Second Law of Motion Questions in Gujarati

(N/A) ભૌતિકવિજ્ઞાનની જે શાખામાં પદાર્થની ગતિની સાથે સાથે ગતિના કારણો અને ગતિ કરતા પદાર્થના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરવામાં આવે છે,તેને ડાયનેમિક્સ (ગતિશાસ્ત્ર) કહેવામાં આવે છે.
આ વિજ્ઞાન પદાર્થોની ગતિ અને તેના પર લાગતા બળોના અભ્યાસ સાથે સંબંધિત છે.

(N/A) વિધાન: પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો સમય દર તેના પર લાગતા પરિણામી બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને આ ફેરફાર પરિણામી બળની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર $\Delta t$ સમયગાળા માટે પરિણામી બળ $\vec{F}$ લાગે છે. આ દરમિયાન તેનો વેગ $\vec{v}$ થી બદલાઈને $\vec{v} + \Delta \vec{v}$ થાય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_i = m\vec{v}$
અંતિમ વેગમાન: $\vec{p}_f = m(\vec{v} + \Delta \vec{v})$
વેગમાનમાં ફેરફાર:
$\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = m\Delta \vec{v}$
ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$\vec{F} \propto \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \implies \vec{F} = k \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$
$\Delta t \to 0$ લેતા:
$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = m\vec{a}$ (જો દળ અચળ હોય તો).
મહત્વના મુદ્દાઓ:
$(i)$ ન્યૂટનનો બીજો નિયમ $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ છે. જો દળ અચળ હોય,તો $\vec{F} = m\vec{a}$.
$(ii)$ જો પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો $\vec{a} = 0$,એટલે કે વેગ અચળ રહે છે,જે ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ સાથે સુસંગત છે.
$(iii)$ આ નિયમ બળનું મૂલ્ય આપે છે. તે સદિશ રાશિ છે જેના ઘટકો: $F_x = ma_x, F_y = ma_y, F_z = ma_z$ છે.
$(iv)$ આ સમીકરણ બિંદુવત પદાર્થો,દ્રઢ પદાર્થો અથવા કણોના તંત્ર માટે લાગુ પડે છે.
$(v)$ આ નિયમ કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે બળ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે; તે પદાર્થની ગતિના ઇતિહાસ પર આધારિત નથી.

(N/A) ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા બાહ્ય બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને આ ફેરફાર બળની દિશામાં થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $F = \frac{dp}{dt}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $p$ એ રેખીય વેગમાન છે.
અચળ દળ $m$ ધરાવતા પદાર્થ માટે,આ સમીકરણ $F = ma$ માં પરિણમે છે,જ્યાં $a$ એ પદાર્થનો પ્રવેગ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,પદાર્થના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો સમય દર તેના પર લાગતા બાહ્ય બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$F = \frac{dp}{dt}$,જ્યાં $dp$ એ રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે અને $dt$ એ સમયગાળો છે.
તેથી,રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર અને તે માટે લાગતા સમયનો ગુણોત્તર એ લાગુ પાડેલા બળ જેટલો હોય છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,રેખીય વેગમાન $(p)$ ના સમય $(t)$ ની સાપેક્ષે ફેરફારનો દર એ પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ $(F)$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $F = \frac{dp}{dt}$.
તેથી,રેખીય વેગમાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલનફળ બળ દર્શાવે છે.

(N/A) ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા બાહ્ય બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને આ ફેરફાર બળની દિશામાં થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$F = \frac{dp}{dt}$
જ્યાં:
$F$ એ પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ છે.
$p$ એ પદાર્થનું રેખીય વેગમાન છે.
$t$ એ સમય છે.
જો પદાર્થનું દળ $m$ અચળ હોય અને તે $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરતું હોય,તો આ સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$F = ma$

(A) વજન $(W)$ અને દળ $(m)$ વચ્ચેનો સંબંધ $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$g = 9.8\,m/s^2$ નું પ્રમાણિત મૂલ્ય લેતા:
$W = 1\,N$
$m = \frac{W}{g} = \frac{1}{9.8}\,kg$
$m \approx 0.102\,kg$
તેથી,પદાર્થનું દળ $0.102\,kg$ છે.

(A) આપેલ દળ $m = 2 \, kg$ અને વેગ $\vec{v}(t) = 2t \hat{i} + t^2 \hat{j}$ છે.
$t = 2 \, s$ સમયે,વેગ:
$\vec{v}(2) = 2(2) \hat{i} + (2)^2 \hat{j} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s$.
વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v} = 2(4 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (8 \hat{i} + 8 \hat{j}) \, kg \cdot m/s$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t \hat{i} + t^2 \hat{j}) = 2 \hat{i} + 2t \hat{j}$.
$t = 2 \, s$ સમયે,પ્રવેગ:
$\vec{a}(2) = 2 \hat{i} + 2(2) \hat{j} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s^2$.
બળ $\vec{F} = m\vec{a} = 2(2 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (4 \hat{i} + 8 \hat{j}) \, N$.

(B) આપેલ બળ $\overrightarrow{F} = (20 \hat{i} + 10 \hat{j}) \, N$ અને દળ $m = 2 \, kg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{20 \hat{i} + 10 \hat{j}}{2} = (10 \hat{i} + 5 \hat{j}) \, m/s^2$ મળે.
શરૂઆતનો વેગ $\overrightarrow{u} = 0$ છે અને સમય $t = 10 \, s$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{s} = \overrightarrow{u}t + \frac{1}{2} \overrightarrow{a} t^2$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{s} = 0 + \frac{1}{2} (10 \hat{i} + 5 \hat{j}) (10)^2$.
$\overrightarrow{s} = \frac{1}{2} (10 \hat{i} + 5 \hat{j}) (100) = 50 (10 \hat{i} + 5 \hat{j}) = (500 \hat{i} + 250 \hat{j}) \, m$.
$x$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર એ સ્થાનાંતર સદિશનો $i$-ઘટક છે,જે $500 \, m$ છે.

(B) આપેલ છે: બળ $\vec{F} = (40 \hat{i} + 10 \hat{j}) \, N$,દળ $m = 5 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$,સમય $t = 10 \, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{40 \hat{i} + 10 \hat{j}}{5} = (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) \, m/s^2$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,$t$ સમયે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ માટેનું ગતિનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ છે.
$\vec{u} = 0$,$\vec{a} = (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) \, m/s^2$,અને $t = 10 \, s$ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r} = 0 + \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) (10)^2$
$\vec{r} = \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) (100)$
$\vec{r} = (4 \hat{i} + 1 \hat{j}) (100) = (400 \hat{i} + 100 \hat{j}) \, m$.

(D) આપેલ છે કે કણ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,તેથી $t = 0$ સમયે,$u = 0$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = M a$,તેથી $a = \frac{F}{M}$.
આપેલ બળના સંબંધને મૂકતા: $a = \frac{F_{0}}{M} \left(1 - \frac{(t - T)^{2}}{T^{2}}\right) = \frac{dv}{dt}$.
$t = 2T$ સમયે વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = 2T$ સુધી પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું:
$v = \int_{0}^{2T} \frac{F_{0}}{M} \left(1 - \frac{(t - T)^{2}}{T^{2}}\right) dt$.
ધારો કે $x = t - T$,તો $dx = dt$. જ્યારે $t = 0, x = -T$ અને જ્યારે $t = 2T, x = T$.
$v = \frac{F_{0}}{M} \int_{-T}^{T} \left(1 - \frac{x^{2}}{T^{2}}\right) dx$.
$v = \frac{F_{0}}{M} \left[ x - \frac{x^{3}}{3T^{2}} \right]_{-T}^{T}$.
$v = \frac{F_{0}}{M} \left( (T - \frac{T^{3}}{3T^{2}}) - (-T - \frac{(-T)^{3}}{3T^{2}}) \right)$.
$v = \frac{F_{0}}{M} \left( (T - \frac{T}{3}) - (-T + \frac{T}{3}) \right) = \frac{F_{0}}{M} \left( \frac{2T}{3} + \frac{2T}{3} \right) = \frac{4 F_{0} T}{3 M}$.

(A) આપેલ છે: બળ $\vec{F} = (10 \hat{i} + 5 \hat{j})\ N$,દળ $m = 100\, g = 0.1\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$,સમય $t = 2\ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{10 \hat{i} + 5 \hat{j}}{0.1} = (100 \hat{i} + 50 \hat{j})\ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{u} = 0$:
$\vec{s} = \frac{1}{2} (100 \hat{i} + 50 \hat{j}) (2)^2$
$\vec{s} = \frac{1}{2} (100 \hat{i} + 50 \hat{j}) (4) = 2 (100 \hat{i} + 50 \hat{j}) = (200 \hat{i} + 100 \hat{j})\ m$.
આને $(a \hat{i} + b \hat{j})\ m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 200$ અને $b = 100$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{200}{100} = 2$.

(C) પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = k - \beta t^2$ છે.
કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{k - \beta t^2}{m}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રવેગ શૂન્ય થાય ત્યારે $k - \beta t^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $t^2 = \frac{k}{\beta} = \frac{8}{2} = 4$,તેથી $t = 2 \, s$.
$a = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી,$dv = \frac{k - \beta t^2}{m} \, dt$ મળે.
$t = -2 \, s$ થી $t = 2 \, s$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{v_i}^{v_f} dv = \int_{-2}^{2} \frac{k - \beta t^2}{m} \, dt$
$v_f - (-15) = \frac{1}{2/3} \int_{-2}^{2} (8 - 2t^2) \, dt = \frac{3}{2} \left[ 8t - \frac{2t^3}{3} \right]_{-2}^{2}$
$v_f + 15 = \frac{3}{2} \left[ (16 - 16/3) - (-16 + 16/3) \right] = \frac{3}{2} \left[ 32 - 32/3 \right] = \frac{3}{2} \left( \frac{64}{3} \right) = 32$
$v_f = 32 - 15 = 17 \, m/s$.

(A) આપેલ છે કે કણનું વેગમાન સમયના વિધેય તરીકે: $p = 2 + 3t^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતું બળ $F$ એ તેના વેગમાનના સમયની સાપેક્ષે ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{dp}{dt}$
$p$ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા:
$F = \frac{d}{dt}(2 + 3t^2)$
$F = 0 + 3(2t) = 6t$
હવે,આપણે $t = 3 \, s$ સમયે બળ શોધવાનું છે:
$F = 6 \times 3 = 18 \, N$.
તેથી,$t = 3 \, s$ સમયે કણ પર લાગતું બળ $18 \, N$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$,બળ $\vec{F} = (3t^2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$.
તેથી,$d\vec{v} = \frac{\vec{F}}{m} dt$.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t = 2 \, s$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{\vec{v}} d\vec{v} = \int_{0}^{2} \frac{3t^2 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} dt$.
$\vec{v} = \frac{1}{2} \left[ \int_{0}^{2} 3t^2 dt \hat{i} + \int_{0}^{2} 4 dt \hat{j} \right]$.
$\vec{v} = \frac{1}{2} \left[ (t^3)_{0}^{2} \hat{i} + (4t)_{0}^{2} \hat{j} \right]$.
$\vec{v} = \frac{1}{2} [ (8 - 0) \hat{i} + (8 - 0) \hat{j} ]$.
$\vec{v} = \frac{1}{2} [ 8 \hat{i} + 8 \hat{j} ] = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સમય $t = 5\,s$,અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K = 10000\,J$.
ગતિઊર્જાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $K = \frac{1}{2}mv^2$.
કિંમતો મૂકતા: $10000 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2$.
$v^2 = 10000$,તેથી $v = 100\,m/s$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$100 = 0 + a \times 5$.
$a = \frac{100}{5} = 20\,m/s^2$.
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F = 2\,kg \times 20\,m/s^2 = 40\,N$.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતું બળ $\vec{F}$ એ વેગમાનના સમયની સાપેક્ષે ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.
આનો અર્થ એ છે કે બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}|$ એ $p-t$ આલેખના ઢાળના મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $|\vec{F}| = |p-t \text{ વક્રનો ઢાળ}|$.
$1$. વિભાગ $a$ માં,ઢાળ ધન અને મધ્યમ છે.
$2$. વિભાગ $b$ માં,ઢાળ ધન અને નાનો છે (રેખા લગભગ આડી છે).
$3$. વિભાગ $c$ માં,ઢાળ ઋણ છે અને તેનું મૂલ્ય ખૂબ મોટું છે (રેખા ખૂબ જ તીવ્ર છે).
ઢાળના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિભાગ $c$ માં ઢાળ મહત્તમ છે અને વિભાગ $b$ માં ન્યૂનતમ છે.
તેથી,બળનું મૂલ્ય વિભાગ $c$ માં મહત્તમ અને વિભાગ $b$ માં ન્યૂનતમ છે.

(A) આપેલ દળ $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$ છે.
વેગ સદિશ $\vec{v} = 2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a}$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) = 2 \hat{i} + 6t \hat{j}$.
$t = 1 \, s$ સમયે,પ્રવેગ $\vec{a} = 2 \hat{i} + 6(1) \hat{j} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} \, ms^{-2}$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m\vec{a} = 0.5(2 \hat{i} + 6 \hat{j}) = 1 \hat{i} + 3 \hat{j} \, N$.
આને આપેલ બળ $(\hat{i} + x \hat{j}) \, N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ દળ $m = 500\,g = 0.5\,kg$ છે.
વેગ $v = 10\sqrt{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = 100x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2v \frac{dv}{dx} = 100$ મળે છે.
પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ હોવાથી,આપણે $2a = 100$ લખી શકીએ,જે $a = 50\,m/s^2$ આપે છે.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$F = 0.5\,kg \times 50\,m/s^2 = 25\,N$ મળે છે.

(A) સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = 10t \hat{i} + 15t^2 \hat{j} + 7 \hat{k}$ છે.
વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન છે: $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 10 \hat{i} + 30t \hat{j}$.
પ્રવેગ સદિશ $\overrightarrow{a}$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = 30 \hat{j}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$. દળ $m$ એ ધન અદિશ હોવાથી,પરિણામી બળ $\overrightarrow{F}$ ની દિશા એ પ્રવેગ $\overrightarrow{a}$ ની દિશામાં જ હોય છે.
અહીં $\overrightarrow{a} = 30 \hat{j}$ હોવાથી,પરિણામી બળ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે.

(D) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 120 \,g = 0.12 \,kg$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 25 \,m/s$
અંતિમ વેગ,$v = 0 \,m/s$ (કારણ કે દડો પકડાઈ જાય છે)
સમયગાળો,$\Delta t = 0.1 \,s$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{0.12 \times (0 - 25)}{0.1}$
$F = \frac{0.12 \times (-25)}{0.1}$
$F = \frac{-3}{0.1} = -30 \,N$
આમ,દડા દ્વારા હાથ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $|F| = 30 \,N$ છે.

(C) પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $\vec{F}_{net}$ એ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (5 \hat{i} + 8 \hat{j} + 7 \hat{k}) + (3 \hat{i} - 4 \hat{j} - 3 \hat{k})$
$\vec{F}_{net} = (5+3) \hat{i} + (8-4) \hat{j} + (7-3) \hat{k} = 8 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k} \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m \vec{a}$,તેથી પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m}$.
અહીં દળ $m = 4 \ kg$ આપેલ છે,તેથી:
$\vec{a} = \frac{8 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}}{4} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \ m/s^2$.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બળ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી આપણે $F = kt$ લખી શકીએ,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આને ગતિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$kt = ma$
$a = \frac{k}{m} t$
જેহেতু $k$ અને $m$ અચળાંક છે,તેથી પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(a \propto t)$.
આ સંબંધ $a$ વિરુદ્ધ $t$ ના આલેખમાં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) આપેલ દળ $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$ છે.
વેગ $v = 4 \sqrt{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $v^2 = 16x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2v \frac{dv}{dx} = 16$ મળે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v \frac{dv}{dx} = 8$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ છે. તેથી,$a = 8 \ m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = ma = 0.5 \ kg \times 8 \ m/s^2 = 4 \ N$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$, પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{u} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \ ms^{-1}$, બળ $\overrightarrow{F} = 6 \hat{k} \ N$, સમય $t = \frac{5}{3} \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6 \hat{k}}{2} = 3 \hat{k} \ ms^{-2}$ મળે છે।
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{a}t$.
કિંમતો મૂકતા: $\overrightarrow{v} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) + (3 \hat{k}) \times \left(\frac{5}{3}\right)$.
$\overrightarrow{v} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} \ ms^{-1}$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,બળ $\vec{F} = (4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ N$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$,સમય $t = 10 \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}}{5} = (0.8 \hat{i} - 0.4 \hat{j} + 0.6 \hat{k}) \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{v} = 0 + (0.8 \hat{i} - 0.4 \hat{j} + 0.6 \hat{k}) \times 10 = (8 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \ m/s$.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 16 + 36} = \sqrt{116} \ m/s$.
$|\vec{v}| = \sqrt{4 \times 29} = 2 \sqrt{29} \ m/s$.

(C) આપેલ છે કે અચળ બળ $F$ દળ $m_1$ પર કાર્ય કરે છે,તેથી પ્રવેગ $A_1 = \frac{F}{m_1}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m_1 = \frac{F}{A_1}$.
તે જ રીતે,દળ $m_2$ માટે,પ્રવેગ $A_2 = \frac{F}{m_2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m_2 = \frac{F}{A_2}$.
જ્યારે તે જ બળ $F$ સંયુક્ત દળ $(m_1 + m_2)$ પર કાર્ય કરે છે,ત્યારે પ્રવેગ $A = \frac{F}{m_1 + m_2}$ દ્વારા મળે છે.
$m_1$ અને $m_2$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = \frac{F}{\frac{F}{A_1} + \frac{F}{A_2}}$
$A = \frac{F}{F(\frac{1}{A_1} + \frac{1}{A_2})}$
$A = \frac{1}{\frac{A_1 + A_2}{A_1 A_2}}$
$A = \frac{A_1 A_2}{A_1 + A_2}$.

(A) આપેલ દળ $m = 5 \ kg$ અને સ્થાનાંતર $x = t^3 - 2t - 10$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 2t - 10) = 3t^2 - 2$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2) = 6t$.
બળ $F$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ $F = ma$ છે:
$F = 5 \times (6t) = 30t$.
$t = 5 \ s$ સમયે:
$F = 30 \times 5 = 150 \ N$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,બળ $\vec{F} = (-3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ N$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (6 \hat{i} - 12 \hat{j}) \ ms^{-1}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \left(\frac{-3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}\right) \ ms^{-2}$.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v} = (6 \hat{i} - 12 \hat{j}) + \left(-\frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}\right)t$.
$\vec{v} = \left(6 - \frac{3}{5}t\right) \hat{i} + \left(-12 + \frac{4}{5}t\right) \hat{j}$.
વેગ માત્ર $y$-અક્ષની દિશામાં હોય તે માટે,વેગનો $x$-ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$6 - \frac{3}{5}t = 0$.
$\frac{3}{5}t = 6$.
$t = \frac{6 \times 5}{3} = 10 \ s$.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પદાર્થ પર નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ અને ઉપરની તરફ હવાનું અવરોધક બળ $(F_{air})$ લાગે છે.
પદાર્થ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,પરિણામી બળનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
$mg - F_{air} = ma$
હવાના અવરોધક બળ $(F_{air})$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$F_{air} = mg - ma = m(g - a)$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $0.05 \ kg$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $9.8 \ ms^{-2}$
પદાર્થનો પ્રવેગ $(a)$ = $9.5 \ ms^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$F_{air} = 0.05 \times (9.8 - 9.5)$
$F_{air} = 0.05 \times 0.3$
$F_{air} = 0.015 \ N$

(C) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \ m/s$,અને બળ $\vec{F} = -(\hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-(\hat{i} + 5 \hat{j})}{5} = (-0.2 \hat{i} - 1 \hat{j}) \ m/s^2$.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ દ્વારા મળે છે.
ઘટકોને મૂકતા,વેગનો $y$-ઘટક $v_y = u_y + a_y t$ થાય.
અહીં,$u_y = 40 \ m/s$ અને $a_y = -1 \ m/s^2$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $v_y = 0$ થાય.
$0 = 40 + (-1)t$.
$t = 40 \ s$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1500 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \,ms^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$,સમય $t = 5 \,s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = ma$.
પ્રથમ,પ્રવેગની ગણતરી કરો: $a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 20}{5} = -4 \,ms^{-2}$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ (retardation) સૂચવે છે.
હવે,પ્રતિરોધક બળની ગણતરી કરો: $F = m \times a = 1500 \,kg \times (-4 \,ms^{-2}) = -6000 \,N$.
આમ,પ્રતિરોધક બળનું મૂલ્ય $6000 \,N$ છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,પદાર્થ પર લાગતું બાહ્ય બળ $F$ એ તેના રેખીય વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,જે $F = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થયેલ પ્રવેગ છે. આમ,આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને બાહ્ય બળનું મૂલ્ય સીધી રીતે ગણી શકાય છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 500 \,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0$,સ્થાનાંતર $s = 1 \,cm = 0.01 \,m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 - (500)^2 = 2 \times a \times 0.01$.
$-250000 = 0.02 \times a$.
$a = -\frac{250000}{0.02} = -1.25 \times 10^7 \,m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ અવરોધક બળ $F = ma$.
$F = 0.02 \,kg \times 1.25 \times 10^7 \,m/s^2 = 250 \times 10^3 \,N$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,ms^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$,સમય $t = 10 \,s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = m \times a$,જ્યાં પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{0 - 10}{10} = -1 \,ms^{-2}$.
ઋણ નિશાની અવરોધક બળ સૂચવે છે.
બળનું મૂલ્ય $F = m \times |a| = 10 \,kg \times 1 \,ms^{-2} = 10 \,N$.

(B) આપેલ છે:
દળ $m = 50 \ g = 50 \times 10^{-3} \ kg = 0.05 \ kg$
પ્રારંભિક વેગ $u = 50 \ cm \ s^{-1} = 50 \times 10^{-2} \ m \ s^{-1} = 0.5 \ m \ s^{-1}$
અંતિમ વેગ $v = 0 \ m \ s^{-1}$
સમય $t = 0.5 \ s$
પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = m \times u = 0.05 \ kg \times 0.5 \ m \ s^{-1} = 0.025 \ kg \ m \ s^{-1}$
અંતિમ વેગમાન $p_f = m \times v = 0.05 \ kg \times 0 \ m \ s^{-1} = 0 \ kg \ m \ s^{-1}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે:
$F = \frac{\Delta p}{t} = \frac{p_f - p_i}{t}$
$F = \frac{0 - 0.025 \ kg \ m \ s^{-1}}{0.5 \ s}$
$F = -0.05 \ N$
દડાને અટકાવવા માટે લાગતા બળનું મૂલ્ય $0.05 \ N$ છે.

(A) આપેલ છે કે,બળ સદિશ $F = (6 \hat{i} - 18 \hat{j} + 10 \hat{k}) \text{ N}$ છે.
બળનું મૂલ્ય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$|F| = \sqrt{(6)^2 + (-18)^2 + (10)^2} = \sqrt{36 + 324 + 100} = \sqrt{460} \text{ N}$.
આપેલ પ્રવેગ $a = 8 \text{ m/s}^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જેનો અર્થ થાય છે $m = \frac{F}{a}$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{\sqrt{460}}{8} = \frac{\sqrt{4 \times 115}}{8} = \frac{2\sqrt{115}}{8} = \frac{\sqrt{115}}{4} \text{ kg}$.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ તેના વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta P$ અને સમયના ગાળા $\Delta t$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{\Delta P}{\Delta t}$
આપેલ છે:
બળ $F = 2 \ N$
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta P = 0.4 \ kg \ m \ s^{-1}$
સમય $\Delta t$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta t = \frac{\Delta P}{F}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta t = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ s$
તેથી,લાગતો સમય $0.2 \ s$ છે.

(B) આપેલ બળ સદિશ $\vec{F} = (2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \text{ N}$ છે।
પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0 \text{ ms}^{-1}$ છે।
અંતિમ વેગ $\vec{v} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-1}$ છે।
સમય $t = 20 \text{ s}$ છે।
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $\vec{F} = m \vec{a} = m \left( \frac{\vec{v} - \vec{u}}{t} \right)$.
દળ માટે સૂત્ર: $m = \frac{\vec{F} \cdot t}{\vec{v} - \vec{u}}$.
અહીં $\vec{v} - \vec{u} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 2(2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2 \vec{F}$ થાય છે।
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{\vec{F} \cdot 20}{2 \vec{F}} = \frac{20}{2} = 10 \text{ kg}$.

(A) બળ $\vec{F_1}$ ના ઘટકો: $F_{1x} = 4 \cos 30^{\circ} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \ N$ અને $F_{1y} = 4 \sin 30^{\circ} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \ N$.
બળ $\vec{F_2}$ ના ઘટકો: $F_{2x} = 0 \ N$ અને $F_{2y} = 4 \ N$.
પરિણામી બળના ઘટકો: $F_x = F_{1x} + F_{2x} = 2\sqrt{3} \ N$ અને $F_y = F_{1y} + F_{2y} = 2 + 4 = 6 \ N$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F_R = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} \approx 6.928 \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F_R}{m} = \frac{6.928}{1} \approx 6.9 \ m \ s^{-2}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1.5 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{v} = -8 \hat{j} \ ms^{-1}$ (દક્ષિણ તરફ),બળ $\overrightarrow{F} = 6 \hat{i} \ N$ (પૂર્વ તરફ),સમય $t = 3 \ s$.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6}{1.5} \hat{i} = 4 \hat{i} \ ms^{-2}$.
સ્થાનાંતર માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા: $\overrightarrow{s} = \overrightarrow{v}t + \frac{1}{2} \overrightarrow{a}t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\overrightarrow{s} = (-8 \hat{j})(3) + \frac{1}{2}(4 \hat{i})(3)^2$.
$\overrightarrow{s} = -24 \hat{j} + 2(9) \hat{i} = 18 \hat{i} - 24 \hat{j} \ m$.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $S = |\overrightarrow{s}| = \sqrt{(18)^2 + (-24)^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \ m$.

(A) આપેલ છે:
દળ $m = 20 \ kg$
પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m s^{-1}$
પ્રતિરોધક બળ $F = 100 \ N$
અંતિમ વેગ $v = 0 \ m s^{-1}$ (કારણ કે પદાર્થ સ્થિર થાય છે)
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = F/m$ થાય. અહીં બળ પ્રતિરોધક હોવાથી તે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે,તેથી $a = -F/m$.
$a = -\frac{100 \ N}{20 \ kg} = -5 \ m s^{-2}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 15 + (-5)t$
$5t = 15$
$t = 3 \ s$.
આમ,પદાર્થ $3 \ s$ પછી સ્થિર થશે.

(B) આપેલ છે: દડાનું દળ $m = 0.25 \ kg$,અંતિમ વેગ $v = 12 \ m \ s^{-1}$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$,અને અંતર $s = 0.9 \ m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $(12)^2 = (0)^2 + 2 \times a \times 0.9$.
$144 = 1.8 \times a$.
$a = 144 / 1.8 = 80 \ m \ s^{-2}$.
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = ma$.
$F = 0.25 \ kg \times 80 \ m \ s^{-2} = 20 \ N$.
તેથી,દડા પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $20 \ N$ છે.

(A) ધારો કે બળ $F$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $m = F/a$.
દળ $P$ માટે,$P = F/18$.
દળ $Q$ માટે,$Q = F/9$.
દળ $R$ માટે,$R = F/6$.
જ્યારે સમાન બળ $F$ ને સંયુક્ત દળ $(P+Q+R)$ પર લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવેગ $a'$ એ $a' = F / (P+Q+R)$ દ્વારા મળે છે.
$P, Q$ અને $R$ ની કિંમતો મૂકતા:
$a' = F / (F/18 + F/9 + F/6) = F / [F(1/18 + 2/18 + 3/18)]$.
$a' = 1 / (6/18) = 1 / (1/3) = 3 \ m/s^2$.
આમ,પ્રવેગ $3 \ m/s^2$ છે.

(D) આપેલ છે,પદાર્થનું દળ,$m = 2 \ kg$.
વેગ,$v = (8t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s$.
પદાર્થનો પ્રવેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) = (8 \hat{i} + 6t \hat{j}) \ m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ:
$F = ma = 2(8 \hat{i} + 6t \hat{j}) = (16 \hat{i} + 12t \hat{j}) \ N$.
બળનું મૂલ્ય $|F| = 20 \ N$ આપેલ છે.
$|F| = \sqrt{16^2 + (12t)^2} = 20$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$256 + 144t^2 = 400$.
$144t^2 = 144 \implies t^2 = 1 \implies t = 1 \ s$.
$t = 1 \ s$ સમયે,બળ સદિશ:
$F = 16 \hat{i} + 12(1) \hat{j} = (16 \hat{i} + 12 \hat{j}) \ N$.
બળ સદિશ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $\theta$:
$\tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 3 \hat{i} \ m/s$,અંતિમ વેગ $\vec{v} = (8 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m/s$,અને સમય $t = 8 \ s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગ $\vec{a}$ શોધી શકીએ:
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{u}}{t} = \frac{(8 \hat{i} + 10 \hat{j}) - 3 \hat{i}}{8} = \frac{5 \hat{i} + 10 \hat{j}}{8} \ m/s^2$.
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $\vec{F} = m\vec{a}$ મુજબ:
$\vec{F} = 4 \times \left( \frac{5 \hat{i} + 10 \hat{j}}{8} \right) = \frac{1}{2} (5 \hat{i} + 10 \hat{j}) = (2.5 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$.
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = \sqrt{(2.5)^2 + 5^2} = \sqrt{6.25 + 25} = \sqrt{31.25} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5 \sqrt{5}}{2} \ N$ થાય.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m/s$,બળ $F = (3t^2 - 30) \,N$.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ સમય સાથે બળના સંકલન જેટલો હોય છે:
$\Delta p = \int_{0}^{t} F dt = m(v - u)$
$\int_{0}^{5} (3t^2 - 30) dt = 10(v - 10)$
$[t^3 - 30t]_{0}^{5} = 10(v - 10)$
$(5^3 - 30(5)) - (0) = 10(v - 10)$
$(125 - 150) = 10(v - 10)$
$-25 = 10(v - 10)$
$-2.5 = v - 10$
$v = 10 - 2.5 = 7.5 \,m/s$.

(A) આપેલ બળ $\vec{F} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a}_{acc} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{a}{m} \hat{i} + \frac{b}{m} \hat{j} + \frac{c}{m} \hat{k}$ થાય.
પદાર્થ ઉગમબિંદુ પર સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$ અને પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_0 = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}_{acc} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\vec{r} = \frac{1}{2} \vec{a}_{acc} t^2$ મળે.
ઘટકોને મૂકતા:
$x = \frac{1}{2} (\frac{a}{m}) t^2 = \frac{at^2}{2m}$
$y = \frac{1}{2} (\frac{b}{m}) t^2 = \frac{bt^2}{2m}$
$z = \frac{1}{2} (\frac{c}{m}) t^2 = \frac{ct^2}{2m}$
આમ,યામ $(\frac{at^2}{2m}, \frac{bt^2}{2m}, \frac{ct^2}{2m})$ થશે.

(C) આપેલ છે કે,$v = \frac{k}{\sqrt{x}} = k x^{-1/2}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
પ્રથમ,$\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = k \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-3/2} = -\frac{k}{2x^{3/2}}$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (k x^{-1/2}) \cdot (-\frac{k}{2x^{3/2}}) = -\frac{k^2}{2x^2}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$.
બળનું મૂલ્ય $F = |ma| = m \cdot \frac{k^2}{2x^2}$ થાય.
અહીં $m$ અને $k$ અચળ હોવાથી,$F \propto \frac{1}{x^2}$ મળે છે.