Position, Path Length and Displacement Questions in Gujarati

(B) છોકરો ખૂણા $A$ થી $B$ અને પછી $C$ પર જાય છે.
કાપેલું અંતર એ વાસ્તવિક પથની લંબાઈ છે: $Distance = AB + BC = 400 \, m + 300 \, m = 700 \, m$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $A$ અને અંતિમ બિંદુ $C$ વચ્ચેનું ટૂંકું અંતર છે:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(AB)^2 + (BC)^2} = \sqrt{(400)^2 + (300)^2} = \sqrt{160000 + 90000} = \sqrt{250000} = 500 \, m$.
કારણ કે છોકરો ખૂણા $B$ પર દિશા બદલે છે,તેનો વેગ સદિશ બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ સમાન નથી.
તેથી,વિધાન 'તેનું સ્થાનાંતર $700 \, m$ છે' ખોટું છે.

(A) સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = 3t^2 \hat{i} + 4t^2 \hat{j} + 7 \hat{k}$ છે.
$t = 0 \, s$ સમયે,પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_1 = 3(0)^2 \hat{i} + 4(0)^2 \hat{j} + 7 \hat{k} = 7 \hat{k}$ છે.
$t = 10 \, s$ સમયે,અંતિમ સ્થાન $\vec{r}_2 = 3(10)^2 \hat{i} + 4(10)^2 \hat{j} + 7 \hat{k} = 300 \hat{i} + 400 \hat{j} + 7 \hat{k}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (300 \hat{i} + 400 \hat{j} + 7 \hat{k}) - (7 \hat{k}) = 300 \hat{i} + 400 \hat{j}$ છે.
કણ સુરેખ પથ પર ગતિ કરતો હોવાથી,કાપેલું અંતર એ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું જ થાય.
અંતર $= |\Delta \vec{r}| = \sqrt{(300)^2 + (400)^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \, m$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક બિંદુ $A$ છે,ઉત્તર દિશામાં મુસાફરી કર્યા પછીનું બિંદુ $B$ છે,અને પૂર્વ દિશામાં મુસાફરી કર્યા પછીનું અંતિમ બિંદુ $C$ છે.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $A$ થી અંતિમ બિંદુ $C$ સુધીનું સીધું અંતર છે,જે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ નો કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
અહીં $AB = 10\, km$ અને $BC = 20\, km$ આપેલ છે.
$AC = \sqrt{10^2 + 20^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500}$
$AC = 10\sqrt{5} \approx 22.36\, km$.

(D) એક-પરિમાણીય ગતિ એટલે એવી ગતિ જેમાં પદાર્થ એક જ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે,જ્યાં કોઈપણ સમયે તેનું સ્થાન દર્શાવવા માટે માત્ર એક જ યામની જરૂર પડે છે.
$1$. વિમાનનું લેન્ડિંગ ત્રિ-પરિમાણીય ગતિ છે.
$2$. પૃથ્વીનું સૂર્યની આસપાસ ફરવું એ દ્વિ-પરિમાણીય ગતિ (કક્ષીય ગતિ) છે.
$3$. ગતિમાન ટ્રેનના પૈડાંની ગતિમાં સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ બંનેનો સમાવેશ થાય છે,જે જટિલ અને બહુ-પરિમાણીય છે.
$4$. સીધા પાટા પર દોડતી ટ્રેન એક જ અક્ષ પર ગતિ કરે છે,તેથી તે એક-પરિમાણીય ગતિ છે.

(C) સ્થાનાંતર એટલે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર,જ્યારે અંતર એટલે પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથ લંબાઈ.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર સીધી રેખા હોય છે,તેથી સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય હંમેશા કાપેલા કુલ અંતર કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું જ હોય છે $(|\text{displacement}| \le \text{distance})$.
તેથી,સ્થાનાંતર અને અંતરનો ગુણોત્તર હંમેશા $le 1$ હોય છે.

(B) સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ છે જે પદાર્થના સ્થાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે કણ $+x$ દિશામાં $5 \ m$ અંતર કાપે છે,તેથી તેનું પ્રારંભિક સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(5, 0, 0)$ લઈ શકાય.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (5 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) - (0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 5 \hat{i} \ m$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કણ વર્તુળાકાર ચાપ પર બિંદુ $A(r, 0)$ થી બિંદુ $B(0, r)$ સુધી ગતિ કરે છે.
પથલંબાઈ એ પરિઘ પર કાપેલું અંતર છે. કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો $90^\circ$ (અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન) હોવાથી,પથલંબાઈ $s = r\theta = r \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi r}{2}$ થાય.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $A$ અને અંતિમ બિંદુ $B$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે. સદિશ બાદબાકીનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r}_A = r\hat{i}$
$\vec{r}_B = r\hat{j}$
સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = r\hat{j} - r\hat{i}$.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{d}| = \sqrt{(-r)^2 + (r)^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$ થાય.
આમ,પથલંબાઈ $\frac{\pi r}{2}$ અને સ્થાનાંતર $r\sqrt{2}$ છે.

(C) જ્યારે એક કાર બીજી કારને ઓવરટેક કરે છે,ત્યારે પસાર થવાની ચોક્કસ ક્ષણે,બંને કાર હાઇવે પર એક જ બિંદુ પર હોય છે.
કારને બિંદુવત કણો તરીકે ગણવામાં આવતી હોવાથી,તે ક્ષણે તેમના સ્થાન $x_1$ અને $x_2$ માટે $x_1 = x_2$ હોવું જરૂરી છે.
ઝડપ અને પ્રવેગ એ સ્વતંત્ર ચલો છે જે વાહનોની ગતિશીલતા પર આધાર રાખે છે અને ઓવરટેક કરવા માટે તેમનું સમાન હોવું જરૂરી નથી.
તેથી,એકમાત્ર વિધાન જે સાચું હોવું જોઈએ તે એ છે કે તે ક્ષણે તેમના સ્થાન સમાન છે.

(B) $1$. સંપૂર્ણ સ્થિરતા કે ગતિનો ખ્યાલ અવલોકનકારના સંદર્ભ ફ્રેમ પર આધારિત છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. અંતર એ કાપેલા કુલ પથની લંબાઈ છે,જ્યારે સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. જો પદાર્થ દિશા બદલ્યા વગર સીધી રેખામાં ગતિ કરે,તો અંતર અને સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય સમાન હોય છે. પરંતુ,જો પદાર્થ દિશા બદલે,તો અંતર એ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતાં વધારે હોય છે. તેથી,સ્થાનાંતર 'હંમેશા' અંતર જેટલું જ હોય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
$3$. સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય હંમેશા કાપેલા અંતર જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોય છે $(|displacement| \leq distance)$,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$4$. તાત્ક્ષણિક ઝડપ એ તાત્ક્ષણિક વેગનું મૂલ્ય છે,તેથી વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
$5$. આમ,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(D) સ્થાનાંતર $\Delta r$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ $r_f$ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $r_i$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે $r(t) = 3 \hat{i} + 4t \hat{j} - t \hat{k}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$r_1 = 3 \hat{i} + 4(1) \hat{j} - (1) \hat{k} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k}$.
$t = 3 \ s$ સમયે,$r_3 = 3 \hat{i} + 4(3) \hat{j} - (3) \hat{k} = 3 \hat{i} + 12 \hat{j} - 3 \hat{k}$.
સ્થાનાંતર $\Delta r = r_3 - r_1 = (3 \hat{i} + 12 \hat{j} - 3 \hat{k}) - (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$.
$\Delta r = (3-3) \hat{i} + (12-4) \hat{j} + (-3 - (-1)) \hat{k} = 0 \hat{i} + 8 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
આમ,$8 \hat{j} - 2 \hat{k}$ એ વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કણનું સ્થાન $x(t) = 2 + t - 3t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. સ્થાનાંતર:
$t = 0$ થી $t = 1$ ના અંતરાલમાં સ્થાનાંતર $\Delta x = x(1) - x(0)$ છે.
$x(1) = 2 + 1 - 3(1)^2 = 0 \, m$.
$x(0) = 2 + 0 - 3(0)^2 = 2 \, m$.
સ્થાનાંતર $\Delta x = 0 - 2 = -2 \, m$.
$2$. અંતર:
કણનો વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = 1 - 6t$ છે.
જ્યારે $v(t) = 0$ થાય,ત્યારે કણ દિશા બદલે છે,જે $t = \frac{1}{6} \, s$ પર થાય છે.
કારણ કે $t = \frac{1}{6} \, s$ એ $[0, 1]$ અંતરાલની અંદર છે,તેથી કુલ અંતર એ $[0, 1/6]$ અને $[1/6, 1]$ અંતરાલોમાં નિરપેક્ષ સ્થાનાંતરનો સરવાળો છે.
અંતર $d = |x(1/6) - x(0)| + |x(1) - x(1/6)|$.
$x(1/6) = 2 + 1/6 - 3(1/6)^2 = 2 + 1/6 - 3/36 = 2 + 1/6 - 1/12 = 2 + 1/12 = 25/12 \, m$.
$|x(1/6) - x(0)| = |25/12 - 2| = |1/12| = 1/12 \, m$.
$|x(1) - x(1/6)| = |0 - 25/12| = 25/12 \, m$.
કુલ અંતર $d = 1/12 + 25/12 = 26/12 = 13/6 \approx 2.167 \, m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,અંતર $2.1 \, m$ છે.
આમ,સ્થાનાંતર $-2 \, m$ અને અંતર $2.1 \, m$ છે.

(C) કાપેલું અંતર એ કણ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથ લંબાઈ છે,જ્યારે સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
કાપેલું અંતર સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું થાય તે માટે,કણે પોતાની દિશા બદલ્યા વગર સીધી રેખામાં ગતિ કરવી જોઈએ.
જો કણ અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે,તો તેનો અર્થ એ છે કે તેની ઝડપ અને દિશા (સીધી રેખામાં ગતિ) બંને અચળ રહે છે.
તેથી,અંતર અને સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય સમાન રહે તે માટે કણે અચળ વેગ સાથે ગતિ કરવી જરૂરી છે.

(A, B) રેલવેની બોગીનું કદ બે સ્ટેશન વચ્ચેના અંતરની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનું હોય છે. તેથી,બોગીને બિંદુવત પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય.
$(b)$ વાંદરાનું કદ વર્તુળાકાર ટ્રેકના કદની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનું હોય છે. તેથી,ટ્રેક પર વાંદરાને બિંદુવત પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય.
$(c)$ ફરતા ક્રિકેટના દડાનું કદ તે જમીન પર અથડાઈને જે અંતર કાપે છે તેની સાથે સરખાવી શકાય તેવું હોય છે. તેથી,ક્રિકેટના દડાને બિંદુવત પદાર્થ ગણી શકાય નહીં.
$(d)$ બીકરનું કદ તે ટેબલની ઊંચાઈ સાથે સરખાવી શકાય તેવું હોય છે જ્યાંથી તે નીચે પડ્યું છે. તેથી,બીકરને બિંદુવત પદાર્થ ગણી શકાય નહીં.

(B) સ્થાનાંતર એટલે કણના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર.
આપેલા કિસ્સામાં,ત્રણેય છોકરીઓ બિંદુ $P$ થી શરૂઆત કરે છે અને બિંદુ $Q$ પર પહોંચે છે.
$P$ અને $Q$ એ $R = 200 \; m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર મેદાન પર વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુઓ હોવાથી,દરેક છોકરી માટે સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય વર્તુળના વ્યાસ જેટલું થાય.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $= 2 \times R = 2 \times 200 \; m = 400 \; m$.
સ્થાનાંતર એ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું સીધું અંતર હોવાથી,તે ફક્ત ત્યારે જ વાસ્તવિક પથ લંબાઈ જેટલું હોય જ્યારે લીધેલો માર્ગ સીધી રેખા હોય.
આકૃતિ જોતા,છોકરી $B$ એ $P$ થી $Q$ સુધી સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,છોકરી $B$ માટે,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય સ્કેટિંગ કરેલા માર્ગની વાસ્તવિક લંબાઈ જેટલું છે.

(N/A) મોટરચાલક દ્વારા અનુસરવામાં આવેલ માર્ગ $500\; m$ બાજુ ધરાવતો એક નિયમિત ષટ્કોણ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે મોટરચાલક બિંદુ $P$ થી શરૂઆત કરે છે. મોટરચાલક $S$ પર ત્રીજો વળાંક લે છે.
$\therefore$ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $= PS = PV + VS = 500 + 500 = 1000\; m$.
કુલ પથ લંબાઈ $= PQ + QR + RS = 500 + 500 + 500 = 1500\; m$.
મોટરચાલક છઠ્ઠો વળાંક બિંદુ $P$ પર લે છે,જે શરૂઆતનું બિંદુ છે.
$\therefore$ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $= 0$.
કુલ પથ લંબાઈ $= PQ + QR + RS + ST + TU + UP = 6 \times 500 = 3000\; m$.
મોટરચાલક આઠમો વળાંક બિંદુ $R$ પર લે છે.
$\therefore$ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $= PR = \sqrt{PQ^2 + QR^2 + 2(PQ)(QR) \cos 60^{\circ}}$.
$= \sqrt{500^2 + 500^2 + (2 \times 500 \times 500 \times 0.5)} = \sqrt{250000 + 250000 + 250000} = \sqrt{750000} \approx 866.03\; m$.
$PQ$ સાથેનો ખૂણો $\beta$ એ $\tan \beta = \frac{500 \sin 60^{\circ}}{500 + 500 \cos 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1 + 1/2} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\beta = 30^{\circ}$.
કુલ પથ લંબાઈ $= 8 \times 500 = 4000\; m$.

વળાંક	સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય	કુલ પથ લંબાઈ
ત્રીજો	$1000\; m$	$1500\; m$
છઠ્ઠો	$0\; m$	$3000\; m$
આઠમો	$866.03\; m$ ($30^{\circ}$ ખૂણે)	$4000\; m$

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ બીજા પદાર્થની સાપેક્ષમાં સમય સાથે પોતાનું સ્થાન બદલે છે,ત્યારે તે પદાર્થ બીજા પદાર્થની સાપેક્ષમાં ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
ગતિના વિવિધ પ્રકારો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ સુરેખ ગતિ,
$(2)$ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ,
$(3)$ આવર્ત ગતિ,
$(4)$ દોલિત ગતિ,
$(5)$ સરળ આવર્ત ગતિ,
$(6)$ નિયમિત ગતિ અને
$(7)$ અનિયમિત ગતિ.

(A) ગતિ એટલે સમય અને સંદર્ભ બિંદુ (અવલોકનકાર) ની સાપેક્ષમાં પદાર્થના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર. જો કોઈ પદાર્થ સમય જતાં તેની આસપાસના વાતાવરણની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાન બદલતું નથી,તો તે પદાર્થ સ્થિર છે તેમ કહેવાય. જો તે તેનું સ્થાન બદલે છે,તો તે ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.

(N/A) ગતિ બ્રહ્માંડની દરેક વસ્તુમાં સામાન્ય છે. આપણે ચાલીએ છીએ,દોડીએ છીએ અને સાયકલ ચલાવીએ છીએ. જ્યારે આપણે સૂતા હોઈએ છીએ ત્યારે પણ,હવા આપણા ફેફસામાં અંદર-બહાર જાય છે અને લોહી ધમનીઓ અને નસોમાં વહે છે. આપણે ઝાડ પરથી પાંદડા પડતા અને ડેમમાંથી પાણી વહેતું જોઈએ છીએ. ઓટોમોબાઈલ અને વિમાનો લોકોને એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ લઈ જાય છે. પૃથ્વી દર $24$ કલાકે એકવાર ફરે છે અને વર્ષમાં એકવાર સૂર્યની આસપાસ ફરે છે. સૂર્ય પોતે આકાશગંગામાં ગતિમાં છે,જે ફરીથી તેના ગેલેક્સીના સ્થાનિક જૂથમાં ગતિ કરી રહી છે.

(N/A) જો કોઈ પદાર્થ બીજા પદાર્થ (અવલોકનકાર અથવા સંદર્ભ ફ્રેમ) ની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાન બદલે છે,તો તે પદાર્થની સાપેક્ષમાં ગતિમાં છે તેમ કહેવાય; અન્યથા તે સ્થિર છે તેમ કહેવાય.
ઉદાહરણ તરીકે,જો તમે અચળ વેગથી ગતિ કરતી બસમાં મુસાફરી કરી રહ્યા હોવ અને તમારી બાજુમાં એક પુસ્તક રાખેલું હોય,તો તમારી સાપેક્ષમાં તે પુસ્તક સ્થિર છે.
જો કે,રસ્તા પર ઉભેલા સ્થિર અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં તે જ પુસ્તક ગતિમાં છે.
આમ,કોઈપણ પદાર્થની ગતિ એ પદાર્થ અને અવલોકનકારનો સંયુક્ત ગુણધર્મ છે. નિશ્ચિત અવલોકન સ્થાન અથવા સંદર્ભ ફ્રેમ વિના કોઈ પણ ગતિ નિરપેક્ષ હોતી નથી.

(B) યાંત્રિકીમાં કણનો ખ્યાલ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.
$1$. કણ એટલે દળ ધરાવતો બિંદુવત પદાર્થ. કણ પરિમાણરહિત છે,તેથી તે એક આદર્શ ખ્યાલ છે,તે વાસ્તવિકતામાં જોવા મળતો નથી.
$2$. કણ માત્ર સ્થાનાંતરિત (રેખીય) ગતિ કરી શકે છે.
$3$. નીચેના કિસ્સાઓમાં પદાર્થને કણ તરીકે ગણી શકાય:
- $(i)$ જ્યારે પદાર્થ સુરેખ પથ પર એવી રીતે ગતિ કરતો હોય કે તેના તમામ ભાગો સમાન સમયમાં સમાન અંતર કાપતા હોય.
- $(ii)$ જ્યારે પદાર્થનું પરિમાણ તેણે કાપેલા અંતર અથવા બે પદાર્થો વચ્ચેના અંતરની સાપેક્ષમાં નગણ્ય હોય.
ઉદાહરણ: પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ગણતી વખતે તેમને કણ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

(N/A) મિકેનિક્સ (યાંત્રિકી): ભૌતિકવિજ્ઞાનની જે શાખામાં પદાર્થોની ગતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તેને મિકેનિક્સ કહેવામાં આવે છે. તેને મુખ્યત્વે બે પેટા-શાખાઓમાં વહેંચવામાં આવે છે:
$(1)$ કાઇનેમેટિક્સ (શુદ્ધ ગતિવિજ્ઞાન): મિકેનિક્સની જે શાખામાં ગતિના કારણોને ધ્યાનમાં લીધા વિના પદાર્થની ગતિનું વર્ણન કરવામાં આવે છે,તેને કાઇનેમેટિક્સ કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ ડાયનેમિક્સ (ગતિવિજ્ઞાન): મિકેનિક્સની જે શાખામાં ગતિના કારણો (એટલે કે બળ) ને ધ્યાનમાં લઈને પદાર્થની ગતિનું વર્ણન કરવામાં આવે છે,તેને ડાયનેમિક્સ કહેવામાં આવે છે.

(C) જો કોઈ વસ્તુ સમયની સાથે સંદર્ભ બિંદુ (અવલોકનકાર) ની સાપેક્ષમાં પોતાનું સ્થાન બદલે,તો તે વસ્તુ ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
જો કોઈ વસ્તુનું સ્થાન સંદર્ભ બિંદુની સાપેક્ષમાં બદલાતું ન હોય,તો તે વસ્તુ સ્થિર છે તેમ કહેવાય.
ઉદાહરણ તરીકે,જો તમે ગતિ કરતી બસમાં બેઠા હોવ,તો તમારી બાજુમાં પડેલું પુસ્તક તમારી સાપેક્ષમાં સ્થિર છે.
જોકે,રસ્તા પર ઉભેલા અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં તે જ પુસ્તક ગતિમાં છે.
આમ,ગતિ એ સાપેક્ષ ખ્યાલ છે અને તે અવલોકનકારના સંદર્ભ ફ્રેમ પર આધાર રાખે છે.

(N/A) મિકેનિક્સમાં કણનો ખ્યાલ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.
કણ એટલે દળ ધરાવતો બિંદુવત પદાર્થ.
કણ પરિમાણરહિત હોય છે,તેથી તે એક આદર્શ ખ્યાલ છે,તે વાસ્તવિકતામાં જોવા મળતો નથી.
તે ફક્ત રેખીય ગતિ કરી શકે છે.
નીચેના કિસ્સાઓમાં પદાર્થને કણ તરીકે ગણી શકાય:
$(1)$ જો કોઈ પદાર્થ એવી રીતે ગતિ કરતો હોય કે તેના તમામ કણો સમાન સમયમાં સમાન અંતર કાપે,તો તે પદાર્થને કણ કહી શકાય.
$(2)$ જ્યારે બે પદાર્થોના પરિમાણો તેમની વચ્ચેના અંતરની સાપેક્ષમાં અવગણ્ય હોય,ત્યારે તે પદાર્થોને કણ તરીકે ગણી શકાય.
ઉદાહરણ: પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ગણતી વખતે તેમને કણ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

(N/A) કાયનેમેટિક્સ એ મિકેનિક્સની એક શાખા છે જે ગતિના કારણો અથવા બળોને ધ્યાનમાં લીધા વિના પદાર્થોની ગતિનું વર્ણન કરે છે. તે સ્થાન,વેગ,પ્રવેગ અને સમય જેવા પરિમાણો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે.

(N/A) કોઈ પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવવા માટે,આપણે એક સંદર્ભ બિંદુ અને અક્ષોના સમૂહની જરૂર પડે છે. ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો,જેને $X$,$Y$ અને $Z$-અક્ષ કહેવાય છે,તેનાથી બનેલી લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ પસંદ કરવી અનુકૂળ રહે છે.
આ ત્રણ અક્ષોના છેદબિંદુને ઉગમબિંદુ $(O)$ કહેવામાં આવે છે અને તે સંદર્ભ બિંદુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પદાર્થના યામ $(x, y, z)$ આ યામ પદ્ધતિના સંદર્ભમાં પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવે છે.
સમય માપવા માટે,આપણે આ પદ્ધતિમાં એક ઘડિયાળ ગોઠવીએ છીએ.
જો પદાર્થના એક અથવા વધુ યામ સમય સાથે બદલાતા હોય,તો આપણે કહીએ છીએ કે પદાર્થ ગતિમાં છે. અન્યથા,પદાર્થ આ સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે તેમ કહેવાય છે.
સંદર્ભ ફ્રેમમાં અક્ષોના સમૂહની પસંદગી પરિસ્થિતિ પર આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે,એક પરિમાણમાં ગતિનું વર્ણન કરવા માટે,આપણને માત્ર એક અક્ષની જરૂર છે. બે કે ત્રણ પરિમાણમાં ગતિનું વર્ણન કરવા માટે,આપણને બે કે ત્રણ અક્ષોના સમૂહની જરૂર પડે છે.
સુરેખ પથ પર ગતિનું વર્ણન કરવા માટે,આપણે એક અક્ષ પસંદ કરી શકીએ છીએ,ધારો કે $X$-અક્ષ,જેથી તે પદાર્થના પથ સાથે સંપાતી થાય.
ત્યારબાદ આપણે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,અનુકૂળ રીતે પસંદ કરેલા ઉગમબિંદુ $O$ ના સંદર્ભમાં પદાર્થનું સ્થાન માપીએ છીએ. $O$ ની જમણી બાજુના સ્થાનને ધન અને $O$ ની ડાબી બાજુના સ્થાનને ઋણ લેવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન યામ $+360 \ m$ અને $+240 \ m$ છે. તેવી જ રીતે,બિંદુ $R$ નો સ્થાન યામ $-120 \ m$ છે.

(N/A) એક સીધી રેખા પર કારની ગતિનો વિચાર કરો.
ધારો કે અક્ષનું ઉગમબિંદુ એ બિંદુ છે જ્યાંથી કારે ગતિ કરવાનું શરૂ કર્યું,એટલે કે,$t=0$ સમયે કાર $x=0$ પર હતી. ધારો કે $P, Q$ અને $R$ એ અલગ-અલગ સમયે કારના સ્થાન દર્શાવે છે.
ગતિના બે કિસ્સાઓનો વિચાર કરો:
કિસ્સો $1$: કાર $O$ થી $P$ સુધી ગતિ કરે છે. કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $OP = 360 \ m$ છે.
આ અંતરને પથ લંબાઈ કહેવામાં આવે છે.
કિસ્સો $2$: કાર $O$ થી $P$ સુધી જાય છે અને પછી $P$ થી પાછી $Q$ સુધી આવે છે. ગતિના આ દરમિયાન,કાપેલ પથ લંબાઈ $OP + PQ = 360 \ m + 120 \ m = 480 \ m$ છે.
પથ લંબાઈ એ અદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે અને તેને કોઈ દિશા હોતી નથી.

(N/A) સમયના ચોક્કસ અંતરાલમાં કણના સ્થાનમાં થતા ફેરફારને સ્થાનાંતર કહે છે. ધારો કે $t_{1}$ અને $t_{2}$ સમયે પદાર્થના સ્થાન $x_{1}$ અને $x_{2}$ છે.
સમય $\Delta t = (t_{2} - t_{1})$ માં તેના સ્થાનાંતરને $\Delta x$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,જે અંતિમ અને પ્રારંભિક સ્થાન વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta x = x_{2} - x_{1}$
જથ્થામાં થતા ફેરફારને દર્શાવવા માટે આપણે ગ્રીક અક્ષર ડેલ્ટા $(\Delta)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
જો $x_{2} > x_{1}$ હોય,તો $\Delta x$ ધન છે; અને જો $x_{2} < x_{1}$ હોય,તો $\Delta x$ ઋણ છે.
સ્થાનાંતર પાસે મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે.
એક-પરિમાણીય ગતિમાં,પદાર્થ માત્ર બે દિશાઓમાં (પાછળ અને આગળ,ઉપર અને નીચે) ગતિ કરી શકે છે.
આ બે દિશાઓને $+$ અને $-$ ચિહ્નો દ્વારા સરળતાથી દર્શાવી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,કારનું $O$ થી $P$ સુધી જતી વખતે સ્થાનાંતર:
$\Delta x = x_{2} - x_{1} = (+360 \ m) - 0 \ m = +360 \ m$
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $360 \ m$ છે અને તે $+$ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવ્યા મુજબ ધન $x$-દિશામાં છે.
તે જ રીતે,કારનું $P$ થી $Q$ સુધીનું સ્થાનાંતર $240 \ m - 360 \ m = -120 \ m$ છે. ઋણ ચિહ્ન સ્થાનાંતરની દિશા સૂચવે છે.

કારની $O$ થી $P$ સુધીની ગતિ માટે, પથલંબાઈ $360 \text{ m}$ છે અને સ્થાનાંતર $360 \text{ m}$ છે.
આ કિસ્સામાં, સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય પથલંબાઈ જેટલું જ છે.
હવે, કારની $O$ થી $P$ સુધીની અને ત્યારબાદ પાછી $Q$ સુધીની ગતિનો વિચાર કરો. આ કિસ્સામાં, પથલંબાઈ એ કાપેલું કુલ અંતર છે: $360 \text{ m} + 120 \text{ m} = 480 \text{ m}$.
સ્થાનાંતર એ સ્થાનમાં થયેલો ફેરફાર છે: $240 \text{ m} - 0 \text{ m} = 240 \text{ m}$.
આમ, સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $(240 \text{ m})$ એ પથલંબાઈ $(480 \text{ m})$ જેટલું નથી.

(N/A) ધારો કે એક કાર ઉગમબિંદુ $O$ $(0 \ m)$ થી શરૂ કરીને બિંદુ $P$ $(360 \ m)$ સુધી જાય છે અને ત્યારબાદ પાછી ઉગમબિંદુ $O$ પર આવે છે.
આ કિસ્સામાં,પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 0 \ m$ છે અને અંતિમ સ્થાન $x_f = 0 \ m$ છે.
સ્થાનાંતરને $\Delta x = x_f - x_i = 0 \ m - 0 \ m = 0 \ m$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જોકે,કાપેલું કુલ પથલંબાઈ એ બંને ભાગોના અંતરનો સરવાળો છે: $OP + PO = 360 \ m + 360 \ m = 720 \ m$.
આમ,તે સાબિત થાય છે કે સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય શૂન્ય હોઈ શકે છે જ્યારે પથલંબાઈ શૂન્ય હોતી નથી.

(N/A)

પથ લંબાઈ	સ્થાનાંતર
$(1)$ ગતિ કરતા પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા કુલ અંતરને પથ લંબાઈ કહે છે.	$(1)$ પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતરને સ્થાનાંતર કહે છે.
$(2)$ તે હંમેશા ધન હોય છે.	$(2)$ તે ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.
$(3)$ તે અદિશ રાશિ છે.	$(3)$ તે સદિશ રાશિ છે.
$(4)$ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે તે ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.	$(4)$ જો પદાર્થ પાછો પ્રારંભિક બિંદુએ આવે તો ગતિ કરતા પદાર્થ માટે તે શૂન્ય હોઈ શકે છે.
$(5)$ જો ગતિ સુરેખ ન હોય,તો પથ લંબાઈ > સ્થાનાંતર.	$(5)$ જો ગતિ સુરેખ ન હોય,તો સ્થાનાંતર < પથ લંબાઈ.
$(6)$ પથ લંબાઈ પરથી અંતિમ સ્થાન નક્કી કરી શકાતું નથી.	$(6)$ જો પ્રારંભિક સ્થાન જાણતા હોઈએ,તો સ્થાનાંતર પરથી અંતિમ સ્થાન નક્કી કરી શકાય છે.

(N/A) કોઈ પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવવા માટે,આપણે એક સંદર્ભ બિંદુ અને અક્ષોના સમૂહનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો,જેને $X$,$Y$ અને $Z$-અક્ષ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,તેનાથી બનેલી લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ પસંદ કરવી અનુકૂળ રહે છે.
આ ત્રણ અક્ષોના છેદબિંદુને ઉગમબિંદુ $(O)$ કહેવામાં આવે છે અને તે સંદર્ભ બિંદુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પદાર્થના યામ $(x, y, z)$ આ યામ પદ્ધતિના સંદર્ભમાં પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવે છે.
સમય માપવા માટે,આપણે આ સિસ્ટમમાં એક ઘડિયાળ મૂકીએ છીએ.
જો પદાર્થના એક અથવા વધુ યામ સમય સાથે બદલાતા હોય,તો આપણે કહીએ છીએ કે પદાર્થ ગતિમાં છે. અન્યથા,પદાર્થ આ સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે તેમ કહેવાય છે. સંદર્ભ ફ્રેમમાં અક્ષોના સમૂહની પસંદગી પરિસ્થિતિ પર આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે,એક પરિમાણમાં ગતિનું વર્ણન કરવા માટે,આપણને માત્ર એક અક્ષની જરૂર છે. બે અથવા ત્રણ પરિમાણમાં ગતિનું વર્ણન કરવા માટે,આપણને બે અથવા ત્રણ અક્ષોના સમૂહની જરૂર પડે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વસ્તુનું સ્થાન સમયની સાથે તેની આસપાસના સંદર્ભ બિંદુની સાપેક્ષમાં સતત બદલાતું રહે,ત્યારે તે વસ્તુ ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
જો સમયની સાથે વસ્તુનું સ્થાન બદલાતું ન હોય,તો તે વસ્તુ સ્થિર અવસ્થામાં છે તેમ કહેવાય.

(N/A) પથ લંબાઈ એટલે પદાર્થની ગતિ દરમિયાન બે બિંદુઓ વચ્ચે કાપેલું કુલ અંતર. તે અદિશ રાશિ છે,એટલે કે તેનું માત્ર મૂલ્ય હોય છે,દિશા હોતી નથી.
સ્થાનાંતર એટલે સમયના ચોક્કસ ગાળામાં પદાર્થના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર. તેને અંતિમ સ્થાન $(x_2)$ અને પ્રારંભિક સ્થાન $(x_1)$ વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\Delta x = x_2 - x_1$. સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ છે,કારણ કે તેને મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે.
ઉદાહરણ: ધારો કે એક કાર ઉગમબિંદુ $O$ $(x=0)$ થી બિંદુ $P$ $(x=360 \ m)$ સુધી જાય છે અને ત્યારબાદ પાછી બિંદુ $Q$ $(x=240 \ m)$ પર આવે છે.
$1$. પથ લંબાઈ: કાપેલું કુલ અંતર $OP + PQ = 360 \ m + (360 \ m - 240 \ m) = 360 \ m + 120 \ m = 480 \ m$ છે.
$2$. સ્થાનાંતર: સ્થાનાંતર એ અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાનનો તફાવત છે: $\Delta x = x_Q - x_O = 240 \ m - 0 \ m = +240 \ m$. ધન નિશાની દર્શાવે છે કે દિશા ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ એક જ દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરે અને ગતિની દિશા બદલે નહીં,ત્યારે પથ લંબાઈ અને સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય સમાન હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,આપેલી સંખ્યા રેખાના આધારે,કારની $O$ થી $P$ સુધીની ગતિને ધ્યાનમાં લો:
- પથ લંબાઈ $360 \ m$ છે.
- સ્થાનાંતર $360 \ m$ છે.
આ કિસ્સામાં,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય પથ લંબાઈ જેટલું છે.
જો કે,કારની $O$ થી $P$ સુધી અને ત્યારબાદ પાછી $Q$ સુધીની ગતિને ધ્યાનમાં લો:
- પથ લંબાઈ = $(360 \ m) + (120 \ m) = 480 \ m$ થાય.
- સ્થાનાંતર = $(240 \ m) - (0 \ m) = 240 \ m$ થાય.
આ કિસ્સામાં,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $(240 \ m)$ એ પથ લંબાઈ $(480 \ m)$ જેટલું નથી.

(A) ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,પથલંબાઈ એ કાપેલું કુલ અંતર છે,જે હંમેશા ધન હોય છે.
જો કોઈ પદાર્થ બિંદુ $O$ થી શરૂ કરીને બિંદુ $P$ $(360 \ m)$ સુધી જાય અને પાછો $O$ પર આવે,તો અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન એક જ થાય છે.
આ કિસ્સામાં,સ્થાનાંતર $0 \ m$ છે કારણ કે સ્થાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે.
જો કે,પથલંબાઈ $OP + PO = 360 \ m + 360 \ m = 720 \ m$ થાય છે.
તેથી,ગતિ કરતા પદાર્થ માટે પથલંબાઈ શૂન્ય ન હોઈ શકે,જ્યારે સ્થાનાંતર શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(B) ગતિની પરિણામી અસર એટલે પદાર્થના તેના પ્રારંભિક બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીના સ્થાનમાં થયેલો ચોખ્ખો ફેરફાર. આને સ્થાનાંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ છે જે પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું અંતર દર્શાવે છે,જે $\vec{s} = \vec{x}_f - \vec{x}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ લંબાઈથી વિપરીત,જે લીધેલા વાસ્તવિક માર્ગ પર આધાર રાખે છે,સ્થાનાંતર ફક્ત શરૂઆતના અને અંતિમ બિંદુઓને ધ્યાનમાં લે છે,જે તેને ગતિની પરિણામી અસર માપવા માટેનું સાચું માપ બનાવે છે.

(A) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,સ્થાન અને ગતિના ખ્યાલોને સંદર્ભ ફ્રેમ (frame of reference) ના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કોઈ પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવવા માટે,આપણે યામ પદ્ધતિ અથવા સંદર્ભ બિંદુ (ઉગમબિંદુ) ની જરૂર પડે છે.
તે જ રીતે,ગતિને સમય અને પસંદ કરેલી સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં પદાર્થના સ્થાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ બંને અવલોકનકારની સંદર્ભ ફ્રેમ પર આધારિત હોવાથી,તેમને સાપેક્ષ રાશિઓ ગણવામાં આવે છે.

(N/A) ગતિ સાપેક્ષ છે. જો કોઈ પદાર્થ બીજા પદાર્થની સાપેક્ષમાં સમય સાથે પોતાનું સ્થાન બદલે,તો તે પદાર્થ બીજા પદાર્થની સાપેક્ષમાં ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
પદાર્થની ગતિનું વર્ણન તેના સ્થાનાંતર,વેગ અને પ્રવેગના મૂલ્યો દ્વારા કરી શકાય છે.

(C) પથલંબાઈ એ પદાર્થ દ્વારા તેના વાસ્તવિક માર્ગ પર કાપેલું કુલ અંતર છે.
સ્થાનાંતર એ પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર સીધી રેખા હોવાથી,પથલંબાઈ હંમેશા સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય છે.
તેથી,સંબંધ આ મુજબ છે: $\text{પથલંબાઈ} \geq \text{સ્થાનાંતર}$.

(B) સ્થાનાંતર એટલે પદાર્થના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર,જે $\Delta x = x_f - x_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x_f$ એ અંતિમ સ્થાન છે અને $x_i$ એ પ્રારંભિક સ્થાન છે.
જો યામ પદ્ધતિના ઊગમબિંદુને $d$ જેટલા અંતરે ખસેડવામાં આવે,તો નવા યામ $x'_f = x_f - d$ અને $x'_i = x_i - d$ થાય છે.
નવું સ્થાનાંતર $\Delta x' = x'_f - x'_i = (x_f - d) - (x_i - d) = x_f - x_i = \Delta x$ મળે છે.
આમ,ઊગમબિંદુ બદલવા છતાં સ્થાનાંતર સમાન રહેતું હોવાથી,તે ઊગમબિંદુની પસંદગી પર આધાર રાખતું નથી.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સુરેખ માર્ગ પર એક જ નિશ્ચિત દિશામાં ગતિ કરે,ત્યારે તેના દ્વારા કાપેલું અંતર અને સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય સમાન હોય છે.
આ કિસ્સામાં,પથ લંબાઈ (અંતર) એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેના સીધા અંતર (સ્થાનાંતર) જેટલી જ હોય છે.

(A) બિંદુ $B$ પરની પ્રથમ સ્થિતિમાં,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે. તેથી,જમીન સાથેનો ખૂણો $90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ થશે.
$\tan 45^{\circ} = \frac{h_{1}}{d} \Rightarrow 1 = \frac{h_{1}}{d} \Rightarrow h_{1} = d$.
જ્યારે ફુગ્ગો $h_{1} + h_{2}$ ઊંચાઈ પર હોય,ત્યારે છોકરી બિંદુ $C$ પર છે. $A$ થી $C$ નું અંતર $d + 2.464d = 3.464d$ છે. શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી જમીન સાથેનો ખૂણો $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h_{1} + h_{2}}{3.464d}$.
આપેલ છે કે $\tan 30^{\circ} = 0.5774$,તેથી $0.5774 = \frac{d + h_{2}}{3.464d}$.
$d + h_{2} = 0.5774 \times 3.464d \approx 2d$.
$h_{2} = 2d - d = d$.

(A) આપેલ સ્થાન: $x(t) = t^2 - 4t + 6$.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = 2t - 4$.
જ્યારે $v(t) = 0$ થાય ત્યારે પદાર્થ સ્થિર થાય છે,જે $2t - 4 = 0$ એટલે કે $t = 2 \, s$ આપે છે.
કારણ કે $t = 2 \, s$ પર ગતિની દિશા બદલાય છે,આપણે અંતરની ગણતરી બે ભાગમાં કરીશું: $t = 0$ થી $t = 2 \, s$ અને $t = 2 \, s$ થી $t = 3 \, s$.
$t = 0 \, s$ પર: $x(0) = 0^2 - 4(0) + 6 = 6 \, m$.
$t = 2 \, s$ પર: $x(2) = 2^2 - 4(2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2 \, m$.
$t = 3 \, s$ પર: $x(3) = 3^2 - 4(3) + 6 = 9 - 12 + 6 = 3 \, m$.
$t = 0$ થી $t = 2 \, s$ સુધીનું અંતર $|x(2) - x(0)| = |2 - 6| = 4 \, m$ છે.
$t = 2$ થી $t = 3 \, s$ સુધીનું અંતર $|x(3) - x(2)| = |3 - 2| = 1 \, m$ છે.
કુલ અંતર = $4 \, m + 1 \, m = 5 \, m$.

(D) સરેરાશ ઝડપનું મૂલ્ય $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $\frac{|\text{કુલ સ્થાનાંતર}|}{\text{કુલ સમય}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ બંને રાશિઓ સમાન હોવા માટે, કાપેલું કુલ અંતર એ કુલ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ.
આ શરત ત્યારે જ સંતોષાય છે જ્યારે કણ તેની ગતિની દિશા બદલ્યા વિના સીધી રેખામાં ગતિ કરે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) કાર $60 \, km/h$ ની ઝડપે $1 \, h$ માટે પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરે છે. પૂર્વ દિશામાં કાપેલું અંતર $d_1 = 60 \, km/h \times 1 \, h = 60 \, km$ છે.
ત્યારબાદ કાર તે જ $60 \, km/h$ ની ઝડપે $30 \, min$ $(0.5 \, h)$ માટે દક્ષિણ દિશામાં ગતિ કરે છે. દક્ષિણ દિશામાં કાપેલું અંતર $d_2 = 60 \, km/h \times 0.5 \, h = 30 \, km$ છે.
પૂર્વ અને દક્ષિણ દિશાઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,સ્થાનાંતર એ $60 \, km$ અને $30 \, km$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે.
સ્થાનાંતર $= \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \sqrt{60^2 + 30^2} = \sqrt{3600 + 900} = \sqrt{4500} = \sqrt{900 \times 5} = 30 \sqrt{5} \, km$.

(B) સાયકલ સવાર બિંદુ $P$ થી બિંદુ $S$ સુધી વર્તુળના પરિઘ પર ગતિ કરે છે।
માર્ગ વર્તુળાકાર હોવાથી, બિંદુઓ $P, O, S$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે જ્યાં $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે।
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $P$ અને અંતિમ બિંદુ $S$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે।
$\triangle POS$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, સ્થાનાંતર $d$ નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \sqrt{OP^2 + OS^2}$
ત્રિજ્યા $R = 2 \,km$ આપેલ છે, તેથી $OP = OS = R = 2 \,km$।
$d = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$d = 2\sqrt{2} \,km = \sqrt{4 \times 2} \,km = \sqrt{8} \,km$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
વિમાન $400 \,m$ ઉત્તર દિશામાં ઉડે છે,તેથી તેનું સ્થાન $(0, 400, 0)$ છે.
ત્યારબાદ તે $300 \,m$ દક્ષિણ દિશામાં ઉડે છે,તેથી તેનું નવું સ્થાન $(0, 400-300, 0) = (0, 100, 0)$ થાય છે.
અંતે,તે $1200 \,m$ ઉપરની તરફ ઉડે છે,તેથી તેનું અંતિમ સ્થાન $(0, 100, 1200)$ થાય છે.
કુલ સ્થાનાંતર એ ઉગમબિંદુથી અંતિમ સ્થાન સુધીનું અંતર છે:
$d = \sqrt{0^2 + 100^2 + 1200^2}$
$d = \sqrt{10000 + 1440000}$
$d = \sqrt{1450000}$
$d = 100 \sqrt{145} \approx 100 \times 12.04 = 1204.16 \,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,કુલ સ્થાનાંતર આશરે $1200 \,m$ થાય છે.

(D) પથલંબાઈ એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ અંતર છે,જ્યારે સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
કોઈપણ ગતિ માટે,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય હંમેશા પથલંબાઈ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે $(|\text{displacement}| \le \text{distance})$.
જ્યારે પદાર્થ દિશા બદલ્યા વગર સુરેખ પથ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર સમાન હોય છે,તેથી તેમનો ગુણોત્તર $1$ થાય છે.
જ્યારે પદાર્થ વક્ર પથ પર ગતિ કરે છે અથવા દિશા બદલે છે,ત્યારે સ્થાનાંતર હંમેશા પથલંબાઈ કરતા ઓછું હોય છે,તેથી ગુણોત્તર $1$ કરતા ઓછો હોય છે.
આમ,સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈનો ગુણોત્તર હંમેશા $1$ અથવા $1$ કરતા ઓછો હોય છે.