Mix Examples-Motion in Straight Line Questions in Gujarati

(C) કણ તેના શરૂઆતના બિંદુ પર પાછો ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે અંતિમ સ્થાન એ પ્રારંભિક સ્થાન જેવું જ છે. તેથી,સ્થાનાંતર $0\, m$ છે. વિધાન $(a)$ સાચું છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય. આપેલ કુલ અંતર $= 30\, m$ અને કુલ સમય $= 10\, s$ હોવાથી,સરેરાશ ઝડપ $\frac{30\, m}{10\, s} = 3\, m/s$ થાય. વિધાન $(b)$ સાચું છે.
સ્થાનાંતર $0\, m$ હોવાથી,વિધાન $(c)$ ખોટું છે. આમ,સાચો જવાબ $(c)$ છે.

(D) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલો સમય.
ધારો કે કુલ અંતર $x$ છે.
પ્રથમ ભાગ ($x$ નો $2/5$ ભાગ) કાપવા માટે લીધેલ સમય $t_1 = \frac{2x/5}{v_1} = \frac{2x}{5v_1}$ છે.
બીજા ભાગ ($x$ નો $3/5$ ભાગ) કાપવા માટે લીધેલ સમય $t_2 = \frac{3x/5}{v_2} = \frac{3x}{5v_2}$ છે.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = \frac{2x}{5v_1} + \frac{3x}{5v_2} = \frac{x}{5} \left( \frac{2}{v_1} + \frac{3}{v_2} \right) = \frac{x(2v_2 + 3v_1)}{5v_1 v_2}$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{x}{\frac{x(2v_2 + 3v_1)}{5v_1 v_2}} = \frac{5v_1 v_2}{3v_1 + 2v_2}$.

(A) આપેલ સંબંધ: $t = \alpha x^2 + \beta x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = 2\alpha x + \beta$
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$v = \frac{1}{2\alpha x + \beta} \implies 2\alpha x + \beta = \frac{1}{v}$
પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$v = (2\alpha x + \beta)^{-1}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = -1(2\alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2\alpha) = -\frac{2\alpha}{(2\alpha x + \beta)^2}$
$(2\alpha x + \beta) = \frac{1}{v}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dv}{dx} = -2\alpha \cdot v^2$
હવે,પ્રવેગની ગણતરી કરતા:
$a = v \cdot (-2\alpha v^2) = -2\alpha v^3$
પ્રતિપ્રવેગ એ પ્રવેગનું ઋણ મૂલ્ય છે:
$\text{Retardation} = -a = 2\alpha v^3$

(B) વેગ એ સદિશ રાશિ છે જે $v = \frac{dr}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેમાં ઝડપ (મૂલ્ય) અને દિશા બંનેનો સમાવેશ થાય છે.
જો કોઈ પદાર્થનો વેગ અચળ હોય,તો તેની ઝડપ અને દિશા બંને બદલાવા જોઈએ નહીં.
તેથી,પદાર્થનો વેગ અચળ હોય અને તેની ઝડપ બદલાતી હોય તે શક્ય નથી.
વિધાન $(b)$ ખોટું છે કારણ કે અચળ વેગનો અર્થ અચળ ઝડપ અને અચળ દિશા થાય છે.
વિધાન $(a)$ સાચું છે (દા.ત.,શિરોલંબ ઉપર ફેંકાયેલ પદાર્થ તેના મહત્તમ બિંદુએ શૂન્ય વેગ ધરાવે છે પરંતુ તેનો પ્રવેગ $g$ હોય છે).
વિધાન $(c)$ સાચું છે (દા.ત.,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ).
વિધાન $(d)$ સાચું છે (દા.ત.,પ્રક્ષિપ્ત ગતિ જ્યાં પ્રવેગ $g$ નીચેની તરફ અચળ હોય છે,પરંતુ વેગની દિશા બદલાતી રહે છે).

(B) ધારો કે ડબ્બાનો પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે અને તે અટકે તે પહેલાં તેણે કાપેલું અંતર $S_b$ છે. ધારો કે ડબ્બો અલગ થાય તે ક્ષણે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે (જે ટ્રેનની સમાન ઝડપ જેટલો છે).
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતિમ વેગ $v = 0$ છે:
$0 = u^2 - 2aS_b \Rightarrow S_b = \frac{u^2}{2a}$
હવે,$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને ડબ્બાને અટકવા માટે લાગતો સમય $t$ શોધો:
$0 = u - at \Rightarrow t = \frac{u}{a}$
આ જ સમય $t$ માં,ટ્રેન $u$ ના સમાન વેગ સાથે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે. તેથી,ટ્રેન દ્વારા કપાયેલ અંતર:
$S_t = u \times t = u \times \frac{u}{a} = \frac{u^2}{a}$
બંને અંતરોની સરખામણી કરતા:
$\frac{S_b}{S_t} = \frac{u^2 / 2a}{u^2 / a} = \frac{1}{2}$
આમ,ડબ્બા દ્વારા કપાયેલ અંતર એ ટ્રેન દ્વારા કપાયેલ અંતર કરતા અડધું છે.

(A) $1$. તબક્કો $1$: સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગ.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,પ્રવેગ $a = 2 \, m/s^2$,સમય $t = 10 \, s$.
અંતિમ વેગ $v = u + at = 0 + 2 \times 10 = 20 \, m/s$.
અંતર $S_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \, m$.
$2$. તબક્કો $2$: અચળ ઝડપ.
વેગ $v = 20 \, m/s$,સમય $t = 30 \, s$.
અંતર $S_2 = v \times t = 20 \times 30 = 600 \, m$.
$3$. તબક્કો $3$: સ્થિર થવા માટે પ્રતિપ્રવેગ.
પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,પ્રવેગ $a = -4 \, m/s^2$.
સૂત્ર $v^2 - u^2 = 2aS_3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (20)^2 = 2 \times (-4) \times S_3$
$-400 = -8 \times S_3 \implies S_3 = 50 \, m$.
$4$. કુલ અંતર:
$S_{total} = S_1 + S_2 + S_3 = 100 + 600 + 50 = 750 \, m$.

(A) ન્યૂનતમ સમયમાં $S$ અંતર કાપવા માટે,મોટરસાઇકલે મહત્તમ પ્રવેગ $\alpha = 5 \, m/s^2$ થી શરૂ કરીને મહત્તમ વેગ $v$ સુધી પહોંચવું જોઈએ અને ત્યારબાદ તરત જ મહત્તમ પ્રતિપ્રવેગ $\beta = 10 \, m/s^2$ થી સ્થિર થવું જોઈએ.
ધારો કે $t_1$ એ પ્રવેગનો સમય છે અને $t_2$ એ પ્રતિપ્રવેગનો સમય છે. કુલ સમય $t = t_1 + t_2$ છે.
ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા:
$v = \alpha t_1 = \beta t_2 \implies 5 t_1 = 10 t_2 \implies t_1 = 2 t_2$.
કુલ અંતર $S = 1.5 \, km = 1500 \, m$ એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ (ત્રિકોણ) દ્વારા મળે છે:
$S = \frac{1}{2} v (t_1 + t_2) = \frac{1}{2} \left( \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} \right) t^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$1500 = \frac{1}{2} \left( \frac{5 \times 10}{5 + 10} \right) t^2$
$1500 = \frac{1}{2} \left( \frac{50}{15} \right) t^2 = \frac{5}{3} t^2$.
$t^2 = 1500 \times \frac{3}{5} = 900$.
$t = 30 \, s$.

(D) કણ $x = 0$ ($t = 0$ સમયે $v = 0$) પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $x = 1$ ($t = 1$ સમયે $v = 0$) પર સ્થિર થાય છે.
કણ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી ગતિ કરે છે,તેથી તેનો સરેરાશ વેગ ધન છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થઈને અંતે સ્થિર થાય તે માટે,તેણે વેગ મેળવવા માટે શરૂઆતમાં પ્રવેગિત થવું પડે અને અંતે અટકવા માટે પ્રતિપ્રવેગિત થવું પડે.
જો $0 \le t \le 1$ ના સમગ્ર અંતરાલ માટે $\alpha$ ધન રહે,તો વેગ સતત વધતો રહે,જેનો અર્થ છે કે કણ $t = 1$ સમયે ફરીથી સ્થિર થઈ શકે નહીં.
તેથી,$\alpha$ એ $0 \le t \le 1$ અંતરાલમાં તમામ $t$ માટે ધન રહી શકે નહીં,જેનો અર્થ છે કે ગતિ દરમિયાન $\alpha$ એ ચિહ્ન બદલવું જ જોઈએ.
આમ,વિધાન $(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) ઊંચાઈએથી નીચે પડતા દડા માટે,કોઈપણ ઊંચાઈ $h$ પર વેગ $v$ એ $v^2 = u^2 + 2a(s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,$u = 0$ અને $a = -g$ છે,તેથી $v^2 = -2g(h - d) = 2g(d - h)$. આ સૂચવે છે કે $v = \pm \sqrt{2g(d - h)}$.
$1$. $h = d$ થી $h = 0$ સુધીની નીચેની ગતિ દરમિયાન,વેગ ઋણ (નીચેની તરફ) હોય છે અને જેમ $h$ ઘટે છે તેમ તેનું મૂલ્ય વધે છે. સંબંધ $v = -\sqrt{2g(d - h)}$ એ ધન $h$-અક્ષ તરફ ખુલતા પરવલયી વક્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
$2$. $h = 0$ પર,દડો જમીન સાથે અથડાય છે. અથડામણ પછી તરત જ,તે $d/2$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે. વેગ ધન (ઉપરની તરફ) બને છે અને તેનું મૂલ્ય $v = \sqrt{2g(d/2 - h)}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$3$. જેમ દડો $h = 0$ થી $h = d/2$ સુધી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,તેમ વેગ તેના મહત્તમ મૂલ્યથી ઘટીને $h = d/2$ પર શૂન્ય થઈ જાય છે. આ પણ પરવલયી માર્ગને અનુસરે છે.
આ ભૌતિક જરૂરિયાતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ નીચેની ગતિ (ઋણ વેગ) અને ત્યારબાદની ઉપરની ગતિ (ધન વેગ) ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) અવાજ સાંભળવા માટે લાગતો કુલ સમય એ પથ્થરને નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$ અને અવાજને પાછા માણસ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t_2)$ નો સરવાળો છે.
$1$. પથ્થરને તળાવ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$:
ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$500 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_1^2$
$500 = 5t_1^2$
$t_1^2 = 100$
$t_1 = 10 \ s$
$2$. અવાજને તળાવથી માણસ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t_2)$:
સૂત્ર $t_2 = \frac{h}{v}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 340 \ m/s$:
$t_2 = \frac{500}{340} \approx 1.47 \ s \approx 1.5 \ s$
$3$. કુલ સમય $(T)$:
$T = t_1 + t_2 = 10 + 1.5 = 11.5 \ s$.

(A) આપેલ છે કે પ્રતિવેગ $a = -k x$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$.
તેથી,$v \frac{dv}{dx} = -k x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{v_0}^{v} v \, dv = -k \int_{0}^{x} x \, dx$.
$\frac{1}{2} (v^2 - v_0^2) = -\frac{1}{2} k x^2$.
$v^2 - v_0^2 = -k x^2$.
ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K.E. = \frac{1}{2} m (v^2 - v_0^2) = -\frac{1}{2} m k x^2$.
ગતિ ઊર્જામાં થતા ઘટાડાનું મૂલ્ય $|\Delta K.E.| = \frac{1}{2} m k x^2$ થાય.
તેથી,ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $x^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) કણ $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$ માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
કુલ કાપેલું અંતર = $AB + BC + CD = 25 \, m + 25 \, m + 25 \, m = 75 \, m$.
લાગતો સમય $(t)$ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{વેગ}} = \frac{75 \, m}{15 \, m \, s^{-1}} = 5 \, s$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $A$ અને અંતિમ બિંદુ $D$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે,જે બાજુ $AD = 25 \, m$ છે.
સરેરાશ વેગ = $\frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{25 \, m}{5 \, s} = 5 \, m \, s^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય. પદાર્થ ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર પાછો આવતો હોવાથી,કુલ સ્થાનાંતર $0$ છે. તેથી,સરેરાશ વેગ $0$ થાય છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ ઉડ્ડયન સમય. મહત્તમ ઊંચાઈ $H = v^2/(2g)$ છે અને કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 2v/g$ છે.
કુલ કાપેલું અંતર $2H = 2(v^2/(2g)) = v^2/g$ થાય.
સરેરાશ ઝડપ $= \text{કુલ અંતર} / \text{કુલ સમય} = (v^2/g) / (2v/g) = v/2$.
આમ,સરેરાશ વેગ $0$ છે અને સરેરાશ ઝડપ $v/2$ છે.

(C) ધારો કે બે પથ્થરોનો પ્રારંભિક વેગ $u_1$ અને $u_2$ $(u_2 > u_1)$ છે.
સમય $t$ પર પથ્થરોના સ્થાન $x_1(t) = u_1 t - \frac{1}{2} g t^2$ અને $x_2(t) = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ સ્થાન $\Delta x = |x_2(t) - x_1(t)| = |(u_2 - u_1)t| = (u_2 - u_1)t$ છે.
આ દર્શાવે છે કે જ્યાં સુધી બંને પથ્થરો હવામાં છે,ત્યાં સુધી સાપેક્ષ સ્થાન $\Delta x$ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
જ્યારે પ્રથમ પથ્થર ($u_1$ ઝડપ સાથે) $t_1 = \frac{2u_1}{g}$ સમયે જમીન પર અથડાય છે,ત્યારે તેનું સ્થાન $x_1 = 0$ થઈ જાય છે. સાપેક્ષ સ્થાન $\Delta x = |x_2(t) - 0| = |u_2 t - \frac{1}{2} g t^2|$ થાય છે.
આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે. આમ,આલેખમાં રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ બીજા પથ્થરના જમીન પર અથડાય ત્યાં સુધી પરવલયાકાર ઘટાડો જોવા મળવો જોઈએ. આલેખ $C$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m/s$,પ્રવેગ $a = -5 \, m/s^2$.
પ્રથમ,આપણે સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય $t_0$ શોધીએ: $v = u + at \implies 0 = 10 - 5t_0 \implies t_0 = 2 \, s$.
પ્રારંભિક વેગની દિશામાં મહત્તમ સ્થાનાંતર $S_{max}$ એ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $0^2 - 10^2 = 2(-5)S_{max} \implies S_{max} = 10 \, m$. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$3 \, s$ માં કાપેલું અંતર શોધવા માટે:
પ્રથમ $2 \, s$ માં,અંતર $10 \, m$ છે.
બાકીની $1 \, s$ માં ($t=2$ થી $t=3$ સુધી),કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u'=0)$ શરૂઆત કરે છે અને $a=5 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે: $S' = u't + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(5)(1)^2 = 2.5 \, m$.
$3 \, s$ માં કુલ અંતર = $10 + 2.5 = 12.5 \, m$. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,અંતિમ જવાબ $(D)$ છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{\text{net}} = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$.
આલેખ પરથી,$t = 0\,\text{s}$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $v_i = 0\,\text{m/s}$ છે અને $t = 30\,\text{s}$ સમયે અંતિમ વેગ $v_f = 0\,\text{m/s}$ છે.
તેથી,$W_{\text{net}} = \frac{1}{2} \times 1 \times (0^2 - 0^2) = 0\,\text{J}$. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
સરેરાશ પ્રવેગની વ્યાખ્યા $a_{\text{avg}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$ છે.
અહીં,$t = 0$ થી $t = 30\,\text{s}$ ના ગાળા માટે $v_f = 0\,\text{m/s}$ અને $v_i = 0\,\text{m/s}$ છે.
તેથી,$a_{\text{avg}} = \frac{0 - 0}{30 - 0} = 0\,\text{m/s}^2$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
કારણ કે $F_{\text{avg}} = m \times a_{\text{avg}}$ અને $a_{\text{avg}} = 0$ હોવાથી,સરેરાશ બળ $F_{\text{avg}} = 1 \times 0 = 0\,\text{N}$ થાય. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
બધા જ વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) વિધાન $A$ સાચું છે: જો સ્થાન $(x)$ ધન હોય અને વેગ $(v)$ ઋણ હોય,તો કણ ઉગમબિંદુ તરફ ગતિ કરે છે. જો $x$ ઋણ હોય અને $v$ ધન હોય,તો પણ તે ઉગમબિંદુ તરફ ગતિ કરે છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: જો વેગ સમયના આપેલા અંતરાલ માટે શૂન્ય હોય,તો સમયની સાપેક્ષ તેનું વિકલન (પ્રવેગ) પણ તે અંતરાલ દરમિયાન શૂન્ય હોય છે.
વિધાન $C$ સાચું છે: જ્યારે વેગ અને પ્રવેગ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોય,ત્યારે પ્રવેગ ગતિનો વિરોધ કરે છે,જેના કારણે ઝડપ ઘટે છે (ધીમી પડે છે).
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) $1$. કણ $t = T$ સમયે તેની ગતિની દિશા બદલે છે કારણ કે વેગ ઋણમાંથી ધન થાય છે.
$2$. કણનો પ્રવેગ એ $v-t$ આલેખનો ઢાળ છે. આલેખ એક સીધી રેખા હોવાથી,ઢાળ અચળ છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ અચળ છે.
$3$. કણનું સ્થાનાંતર એ $v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે. $t$-અક્ષની નીચેનું ક્ષેત્રફળ ($0$ થી $T$ સુધી) એ $t$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ ($T$ થી $2T$ સુધી) જેટલું જ છે,પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્નો સાથે. તેથી,કુલ સ્થાનાંતર $zero$ છે.
$4$. ત્રણેય વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વેગ એ સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તે ઝડપ (મૂલ્ય) અને દિશા બંને પર આધાર રાખે છે. પ્રવેગને વેગમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(a = dv/dt)$.
$1$. જો ઝડપ બદલાય,તો વેગનું મૂલ્ય બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ બદલાય છે. વેગ બદલાતો હોવાથી,પ્રવેગ હોવો જ જોઈએ. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. જો વેગ બદલાય,તો તે ઝડપમાં ફેરફાર,દિશામાં ફેરફાર અથવા બંનેને કારણે હોઈ શકે છે. જો માત્ર દિશા બદલાય (દા.ત.,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ),તો ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગ બદલાય છે,જેના પરિણામે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉદ્ભવે છે. તેથી,વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે ઝડપ બદલાવી જ જોઈએ તે જરૂરી નથી.
$3$. વેગમાં ફેરફાર એટલે પ્રવેગ,અને ગતિની દિશા બદલાય છે કે નહીં તેના આધારે ઝડપ બદલાઈ શકે અથવા ન પણ બદલાય,તેથી વિધાન $(C)$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) $1$. જ્યારે $v = 0$ હોય તે કિસ્સો ધ્યાનમાં લો: જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના મહત્તમ બિંદુએ તેનો વેગ $v = 0$ હોય છે,પરંતુ તેનો પ્રવેગ $a$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ જેટલો હોય છે. આમ,જ્યારે $v = 0$ હોય ત્યારે $a$ શૂન્ય ન પણ હોય. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. જ્યારે $v \neq 0$ હોય તે કિસ્સો ધ્યાનમાં લો: જ્યારે કોઈ પદાર્થ સુરેખ પથ પર અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = 0$ હોય છે કારણ કે વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. આમ,જ્યારે $v \neq 0$ હોય ત્યારે $a$ શૂન્ય હોઈ શકે છે. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$3$. તેથી,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) આપેલ છે,$x = \alpha t^2 - \beta t^3$.
$1$. કણ તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે જ્યારે $x = 0$ હોય:
$\alpha t^2 - \beta t^3 = 0 \implies t^2(\alpha - \beta t) = 0$.
$t \neq 0$ હોવાથી,$t = \frac{\alpha}{\beta}$ મળે છે.
$2$. વેગ $v = \frac{dx}{dt} = 2\alpha t - 3\beta t^2$.
$t = 0$ સમયે,$v = 0$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 2\alpha - 6\beta t$.
$t = 0$ સમયે,$a = 2\alpha$. $\alpha \neq 0$ હોવાથી,પ્રારંભિક પ્રવેગ શૂન્ય નથી.
$3$. કણ સ્થિર થાય છે જ્યારે $v = 0$ હોય:
$2\alpha t - 3\beta t^2 = 0 \implies t(2\alpha - 3\beta t) = 0$.
$t > 0$ માટે,$t = \frac{2\alpha}{3\beta}$.
આમ,બધા જ વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $x=0$ પર અચળ પ્રવેગ $a$ સાથે શરૂ થતા પદાર્થ માટે:
$x_{1} = \frac{1}{2}at^{2}$
$x=0$ થી શરૂ કરીને અચળ ઝડપ $v$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે:
$x_{2} = vt$
ધારો કે $f(t) = x_{1} - x_{2} = \frac{1}{2}at^{2} - vt$.
આ $t$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જે ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે.
$t=0$ સમયે,$f(0) = 0$.
વિકલન $f'(t) = at - v$ છે.
$f'(t) = 0$ લેતા $t = \frac{v}{a}$ મળે છે.
$t = \frac{v}{a}$ સમયે,વિધેય તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે: $f(\frac{v}{a}) = \frac{1}{2}a(\frac{v}{a})^{2} - v(\frac{v}{a}) = \frac{v^{2}}{2a} - \frac{v^{2}}{a} = -\frac{v^{2}}{2a}$.
ન્યૂનતમ કિંમત ઋણ હોવાથી અને પરવલય ઉપરની તરફ ખુલતો હોવાથી,આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,$t$-અક્ષની નીચે જાય છે,$t = \frac{v}{a}$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,અને પછી વધે છે,જે $t = \frac{2v}{a}$ પર $t$-અક્ષને છેદે છે.
આ સોલ્યુશન ઇમેજમાં દર્શાવેલ આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(C) ધારો કે ટેકરીની ધાર ઉગમબિંદુ $(y = 0)$ છે અને ઉપરની દિશા ધન છે. સમય $t$ પર બે પથ્થરોના સ્થાન નીચે મુજબ છે:
$y_1 = 10t - 5t^2$
$y_2 = 40t - 5t^2$
પ્રથમ પથ્થર માટે,તે જમીન પર અથડાય છે જ્યારે $y_1 = -240 \ m$:
$-240 = 10t - 5t^2 \implies t^2 - 2t - 48 = 0 \implies (t-8)(t+6) = 0$. આમ,$t = 8 \ s$.
$t \le 8 \ s$ માટે,સાપેક્ષ સ્થાન $y_{rel} = y_2 - y_1 = (40t - 5t^2) - (10t - 5t^2) = 30t$. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો રેખીય આલેખ છે.
$t = 8 \ s$ પર,$y_{rel} = 30(8) = 240 \ m$.
$t > 8 \ s$ માટે,પ્રથમ પથ્થર જમીન પર સ્થિર છે $(y_1 = -240 \ m)$. બીજો પથ્થર જમીન પર અથડાય છે જ્યારે $y_2 = -240 \ m$:
$-240 = 40t - 5t^2 \implies t^2 - 8t - 48 = 0 \implies (t-12)(t+4) = 0$. આમ,$t = 12 \ s$.
$8 \ s < t \le 12 \ s$ માટે,$y_{rel} = y_2 - y_1 = (40t - 5t^2) - (-240) = -5t^2 + 40t + 240$. આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.
તેથી,આલેખ $t \le 8 \ s$ માટે રેખીય છે અને $8 \ s < t \le 12 \ s$ માટે પરવલયાકાર છે.

(B) આલેખો દ્વારા વર્ણવેલ ગતિ એ પ્રારંભિક વેગ $u$ અને અચળ પ્રવેગ $a = -2b$ સાથેની સમાન પ્રવેગી ગતિ છે.
સ્થાન-સમયનો સંબંધ $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = at - bt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે આલેખ $(C)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
વેગ-સમયનો સંબંધ $v = u + at = a - 2bt$ છે,જે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે આલેખ $(D)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
વેગ-સ્થાન આલેખ માટે,$v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v^2 = a^2 - 4bs$ મળે છે,જે ઋણ સ્થાન અક્ષ તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે,જે આલેખ $(A)$ સાથે સુસંગત છે.
આલેખ $(B)$ અંતર-સમયનો આલેખ દર્શાવે છે. અંતર એ અદિશ રાશિ હોવાથી તે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે હંમેશા વધે છે,તે ઘટી શકે નહીં કે અચળ રહી શકે નહીં જો પદાર્થ ગતિમાં હોય. આલેખ $(B)$ માં દર્શાવેલ છે કે અંતર વધે છે અને પછી સ્થિર થઈ જાય છે,જે અન્ય આલેખો દ્વારા વર્ણવેલ ગતિથી વિરોધાભાસી છે જ્યાં પદાર્થ તેની દિશા બદલે છે. આમ,આલેખ $(B)$ ખોટો છે.

(C) જ્યારે વીડિયોને ઉલ્ટી દિશામાં ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે સમય ચલ $t$ ને $-t$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
$1$. સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t)$ ચોક્કસ ક્ષણ $A$ પર સમાન રહે છે કારણ કે પદાર્થ સમાન ભૌમિતિક સ્થાન પર છે,તેથી $\vec{r}_{obs} = \vec{r}$.
$2$. વેગને $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉલ્ટી દિશામાં,$\vec{v}_{obs} = \frac{d\vec{r}}{d(-t)} = -\frac{d\vec{r}}{dt} = -\vec{v}$.
$3$. પ્રવેગને $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉલ્ટી દિશામાં,$\vec{a}_{obs} = \frac{d(\vec{v}_{obs})}{d(-t)} = \frac{d(-\vec{v})}{-dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}$.
આમ,અવલોકન કરેલ મૂલ્યો $\vec{r}, -\vec{v}, \vec{a}$ છે.

(B) ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા ભાગની પથ લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $\frac{S_2}{S_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
સરેરાશ ઝડપ $V_{avg}$ એ કુલ અંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર છે:
$V_{avg} = \frac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2} = \frac{S_1 + S_2}{\frac{S_1}{V_1} + \frac{S_2}{V_2}}$.
અંશ અને છેદને $S_1$ વડે ભાગતા:
$V_{avg} = \frac{1 + \frac{S_2}{S_1}}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} \cdot \frac{S_2}{S_1}}$.
$\frac{S_2}{S_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$ મૂકતા:
$V_{avg} = \frac{1 + \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}} = \sqrt{V_1 V_2}$.
આમ,સરેરાશ ઝડપ એ $V_1$ અને $V_2$ નો ભૌમિતિક મધ્યક છે.

(C) પગલું $1$: માધ્યમ $1$ માં કાપેલું અંતર $(d_1)$:
$d_1 = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 1\, m/s \times 2.5\, s = 2.5\, m$.
પગલું $2$: હવામાં ગતિ:
મણકો $u = 1\, m/s$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે હવામાં પ્રવેશે છે. તે ગુરુત્વાકર્ષણ $(g = 10\, m/s^2)$ હેઠળ $h = 2\, m$ અંતર સુધી મુક્ત પતન કરે છે.
સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - (1)^2 = 2 \times 10 \times 2$
$v^2 - 1 = 40$
$v^2 = 41$
$v = \sqrt{41} \approx 6.4\, m/s$.
પગલું $3$: માધ્યમ $2$ માં કાપેલું અંતર $(d_2)$:
મણકો $v = \sqrt{41}\, m/s$ ના વેગ સાથે માધ્યમ $2$ માં પ્રવેશે છે અને $t = 1.5\, s$ સુધી આ સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે.
$d_2 = v \times t = \sqrt{41} \times 1.5 \approx 6.403 \times 1.5 = 9.6045\, m$.
પગલું $4$: કુલ અંતર $(D)$:
$D = d_1 + h + d_2 = 2.5 + 2 + 9.6045 = 14.1045\, m$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, કુલ અંતર $14.1\, m$ મળે છે.

(A) તબક્કો $1$: $u_1 = 0$ અને $a_1 = g = 10\,m/s^2$ સાથે $t_1 = 10\,s$ માટે મુક્ત પતન.
મુક્ત પતનના અંતે વેગ: $v_1 = u_1 + a_1 t_1 = 0 + 10 \times 10 = 100\,m/s$.
મુક્ત પતન દરમિયાન કાપેલું અંતર: $h_1 = u_1 t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500\,m$.
તબક્કો $2$: પેરાશૂટ ખૂલે છે,પ્રતિપ્રવેગ $a_2 = -2.5\,m/s^2$. પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 100\,m/s$.
બાકી રહેલી ઊંચાઈ: $h_2 = 2495 - 500 = 1995\,m$.
સૂત્ર $v_2^2 = u_2^2 + 2 a_2 h_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_2^2 = (100)^2 + 2 \times (-2.5) \times 1995$
$v_2^2 = 10000 - 9975 = 25$
$v_2 = \sqrt{25} = 5\,m/s$.

(A) ધારો કે કુલ અંતર $2s$ છે. પ્રથમ અડધું અંતર $s$ એ $v_0$ વેગથી કાપવામાં આવે છે. લીધેલ સમય $t_1 = s/v_0$ છે.
બાકીના અંતર $s$ માટે,ધારો કે કુલ સમય $2t$ લાગે છે. આ અંતર $t$ સમય માટે $v_1$ વેગથી અને $t$ સમય માટે $v_2$ વેગથી કાપવામાં આવે છે. તેથી,$s = v_1 t + v_2 t = (v_1 + v_2)t$,જે આપણને $t = s/(v_1 + v_2)$ આપે છે.
કુલ સમય $T = t_1 + 2t = s/v_0 + 2s/(v_1 + v_2)$ છે.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \text{કુલ અંતર} / \text{કુલ સમય} = 2s / [s/v_0 + 2s/(v_1 + v_2)]$ છે.
$v_{avg} = 2 / [1/v_0 + 2/(v_1 + v_2)] = 2 / [(v_1 + v_2 + 2v_0) / (v_0(v_1 + v_2))]$.
$v_{avg} = \frac{2 v_0(v_1 + v_2)}{2 v_0 + v_1 + v_2}$.

(A) મુસાફરી માટેનો કુલ સમય $T = 60\,min$ છે. સમગ્ર મુસાફરી માટે સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = 21\,m/s$ છે.
કુલ કાપેલું અંતર $D = v_{avg} \times T = 21\,m/s \times 60\,min = 21\,m/s \times 3600\,s = 75600\,m$ છે.
પ્રથમ $18\,min$ $(1080\,s)$ માં $11\,m/s$ ની ઝડપે કાપેલું અંતર $d_1 = 11\,m/s \times 1080\,s = 11880\,m$ છે.
બાકીનું અંતર $d_2 = D - d_1 = 75600\,m - 11880\,m = 63720\,m$ છે.
બાકીનો સમય $t_2 = 42\,min = 2520\,s$ છે.
બાકીના સમય માટે જરૂરી સરેરાશ ઝડપ $v_2 = \frac{d_2}{t_2} = \frac{63720\,m}{2520\,s} \approx 25.285\,m/s \approx 25.3\,m/s$ થાય.

(A) ધારો કે કાર બિંદુ $M$ થી $x$ અંતરે હાઇવે છોડે છે. તેથી,$RM = x$.
ધારો કે હાઇવે પર કારની ઝડપ $v_h = v$ છે અને ખેતરમાં ઝડપ $v_f = v/2$ છે.
અંતર $QM$ અચળ છે. ધારો કે $QM = L$. હાઇવે પર કાપેલું અંતર $QM - x = L - x$ છે.
હાઇવે પર મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{L - x}{v}$ છે.
ખેતરમાં અંતર $RP = \sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
ખેતરમાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{\sqrt{d^2 + x^2}}{v/2} = \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v}$ છે.
કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = \frac{L - x}{v} + \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v}$.
ન્યૂનતમ સમય માટે,$\frac{dt}{dx} = 0$.
$\frac{d}{dx} \left( \frac{L - x}{v} + \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v} \right) = 0$.
$\frac{1}{v} \left( -1 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{d^2 + x^2}} \cdot 2x \right) = 0$.
$-1 + \frac{2x}{\sqrt{d^2 + x^2}} = 0 \implies \frac{2x}{\sqrt{d^2 + x^2}} = 1$.
$4x^2 = d^2 + x^2 \implies 3x^2 = d^2 \implies x = \frac{d}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે કણની મહત્તમ ઝડપ $v_m$ છે.
$1$. પ્રથમ ભાગ માટે (પ્રવેગ): $v_m^2 = 0 + 2a_1 l \implies a_1 = v_m^2 / (2l)$. લાગતો સમય $t_1 = v_m / a_1 = 2l / v_m$.
$2$. બીજા ભાગ માટે (અચળ ગતિ): અંતર $2l$ અને ઝડપ $v_m$ છે. લાગતો સમય $t_2 = 2l / v_m$.
$3$. ત્રીજા ભાગ માટે (પ્રતિપ્રવેગ): $0 = v_m^2 - 2a_2(3l) \implies a_2 = v_m^2 / (6l)$. લાગતો સમય $t_3 = v_m / a_2 = 6l / v_m$.
કુલ અંતર $D = l + 2l + 3l = 6l$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 + t_3 = (2l / v_m) + (2l / v_m) + (6l / v_m) = 10l / v_m$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{av} = D / T = 6l / (10l / v_m) = 0.6 v_m = (3/5) v_m$.
તેથી,ગુણોત્તર $v_{av} / v_m = 3/5$ થાય.

(B) સ્થાનાંતર $x = \alpha t^3 + \beta t^2 + \gamma t + \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 3\alpha t^2 + 2\beta t + \gamma$.
$t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $(v_i)$ $v_i = \gamma$ છે.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = 6\alpha t + 2\beta$.
$t = 0$ સમયે પ્રારંભિક પ્રવેગ $(a_i)$ $a_i = 2\beta$ છે.
પ્રારંભિક પ્રવેગ અને પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_i}{v_i} = \frac{2\beta}{\gamma}$ થાય છે.
આમ,આ ગુણોત્તર માત્ર $\beta$ અને $\gamma$ પર આધાર રાખે છે.

(D) આપેલ છે $a = \frac{dv}{dt} = -0.5t$. પ્રારંભિક વેગ $v(0) = 16 \; m/s$ સાથે સંકલન કરતા:
$\int_{16}^{v} dv = \int_{0}^{t} -0.5t \; dt \implies v - 16 = -0.25t^2 \implies v(t) = 16 - 0.25t^2$.
જ્યારે $v = 0$ થાય ત્યારે વેગની દિશા બદલાય છે,તેથી $16 - 0.25t^2 = 0 \implies t^2 = 64 \implies t = 8 \; s$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$4 \; s$ માં અંતર: $S_4 = \int_{0}^{4} (16 - 0.25t^2) dt = [16t - \frac{0.25t^3}{3}]_{0}^{4} = 64 - 5.33 = 58.67 \; m \approx 59 \; m$. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$10 \; s$ માં અંતર: કણ $t=8 \; s$ સુધી આગળ વધે છે અને $t=8 \; s$ થી $t=10 \; s$ સુધી પાછળ જાય છે.
અંતર $d = \int_{0}^{8} v \; dt + |\int_{8}^{10} v \; dt|$.
$\int_{0}^{8} (16 - 0.25t^2) dt = [16t - \frac{0.25t^3}{3}]_{0}^{8} = 128 - 42.67 = 85.33 \; m$.
$\int_{8}^{10} (16 - 0.25t^2) dt = [16t - \frac{0.25t^3}{3}]_{8}^{10} = (160 - 83.33) - (128 - 42.67) = 76.67 - 85.33 = -8.66 \; m$.
કુલ અંતર $= 85.33 + |-8.66| = 93.99 \; m \approx 94 \; m$. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) $1$. વેગને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરો: $v = 108 \, km/h = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \, m/s$.
$2$. પ્રથમ ભાગમાં કાપેલું અંતર (પ્રવેગ): $d_1 = \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 5 \times 30 = 75 \, m$.
$3$. છેલ્લા ભાગમાં કાપેલું અંતર (પ્રતિપ્રવેગ): $d_3 = 45 \, m$.
$4$. મધ્ય ભાગમાં કાપેલું અંતર (અચળ વેગ): $d_2 = \text{કુલ અંતર} - (d_1 + d_3) = 395 - (75 + 45) = 395 - 120 = 275 \, m$.
$5$. મધ્ય ભાગ માટે લાગતો સમય: $t_2 = \frac{d_2}{v} = \frac{275}{30} = 9.166 \approx 9.2 \, s$.
$6$. છેલ્લા ભાગ માટે લાગતો સમય: $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,$0^2 = 30^2 + 2(-a)(45) \implies 90a = 900 \implies a = 10 \, m/s^2$. સમય $t_3 = \frac{v}{a} = \frac{30}{10} = 3 \, s$.
$7$. કુલ સમય: $T = t_1 + t_2 + t_3 = 5 + 9.2 + 3 = 17.2 \, s$.

(D) $1$. વિકલ્પ $A$: જો કણનો વેગ ધન હોય અને પ્રવેગ ધન હોય પરંતુ ઘટતો જતો હોય (દા.ત.,$a = 2 - t$),તો જ્યાં સુધી $a > 0$ હોય ત્યાં સુધી વેગ વધતો રહેશે. આમ,આ શક્ય છે.
$2$. વિકલ્પ $B$: સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણનો વિચાર કરો. જો પ્રવેગની નિશાની બદલાય (દા.ત.,ધનમાંથી ઋણ) જ્યારે વેગ તેની દિશા જાળવી રાખવા માટે પૂરતો હોય,તો વેગ ઘટશે પરંતુ તરત જ ઉલટાઈ જશે તે જરૂરી નથી. આમ,આ શક્ય છે.
$3$. વિકલ્પ $C$: સ્થિર પદાર્થ $(v = 0)$ પર જો ચોખ્ખું બળ લાગે તો તે પ્રવેગિત થઈ શકે છે (ન્યુટનનો ગતિનો બીજો નિયમ,$F = ma$). ઉદાહરણ તરીકે,ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા પદાર્થનો પ્રવેગ $v = 0$ હોય તે ક્ષણે પણ $g$ હોય છે. આમ,આ શક્ય છે.
$4$. બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જ્યારે દડાને ઉપર ફેંકવામાં આવે અને તે તે જ બિંદુ પર પાછો આવે ત્યારે:
$1$. અંતર એ કાપેલા કુલ પથની લંબાઈ છે,જે $2h$ છે (જ્યાં $h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે). તેથી,અંતર શૂન્ય હોઈ શકે નહીં. વિધાન $(a)$ ખોટું છે.
$2$. સ્થાનાંતર એ સ્થાનમાં થયેલો ફેરફાર છે. અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન સમાન હોવાથી,સ્થાનાંતર $0$ છે. વિધાન $(b)$ સાચું છે.
$3$. સરેરાશ વેગ એટલે $\text{કુલ સ્થાનાંતર} / \text{કુલ સમય}$. સ્થાનાંતર $0$ હોવાથી,સરેરાશ વેગ $0$ થાય છે. વિધાન $(c)$ સાચું છે.
$4$. ગતિ દરમિયાન,દડો ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોય છે,તેથી તેનો પ્રવેગ $g \approx 9.8 \ m/s^2$ નીચેની તરફ અચળ રહે છે. તે શૂન્ય નથી. વિધાન $(d)$ ખોટું છે.
તેથી,વિધાનો $(b)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(B) ધારો કે કણ $P$ નો પ્રવેગ $a$ છે અને કણ $Q$ નો પ્રવેગ $-a$ છે.
ધારો કે $P$ ને $B$ બિંદુએ $Q$ ને ઓવરટેક કરવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
કણ $P$ માટે,$v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$30 = 15 + at \implies at = 15\,m/s$.
બંને કણો બિંદુ $A$ થી એકસાથે ગતિ શરૂ કરે છે અને $B$ બિંદુએ મળે છે,તેથી બંનેનું સ્થાનાંતર $s$ સમાન છે.
$s_P = u_P t + \frac{1}{2} a t^2$ અને $s_Q = u_Q t + \frac{1}{2} (-a) t^2$.
$s_P = s_Q$ હોવાથી,$15t + \frac{1}{2} a t^2 = 20t - \frac{1}{2} a t^2$ મળે.
આથી $at^2 = 5t$ એટલે કે $at = 5$ મળે.
પરંતુ $P$ ના વેગ પરથી $at = 15$ મળે છે.
$Q$ નો વેગ $v_Q = u_Q + a_Q t = 20 - at = 20 - 15 = 5\,m/s$ થાય.

(A) આપેલ પ્રવેગ $a = b - cx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$.
તેથી,$v \frac{dv}{dx} = b - cx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v \, dv = \int (b - cx) \, dx$.
$\frac{v^2}{2} = bx - \frac{cx^2}{2} + C$. કારણ કે $x = 0$ પર $v = 0$ છે,તેથી અચળાંક $C = 0$.
આમ,$v^2 = 2bx - cx^2$.
બીજા સ્ટેશન $B$ પર,વેગ $v = 0$ થાય છે.
$0 = x(2b - cx) \implies x = 2b/c$ (કારણ કે $x=0$ એ સ્ટેશન $A$ છે).
મહત્તમ વેગ માટે,$\frac{dv}{dx} = 0$. $v^2 = 2bx - cx^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2v \frac{dv}{dx} = 2b - 2cx$.
$\frac{dv}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $2b - 2cx = 0$ મળે છે,તેથી $x = b/c$.
$x = b/c$ ને $v^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_{\max}^2 = 2b(b/c) - c(b/c)^2 = 2b^2/c - b^2/c = b^2/c$.
તેથી,$v_{\max} = b/\sqrt{c}$.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $a = \frac{dv}{dt} = -4v + 8$ છે.
પ્રવેગમાં ફેરફારનો દર શોધવા માટે,$a$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{da}{dt} = \frac{d}{dt}(-4v + 8) = -4 \frac{dv}{dt}$ મળે.
$\frac{dv}{dt} = -4v + 8$ મૂકતા:
$\frac{da}{dt} = -4(-4v + 8) = 16v - 32$ મળે.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક વેગ $v = 0$ છે,તેથી પ્રવેગમાં ફેરફારનો પ્રારંભિક દર $\left(\frac{da}{dt}\right)_{t=0} = 16(0) - 32 = -32\,m/s^3$ થાય. આમ,વિકલ્પ $(a)$ ખોટો છે.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય થાય ત્યારે અંતિમ વેગ મળે છે:
$a = \frac{dv}{dt} = 0 \implies -4v + 8 = 0$.
$4v = 8 \implies v = 2\,m/s$ મળે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) આલેખ પરથી:
$t=0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $v_i = 10\,m/s$ છે.
$t=6\,s$ સમયે અંતિમ વેગ $v_f = 0\,m/s$ છે.
$(A)$ વેગમાં ફેરફાર $\Delta v = v_f - v_i = 0 - 10 = -10\,m/s$. તેથી,$(A \rightarrow r)$.
$(B)$ સરેરાશ પ્રવેગ $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-10}{6} = -5/3\,m/s^2$. તેથી,$(B \rightarrow p)$.
$(C)$ કુલ સ્થાનાંતર એ $v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (0 થી 2)} + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (2 થી 6)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times 10 + \frac{1}{2} \times 4 \times (-5) = 10 - 10 = 0\,m$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો મેળ $(A \rightarrow r, B \rightarrow p, C \rightarrow r, D \rightarrow s)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $s(t) = 10 + 20t - 5t^2$.
$(A)$ $3\,s$ માં કાપેલું અંતર: $t=0$ સમયે,$s(0) = 10$. $t=2\,s$ (વળાંક બિંદુ) પર,$v = ds/dt = 20 - 10t = 0 \implies t=2\,s$. $s(2) = 10 + 20(2) - 5(4) = 30$. $t=3\,s$ પર,$s(3) = 10 + 20(3) - 5(9) = 25$. અંતર = $|s(2)-s(0)| + |s(3)-s(2)| = |30-10| + |25-30| = 20 + 5 = 25$ એકમ. તેથી,$(A \rightarrow r)$.
$(B)$ $1\,s$ માં સ્થાનાંતર: $s(1) - s(0) = (10 + 20(1) - 5(1)^2) - 10 = 25 - 10 = 15$ એકમ. તેથી,$(B \rightarrow q)$.
$(C)$ પ્રારંભિક પ્રવેગ: $v = ds/dt = 20 - 10t$. પ્રવેગ $a = dv/dt = -10$ એકમ. તેથી,$(C \rightarrow s)$.
$(D)$ $4\,s$ પર વેગ: $v(4) = 20 - 10(4) = 20 - 40 = -20$ એકમ. તેથી,$(D \rightarrow p)$.
સાચી જોડ: $(A \rightarrow r, B \rightarrow q, C \rightarrow s, D \rightarrow p)$.

(D) $Assertion$ ખોટું છે કારણ કે અચળ પ્રવેગ ધરાવતું પદાર્થ હંમેશા સુરેખ પથ પર ગતિ કરે તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ અચળ હોય છે,પરંતુ પથ પરવલયાકાર હોય છે.
$Reason$ સાચું છે કારણ કે અચળ પ્રવેગ ધરાવતા પદાર્થની ઝડપ વધતી ન પણ હોય. ઉદાહરણ તરીકે,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય અચળ હોય છે,પરંતુ પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આકૃતિ પરથી,$O$ નું સ્થાન $0\; m$,$P$ નું સ્થાન $360\; m$ અને $Q$ નું સ્થાન $240\; m$ છે.
કુલ સ્થાનાંતર = અંતિમ સ્થાન - પ્રારંભિક સ્થાન = $240\; m - 0\; m = 240\; m$.
કુલ સમય = $18\; s + 6.0\; s = 24\; s$.
સરેરાશ વેગ = $\frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{240\; m}{24\; s} = 10\; m s^{-1}$.
કુલ પથ લંબાઈ = અંતર $OP$ + અંતર $PQ = 360\; m + (360\; m - 240\; m) = 360\; m + 120\; m = 480\; m$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ પથ લંબાઈ}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{480\; m}{24\; s} = 20\; m s^{-1}$.

(B) $1$ ડગલામાં કાપેલું અંતર $= 1\; m$.
$1$ ડગલા માટે લાગતો સમય $= 1\; s$.
$5\; m$ આગળ વધવા માટે લાગતો સમય $= 5\; s$.
$3\; m$ પાછળ જવા માટે લાગતો સમય $= 3\; s$.
એક ચક્રમાં કપાયેલું ચોખ્ખું અંતર $= 5 - 3 = 2\; m$.
એક ચક્ર માટે લાગતો કુલ સમય $= 5 + 3 = 8\; s$.
$13\; m$ દૂર આવેલા ખાડા સુધી પહોંચવા માટે,દારૂડિયાએ પહેલા $8\; m$ સુધી પહોંચવું પડશે,કારણ કે ત્યારબાદના $5\; m$ ના આગળના ગતિમાં તે $8 + 5 = 13\; m$ પર પહોંચીને ખાડામાં પડી જશે.
$8\; m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય ($4$ ચક્ર) $= 4 \times 8\; s = 32\; s$.
$32\; s$ પછી,દારૂડિયો $8\; m$ પર છે. પછીના $5\; s$ માં,તે $5$ ડગલાં આગળ ભરીને $8 + 5 = 13\; m$ પર પહોંચશે.
કુલ લાગતો સમય $= 32\; s + 5\; s = 37\; s$.

(A) સાચું. જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે મહત્તમ ઊંચાઈએ તેની ઝડપ શૂન્ય થાય છે. જોકે,તેના પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નીચેની દિશામાં કાર્યરત હોય છે.
$(b)$ ખોટું. ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે. જો ઝડપ શૂન્ય હોય,તો વેગનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય,જેનો અર્થ છે કે વેગ પોતે પણ શૂન્ય છે.
$(c)$ ખોટું. અચળ ઝડપનો અર્થ અચળ વેગ નથી કારણ કે ગતિની દિશા બદલાઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં ઝડપ અચળ હોય છે,પરંતુ દિશા બદલાવાને કારણે વેગ બદલાય છે,પરિણામે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી.
$(d)$ ખોટું. જો પ્રવેગ ધન હોય પરંતુ વેગ ઋણ હોય (દા.ત. પદાર્થ ઋણ દિશામાં ગતિ કરતો હોય અને ધન બળ દ્વારા પ્રતિપ્રવેગ અનુભવતો હોય),તો પદાર્થની ઝડપ ઘટે છે. ઝડપ ત્યારે જ વધે જ્યારે વેગ અને પ્રવેગ બંને સમાન દિશામાં હોય.

(C) બજાર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય: $t_1 = \frac{2.5 \; km}{5 \; km \; h^{-1}} = 0.5 \; h = 30 \; min$.
ઘરે પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય: $t_2 = \frac{2.5 \; km}{7.5 \; km \; h^{-1}} = \frac{1}{3} \; h = 20 \; min$.
$40 \; min$ માં કાપેલું કુલ અંતર:
પ્રથમ $30 \; min$ માં,માણસ બજાર સુધી પહોંચવા માટે $2.5 \; km$ અંતર કાપે છે.
બાકીના $10 \; min$ $(= \frac{1}{6} \; h)$ માં,તે $7.5 \; km \; h^{-1}$ ની ઝડપે પાછો ફરે છે.
પાછા ફરતી વખતે કાપેલું અંતર: $d_2 = 7.5 \; km \; h^{-1} \times \frac{1}{6} \; h = 1.25 \; km$.
કુલ અંતર = $2.5 \; km + 1.25 \; km = 3.75 \; km$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{3.75 \; km}{40/60 \; h} = \frac{3.75}{2/3} \; km \; h^{-1} = 5.625 \; km \; h^{-1}$.

(ALL OF THE ABOVE) માં દર્શાવેલ $x-t$ આલેખ કણની એક-પરિમાણીય ગતિનું નિરૂપણ કરતો નથી. કારણ કે કોઈ પણ કણ એક જ સમયે બે અલગ-અલગ સ્થાનો પર હોઈ શકે નહીં.
$(b)$ માં દર્શાવેલ $v-t$ આલેખ કણની એક-પરિમાણીય ગતિનું નિરૂપણ કરતો નથી. કારણ કે કોઈ પણ કણ એક જ સમયે વેગના બે મૂલ્યો ધરાવી શકે નહીં.
$(c)$ માં દર્શાવેલ ઝડપ-સમયનો આલેખ કણની એક-પરિમાણીય ગતિનું નિરૂપણ કરતો નથી. કારણ કે ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે અને તે ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.
$(d)$ માં દર્શાવેલ કુલ પથલંબાઈ-સમયનો આલેખ કણની એક-પરિમાણીય ગતિનું નિરૂપણ કરતો નથી. કારણ કે કણ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથલંબાઈ (અંતર) સમયની સાથે ક્યારેય ઘટી શકે નહીં.

(N/A) સ્થાનાંતર એટલે પદાર્થની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર. અહીં સાયકલ સવાર $O$ થી શરૂઆત કરે છે અને રાઉન્ડ ટ્રીપ પછી $O$ પર પાછો ફરે છે,તેથી પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ સમાન છે. તેથી,ચોખ્ખું સ્થાનાંતર $0 \; km$ છે.
$(b)$ સરેરાશ વેગ એટલે ચોખ્ખા સ્થાનાંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર:
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{\text{ચોખ્ખું સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}}$
ચોખ્ખું સ્થાનાંતર $0$ હોવાથી,સરેરાશ વેગ $0 \; km/h$ થશે.
$(c)$ સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ પથ લંબાઈ અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ પથ લંબાઈ}}{\text{કુલ સમય}}$
કુલ પથ લંબાઈ એ $OP$,$PQ$ (ચાપની લંબાઈ),અને $QO$ ના અંતરનો સરવાળો છે:
$OP = 1 \; km$
$PQ = \frac{1}{4} \times (2 \pi r) = \frac{1}{4} \times 2 \times \pi \times 1 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \; km$
$QO = 1 \; km$
$\text{કુલ પથ લંબાઈ} = 1 + 1.57 + 1 = 3.57 \; km$
$\text{કુલ સમય} = 10 \; min = \frac{10}{60} \; h = \frac{1}{6} \; h$
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{3.57}{1/6} = 3.57 \times 6 = 21.42 \; km/h$

(A) કુલ કાપેલું અંતર $= 23 \;km$.
લાગતો કુલ સમય $= 28 \;min = \frac{28}{60} \;h$.
$\therefore$ ટેક્સીની સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ કાપેલું અંતર}}{\text{લાગતો કુલ સમય}} = \frac{23}{(28/60)} \approx 49.29 \;km/h$.
$(b)$ સ્થાનાંતર $= 10 \;km$ (સ્ટેશન અને હોટલ વચ્ચેનું સીધું અંતર).
$\therefore$ સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{લાગતો કુલ સમય}} = \frac{10}{(28/60)} \approx 21.43 \;km/h$.
અહીં કુલ કાપેલું અંતર એ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતા વધારે હોવાથી,સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ સમાન નથી.