Uniformly Accelerated Motion Questions in Gujarati

(A) ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
$2 \, s$ માં કાપેલું અંતર $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S = u(2) + \frac{1}{2}(10)(2)^2 = 2u + 20$ ... $(i)$
$3^{rd}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_{3^{rd}} = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 3$.
$S_{3^{rd}} = u + \frac{10}{2}(2 \times 3 - 1) = u + 5(5) = u + 25$ ... (ii)
પ્રશ્ન મુજબ,$2 \, s$ માં કાપેલું અંતર એ $3^{rd}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર જેટલું જ છે,તેથી $S = S_{3^{rd}}$.
$2u + 20 = u + 25 \Rightarrow u = 5 \, m/s$.
સમીકરણ $(i)$ માં $u = 5$ મૂકતા:
$S = 2(5) + 20 = 10 + 20 = 30 \, m$.

(C) આપેલ પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = bt$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$\int dv = \int bt \, dt \Rightarrow v = \frac{1}{2}bt^2 + C_1$.
$t = 0$ સમયે,$v = v_0$,તેથી $C_1 = v_0$.
આમ,વેગ $v = \frac{1}{2}bt^2 + v_0$ મળે છે.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}bt^2 + v_0$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$x = \int (\frac{1}{2}bt^2 + v_0) dt = \frac{1}{2}b(\frac{t^3}{3}) + v_0t + C_2$.
$t = 0$ સમયે,$x = 0$,તેથી $C_2 = 0$.
તેથી,કાપેલું અંતર $x = v_0t + \frac{1}{6}bt^3$ થશે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dv}{dt} = 6 - 3v$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dv}{6 - 3v} = dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{6 - 3v} = \int dt$.
આનાથી મળે છે: $-\frac{1}{3} \ln(6 - 3v) = t + C$.
$\ln(6 - 3v) = -3t + C'$.
$t = 0$ સમયે,$v = 0$,તેથી $\ln(6) = C'$.
$C'$ ની કિંમત મૂકતા: $\ln(6 - 3v) = -3t + \ln(6) \Rightarrow \ln(\frac{6 - 3v}{6}) = -3t$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લેતા: $\frac{6 - 3v}{6} = e^{-3t} \Rightarrow 1 - 0.5v = e^{-3t} \Rightarrow v(t) = 2(1 - e^{-3t}) \, m/s$.
અંતિમ ઝડપ $(t \to \infty)$: $v = 2(1 - 0) = 2.0 \, m/s$.
પ્રારંભિક પ્રવેગ $(t = 0)$: $a = \frac{dv}{dt} = 6 - 3(0) = 6.0 \, m/s^2$.
બધા જ વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(d)$ છે.

(D) ધારો કે કાર $t_1$ સમય માટે $\alpha$ ના અચળ દરે પ્રવેગિત થાય છે. પ્રાપ્ત થયેલ મહત્તમ વેગ $v = u + \alpha t_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $u = 0$,એટલે કે $v = \alpha t_1$.
ત્યારબાદ,કાર બાકીના સમય $(t - t_1)$ માટે $\beta$ ના અચળ દરે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે અને અંતે સ્થિર થાય છે. પ્રતિપ્રવેગના તબક્કા માટે $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $0 = v - \beta(t - t_1)$.
$v = \alpha t_1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $0 = \alpha t_1 - \beta t + \beta t_1$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(\alpha + \beta) t_1 = \beta t$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $t_1 = \frac{\beta}{\alpha + \beta} t$.
$t_1$ ની કિંમત $v$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $v = \alpha \left( \frac{\beta}{\alpha + \beta} t \right) = \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} t$.

(D) વાહનનું ઉભું રહેવા માટેનું અંતર $S$ એ સંબંધ $v^2 = u^2 + 2as$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અંતિમ વેગ $v = 0$ હોવાથી,આપણને $0 = u^2 - 2a|S|$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $S = \frac{u^2}{2|a|}$.
અહીં પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી,ઉભું રહેવા માટેનું અંતર એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $S \propto u^2$.
આપેલ છે કે $u_1 = 60\,km/h$ માટે $S_1 = 20\,m$ અને $u_2 = 120\,km/h$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2 = \left(\frac{120}{60}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$S_2 = 4 \times S_1 = 4 \times 20\,m = 80\,m$.

(C) ધારો કે એક પાટિયાની જાડાઈ $s$ છે. જો ગોળી $u$ વેગ સાથે પ્રવેશ કરે,તો તે $v = u - \frac{u}{20} = \frac{19}{20}u$ વેગ સાથે બહાર નીકળે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે:
$(\frac{19}{20}u)^2 = u^2 - 2as$
$\frac{361}{400}u^2 = u^2 - 2as$
$2as = u^2 - \frac{361}{400}u^2 = \frac{39}{400}u^2$
$\frac{u^2}{2as} = \frac{400}{39} \approx 10.25$
હવે,જો ગોળીને અટકાવવા માટે $n$ પાટિયાની જરૂર હોય,તો કુલ અંતર $ns$ કાપ્યા પછી અંતિમ વેગ $v_f = 0$ થાય:
$0^2 = u^2 - 2a(ns)$
$u^2 = 2ans$
$n = \frac{u^2}{2as} = \frac{400}{39} \approx 10.25$
પાટિયાની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ અને $10$ પાટિયા ગોળીને અટકાવવા માટે પૂરતા નથી,તેથી આપણને $11$ પાટિયાની જરૂર પડશે.

(C) વાહનનું સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $s$ એ સૂત્ર $s = \frac{u^2}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $a$ એ પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એ પ્રારંભિક ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $s \propto u^2$.
જો ઝડપ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે,તો નવી ઝડપ $u' = 3u$ થશે.
નવું સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $s'$ એ $s' \propto (3u)^2 = 9u^2$ થશે.
તેથી,$s' = 9s$.
આમ,ઝડપ ત્રણ ગણી કરવાથી સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $9$ ગણું વધે છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. $s_1 = 3 \, cm$ પ્રવેશ્યા પછી,વેગ $v_1 = u/2$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(u/2)^2 = u^2 + 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 + 6a$
$6a = -3u^2/4$
$a = -u^2/8$
હવે,બીજા ભાગ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u/2$ છે અને અંતિમ વેગ $0$ છે. ધારો કે વધારાનું અંતર $x$ છે.
$0^2 = (u/2)^2 + 2ax$
$0 = u^2/4 + 2(-u^2/8)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1 \, cm$.

(D) આપેલ સંબંધ: $t = \sqrt{x} + 3$.
$x$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{x} = t - 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x = (t - 3)^2$.
વેગ $v$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - 3)^2 = 2(t - 3)$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય: $2(t - 3) = 0$,જે $t = 3 \ s$ આપે છે.
$t = 0 \ s$ સમયે પ્રારંભિક સ્થાન: $x_i = (0 - 3)^2 = 9 \ m$.
$t = 3 \ s$ સમયે અંતિમ સ્થાન: $x_f = (3 - 3)^2 = 0 \ m$.
સ્થાનાંતર એ સ્થાનમાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta x = x_f - x_i = 0 - 9 = -9 \ m$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને એક તકતીની જાડાઈ $s$ છે. એક તકતીમાંથી પસાર થયા પછી,વેગ $v = u - (1/20)u = (19/20)u$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(19/20u)^2 = u^2 + 2as$
$2as = (361/400)u^2 - u^2 = -(39/400)u^2$.
ધારો કે ગોળીને રોકવા માટે જરૂરી તકતીઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $n$ છે. $n$ તકતીઓમાંથી પસાર થયા પછી અંતિમ વેગ $0$ થાય તે માટે,કુલ અંતર $ns$ છે:
$0^2 = u^2 + 2a(ns)$
$0 = u^2 + n(2as)$
$2as = -(39/400)u^2$ કિંમત મૂકતા:
$0 = u^2 + n(-(39/400)u^2)$
$n(39/400) = 1$
$n = 400/39 \approx 10.26$.
તકતીઓની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી ગોળીને રોકવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ તકતીઓની સંખ્યા $11$ છે.

(C) કણનું સ્થાન $x = at^2 - bt^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2 - bt^3) = 2at - 3bt^2$.
પ્રવેગ $a_{acc}$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2at - 3bt^2) = 2a - 6bt$.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,$a_{acc} = 0$ લેતા:
$2a - 6bt = 0$
$2a = 6bt$
$t = \frac{2a}{6b} = \frac{a}{3b}$.

(C) કણનું સ્થાન $y = a + bt + ct^2 - dt^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt + ct^2 - dt^4) = 0 + b + 2ct - 4dt^3$.
શરૂઆતના સમય $t = 0$ પર,શરૂઆતનો વેગ $v_{initial}$ છે:
$v_{initial} = b + 2c(0) - 4d(0)^3 = b$.
પ્રવેગ $a_{acc}$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(b + 2ct - 4dt^3) = 0 + 2c - 12dt^2$.
શરૂઆતના સમય $t = 0$ પર,શરૂઆતનો પ્રવેગ $a_{initial}$ છે:
$a_{initial} = 2c - 12d(0)^2 = 2c$.
આમ,શરૂઆતનો વેગ $b$ છે અને શરૂઆતનો પ્રવેગ $2c$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ: $t = \alpha x^2 + \beta x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dt}{dx} = 2\alpha x + \beta$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$v = \frac{1}{2\alpha x + \beta}$ મળે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
$v = (2\alpha x + \beta)^{-1}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = -1(2\alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2\alpha) = -\frac{2\alpha}{(2\alpha x + \beta)^2}$.
આ કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = v \cdot \left( -\frac{2\alpha}{(2\alpha x + \beta)^2} \right)$.
$v = \frac{1}{2\alpha x + \beta}$ હોવાથી,$v^2 = \frac{1}{(2\alpha x + \beta)^2}$.
તેથી,$a = v \cdot (-2\alpha \cdot v^2) = -2\alpha v^3$.
પ્રતિપ્રવેગ એ ઋણ પ્રવેગનું મૂલ્ય છે,જે $2\alpha v^3$ થાય.

(A) ધારો કે $t$ સમય પછી પદાર્થ $A$ નું સ્થાનાંતર $s_A$ છે અને પદાર્થ $B$ નું સ્થાનાંતર $s_B$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_A = 0$ અને પ્રવેગ $a$ છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + (1/2)at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$s_A = (1/2)at^2$ મળે.
પદાર્થ $B$ માટે,વેગ અચળ $v$ છે. તેથી,$s_B = vt$.
બંને પદાર્થો $t$ સમય પછી એક જ સ્થાને મળે છે,તેથી તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોવું જોઈએ: $s_A = s_B$.
તેથી,$(1/2)at^2 = vt$.
બંને બાજુને $t$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારીને),આપણને $(1/2)at = v$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = 2v/a$ મળે છે.

(D) ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ),$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે,અને $s$ એ અટકવા માટે કાપેલું અંતર છે.
$0 = u^2 - 2as$ હોવાથી,આપણને $s = \frac{u^2}{2a}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ છે,તેથી અટકવા માટેનું અંતર $s$ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $s \propto u^2$.
તેથી,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2$.
અહીં $u_1 = 50 \, km/hr$,$s_1 = 6 \, m$,અને $u_2 = 100 \, km/hr$ આપેલ છે.
$\frac{s_2}{6} = \left( \frac{100}{50} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
$s_2 = 4 \times 6 = 24 \, m$.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 200\; m/s$
અંતિમ વેગ $v = 100\; m/s$
અંતર $s = 10\; cm = 0.1\; m$
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$
$a = \frac{v^2 - u^2}{2s}$
$a = \frac{(100)^2 - (200)^2}{2 \times 0.1}$
$a = \frac{10000 - 40000}{0.2} = \frac{-30000}{0.2} = -150000\; m/s^2$
પ્રતિપ્રવેગ એ ઋણ પ્રવેગનું મૂલ્ય છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $= 15 \times 10^4\; m/s^2$.

(A) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
અહીં પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0\,m/s$ છે.
પ્રવેગ $a = 8\,m/s^2$ અને સમય $n = 5$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_5 = 0 + \frac{8}{2}(2 \times 5 - 1)$
$S_5 = 4 \times (10 - 1)$
$S_5 = 4 \times 9 = 36\,m$.
આમ,$5^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર $36\,m$ છે.

(C) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 - 2as$.
કાર અટકી જાય છે,તેથી અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય.
તેથી,$0 = u^2 - 2as$,જે દર્શાવે છે કે $s = \frac{u^2}{2a}$.
આનો અર્થ એ છે કે અટકવા માટેનું અંતર $s$ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $s \propto u^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u_1 = V$ અને અટકવા માટેનું અંતર $s_1 = 20 \ m$ છે.
જ્યારે વેગ બમણો થાય છે,ત્યારે $u_2 = 2V$ થાય.
તેથી,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2 = \left( \frac{2V}{V} \right)^2 = 4$.
આમ,$s_2 = 4 \times s_1 = 4 \times 20 \ m = 80 \ m$.

(A) પદાર્થે કાપેલું અંતર $x$ એ વેગના સમયની સાપેક્ષે સંકલન દ્વારા મળે છે: $x = \int_{t_1}^{t_2} v \, dt$.
અહીં $v = kt$ અને $k = 2 \, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી આપણે $t = 0$ થી $t = 3 \, s$ સુધી સંકલન કરીશું.
$x = \int_{0}^{3} 2t \, dt$.
$x = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^3$.
$x = [t^2]_0^3 = 3^2 - 0^2 = 9 \, m$.
આમ,પદાર્થે કાપેલું અંતર $9 \, m$ છે.

(C) આપેલ પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = bt$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} bt \, dt$
$v - v_0 = \frac{1}{2}bt^2$
$v = v_0 + \frac{1}{2}bt^2$
હવે,$v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,સ્થાનાંતર $s$ શોધવા માટે સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{s} ds = \int_{0}^{t} (v_0 + \frac{1}{2}bt^2) dt$
$s = [v_0t + \frac{1}{2}b \cdot \frac{t^3}{3}]_0^t$
$s = v_0t + \frac{1}{6}bt^3$.

(D) કણનો વેગ $v = \frac{ds}{dt} = at$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $4 \, s$ માં કાપેલું અંતર $s$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં $t = 0$ થી $t = 4 \, s$ સુધી સંકલન કરીશું:
$s = \int_{0}^{4} v \, dt = \int_{0}^{4} at \, dt$
$s = a \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$s = a \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = a \left( \frac{16}{2} \right) = 8a$.
આમ,કાપેલું અંતર $8a$ છે.

(D) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
અંતિમ વેગ $v = 0$ હોવાથી,$0 = u^2 - 2as$,જેનો અર્થ છે કે $s = \frac{u^2}{2a}$.
અહીં પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી,સ્થિર થવા માટે કાપેલું અંતર $s$ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $s \propto u^2$.
તેથી,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2$.
અહીં $u_1 = 30 \, km/hr$,$s_1 = 8 \, m$,અને $u_2 = 60 \, km/hr$ આપેલ છે:
$\frac{s_2}{8} = \left( \frac{60}{30} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
$s_2 = 4 \times 8 = 32 \, m$.

(A) કણનું સ્થાન $x = 40 + 12t - t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનમાં થતો ફેરફાર છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(40 + 12t - t^3) = 12 - 3t^2$.
કણ સ્થિર થાય ત્યારે તેનો વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $v = 0$.
$12 - 3t^2 = 0 \implies 3t^2 = 12 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \text{ s}$ (કારણ કે સમય ઋણ ન હોઈ શકે).
$t = 0$ થી $t = 2$ સુધી કણ દ્વારા કાપેલું અંતર સ્થાનમાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$x(0) = 40 + 12(0) - (0)^3 = 40 \text{ m}$.
$x(2) = 40 + 12(2) - (2)^3 = 40 + 24 - 8 = 56 \text{ m}$.
કાપેલું અંતર = $x(2) - x(0) = 56 - 40 = 16 \text{ m}$.

(C) આપેલ છે: $t = 0$ સમયે,વેગ $v = 0$.
પ્રવેગ $f = f_0(1 - t/T)$.
જ્યારે $f = 0$ થાય ત્યારે,$0 = f_0(1 - t/T)$. $f_0$ અચળ હોવાથી,$1 - t/T = 0$,જેનો અર્થ છે કે $t = T$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $f = \frac{dv}{dt}$,તેથી $dv = f dt$.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t = T$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{v_x} dv = \int_{0}^{T} f_0(1 - t/T) dt$
$v_x = f_0 \left[ t - \frac{t^2}{2T} \right]_{0}^{T}$
$v_x = f_0 \left( T - \frac{T^2}{2T} \right) = f_0 \left( T - \frac{T}{2} \right) = \frac{1}{2} f_0 T$.

(C) આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
બળ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a$ પણ અચળ રહેશે.
સમય $t$ માં કાપેલું અંતર $S$ ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા મળે છે.
$t = 10 \ s$ માટે,અંતર $S_1 = 0(10) + \frac{1}{2}a(10)^2 = 50a$.
$t = 20 \ s$ માટે,અંતર $S_2 = 0(20) + \frac{1}{2}a(20)^2 = 200a$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$S_2 = 200a = 4(50a) = 4S_1$.
તેથી,$S_2 = 4S_1$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 20 \, m/s$,અને અંતર $s = 135 \, m$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(20)^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 135$
$400 - 100 = 270a$
$300 = 270a$
$a = \frac{300}{270} = \frac{10}{9} \, m/s^2$.
હવે,$t$ શોધવા માટે $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$20 = 10 + (\frac{10}{9})t$
$10 = (\frac{10}{9})t$
$t = 9 \, s$.

(A) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કણ દ્વારા કાપેલું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$,પ્રવેગ $a = \frac{4}{3} \ m/s^2$,અને સમય $n = 3 \ s$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_3 = 0 + \frac{4/3}{2}(2(3) - 1)$
$S_3 = \frac{4}{6}(6 - 1)$
$S_3 = \frac{2}{3}(5)$
$S_3 = \frac{10}{3} \ m$.
તેથી,ત્રીજી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $\frac{10}{3} \ m$ છે.

(A) આપેલ સ્થાનનું સમીકરણ: $x = (t + 5)^{-1}$ ... $(i)$
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t + 5)^{-1} = -(t + 5)^{-2}$ ... (ii)
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[-(t + 5)^{-2}] = 2(t + 5)^{-3}$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) પરથી,આપણી પાસે $v = -(t + 5)^{-2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v^{3/2} = [-(t + 5)^{-2}]^{3/2} = -(t + 5)^{-3}$.
આ કિંમત સમીકરણ (iii) માં મૂકતા,આપણને $a = -2v^{3/2}$ મળે છે.
આમ,પ્રવેગ એ $(velocity)^{3/2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) આપેલ સ્થાનનું સમીકરણ: $x = 8 + 12t - t^3$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(8 + 12t - t^3) = 12 - 3t^2$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે: $12 - 3t^2 = 0 \implies 3t^2 = 12 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \, s$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12 - 3t^2) = -6t$.
$t = 2 \, s$ સમયે,પ્રવેગ $a = -6(2) = -12 \, m/s^2$ થાય.
પ્રતિપ્રવેગ એ ઋણ પ્રવેગનું મૂલ્ય છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ = $12 \, m/s^2$.

(B) કણનો વેગ $v = At + Bt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,$ds = (At + Bt^2) dt$ થાય.
$t = 1 \ s$ અને $t = 2 \ s$ ની વચ્ચે કપાયેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું:
$s = \int_{1}^{2} (At + Bt^2) dt$
$s = \left[ \frac{At^2}{2} + \frac{Bt^3}{3} \right]_{1}^{2}$
$s = \left( \frac{A(2)^2}{2} + \frac{B(2)^3}{3} \right) - \left( \frac{A(1)^2}{2} + \frac{B(1)^3}{3} \right)$
$s = \left( 2A + \frac{8B}{3} \right) - \left( \frac{A}{2} + \frac{B}{3} \right)$
$s = (2A - \frac{A}{2}) + (\frac{8B}{3} - \frac{B}{3})$
$s = \frac{3}{2}A + \frac{7}{3}B$
અંતરાલ $[1, 2]$ માં વેગની દિશા બદલાતી ન હોવાથી,અંતર એ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું જ થશે.

(C) ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ,$a$ એ પ્રતિપ્રવેગ અને $s$ એ અંતર છે.
ગોળી સ્થિર થાય છે,તેથી $v = 0$.
તેથી,$0 = u^2 - 2as$,જેનો અર્થ છે કે $u^2 = 2as$.
ધારી લઈએ કે સમાન બ્લોક માટે પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ છે,તેથી $u^2 \propto s$ મળે.
આના પરથી ગુણોત્તર મળે: $\frac{u_2^2}{u_1^2} = \frac{s_2}{s_1}$.
અહીં $u_1 = 200 \, cm/s$,$s_1 = 4 \, cm$,અને $s_2 = 9 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{u_2^2}{200^2} = \frac{9}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{u_2}{200} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
$u_2 = 200 \times \frac{3}{2} = 300 \, cm/s$.

(D) ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ $S$ અંતર માટે,અંતિમ વેગ $2u$ છે:
$(2u)^2 = u^2 + 2aS \Rightarrow 4u^2 = u^2 + 2aS \Rightarrow 2aS = 3u^2$.
હવે,કુલ $2S$ અંતર માટે,ધારો કે અંતિમ વેગ $v'$ છે:
$(v')^2 = u^2 + 2a(2S) = u^2 + 2(2aS)$.
સમીકરણમાં $2aS = 3u^2$ મૂકતા:
$(v')^2 = u^2 + 2(3u^2) = u^2 + 6u^2 = 7u^2$.
તેથી,$v' = \sqrt{7} u$.

(D) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ધારો કે સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
$n$ સેકન્ડ પછી વેગ $\upsilon = u + an = 0 + an$ થાય,તેથી $a = \frac{\upsilon}{n}$.
$n$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_n = \frac{1}{2}an^2$ છે.
$(n - 2)$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_{n-2} = \frac{1}{2}a(n - 2)^2$ છે.
છેલ્લી બે સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $\Delta S = S_n - S_{n-2}$ છે.
$\Delta S = \frac{1}{2}an^2 - \frac{1}{2}a(n - 2)^2 = \frac{a}{2}[n^2 - (n - 2)^2]$.
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta S = \frac{a}{2}[n - (n - 2)][n + (n - 2)] = \frac{a}{2}[2][2n - 2] = a(2n - 2)$.
$a = \frac{\upsilon}{n}$ કિંમત મૂકતા:
$\Delta S = \frac{\upsilon}{n}(2n - 2) = \frac{2\upsilon(n - 1)}{n}$.

(B) ધારો કે પ્રવેગ $a$ છે. બિંદુ $A$ થી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $t$ સમય સુધી $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરીને $B$ બિંદુ પર પહોંચે છે.
$B$ પર વેગ $v = at$ છે.
અંતર $S_{AB} = \frac{1}{2}at^2$.
$B$ પર,પ્રવેગ $-a$ બને છે. બિંદુ ત્યાં સુધી ગતિ કરે છે જ્યાં સુધી તેનો વેગ $C$ બિંદુ પર શૂન્ય ન થાય.
$v_C = v_B + (-a)t'$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_C = 0$ અને $v_B = at$,આપણને $0 = at - at'$ મળે છે,તેથી $t' = t$.
અંતર $S_{BC} = v_B t' - \frac{1}{2}at'^2 = (at)t - \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$.
કુલ અંતર $S_{AC} = S_{AB} + S_{BC} = \frac{1}{2}at^2 + \frac{1}{2}at^2 = at^2$.
$C$ સુધી પહોંચવા માટેનો કુલ સમય $t + t = 2t$ છે.
હવે,બિંદુ $C$ થી $A$ તરફ $a$ પ્રવેગ હેઠળ પાછું ફરે છે,જ્યાં $C$ પર તેનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે.
$S_{AC} = \frac{1}{2}at_1^2$,જ્યાં $t_1$ એ પાછા ફરવા માટેનો સમય છે.
$at^2 = \frac{1}{2}at_1^2 \implies t_1^2 = 2t^2 \implies t_1 = \sqrt{2}t$.
કુલ સમય $T = 2t + t_1 = 2t + \sqrt{2}t = (2 + \sqrt{2})t$.

(B) ધારો કે કણ $u = 6\;m/s$ ના વેગ સાથે જમણી તરફ ગતિ કરે છે. પ્રતિપ્રવેગ $a = 2\;m/s^2$ ને કારણે,$t_1$ સમય પછી તેનો વેગ શૂન્ય થાય છે.
$v = u - at$ પરથી,$0 = 6 - 2t_1$,જે $t_1 = 3\;s$ આપે છે.
પ્રતિપ્રવેગ $4\;s$ સુધી કાર્યરત હોવાથી,કણ બાકીના $1\;s$ $(4\;s - 3\;s = 1\;s)$ માટે વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવેગિત થાય છે.
પ્રથમ $3\;s$ માં કાપેલું અંતર ($O$ થી $A$): $S_{OA} = ut_1 - \frac{1}{2}at_1^2 = 6(3) - \frac{1}{2}(2)(3)^2 = 18 - 9 = 9\;m$.
પછીના $1\;s$ માં કાપેલું અંતર ($A$ થી $B$): $S_{AB} = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 1\;m$.
$O$ ની સાપેક્ષે $B$ નું સ્થાન: $S_{OB} = S_{OA} - S_{AB} = 9 - 1 = 8\;m$.
$B$ પર વેગ (પાછા ફરતી વખતે): $v_B = at = 2(1) = 2\;m/s$.
$B$ થી આગળ,કણ $8\;m$ અંતર કાપવા માટે $2\;m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
$B$ થી $O$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય: $t_{BO} = \frac{S_{OB}}{v_B} = \frac{8}{2} = 4\;s$.
$O$ પર પાછા ફરવા માટે લાગતો કુલ સમય: $T = t_{OA} + t_{AB} + t_{BO} = 3 + 1 + 4 = 8\;s$.

(D) આપેલ છે કે પ્રતિપ્રવેગ $a = -\alpha x^2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v \frac{dv}{dx} = -\alpha x^2$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$v \, dv = -\alpha x^2 \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રારંભિક વેગ $v_0$ થી અંતિમ વેગ $0$ અને સ્થાન $0$ થી $S$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{v_0}^{0} v \, dv = -\alpha \int_{0}^{S} x^2 \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય લેતા:
$[\frac{v^2}{2}]_{v_0}^{0} = -\alpha [\frac{x^3}{3}]_{0}^{S}$.
$0 - \frac{v_0^2}{2} = -\alpha (\frac{S^3}{3})$.
$\frac{v_0^2}{2} = \frac{\alpha S^3}{3}$.
$S$ માટે ઉકેલતા,આપણને $S^3 = \frac{3v_0^2}{2\alpha}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $S = (\frac{3v_0^2}{2\alpha})^{1/3}$.

(A) ધારો કે $y$ એ સ્ટ્રીટ લેમ્પના પાયાથી માણસનું અંતર છે અને $x$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરતા,લેમ્પની ઊંચાઈ અને પાયાથી કુલ અંતરનો ગુણોત્તર એ માણસની ઊંચાઈ અને તેના પડછાયાની લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$\frac{3h}{x + y} = \frac{h}{x}$
$3x = x + y$
$2x = y$
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt}$
આપેલ છે કે માણસ $v$ જેટલી અચળ ઝડપે દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = v$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = \frac{v}{2}$.
પડછાયાની લંબાઈ વધવાનો દર લેમ્પથી અંતર પર આધારિત નથી,તેથી $10h$ અંતરે પણ તે $v/2$ જ રહેશે.

(B) આપેલ છે કે પ્રવેગમાં થતો ફેરફારનો દર અચળ છે: $\frac{da}{dt} = 2 m/s^3$.
પ્રારંભિક શરતો $a(0) = 0$ સાથે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$a = \int 2 dt = 2t$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dv}{dt} = 2t$ મળે.
પ્રારંભિક વેગ $v(0) = 0$ સાથે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$v = \int 2t dt = t^2$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = t^2$ મળે.
$t = 0$ થી $t = 3 s$ સુધી કપાયેલ અંતર $x$ શોધવા માટે સંકલન કરતા:
$x = \int_{0}^{3} t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - 0 = \frac{27}{3} = 9 m$.

(B) કણનો પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - t) = 2t - 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કણનો પ્રવેગ અને વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય ત્યારે કણ પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે,એટલે કે $a \cdot v < 0$.
$v$ અને $a$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$(2t - 1)(t^2 - t) < 0$
$(2t - 1)t(t - 1) < 0$
$t \ge 0$ હોવાથી,$t > 0$ માટે $t(2t - 1)(t - 1) < 0$ પદની નિશાની તપાસતા:
$1$. $0 < t < 1/2$ માટે: $t > 0$,$(2t - 1) < 0$,અને $(t - 1) < 0$. ગુણાકાર $(+)(-)(-) = (+)$ થાય,જે $> 0$ છે.
$2$. $1/2 < t < 1$ માટે: $t > 0$,$(2t - 1) > 0$,અને $(t - 1) < 0$. ગુણાકાર $(+)(+)(-) = (-)$ થાય,જે $< 0$ છે.
$3$. $t > 1$ માટે: $t > 0$,$(2t - 1) > 0$,અને $(t - 1) > 0$. ગુણાકાર $(+)(+)(+) = (+)$ થાય,જે $> 0$ છે.
તેથી,કણ $1/2 < t < 1$ સમયગાળા દરમિયાન પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે.

(A) કણ સંતુલન સ્થાન $E$ તરફ નિર્દેશિત અચળ બળ $F$ હેઠળ ગતિ કરે છે. આ સરળ આવર્ત ગતિ નથી,પરંતુ અચળ પ્રવેગી ગતિનો કિસ્સો છે.
જ્યારે કણ $E$ થી $A$ અંતરે હોય,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m}$ છે.
શરૂઆતના સ્થાનથી $E$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. અહીં,$s = A$,$u = 0$,અને $a = \frac{F}{m}$ છે.
$A = 0 + \frac{1}{2} \left(\frac{F}{m}\right) t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{2Am}{F} \implies t_1 = \sqrt{\frac{2Am}{F}}$.
આ અંતિમ સ્થાનથી સંતુલન સ્થાન $E$ સુધી મુસાફરી કરવા માટેનો સમય છે. સંમિતિને કારણે,કણ $E$ ની બીજી બાજુએ સમાન અંતર $A$ કાપશે અને તે જ સમય $t_1$ માં $E$ પર પાછો આવશે,અને પછી બીજા $2t_1$ સમયમાં શરૂઆતના સ્થાન પર પાછો આવશે.
કુલ આવર્તકાળ $T = 4 \times t_1 = 4\sqrt{\frac{2Am}{F}}$ છે.

(D) કણ $E$ તરફ લાગતા અચળ બળ $F$ હેઠળ ગતિ કરે છે. ધારો કે $E$ એ $x = 0$ પર છે. બળ $x > 0$ માટે $F = -F$ અને $x < 0$ માટે $F = +F$ છે.
$x = -A$ થી શરૂ કરીને પ્રારંભિક વેગ $v = 0$ સાથે,પ્રવેગ $a = F/m$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $x(t) = -A + \frac{1}{2}at^2 = -A + \frac{F}{2m}t^2$ છે.
$x = -A/2$ પર,$-A/2 = -A + \frac{F}{2m}t_1^2$,જે આપે છે $\frac{A}{2} = \frac{F}{2m}t_1^2$,તેથી $t_1 = \sqrt{\frac{mA}{F}}$.
$x = -A/2$ પર વેગ $v_1 = at_1 = \frac{F}{m} \sqrt{\frac{mA}{F}} = \sqrt{\frac{FA}{m}}$ છે.
$x = -A/2$ થી $x = 0$ સુધી,કણ પ્રારંભિક વેગ $v_1$ અને પ્રવેગ $a = F/m$ સાથે ગતિ કરે છે.
$x = v_1 t_2 + \frac{1}{2}at_2^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$A/2 = \sqrt{\frac{FA}{m}} t_2 + \frac{F}{2m}t_2^2$.
ધારો કે $k = \sqrt{\frac{mA}{F}}$. તો $A/2 = \frac{A}{k} t_2 + \frac{A}{2k^2}t_2^2$.
$A/2$ વડે ભાગતા,$1 = \frac{2}{k} t_2 + \frac{1}{k^2}t_2^2$,અથવા $t_2^2 + 2kt_2 - k^2 = 0$.
$t_2$ માટે ઉકેલતા,$t_2 = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 + 4k^2}}{2} = k(\sqrt{2}-1)$.
કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = k + k(\sqrt{2}-1) = k\sqrt{2} = \sqrt{\frac{2mA}{F}}$.
આ પરિણામ વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) આપેલ વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ છે.
ચલને અલગ પાડતા:
$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$.
$t=0$ સમયે $x=0$ ની પ્રારંભિક શરત સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \alpha dt$.
સંકલન ઉકેલતા:
$[2x^{1/2}]_{0}^{x} = \alpha [t]_{0}^{t}$.
આથી:
$2\sqrt{x} = \alpha t$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4x = \alpha^2 t^2$.
તેથી,સ્થાનાંતર $x$ એ $t^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે:
$x \propto t^2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ $v = \frac{dx}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $dx = v \, dt$.
$t = 0$ સમયે $x = 0$ ની પ્રારંભિક શરત સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$x = \int_{0}^{t} v \, dt = \int_{0}^{t} (v_0 + gt + ft^2) \, dt$.
સંકલન કરતા:
$x = \left[ v_0 t + \frac{gt^2}{2} + \frac{ft^3}{3} \right]_{0}^{t} = v_0 t + \frac{gt^2}{2} + \frac{ft^3}{3}$.
એકમ સમય $(t = 1)$ પર સ્થાનાંતર શોધવા માટે,સમીકરણમાં $t = 1$ મૂકતા:
$x = v_0(1) + \frac{g(1)^2}{2} + \frac{f(1)^3}{3} = v_0 + \frac{g}{2} + \frac{f}{3}$.

(C) આપેલ પ્રતિપ્રવેગનું સમીકરણ: $\frac{dv}{dt} = - 2.5\sqrt{v}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dv}{\sqrt{v}} = - 2.5 \ dt$.
બંને બાજુ પ્રારંભિક ઝડપ $v = 6.25 \ m/s$ થી અંતિમ ઝડપ $v = 0 \ m/s$ સુધી સમય $t$ માટે સંકલન કરતા:
$\int_{6.25}^{0} v^{-1/2} \ dv = \int_{0}^{t} - 2.5 \ dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$[2\sqrt{v}]_{6.25}^{0} = - 2.5t$.
સીમાઓ મૂકતા:
$2(\sqrt{0} - \sqrt{6.25}) = - 2.5t$.
$2(0 - 2.5) = - 2.5t$.
$-5 = - 2.5t$.
$t = \frac{5}{2.5} = 2 \ s$.

(D) ધારો કે દરેક ટ્રેનની ઝડપ $u = 40\ m/s$ છે. તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર $d = 2.0\ km = 2000\ m$ છે.
અથડામણ ટાળવા માટે,દરેક ટ્રેને $s = d/2 = 1000\ m$ અંતર કાપ્યા પછી સ્થિર થવું આવશ્યક છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ),$u = 40\ m/s$,અને $s = 1000\ m$ છે:
$0 = (40)^2 + 2a(1000)$
$0 = 1600 + 2000a$
$2000a = -1600$
$a = -1600 / 2000 = -0.8\ m/s^2$.
આમ,પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય $0.8\ m/s^2$ છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x^3 = t^3 + 1$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3x^2 \frac{dx}{dt} = 3t^2$
$x^2 v = t^2$,જ્યાં $v = \frac{dx}{dt}$ એ વેગ છે.
$v = \frac{t^2}{x^2}$.
હવે $x^2 v = t^2$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} v + x^2 \frac{dv}{dt} = 2t$
કારણ કે $a = \frac{dv}{dt}$ એ પ્રવેગ છે,તેથી:
$2x v^2 + x^2 a = 2t$
$v = \frac{t^2}{x^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$2x (\frac{t^2}{x^2})^2 + x^2 a = 2t$
$2x \frac{t^4}{x^4} + x^2 a = 2t$
$x^2 a = 2t - \frac{2t^4}{x^3}$
$x^3 = t^3 + 1$ હોવાથી,$t^3 = x^3 - 1$ મળે:
$x^2 a = 2t - \frac{2t(t^3)}{x^3} = 2t - \frac{2t(x^3 - 1)}{x^3} = 2t - 2t + \frac{2t}{x^3} = \frac{2t}{x^3}$
$a = \frac{2t}{x^3 \cdot x^2} = \frac{2t}{x^5}$.

(A) કુલ સમય ઘટાડવા માટે,ટ્રેને મહત્તમ ઝડપ $(v_{max} = 10 \ m/s)$ સુધી પહોંચવા માટે તેના મહત્તમ દર $(a_1 = 10 \ m/s^2)$ પર પ્રવેગિત થવું જોઈએ અને સ્થિર થવા માટે તેના મહત્તમ દર $(a_2 = 5 \ m/s^2)$ પર પ્રતિપ્રવેગિત થવું જોઈએ.
પ્રવેગિત થવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$: $v = u + a_1 t_1 \implies 10 = 0 + 10 t_1 \implies t_1 = 1 \ s$.
પ્રવેગ દરમિયાન કાપેલું અંતર $(d_1)$: $d_1 = \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \ m$.
પ્રતિપ્રવેગ માટે લાગતો સમય $(t_2)$: $v = u - a_2 t_2 \implies 0 = 10 - 5 t_2 \implies t_2 = 2 \ s$.
પ્રતિપ્રવેગ દરમિયાન કાપેલું અંતર $(d_2)$: $d_2 = v_{max} t_2 - \frac{1}{2} a_2 t_2^2 = 10 \times 2 - \frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2 = 20 - 10 = 10 \ m$.
અચળ ઝડપે કાપવાનું બાકી રહેલું અંતર $(d_3)$: $d_3 = 135 - (d_1 + d_2) = 135 - (5 + 10) = 120 \ m$.
અચળ ઝડપે લાગતો સમય $(t_3)$: $t_3 = \frac{d_3}{v_{max}} = \frac{120}{10} = 12 \ s$.
કુલ સમય $(T)$: $T = t_1 + t_2 + t_3 = 1 + 2 + 12 = 15 \ s$.

(B) સ્થાનાંતર $x = \frac{k}{b^2}(1 - e^{-bt})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{k}{b^2}(1 - e^{-bt})] = \frac{k}{b^2} [0 - (-b)e^{-bt}] = \frac{k}{b^2} (b e^{-bt}) = \frac{k}{b} e^{-bt}$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{k}{b} e^{-bt}] = \frac{k}{b} (-b) e^{-bt} = -k e^{-bt}$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $-k e^{-bt}$ છે.