^2}{Mg}$
$\tan \theta = \frac{l \sin \theta \cdot \omega^2}{g}$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{l \sin \theta \cdot \omega^2}{g}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{l \omega^2}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{l \cos \theta}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{l \cos \theta}}$
आवर्तकाल $t = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$t = 2 \pi \sqrt{\frac{l \cos \theta}{g}}$

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{L}$।
माना प्रारंभिक लंबाई $L_1 = L$ है और प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
नई लंबाई $L_2 = L + 0.44L = 1.44L$ है।
नया आवर्तकाल $T_2$,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{T_2}{T} = \sqrt{\frac{1.44L}{L}} = \sqrt{1.44} = 1.2$।
अतः,$T_2 = 1.2T$।
आवर्तकाल में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 1.2T - T = 0.2T$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta T}{T_1} \times 100 = \frac{0.2T}{T} \times 100 = 20\%$ है।

(B) सरल लोलक की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया आवृत्ति संबंध $f_{A}=2 f_{B}$ है।
आवृत्ति के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l_{A}}} = 2 \times \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l_{B}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{g}{l_{A}} = 4 \times \frac{g}{l_{B}}$
$\frac{1}{l_{A}} = \frac{4}{l_{B}}$
अतः,$l_{A} = \frac{l_{B}}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सरल लोलक की आवृत्ति केवल लंबाई $l$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करती है,यह बॉब के द्रव्यमान $M$ पर निर्भर नहीं करती है।

(A) मान लीजिए $O$ निलंबन बिंदु है और $B$ संतुलन स्थिति है। गोलक को ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर बिंदु $C$ तक विस्थापित किया जाता है।
$\triangle OAC$ में,ऊर्ध्वाधर दूरी $OA = l \cos \theta$ है।
ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ जिससे गोलक $C$ से $B$ तक गिरता है,वह $h = OB - OA = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा संतुलन स्थिति $B$ पर प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gh$
$h = l(1 - \cos \theta)$ का मान रखने पर:
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$
$v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
जब ट्रेन $a = 10 \ m/s^2$ के त्वरण से चलती है,तो प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ होता है।
जब ट्रेन $a = 10 \ m/s^2$ के मंदन से चलती है,तो प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g'_{eff} = \sqrt{g^2 + (-a)^2} = \sqrt{g^2 + a^2}$ होता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ का परिमाण समान रहता है,इसलिए आवर्तकाल $T$ अपरिवर्तित रहता है।
अतः,आवर्तकाल $2 \ s$ ही रहेगा।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
जब लिफ्ट एक समान वेग (सीधी रेखा में स्थिर गति) के साथ चलती है,तो इसका त्वरण शून्य होता है।
इस स्थिति में,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g$ होता है,जो उतना ही रहता है जितना कि लिफ्ट के स्थिर होने पर होता है।
इसलिए,आवर्तकाल $T$ अपरिवर्तित रहता है और घड़ी सही समय दर्शाती है।
यदि लिफ्ट त्वरित होती है,तो $g_{eff}$ बदल जाता है $(g_{eff} = g \pm a)$,जिससे घड़ी का समय आगे या पीछे हो जाता है।

(C) हवा में एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब गोलक को द्रव में डुबोया जाता है,तो उस पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_{up} = V \sigma g$ कार्य करता है,जहाँ $V$ गोलक का आयतन है और $\sigma$ द्रव का घनत्व है।
गोलक का प्रभावी भार $mg' = mg - F_{up} = V \rho_0 g - V \sigma g$ हो जाता है,जहाँ $\rho_0$ गोलक के पदार्थ का घनत्व है।
इस प्रकार,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का प्रभावी मान $g' = g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho_0}\right)$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपात $\rho = \frac{\sigma}{\rho_0}$ के अनुसार,$g' = g(1 - \rho)$ होगा।
नया आवर्तकाल $T'$ का मान $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(1 - \rho)}}$ होगा।
मूल आवर्तकाल $T$ के साथ तुलना करने पर,हमें $T' = \frac{T}{\sqrt{1 - \rho}}$ प्राप्त होता है।

(A) सरल आवर्त गति के लिए,$x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $V = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = m \omega^2$ है।
$x$ विस्थापन पर गतिज ऊर्जा $T = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
अनुपात $\frac{V}{T}$ लेने पर:
$\frac{V}{T} = \frac{\frac{1}{2} k x^2}{\frac{1}{2} k (A^2 - x^2)}$
$\frac{V}{T} = \frac{x^2}{A^2 - x^2}$

(A) सरल आवर्त गति में गोलक का विस्थापन $x = A \sin(\frac{2\pi}{T}t)$ द्वारा दिया जाता है।
एक पूर्ण दोलन (समय $T$) में,गोलक माध्य स्थिति से चरम स्थिति $A$ तक,वापस माध्य स्थिति पर,फिर दूसरी चरम स्थिति $-A$ तक और अंत में वापस माध्य स्थिति पर लौटता है।
एक आवर्तकाल $T$ में तय की गई कुल दूरी $A + A + A + A = 4A$ है।
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4A}{T}$.

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर त्वरित होती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = (g - a)$ हो जाता है।
चूँकि $T \propto \frac{1}{\sqrt{g_{eff}}}$,जैसे-जैसे $g_{eff}$ घटता है,आवर्तकाल $T$ बढ़ता है।
दिए गए विकल्पों में से,जब लिफ्ट नीचे की ओर त्वरित हो रही होती है,तो $g_{eff}$ का मान न्यूनतम होता है (यह मानते हुए कि $a < g$),जिसके परिणामस्वरूप आवर्तकाल सबसे अधिक होता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L$ लोलक की प्रभावी लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सूत्र से देखा जा सकता है कि आवर्तकाल $T$ बॉब के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
चूँकि लोलक की लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए द्रव्यमान में परिवर्तन के बावजूद आवर्तकाल समान रहेगा।
अतः,नया आवर्तकाल $2\, s$ होगा।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l_{eff}}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
जब बच्चा बैठा होता है,तो निकाय का द्रव्यमान केंद्र निलंबन बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होता है।
जब बच्चा खड़ा हो जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र ऊपर की ओर स्थानांतरित हो जाता है,जो प्रभावी रूप से लोलक की लंबाई $(l_{eff})$ को कम कर देता है।
चूंकि $T \propto \sqrt{l_{eff}}$,इसलिए $l_{eff}$ में कमी के परिणामस्वरूप आवर्तकाल $T$ में कमी आती है।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L_{eff}$ निलंबन बिंदु और गोलक के द्रव्यमान केंद्र के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,पानी से भरे गोले का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
जैसे-जैसे पानी नीचे से बाहर निकलना शुरू होता है,शेष पानी का द्रव्यमान केंद्र नीचे की ओर खिसक जाता है। यह लोलक की प्रभावी लंबाई $L_{eff}$ को बढ़ाता है।
चूँकि $T \propto \sqrt{L_{eff}}$,इसलिए जैसे-जैसे द्रव्यमान केंद्र नीचे जाता है,आवर्तकाल $T$ बढ़ता है।
जब पानी पूरी तरह से निकल जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र गोले के ज्यामितीय केंद्र पर वापस आ जाता है,इसलिए प्रभावी लंबाई अपने मूल मान पर वापस आ जाती है और आवर्तकाल घटकर अपने मूल मान पर वापस आ जाता है।
अतः,आवर्तकाल पहले बढ़ता है और फिर घटकर मूल मान पर वापस आ जाता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
परिक्रमा कर रहे उपग्रह के अंदर,वस्तु भारहीनता की स्थिति में होती है,जिसका अर्थ है कि प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = 0$ है।
सूत्र में $g_{eff} = 0$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,Assertion सही है।
Reason बताता है कि आवर्तकाल $\sqrt{g}$ के व्युत्क्रमानुपाती है,जो $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ सूत्र के अनुसार गणितीय रूप से सही है।
चूंकि अनंत आवर्तकाल सूत्र में $g_{eff} = 0$ होने का सीधा परिणाम है,इसलिए Reason,Assertion की सही व्याख्या करता है।

(D) $h$ ऊँचाई से गिरने वाली वस्तु के लिए गिरने का समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$t \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ है।
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{t}{T} = \frac{k_1 / \sqrt{g}}{k_2 / \sqrt{g}} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{t}{T}$ का अनुपात गुरुत्वीय त्वरण $g$ से स्वतंत्र है,इसलिए यह संबंध किसी भी ग्रह पर समान रहता है।
यह दिया गया है कि पृथ्वी पर $t = 2T$ है,इसलिए दूसरे ग्रह पर $t' = 2T'$ होगा।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
लंबाई $L$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$L = \frac{g T^{2}}{4 \pi^{2}}$
सेकंड लोलक वह लोलक है जिसका आवर्तकाल $T = 2 \, s$ होता है।
यहाँ $g = 9.8 \, m/s^{2}$ और $T = 2 \, s$ रखने पर:
$L = \frac{9.8 \times (2)^{2}}{4 \times (3.14)^{2}}$
चूंकि $\pi^{2} \approx 9.8$ है,इसलिए:
$L = \frac{9.8 \times 4}{4 \times 9.8} = 1 \, m$
अतः,सेकंड लोलक की लंबाई $1 \, m$ है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी के लिए: $T_e = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_e}} = 3.5 \; s$,जहाँ $g_e = 9.8 \; m s^{-2}$ है।
चंद्रमा के लिए: $T_m = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_m}}$,जहाँ $g_m = 1.7 \; m s^{-2}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_m}}$.
$T_m = T_e \times \sqrt{\frac{g_e}{g_m}} = 3.5 \times \sqrt{\frac{9.8}{1.7}}$.
$T_m = 3.5 \times \sqrt{5.7647} \approx 3.5 \times 2.4 = 8.4 \; s$.
अतः,चंद्रमा पर लोलक का आवर्तकाल $8.4 \; s$ है।

(N/A) सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -mg \sin \theta$ है। छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $F \approx -mg \theta = -mg (x/l) = -(mg/l)x$। इसे $F = -kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = mg/l$ प्राप्त होता है। इसे $T = 2 \pi \sqrt{m/k}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{m / (mg/l)} = 2 \pi \sqrt{l/g}$ प्राप्त होता है। अतः,$T$ द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है।
$(b)$ बड़े कोणों के लिए,$\sin \theta < \theta$ होता है। प्रत्यानयन बल $F = -mg \sin \theta$ रैखिक सन्निकटन $F = -mg \theta$ से छोटा होता है। छोटा प्रत्यानयन बल धीमी गति और लंबे आवर्तकाल $T$ की ओर ले जाता है।
$(c)$ हाँ। कलाई घड़ी स्प्रिंग-संचालित यांत्रिक दोलनों या क्वार्ट्ज क्रिस्टल के कंपन के सिद्धांत पर काम करती है,जो गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g$ से स्वतंत्र हैं। इसलिए,यह मुक्त पतन के दौरान सही समय देती है।
$(d)$ मुक्त रूप से गिरते हुए केबिन में,प्रभावी गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g_{eff} = g - a = g - g = 0$ होता है। आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{l/g_{eff}} = \infty$ होता है। इसलिए,दोलन आवृत्ति $f = 1/T = 0$ है।

(N/A) सरल लोलक के गोलक पर दो त्वरण कार्य करते हैं: गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है और अभिकेंद्र त्वरण $(a_c = v^2/R)$ जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $(a_{\text{eff}})$ इन दो लंबवत त्वरणों का सदिश योग है:
$a_{\text{eff}} = \sqrt{g^2 + a_c^2} = \sqrt{g^2 + (v^2/R)^2}$
सरल लोलक का आवर्तकाल $(T)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{a_{\text{eff}}}}$
$a_{\text{eff}}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + (v^2/R)^2}}}$

(N/A) कॉर्क का आधार क्षेत्रफल $= A$
कॉर्क की ऊँचाई $= h$
द्रव का घनत्व $= \rho_{l}$
कॉर्क का घनत्व $= \rho$
संतुलन की स्थिति में, कॉर्क का भार तैरते हुए कॉर्क द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है。
मान लीजिए कि कॉर्क को $x$ दूरी तक थोड़ा नीचे दबाया जाता है। परिणामस्वरूप, अतिरिक्त द्रव विस्थापित होता है, जो एक अतिरिक्त ऊपर की ओर उत्प्लावन बल (up-thrust) उत्पन्न करता है जो प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है。
प्रत्यानयन बल $F = -(\text{विस्थापित अतिरिक्त द्रव का भार})$
$F = -(A \cdot x \cdot \rho_{l} \cdot g)$
सरल आवर्त गति के बल नियम के अनुसार, $F = -kx$, जहाँ $k$ बल नियतांक है。
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, $k = A \rho_{l} g$ प्राप्त होता है。
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ कॉर्क का द्रव्यमान है。
कॉर्क का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \cdot h) \cdot \rho$ है。
$m$ और $k$ के मानों को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{A h \rho}{A \rho_{l} g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{h \rho}{\rho_{l} g}}$।

(N/A) सरल लोलक: एक छोटी भारी वस्तु (गोलक) जो एक हल्की,अवितान्य और लचीली डोरी द्वारा एक स्थिर (दृढ़) आधार से लटकी होती है,उसे सरल लोलक कहा जाता है।
सरल लोलक का संपूर्ण द्रव्यमान लटके हुए गोलक के गुरुत्व केंद्र पर केंद्रित माना जाता है।
निलंबन बिंदु से गोलक के द्रव्यमान केंद्र तक की दूरी को लोलक की लंबाई $(L)$ कहा जाता है।
आवर्तकाल $(T)$ के लिए व्यंजक की व्युत्पत्ति:
मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान का एक छोटा गोलक $L$ लंबाई की अवितान्य,द्रव्यमानहीन डोरी से बंधा है।
डोरी का दूसरा सिरा एक आधार से जुड़ा है। मान लीजिए कि डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
गोलक पर दो बल कार्य करते हैं:
$(1)$ डोरी में तनाव $T$ ।
$(2)$ गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
बल $mg$ को दो घटकों में वियोजित किया जा सकता है:
$(1)$ त्रिज्यीय घटक: $mg \cos \theta$ (डोरी की दिशा में)।
$(2)$ स्पर्शरेखीय घटक: $mg \sin \theta$ (डोरी के लंबवत)।
प्रत्यानयन बल $F = -mg \sin \theta$ है। छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$ (रेडियन में)।
अतः,$F = -mg \theta = -mg (x/L)$,जहाँ $x$ विस्थापन है।
$F = -kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = mg/L$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m/k} = 2\pi \sqrt{m / (mg/L)} = 2\pi \sqrt{L/g}$ होता है।

(N/A) सरल लोलक एक आदर्श निकाय है जिसमें एक भारी बिंदु द्रव्यमान (जिसे गोलक कहा जाता है) एक दृढ़ आधार से द्रव्यमानहीन,अवितान्य और पूर्णतः लचीली डोरी द्वारा लटका होता है।
जब गोलक को उसकी साम्यावस्था से विस्थापित करके छोड़ा जाता है,तो वह आवर्ती गति करता है।
लोलक की लंबाई,जिसे $L$ द्वारा दर्शाया जाता है,निलंबन बिंदु से गोलक के गुरुत्व केंद्र तक की दूरी के रूप में परिभाषित की जाती है।

(N/A) एक सरल लोलक में $m$ द्रव्यमान का एक गोलक $l$ लंबाई की हल्की डोरी से लटका होता है। जब लोलक को माध्य स्थिति से छोटे कोण $\theta$ पर विस्थापित किया जाता है,तो प्रत्यानयन बल गुरुत्वाकर्षण के स्पर्शरेखीय घटक द्वारा प्रदान किया जाता है।
$1$. प्रत्यानयन बल $F = -mg \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$ (रेडियन में),जहाँ $\theta = \frac{x}{l}$ ($x$ रैखिक विस्थापन है)।
$3$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = -mg \left( \frac{x}{l} \right) = -\left( \frac{mg}{l} \right) x$ प्राप्त होता है।
$4$. चूंकि $m, g,$ और $l$ स्थिरांक हैं,इसलिए प्रत्यानयन बल $F$ ऋणात्मक विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $F \propto -x$।
$5$. यह सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए परिभाषित शर्त है। अतः,यह गति $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ कोणीय आवृत्ति के साथ एक सरल आवर्त गति है।

(N/A) सरल लोलक के नियम निम्नलिखित हैं:
$1$. समकालिकता का नियम: छोटे आयामों के लिए,सरल लोलक का आवर्तकाल $(T)$ उसके आयाम पर निर्भर नहीं करता है।
$2$. लंबाई का नियम: आवर्तकाल $(T)$ उसकी प्रभावी लंबाई $(l)$ के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $T \propto \sqrt{l}$।
$3$. गुरुत्वीय त्वरण का नियम: आवर्तकाल $(T)$ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $T \propto 1/\sqrt{g}$।
$4$. द्रव्यमान का नियम: यदि लंबाई स्थिर रहती है,तो आवर्तकाल $(T)$ लोलक के गोलक के द्रव्यमान,आकार और पदार्थ से स्वतंत्र होता है।

(B) एक सरल लोलक में,कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
माध्य स्थिति पर,स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम ($0$ मानी जाती है) होती है और गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,इसलिए चाल $v$ तब अधिकतम होती है जब गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है।
अतः,लोलक की चाल माध्य स्थिति पर अधिकतम होती है।

(B) नहीं,पृथ्वी के केंद्र पर एक सरल लोलक का दोलन संभव नहीं है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान $0$ होता है।
सूत्र में $g = 0$ रखने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{0}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $T = \infty$ (अनंत)।
चूंकि आवर्तकाल अनंत है,इसलिए लोलक कोई दोलन पूरा नहीं करता है।

(N/A) झूले के दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र में,$l$ झूले की प्रभावी लंबाई (निलंबन बिंदु से निकाय के द्रव्यमान केंद्र तक की दूरी) को दर्शाता है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि आवर्तकाल के सूत्र में द्रव्यमान का कोई पद नहीं है,इसलिए आवर्तकाल झूले पर बैठे व्यक्ति के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,यदि प्रभावी लंबाई $l$ स्थिर रहती है,तो दूसरे व्यक्ति के बैठने से आवर्तकाल में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है。
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल लोलक की लंबाई और उस स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है。
आवर्तकाल गोलक के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है。
इसलिए, यदि गोलक का द्रव्यमान $9$ गुना बढ़ा दिया जाए, तो लोलक का आवर्तकाल अपरिवर्तित रहेगा。

(A) सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T_{1} = 2 \ s$ होता है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
चूंकि $2\pi$ और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए $T \propto \sqrt{l}$ का संबंध प्राप्त होता है।
दिया गया है कि नई लंबाई $l_{2} = \frac{l_{1}}{3}$ है,अतः अनुपात लेने पर:
$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \sqrt{\frac{l_{2}}{l_{1}}} = \sqrt{\frac{l_{1}/3}{l_{1}}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसलिए,नया आवर्तकाल $T_{2} = \frac{T_{1}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ s$ होगा।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि घड़ी तेज चल रही है,तो इसका मतलब है कि आवर्तकाल $T$ आवश्यकता से कम है,जिससे यह एक निश्चित समय में अधिक दोलन पूरे कर रही है।
घड़ी को सही समय पर समायोजित करने के लिए,हमें आवर्तकाल $T$ को बढ़ाने की आवश्यकता है।
चूंकि $T \propto \sqrt{L}$,पेंडुलम की लंबाई $L$ बढ़ाने से आवर्तकाल $T$ बढ़ जाएगा,जिससे घड़ी धीमी होकर सही समय पर आ जाएगी।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की प्रभावी लंबाई है (निलंबन बिंदु से निकाय के गुरुत्व केंद्र तक की दूरी)।
जब लड़की बैठी होती है,तो गुरुत्व केंद्र निलंबन बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होता है।
जब वह खड़ी हो जाती है,तो निकाय का गुरुत्व केंद्र ऊपर की ओर खिसक जाता है,जो निलंबन बिंदु के करीब आ जाता है।
इसके परिणामस्वरूप लोलक की प्रभावी लंबाई $l$ में कमी आती है।
चूंकि $T \propto \sqrt{l}$,इसलिए $l$ में कमी आने से आवर्तकाल $T$ में कमी आती है।

(C) जब समान लंबाई के दो लोलक माध्य स्थिति पर एक-दूसरे को पार करते हैं,तो वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे होते हैं।
यदि एक लोलक माध्य स्थिति पर दाईं ओर गति कर रहा है,तो उसका विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ है,जिसका अर्थ है कि उसकी कला $\phi_1 = 0$ या $\pi$ है।
यदि दूसरा लोलक उसी माध्य स्थिति को बाईं ओर गति करते हुए पार कर रहा है,तो उसकी गति को $x = A \sin(\omega t + \pi)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,दोनों गतियों के बीच का कलांतर $\Delta \phi = \pi - 0 = \pi \text{ rad}$ या $180^{\circ}$ है।

(N/A) नहीं,कृत्रिम उपग्रह में सरल लोलक घड़ी का उपयोग नहीं किया जा सकता है। सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। कृत्रिम उपग्रह में वस्तुएं भारहीनता की स्थिति का अनुभव करती हैं,जिसका अर्थ है कि गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $(g_{eff})$ $0$ है। जैसे ही $g_{eff} \to 0$ होता है,आवर्तकाल $T \to \infty$ हो जाता है। इसका अर्थ यह है कि लोलक दोलन नहीं करेगा और घड़ी काम करना बंद कर देगी।

(B) सरल लोलक की डोरी में ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर तनाव $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य स्थिति पर,$\theta = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos \theta = 1$ (अधिकतम मान) होता है।
साथ ही,माध्य स्थिति पर वेग $v$ भी अधिकतम होता है।
चूंकि $mg \cos \theta$ और $\frac{mv^2}{l}$ दोनों पद माध्य स्थिति पर अपने अधिकतम मान पर होते हैं,इसलिए कुल तनाव $T$ माध्य स्थिति पर अधिकतम होता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_m)$ पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_e)$ का लगभग $1/6$ होता है,इसलिए $g_m < g_e$ होता है।
संबंध $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ के अनुसार,जैसे-जैसे $g$ का मान घटता है,आवर्तकाल $T$ बढ़ता है।
अतः,जब एक सरल लोलक को पृथ्वी की सतह से चंद्रमा की सतह पर ले जाया जाता है,तो उसका आवर्तकाल बढ़ जाता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
$(a)$ $T^2 \to l$ के लिए: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $T^2 = \frac{4\pi^2}{g} l$। चूँकि $T^2 \propto l$, ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी। अतः, $(a-i)$।
$(b)$ $T^2 \to g$ के लिए: $T^2 = \frac{4\pi^2 l}{g}$ से, हमें $T^2 \propto \frac{1}{g}$ प्राप्त होता है। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है। अतः, $(b-iii)$।
$(c)$ $T \to l$ के लिए: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ से, हमें $T \propto \sqrt{l}$ प्राप्त होता है। यह एक परवलयाकार वक्र को दर्शाता है। अतः, $(c-ii)$।
अतः, सही मिलान $(a-i, b-iii, c-ii)$ है।

(B) सरल लोलक पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -mg \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे कोणीय विस्थापन के लिए,$\sin \theta \approx \theta$ (रेडियन में)।
अतः,प्रत्यानयन बल $F \approx -mg \theta$ हो जाता है।
चूंकि $\theta = x/l$,इसलिए हमें $F \approx -(mg/l)x$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि प्रत्यानयन बल विस्थापन $x$ के सीधे आनुपातिक है और साम्यावस्था की ओर निर्देशित है,जो सरल आवर्त गति के लिए आवश्यक शर्त है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सेकंड लोलक के लिए पृथ्वी और चंद्रमा दोनों पर $T$ स्थिर $(2 \ s)$ है,इसलिए $T \propto \sqrt{\frac{l}{g}}$ होगा।
अतः,$\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{l_m}{g_m} \cdot \frac{g_e}{l_e}}$.
यहाँ $T_e = T_m = 2 \ s$ दिया गया है,इसलिए $1 = \sqrt{\frac{l_m}{l_e} \cdot \frac{g_e}{g_m}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \frac{l_m}{l_e} \cdot \frac{g_e}{g_m}$.
हम जानते हैं कि $g_m = \frac{g_e}{6}$,इसलिए $\frac{g_e}{g_m} = 6$.
$l_e = 1 \ m$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर $1 = \frac{l_m}{1} \cdot 6$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$l_m = \frac{1}{6} \ m$ होगा।

(N/A) कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \text{ rad/s}$ है।
$t=0$ पर,गोलक $\theta = \theta_0$ पर है। कोणीय स्थिति $\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t)$ है।
जिस क्षण डोरी टूटती है,$\theta = \frac{\theta_0}{2}$,इसलिए $\frac{\theta_0}{2} = \theta_0 \cos(2\pi t_1) \implies \cos(2\pi t_1) = \frac{1}{2} \implies 2\pi t_1 = \frac{\pi}{3} \implies t_1 = \frac{1}{6} \text{ s}$।
इस क्षण पर वेग के घटक $v_x = l\omega \sin(\frac{\theta_0}{2})$ (क्षैतिज) और $v_y = l\omega \cos(\frac{\theta_0}{2})$ (नीचे की ओर) हैं।
चूंकि $\theta_0$ छोटा है,$v_x \approx l\omega(\frac{\theta_0}{2})$ और $v_y \approx l\omega$ है।
इस क्षण पर जमीन से गोलक की ऊंचाई $h = H + l(1 - \cos(\frac{\theta_0}{2})) \approx H + l(1 - 1) = H$ है।
ऊर्ध्वाधर गति $h = v_y t + \frac{1}{2}gt^2$ है,इसलिए $H = (l\omega)t + \frac{1}{2}gt^2$।
$t$ के लिए हल करने पर जमीन से टकराने का समय प्राप्त होता है। $A$ से क्षैतिज दूरी $x = l \sin(\frac{\theta_0}{2}) + v_x t = l(\frac{\theta_0}{2}) + (l\omega \frac{\theta_0}{2})t$ है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
मुक्त रूप से गिरती हुई लिफ्ट में,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g - a$ होता है। चूंकि लिफ्ट मुक्त रूप से गिर रही है,इसलिए $a = g$,अतः $g_{eff} = g - g = 0$ होगा।
इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
दोलन की आवृत्ति $f$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है,अर्थात $f = \frac{1}{T}$।
अतः,$f = \frac{1}{\infty} = 0 \text{ Hz}$।

(D) जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a = g/2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो लोलक के गोलक पर नीचे की ओर एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ का मान $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ होता है।
$g_{eff} = \frac{3g}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{3g/2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$ प्राप्त होता है।
इसे मूल आवर्तकाल $T$ के साथ तुलना करने पर,$T' = \sqrt{\frac{2}{3}} \times (2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}) = \sqrt{\frac{2}{3}} T$ प्राप्त होता है।

(C) सरल लोलक के आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
दिया गया है: लंबाई $l = 2 \ m$ और आवर्तकाल $T = 2 \ s$।
मानों को सूत्र में रखने पर:
$2 = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{g}}$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$1 = \pi \sqrt{\frac{2}{g}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 = \pi^{2} \left(\frac{2}{g}\right)$
$g$ के लिए हल करने पर:
$g = 2 \pi^{2} \ m/s^{2}$।

(B) सेकंड लोलक वह लोलक है जिसका आवर्तकाल $2 \, s$ होता है।
इसलिए,कथन $I$ गलत है।
एक चरम स्थिति से दूसरी चरम स्थिति तक जाने में लगा समय आवर्तकाल के आधे $(T/2)$ के बराबर होता है।
चूंकि $T = 2 \, s$ है,इसलिए लगा समय $2 \, s / 2 = 1 \, s$ है।
इसलिए,कथन $II$ सही है।

(A) माध्य स्थिति से शुरू करके,कण चरम स्थिति ($1/4$ दोलन) तक जाता है,वापस माध्य स्थिति ($1/2$ दोलन) पर आता है,और फिर दूसरी तरफ जाता है।
$5/8$ दोलन $1/2 + 1/8$ दोलन के बराबर है।
फेज (कला) के संदर्भ में,$1/2$ दोलन $\pi$ रेडियन के फेज परिवर्तन के अनुरूप है।
शेष $1/8$ दोलन $\frac{1}{8} \times 2\pi = \frac{\pi}{4}$ रेडियन के फेज परिवर्तन के अनुरूप है।
हालाँकि,प्रश्न $5/8$ चक्र के अनुरूप स्थिति तक पहुँचने में लगे समय के बारे में पूछता है। संदर्भ वृत्त विधि का उपयोग करते हुए,विस्थापन $y = A \sin(\omega t)$.
$5/8$ चक्र के लिए,फेज कोण $\phi = \frac{5}{8} \times 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.
चूंकि कण माध्य स्थिति से शुरू होता है,हम माध्य स्थिति के सापेक्ष फेज पर विचार करते हैं।
समय $t$,$\omega t = \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
इस प्रकार,$t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{5\pi/4}{2\pi/T} = \frac{5}{8} T$.
अतः,$\alpha = 5$.

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta \ell}{\ell}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि लंबाई $0.1\, \%$ बढ़ती है,इसलिए $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$ है।
प्रति दिन समय में त्रुटि $(\Delta T)$ की गणना $\Delta T = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times T_{total}$ के रूप में की जाती है,जहाँ $T_{total} = 24 \times 3600 \, s$ है।
मान रखने पर: $\Delta T = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 86400 = 43.2 \, s$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब गोलक को द्रव में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल के कारण प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}}$ बदल जाता है।
$m g_{\text{eff}} = m g - F_B$,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$F_B = V \sigma g$,जहाँ $V$ गोलक का आयतन है और $\sigma$ द्रव का घनत्व है।
दिया गया है कि $\sigma = \frac{\rho}{4}$,जहाँ $\rho$ गोलक का घनत्व है,इसलिए $F_B = V \frac{\rho}{4} g = \frac{m g}{4}$।
अतः,$m g_{\text{eff}} = m g - \frac{m g}{4} = \frac{3 m g}{4}$,जिसका अर्थ है $g_{\text{eff}} = \frac{3 g}{4}$।
धागे की नई लंबाई $l_1 = l + \frac{l}{3} = \frac{4l}{3}$ है।
नया आवर्तकाल $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{4l/3}{3g/4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{16l}{9g}} = \frac{4}{3} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$।
इसलिए,$T_1 = \frac{4}{3} T$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,आवर्तकाल $T_{0} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है।
जब लंबाई को घटाकर $\ell' = \frac{\ell}{16}$ कर दिया जाता है,तो नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell'}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell / 16}{g}}$.
$T' = \frac{1}{\sqrt{16}} \times (2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}})$.
$T' = \frac{1}{4} T_{0}$.

(D) सरल लोलक की आवृत्ति का समीकरण दिया गया है: $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $f^2 = \frac{1}{4 \pi^2} \cdot \frac{g}{\ell}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $f^2 = \left( \frac{g}{4 \pi^2} \right) \cdot \left( \frac{1}{\ell} \right)$.
इसकी तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = f^2$,$x = 1/\ell$,$m = \frac{g}{4 \pi^2}$,और $c = 0$ है।
चूंकि यह समीकरण $f^2$ और $1/\ell$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,इसलिए $f^2$ (ऑर्डिनेट पर) और $1/\ell$ (एब्सिस पर) के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $L_1 = 121 \ cm = 1.21 \ m$ और $L_2 = 100 \ cm = 1.0 \ m$ है।
मान लीजिए लंबे लोलक के दोलनों की संख्या $n_1$ है और छोटे लोलक के दोलनों की संख्या $n_2$ है।
उनके फिर से माध्य स्थिति में समान कला में होने के लिए,कुल समय समान होना चाहिए: $n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$n_1 (2 \pi \sqrt{\frac{1.21}{g}}) = n_2 (2 \pi \sqrt{\frac{1.0}{g}})$.
$n_1 (1.1) = n_2 (1.0)$.
$1.1 n_1 = n_2$,जिसका अर्थ है $\frac{n_2}{n_1} = \frac{1.1}{1} = \frac{11}{10}$.
चूंकि $n_2$ और $n_1$ पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए छोटे लोलक $(n_2)$ के लिए कंपनों की न्यूनतम संख्या $11$ है और लंबे लोलक $(n_1)$ के लिए $10$ है।