SHM of Simple Pendulum Questions in Hindi

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $T \propto g^{-1/2}$ है।
सापेक्ष त्रुटि की विधि का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{\Delta T}{T} = -\frac{1}{2} \frac{\Delta g}{g}$ है।
यह दिया गया है कि $g$ में $2\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta g}{g} = -2\% = -0.02$ है।
इस मान को त्रुटि समीकरण में रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = -\frac{1}{2} (-0.02) = 0.01$ प्राप्त होता है।
अतः,आवर्तकाल में $0.01$ या $1\%$ की वृद्धि होगी।

(B) सरल लोलक की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $n \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$।
दोनों लोलकों के लिए,आवृत्तियों का अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}} = \sqrt{\frac{L_2}{2L_2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$n_2 = \sqrt{2}n_1$,जिसका अर्थ है $n_2 > n_1$।
सरल आवर्त गति की कंपन ऊर्जा $E = 2\pi^2 m n^2 a^2$ है,जहाँ $a$ आयाम है।
चूंकि $E_1 = E_2$,$m_1 = m_2$,और $n_2 > n_1$,इसलिए $n_1^2 a_1^2 = n_2^2 a_2^2$ होगा।
अतः,$\frac{a_1^2}{a_2^2} = \frac{n_2^2}{n_1^2} = 2$,जिसका अर्थ है $a_1 = \sqrt{2}a_2$।
चूंकि $a_1 > a_2$,इसलिए लोलक $B$ का आयाम लोलक $A$ से छोटा है।

(D) किसी तैरती हुई वस्तु के छोटे ऊर्ध्वाधर दोलनों के लिए $SHM$ का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ संतुलन की स्थिति में द्रव में डूबी हुई वस्तु की गहराई है।
प्लवन के नियम के अनुसार,वस्तु का भार = विस्थापित द्रव का भार:
$V_{total} \cdot \rho_{object} \cdot g = V_{submerged} \cdot \rho_{water} \cdot g$
$(abc) \cdot d \cdot g = (b \cdot c \cdot l) \cdot 1 \cdot g$
समीकरण को सरल करने पर:
$abc \cdot d = bcl$
$l = da$
आवर्तकाल के सूत्र में $l$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{da}{g}}$

(B) पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
ग्रह पर,द्रव्यमान $M' = 2M$ और त्रिज्या $R' = 2R$ है (क्योंकि व्यास पृथ्वी से दोगुना है)।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{G(2M)}{(2R)^2} = \frac{2GM}{4R^2} = \frac{1}{2}g$ होगा।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$।
पृथ्वी पर सेकंड लोलक के लिए $T_1 = 2 \ s$ है।
इसलिए,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{g/2}} = \sqrt{2}$।
$T_2 = T_1 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ s$।

(A) अपने दोलन के उच्चतम बिंदु पर,लोलक के गोलक का वेग शून्य होता है क्योंकि अपनी दिशा बदलने से पहले यह क्षण भर के लिए स्थिर हो जाता है।
जब इस क्षण पर धागे को काटा जाता है,तो गोलक पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
चूंकि प्रारंभिक वेग शून्य है और गुरुत्वीय त्वरण नीचे की ओर निर्देशित है,इसलिए गोलक एक सीधी रेखा में ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर गिरेगा।
अतः,सही प्रक्षेप पथ एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा है।

(B) सरल लोलक के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
शंकु लोलक के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = l \sin \theta$ है।
कार्यरत बल $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ और $T \cos \theta = mg$ हैं।
इन समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ प्राप्त होता है।
$r = l \sin \theta$ रखने पर,$\tan \theta = \frac{v^2}{lg \sin \theta}$ प्राप्त होता है,जिससे $v = \sqrt{lg \sin \theta \tan \theta}$ मिलता है।
शंकु लोलक के लिए आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi l \sin \theta}{\sqrt{lg \sin \theta \tan \theta}}$ है।
इसे सरल करने पर,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l \sin \theta}{g \tan \theta}} = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos \theta}{g}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{l}{g} \cos \theta}}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} = \sqrt{\cos \theta}$ है।

(B) वृत्ताकार चाप में गति कर रहे पेंडुलम द्रव्यमान का त्वरण दो घटकों से बना होता है: स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$ और अभिकेंद्री (त्रिज्यीय) त्वरण $(a_c)$।
स्पर्शरेखीय त्वरण वृत्ताकार पथ की स्पर्शरेखा के अनुदिश निर्देशित होता है,जो डोरी के लंबवत होता है।
अभिकेंद्री त्वरण वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जो डोरी के साथ धुरी की ओर होता है।
कुल त्वरण सदिश इन दो घटकों का सदिश योग है $(a = a_t + a_c)$।
इसलिए,कुल त्वरण सदिश स्पर्शरेखा और त्रिज्यीय दिशा के बीच कहीं निर्देशित होता है,जो चाप के आंतरिक भाग की ओर होता है। दी गई आकृतियों को देखने पर,आकृति $(b)$ में दिया गया सदिश इस परिणामी त्वरण सदिश को सही ढंग से दर्शाता है,क्योंकि यह वृत्ताकार पथ के आंतरिक भाग की ओर इंगित करता है।

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T_S = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र में गुरुत्वीय त्वरण $g$ शामिल नहीं है,इसलिए जब लिफ्ट त्वरित होती है तो $T_S$ अपरिवर्तित रहता है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T_P = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
चूंकि $g_{eff} > g$,हर (denominator) का मान बढ़ जाता है,जिससे आवर्तकाल $T_P$ कम हो जाता है।
अतः,$T_S$ समान रहता है और $T_P$ घटता है।

(A) माना आवर्तकाल $T_1 = T$ और $T_2 = 5T/4$ हैं।
लोलकों के फिर से समान कला में होने के लिए,व्यतीत समय $t$ दोनों आवर्तकालों का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
$t = n_1 T_1 = n_2 T_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ दोलनों की संख्या हैं।
$n_1 T = n_2 (5T/4)$.
$n_1 = n_2 (5/4) \implies n_1/n_2 = 5/4$.
चूंकि $T_1 < T_2$,$T_1$ आवर्तकाल वाला लोलक छोटा लोलक है।
छोटे लोलक के लिए $n_1 = 5$ और $n_2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,छोटे लोलक के $5$ दोलनों के बाद,वे फिर से समान कला में होंगे।

(D) मान लीजिए गुब्बारे का आयतन $V$ है। उत्प्लावन बल $B = \rho_{air} V g$ है और गुब्बारे का भार $mg = \rho_{He} V g$ है।
संतुलन पर शुद्ध ऊर्ध्वगामी बल $F_{net} = B - mg = (\rho_{air} - \rho_{He}) V g$ है।
जब गुब्बारे को एक छोटे कोण $\theta$ से विस्थापित किया जाता है, तो धुरी के परितः प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -(B - mg) L \sin \theta \approx -(B - mg) L \theta$ होता है।
धुरी के परितः गुब्बारे का जड़त्व आघूर्ण $I = mL^2 = (\rho_{He} V) L^2$ है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $I \alpha = -(B - mg) L \theta$ है, इसलिए $\alpha = -\frac{(B - mg) L}{I} \theta$ है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ है, जहाँ $\omega^2 = \frac{(B - mg) L}{I}$ है।
मान रखने पर: $\omega^2 = \frac{(\rho_{air} - \rho_{He}) V g L}{(\rho_{He} V) L^2} = \frac{(\rho_{air} - \rho_{He}) g}{\rho_{He} L}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\rho_{He} L}{(\rho_{air} - \rho_{He}) g}} = 2\pi \sqrt{(\frac{\rho_{He}}{\rho_{air} - \rho_{He}})\frac{L}{g}}$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले लोलक के लिए $(L_1 = 1.0 \ m)$: $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{1.0}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
दूसरे लोलक के लिए $(L_2 = 1.21 \ m)$: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{1.21}{g}} = 1.1 \times 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}} = 1.1 T_1$.
मान लीजिए कि जब वे फिर से समान कला में आते हैं तो छोटे लोलक के दोलनों की संख्या $n_1$ है और बड़े लोलक के दोलनों की संख्या $n_2$ है।
इस समय पर,$n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$T_2 = 1.1 T_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n_1 T_1 = n_2 (1.1 T_1)$ प्राप्त होता है,जो $n_1 = 1.1 n_2$ या $n_1 = \frac{11}{10} n_2$ में सरल हो जाता है।
$n_1$ के पूर्णांक होने के लिए,$n_2$ का न्यूनतम मान $10$ है,जिससे $n_1 = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,छोटा लोलक $11$ दोलन पूरे करेगा।

(C) सरल आवर्त गति करने वाले एक सरल लोलक का कोणीय विस्थापन $\theta(t) = \beta \sin(\omega t)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $\beta$ कोणीय आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है कि आवर्तकाल $T$ है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
हमें साम्यावस्था $O$ (जहाँ $t = 0$ पर $\theta = 0$) से शुरू करके $\theta = \alpha$ के कोणीय विस्थापन तक पहुँचने में लगा समय $t$ ज्ञात करना है।
समीकरण में मान रखने पर: $\alpha = \beta \sin(\omega t)$.
$t$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\sin(\omega t) = \frac{\alpha}{\beta}$.
$\omega t = \sin^{-1} \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ रखने पर: $\left( \frac{2\pi}{T} \right) t = \sin^{-1} \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)$.
अतः,$t = \frac{T}{2\pi} \sin^{-1} \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)$.

(B) लिफ्ट के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में बॉब द्वारा अनुभव किया गया प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ इस प्रकार है:
$g_{eff} = g + a - \frac{qE}{m}$
दिया गया है:
$g = \pi^2 \ m/s^2$
$a = 5 \ m/s^2$ (ऊपर की ओर)
$E = 5 \ N/C$ (ऊपर की ओर)
$q = 1 \ mC = 10^{-3} \ C$
$m = 1 \ mg = 10^{-6} \ kg$
मान रखने पर:
$g_{eff} = \pi^2 + 5 - \frac{(10^{-3} \times 5)}{10^{-6}}$
$g_{eff} = \pi^2 + 5 - 5000 = \pi^2 - 4995 \ m/s^2$
आवर्तकाल के लिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,यदि हम $g_{eff} = \pi^2$ लेते हैं,तो $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2 \ s$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे निचले बिंदु पर डोरी में तनाव $T$ का सूत्र $T - mg = \frac{mv^2}{L}$ है,जहाँ $v$ सबसे निचले बिंदु पर वेग है।
सरल लोलक के लिए,अधिकतम वेग $v_{\max} = A\omega$ होता है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$.
अतः,$v_{\max}^2 = A^2\omega^2 = A^2 \left(\frac{g}{L}\right)$.
इस मान को तनाव के समीकरण में रखने पर:
$T_{\max} = mg + \frac{m(A^2 g/L)}{L} = mg + \frac{mgA^2}{L^2}$.
$mg$ को कॉमन लेने पर,हमें $T_{\max} = mg \left[ 1 + \left( \frac{A}{L} \right)^2 \right]$ प्राप्त होता है।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $T \propto \sqrt{l}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें आंशिक परिवर्तन प्राप्त होता है: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$.
दिया गया है कि लंबाई $2\%$ बढ़ जाती है, इसलिए $\frac{\Delta l}{l} = 0.02$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$.
अतः, आवर्तकाल में $1\%$ की वृद्धि होगी।

(A) स्थिति $1$: जब $m_2$ द्रव्यमान पटरियों के लंबवत दोलन करता है,तो ट्रॉली स्थिर रहती है क्योंकि पटरियों की दिशा में तनाव बल का कोई घटक नहीं होता है। यह प्रणाली $l$ लंबाई के एक सरल लोलक के रूप में कार्य करती है। आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
स्थिति $2$: जब $m_2$ द्रव्यमान पटरियों के समानांतर दोलन करता है,तो प्रणाली के क्षैतिज संवेग को संरक्षित करने के लिए ट्रॉली विपरीत दिशा में चलती है। इस प्रणाली के लिए गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g(1 + \frac{m_2}{m_1}) = g(\frac{m_1 + m_2}{m_1})$ है। आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(\frac{m_1 + m_2}{m_1})}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 l}{(m_1 + m_2)g}}$ है।
अनुपात: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m_1 l}{(m_1 + m_2)g}}}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}}$.

(A) डिस्क को $l$ लंबाई की दो समानांतर रस्सियों द्वारा लटकाया गया है। जब डिस्क को उसके अपने तल में थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो यह एक भौतिक लोलक के समान गति करती है।
भौतिक लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $d$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
इस मामले में,रस्सियाँ डिस्क के केंद्र से $R/2$ ऊपर जुड़ी हुई हैं। लोलक की प्रभावी लंबाई $l_{eff} = l$ है। चूँकि गति के दौरान रस्सियाँ समानांतर रहती हैं,डिस्क अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः नहीं घूमती है; यह शुद्ध स्थानांतरण गति करती है। यह गति $l$ लंबाई के एक सरल लोलक के समतुल्य है।
इसलिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होगा।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\ell = 1.0\, m$ और $g = 10\, m/s^2$ लेने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{10}} \approx 2\pi \times 0.316 \approx 1.987\, s \approx 2.0\, s$ प्राप्त होता है।
चूंकि छोटे कोणों के लिए आवर्तकाल $T$ आयाम से स्वतंत्र होता है,इसलिए दोनों लोलकों का आवर्तकाल समान $T = 2.0\, s$ है।
उन्हें $t = 0$ पर विराम अवस्था से छोड़ा जाता है। लोलक को अपनी चरम स्थिति से ऊर्ध्वाधर स्थिति $(\theta = 0^o)$ तक पहुँचने में लगा समय उसके आवर्तकाल का एक चौथाई,यानी $t = \frac{T}{4}$ होता है।
अतः,$t = \frac{2.0}{4} = 0.5\, s$।
दोनों लोलक $t = 0.5\, s$ पर ऊर्ध्वाधर स्थिति में पहुँचते हैं,इसलिए वे $0.50\, s$ बाद $\theta = 0.0^o$ पर टकराएंगे।

(D) लोलक अपनी गति के दौरान दो अलग-अलग प्रभावी लंबाई के साथ दोलन करता है।
जब लोलक बाईं ओर होता है,तो प्रभावी लंबाई $L_1 = L$ होती है। एक चौथाई दोलन के लिए लगा समय $t_1 = \frac{1}{4} T_1 = \frac{1}{4} (2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}) = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
जब लोलक दाईं ओर होता है,तो यह धुरी से $2L/3$ की दूरी पर स्थित खूंटी से टकराता है। प्रभावी लंबाई $L_2 = L - 2L/3 = L/3$ हो जाती है। एक चौथाई दोलन के लिए लगा समय $t_2 = \frac{1}{4} T_2 = \frac{1}{4} (2\pi \sqrt{\frac{L/3}{g}}) = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{3g}}$ है।
प्रारंभिक स्थिति में वापस आने के लिए कुल समय $T' = t_1 + t_2 + t_2 + t_1 = 2(t_1 + t_2)$ है।
$T' = 2 \left( \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{g}} + \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{3g}} \right) = \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति में स्थितिज ऊर्जा और अंतिम स्थिति में स्थितिज ऊर्जा समान होनी चाहिए।
मान लीजिए कि आधार बिंदु स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर $(PE = 0)$ है।
आधार बिंदु से $M$ द्रव्यमान की प्रारंभिक ऊँचाई $h_i = -L \cos \alpha$ है।
पिन से टकराने के बाद $M$ द्रव्यमान की अंतिम ऊँचाई $h_f = -l - (L - l) \cos \theta$ है।
स्थितिज ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $Mg(-L \cos \alpha) = Mg(-l - (L - l) \cos \theta)$.
$-L \cos \alpha = -l - (L - l) \cos \theta$.
$(L - l) \cos \theta = L \cos \alpha - l$.
$\cos \theta = \frac{L \cos \alpha - l}{L - l}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left[ \frac{L \cos \alpha - l}{L - l} \right]$.

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब तापमान बदलता है,तो लंबाई $\ell = \ell_0(1 + \alpha \Delta \theta)$ के अनुसार बदलती है।
आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell_0(1 + \alpha \Delta \theta)}{g}} = T(1 + \alpha \Delta \theta)^{1/2}$ हो जाता है।
छोटे $\alpha \Delta \theta$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करने पर,$T' \approx T(1 + \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta)$।
आवर्तकाल में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ है।
यह व्यंजक लोलक की लंबाई $\ell$ से स्वतंत्र है। इसलिए,कथन $D$ सही है।

(D) स्थिर लिफ्ट में सरल लोलक का दोलन काल $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है। नया दोलन काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g+a}}$ है।
यह दिया गया है कि नया दोलन काल $T = \frac{T_0}{2}$ है,इसलिए:
$\frac{T_0}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g+a}}$
$T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \right) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g+a}}$
$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\ell}{g}} = \sqrt{\frac{\ell}{g+a}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4} \cdot \frac{\ell}{g} = \frac{\ell}{g+a}$
$\frac{1}{4g} = \frac{1}{g+a}$
$g + a = 4g$
$a = 3g$
चूंकि प्रभावी गुरुत्वाकर्षण बढ़ गया है,इसलिए त्वरण ऊपर की दिशा में होना चाहिए।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L_{eff}$ निलंबन बिंदु से गोलक के द्रव्यमान केंद्र तक की दूरी है।
जब गोलक खोखला होता है,रेत से भरा होता है,या पूरी तरह से पारे (मर्करी) से भरा होता है,तो गोलक का द्रव्यमान केंद्र गोले के ज्यामितीय केंद्र के साथ संपाती होता है। इस प्रकार,$L_{eff}$ समान रहता है,और $T = T_1 = T_2$ होता है।
जब गोलक आधा पारे से भरा होता है,तो द्रव्यमान केंद्र ज्यामितीय केंद्र से नीचे की ओर स्थानांतरित हो जाता है। यह लोलक की प्रभावी लंबाई $L_{eff}$ को बढ़ा देता है।
चूंकि $T \propto \sqrt{L_{eff}}$,$L_{eff}$ में वृद्धि से आवर्तकाल में वृद्धि होती है। इसलिए,$T_3 > T$ (या $T_3 > T_1 = T_2$)।
अतः,सही संबंध $T = T_1 = T_2 < T_3$ है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो $g_{eff} = g$ होता है।
जब लिफ्ट $a = g/3$ के त्वरण के साथ नीचे उतरती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - a = g - g/3 = 2g/3$ होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{2g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3\ell}{2g}}$।
चूंकि $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$,हम लिख सकते हैं कि $T' = \sqrt{\frac{3}{2}} \times (2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}) = \sqrt{\frac{3}{2}} T$।

(A) माना कि दोनों लोलकों की लंबाई $L_1 = x$ और $L_2 = x - 22$ है।
चूंकि आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ होता है,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ होगी।
दिए गए समय $t$ में,दोलनों की संख्या $n = f \times t = \frac{t}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ है।
चूंकि दोनों के लिए $t$ समान है,इसलिए $n \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$।
अतः,$n_1 \sqrt{L_1} = n_2 \sqrt{L_2}$।
यहाँ $n_1 = 15$ और $n_2 = 18$ दिया गया है,इसलिए $15 \sqrt{x} = 18 \sqrt{x - 22}$।
$3$ से भाग देने पर,$5 \sqrt{x} = 6 \sqrt{x - 22}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25x = 36(x - 22)$।
$25x = 36x - 792$।
$11x = 792 \Rightarrow x = 72 \ cm$।
अतः,लोलकों की लंबाई $72 \ cm$ और $50 \ cm$ है।

(C) सरल लोलक की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_{eff}}{L}}$ है।
जब एक ऋणात्मक आवेशित गोलक एक बड़ी धनात्मक आवेशित प्लेट के ऊपर दोलन करता है,तो वह प्लेट की ओर एक अतिरिक्त नीचे की दिशा में स्थिर-विद्युत बल $F_e$ का अनुभव करता है।
यह बल गुरुत्वाकर्षण की दिशा में ही कार्य करता है,जिससे प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण बढ़ जाता है।
इस प्रकार,$g_{eff} = g + \frac{F_e}{m}$,जहाँ $m$ गोलक का द्रव्यमान है।
चूंकि $g_{eff} > g$ है,इसलिए आवृत्ति $f$ बढ़ जाती है।
अतः,नई आवृत्ति $f$ से अधिक होगी।

(A) सबसे निचले बिंदु पर चाल $v = \sqrt{2g\ell}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,मान लीजिए कि लोलक $h$ ऊँचाई तक पहुँचता है जहाँ उसका वेग शून्य हो जाता है।
$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$
$\frac{1}{2}m(2g\ell) = mgh$
$h = \ell$.
इसका अर्थ है कि लोलक निलंबन बिंदु के स्तर तक ऊपर उठता है,जो दोनों तरफ $90^\circ$ का चाप कवर करता है।
चूंकि गति एक निश्चित समय अंतराल के बाद खुद को दोहराती है,इसलिए यह आवर्ती है।
हालाँकि,क्योंकि प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती नहीं है (यह $\sin \theta$ के समानुपाती है),इसलिए गति $SHM$ नहीं है।

(C) जब लोलक के गोलक को $\theta$ कोण तक खींचा जाता है,तो वह अपनी संतुलन स्थिति से $h$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई तक ऊपर उठ जाता है।
ज्यामिति के अनुसार,ऊँचाई $h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$ होती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा संतुलन स्थिति में गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$PE_{initial} = KE_{final}$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2$
$h = l(1 - \cos \theta)$ का मान रखने पर:
$Mg l(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} Mv^2$
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$
$v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ प्रभावी लंबाई है।
प्राकृतिक लघुगणक लेकर अवकलन करने पर,हमें $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,प्रभावी लंबाई $l$ धागे की लंबाई और बॉब की त्रिज्या का योग है। अतः,त्रिज्या में परिवर्तन के कारण प्रभावी लंबाई में परिवर्तन $dl = |r_1 - r_2|$ है।
आवर्तकालों में सापेक्ष अंतर $\frac{\Delta T}{T} = 5 \times 10^{-4}$ और लंबाई $l = 1\, m$ दी गई है।
इन मानों को $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ संबंध में रखने पर:
$5 \times 10^{-4} = \frac{1}{2} \times \frac{|r_1 - r_2|}{1}$.
$|r_1 - r_2| = 2 \times 5 \times 10^{-4} = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3}\, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $10^{-3}\, m = 10^{-1}\, cm = 0.1\, cm$.

(B) वॉशर पिस्टन के साथ संपर्क तब खो देता है जब पिस्टन का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ से अधिक हो जाता है।
संपर्क टूटने के बिंदु पर,अभिलंब बल $(N)$ $0$ हो जाता है।
सरल आवर्त गति के लिए,अधिकतम नीचे की ओर त्वरण $a_{\max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
संपर्क टूटने की शर्त $a_{\max} = g$ है,जहाँ $g \approx 9.8\, m/s^2$ है।
दिया गया आयाम $A = 7\, cm = 0.07\, m$ है।
मान रखने पर: $\omega^2 A = g \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{g}{A}}$.
चूंकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{A}}$.
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{9.8}{0.07}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{140} \approx \frac{11.83}{6.28} \approx 1.88\, Hz$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,आवृत्ति $1.9\, Hz$ है।

(C) तैरती हुई वस्तु के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{h'}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h'$ संतुलन में ब्लॉक का द्रव में डूबा हुआ हिस्सा है।
तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है: $A \cdot h \cdot \rho_{\text{wood}} \cdot g = A \cdot h' \cdot \rho_{\text{liquid}} \cdot g$.
अतः,$h' = h \cdot \frac{\rho_{\text{wood}}}{\rho_{\text{liquid}}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $h' = 54 \ cm \times \frac{650}{900}$.
$h' = 54 \times \frac{13}{18} = 3 \times 13 = 39 \ cm$.
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,सरल लोलक की समतुल्य लंबाई $l$ डूबी हुई गहराई $h'$ के बराबर है।
इसलिए,$l = 39 \ cm$.

(B) दिए गए ग्राफ से,हम $T^2$ और $L$ के बीच के संबंध को देख सकते हैं।
ग्राफ से एक बिंदु लेने पर,$L = 1.0 \ m$ के लिए,संगत मान $T^2 = 4.0 \ s^2$ है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$ प्राप्त होता है।
$g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$ प्राप्त होता है।
ग्राफ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$g = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 1.0}{4.0} = \pi^2 \approx 9.87 \ m/s^2$.
अतः,$g$ का मान $9.87 \ m/s^2$ है।

(A) मान लीजिए $T_{1}$ और $T_{2}$ दो लोलकों के आवर्तकाल हैं।
$T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$ और $T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{4}{g}}$.
चूंकि $\ell_{1} < \ell_{2}$,इसलिए $T_{1} < T_{2}$ होगा।
मान लीजिए कि जब वे फिर से समान कला में आते हैं,तो छोटा लोलक $n_{1}$ दोलन और लंबा लोलक $n_{2}$ दोलन पूरा करता है।
लोलकों के समान कला में होने के लिए,लिया गया समय समान होना चाहिए: $n_{1} T_{1} = n_{2} T_{2}$.
मान रखने पर: $n_{1} \times 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}} = n_{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{4}{g}}$.
$n_{1} = 2n_{2}$.
$t=0$ के बाद पहली बार जब वे समान कला में होते हैं,तो दोलनों की संख्या का अंतर सबसे छोटा पूर्णांक होना चाहिए,यानी $n_{1} - n_{2} = 1$.
$n_{1} = 2n_{2}$ को समीकरण में रखने पर: $2n_{2} - n_{2} = 1 \Rightarrow n_{2} = 1$.
अतः $n_{1} = 2(1) = 2$.
इस प्रकार,छोटा लोलक $2$ दोलन पूरा करेगा।

(D) लोहे का गोलक धारावाही कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र से आकर्षित होता है। यह चुंबकीय बल गुरुत्वाकर्षण की दिशा में ही कार्य करता है,जिससे प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण बढ़ जाता है $(g_{eff} > g)$। चूँकि $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$,प्रभावी गुरुत्व में वृद्धि के कारण आवर्तकाल कम हो जाता है,इसलिए $T < 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$। इसके अतिरिक्त,चुंबकीय क्षेत्र में लोहे के गोलक की गति के कारण गोलक में भंवर धाराएँ (eddy currents) उत्पन्न होती हैं,जिससे ऊर्जा का ह्रास होता है और केवल हवा की तुलना में अवमंदन (damping) अधिक हो जाता है।

(B) जब बोतल को $x$ दूरी तक नीचे दबाया जाता है,तो लगने वाला प्रत्यानयन बल $F$ विस्थापित पानी के वजन के बराबर होता है: $F = A \rho g x$,जहाँ $A = \pi r^2$ बोतल का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
सरल आवर्त गति के लिए,$F = m \omega^2 x$,जहाँ $m$ बोतल के अंदर पानी का द्रव्यमान है।
दोनों की तुलना करने पर: $\pi r^2 \rho g x = m \omega^2 x$.
अतः,$\omega = \sqrt{\frac{\pi r^2 \rho g}{m}}$.
यहाँ $m = \rho V$,जहाँ $V = 310\, ml = 310 \times 10^{-6}\, m^3$ और $r = 2.5 \times 10^{-2}\, m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\omega = \sqrt{\frac{\pi r^2 \rho g}{\rho V}} = r \sqrt{\frac{\pi g}{V}}$.
$\omega = (2.5 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{3.14 \times 10}{310 \times 10^{-6}}} = (2.5 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{31.4}{310 \times 10^{-6}}} \approx (2.5 \times 10^{-2}) \sqrt{10^5} \approx 2.5 \times 316 \times 10^{-2} \approx 7.9\, rad\, s^{-1}$.

(A) सरल लोलक की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g_{eff}}{\ell}}$ द्वारा दी जाती है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta \omega}{\omega} = \frac{1}{2} \frac{\Delta g_{eff}}{g_{eff}}$ प्राप्त होता है।
जब आधार $A$ आयाम और $\omega_s$ आवृत्ति के साथ ऊर्ध्वाधर दोलन करता है,तो गुरुत्वीय त्वरण में परिवर्तन $\Delta g = A \omega_s^2$ होता है।
यहाँ,$A = 10^{-2}\, m$ और $\omega_s = 1\, rad/s$ है।
अतः,$\Delta g = 10^{-2} \times (1)^2 = 10^{-2}\, m/s^2$ है।
$g \approx 10\, m/s^2$ लेने पर,प्रभावी गुरुत्व में सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta g}{g} = \frac{10^{-2}}{10} = 10^{-3}$ है।
इसलिए,कोणीय आवृत्ति में सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta \omega}{\omega} = \frac{1}{2} \times \frac{\Delta g}{g} = \frac{1}{2} \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम परिमाण $10^{-3}$ है।

(A) एक सरल लोलक की उसके निम्नतम बिंदु पर अधिकतम गतिज ऊर्जा उसके अधिकतम कोणीय विस्थापन $\theta$ पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
कोणीय विस्थापन $\theta$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = mg\ell(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $\ell$ लोलक की लंबाई है।
पहले मामले के लिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_1 = mg\ell(1 - \cos \theta)$ है।
दूसरे मामले में,लंबाई दोगुनी कर दी जाती है $(\ell' = 2\ell)$ और कोणीय आयाम $\theta$ समान रहता है। नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2 = mg(2\ell)(1 - \cos \theta)$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $K_2 = 2 \times [mg\ell(1 - \cos \theta)] = 2K_1$ प्राप्त होता है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}} = g$ होता है। अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$
जब गोलक को $\rho_l$ घनत्व वाले द्रव में डुबोया जाता है और गोलक का घनत्व $\rho_b$ है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( 1 - \frac{\rho_l}{\rho_b} \right)$ होता है।
दिया गया है कि $\rho_l = \frac{1}{16} \rho_b,$ इसलिए $g' = g \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = g \left( \frac{15}{16} \right).$
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g \cdot \frac{15}{16}}}.$
इसे सरल करने पर,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \cdot \sqrt{\frac{16}{15}} = T \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = 4T \sqrt{\frac{1}{15}}.$

(A) सबसे निचले बिंदु पर,व्यक्ति का वेग $V_0 = \omega A = \sqrt{\frac{g}{L}} (\theta_0 L) = \theta_0 \sqrt{gL}$ है।
जब व्यक्ति खड़ा होता है,तो धुरी (pivot) से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $L$ से बदलकर $L-l$ हो जाती है। धुरी के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$M V_0 L = M V_1 (L-l) \implies V_1 = V_0 \frac{L}{L-l} = V_0 (1 - \frac{l}{L})^{-1} \approx V_0 (1 + \frac{l}{L})$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार: $W_g + W_p = \Delta KE$.
यहाँ,$W_g = -Mgl$ (गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य क्योंकि द्रव्यमान केंद्र ऊपर उठता है)।
$\Delta KE = \frac{1}{2} M (V_1^2 - V_0^2) = \frac{1}{2} M [V_0^2 (1 + \frac{l}{L})^2 - V_0^2] \approx \frac{1}{2} M V_0^2 (1 + \frac{2l}{L} - 1) = M V_0^2 \frac{l}{L}$.
$V_0^2 = \theta_0^2 gL$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta KE = M (\theta_0^2 gL) \frac{l}{L} = Mgl \theta_0^2$.
अतः,$W_p = Mgl + \Delta KE = Mgl + Mgl \theta_0^2 = Mgl(1 + \theta_0^2)$.

(B) बॉब की गति के परिवर्तन की दर स्पर्शरेखीय त्वरण (tangential acceleration) है,जिसे $a_T = g \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta$ वह कोण है जो डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है।
$\theta = 30^\circ$ पर,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T = g \sin 30^\circ$ है।
दिया गया है $g = 10\,m/s^2$ और $\sin 30^\circ = 0.5$।
अतः,$a_T = 10 \times 0.5 = 5\,m/s^2$।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2}\ln \ell - \frac{1}{2}\ln g$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें मिलता है $\frac{dT}{T} = -\frac{1}{2} \frac{dg}{g}$.
यह दिया गया है कि $g$ में प्रतिशत कमी $4\%$ है,इसलिए $\frac{dg}{g} \times 100 = -4\%$.
इस मान को $T$ में प्रतिशत परिवर्तन के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dT}{T} \times 100 = -\frac{1}{2} \times (-4\%) = +2\%$.
अतः,आवर्तकाल में $2\%$ की वृद्धि होती है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
जब ट्रेन प्रति इकाई समय में समान दूरी तय करती है,तो इसका अर्थ है कि ट्रेन एकसमान वेग (समान गति) से चल रही है।
एकसमान वेग से गति करने वाली वस्तु के लिए,ट्रेन का त्वरण $a = 0$ होता है।
लोलक पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ होता है।
चूँकि $a = 0$ है,इसलिए $g_{eff} = \sqrt{g^2 + 0^2} = g$ प्राप्त होता है।
अतः,दोलन का आवर्तकाल $T$ वही रहता है जो ट्रेन के स्थिर रहने पर था।

(C) कार के फ्रेम में लोलक के गोलक पर दो त्वरण कार्य करते हैं: नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वीय त्वरण $g$ और बाहर की ओर कार्य करने वाला अभिकेंद्री त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R}$।
प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ इन दो लंबवत त्वरणों का सदिश योग है:
$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a_c^2} = \sqrt{g^2 + \left(\frac{v^2}{R}\right)^2} = \sqrt{g^2 + \frac{v^4}{R^2}}$
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$g_{eff}$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + \frac{v^4}{R^2}}}}$
आवृत्ति $f$ आवर्तकाल का व्युत्क्रम है:
$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + \frac{v^4}{R^2}}}{l}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक ऋणावेशित गोलक धनावेशित प्लेट के ऊपर दोलन करता है,तो गोलक पर नीचे की दिशा में (प्लेट की ओर) एक अतिरिक्त स्थिर-वैद्युत बल $F_e$ कार्य करता है।
यह स्थिर-वैद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल में जुड़ जाता है,जिससे प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + \frac{F_e}{m}$ बढ़ जाता है।
चूंकि $g_{eff} > g$ है,इसलिए $T$ के सूत्र में हर (denominator) का मान बढ़ जाता है।
अतः,नया आवर्तकाल $T'$,मूल आवर्तकाल $T$ से कम होगा।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है $L = 1\,m$ और $g = \pi^2$,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2\,s$.
लोलक $\theta = +2^o$ और $\theta = -1^o$ (दीवार के कारण) के बीच दोलन करता है।
$\theta = 0^o$ से $\theta = +2^o$ तक की गति में $T/4 = 2/4 = 0.5\,s$ का समय लगता है।
$\theta = +2^o$ से वापस $\theta = 0^o$ तक की गति में भी $0.5\,s$ का समय लगता है।
$\theta = 0^o$ से $\theta = -1^o$ तक की गति के लिए,हम $\theta(t) = \theta_0 \sin(\omega t)$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $\theta_0 = 2^o$ और $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\,rad/s$.
$1^o = 2^o \sin(\pi t) \Rightarrow \sin(\pi t) = 1/2 \Rightarrow \pi t = \pi/6 \Rightarrow t = 1/6\,s$.
लोलक $0^o$ से $-1^o$ तक जाता है और दीवार से दोबारा टकराने से पहले $0^o$ पर वापस आता है। इस भाग के लिए समय $2t = 2 \times (1/6) = 1/3\,s$ है।
कुल आवर्तकाल $T' = (T/4) + (T/4) + 2t = 0.5 + 0.5 + 1/3 = 1 + 1/3 = 4/3\,s$.

(C) कार $a$ त्वरण के साथ गति करती है। दिए गए स्थिति समीकरण $x = \frac{g}{2} \sqrt{3} t^2$ से,त्वरण ज्ञात करने के लिए समय $t$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर:
$v = \frac{dx}{dt} = g \sqrt{3} t$
$a = \frac{dv}{dt} = g \sqrt{3}$
कार के फ्रेम में,लोलक त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo-force) का अनुभव करता है। गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff}$,गुरुत्वीय त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म त्वरण $a$ (पीछे की ओर) का सदिश योग है:
$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2} = \sqrt{g^2 + (g \sqrt{3})^2} = \sqrt{g^2 + 3g^2} = \sqrt{4g^2} = 2g$
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$g_{eff} = 2g$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2g}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए कि घन को $x$ के छोटे विस्थापन से नीचे दबाया जाता है। घन पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F = -A \rho g x$ है,जहाँ $A = l^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यह बल एक प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है,इसलिए $F = -k x$,जहाँ $k = A \rho g = l^2 \rho g$ है।
घन का द्रव्यमान $m = l^3 d$ है।
सरल आवर्त गति का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l^3 d}{l^2 \rho g}}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{ld}{\rho g}}$ प्राप्त होता है।

(C) माना बॉब का द्रव्यमान $m$ है और धागे की लंबाई $\ell$ है। धागे की तोड़ने की क्षमता $T_{max} = 2mg$ दी गई है।
जब बॉब को क्षैतिज स्थिति से छोड़ा जाता है,तो ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर उसका वेग $v$ ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{2}mv^2 = mg\ell \cos \theta$,जिसका अर्थ है $v^2 = 2g\ell \cos \theta$.
किसी भी कोण $\theta$ पर धागे में तनाव $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है।
$v^2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $T = mg \cos \theta + \frac{m(2g\ell \cos \theta)}{\ell} = mg \cos \theta + 2mg \cos \theta = 3mg \cos \theta$.
धागा तब टूटता है जब $T = T_{max} = 2mg$.
इसलिए,$3mg \cos \theta = 2mg$,जो सरल होकर $\cos \theta = \frac{2}{3}$ हो जाता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 200\, g = 0.2\, kg$,लंबाई $L = 100\, cm = 1\, m$,$g = 10\, m/s^2$.
मान लीजिए कि सबसे निचला बिंदु स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर है $(PE = 0)$.
ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर बॉब की ऊंचाई $h = L(1 - \cos\theta)$ है।
$\theta_1 = 60^\circ$ पर,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i = mgL(1 - \cos 60^\circ) = mgL(1 - 0.5) = 0.5 mgL$ है।
$\theta_2 = 30^\circ$ पर,स्थितिज ऊर्जा $PE_f = mgL(1 - \cos 30^\circ) = mgL(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx mgL(1 - 0.866) = 0.134 mgL$ है।
$PE_f$ की गणना: $PE_f = 0.2 \times 10 \times 1 \times (1 - 0.866) = 2 \times 0.134 = 0.268\, J = 2.68 \times 10^6\, erg$.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$TE_i = TE_f$.
$PE_i + KE_i = PE_f + KE_f$.
चूंकि लोलक को स्थिर अवस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए $KE_i = 0$.
$KE_f = PE_i - PE_f = mgL(\cos 30^\circ - \cos 60^\circ) = 0.2 \times 10 \times 1 \times (0.866 - 0.5) = 2 \times 0.366 = 0.732\, J = 7.32 \times 10^6\, erg$.

(D) दिया गया है: लोलक की लंबाई $l = 10 \ m$,कोण $\theta = 60^\circ$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊंचाई में परिवर्तन $h$ को $h = l(1 - \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
$h = 10(1 - \cos 60^\circ) = 10(1 - 0.5) = 10(0.5) = 5 \ m$ है।
सबसे निचले बिंदु पर वेग $v$ को $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$ है।
अतः,बॉब का वेग $10 \ m/s$ है।