SHM of Simple Pendulum Questions in Hindi

(C) एक सरल पेंडुलम का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{L}$ है।
यदि पेंडुलम घड़ी धीमी चल रही है,तो इसका मतलब है कि आवर्तकाल $T$ आवश्यक मान से अधिक है।
समय को सही करने के लिए,हमें आवर्तकाल $T$ को कम करने की आवश्यकता है।
चूंकि $T$,लंबाई $L$ के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है,इसलिए लंबाई $L$ को कम करने से आवर्तकाल $T$ कम हो जाएगा।
इसलिए,हमें पेंडुलम की लंबाई कम करनी चाहिए।

(C) एक सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -mgL \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau \approx -mgL \theta$।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{-mgL \theta}{mL^2} = -\frac{g}{L} \theta$ है।
इसे $SHM$ समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{g}{L}$ प्राप्त होता है।
दोलन प्रणाली के लिए बल नियतांक $k$ को $k = m \omega^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\omega^2$ का मान रखने पर,हमें $k = m \left(\frac{g}{L}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,बल नियतांक $k$,बॉब के द्रव्यमान $m$ के समानुपाती और लोलक की लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
दिए गए विकल्पों में से,सबसे उपयुक्त संबंध यह है कि यह बॉब के द्रव्यमान के समानुपाती है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
जब ट्रॉली $a$ त्वरण के साथ क्षैतिज रूप से चलती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म-त्वरण $a$ (विपरीत दिशा में क्षैतिज रूप से) का सदिश योग होता है।
चूंकि ये दोनों त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए प्रभावी त्वरण का परिमाण $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2} = (a^2 + g^2)^{\frac{1}{2}}$ है।
इसे आवर्तकाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{(a^2 + g^2)^{\frac{1}{2}}}} = 2 \pi \sqrt{L} \cdot (a^2 + g^2)^{-\frac{1}{4}}$.

(B) सेकंड्स लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2 \ s$ होता है।
आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
$T = 2$ रखने पर,हमें $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $1 = \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \pi^2 \frac{l}{g}$ प्राप्त होता है,अतः $l = \frac{g}{\pi^2}$।
स्थान $A$ पर,$g_A = 981 \ cm/s^2$ और $\pi^2 = 10$ है,इसलिए $l_A = \frac{981}{10} = 98.1 \ cm$।
स्थान $B$ पर,लंबाई $0.3 \ cm$ कम हो जाती है,इसलिए $l_B = 98.1 - 0.3 = 97.8 \ cm$।
चूंकि यह अभी भी एक सेकंड्स लोलक है,इसलिए स्थान $B$ पर भी $T = 2 \ s$ होगा।
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l_B}{g_B}}$ का उपयोग करने पर,हमें $1 = \pi^2 \frac{l_B}{g_B}$ प्राप्त होता है।
अतः,$g_B = \pi^2 \times l_B = 10 \times 97.8 = 978 \ cm/s^2$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
सेकंड लोलक के लिए, पृथ्वी और ग्रह दोनों पर आवर्तकाल $T = 2 \,s$ होता है।
अतः, $T_e = T_p = 2 \,s$।
इसका अर्थ है कि $\frac{\ell_e}{g_e} = \frac{\ell_p}{g_p}$, इसलिए $\ell_p = \ell_e \left( \frac{g_p}{g_e} \right)$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
दिया गया है कि $M_p = 2M_e$ और $R_p = 2R_e$ (चूंकि व्यास दोगुना है, इसलिए त्रिज्या भी दोगुनी होगी)।
अतः, $g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} g_e$।
इस मान को लंबाई के समीकरण में रखने पर: $\ell_p = 1 \,m \times \left( \frac{g_e/2}{g_e} \right) = 1 \times 0.5 = 0.5 \,m$।

(C) विस्थापन का दिया गया समीकरण $x = a \sin \left(\frac{\pi}{\sqrt{2}} t\right)$ है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $x = a \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \ rad/s$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ s$ है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^{2} = 4\pi^{2} \frac{\ell}{g}$ प्राप्त होता है।
$T = 2\sqrt{2}$ और $g = \pi^{2}$ का मान रखने पर,$(2\sqrt{2})^{2} = 4\pi^{2} \frac{\ell}{\pi^{2}}$.
$8 = 4\ell$.
अतः,$\ell = 2 \ m$।

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{L}$ है।
यदि हम आवर्तकाल को दोगुना करना चाहते हैं, तो मान लें कि नया आवर्तकाल $T' = 2T$ है।
तब, $2T = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}}$.
नए समीकरण को मूल समीकरण से विभाजित करने पर: $\frac{2T}{T} = \frac{2\pi \sqrt{L'/g}}{2\pi \sqrt{L/g}}$.
यह सरल होकर $2 = \sqrt{\frac{L'}{L}}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $4 = \frac{L'}{L}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $L' = 4L$.
अतः, आवर्तकाल को दोगुना करने के लिए लंबाई को चार गुना बढ़ाना होगा।

(D) छोटे आयाम '$A$' के साथ सरल आवर्त गति करने वाले एक सरल लोलक के लिए,किसी भी कोण '$\theta$' पर डोरी में तनाव $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य स्थिति पर,वेग 'v' अधिकतम होता है और '$\theta = 0$' होता है,इसलिए '$\cos \theta = 1$'। अतः,अधिकतम तनाव $T_{\max} = mg + \frac{mv_{\max}^2}{\ell}$ है।
सरल आवर्त गति में,वेग $v = A\omega \cos(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$।
अधिकतम वेग $v_{\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{g}{\ell}}$ है।
इसलिए,$v_{\max}^2 = A^2 \frac{g}{\ell}$।
इस मान को $T_{\max}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{\max} = mg + \frac{m}{\ell} \left( A^2 \frac{g}{\ell} \right) = mg + mg \frac{A^2}{\ell^2} = mg \left( 1 + \frac{A^2}{\ell^2} \right)$।

(A) डोरी में तनाव तब अधिकतम होता है जब गोलक माध्य स्थिति से गुजरता है।
माध्य स्थिति पर,गोलक पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं। परिणामी अभिकेंद्र बल तनाव और भार के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T_{\max} - mg = \frac{mV^{2}}{L} \implies T_{\max} = mg + \frac{mV^{2}}{L} \dots (1)$
सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,माध्य स्थिति पर वेग $V = a\omega$ द्वारा दिया जाता है।
सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ होती है।
अतः,$V = a\sqrt{\frac{g}{L}}$,जिसका अर्थ है $V^{2} = a^{2}\frac{g}{L}$।
$V^{2}$ के इस मान को $Eq. (1)$ में रखने पर:
$T_{\max} = mg + \frac{m}{L} \left(a^{2}\frac{g}{L}\right) = mg + \frac{mga^{2}}{L^{2}} = mg \left[1 + \left(\frac{a}{L}\right)^{2}\right]$.

(A) सरल लोलक की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
चूँकि $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$, ऊर्जा का व्यंजक $E = \frac{1}{2} m (\frac{g}{l}) A^2 = \frac{mgA^2}{2l}$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि आयाम $A$ स्थिर रहता है और लंबाई $l$ बदलकर $l' = \frac{l}{3}$ हो जाती है, इसलिए नई ऊर्जा $E'$ का मान $E' = \frac{mgA^2}{2(l/3)} = 3 \times \frac{mgA^2}{2l} = 3E$ होगा।
अतः, कुल ऊर्जा मूल ऊर्जा की $3$ गुनी हो जाएगी।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले सरल लोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ होती है,इसलिए $\omega^2 = \frac{g}{L}$.
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $E = \frac{1}{2} m \left(\frac{g}{L}\right) A^2$.
दिया गया है कि $E_A = E_B$,$M_1 = M_2 = M$,और $L_1 = 2 L_2$:
$\frac{1}{2} M \left(\frac{g}{L_1}\right) A_A^2 = \frac{1}{2} M \left(\frac{g}{L_2}\right) A_B^2$.
सरल करने पर,हमें $\frac{A_A^2}{L_1} = \frac{A_B^2}{L_2}$ प्राप्त होता है।
$L_1 = 2 L_2$ रखने पर: $\frac{A_A^2}{2 L_2} = \frac{A_B^2}{L_2}$.
इससे $A_A^2 = 2 A_B^2$ या $A_A = \sqrt{2} A_B$ प्राप्त होता है।
अतः,$A_B = \frac{A_A}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $B$ का आयाम $A$ के आयाम से छोटा है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले सरल लोलक की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ होती है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $l$ लोलक की लंबाई है।
ऊर्जा के समीकरण में $\omega^2 = \frac{g}{l}$ रखने पर,हमें $E = \frac{1}{2} m (\frac{g}{l}) A^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि द्रव्यमान $(m)$,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$,और आयाम $(A)$ स्थिर हैं,इसलिए कुल ऊर्जा लोलक की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{l}$।
यदि नई लंबाई $l' = \frac{l}{4}$ है,तो नई ऊर्जा $E'$ का मान $E' \propto \frac{1}{l/4} = 4 \times (\frac{1}{l}) = 4E$ होगा।
अतः,कुल ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा की $4$ गुना हो जाएगी।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक के लिए,$x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $PE = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
चरम स्थिति पर,विस्थापन $x = A$ होता है,इसलिए $PE = \frac{1}{2} k A^2$ होगा।
सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -\frac{Mg}{L} x$ होता है,इसलिए बल नियतांक $k = \frac{Mg}{L}$ है।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में $k$ का मान रखने पर:
$PE = \frac{1}{2} \left( \frac{Mg}{L} \right) A^2$.
$PE = \frac{MgA^2}{2L}$.

(D) चरम स्थिति पर सरल आवर्त दोलक की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ होती है।
इस मान को स्थितिज ऊर्जा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P.E. = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{g}{L}}\right)^2 A^2$
$P.E. = \frac{1}{2} m \left(\frac{g}{L}\right) A^2$
$P.E. = \frac{mgA^2}{2L}$

(C) झूला न्यूनतम ऊँचाई $(h_{min} = 0.75 \,m)$ और अधिकतम ऊँचाई $(h_{max} = 2 \,m)$ के बीच $S.H.M$ करता है।
उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है,और निम्नतम बिंदु पर यह स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
प्रभावी ऊर्ध्वाधर विस्थापन (आयाम ऊँचाई) $h = h_{max} - h_{min} = 2 \,m - 0.75 \,m = 1.25 \,m$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} mv^2 = mgh$
$v^2 = 2gh$
$v^2 = 2 \times 10 \,m/s^2 \times 1.25 \,m$
$v^2 = 25 \,m^2/s^2$
$v = 5 \,m/s$.

(A) छोटे दोलन करने वाले सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -\frac{mg}{L} x$ होता है।
सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की स्थितिज ऊर्जा $PE = \frac{1}{2} k x^{2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रत्यानयन बल $F = -kx$ की तुलना $F = -\frac{mg}{L} x$ से करने पर,हमें स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{L}$ प्राप्त होता है।
चरम स्थिति पर,विस्थापन $x$ आयाम $A$ के बराबर होता है।
इन मानों को स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $PE = \frac{1}{2} \left( \frac{mg}{L} \right) A^{2} = \frac{mgA^{2}}{2L}$.

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$,जिसका अर्थ है $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$।
दी गई नई लंबाई $\ell_2 = \frac{\ell_1}{3}$ के लिए,नई कोणीय आवृत्ति $\omega_2$ और प्रारंभिक आवृत्ति $\omega_1$ का अनुपात $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_2}} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_1/3}} = \sqrt{3}$ है।
सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ होती है।
चूंकि द्रव्यमान $(m)$ और आयाम $(A)$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $E \propto \omega^2$ है।
अतः,$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$।
इस प्रकार,नई कुल ऊर्जा $E_2 = 3 E_1$ होगी।

(B) किसी भी कोण $\theta$ पर सरल लोलक की डोरी में तनाव $T$ को त्रिज्यीय बल संतुलन समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l}$
छोटे दोलनों के लिए,$\cos \theta \approx 1$ और वेग $v$ माध्य स्थिति $(\theta = 0)$ पर अधिकतम होता है।
अतः,अधिकतम तनाव $T_{\max}$ माध्य स्थिति पर होता है:
$T_{\max} = mg + \frac{mv_{\max}^2}{l}$
सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ है।
$S$.$H$.$M$. में अधिकतम वेग $v_{\max} = A\omega$ है।
तनाव के समीकरण में $v_{\max}$ का मान रखने पर:
$T_{\max} = mg + \frac{m(A\omega)^2}{l}$
$T_{\max} = mg + \frac{m A^2 \omega^2}{l}$
चूंकि $\omega^2 = \frac{g}{l}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$T_{\max} = mg + \frac{m A^2 (g/l)}{l}$
$T_{\max} = mg + \frac{m A^2 g}{l^2}$
$T_{\max} = mg \left[1 + \left(\frac{A}{l}\right)^2\right]$

(B) दोलन की पथ लंबाई दो चरम स्थितियों के बीच की कुल दूरी है, जो $2a$ के बराबर है, जहाँ $a$ आयाम है।
दिया गया है, $2a = 16 \,cm$, इसलिए आयाम $a = 8 \,cm$ है।
लोलक की लंबाई $l = 1 \,m$ है।
सरल लोलक की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है।
$g = \pi^2 \,m/s^2$ और $l = 1 \,m$ रखने पर, हमें $\omega = \sqrt{\frac{\pi^2}{1}} = \pi \,rad/s$ प्राप्त होता है।
सरल आवर्त गति में अधिकतम वेग $v_{max} = a\omega$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $v_{max} = 8 \,cm \times \pi \,rad/s = 8\pi \,cm/s$।

(D) दिया गया है: लंबाई $L = 0.4 \ m$,अधिकतम गति $v_{max} = 4 \ m/s$ (निम्नतम बिंदु पर)।
जब डोरी क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,तो यह ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
निम्नतम बिंदु से लोलक के गोलक की ऊँचाई $h = L - L \cos \theta = L(1 - \cos 60^{\circ})$ द्वारा दी जाती है।
$h = 0.4(1 - 0.5) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \ m$.
निम्नतम बिंदु और $\theta$ कोण पर स्थित बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} m v_{max}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + mgh$
$v^{2} = v_{max}^{2} - 2gh$
$v^{2} = (4)^{2} - 2 \times 10 \times 0.2$
$v^{2} = 16 - 4 = 12$
$v = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m/s$.

(A) सिक्का प्लेट पर रखा है और उसके साथ गति करता है। $S.H.M.$ में प्लेट का त्वरण $a = \omega^{2} x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
जैसे ही प्लेट नीचे की ओर बढ़ती है,इसका त्वरण ऊपर की ओर निर्देशित होता है। जैसे ही प्लेट ऊपर की ओर बढ़ती है,इसका त्वरण नीचे की ओर निर्देशित होता है।
सिक्का प्लेट के साथ संपर्क तब खो देता है जब प्लेट का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ से अधिक हो जाता है।
दोलन के सबसे ऊपरी बिंदु पर,नीचे की ओर त्वरण अधिकतम होता है,जो $a_{max} = \omega^{2} A$ द्वारा दिया जाता है।
सिक्के के संपर्क खोने के लिए,शर्त $a_{max} \geq g$ है।
इसलिए,न्यूनतम आयाम जिस पर संपर्क खो जाता है,वह $A = \frac{g}{\omega^{2}}$ है।

(A) सरल आवर्त दोलक की स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -Mg \sin \theta \approx -Mg \theta$ होता है (छोटे कोणों के लिए)।
चूँकि $\theta = \frac{x}{L}$,बल $F = -\frac{Mg}{L} x$ है।
इसे $F = -kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें बल नियतांक $k = \frac{Mg}{L}$ प्राप्त होता है।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में $k$ का मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} (\frac{Mg}{L}) A^2 = \frac{MgA^2}{2L}$।

(C) सरल लोलक की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $L$ लोलक की लंबाई है।
चूंकि लोलक एक ही स्थान पर हैं,इसलिए $g$ स्थिर रहेगा।
अतः,$f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$,जिसका अर्थ है $f^2 \propto \frac{1}{L}$ या $L \propto \frac{1}{f^2}$।
आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 = 4 : 3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{f_1}{f_2} = \frac{4}{3}$।
उनकी लंबाइयों का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{f_2^2}{f_1^2} = \left( \frac{f_2}{f_1} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$।
अतः,उनकी लंबाइयों का अनुपात $9: 16$ है।

(A) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
जब निलंबन बिंदु '$a$' त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करता है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g + a}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g + a > g$ है,इसलिए हर (denominator) का मान बढ़ जाता है,जिसके कारण मूल आवर्तकाल $T$ की तुलना में नया आवर्तकाल $T'$ घट जाता है।

(B) हम जानते हैं कि एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{l}$ है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1$ है और लंबाई $l_1$ है,और अंतिम आवर्तकाल $T_2$ है और लंबाई $l_2$ है।
हम आवर्तकाल को दोगुना करना चाहते हैं,इसलिए $T_2 = 2 T_1$ होगा।
अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$
$T_2 = 2 T_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{l_2}{l_1} \Rightarrow l_2 = 4 l_1$
अतः,सरल लोलक का आवर्तकाल तब दोगुना हो जाता है जब उसकी लंबाई मूल लंबाई की चार गुनी कर दी जाती है।

(C) एक सरल लोलक के लिए,आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
अतः,$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$ और $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T_1^2 = 4 \pi^2 \frac{l_1}{g}$ और $T_2^2 = 4 \pi^2 \frac{l_2}{g}$ प्राप्त होता है।
इससे,हम लंबाई को $l_1 = \frac{T_1^2 g}{4 \pi^2}$ और $l_2 = \frac{T_2^2 g}{4 \pi^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$(l_1 - l_2)$ लंबाई के लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1 - l_2}{g}}$ होगा।
$l_1$ और $l_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{g} \left( \frac{T_1^2 g}{4 \pi^2} - \frac{T_2^2 g}{4 \pi^2} \right)}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{g}{g \cdot 4 \pi^2} (T_1^2 - T_2^2)}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4 \pi^2} (T_1^2 - T_2^2)}$.
$T = 2 \pi \cdot \frac{1}{2 \pi} \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$.
$T = \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$.

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि आवर्तकाल $T$ लंबाई $l$ के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $T \propto \sqrt{l}$।
सरल लोलक का आवर्तकाल गोलक के द्रव्यमान,आकार या घनत्व पर निर्भर नहीं करता है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ और प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
मान लीजिए नई लंबाई $l_2$ और नया आवर्तकाल $T_2 = 2T$ है।
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{l}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{2T}{T} = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$।
$2 = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{l_2}{l}$ प्राप्त होता है।
अतः,नई लंबाई $l_2 = 4l$ है।

(D) तैरती हुई वस्तु के छोटे ऊर्ध्वाधर दोलनों के लिए $S.H.M.$ का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{h'}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h'$ द्रव में डूबी हुई वस्तु की गहराई है।
तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए लकड़ी का आयतन $V = a \times b \times c$ है।
लकड़ी का द्रव्यमान $= V \times d \times \rho_w = (abc) \times d \times \rho_w$ (जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व है)।
विस्थापित पानी का आयतन $V_{disp} = b \times c \times h'$.
विस्थापित पानी का भार $= (bc h') \times \rho_w \times g$.
दोनों को बराबर करने पर: $(abc) \times d \times \rho_w \times g = (bc h') \times \rho_w \times g$.
$h'$ के लिए हल करने पर,हमें $h' = ad$ प्राप्त होता है।
इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{ad}{g}}$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ निलंबन बिंदु और गोलक के गुरुत्व केंद्र $(CG)$ के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,पानी से भरी गेंद का गुरुत्व केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
जैसे-जैसे पानी छोटे छेद से बाहर निकलता है,शेष पानी का गुरुत्व केंद्र नीचे की ओर खिसकता है,जिससे लोलक की प्रभावी लंबाई $L$ बढ़ जाती है,जिसके कारण आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
जैसे ही गेंद लगभग खाली हो जाती है,गुरुत्व केंद्र वापस गेंद के ज्यामितीय केंद्र की ओर ऊपर की ओर बढ़ने लगता है।
परिणामस्वरूप,प्रभावी लंबाई $L$ घट जाती है और अपने मूल मान पर वापस आ जाती है।
इसलिए,आवर्तकाल पहले बढ़ता है और फिर घटता है,और अंत में अपने प्रारंभिक मान के बराबर हो जाता है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर लिफ्ट में,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g$ है,इसलिए $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो लोलक द्वारा अनुभव किया गया प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ होता है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $g_{eff} = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T^{\prime}$ इस प्रकार है: $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}}$.
इसे सरल करने पर,$T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{3l}{4g}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$.
चूंकि $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,इसलिए $T^{\prime} = \frac{\sqrt{3}}{2} T$ होगा।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{\ell}$ है।
यदि घड़ी तेज चल रही है,तो इसका मतलब है कि इसका आवर्तकाल $T$ बहुत कम है (यह बहुत जल्दी दोलन पूरा कर रही है)।
समय को सही करने के लिए,हमें आवर्तकाल $T$ को बढ़ाने की आवश्यकता है।
चूंकि $T$,लंबाई $\ell$ के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है,इसलिए लंबाई $\ell$ को बढ़ाने से आवर्तकाल $T$ बढ़ जाएगा।
आवर्तकाल गोलक के द्रव्यमान और दोलन के आयाम से स्वतंत्र होता है (छोटे कोणों के लिए)।

(A) सरल लोलक की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ होता है।
इससे हम देख सकते हैं कि $f \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}$।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{3}{4}$ दिया गया है,इसलिए हम इसे समीकरण में रखते हैं:
$\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{9}{16} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी लंबाइयों का अनुपात $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{16}{9}$ है।

(B) स्थिर लिफ्ट में सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = \sqrt{3} \ s$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T^{\prime} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{4g/3}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$T^{\prime}$ को $T$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{T^{\prime}}{T} = \sqrt{\frac{g}{4g/3}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
$T = \sqrt{3} \ s$ का मान रखने पर,$T^{\prime} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \ s$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर लिफ्ट में सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ धागे की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3l}{4g}}$।
इसे $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ का मान रखने पर,हमें $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} T$ प्राप्त होता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g$ होता है।
पानी में,गोलक पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल कार्य करता है। प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff}' = g(1 - \frac{\rho}{\sigma})$ होता है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(10^3 \ kg/m^3)$ है और $\sigma$ गोलक का घनत्व $(\frac{9}{8} \times 10^3 \ kg/m^3)$ है।
$g_{eff}' = g(1 - \frac{10^3}{\frac{9}{8} \times 10^3}) = g(1 - \frac{8}{9}) = g(\frac{1}{9})$.
अब,पानी में आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/9}} = 2\pi \sqrt{\frac{9l}{g}}$ होगा।
$T_1 = 3 \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = 3T$.

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{L/g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ निलंबन बिंदु और निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,पानी से भरे गोले का $CM$ गोले के ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
जैसे-जैसे नीचे के छेद से पानी बाहर निकलता है,शेष पानी का $CM$ नीचे की ओर खिसकता है,जिससे लोलक की प्रभावी लंबाई $L$ बढ़ जाती है,जिसके परिणामस्वरूप आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे गोला लगभग खाली हो जाता है,शेष पानी का $CM$ वापस ऊपर की ओर गोले के केंद्र की ओर खिसकता है।
इसके कारण प्रभावी लंबाई $L$ कम हो जाती है,जिससे आवर्तकाल $T$ घट जाता है।
अतः,दोलन का आवर्तकाल पहले बढ़ेगा और फिर घटेगा।

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
यहाँ,$l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T^2 = \frac{4 \pi^2 l}{g}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$T^2 = k \cdot l$,जहाँ $k = \frac{4 \pi^2}{g}$ एक स्थिरांक है।
यह समीकरण $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
इसलिए,आवर्तकाल $T$ और लंबाई $l$ के बीच का ग्राफ एक परवलय का हिस्सा है।

(C) दिया गया है: लोलक की लंबाई $l = 2 \ m$,कोणीय विस्थापन $\theta = 60^{\circ}$,द्रव्यमान $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
जब लोलक का बॉब एक क्षैतिज वृत्त में गति करता है,तो वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = l \sin \theta$ होती है।
बॉब के क्षैतिज वृत्त में गति करने के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और भार $mg$ हैं।
तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $T \cos \theta = mg$ ... $(i)$
तनाव का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $T \sin \theta = m r \omega^2 = m (l \sin \theta) \omega^2$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{m l \sin \theta \omega^2}{mg}$
$\tan \theta = \frac{l \omega^2 \sin \theta}{g}$
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{l \omega^2}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{l \cos \theta}$
मान रखने पर: $\omega^2 = \frac{10}{2 \times \cos 60^{\circ}} = \frac{10}{2 \times 0.5} = \frac{10}{1} = 10$
$\omega = \sqrt{10} = \sqrt{4 \times 2.5} = 2 \sqrt{2.5} \ rad/s$.

(B) माना कि बॉब का द्रव्यमान $m$ है और डोरी की लंबाई $l$ है। किसी भी कोण $\phi$ पर डोरी में तनाव $T = mg \cos \phi + \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
चरम स्थिति पर,$\phi = \theta$ और $v = 0$,इसलिए न्यूनतम तनाव $T_{min} = mg \cos \theta$ है।
सबसे निचले बिंदु पर,$\phi = 0$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$mg(l - l \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $mv^2 = 2mgl(1 - \cos \theta)$ है।
अधिकतम तनाव $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$ है।
दिया गया है कि $T_{max} = 4 T_{min}$,इसलिए $mg(3 - 2 \cos \theta) = 4mg \cos \theta$ है।
$3 - 2 \cos \theta = 4 \cos \theta \implies 6 \cos \theta = 3 \implies \cos \theta = 0.5$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.5)$।

(A) व्यावहारिक रूप से,एक सरल लोलक में एक भारी लेकिन छोटे आकार का धात्विक गोलक होता है जो एक हल्की,अवितान्य और लचीली डोरी से लटका होता है।
यह सरल आवर्त गति तभी करता है यदि:
$(I)$ गोलक का आकार लोलक की डोरी की लंबाई की तुलना में नगण्य हो,जिससे हम गोलक को एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में मान सकें।
$(II)$ कोणीय आयाम (ऊर्ध्वाधर माध्य स्थिति और चरम बिंदु पर डोरी के बीच का कोण) छोटा हो,आमतौर पर $10^{\circ}$ से कम,ताकि सन्निकटन $\sin \theta \approx \theta$ मान्य हो सके।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $l = 1 \,m$ और $g = 10 \,m/s^2$ (या $\pi^2 \approx 10$) लेने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{10}} \approx 2 \,s$ प्राप्त होता है।
सरल लोलक के लिए,चरम स्थिति से माध्य स्थिति $(B)$ तक पहुँचने में लगा समय $\frac{T}{4}$ होता है।
चूंकि दोनों गोलों को उनकी संबंधित चरम स्थितियों से छोड़ा जाता है,इसलिए वे दोनों $t = \frac{T}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \,s$ समय पर माध्य स्थिति $B$ पर पहुँचेंगे।
अतः,दोनों गोले $0.5 \,s$ बाद माध्य स्थिति $B$ पर टकराएंगे।

(B) स्थिर अवस्था में सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$ है।
दिया गया है कि $T' = T/2$,इसलिए $\frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$।
$T'$ के समीकरण को $T$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{g}{g+a}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} = \frac{g}{g+a}$।
इसका अर्थ है कि $g + a = 4g$,इसलिए $a = 3g$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
लोलक $A$ के लिए: यह $20 \ s$ में $10$ दोलन पूरे करता है।
अतः,आवर्तकाल $T_A = \frac{20}{10} = 2 \ s$.
$2\pi \sqrt{\frac{l_A}{g}} = 2 \quad (1)$
लोलक $B$ के लिए: यह $10 \ s$ में $8$ दोलन पूरे करता है।
अतः,आवर्तकाल $T_B = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \ s$.
$2\pi \sqrt{\frac{l_B}{g}} = \frac{5}{4} \quad (2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2\pi \sqrt{l_A/g}}{2\pi \sqrt{l_B/g}} = \frac{2}{5/4}$
$\sqrt{\frac{l_A}{l_B}} = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{l_A}{l_B} = \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{64}{25}$

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 40 \ g = 0.04 \ kg$,आवेश $q = 2 \times 10^{-6} \ C$,$g = 10 \ ms^{-2}$,विद्युत क्षेत्र $E = 4.2 \times 10^4 \ NC^{-1}$.
सबसे पहले,विद्युत क्षेत्र के कारण त्वरण की गणना करें:
$a = \frac{qE}{m} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 4.2 \times 10^4}{0.04} = 2.1 \ ms^{-2}$.
चूंकि विद्युत क्षेत्र नीचे की ओर है और आवेश धनात्मक है,बल नीचे की ओर लगेगा,इसलिए प्रभावी त्वरण $g_e = g + a = 10 + 2.1 = 12.1 \ ms^{-2}$.
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में,$T = \frac{44}{20} = 2.2 \ s$.
अतः,$2.2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{10}} \Rightarrow \sqrt{l} = \frac{2.2 \sqrt{10}}{2\pi}$.
विद्युत क्षेत्र की उपस्थिति में,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{12.1}} = 2\pi \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{12.1}}$.
$\sqrt{l}$ का मान रखने पर,$T' = 2\pi \left( \frac{2.2 \sqrt{10}}{2\pi \sqrt{12.1}} \right) = 2.2 \sqrt{\frac{10}{12.1}} = 2.2 \times \frac{\sqrt{10}}{1.1 \sqrt{10}} = 2 \ s$.
$15$ दोलनों के लिए लिया गया समय $t = 15 \times T' = 15 \times 2 = 30 \ s$.

(B) माना लोलक के गोलक का द्रव्यमान $m$ है और डोरी की लंबाई $l$ है। डोरी का द्रव्यमान केंद्र आधार बिंदु से $l/2$ दूरी पर है।
जब लोलक को $90^{\circ}$ पर विस्थापित करके छोड़ा जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $m g (l/2) = (1/2) m v^2$.
इससे $v^2 = g l$ प्राप्त होता है।
माध्य स्थिति पर,डोरी में तनाव $T$ भार $m g$ को संतुलित करता है और आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = m v^2 / r$ प्रदान करता है,जहाँ $r = l/2$ द्रव्यमान केंद्र की आधार बिंदु से दूरी है।
इसलिए,$T = m g + (m v^2) / (l/2)$.
समीकरण में $v^2 = g l$ रखने पर:
$T = m g + (2 m / l) \cdot (g l) = m g + 2 m g = 3 m g$.
अतः,डोरी की न्यूनतम मजबूती $3 m g$ होनी चाहिए।

(D) जब वस्तु को विराम अवस्था से छोड़ा जाता है, तो उसका वेग शून्य होता है। इसलिए, अभिकेंद्र त्वरण $(a_c = v^2/r)$ शून्य है。
वस्तु पर कार्य करने वाले बल इसका भार $(mg)$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है और डोरी में तनाव $(T)$ है जो डोरी की दिशा में कार्य करता है。
हम भार $(mg)$ को दो घटकों में विभाजित करते हैं: एक डोरी की दिशा में $(mg \cos 30^{\circ})$ और दूसरा डोरी के लंबवत $(mg \sin 30^{\circ})$。
चूंकि डोरी तनी रहती है और वस्तु विराम से शुरू होती है, इसलिए छोड़ने के क्षण में त्रिज्यीय गति न होने के लिए डोरी की दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए $(T - mg \cos 30^{\circ} = 0)$。
वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल डोरी के लंबवत घटक है, जो $F_{net} = mg \sin 30^{\circ}$ है。
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F_{net} = ma$:
$ma = mg \sin 30^{\circ}$
$a = g \sin 30^{\circ}$
यहाँ $g = 10 \,ms^{-2}$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$ दिया गया है:
$a = 10 \times 0.5 = 5.0 \,ms^{-2}$。

(A) सरल लोलक के आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है।
दिया गया है: $T = 4 \ s$ और $g = \pi^2 \ ms^{-2}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$4 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{\pi^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16 = 4\pi^2 \cdot \frac{\ell}{\pi^2}$
$16 = 4\ell$
$\ell = \frac{16}{4} = 4 \ m$।
अतः,लोलक की लंबाई $4 \ m$ है।

(C) सरल लोलक की आवृत्ति का सूत्र इस प्रकार है:
$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}$
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि आवृत्ति लोलक की लंबाई के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$f \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $\ell_1 = \ell$ और प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 8 \,Hz$ है।
जब डोरी को उसके मध्य बिंदु पर क्लैंप किया जाता है, तो नई लंबाई $\ell_2 = \frac{\ell}{2}$ हो जाती है।
अब, नई आवृत्ति $f_2$ और प्रारंभिक आवृत्ति $f_1$ का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_2}} = \sqrt{\frac{\ell}{\ell / 2}} = \sqrt{2}$
अतः, नई आवृत्ति $f_2$ होगी:
$f_2 = \sqrt{2} \times f_1 = \sqrt{2} \times 8 \,Hz \approx 1.414 \times 8 \,Hz = 11.312 \,Hz$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $11.28 \,Hz$ है।

(A) एक सरल लोलक में एक द्रव्यमान रहित और अवितान्य डोरी से लटका हुआ एक बिंदु द्रव्यमान (बॉब) होता है।
एक तल में दोलन करने वाले सरल लोलक के लिए,बॉब की स्थिति को केवल एक निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जा सकता है,जो कि वह कोण $\theta$ है जो डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है।
इसलिए,दोलन करते हुए सरल लोलक के लिए स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $1$ है।