Uniformly Accelerated Motion Questions in Gujarati

(D) આપેલ વેગ $v = k\sqrt{x}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ થાય.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $\frac{dv}{dx}$ શોધો: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(k x^{1/2}) = k \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{k}{2\sqrt{x}}$.
હવે,પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકો: $a = (k\sqrt{x}) \cdot \left(\frac{k}{2\sqrt{x}}\right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $a = \frac{k^2}{2}$ મળે છે.
અહીં $k$ અચળ હોવાથી,$a$ પણ અચળ રહે છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે,ગતિનું સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ છે,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ છે,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રવેગ છે અને $s$ એ સ્થાનાંતર છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = v^2$,$x = s$,$m = 2a$ (ઢાળ) અને $c = u^2$ ($v^2$ અક્ષ પરનો આંતરછેદ).
આલેખ એક સીધી રેખા હોવાથી,તે સમાન પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે. તેથી વિધાન $A$ સાચું છે.
આલેખ $v^2$ અક્ષ પર શૂન્યતર આંતરછેદ ધરાવે છે,તેથી $u^2 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે પ્રારંભિક વેગ $u \neq 0$ છે. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$,જે $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે $s-t$ આલેખમાં પરવલય દર્શાવે છે. તેથી વિધાન $C$ સાચું છે.
વિધાન $B$ ખોટું હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ગતિના ત્રીજા સમીકરણ પરથી,આપણી પાસે $v^2 = u^2 + 2as$ છે,જેને $v^2 = 2as + u^2$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = v^2$ અને $x = s$ છે,આલેખનો ઢાળ $m = 2a$ થાય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$s = 0$ પર $v^2$ નું પ્રારંભિક મૂલ્ય $25 \, m^2/s^2$ છે,અને $s = 2 \, m$ પર,$v^2$ નું મૂલ્ય $9 \, m^2/s^2$ છે.
રેખાનો ઢાળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ઢાળ} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{s_2 - s_1} = \frac{9 - 25}{2 - 0} = \frac{-16}{2} = -8 \, m/s^2$.
જેহেতু ઢાળ $2a$ ની બરાબર છે,તેથી આપણી પાસે છે:
$2a = -8 \, m/s^2$
$a = -4 \, m/s^2$.
તેથી,કણનો પ્રવેગ $-4 \, m/s^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = 0 + an$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{v}{n}$.
$n \ s$ માં કુલ સ્થાનાંતર $S_n = \frac{1}{2}an^2$ છે.
પ્રથમ $(n-3) \ s$ માં સ્થાનાંતર $S_{n-3} = \frac{1}{2}a(n-3)^2$ છે.
છેલ્લા $3 \ s$ માં સ્થાનાંતર $\Delta S = S_n - S_{n-3}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta S = \frac{1}{2}a[n^2 - (n-3)^2]$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $\Delta S = \frac{1}{2}a[n^2 - (n^2 - 6n + 9)] = \frac{1}{2}a(6n - 9)$.
$a = \frac{v}{n}$ મૂકતા: $\Delta S = \frac{1}{2} \cdot \frac{v}{n} \cdot (6n - 9) = \frac{v(6n - 9)}{2n}$.

(D) વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $s$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે. સુરેખ રેખાનું સમીકરણ $v = ms + c$ છે.
$s=0$ પર,$v=20 \ m/s$,તેથી $c=20$.
$s=30 \ m$ પર,$v=0$,તેથી $0 = m(30) + 20$,જે $m = -20/30 = -2/3$ આપે છે.
આમ,વેગનું વિધેય $v = -\frac{2}{3}s + 20$ છે.
પ્રવેગ $a$ એ $a = v \frac{dv}{ds}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$\frac{dv}{ds} = \frac{d}{ds}(-\frac{2}{3}s + 20) = -\frac{2}{3}$ શોધો.
$s=15 \ m$ પર,વેગ $v = -\frac{2}{3}(15) + 20 = -10 + 20 = 10 \ m/s$ છે.
તેથી,પ્રવેગ $a = (10)(-\frac{2}{3}) = -\frac{20}{3} \ m/s^2$ થાય.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \; km/h$,અંતિમ વેગ $v = 60 \; km/h$,અને સમય $t = 4 \; h$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધીએ:
$60 = 20 + (a \times 4)$
$40 = 4a$
$a = 10 \; km/h^2$.
હવે,આપણે $d = ut + \frac{1}{2}at^2$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અંતર $d$ શોધીએ:
$d = (20 \times 4) + \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2$
$d = 80 + 5 \times 16$
$d = 80 + 80 = 160 \; km$.

(C) સ્થાનાંતર $x = at + bt^2 - ct^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $(v)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = a + 2bt - 3ct^2$.
પ્રવેગ $(a_{acc})$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2b - 6ct$.
પ્રવેગને શૂન્ય લેતા: $2b - 6ct = 0 \implies t = \frac{2b}{6c} = \frac{b}{3c}$.
હવે,$t = \frac{b}{3c}$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = a + 2b(\frac{b}{3c}) - 3c(\frac{b}{3c})^2$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - 3c(\frac{b^2}{9c^2})$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - \frac{b^2}{3c}$
$v = a + \frac{b^2}{3c}$.

(B) બે કણો વચ્ચેનું અંતર $s = s_1 - s_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s_1 = ut$ અને $s_2 = \frac{1}{2}ft^2$ છે.
$s = ut - \frac{1}{2}ft^2$.
મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{ds}{dt} = u - ft = 0 \implies t = \frac{u}{f}$.
આ સમયે $t = \frac{u}{f}$ પર,બીજા કણનો વેગ પ્રથમ કણના વેગ જેટલો થાય છે.
$t = \frac{u}{f}$ ને $s$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$s_{\max} = u(\frac{u}{f}) - \frac{1}{2}f(\frac{u}{f})^2$
$s_{\max} = \frac{u^2}{f} - \frac{u^2}{2f} = \frac{u^2}{2f}$.

(A) અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતા કણનું સ્થાન $x(t) = ut + \frac{1}{2}at^2$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t=2\,s$ પર કણ $A$ માટે:
$x_A = (10)(2) + \frac{1}{2}(-4)(2)^2 = 20 - 8 = 12\,m$.
$t=2\,s$ પર કણ $B$ માટે:
$x_B = (20)(2) + \frac{1}{2}(-2)(2)^2 = 40 - 4 = 36\,m$.
બંને કણો વચ્ચેનું અંતર $|x_B - x_A| = |36 - 12| = 24\,m$ છે.

(C) આપેલ સંબંધ $u^2 = kr$ પરથી,$u = \sqrt{k} \cdot r^{1/2}$ મળે.
$u = \frac{dr}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dr}{dt} = \sqrt{k} \cdot r^{1/2}$ લખી શકાય.
ચલને અલગ કરતા,$r^{-1/2} \, dr = \sqrt{k} \, dt$ મળે.
$t = 0$ સમયે $r = 0$ ની પ્રારંભિક શરત સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{0}^{r} r^{-1/2} \, dr = \int_{0}^{t} \sqrt{k} \, dt$.
આથી $[2r^{1/2}]_{0}^{r} = \sqrt{k} \cdot t$,એટલે કે $2\sqrt{r} = \sqrt{k} \cdot t$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{r} = \frac{\sqrt{k}}{2} t$.
વેગના સમીકરણ $u = \sqrt{k} \cdot \sqrt{r}$ માં $\sqrt{r}$ ની કિંમત મૂકતા:
$u = \sqrt{k} \cdot (\frac{\sqrt{k}}{2} t) = \frac{k}{2} t$.
$t = 1 \, s$ સમયે,વેગ $u = \frac{k}{2} (1) = \frac{k}{2}$ થશે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 60\,ms^{-1}$,બળ $F = -10\,N$ ($O$ ની દિશામાં,ગતિની વિરુદ્ધ).
પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{-10}{1} = -10\,ms^{-2}$.
બિંદુ $O$ પર પાછા આવવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે,સ્થાનાંતર $s$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 60t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$0 = 60t - 5t^2$
$5t^2 = 60t$
$t \neq 0$ હોવાથી,$5t$ વડે ભાગતા:
$t = \frac{60}{5} = 12\,s$.
આમ,પદાર્થ $12\,s$ માં ફરીથી $O$ ને પસાર કરશે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = 10\,m/s$ છે અને પ્રવેગ $a$ છે. જ્યારે વેગ $v_1 = 50\,m/s$ થાય ત્યારે સ્થાનાંતર $s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(50)^2 = (10)^2 + 2as$
$2500 = 100 + 2as$
$2as = 2400$
હવે,પ્રવેગ ઉલટાવવામાં આવે છે,તેથી નવો પ્રવેગ $-a$ છે. કણ $v = 50\,m/s$ વાળા બિંદુથી પાછા પ્રારંભિક બિંદુ સુધી મુસાફરી કરે છે,જે $-s$ જેટલું સ્થાનાંતર કાપે છે.
ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 + 2a's'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_f^2 = (50)^2 + 2(-a)(-s)$
$v_f^2 = 2500 + 2as$
સમીકરણમાં $2as = 2400$ મૂકતા:
$v_f^2 = 2500 + 2400 = 4900$
$v_f = \sqrt{4900} = 70\,m/s$.

(D) આપેલ છે કે અંતર $s$ એ $t^{1/2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $s = k t^{1/2}$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^{1/2}) = \frac{1}{2} k t^{-1/2}$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} k t^{-1/2}) = -\frac{1}{4} k t^{-3/2}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવેગ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,જે પ્રતિપ્રવેગ (deceleration) સૂચવે છે.
જેમ જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \frac{k}{4 t^{3/2}}$ ઘટે છે.
તેથી,ગતિ એ ઘટતા પ્રતિપ્રવેગની છે.

(B) ધારો કે $t_1$ એ પ્રવેગનો સમય છે અને $t_2$ એ પ્રતિપ્રવેગનો સમય છે. પ્રાપ્ત થયેલ મહત્તમ વેગ $v = a t_1$ છે.
લિફ્ટ સ્થિર થાય છે,તેથી $v = (2a) t_2$. આમ,$a t_1 = 2a t_2$,જે સૂચવે છે કે $t_1 = 2 t_2$.
કુલ સમય $t = t_1 + t_2$ આપેલ છે,તેથી $t = 2 t_2 + t_2 = 3 t_2$. તેથી,$t_2 = \frac{t}{3}$ અને $t_1 = \frac{2t}{3}$.
કુલ ઊંચાઈ $h$ એ પ્રવેગ અને પ્રતિપ્રવેગ દરમિયાન કાપેલા અંતરનો સરવાળો છે:
$h = \frac{1}{2} a t_1^2 + (v t_2 - \frac{1}{2} (2a) t_2^2)$
$v = a t_1 = 2a t_2$ મૂકતા:
$h = \frac{1}{2} a (2 t_2)^2 + (2a t_2 \cdot t_2 - a t_2^2) = 2 a t_2^2 + a t_2^2 = 3 a t_2^2$.
$t_2 = \frac{t}{3}$ મૂકતા:
$h = 3 a (\frac{t}{3})^2 = 3 a (\frac{t^2}{9}) = \frac{a t^2}{3}$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન $x=0$ છે. કણ સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી $a$ પ્રવેગ સાથે $t_0$ સમય સુધી ગતિ કરે છે.
$t=t_0$ સમયે,સ્થાનાંતર $s_1 = \frac{1}{2} a t_0^2$ અને વેગ $v_1 = a t_0$ છે.
$t_0$ સમય પછી,પ્રવેગ $-a$ થાય છે. ધારો કે કણ કુલ $T = t_0 + t$ સમયે પ્રારંભિક સ્થાન $(x=0)$ પર પાછો ફરે છે,જ્યાં $t$ એ પ્રવેગ બદલાયા પછીનો સમય છે.
બીજા તબક્કા માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $s = u t + \frac{1}{2} a t^2$ છે. અહીં,પ્રારંભિક વેગ $v_1 = a t_0$ અને પ્રવેગ $-a$ છે. આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે શરૂઆતથી કુલ સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય,તેથી બીજા તબક્કામાં સ્થાનાંતર $-s_1 = -\frac{1}{2} a t_0^2$ હોવું જોઈએ.
આમ,$-\frac{1}{2} a t_0^2 = (a t_0) t - \frac{1}{2} a t^2$.
$-\frac{1}{2} a$ વડે ભાગતા,આપણને $t_0^2 = -2 t_0 t + t^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $t^2 - 2 t_0 t - t_0^2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{2 t_0 \pm \sqrt{4 t_0^2 + 4 t_0^2}}{2} = t_0 \pm \sqrt{2} t_0$ મળે છે.
$t > 0$ હોવાથી,આપણે $t = (1 + \sqrt{2}) t_0$ લઈએ છીએ.
કુલ સમય $T = t_0 + t = t_0 + (1 + \sqrt{2}) t_0 = (2 + \sqrt{2}) t_0$ છે.

(B) કણનું સ્થાનાંતર $s = t^3 - 6t^2 + 3t + 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 3$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,$a = 0$ લો: $6t - 12 = 0 \implies t = 2 \ s$.
હવે,વેગના સમીકરણમાં $t = 2 \ s$ મૂકતા: $v = 3(2)^2 - 12(2) + 3 = 3(4) - 24 + 3 = 12 - 24 + 3 = -9 \ m/s$.

(B) ધારો કે કણનો પ્રવેગ $x$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u=0$ છે.
પ્રથમ $p$ સમયગાળા માટે,કાપેલું અંતર $a = \frac{1}{2} x p^2$ છે.
કુલ $(p+q)$ સમય માટે,કુલ કાપેલું અંતર $a+b = \frac{1}{2} x (p+q)^2$ છે.
હવે,$b$ અંતર એ $(p+q)$ સમયમાં કાપેલું કુલ અંતર અને $p$ સમયમાં કાપેલા અંતરનો તફાવત છે.
$b = (a+b) - a = \frac{1}{2} x (p+q)^2 - \frac{1}{2} x p^2$.
$b = \frac{1}{2} x [ (p^2 + 2pq + q^2) - p^2 ] = \frac{1}{2} x (2pq + q^2)$.
$b = \frac{1}{2} x q (2p + q)$.
તેથી,$x = \frac{2b}{q(2p+q)}$.

(A) ગ્રાઉન્ડ ફ્લોર એ ઉગમબિંદુ $(x = 0)$ છે અને ઉપરની દિશા ધન છે. લિફ્ટ ગ્રાઉન્ડ ફ્લોર અને $8$ મા માળની વચ્ચે હોવાથી,તેનું સ્થાન $x$ ધન છે $(x > 0)$.
લિફ્ટ નીચેની તરફ ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેનો વેગ $v$ ઋણ દિશામાં છે,તેથી $v < 0$.
લિફ્ટ $4$ થા માળે અટકવાની તૈયારીમાં હોવાથી,તે પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરી રહી છે. નીચેની તરફ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,પ્રતિપ્રવેગનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ $a$ વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં,એટલે કે ઉપરની (ધન) દિશામાં હોવો જોઈએ. તેથી,$a > 0$.
આમ,સાચી સંજ્ઞાઓ $x > 0, v < 0, a > 0$ છે.

(D) આપેલ છે $x^{2} = at^{2} + 2bt + c$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} = 2at + 2b$
$x v = at + b$,જ્યાં $v = \frac{dx}{dt}$.
ફરીથી સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$v \frac{dx}{dt} + x \frac{dv}{dt} = a$
$v^{2} + x a' = a$,જ્યાં $a' = \frac{dv}{dt}$ એ પ્રવેગ છે.
$x v = at + b$ પરથી,$v = \frac{at+b}{x}$ મળે.
$v$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x a' = a - v^{2} = a - \left(\frac{at+b}{x}\right)^{2}$
$x a' = \frac{ax^{2} - (at+b)^{2}}{x^{2}}$
$x^{2} = at^{2} + 2bt + c$ મૂકતા:
$x a' = \frac{a(at^{2} + 2bt + c) - (a^{2}t^{2} + 2abt + b^{2})}{x^{2}}$
$x a' = \frac{a^{2}t^{2} + 2abt + ac - a^{2}t^{2} - 2abt - b^{2}}{x^{2}}$
$x a' = \frac{ac - b^{2}}{x^{2}}$
$a' = \frac{ac - b^{2}}{x^{3}}$
આમ,$a' \propto x^{-3}$. $x^{-n}$ સાથે સરખાવતા,$n = 3$ મળે છે.

(N/A) વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ છે.
તેથી $dv = a dt$ મળે.
સમય $t=0$ પર પ્રારંભિક વેગ $v_0$ થી સમય $t$ પર વેગ $v$ સુધી બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} a dt = a \int_{0}^{t} dt$
$v - v_0 = at \implies v = v_0 + at$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$dx = v dt = (v_0 + at) dt$ મળે.
સમય $t=0$ પર સ્થાન $x_0$ થી સમય $t$ પર સ્થાન $x$ સુધી બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{x_0}^{x} dx = \int_{0}^{t} (v_0 + at) dt$
$x - x_0 = v_0 t + \frac{1}{2} at^2 \implies x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} at^2$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
તેથી,$v dv = a dx$ મળે.
બંને બાજુ $v_0$ થી $v$ અને $x_0$ થી $x$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{v_0}^{v} v dv = \int_{x_0}^{x} a dx$
$\frac{v^2 - v_0^2}{2} = a(x - x_0)$
$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$.

(N/A) ધારો કે વાહન અટકે તે પહેલાં કાપેલું અંતર $d_{s}$ છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^{2} = v_{0}^{2} + 2ax$,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ છે,$v_{0}$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રવેગ છે (જે આ કિસ્સામાં ઋણ છે,એટલે કે $-a$),અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
જ્યારે વાહન અટકે છે,ત્યારે અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $0^{2} = v_{0}^{2} + 2(-a)d_{s}$.
$d_{s}$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$2ad_{s} = v_{0}^{2}$
$d_{s} = \frac{v_{0}^{2}}{2a}$.
આમ,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(d_{s} \propto v_{0}^{2})$.

(D) સૌ પ્રથમ,પ્રારંભિક વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$u = 126 \times \frac{5}{18} = 35 \; m/s$.
કાર અટકી જાય છે,તેથી અંતિમ વેગ $v = 0 \; m/s$ અને કાપેલું અંતર $s = 200 \; m$ છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2as$:
$0^2 - (35)^2 = 2 \times a \times 200$.
$-1225 = 400a$.
$a = -3.0625 \; m/s^2$.
હવે,સમય $t$ શોધવા માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરો:
$0 = 35 + (-3.0625)t$.
$t = \frac{35}{3.0625} \approx 11.4 \; s$.

(B) પ્રથમ,પ્રારંભિક વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$u = 126 \; km/h = 126 \times \frac{5}{18} \; m/s = 35 \; m/s$.
કાર અટકી જાય છે,તેથી અંતિમ વેગ $v = 0 \; m/s$.
કાપેલું અંતર $s = 200 \; m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 - (35)^2 = 2 \times a \times 200$.
$-1225 = 400a$.
$a = -\frac{1225}{400} = -3.0625 \; m/s^2$.
પ્રતિપ્રવેગ એ ઋણ પ્રવેગનું મૂલ્ય છે,જે $3.0625 \; m/s^2$ છે.

(A) આલેખ એક સીધી રેખા છે.
$n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલ અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$D_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1) \quad \dots(i)$
જ્યાં:
$u = \text{પ્રારંભિક વેગ}$
$a = \text{પ્રવેગ}$
$n = \text{સેકન્ડમાં સમયગાળો}$
આપેલ કિસ્સામાં,$u = 0$ અને $a = 1\; m/s^{2}$. આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$D_{n} = 0 + \frac{1}{2}(2n - 1) = n - 0.5$
આ સંબંધ $D_{n} = n - 0.5$ દર્શાવે છે કે $D_{n}$ એ $n$ નું સુરેખ વિધેય છે. તેથી,$D_{n}$ વિરુદ્ધ $n$ નો આલેખ એક સીધી રેખા છે.
$n$ ની $1$ થી $10$ સુધીની વિવિધ કિંમતો મૂકતા:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$D_{n}$	$0.5$	$1.5$	$2.5$	$3.5$	$4.5$	$5.5$	$6.5$	$7.5$	$8.5$	$9.5$

કારણ કે થ્રી-વ્હીલર $10\; s$ પછી અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી પ્રવેગ શૂન્ય થઈ જાય છે. $n > 10$ માટે,દરેક ક્રમિક સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર અચળ રહે છે,તેથી આલેખ $n$-અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા બની જાય છે.

(C) જો સમયના સમાન અંતરાલમાં વેગમાં થતો ઘટાડો સમાન હોય,તો પ્રવેગ $a$ અચળ અને ઋણ $(a < 0)$ હોય છે.
$v = u + at$ હોવાથી,વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
સ્થાન $x$ એ ગતિના સમીકરણ $x(t) = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a$ ઋણ હોવાથી,$x-t$ આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય મળે છે.
આ સમાન પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરતા કણને દર્શાવે છે.

(A) સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતર અને કુલ સમયગાળાનો ગુણોત્તર છે,$v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$.
તાત્ક્ષણિક વેગ એ સમયના કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે વેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$v = \frac{dx}{dt}$.
જો કોઈ પદાર્થનો વેગ સમયગાળા દરમિયાન અચળ રહે,તો સ્થાનમાં થતા ફેરફારનો દર અચળ રહે છે.
આ કિસ્સામાં,$\Delta t$ સમયમાં સ્થાનાંતર $\Delta x = v \cdot \Delta t$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$v_{avg} = \frac{v \cdot \Delta t}{\Delta t} = v$.
આ શરત સૂચવે છે કે વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી,જે અચળ ગતિની વ્યાખ્યા છે.

(N/A) અચળ પ્રવેગી ગતિ માટે વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખ નીચે મુજબ છે:
$(a)$ પદાર્થ ધન દિશામાં ધન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરી રહ્યો છે.
$(b)$ પદાર્થ ધન દિશામાં ઋણ પ્રવેગ (મંદન) સાથે ગતિ કરી રહ્યો છે.
$(c)$ પદાર્થ ઋણ દિશામાં ઋણ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરી રહ્યો છે.
$(d)$ પદાર્થ $t_{1}$ સમય સુધી ધન દિશામાં ગતિ કરે છે અને ત્યારબાદ પાછો ફરીને તે જ ઋણ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.
કોઈપણ ગતિમાન પદાર્થ માટે વેગ-સમય આલેખની એક રસપ્રદ લાક્ષણિકતા એ છે કે આલેખની નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ આપેલા સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.

(C) અચળ ઋણ પ્રવેગ $(a < 0)$ સાથેની ગતિ માટે,સ્થાન-સમયનું સમીકરણ ગતિશાસ્ત્રના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$.
અહીં પ્રવેગ $a$ ઋણ હોવાથી,$t^2$ પદનો સહગુણક ઋણ છે.
આ સમીકરણ $t$ માં દ્વિઘાત વિધેય દર્શાવે છે,જે આલેખની દ્રષ્ટિએ પરવલયને અનુરૂપ છે.
$t^2$ નો સહગુણક ઋણ હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
તેથી,ઋણ પ્રવેગ માટેનો $x-t$ આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.

(N/A) ધારો કે $t=0$ સમયે કણનો વેગ $v_{0}$ છે અને $t$ સમયે વેગ $v$ છે.
$1$. ગતિનું પ્રથમ સમીકરણ $(v = v_{0} + at)$:
પ્રવેગ $a$ એ વેગ-સમયના આલેખની રેખા $AB$ નો ઢાળ છે.
$a = \text{ઢાળ} = \frac{v - v_{0}}{t - 0} = \frac{v - v_{0}}{t}$
$\therefore v = v_{0} + at$.
$2$. ગતિનું બીજું સમીકરણ $(x = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2})$:
સ્થાનાંતર $x$ એ $v-t$ આલેખની નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ (સમલંબ ચતુષ્કોણ $OABD$) છે.
$x = \text{લંબચોરસ } OACD \text{ નું ક્ષેત્રફળ} + \Delta ACB \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
$x = (v_{0} \times t) + \frac{1}{2} \times (t) \times (v - v_{0})$
કારણ કે $(v - v_{0}) = at$,તેથી:
$x = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$.
$3$. ગતિનું ત્રીજું સમીકરણ $(v^{2} - v_{0}^{2} = 2ax)$:
સ્થાનાંતર $x$ એ સમલંબ ચતુષ્કોણ $OABD$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
$x = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$x = \frac{1}{2} (v_{0} + v) \times t$
કારણ કે $t = \frac{v - v_{0}}{a}$,$t$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{1}{2} (v + v_{0}) \times \frac{(v - v_{0})}{a}$
$2ax = v^{2} - v_{0}^{2}$
$\therefore v^{2} = v_{0}^{2} + 2ax$.

(A) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ $n$ સેકન્ડમાં કાપેલા કુલ અંતર અને $(n-1)$ સેકન્ડમાં કાપેલા કુલ અંતર વચ્ચેનો તફાવત છે.
ગતિના સમીકરણ $s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d_n = s_n - s_{n-1}$
$d_n = (v_0 n + \frac{1}{2} a n^2) - [v_0 (n-1) + \frac{1}{2} a (n-1)^2]$
$d_n = v_0 n + \frac{1}{2} a n^2 - [v_0 n - v_0 + \frac{1}{2} a (n^2 - 2n + 1)]$
$d_n = v_0 n + \frac{1}{2} a n^2 - v_0 n + v_0 - \frac{1}{2} a n^2 + a n - \frac{1}{2} a$
$d_n = v_0 + a n - \frac{1}{2} a$
$d_n = v_0 + \frac{a}{2} (2n - 1)$

(N/A) જ્યારે ગતિમાન વાહન પર બ્રેક લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્થિર થાય તે પહેલાં તેણે કાપેલા અંતરને સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ કહેવામાં આવે છે.
ધારો કે ગતિમાન વાહનનો પ્રારંભિક વેગ $v_{0}$ છે. બ્રેક લગાવ્યા પછી પ્રતિપ્રવેગ $-a$ છે.
ધારો કે કાપેલું અંતર $d_{s}$ (સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ) છે અને અંતિમ વેગ $v = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^{2} - v_{0}^{2} = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 - v_{0}^{2} = 2(-a)(d_{s})$
$v_{0}^{2} = 2ad_{s}$
$d_{s} = \frac{v_{0}^{2}}{2a}$
અહીં,$a$ એ પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય છે,જે અચળ છે.
આમ,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $d_{s} \propto v_{0}^{2}$.
જો પ્રારંભિક વેગ બમણો કરવામાં આવે,એટલે કે $(v_{0})_{2} = 2(v_{0})_{1}$,તો:
$\frac{(d_{s})_{2}}{(d_{s})_{1}} = \frac{(v_{0})_{2}^{2}}{(v_{0})_{1}^{2}} = (2)^{2} = 4$.
તેથી,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ મૂળ અંતર કરતા $4$ ગણું થશે.

(N/A) વાહનનું સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એટલે કે બ્રેક લગાવ્યા પછી વાહન સંપૂર્ણપણે સ્થિર થાય તે પહેલાં તેણે કાપેલું અંતર. તે નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. વાહનનો પ્રારંભિક વેગ $(v_0)$: સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(d \propto v_0^2)$.
$2$. પ્રતિપ્રવેગ ક્ષમતા: તે બ્રેકિંગ કાર્યક્ષમતા અથવા વાહન પ્રાપ્ત કરી શકે તેવા મહત્તમ પ્રતિપ્રવેગ $(a)$ પર આધાર રાખે છે,જે ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેના ઘર્ષણ દ્વારા નક્કી થાય છે.

(B) સમયગાળા $\Delta t$ દરમિયાન સરેરાશ પ્રવેગ $a_{avg}$ ને વેગમાં થતા ફેરફાર અને સમયગાળાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ $a$ ને $\Delta t$ શૂન્યની નજીક જાય ત્યારે સરેરાશ પ્રવેગની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
કોઈપણ સમયે તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ અને સરેરાશ પ્રવેગ સમાન હોય તે માટે,પ્રવેગ અચળ (અચળ પ્રવેગ) હોવો જોઈએ.
જો પ્રવેગ અચળ હોય,તો વેગમાં થતા ફેરફારનો દર અચળ રહે છે,જેના કારણે કોઈપણ સમયગાળા માટે સરેરાશ પ્રવેગ તે સમયગાળાના કોઈપણ બિંદુએ તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ જેટલો જ રહે છે.

(N/A) સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એટલે વાહન પર બ્રેક લગાવ્યા પછી તે સંપૂર્ણપણે ઉભું રહે ત્યાં સુધી વાહને કાપેલું અંતર.
તે વાહનના પ્રારંભિક વેગ $(v_0)$ અને બ્રેક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા પ્રતિપ્રવેગ $(a)$ પર આધાર રાખે છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = v_0^2 + 2as$,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ $(0 \ m/s)$ છે,$v_0$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે અને $s$ એ સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ છે.
$v = 0$ લેતા,આપણને $0 = v_0^2 - 2as$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $s = \frac{v_0^2}{2a}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે કાર સ્થિર અવસ્થામાંથી $(u = 0)$ નિયમિત પ્રવેગ $(a = \text{constant})$ સાથે ગતિ કરે છે.
$(i)$ $x-t$ આલેખ માટે: ગતિના સમીકરણ $x = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $u=0$ હોવાથી, આપણને $x = \frac{1}{2}at^2$ મળે છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો પરવલયાકાર દર્શાવે છે.
$(ii)$ $v-t$ આલેખ માટે: સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા, $u=0$ હોવાથી, આપણને $v = at$ મળે છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી સુરેખા દર્શાવે છે.
$(iii)$ $a-t$ આલેખ માટે: પ્રવેગ નિયમિત હોવાથી, સમયની સાપેક્ષમાં $a$ અચળ રહે છે. આ સમયની ધરીને સમાંતર એક સુરેખા દર્શાવે છે.

(A) સમયગાળા $\Delta t$ દરમિયાન સરેરાશ પ્રવેગ $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તત્કાલીન પ્રવેગ $a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કોઈપણ સમયે સરેરાશ પ્રવેગ અને તત્કાલીન પ્રવેગ સમાન રહે તે માટે,વેગમાં થતો ફેરફારનો દર અચળ હોવો જોઈએ.
તેથી,પ્રવેગ અચળ હોવો જોઈએ.

(A) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2as$.
અહીં,અંતિમ વેગ $v = 0$ છે (કારણ કે વાહન અટકી જાય છે).
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રવેગ $a = -|a|$ (મંદન) છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0^2 - u^2 = 2(-|a|)s$.
$-u^2 = -2|a|s$.
$s = \frac{u^2}{2|a|}$.
આપેલા પ્રવેગ માટે $2|a|$ અચળ હોવાથી,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $s$ એ પ્રારંભિક ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(s \propto u^2)$.

(B) વાહનનું સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $d$ એ સૂત્ર $d = \frac{v_0^2}{2|a|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v_0$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ અચળ પ્રતિપ્રવેગ છે.
અહીં $d \propto v_0^2$ હોવાથી, $v_1 = 80 \, km/hr$ અને $v_2 = 40 \, km/hr$ પ્રારંભિક વેગ ધરાવતા બે વાહનો માટે સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{d_1}{d_2} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = \left(\frac{80}{40}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ, $80 \, km/hr$ ની ઝડપે ગતિ કરતા વાહનનું સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એ $40 \, km/hr$ ની ઝડપે ગતિ કરતા વાહન કરતા $4$ ગણું હોય છે.

(B) પદાર્થનો સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો. તાત્ક્ષણિક વેગ એટલે કોઈ ચોક્કસ સમયે પદાર્થનો વેગ. જ્યારે પદાર્થ સુરેખ પથ પર નિયમિત વેગ (અચળ વેગ) થી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેનો વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી. તેથી,કોઈપણ સમયગાળા માટે સરેરાશ વેગ એ કોઈપણ ક્ષણે રહેલા તાત્ક્ષણિક વેગ જેટલો જ હોય છે.

(A) સમીકરણ $\Delta S = v \Delta t$ એ અચળ વેગ $(v)$ સાથેની ગતિ દર્શાવે છે.
અહીં વેગ $v$ અચળ છે અને સમય સાથે બદલાતો નથી,તેથી સ્થાનાંતર $\Delta S$ એ સમયના ગાળા $\Delta t$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
આ સુરેખ પથ પર થતી નિયમિત ગતિ માટેનું લાક્ષણિક સમીકરણ છે.

(B) આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x$ એ સમય $t$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $x = k t^{2}$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^{2}) = 2kt$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
અહીં $k$ અચળાંક હોવાથી,$2k$ પણ અચળ મૂલ્ય છે. તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ છે.

(N/A) આવર્ત ગતિ દર્શાવવા માટે,આપણે $\sin t$ અથવા $\cos t$ જેવા ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$(a)$ ગતિ $x(t) = t - \sin t$ ધ્યાનમાં લો.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$.
જ્યારે $t = 2n\pi$ હોય,ત્યારે $v = 1 - 1 = 0$,તેથી કણ સ્થિર થાય છે. કારણ કે તમામ $t$ માટે $v \ge 0$ છે,તેથી કણ હંમેશા ધન $x$-દિશામાં જ ગતિ કરે છે.
$(b)$ ગતિ $x(t) = \sin t$ ધ્યાનમાં લો.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = \cos t$.
જ્યારે $t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$ હોય,ત્યારે વેગ $v = 0$ થાય છે,તેથી કણ સ્થિર થાય છે. કારણ કે $\cos t$ ધન અને ઋણ મૂલ્યો વચ્ચે બદલાય છે,તેથી કણ સમયાંતરે આગળ અને પાછળ ગતિ કરે છે.

(N/A) ધારો કે એક કણની ગતિનું સ્થાન $x(t) = x_0 + A e^{-kt}$ વિધેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $x_0 > 0$,$A > 0$ અને $k > 0$ છે.
$1$. સ્થાન: $x(t) = x_0 + A e^{-kt}$. અહીં $x_0, A, k, t > 0$ હોવાથી,$A e^{-kt}$ પદ ધન છે,તેથી $x(t) > 0$ થાય.
$2$. વેગ: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -Ak e^{-kt}$. અહીં $A, k, e^{-kt} > 0$ હોવાથી,$-Ak e^{-kt}$ પદ ઋણ છે,તેથી $v(t) < 0$ થાય.
$3$. પ્રવેગ: $a(t) = \frac{dv}{dt} = Ak^2 e^{-kt}$. અહીં $A, k^2, e^{-kt} > 0$ હોવાથી,પ્રવેગ $a(t) > 0$ થાય.
આવી ગતિનું ઉદાહરણ એ છે કે જ્યારે કોઈ કણ $x$-અક્ષની ધન બાજુથી ઉગમબિંદુ તરફ ગતિ કરતો હોય અને $x_0$ જેટલા સીમિત સ્થાન તરફ પહોંચતા તેનો વેગ ઘટતો જતો હોય.

(N/A) આપેલ છે,$x(t) = x_0 (1 - e^{-\gamma t})$.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = x_0 \gamma e^{-\gamma t}$.
પ્રવેગ $a(t) = \frac{dv}{dt} = -x_0 \gamma^2 e^{-\gamma t}$.
$(a)$ $t = 0$ સમયે,$x(0) = x_0(1 - e^0) = 0$. કણ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે.
$t = 0$ સમયે વેગ $v(0) = x_0 \gamma e^0 = x_0 \gamma$ છે.
$(b)$
$x(t)$: જ્યારે $t \to \infty$,ત્યારે $x(t) \to x_0$ (મહત્તમ). $t = 0$ સમયે,$x(t) = 0$ (ન્યૂનતમ). $\frac{dx}{dt} > 0$ હોવાથી,$x(t)$ સમય સાથે વધે છે.
$v(t)$: $t = 0$ સમયે,$v(0) = x_0 \gamma$ (મહત્તમ). જ્યારે $t \to \infty$,ત્યારે $v(t) \to 0$ (ન્યૂનતમ). $\frac{dv}{dt} < 0$ હોવાથી,$v(t)$ સમય સાથે ઘટે છે.
$a(t)$: $t = 0$ સમયે,$a(0) = -x_0 \gamma^2$ (ન્યૂનતમ). જ્યારે $t \to \infty$,ત્યારે $a(t) \to 0$ (મહત્તમ). $\frac{da}{dt} = x_0 \gamma^3 e^{-\gamma t} > 0$ હોવાથી,$a(t)$ સમય સાથે વધે છે.

(A) અચળ પ્રવેગી ગતિ માટેના ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. વેગ-સમયનો સંબંધ: $v = v_0 + at$. તેથી,$(1) \to (a)$.
$2$. સ્થાન-સમયનો સંબંધ: $S = v_0t + \frac{1}{2}at^2$.
$3$. વેગ-સ્થાનાંતરનો સંબંધ: $v^2 = v_0^2 + 2as$. તેથી,$(2) \to (c)$.
આમ,સાચી જોડ $(1-a, 2-c)$ છે.

(C) કોઈ પદાર્થ દ્વારા $n^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે,જે સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી $t=0$ સમયે શરૂ થાય છે,પાંચમી સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર:
$S_{A, 5} = 0 + \frac{a_{1}}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9a_{1}}{2}$.
પદાર્થ $B$ એ $A$ ના $2$ સેકન્ડ પછી શરૂ થાય છે. તેથી,$A$ ની ગતિ શરૂ થયાની પાંચમી સેકન્ડ એ પદાર્થ $B$ માટે $(5-2) = 3^{\text{જી}}$ સેકન્ડ થાય.
પદાર્થ $B$ માટે,સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી,તેની ત્રીજી સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર:
$S_{B, 3} = 0 + \frac{a_{2}}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{5a_{2}}{2}$.
આપેલ છે કે $S_{A, 5} = S_{B, 3}$,તેથી:
$\frac{9a_{1}}{2} = \frac{5a_{2}}{2}$.
આમ,$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{9}$.

(B) વેગ $v = \frac{dx}{dt} = v_{0} + gt + Ft^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 1$ સમયે સ્થાનાંતર $s$ શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = 1$ સુધી વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ:
$s = \int_{0}^{1} v dt = \int_{0}^{1} (v_{0} + gt + Ft^{2}) dt$
$s = [v_{0}t + \frac{gt^{2}}{2} + \frac{Ft^{3}}{3}]_{0}^{1}$
સીમાઓ $t = 0$ અને $t = 1$ મૂકતા:
$s = (v_{0}(1) + \frac{g(1)^{2}}{2} + \frac{F(1)^{3}}{3}) - (0)$
$s = v_{0} + \frac{g}{2} + \frac{F}{3}$

(A) ધારો કે ટ્રેનની કુલ લંબાઈ $L = 2d$ છે,જ્યાં $d$ એ એન્જિનથી મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર છે,અને મધ્યબિંદુથી છેલ્લા ડબ્બા સુધીનું અંતર પણ $d$ છે.
ધારો કે ટ્રેનનો સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
જ્યારે એન્જિન સિગ્નલ પોસ્ટ પાસેથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનો વેગ $u$ છે. જ્યારે મધ્યબિંદુ સિગ્નલ પોસ્ટ પાસેથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનો વેગ $v^{\prime}$ ધારો.
ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
ટ્રેનના પ્રથમ અડધા ભાગ માટે (એન્જિનથી મધ્યબિંદુ સુધી):
$(v^{\prime})^2 = u^2 + 2ad$ --- $(1)$
ટ્રેનના બીજા અડધા ભાગ માટે (મધ્યબિંદુથી છેલ્લા ડબ્બા સુધી):
$v^2 = (v^{\prime})^2 + 2ad$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$2ad = (v^{\prime})^2 - u^2$.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$v^2 = (v^{\prime})^2 + ((v^{\prime})^2 - u^2)$
$v^2 = 2(v^{\prime})^2 - u^2$
$2(v^{\prime})^2 = v^2 + u^2$
$(v^{\prime})^2 = \frac{v^2 + u^2}{2}$
$v^{\prime} = \sqrt{\frac{v^2 + u^2}{2}}$

(A) આપેલ વેગ વિધેય: $v = \sqrt{5000 + 24x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a$ એ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (5000 + 24x)^{1/2} = \frac{1}{2} (5000 + 24x)^{-1/2} \times 24 = \frac{12}{\sqrt{5000 + 24x}}$.
હવે,પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = \sqrt{5000 + 24x} \times \frac{12}{\sqrt{5000 + 24x}}$.
$a = 12 \; \text{m/s}^2$.

(D) ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2ax$ પરથી,જે $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = v^{2}$ અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આને આલેખ સાથે સરખાવતા,$v^{2}$ વિરુદ્ધ $x$ રેખાનો ઢાળ $2a$ છે.
આલેખ પરથી,આપણે બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને ઢાળ $m$ ગણી શકીએ છીએ,ઉદાહરણ તરીકે,$(10, 40)$ અને $(20, 60)$:
$m = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{60 - 40}{20 - 10} = \frac{20}{10} = 2 \text{ m/s}^{2}$.
કારણ કે ઢાળ $m = 2a$ છે,તેથી $2a = 2$.
આમ,પ્રવેગ $a = 1 \text{ m/s}^{2}$ મળે છે.