SHM of Simple Pendulum Questions in Hindi

(A) निर्वातित कक्ष में,सरल लोलक के गोलक (bob) पर कोई वायु प्रतिरोध या घर्षण बल कार्य नहीं करता है।
चूंकि गोलक पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है (जो एक संरक्षी बल है),इसलिए निकाय की यांत्रिक ऊर्जा को नष्ट करने के लिए कोई तंत्र नहीं है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
इसलिए,दोलन का आयाम समय के साथ स्थिर रहता है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g$ होता है।
अतः,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ...$(i)$
जब लिफ्ट $a = 3g$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = g + 3g = 4g$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T^{\prime}$ का मान $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{4g}}$ है।
$T^{\prime} = \frac{1}{2} \times 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर,हमें $T^{\prime} = \frac{T}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) $L$ लंबाई के सरल लोलक के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
$L$ लंबाई की एक समान छड़ के लिए,जिसे एक सिरे से लटकाया गया है,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} mL^2$ है। द्रव्यमान केंद्र की धुरी से दूरी $r_{cm} = \frac{L}{2}$ है।
भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mg r_{cm}}}$ होता है।
छड़ के लिए मान रखने पर: $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3} mL^2}{mg (L/2)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
अब,अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{L/g}}{2 \pi \sqrt{2L/3g}} = \sqrt{\frac{L/g}{2L/3g}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(A) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
यहाँ,$A = 10 \ cm$ और $x = 4 \ cm$ है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{KE}{PE} = \frac{10^2 - 4^2}{4^2} = \frac{100 - 16}{16} = \frac{84}{16}$ प्राप्त होता है।
परिणाम की गणना करने पर: $\frac{84}{16} = 5.25$।

(A) एक सरल लोलक के लिए,डोरी में तनाव $(T)$ का सूत्र $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l}$ है।
छोटे दोलनों के लिए,$\theta$ छोटा होता है,इसलिए $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ होता है।
वेग $v$ कोणीय विस्थापन $\theta$ से $v = l \frac{d\theta}{dt}$ द्वारा संबंधित है।
चूंकि लोलक $SHM$ कर रहा है,$\theta = \theta_0 \sin(\omega t + \phi)$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हम पाते हैं कि $T$ समय के साथ $T \propto \cos(2\omega t + 2\phi)$ के अनुसार बदलता है।
तनाव में परिवर्तन की आवृत्ति लोलक के दोलन की आवृत्ति से दोगुनी होती है।
चूंकि $t=0$ पर गोलक माध्य स्थिति पर नहीं है,इसलिए कला $\phi \neq 0$ है,और $t=0$ पर तनाव अपने अधिकतम या न्यूनतम मान पर नहीं होगा। ग्राफ $(a)$ समय के साथ तनाव में आवधिक परिवर्तन को दर्शाता है,जो लोलक के भौतिक व्यवहार के अनुरूप है।

(B) हवा में एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लोलक को $\rho$ घनत्व वाले तरल में डुबोया जाता है और बॉब का घनत्व $\sigma$ होता है,तो गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का प्रभावी मान $g' = g(1 - \frac{\rho}{\sigma})$ होता है।
यहाँ,$\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$ और $\sigma = \frac{5000}{3} \ kg \ m^{-3}$ है।
अतः,$g' = g(1 - \frac{1000}{5000/3}) = g(1 - \frac{3000}{5000}) = g(1 - \frac{3}{5}) = g(\frac{2}{5})$.
पानी में आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(2/5)}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = \sqrt{\frac{5}{2}} T$ होता है।
इसलिए,$\frac{T}{t} = \sqrt{\frac{2}{5}}$।

(A) जब हाइड्रोमीटर संतुलन में तैर रहा होता है,तो उसका भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है।
जब इसे $x$ की छोटी दूरी तक नीचे धकेला जाता है,तो अतिरिक्त उत्प्लावन बल प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है।
अतिरिक्त डूबा हुआ आयतन $V = \pi r^2 x$ है।
अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F = \rho V g = \rho (\pi r^2 x) g$ है।
चूंकि यह बल विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए प्रत्यानयन बल $F_{restoring} = -\rho \pi r^2 g x$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$m a = -\rho \pi r^2 g x$,जिससे हमें $a = -(\frac{\rho \pi r^2 g}{m}) x$ प्राप्त होता है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{\rho \pi r^2 g}{m}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{\rho \pi r^2 g}}$ है।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ निलंबन बिंदु से गोलक के द्रव्यमान केंद्र तक की प्रभावी लंबाई है।
प्रारंभ में,पानी से भरे गोले का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
जैसे-जैसे नीचे के छेद से पानी बाहर निकलता है,निकाय का द्रव्यमान केंद्र नीचे की ओर खिसक जाता है। इससे प्रभावी लंबाई $l$ बढ़ जाती है,जिसके कारण आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे पानी का स्तर गिरता जाता है,द्रव्यमान केंद्र अपने सबसे निचले बिंदु तक पहुँचता है और फिर जैसे-जैसे गोलक खाली होता है,यह वापस ज्यामितीय केंद्र की ओर ऊपर उठने लगता है।
एक बार जब पानी पूरी तरह से निकल जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र खोखले गोले के ज्यामितीय केंद्र पर वापस आ जाता है,जिससे मूल प्रभावी लंबाई $l$ और इस प्रकार मूल आवर्तकाल $T$ बहाल हो जाता है।

(A) मान लीजिए कि जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है तो आवर्तकाल $T_1$ है, और जब लिफ्ट समान त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति करती है तो आवर्तकाल $T_2$ है।
ऊपर की ओर गति करते समय प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g + a$ है, और नीचे की ओर गति करते समय $g'' = g - a$ है।
आवर्तकाल इस प्रकार हैं:
$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$ $(i)$
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$ $(ii)$
दिए गए अनुपात $T_1 : T_2 = 1 : 2$ के अनुसार:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{g-a}{g+a}} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{g-a}{g+a} = \frac{1}{4}$
$4(g - a) = g + a$
$4g - 4a = g + a$
$3g = 5a$
$a = \frac{3g}{5} = \frac{3 \times 10}{5} = 6 \,ms^{-2}$

(A) क्षैतिज स्थिति में गोलक की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i = mgh$ है,जहाँ $h = L = 200 \ cm = 2 \ m$ है।
अतः,$PE_i = m \times 10 \times 2 = 20m$.
जब गोलक माध्य स्थिति पर पहुँचता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
दिया गया है कि प्रारंभिक ऊर्जा का $10 \%$ नष्ट हो जाता है,इसलिए शेष ऊर्जा प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का $90 \%$ है।
$KE_f = 0.9 \times PE_i = 0.9 \times mgL = 0.9 \times m \times 10 \times 2 = 18m$.
माध्य स्थिति पर,$KE_f = \frac{1}{2}mv^2$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = 18m$.
$v^2 = 36$.
$v = 6 \ m \ s^{-1}$.

(C) दिया गया है: $h = 20 \,m$, $v = 31.4 \,ms^{-1}$.
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करने पर, जहाँ $u = 0$:
$v^2 = 2gh$
$g = \frac{v^2}{2h} = \frac{31.4 \times 31.4}{2 \times 20} = \frac{985.96}{40} \approx 24.649 \,ms^{-2}$.
ध्यान दें कि $31.4 \approx 10\pi$, इसलिए $g = \frac{(10\pi)^2}{40} = \frac{100\pi^2}{40} = 2.5\pi^2 \,ms^{-2}$.
सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \,s$ होता है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g} \Rightarrow l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$.
$T = 2 \,s$ और $g = 2.5\pi^2 \,ms^{-2}$ का मान रखने पर:
$l = \frac{2^2 \times 2.5\pi^2}{4\pi^2} = \frac{4 \times 2.5\pi^2}{4\pi^2} = 2.5 \,m$.

(B) हवा में सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लोलक $\sigma$ घनत्व वाले द्रव में दोलन करता है,तो गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right)$ होता है,जहाँ $\rho$ गोलक का घनत्व है।
पानी में आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ है।
दिया गया है कि $T' = \sqrt{2} T$,इसलिए $\sqrt{2} = \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{g(1 - \sigma/\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sigma/\rho}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2 = \frac{1}{1 - \sigma/\rho}$,जिसका अर्थ है कि $1 - \frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{2}$.
चूंकि पानी का घनत्व $\sigma = 1 \text{ g/cm}^3$ है,इसलिए गोलक का आपेक्षिक घनत्व $\rho = 2$ है।

(C) सरल लोलक का गोलक गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ और कार की वृत्तीय गति के कारण अभिकेंद्र त्वरण $(a_c = v^2/R)$ दोनों का अनुभव करता है।
ये दोनों त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं।
गोलक पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण $(g')$ $g' = \sqrt{g^2 + a_c^2} = \sqrt{g^2 + (v^2/R)^2} = \sqrt{g^2 + v^4/R^2}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{L/g'}$ होता है।
मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{L / \sqrt{g^2 + v^4/R^2}} = 2\pi \sqrt{1 / (g^2 + v^4/R^2)^{1/2}} = 2\pi / (g^2 + v^4/R^2)^{1/4}$।
इसे $T = 2\pi / \alpha^{1/4}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = g^2 + v^4/R^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ $g = 10 \ m/s^2$,$v = 10 \ m/s$,और $R = 100 \ m$ दिया गया है:
$\alpha = (10)^2 + (10)^4 / (100)^2 = 100 + 10000 / 10000 = 100 + 1 = 101$।

(A) जब $r$ त्रिज्या का एक छोटा गोला $R$ त्रिज्या की अवतल सतह पर बिना फिसले लुढ़कता है,तो द्रव्यमान केंद्र के पथ की प्रभावी त्रिज्या $(R - r)$ होती है।
संपर्क बिंदु के परितः टॉर्क $\tau = -mg(R-r)\sin\theta \approx -mg(R-r)\theta$ है।
संपर्क बिंदु के परितः गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{2}{5}mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5}mr^2$ है।
गति का समीकरण $\tau = I\alpha$ है,इसलिए $-mg(R-r)\theta = \frac{7}{5}mr^2 \frac{d^2\theta}{dt^2}$।
इससे $\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{5g(R-r)}{7r^2}\theta$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,यदि यह माना जाए कि गोला बिना घर्षण के फिसल रहा है,तो यह गति $l = (R-r)$ लंबाई के सरल लोलक के समान है।
दिया गया है कि $r << R$,इसलिए प्रभावी लंबाई $l \approx R$ है।
आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ होगा।

(D) दिया गया है: सरल लोलक की लंबाई $L = 1 \,m$,लिफ्ट का त्वरण $a = 2 \,m/s^2$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a$ होता है।
मान रखने पर,$g_{eff} = 10 + 2 = 12 \,m/s^2$ प्राप्त होता है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{12}} = 2\pi \frac{1}{\sqrt{4 \times 3}} = 2\pi \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \,s$।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $T^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l}{g}\right) \quad ...(i)$
जब लंबाई में $10 \ cm$ की वृद्धि की जाती है,तो नया आवर्तकाल $T_1$ इस प्रकार है: $T_1^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l+10}{g}\right) \quad ...(ii)$
जब लंबाई में $10 \ cm$ की कमी की जाती है,तो नया आवर्तकाल $T_2$ इस प्रकार है: $T_2^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l-10}{g}\right) \quad ...(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_1^2 + T_2^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l+10}{g}\right) + 4 \pi^2 \left(\frac{l-10}{g}\right)$
$T_1^2 + T_2^2 = \frac{4 \pi^2}{g} (l + 10 + l - 10)$
$T_1^2 + T_2^2 = \frac{4 \pi^2}{g} (2l)$
$T_1^2 + T_2^2 = 2 \left(4 \pi^2 \frac{l}{g}\right)$
इसमें समीकरण $(i)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_1^2 + T_2^2 = 2 T^2$

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
आवृत्ति $f$ (प्रति इकाई समय में दोलनों की संख्या) $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ है।
चूंकि किसी दिए गए स्थान पर $g$ स्थिर है,इसलिए $f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$,जिसका अर्थ है $L \propto \frac{1}{f^2}$।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 72 \text{ दोलन/मिनट}$ और अंतिम आवृत्ति $f_2 = 90 \text{ दोलन/मिनट}$ है।
अतः,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{f_1}{f_2} \right)^2 = \left( \frac{72}{90} \right)^2 = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} = 0.64$।
इसका अर्थ है कि नई लंबाई $L_2$ मूल लंबाई $L_1$ का $64 \%$ है।
लंबाई में कमी $\Delta L = L_1 - L_2 = L_1 - 0.64 L_1 = 0.36 L_1$ है।
इसलिए,प्रतिशत कमी $36 \%$ है।

(C) गोले पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और विद्युत बल $qE$ (ऊपर की ओर,क्योंकि विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर है और आवेश धनात्मक है) हैं।
परिणामी नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $F = mg - qE$ है।
इसे $F = m(g - \frac{qE}{m})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - \frac{qE}{m}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$g'$ का मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g - \frac{qE}{m}}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है, छड़ की लंबाई $l = 1.8 \,m$ है।
एक सिरे पर कीलकित (pivoted) $l$ लंबाई की एक समान छड़ के दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgR}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ कीलक के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $R$ कीलक से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
एक सिरे पर लटकी छड़ के लिए, $I = \frac{ml^2}{3}$ और $R = \frac{l}{2}$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{ml^2/3}{mg(l/2)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2l}{3g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2 \times 1.8}{3g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1.2}{g}}$.
$l'$ लंबाई के सरल लोलक का आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{l'}{g}}$ होता है।
चूंकि $T = T'$, इसलिए $2 \pi \sqrt{\frac{l'}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1.2}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $l' = 1.2 \,m$ प्राप्त होता है।

(C) सरल लोलक का गोलक एक स्थिर गोलक के नीचे ऊर्ध्वाधर लटका हुआ है। दोनों गोलकों पर समान आवेश $q$ है।
चूंकि गोलक ऊर्ध्वाधर रेखा में हैं,इसलिए उनके बीच लगने वाला प्रतिकर्षण बल डोरी की दिशा में ही कार्य करता है।
यह स्थिर-वैद्युत बल गतिशील गोलक पर ऊपर की ओर कार्य करता है,जो गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ के विपरीत है।
हालाँकि,एक सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल डोरी के लंबवत गुरुत्वाकर्षण के घटक $mg \sin \theta$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
स्थिर-वैद्युत बल डोरी की दिशा में कार्य करता है और इसका डोरी के लंबवत कोई घटक नहीं होता है।
इसलिए,स्थिर-वैद्युत बल लोलक की गति या प्रत्यानयन बल को प्रभावित नहीं करता है।
अतः,लोलक का आवर्तकाल अपरिवर्तित रहता है: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

(A) मान लीजिए डोरी की लंबाई $l$ है। चरम स्थिति पर,वेग शून्य होता है,इसलिए तनाव $T_{\min } = mg \cos \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ अधिकतम कोणीय विस्थापन है।
सबसे निचले बिंदु (माध्य स्थिति) पर,तनाव अधिकतम होता है,जो $T_{\max } = mg + \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
चरम स्थिति और माध्य स्थिति के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $\frac{1}{2} mv^2 = mgl(1 - \cos \theta)$,जिसका अर्थ है $v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$।
$T_{\max }$ के व्यंजक में $v^2$ का मान रखने पर: $T_{\max } = mg + \frac{m(2gl(1 - \cos \theta))}{l} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(1 + 2 - 2 \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$।
दिया गया है कि $T_{\max } = 2 T_{\min }$,इसलिए $mg(3 - 2 \cos \theta) = 2(mg \cos \theta)$।
$3 - 2 \cos \theta = 2 \cos \theta \implies 4 \cos \theta = 3 \implies \cos \theta = \frac{3}{4}$।
$T_{\max }$ के व्यंजक में $\cos \theta = \frac{3}{4}$ रखने पर: $T_{\max } = 2mg \cos \theta = 2mg \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3mg}{2}$।

(B) $L$ त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्तीय पथ पर $v$ चाल से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के गोलक के लिए,त्रिज्यीय दिशा में कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (केंद्र की ओर) और भार का घटक $mg \cos \theta$ (केंद्र से दूर) हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल इन त्रिज्यीय बलों के परिणामी द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{L}$
तनाव $T$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$T = \frac{mv^2}{L} + mg \cos \theta$

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ द्वारा दिया जाता है।
$h = R$ ऊँचाई पर (जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है),गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ होता है।
पृथ्वी की सतह पर $g = \pi^2 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $h$ ऊँचाई पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{\pi^2}{4} \ m/s^2$ होगा।
आवर्तकाल के सूत्र में $\ell = 4.0 \ m$ और $g' = \frac{\pi^2}{4} \ m/s^2$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{\pi^2 / 4}} = 2\pi \sqrt{\frac{16}{\pi^2}} = 2\pi \times \frac{4}{\pi} = 8 \ s$.

(C) $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व वाली एक अनंत समतल प्लेट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}$ होता है।
चूंकि गोलक पर $q$ आवेश है,यह ऊपर की ओर $F_e = qE = \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0}}$ का स्थिर-वैद्युत बल अनुभव करता है।
गोलक पर कार्य करने वाला प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}}$ इस प्रकार है: $m g_{\text{eff}} = mg - F_e = mg - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0}}$।
अतः,$g_{\text{eff}} = g - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0} m}$।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$g_{\text{eff}}$ का मान रखने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0} m}}}$ प्राप्त होता है।

(C) लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \,s$ है। कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \pi \,rad/s$ है।
निम्नतम बिंदु पर विस्थापन $x = 0$ है,इसलिए गति का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $A$ आयाम है।
किसी भी समय $t$ पर वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ है।
$t = 0$ पर,$v(0) = v_{0} = A \omega$,इसलिए $A = \frac{v_{0}}{\omega}$।
हमें $t = 2.25 \,s$ पर ऊँचाई $h$ चाहिए। चूँकि $T = 2 \,s$,$t = 2.25 \,s = T + 0.25 \,s = T + \frac{T}{8}$।
$t = \frac{T}{8} = 0.25 \,s$ पर,वेग $v = v_{0} \cos(\omega \cdot \frac{T}{8}) = v_{0} \cos(\frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{8}) = v_{0} \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + mgh$।
$v = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} v_{0}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{v_{0}}{\sqrt{2}})^{2} + gh$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{2} v_{0}^{2} = \frac{1}{4} v_{0}^{2} + gh$।
$gh = \frac{1}{4} v_{0}^{2} \implies h = \frac{v_{0}^{2}}{4g}$।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $T^2 = \frac{4\pi^2 L}{g}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{T^2} = \frac{g}{4\pi^2 L}$.
यह समीकरण $y = \frac{k}{x}$ के रूप में है,जहाँ $y = \frac{1}{T^2}$,$x = L$,और $k = \frac{g}{4\pi^2}$ एक स्थिरांक है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जो विकल्प $B$ में दिखाए गए आलेख के अनुरूप है।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$,$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $T \propto \sqrt{\ell}$।
यह दिया गया है कि समय अवधि $t$ स्थिर है,इसलिए दोलनों की संख्या $n$,आवर्तकाल $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(n = \frac{t}{T})$।
अतः,$n \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$,जिसका अर्थ है $n^2 \propto \frac{1}{\ell}$ या $\ell \propto \frac{1}{n^2}$।
प्रारंभ में,$n_1 = 20$ और $\ell_1 = 30 \ cm$।
अंत में,$n_2 = 40$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2$।
$\ell_2 = 30 \times \left( \frac{20}{40} \right)^2 = 30 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 30 \times \frac{1}{4} = 7.5 \ cm$।

(D) एक सरल लोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ उसकी गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है,जो गति के दौरान स्थिर रहती है।
दी गई कुल ऊर्जा $E = 0.02 \text{ J}$ है।
साम्यावस्था (माध्य स्थिति) पर,गोलक की स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है,इसलिए कुल ऊर्जा पूरी तरह से गतिज ऊर्जा के रूप में होती है।
अतः,$E = K.E_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 20 \text{ g} = 0.02 \text{ kg}$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$0.02 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times v_{max}^2$
$1 = \frac{1}{2} v_{max}^2$
$v_{max}^2 = 2$
$v_{max} = \sqrt{2} \approx 1.414 \text{ m/s}$.
इस प्रकार,साम्यावस्था पर चाल लगभग $1.41 \text{ m/s}$ है।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$, सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $30$ दोलनों के लिए लिया गया समय $60 \text{ s}$ है, इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{60}{30} = 2 \text{ s}$ होगा।
सूत्र में मान रखने पर: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{9.8}}$।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $4 = 4\pi^2 \frac{L}{9.8}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\pi^2 = 9.8$, इसलिए समीकरण में मान प्रतिस्थापित करने पर: $4 = 4 \times 9.8 \times \frac{L}{9.8}$।
व्यंजक को सरल करने पर, हमें $4 = 4L$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $L = 1 \text{ m}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।