એક કણની ગતિ $x(t) = x_0 (1 - e^{-\gamma t} )$ ; જ્યાં $t\, \geqslant \,0\,,\,{x_0}\, > \,0$ સમીકરણનું પાલન કરે છે.

$(a)$ કણ કયા બિંદુથી અને કેટલા વેગથી ગતિની શરૂઆત કરશે ?

$(b) $ $x(t),\, v(t)$ અને $a(t)$ ના મહત્તમ અને લઘુતમ મૂલ્યો મેળવો અને દર્શાવો કે $x(t)$ અને $a(t)$ સમય સાથે વધે છે અને $v(t)$ એ સમય સાથે ઘટે છે.

અહીં, $x(t)=x_{0}\left(1-e^{-\gamma t}\right)$

$\therefore v(t)=\frac{d x(t)}{d t}=x_{0} \gamma e^{-\gamma t}$

અને $a(t)=\frac{d v(t)}{d t}=-x_{0} \gamma^{2} e^{-\gamma t}$

$(a)$ જ્યારે $t=0 ; x(t)=x_{0}\left(1-e^{0}\right)=x_{0}(1-1)=0$

$v(t)=x_{0} \gamma e^{0}=x_{0} \gamma$

$a(t)=-x_{0} \gamma^{2} e^{0}=-x_{0} \gamma^{2}$

$(b)$ જ્યારે $t=\infty$ ત્યારે $x(t)=x_{0}\left(1-e^{\infty}\right)$

$=x_{0}(1-0)\left(\because e^{\infty}=0\right)$

$\therefore x(t)$ મહતમ $=x_{0}$

અને $t=0$ હોય ત્યારે $x(t)$ લઘુતમ $=0$

$t=0$ સમયે મહત્તમ વેગ $\nu(0)=x_{0} \gamma$

અને $t=\infty$ સમયે લઘુતમ વેગ $v(\infty)=0 \quad\left(\because e^{\infty}=0\right)$

અનો $t=\infty$ સમયે મહતમ પ્રવેગ $a(\infty)=0 \quad\left(\because e^{\infty}=0\right)$

$t=0$ સમયે લધુતમ પ્રવેગ $a(0)=-x_{0} \gamma^{2}$

આમ, $x(t)$ અને $a(t)$ સમય સાથે વધે છે અને $v(t)$ એ સમય સાથે ધટે છે.