Method to determine Time Period and Frequency for diffrent type of Object of SHM Questions in Hindi

(D) $R$ त्रिज्या वाले गोलाकार कटोरे में बिना फिसले लुढ़कने वाली $r$ त्रिज्या की गेंद के लिए,लोलक की प्रभावी लंबाई $(R-r)$ होती है।
इस तरह के दोलन का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{cm} + mr^2}{mgr^2}} \times \sqrt{R-r} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{2}{5}mr^2 + mr^2}{mgr^2}} \times \sqrt{R-r} = 2\pi \sqrt{\frac{7(R-r)}{5g}}$
चूंकि $T \propto \sqrt{R-r}$ है,यदि गेंद की त्रिज्या $r$ बढ़ाई जाती है,तो $(R-r)$ पद कम हो जाता है।
इसलिए,आवर्तकाल $T$ थोड़ा कम हो जाता है।

(B) डोरी में तनाव $T$ के घटकों को वियोजित करने पर,मनके पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -2 T \sin \theta$ है।
चित्र की ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + (l/2)^2}}$ है।
छोटे विस्थापन $x$ के लिए,जहाँ $x \ll l/2$,हम $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{l/2} = \frac{2x}{l}$ मान सकते हैं।
अतः,प्रत्यानयन बल $F = -2 T \left( \frac{2x}{l} \right) = -\left( \frac{4T}{ml} \right) m x$ है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $F = -m \omega^2 x$ से तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{4T}{ml}$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{4T}{ml}}$ है।
अतः,दोलन की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4T}{ml}}$ है।

(A) कण पर लगने वाला बल $F = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$F = -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} k x^2 - V_0 \cos \left( \frac{x}{a} \right) \right) = -\left( kx + \frac{V_0}{a} \sin \left( \frac{x}{a} \right) \right)$.
चूँकि दोलन का आयाम $a$ से बहुत छोटा है,इसलिए $x \ll a$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{a} \ll 1$। छोटे $\theta$ के लिए $\sin \theta \approx \theta$ के सन्निकटन का उपयोग करने पर,हमें $\sin \left( \frac{x}{a} \right) \approx \frac{x}{a}$ प्राप्त होता है।
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F \approx -\left( kx + \frac{V_0}{a} \cdot \frac{x}{a} \right) = -\left( k + \frac{V_0}{a^2} \right) x$.
यह $F = -K_{eff} x$ के रूप में है,जहाँ $K_{eff} = k + \frac{V_0}{a^2}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ का मान $\omega = \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{k + \frac{V_0}{a^2}}{m}} = \sqrt{\frac{k a^2 + V_0}{m a^2}}$ है।
अतः आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m a^2}{k a^2 + V_0}}$ होगा।

(D) भौतिक लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धुरी (pivot) के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $d$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ तक की दूरी है।
एक सिरे से लटके $\ell$ लंबाई के छड़ के लिए:
$I = \frac{m\ell^2}{3}$ और $d = \frac{\ell}{2}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m\ell^2/3}{mg\ell/2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2\ell}{3g}} \quad \dots(i)$
जब तार को $R$ त्रिज्या के वृत्त में मोड़ा जाता है,तो परिधि $\ell = 2 \pi R$ होती है,इसलिए $R = \frac{\ell}{2 \pi}$.
परिधि पर एक बिंदु से लटकी रिंग के लिए,धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ है (समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके)।
धुरी से $COM$ तक की दूरी $d' = R$ है।
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}} \quad \dots(ii)$
$R = \frac{\ell}{2 \pi}$ को $(ii)$ में रखने पर:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \frac{\ell}{2 \pi}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{\pi g}}$.
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T'}{T} = \frac{2 \pi \sqrt{2R/g}}{2 \pi \sqrt{2\ell/3g}} = \sqrt{\frac{2R}{g} \cdot \frac{3g}{2\ell}} = \sqrt{\frac{3R}{\ell}} = \sqrt{\frac{3(\ell/2\pi)}{\ell}} = \sqrt{\frac{3}{2 \pi}}$.
अतः,$T' = \sqrt{\frac{3}{2 \pi}} T$.

(D) स्ट्रॉ में तरल के द्रव्यमान पर विचार करें। तरल स्तंभ की कुल लंबाई $(y+d)$ है।
मान लीजिए $\rho$ पानी का घनत्व है और $A$ स्ट्रॉ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
तरल स्तंभ का द्रव्यमान $m = \rho A(y+d)$ है।
निकाय के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर,तरल स्तंभ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. स्ट्रॉ के निचले हिस्से पर आसपास के पानी के कारण दबाव बल: $F_P = P_{atm}A + \rho g d A$.
$2$. स्ट्रॉ के शीर्ष पर वायुमंडलीय दबाव बल: $F_{atm} = -P_{atm}A$.
$3$. तरल स्तंभ का भार: $F_g = -mg = -\rho A(y+d)g$.
$4$. स्ट्रॉ के निचले हिस्से में $\dot{y}$ वेग के साथ प्रवेश करने वाले पानी के कारण थ्रस्ट बल: $F_{thrust} = -\dot{m}v_{rel} = -(\rho A \dot{y})\dot{y} = -\rho A \dot{y}^2$.
इन बलों का योग करने पर: $F_{net} = \frac{d}{dt}(mv) = \frac{d}{dt}(\rho A(y+d)\dot{y}) = \rho A ((y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2)$.
$F_{net}$ को बलों के योग के बराबर रखने पर:
$\rho A ((y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2) = P_{atm}A + \rho g d A - P_{atm}A - \rho A(y+d)g - \rho A \dot{y}^2$.
$\rho A$ से विभाजित करने पर:
$(y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2 = gd - g(y+d) - \dot{y}^2$.
$(y+d)\ddot{y} + 2\dot{y}^2 + gy = 0$.
नोट: दिया गया विकल्प $(D)$ $(y+d)\ddot{y} + \dot{y}^2 + gy = 0$ है,जो इस समस्या के लिए मानक परिणाम है।

(A) भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I$ निलंबन बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$m$ द्रव्यमान है,और $L$ निलंबन बिंदु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
$R$ त्रिज्या वाली रिंग के लिए,जिसे उसकी परिधि के एक बिंदु से लटकाया गया है,निलंबन बिंदु से केंद्र की दूरी $L = R$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,निलंबन बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + mR^2$ होता है।
चूंकि रिंग के लिए $I_{cm} = mR^2$ होता है,इसलिए $I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$।

(D) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 4 \,kg$
ग्राफ से,आयाम $A = 0.2 \,m$ पर अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{max} = 1.0 \,J$ है।
सरल आवर्त गति में स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है।
$x = A = 0.2 \,m$ के लिए,$U = U_{max} = 1.0 \,J$ है।
$1.0 = \frac{1}{2} \times k \times (0.2)^2$
$1.0 = \frac{1}{2} \times k \times 0.04$
$1.0 = k \times 0.02$
$k = \frac{1.0}{0.02} = 50 \,N/m$.
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{4}{50}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{25}} = 2 \pi \times \frac{\sqrt{2}}{5} = \frac{2 \pi \sqrt{2}}{5} \,s$.
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) यह एक भौतिक लोलक (physical pendulum) का मामला है।
भौतिक लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{m g d}}$ है,जहाँ $I$ धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$m$ द्रव्यमान है,और $d$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र तक की दूरी है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक समान छड़ के लिए जिसे उसके सिरे से लटकाया गया है:
$1$. सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m l^2}{3}$ है।
$2$. धुरी से द्रव्यमान केंद्र तक की दूरी $d = \frac{l}{2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{m l^2}{3}}{m g (\frac{l}{2})}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m l^2}{3} \cdot \frac{2}{m g l}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2 l}{3 g}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) यह एक भौतिक लोलक (physical pendulum) का मामला है।
भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M g L}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ निलंबन बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $L$ द्रव्यमान केंद्र और निलंबन बिंदु के बीच की दूरी है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान डिस्क के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M R^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,उसकी परिधि पर स्थित एक बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{\text{cm}} + M R^2 = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$ है।
द्रव्यमान केंद्र से निलंबन बिंदु तक की दूरी $L = R$ है।
इन मानों को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2} M R^2}{M g R}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3 R}{2 g}}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया है: आयाम $A = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$,विस्थापन $x = 1 \,cm = 1 \times 10^{-2} \,m$.
$S.H.M.$ में त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
$S.H.M.$ में वेग का परिमाण $|v| = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$|a| = |v|$,इसलिए:
$\omega^2 x = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
दोनों पक्षों को $\omega$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $\omega \neq 0$):
$\omega x = \sqrt{A^2 - x^2}$
मान रखने पर:
$\omega (1 \times 10^{-2}) = \sqrt{(2 \times 10^{-2})^2 - (1 \times 10^{-2})^2}$
$\omega (1 \times 10^{-2}) = \sqrt{(4 - 1) \times 10^{-4}}$
$\omega (1 \times 10^{-2}) = \sqrt{3} \times 10^{-2}$
$\omega = \sqrt{3} \,rad/s$.
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \,s$.

(C) $U$-ट्यूब में दोलन करने वाले द्रव स्तंभ का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{h}{g}}$
जहाँ $h$ संतुलन स्थिति में एक भुजा में द्रव स्तंभ की ऊँचाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है:
$h = 0.3 \ m$
$g = 9.8 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.3}{9.8}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{0.0306}$
$T = 6.28 \times 0.175$
$T \approx 1.1 \ s$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) जब छड़ को छोटे कोण $\theta$ से घुमाया जाता है,तो प्रत्येक स्प्रिंग के सिरे का विस्थापन $x = \frac{L}{2} \sin \theta \approx \frac{L}{2} \theta$ होता है (छोटे $\theta$ के लिए)।
प्रत्येक स्प्रिंग एक प्रत्यानयन बल $F = kx = k \frac{L}{2} \theta$ लगाती है।
केंद्र के सापेक्ष प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा प्रदान किया गया प्रत्यानयन टॉर्क $\tau = F \cdot \frac{L}{2} = k \left( \frac{L}{2} \theta \right) \frac{L}{2} = \frac{k L^2}{4} \theta$ है।
चूंकि दो स्प्रिंग हैं,कुल प्रत्यानयन टॉर्क $\tau_{total} = 2 \times \frac{k L^2}{4} \theta = \frac{k L^2}{2} \theta$ है।
घूर्णी दोलन के लिए गति का समीकरण $\tau = I \alpha$ है,जहाँ $I = \frac{M L^2}{12}$ छड़ का उसके केंद्र के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है।
अतः,$\frac{M L^2}{12} \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \frac{k L^2}{2} \theta$.
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \left( \frac{6 k}{M} \right) \theta$.
इसे मानक $SHM$ समीकरण $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{6 k}{M}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{6 k}{M}}$.
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 k}{M}}$ है।

(A) जब घन को $x$ के छोटे विस्थापन से नीचे दबाया जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F_b = A \rho g x$ होता है,जहाँ $A = L^2$ घन के आधार का क्षेत्रफल है।
चूँकि घन हल्का है और तैर रहा है,इसलिए प्रत्यानयन बल $F = -L^2 \rho g x$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$m \frac{d^2x}{dt^2} = -L^2 \rho g x$,जिससे हमें $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{L^2 \rho g}{m}) x$ प्राप्त होता है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण है जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{L^2 \rho g}{m}}$ है।
आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{L^2 \rho g}}$ है।
दिया गया है $m = 10 \ g = 10^{-2} \ kg$,$L = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,और $g = 10 \ m/s^2$ है।
मान रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{(0.1)^2 \times 10^3 \times 10}} = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{0.01 \times 10^4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{10^2}} = 2 \pi \sqrt{10^{-4}} = 2 \pi \times 10^{-2} \ s$ है।
इसे $y \pi \times 10^{-2} \ s$ के साथ तुलना करने पर,हमें $y = 2$ प्राप्त होता है।

(A) जब गेंद को $h$ ऊँचाई से छोड़ा जाता है,तो जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ होता है।
चूँकि टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है,गेंद समान चाल $v = \sqrt{2gh}$ से वापस उछलती है और समान ऊँचाई $h$ तक पहुँचती है।
एक पूर्ण दोलन (ऊपर और नीचे) के लिए कुल आवर्तकाल $T = 2t = 2 \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
आवृत्ति $f$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम है: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{2h}{g}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{2h}}$.

(C) मान लीजिए कि बिंदु $P$ और $Q$ $x$-अक्ष पर क्रमशः $(-d, 0, 0)$ और $(d, 0, 0)$ पर हैं। द्रव्यमान $m$ $xy$-तल में बिंदु $R$ पर $(0, -h, 0)$ पर स्थित है,जहाँ $h = \sqrt{L^2 - d^2}$ है।
जब द्रव्यमान को तल से थोड़ा बाहर ($z$-दिशा में) $z$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो $P$ और $Q$ से द्रव्यमान की नई दूरी $L' = \sqrt{h^2 + z^2 + d^2} = \sqrt{L^2 + z^2}$ हो जाती है।
प्रत्येक डोरी में तनाव $T = \frac{mg}{2 \cos \theta}$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{h}{L'}$.
$z$-दिशा में प्रत्यानयन बल $F = -2T \sin \phi$ है,जहाँ $\phi$ डोरी और $xy$-तल के बीच का कोण है,$\sin \phi = \frac{z}{L'}$.
अतः,$F = -2 \left( \frac{mg}{2(h/L')} \right) \left( \frac{z}{L'} \right) = -\frac{mgz}{h}$.
प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{h} = \frac{mg}{\sqrt{L^2 - d^2}}$ है।
आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{mg/\sqrt{L^2 - d^2}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{L^2 - d^2}}{g}}$ होगा।

(C) जब '$r$' त्रिज्या की एक छोटी गेंद '$R$' त्रिज्या की वक्र सतह पर लुढ़कती है,तो गेंद का द्रव्यमान केंद्र '$(R-r)$' त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलता है।
छोटे दोलनों के लिए,यह गति '$L_{eff} = R-r$' प्रभावी लंबाई वाले सरल लोलक के समतुल्य है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रभावी लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{R-r}{g}}$ प्राप्त होता है।
अतः,दोलन का आवर्तकाल $\sqrt{\frac{R-r}{g}}$ के समानुपाती है।

(B) जब द्रव स्तंभ को एक तरफ '$y$' विस्थापन से दबाया जाता है, तो दूसरी तरफ द्रव का स्तर '$y$' ऊपर उठ जाता है। इस प्रकार, दोनों भुजाओं में द्रव के स्तरों के बीच का कुल अंतर '$2y$' है।
इस अतिरिक्त द्रव स्तंभ का भार प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है।
प्रत्यानयन बल $F = -(\text{आयतन} \times \text{घनत्व} \times g) = -(A \times 2y \times d \times g) = -2Adgy$.
चूंकि $F = Ma$, जहाँ '$M$' द्रव का कुल द्रव्यमान है, हमारे पास $Ma = -2Adgy$ है।
इसलिए, त्वरण $a = -(\frac{2Adg}{M})y$.
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $a = -\omega^2 y$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\omega^2 = \frac{2Adg}{M}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल '$T$' का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2Adg}}$ है।

(D) जब द्रव स्तंभ को उसकी संतुलन स्थिति से $y$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है,तो दोनों भुजाओं में द्रव के स्तर की ऊँचाई में अंतर के कारण एक प्रत्यानयन बल उत्पन्न होता है।
दोनों भुजाओं के बीच ऊँचाई का अंतर $2y$ हो जाता है।
प्रत्यानयन बल $F$,$2y$ ऊँचाई वाले अतिरिक्त द्रव स्तंभ के भार के बराबर होता है: $F = -(A \cdot 2y \cdot \rho \cdot g)$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho$ घनत्व है।
द्रव स्तंभ का द्रव्यमान $m = A \cdot L \cdot \rho$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$:
$A \cdot L \cdot \rho \cdot \frac{d^2 y}{dt^2} = -2y \cdot A \cdot \rho \cdot g$
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -(\frac{2g}{L})y$
इसकी तुलना मानक $SHM$ समीकरण $\frac{d^2 y}{dt^2} = -\omega^2 y$ से करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{2g}{L}$ प्राप्त होता है।
अतः,आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}}$ है।

(B) दिया गया है: आयाम $A = 4 \ cm$,विस्थापन $x = 3 \ cm$.
$S.H.M.$ में वेग का सूत्र $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है।
$S.H.M.$ में त्वरण का सूत्र $a = \omega^2 x$ है।
प्रश्न के अनुसार,वेग का परिमाण और त्वरण का परिमाण समान है: $|v| = |a|$.
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
मान रखने पर: $\sqrt{4^2 - 3^2} = \omega (3)$.
$\sqrt{16 - 9} = 3 \omega$.
$\sqrt{7} = 3 \omega$.
$\omega = \frac{\sqrt{7}}{3} \ rad/s$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$T = \frac{2 \pi}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{6 \pi}{\sqrt{7}} \ s$.

(A) रैखिक सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,विस्थापन $x$ पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण का परिमाण $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि कण माध्य स्थिति $(x=0)$ और चरम स्थिति $(x=A)$ के बीच में है,इसलिए $x = \frac{A}{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,वेग और त्वरण के परिमाण समान हैं,इसलिए $v = a$ है।
समीकरणों में मान रखने पर: $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$x = \frac{A}{2}$ रखने पर: $\omega \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2} = \omega^2 (\frac{A}{2})$.
$\omega \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}} = \omega^2 \frac{A}{2} \Rightarrow \omega \sqrt{\frac{3A^2}{4}} = \omega^2 \frac{A}{2}$.
$\omega \frac{\sqrt{3}A}{2} = \omega^2 \frac{A}{2}$.
दोनों पक्षों को $\frac{\omega A}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\omega = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है,इसलिए $T = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \ s$ प्राप्त होता है।

(A) जब ब्लॉक को ऊर्ध्वाधर रूप से $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F = - (A x \rho) g$ होता है।
यह बल एक प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है,इसलिए $F = -kx$,जहाँ $k = A \rho g$ प्रभावी स्प्रिंग नियतांक है।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$ है।
आवृत्ति $n$ का मान $n = \frac{\omega}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$।

(B) दिया गया द्रव्यमान $m = 0.04 \text{ kg}$ है।
बल-विस्थापन ग्राफ से,बल $F$ विस्थापन $x$ से $F = -kx$ द्वारा संबंधित है।
ग्राफ की ढाल बल नियतांक $k$ प्रदान करती है।
$k = |\frac{F}{x}| = |\frac{-8}{2}| = 4 \text{ N/m}$।
सरल आवर्त गति के लिए आवर्तकाल $T$ का सूत्र है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
मान रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.04}{4}}$
$T = 2 \pi \sqrt{0.01}$
$T = 2 \pi \times 0.1$
$T = 0.2 \pi \text{ s}$।

(A) प्रत्यानयन बल $F$ के अंतर्गत दोलन करने वाले पिंड के लिए,$F = kx$,जहाँ $k = m\omega^2$ है।
अतः,$\omega^2 = \frac{F}{mx}$।
पहले बल $F_1$ के लिए,$\omega_1^2 = \frac{F_1}{mx}$।
दूसरे बल $F_2$ के लिए,$\omega_2^2 = \frac{F_2}{mx}$।
जब दोनों बल एक साथ कार्य करते हैं,तो परिणामी बल $F_{res} = F_1 + F_2$ होता है।
परिणामी कोणीय आवृत्ति $\omega$ के लिए,$\omega^2 = \frac{F_1 + F_2}{mx} = \frac{F_1}{mx} + \frac{F_2}{mx} = \omega_1^2 + \omega_2^2$।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \left(\frac{2\pi}{T_1}\right)^2 + \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)^2$।
$4\pi^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{T^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$।
अतः,$T = \sqrt{\frac{T_1^2 T_2^2}{T_1^2 + T_2^2}}$।

(B) जब गोले को एक छोटे कोण $\theta$ से विस्थापित किया जाता है,तो गोले का केंद्र $(R-r)$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश गति करता है।
प्रत्यानयन बल पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण के घटक द्वारा प्रदान किया जाता है।
वक्रता केंद्र $O$ के परितः प्रत्यानयन बल आघूर्ण इस प्रकार है:
$\tau = -mg(R-r) \sin \theta$
छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau \approx -mg(R-r) \theta$.
न्यूटन के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $I$ केंद्र $O$ से गुजरने वाली घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,$O$ के परितः प्रभावी जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + m(R-r)^2 = \frac{2}{5}mr^2 + m(R-r)^2$ है।
हालाँकि,एक सरल दोलन समस्या के लिए जहाँ हम द्रव्यमान केंद्र की गति पर विचार करते हैं,हम द्रव्यमान केंद्र के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हैं: $F_{restoring} = -mg \sin \theta = m a_{cm}$.
चूंकि $a_{cm} = (R-r) \alpha$,इसलिए $m(R-r) \alpha = -mg \theta$.
$\alpha = -\left(\frac{g}{R-r}\right) \theta$.
इसे $S$.$H$.$M$. के समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{g}{R-r}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R-r}{g}}$ है।

(C) प्रत्यानयन बल $F = kx$ के अंतर्गत $S.H.M.$ करने वाले पिंड के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है,जिसका अर्थ है $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$।
दिया गया है $F_1 = k_1 x$ और $F_2 = k_2 x$,इसलिए $k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$ और $k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$ है।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो प्रभावी बल नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1 + k_2}$,इसलिए $\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m} = \frac{k_1}{4\pi^2 m} + \frac{k_2}{4\pi^2 m}$।
$k_1$ और $k_2$ के मान रखने पर,हमें $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}$।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $m = 6 \ g + 10 \ g = 16 \ g = 0.016 \ kg$ है।
जब ट्यूब को $x$ छोटी दूरी तक नीचे दबाया जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F = \rho A x g$ होता है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(1000 \ kg/m^3)$,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2)$ और $g = 10 \ m/s^2$ है।
प्रत्यानयन बल नियतांक $k = \frac{F}{x} = \rho A g = 1000 \times 10^{-3} \times 10 = 10 \ N/m$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.016}{10}} = 2 \pi \sqrt{0.0016} = 2 \pi \times 0.04 = 0.08 \pi \ s$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$T \approx 0.08 \times 3.14 \approx 0.25 \ s$ प्राप्त होता है।

(C) गति का दिया गया समीकरण: $500 F + \pi^2 y = 0$।
चूंकि $F = ma$, हम लिख सकते हैं: $500 ma + \pi^2 y = 0$।
$500 m$ से भाग देने पर: $a + \left(\frac{\pi^2}{500 m}\right) y = 0$।
अतः, $a = -\left(\frac{\pi^2}{500 m}\right) y$ ... $(i)$।
सरल आवर्त गति के लिए, मानक समीकरण $a = -\omega^2 y$ है ... (ii)।
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर, हमें $\omega^2 = \frac{\pi^2}{500 m}$ प्राप्त होता है।
$m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ रखने पर:
$\omega^2 = \frac{\pi^2}{500 \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{\pi^2}{1} = \pi^2$।
इसलिए, $\omega = \pi$।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया द्रव्यमान $m = 10 \ g = 10 \times 10^{-3} \ kg$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U(x) = 50x^2 + 100 \ J$ है।
प्रत्यानयन बल $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$F = -\frac{d}{dx}(50x^2 + 100) = -100x$।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$।
$ma = -100x \Rightarrow a = -\frac{100}{m}x$।
$m = 10^{-2} \ kg$ रखने पर:
$a = -\frac{100}{10^{-2}}x = -10^4 x$।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = 10^4$ प्राप्त होता है।
$\omega = \sqrt{10^4} = 100 \ rad/s$।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है।
$f = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ s^{-1}$।

(A) दिया गया है कि शंकु का घनत्व $\rho_C$ पानी के घनत्व $\rho_W$ का आधा है,इसलिए $\rho_C = \frac{1}{2} \rho_W$.
मान लीजिए कि संतुलन में पानी में डूबे शंकु की ऊँचाई $h$ है। तैरने के लिए,शंकु का भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है:
$\frac{1}{3} \pi R^2 H \rho_C = \frac{1}{3} \pi r^2 h \rho_W$
चूंकि $\frac{r}{h} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\frac{R}{H} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $r = \frac{h}{\sqrt{3}}$ और $R = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
इन मानों को संतुलन समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{3} \pi (\frac{H}{\sqrt{3}})^2 H \rho_C = \frac{1}{3} \pi (\frac{h}{\sqrt{3}})^2 h \rho_W$
$\frac{H^3}{3} \rho_C = \frac{h^3}{3} \rho_W \Rightarrow \frac{h^3}{H^3} = \frac{\rho_C}{\rho_W} = \frac{1}{2} \Rightarrow h = H (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$.
जब शंकु को एक छोटी दूरी $\delta$ नीचे विस्थापित किया जाता है,तो अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F = \pi r^2 \rho_W g \delta$ होता है।
प्रत्यानयन बल नियतांक $k = \pi r^2 \rho_W g$ है।
शंकु का द्रव्यमान $M = \frac{1}{3} \pi R^2 H \rho_C = \frac{1}{3} \pi (\frac{H}{\sqrt{3}})^2 H (\frac{1}{2} \rho_W) = \frac{1}{18} \pi H^3 \rho_W$.
सरल आवर्त गति की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{M}}$ है।
$k = \pi (\frac{h}{\sqrt{3}})^2 \rho_W g = \frac{\pi h^2 \rho_W g}{3} = \frac{\pi H^2 (1/2)^{2/3} \rho_W g}{3}$.
$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\pi H^2 (1/2)^{2/3} \rho_W g / 3}{\pi H^3 \rho_W / 18}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 g (1/2)^{2/3}}{H}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 g}{H} \frac{1}{4^{1/3}}}$.

(A) द्रव स्तंभ का द्रव्यमान $M = 9 \text{ kg}$ है।
द्रव का घनत्व $\rho = 900 \text{ kg/m}^3$ है।
ट्यूब का आंतरिक व्यास $D = 2 \sqrt{\frac{\pi}{5}} \text{ m}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{\pi}{5}} \text{ m}$ है।
ट्यूब का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\sqrt{\frac{\pi}{5}}\right)^2 = \frac{\pi^2}{5} \text{ m}^2$ है।
द्रव स्तंभ की कुल लंबाई $L$,$M = \rho A L$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $9 = 900 \times \frac{\pi^2}{5} \times L$.
$9 = 180 \pi^2 L \implies L = \frac{9}{180 \pi^2} = \frac{1}{20 \pi^2} \text{ m}$।
$U$-ट्यूब के लिए,दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{2g}}$ होता है।
$L = \frac{1}{20 \pi^2}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1 / (20 \pi^2)}{2 \times 10}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{400 \pi^2}} = 2 \pi \times \frac{1}{20 \pi} = \frac{2}{20} = 0.1 \text{ s}$।

(A) $m$ द्रव्यमान का एक पिंड $F = -kx$ बल के तहत $SHM$ करता है,तब आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
चूंकि $F = kx$,हमारे पास $k = \frac{F}{x}$ है,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{mx}{F}}$।
इसका अर्थ है $T^2 \propto \frac{1}{F}$,या $F \propto \frac{1}{T^2}$।
मान लीजिए $F_1 = \frac{c}{T_1^2}$ और $F_2 = \frac{c}{T_2^2}$,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो कुल बल $F_{net} = F_1 + F_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T$ समीकरण $F_{net} = \frac{c}{T^2}$ को संतुष्ट करता है।
मान रखने पर: $\frac{c}{T^2} = \frac{c}{T_1^2} + \frac{c}{T_2^2}$।
$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$।
$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}} = \frac{(4/5) \times (3/5)}{\sqrt{(4/5)^2 + (3/5)^2}} = \frac{12/25}{\sqrt{16/25 + 9/25}} = \frac{12/25}{\sqrt{25/25}} = \frac{12}{25} \ s$।

(B) स्थितिज ऊर्जा $V(x) = A(1 - \cos px)$ है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dV}{dx}$ है।
$F = -\frac{d}{dx} [A(1 - \cos px)] = -A(p \sin px) = -Ap \sin px$।
छोटे दोलनों के लिए,$x$ बहुत छोटा है,इसलिए $\sin px \approx px$ लिया जा सकता है।
अतः,$F \approx -Ap(px) = -Ap^2 x$।
इसे प्रत्यानयन बल के समीकरण $F = -kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = Ap^2$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{Ap^2}{m}} = p \sqrt{\frac{A}{m}}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{Ap^2}}$ होगा।

(A) साम्यावस्था में,ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$\rho A h g = M g$
जहाँ $h$ डूबी हुई गहराई है।
जब ब्लॉक को $x$ की छोटी दूरी से दबाया जाता है,तो ऊपर की ओर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F_b = \rho A x g$ होता है।
चूंकि यह बल विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए प्रत्यानयन बल $F = -\rho A x g$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$M a = -\rho A x g$,जो त्वरण $a = -\left(\frac{\rho A g}{M}\right) x$ देता है।
इसे $SHM$ के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{\rho A g}{M}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$।
दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{\rho A g}}$ द्वारा दिया जाता है।

(C) डिस्क एक भौतिक लोलक के रूप में दोलन करती है।
भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgd}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धुरी बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है,और $d$ द्रव्यमान केंद्र से धुरी बिंदु तक की दूरी है।
किनारे $A$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I$ समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके गणना की जाती है: $I = I_{CM} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
द्रव्यमान केंद्र से धुरी बिंदु $A$ तक की दूरी $d = R$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2}MR^2}{MgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$.