Uniformly Accelerated Motion Questions in Gujarati

(D) આપેલ પ્રતિપ્રવેગનું સમીકરણ: $\frac{dv}{dt} = -kv^3$.
પદોને સંકલન માટે ગોઠવતા: $\frac{dv}{v^3} = -k dt$.
બંને બાજુ વેગ માટે $v_0$ થી $v$ અને સમય માટે $0$ થી $t$ ની મર્યાદામાં સંકલન કરતા:
$\int_{v_0}^{v} v^{-3} dv = \int_{0}^{t} -k dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$\left[ \frac{v^{-2}}{-2} \right]_{v_0}^{v} = -kt$.
$-\frac{1}{2} \left( \frac{1}{v^2} - \frac{1}{v_0^2} \right) = -kt$.
$\frac{1}{v^2} - \frac{1}{v_0^2} = 2kt$.
$\frac{1}{v^2} = \frac{1}{v_0^2} + 2kt = \frac{1 + 2v_0^2kt}{v_0^2}$.
વ્યસ્ત અને વર્ગમૂળ લેતા:
$v^2 = \frac{v_0^2}{1 + 2v_0^2kt}$.
$v = \frac{v_0}{\sqrt{1 + 2v_0^2kt}}$.

(C) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને એક પાટિયાની જાડાઈ $s$ છે. એક પાટિયામાંથી પસાર થયા પછીનો વેગ $v = u - u/20 = 19u/20$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a$ એ અચળ પ્રતિપ્રવેગ છે:
$(19u/20)^2 = u^2 + 2as \implies 2as = (19/20)^2 u^2 - u^2 = u^2 (361/400 - 1) = -39u^2/400$.
ધારો કે ગોળીને રોકવા માટે જરૂરી પાટિયાઓની સંખ્યા $n$ છે. $n$ પાટિયાઓમાંથી પસાર થયા પછી અંતિમ વેગ $0$ થવા માટે:
$0^2 = u^2 + 2a(ns) = u^2 + n(2as)$.
$2as = -39u^2/400$ મૂકતા:
$0 = u^2 + n(-39u^2/400) \implies 1 = n(39/400) \implies n = 400/39 \approx 10.25$.
પાટિયાઓની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી ગોળીને રોકવા માટે ઓછામાં ઓછા $11$ પાટિયાની જરૂર પડશે.

(C) ધારો કે કણનો સમાન પ્રવેગ $a$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ $5 \ s$ માં કાપેલું અંતર:
$x = 0(5) + \frac{1}{2}a(5)^2 = 12.5a \implies a = \frac{x}{12.5} = 0.08x \ m/s^2$.
હવે,પ્રથમ $10 \ s$ (કુલ સમય) માં કાપેલું અંતર:
$s_{10} = 0(10) + \frac{1}{2}a(10)^2 = 50a$.
$a = 0.08x$ કિંમત મૂકતા:
$s_{10} = 50(0.08x) = 4x \ m$.
પછીની $5 \ s$ માં કાપેલું અંતર એ $10 \ s$ માં કાપેલા અંતર અને $5 \ s$ માં કાપેલા અંતરનો તફાવત છે:
$\text{અંતર} = s_{10} - x = 4x - x = 3x \ m$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવેગ $a_1$ છે. કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $u = 0$. $t_1 = 9 \ s$ પછી,વેગ $v = a_1 t_1 = 9a_1$ થાય છે. તેથી,$a_1 = v/9$.
ત્યારબાદ,મોટરચાલક $t_2 = 50 \ s$ માટે $v$ ઝડપ જાળવી રાખે છે.
અંતે,મોટરચાલક પ્રતિપ્રવેગ સાથે સ્થિર થાય છે. ધારો કે પ્રતિપ્રવેગ $a_2$ છે. આપણને આપેલ છે કે $a_2 = 3a_1 = 3(v/9) = v/3$.
ગતિના સમીકરણ $v_f = u_f - a_2 t_3$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_f = 0$ (અંતિમ સ્થિર સ્થિતિ),$u_f = v$ (આ તબક્કા માટે પ્રારંભિક ઝડપ),અને $t_3$ એ અટકવા માટે લાગતો સમય છે:
$0 = v - (v/3) t_3$
$v = (v/3) t_3$
$t_3 = 3 \ s$.

(C) આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$. પ્રવેગ $a$ અચળ છે.
પ્રથમ $10\, s$ માટે $(t_1 = 10\, s)$:
$s_1 = ut_1 + \frac{1}{2}at_1^2 = 0(10) + \frac{1}{2}a(10)^2 = 50a$.
કુલ $20\, s$ ના સમય માટે $(t_{total} = 20\, s)$:
$s_{total} = s_1 + s_2 = u(t_{total}) + \frac{1}{2}a(t_{total})^2 = 0(20) + \frac{1}{2}a(20)^2 = 200a$.
કુલ અંતરના સમીકરણમાં $s_1 = 50a$ મૂકતા:
$50a + s_2 = 200a$.
તેથી,$s_2 = 200a - 50a = 150a$.
$s_1$ અને $s_2$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{s_2}{s_1} = \frac{150a}{50a} = 3$.
આમ,$s_2 = 3s_1$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20\ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\ m/s$,અને પ્રતિપ્રવેગ $a = -5\ m/s^2$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (20)^2 + 2(-5)s$.
$0 = 400 - 10s$.
$10s = 400$.
$s = 40\ m$.
તેથી,કાર ઉભી રહે ત્યાં સુધી તેણે કાપેલું અંતર $40\ m$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
પ્રથમ $t = 4 \ sec$ ના અંતરાલ માટે,કાપેલું અંતર $s_1 = 24 \ m$ છે.
સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$24 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2$
$24 = 4u + 8a$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $6 = u + 2a$ --- $(1)$
કુલ $t = 8 \ sec$ ના સમય માટે,કુલ કાપેલું અંતર $s_{total} = 24 + 64 = 88 \ m$ છે.
સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$88 = u(8) + \frac{1}{2}a(8)^2$
$88 = 8u + 32a$
$8$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $11 = u + 4a$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(u + 4a) - (u + 2a) = 11 - 6$
$2a = 5 \Rightarrow a = 2.5 \ m/s^2$
$a = 2.5$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$6 = u + 2(2.5)$
$6 = u + 5$
$u = 1 \ m/s$.

(D) આપેલ પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx} = -\alpha x^2$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $v dv = -\alpha x^2 dx$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રારંભિક સ્થિતિ $(x=0, v=v_0)$ થી અંતિમ સ્થિતિ $(x=d, v=0)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{v_0}^{0} v dv = \int_{0}^{d} -\alpha x^2 dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$[\frac{v^2}{2}]_{v_0}^{0} = -\alpha [\frac{x^3}{3}]_{0}^{d}$.
$0 - \frac{v_0^2}{2} = -\alpha (\frac{d^3}{3})$.
$\frac{v_0^2}{2} = \frac{\alpha d^3}{3}$.
$d$ માટે ઉકેલતા:
$d^3 = \frac{3v_0^2}{2\alpha}$.
$d = (\frac{3v_0^2}{2\alpha})^{1/3}$.

(A) ધારો કે $u_1, u_2, u_3, u_4$ એ અનુક્રમે $t=0, t_1, (t_1+t_2)$ અને $(t_1+t_2+t_3)$ સમયે વેગ છે. ધારો કે $a$ એ અચળ પ્રવેગ છે.
કોઈપણ સમયગાળામાં સરેરાશ વેગ એ પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગની સરેરાશ છે:
$v_1 = \frac{u_1 + u_2}{2}$,$v_2 = \frac{u_2 + u_3}{2}$,$v_3 = \frac{u_3 + u_4}{2}$.
$v = u + at$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$u_2 = u_1 + at_1$
$u_3 = u_2 + at_2 = u_1 + a(t_1 + t_2)$
$u_4 = u_3 + at_3 = u_1 + a(t_1 + t_2 + t_3)$
હવે,$v_1 - v_2 = \frac{u_1 + u_2}{2} - \frac{u_2 + u_3}{2} = \frac{u_1 - u_3}{2} = -\frac{a(t_1 + t_2)}{2}$.
તે જ રીતે,$v_2 - v_3 = \frac{u_2 + u_3}{2} - \frac{u_3 + u_4}{2} = \frac{u_2 - u_4}{2} = -\frac{a(t_2 + t_3)}{2}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{v_1 - v_2}{v_2 - v_3} = \frac{t_1 + t_2}{t_2 + t_3}$.

(D) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનું સૂત્ર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
અહીં પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$ છે.
$6^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_6 = 120 \, cm = 1.2 \, m$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$1.2 = 0 + \frac{a}{2}(2 \times 6 - 1)$
$1.2 = \frac{a}{2}(11)$
$a = \frac{1.2 \times 2}{11} = \frac{2.4}{11} \, m/s^2 \approx 0.218 \, m/s^2$.
તેને $cm/s^2$ માં ફેરવતા:
$a = 0.218 \times 100 \, cm/s^2 = 21.8 \, cm/s^2$.

(A) આપેલ વેગનું સમીકરણ: $v = \sqrt{2x + 9}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = 2x + 9$.
આ સમીકરણને ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2ax$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે:
ઉગમબિંદુ પર,$x = 0$. વેગના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $v = \sqrt{2(0) + 9} = \sqrt{9} = 3\, \text{unit}$. આમ,પ્રારંભિક વેગ $u = 3\, \text{unit}$ છે.
$v^2 = 2x + 9$ ને $v^2 = u^2 + 2ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2a = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 1\, \text{unit}$.
તેથી,પ્રારંભિક પ્રવેગ $1\, \text{unit}$ અને પ્રારંભિક વેગ $3\, \text{unit}$ છે.

(B) આપેલ છે,$v = 2\sqrt{x}$.
પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$.
પ્રથમ,$\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^{1/2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
હવે,પ્રવેગની ગણતરી કરો:
$a = (2\sqrt{x}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 2\,m/s^2$.
કારણ કે પ્રવેગ અચળ છે અને સમય કે સ્થાન પર આધારિત નથી,તેથી ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ કણ પર લાગતું પરિણામી બળ $F$:
$F = m \cdot a = 1\,kg \cdot 2\,m/s^2 = 2\,N$.
આમ,કોઈપણ સમયે,$t = 2\,s$ સહિત,પરિણામી બળ $2\,N$ છે.

(B) ધારો કે કારનો પ્રવેગ $a$ છે અને $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $s$ છે.
$PQ$ પથ માટે ગતિનું સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ વાપરતા:
$40^2 = 30^2 + 2as$
$1600 = 900 + 2as$
$2as = 700$
$as = 350$
ધારો કે $PQ$ ના મધ્યબિંદુએ વેગ $V$ છે. $P$ થી મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $s/2$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $V^2 = u^2 + 2a(s/2)$ વાપરતા:
$V^2 = 30^2 + as$
$V^2 = 900 + 350$
$V^2 = 1250$
$V = \sqrt{1250} = \sqrt{625 \times 2} = 25\sqrt{2}\; km/h$.
વૈકલ્પિક રીતે,સમાન પ્રવેગ માટે,મધ્યબિંદુએ વેગ $V_{mid}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_{mid} = \sqrt{\frac{v_P^2 + v_Q^2}{2}}$
$V_{mid} = \sqrt{\frac{30^2 + 40^2}{2}} = \sqrt{\frac{900 + 1600}{2}} = \sqrt{\frac{2500}{2}} = \sqrt{1250} = 25\sqrt{2}\; km/h$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે.
$3\,cm$ અંતર કાપ્યા પછી,વેગ $v/2$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(v/2)^2 = v^2 - 2a(3) \implies v^2/4 = v^2 - 6a \implies 6a = 3v^2/4 \implies a = v^2/8$.
હવે,ધારો કે અંતિમ વેગ $0$ થાય ત્યાં સુધી કાપેલું કુલ અંતર $s_2$ છે.
$0^2 = v^2 - 2a(s_2) \implies v^2 = 2(v^2/8)s_2 \implies v^2 = (v^2/4)s_2 \implies s_2 = 4\,cm$.
વધારાનું કાપેલું અંતર $s_2 - s_1 = 4\,cm - 3\,cm = 1\,cm$ છે.

(D) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ અચળ પ્રવેગ $(a)$ હેઠળ ગતિ કરતા કણ માટે:
$n$ સેકન્ડમાં થતું સ્થાનાંતર ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$s_n = ut + \frac{1}{2}an^2 = 0 + \frac{1}{2}an^2 = \frac{1}{2}an^2$
$n^{th}$ સેકન્ડમાં થતું સ્થાનાંતર નીચે મુજબ છે:
$s_{nth} = u + \frac{a}{2}(2n - 1) = 0 + \frac{a}{2}(2n - 1) = \frac{a}{2}(2n - 1)$
$n$ સેકન્ડમાં થતા સ્થાનાંતર અને $n^{th}$ સેકન્ડમાં થતા સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{s_n}{s_{nth}} = \frac{\frac{1}{2}an^2}{\frac{a}{2}(2n - 1)} = \frac{n^2}{2n - 1}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે ગતિને ત્રણ ભાગમાં વહેંચવામાં આવી છે: $A$ થી $B$,$B$ થી $C$,અને $C$ થી $D$.
ભાગ $A$ થી $B$ માટે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,પ્રવેગ $a = \alpha$,અંતર $d_1 = d$. $v^2 = u^2 + 2ad$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v^2 = 2\alpha d$ મળે છે.
ભાગ $C$ થી $D$ માટે: અંતિમ વેગ $v' = 0$,પ્રવેગ $a = -\alpha/2$,અંતર $d_3$. $v'^2 = v^2 + 2ad_3$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0 = v^2 - 2(\alpha/2)d_3$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $v^2 = \alpha d_3$. કારણ કે $v^2 = 2\alpha d$,તેથી $2\alpha d = \alpha d_3$,એટલે કે $d_3 = 2d$.
કુલ અંતર $d_1 + d_2 + d_3 = 15d$ આપેલ છે. $d_1 = d$ અને $d_3 = 2d$ મૂકતા,આપણને $d + d_2 + 2d = 15d$ મળે છે,જે $d_2 = 12d$ આપે છે.
ભાગ $B$ થી $C$ માટે: કાર $t$ સમય સુધી અચળ ઝડપ $v$ થી ગતિ કરે છે. તેથી,$d_2 = v \cdot t$,જેનો અર્થ છે કે $12d = vt$,અથવા $v = 12d/t$.
$v$ ની કિંમત $v^2 = 2\alpha d$ સમીકરણમાં મૂકતા: $(12d/t)^2 = 2\alpha d$.
$144d^2 / t^2 = 2\alpha d$.
$d = (2\alpha t^2) / 144 = \frac{1}{72} \alpha t^2$.

(D) ધારો કે પ્રવેગ $\alpha$ છે અને પ્રતિપ્રવેગ $\beta$ છે। આપેલ છે કે $\beta = 3\alpha$.
ધારો કે $t_1$ એ પ્રવેગનો સમય છે અને $t_2$ એ પ્રતિપ્રવેગનો સમય છે。
કુલ સમય $t_1 + t_2 = 8 \, s$ છે。
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને સ્થિર થાય છે, તેથી પ્રાપ્ત થયેલ મહત્તમ વેગ $v = \alpha t_1 = \beta t_2$ થાય。
$\beta = 3\alpha$ મૂકતા, આપણને $\alpha t_1 = 3\alpha t_2$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $t_1 = 3t_2$.
કુલ સમયના સમીકરણમાં $t_1 = 3t_2$ મૂકતા: $3t_2 + t_2 = 8 \, s$.
$4t_2 = 8 \, s$, તેથી $t_2 = 2 \, s$.
તેથી, પ્રવેગનો સમય $t_1 = 3 \times 2 = 6 \, s$ થાય।

(B) ધારો કે મહત્તમ ઝડપ $v$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે અને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય $t_2$ છે.
$v = u + at$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$v = 0 + at_1 \implies t_1 = \frac{v}{a}$.
પ્રતિપ્રવેગ માટે,$0 = v - at_2 \implies t_2 = \frac{v}{a}$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = \frac{2v}{a}$.
પ્રવેગ દરમિયાન કાપેલું અંતર $s_1 = \frac{1}{2}at_1^2 = \frac{1}{2}a(\frac{v}{a})^2 = \frac{v^2}{2a}$.
પ્રતિપ્રવેગ દરમિયાન કાપેલું અંતર $s_2 = \frac{v^2}{2a}$.
કુલ અંતર $s = s_1 + s_2 = \frac{v^2}{a} \implies v^2 = as \implies v = \sqrt{as}$.
$T = \frac{2v}{a}$ માં $v$ ની કિંમત મૂકતા,$T = \frac{2\sqrt{as}}{a} = 2\sqrt{\frac{s}{a}}$.
આમ,કુલ સમય $2\sqrt{\frac{s}{a}}$ અને મહત્તમ ઝડપ $\sqrt{as}$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અચળ પ્રવેગ $a$ છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = 10 \, s$ સમયે,$v = 20 \, m/s$:
$20 = u + 10a \quad \dots(i)$
$n$ મી સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર માટેના સૂત્ર $s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = 10$ અને $s_{10} = 10 \, m$ માટે:
$10 = u + \frac{a}{2}(2 \times 10 - 1)$
$10 = u + \frac{19a}{2} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(20 - 10) = (u - u) + (10a - 9.5a)$
$10 = 0.5a$
$a = \frac{10}{0.5} = 20 \, m/s^2$.

(B) ધારો કે બે કારના પ્રસ્થાન વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t$ સેકન્ડ છે.
પ્રથમ કાર $t_1 = 120\, s$ ($2$ મિનિટ) માટે મુસાફરી કરે છે તેમ ધારો.
પ્રથમ કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $S_1 = \frac{1}{2} a t_1^2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (120)^2 = 0.2 \times 14400 = 2880\, m$ છે.
બીજી કાર $\Delta t$ સેકન્ડ પછી શરૂ થાય છે,તેથી તેનો મુસાફરીનો સમય $t_2 = (120 - \Delta t)\, s$ છે.
બીજી કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $S_2 = \frac{1}{2} a t_2^2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (120 - \Delta t)^2 = 0.2(120 - \Delta t)^2$ છે.
કાર વચ્ચેનું અંતર $S_1 - S_2 = 1.9\, km = 1900\, m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2880 - 0.2(120 - \Delta t)^2 = 1900$.
$0.2(120 - \Delta t)^2 = 2880 - 1900 = 980$.
$(120 - \Delta t)^2 = \frac{980}{0.2} = 4900$.
વર્ગમૂળ લેતા: $120 - \Delta t = 70$.
$\Delta t = 120 - 70 = 50\, s$.

(A) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
$n$ સેકન્ડ પછી વેગ $v$ છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + an$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = 0 + an$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{v}{n}$.
છેલ્લી $2 \ s$ માં સ્થાનાંતર એ $n$ સેકન્ડમાં કુલ સ્થાનાંતર અને $(n - 2)$ સેકન્ડમાં થયેલા સ્થાનાંતર વચ્ચેનો તફાવત છે.
$S_{last 2s} = S_n - S_{n-2} = \frac{1}{2}an^2 - \frac{1}{2}a(n-2)^2$.
$S_{last 2s} = \frac{1}{2}a [n^2 - (n^2 - 4n + 4)] = \frac{1}{2}a [4n - 4] = 2a(n - 1)$.
$a = \frac{v}{n}$ મૂકતા,આપણને $S_{last 2s} = 2(\frac{v}{n})(n - 1) = \frac{2v(n - 1)}{n}$ મળે છે.

(D) કણ $x=-A$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે. પ્રવેગ $a = F/m$ જમણી તરફ છે.
ધારો કે $x=-A$ થી $x=0$ સુધી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે. $u=0$ અને $s=A$ સાથે $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 0 + \frac{1}{2} (F/m) t_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2mA}{F}}$.
ધારો કે $x=-A$ થી $x=-A/2$ સુધી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_2$ છે. $s = A/2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A/2 = 0 + \frac{1}{2} (F/m) t_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{mA}{F}}$.
$x=-A/2$ થી $x=0$ સુધી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_1 - t_2$ છે.
$\Delta t = \sqrt{\frac{2mA}{F}} - \sqrt{\frac{mA}{F}} = \sqrt{\frac{mA}{F}}(\sqrt{2}-1)$.

(B) આપેલ વેગનું વિધેય: $v = \sqrt{c_1 - c_2 x}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = c_1 - c_2 x$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(c_1 - c_2 x)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $2v \frac{dv}{dt} = -c_2 \frac{dx}{dt}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ અને વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી:
$2v a = -c_2 v$.
જો $v \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુ $2v$ વડે ભાગતા:
$a = -\frac{c_2}{2}$.
આમ,કણનો પ્રવેગ અચળ છે અને તેનું મૂલ્ય $-\frac{c_2}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 0\,m/s$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી).
સમય $t = 8\,s$.
પ્રવેગ $a = 20\,cm/s^2 = 0.2\,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = (0)(8) + \frac{1}{2} \times (0.2) \times (8)^2$
$s = 0 + 0.1 \times 64$
$s = 6.4\,m$
કારણ કે $1\,m = 100\,cm$,તેથી $s = 6.4 \times 100 = 640\,cm$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ અંતિમ વેગ છે,$u$ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ પ્રવેગ (મંદન) છે અને $s$ સ્ટોપિંગ અંતર છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $u_1 = 40\, km/h$,$v_1 = 0$,$s_1 = 40\, m$.
$0^2 - u_1^2 = 2a(40) \implies a = -u_1^2 / 80$.
સમાન બ્રેકિંગ ફોર્સ માટે મંદન $a$ અચળ હોવાથી,$s \propto u^2$ મળે છે.
તેથી,$s_2 / s_1 = (u_2 / u_1)^2$.
અહીં $u_2 = 80\, km/h$,$u_1 = 40\, km/h$,અને $s_1 = 40\, m$ આપેલ છે.
$s_2 = 40 \times (80 / 40)^2 = 40 \times 2^2 = 40 \times 4 = 160\, m$.
આમ,લઘુત્તમ સ્ટોપિંગ અંતર $160\, m$ છે.

(D) ધારો કે $S$ એ ટ્રેનની કુલ લંબાઈ છે અને $a$ એ સમાન પ્રવેગ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - u^2 = 2aS \implies aS = \frac{v^2 - u^2}{2}$.
ધારો કે $V_c$ એ મધ્યના ડબ્બાનો વેગ છે જ્યારે તે થાંભલા પાસેથી પસાર થાય છે. એન્જિનથી મધ્યના ડબ્બા સુધીનું અંતર $S/2$ છે.
આ અંતર માટે ગતિનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$V_c^2 - u^2 = 2a(S/2) = aS$.
$aS$ ની કિંમત મૂકતા:
$V_c^2 - u^2 = \frac{v^2 - u^2}{2}$.
$V_c^2 = u^2 + \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{2u^2 + v^2 - u^2}{2} = \frac{u^2 + v^2}{2}$.
તેથી,$V_c = \sqrt{\frac{u^2 + v^2}{2}}$.

(C) ધારો કે રેસનું અંતર $L$ છે. કાર $A$ માટે,$L = \frac{1}{2}a_1 t_1^2$,તેથી $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{a_1}}$.
કાર $B$ માટે,$L = \frac{1}{2}a_2 t_2^2$,તેથી $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{a_2}}$.
આપેલ છે કે $t_2 - t_1 = t$,તેથી $\sqrt{2L} \left( \frac{1}{\sqrt{a_2}} - \frac{1}{\sqrt{a_1}} \right) = t \Rightarrow \sqrt{2L} \left( \frac{\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}}{\sqrt{a_1 a_2}} \right) = t$.
અંતિમ ઝડપ $v_A = a_1 t_1 = \sqrt{2a_1 L}$ અને $v_B = a_2 t_2 = \sqrt{2a_2 L}$ છે.
આપેલ છે કે $v_A - v_B = v$,તેથી $\sqrt{2L} (\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}) = v$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{v}{t} = \frac{\sqrt{2L}(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})}{\sqrt{2L} \frac{(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})}{\sqrt{a_1 a_2}}} = \sqrt{a_1 a_2}$.
તેથી,$v = \sqrt{a_1 a_2} t$.

(D) આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
કણ સમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતો હોવાથી,પ્રવેગ $a$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
$1$. પ્રવેગ-સમય આલેખ માટે: $a$ અચળ હોવાથી,આલેખ $(a)$ એ $t$-અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા છે,જે સાચું છે.
$2$. વેગ-સમય આલેખ માટે: સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = 0 + at = at$ મળે છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,તેથી આલેખ $(b)$ સાચો છે.
$3$. સ્થાનાંતર-સમય આલેખ માટે: સમીકરણ $x = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = 0(t) + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ મળે છે. આ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે,તેથી આલેખ $(d)$ સાચો છે.
તેથી,આકૃતિઓ $(a)$,$(b)$ અને $(d)$ ગતિનું યોગ્ય નિરૂપણ કરે છે.

(D) આપેલ સ્થાનનું વિધેય: $x(t) = at + bt^2 - ct^3$.
વેગ $v(t)$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = a + 2bt - 3ct^2$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 2b - 6ct$.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે સમય $t$ શોધવા માટે:
$0 = 2b - 6ct \implies 6ct = 2b \implies t = \frac{b}{3c}$.
હવે,$t = \frac{b}{3c}$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = a + 2b\left(\frac{b}{3c}\right) - 3c\left(\frac{b}{3c}\right)^2$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - 3c\left(\frac{b^2}{9c^2}\right)$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - \frac{b^2}{3c}$
$v = a + \frac{b^2}{3c}$.

(B) આપેલ ઝડપ $v = b\sqrt{x}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = b\sqrt{x}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dx}{\sqrt{x}} = b dt$ મળે છે.
બંને બાજુ $t = 0$ (જ્યાં $x = 0$) થી $t = \tau$ (જ્યાં $x = x$) સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{\tau} b dt$
$[2\sqrt{x}]_{0}^{x} = b\tau$
$2\sqrt{x} = b\tau$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x} = \frac{b\tau}{2}$.
આ કિંમતને ઝડપના સમીકરણ $v = b\sqrt{x}$ માં મૂકતા:
$v = b \left( \frac{b\tau}{2} \right) = \frac{b^2\tau}{2}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રવેગ $a$ છે.
પ્રથમ $4\,s$ માટે ($A$ થી $B$):
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$40 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2$
$40 = 4u + 8a$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $u + 2a = 10$ --- $(i)$
કુલ $8\,s$ સમય માટે ($A$ થી $C$):
કુલ કાપેલું અંતર $40\,m + 120\,m = 160\,m$ છે.
$160 = u(8) + \frac{1}{2}a(8)^2$
$160 = 8u + 32a$
$8$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $u + 4a = 20$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(u + 4a) - (u + 2a) = 20 - 10$
$2a = 10 \implies a = 5\,m/s^2$
સમીકરણ $(i)$ માં $a = 5$ મૂકતા:
$u + 2(5) = 10$
$u + 10 = 10 \implies u = 0\,m/s$
આમ,પ્રારંભિક વેગ $0\,m/s$ અને પ્રવેગ $5\,m/s^2$ છે.

(A) આપેલ વેગ $v = 5 \sqrt{x}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$ થાય.
પ્રથમ,$v = 5x^{1/2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = 5 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{2.5}{\sqrt{x}}$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (5 \sqrt{x}) \cdot \left( \frac{2.5}{\sqrt{x}} \right) = 5 \cdot 2.5 = 12.5 \, m/s^2$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $12.5 \, m/s^2$ છે.

(C) કણ નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરે છે. ધારો કે $t = 0$ સમયે શરૂઆતનું બિંદુ $x = 0$ છે. કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનું સ્થાન $x(t) = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $t = 10\,s$ પર શરૂઆતના બિંદુ પર પાછો ફરે છે,તેથી $x(10) = 0$.
$10u + \frac{1}{2}a(10)^2 = 0 \implies 10u + 50a = 0 \implies u = -5a$.
હવે,$t$ સમયે સ્થાન $x(t) = (-5a)t + \frac{1}{2}at^2 = a(\frac{t^2}{2} - 5t)$ છે.
આપણે એવો સમય $t'$ શોધવો છે કે જેથી $x(7) = x(t')$ થાય.
$x(7) = a(\frac{49}{2} - 35) = a(24.5 - 35) = -10.5a$.
$x(t') = -10.5a$ લેતા,આપણને મળે છે $a(\frac{t'^2}{2} - 5t') = -10.5a$.
$\frac{t'^2}{2} - 5t' + 10.5 = 0 \implies t'^2 - 10t' + 21 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(t' - 7)(t' - 3) = 0$.
આમ,$t' = 7\,s$ અથવા $t' = 3\,s$.
આપણે $7\,s$ સિવાયનો સમય શોધતા હોવાથી,$3\,s$ સમયે સ્થાન સમાન હશે.

(B) ધારો કે બંને પદાર્થો $t$ સેકન્ડ પછી મળે છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે જે સમાન વેગ $v = 8\,m/s$ થી ગતિ કરે છે,$t$ સમયમાં તેનું સ્થાનાંતર $s_1 = v \times t = 8t$ થશે.
બીજા પદાર્થ માટે જે સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ માંથી $a = 4\,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે,$t$ સમયમાં તેનું સ્થાનાંતર $s_2 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times t^2 = 2t^2$ થશે.
જ્યારે બંને પદાર્થો મળે છે,ત્યારે તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોવું જોઈએ: $s_1 = s_2$.
તેથી,$8t = 2t^2$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $2t^2 - 8t = 0$,જે આપણને $2t(t - 4) = 0$ આપે છે.
અહીં $t = 0$ શક્ય નથી,તેથી $t = 4\,s$ મળે છે.

(D) ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ છે,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રવેગ (મંદન) છે,અને $s$ એ સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ છે.
ટ્રેન અટકી જાય છે,તેથી $v = 0$,એટલે કે $0 = u^{2} - 2as$,જે આપણને $s = \frac{u^{2}}{2a}$ આપે છે.
પ્રતિરોધક બળ $F = ma$ અચળ હોવાથી,મંદન $a$ પણ અચળ રહેશે.
તેથી,$s \propto u^{2}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ઝડપ $u_{1} = u$ માટે $s_{1} = 80 \ m$.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો $u_{2} = 2u$.
તેથી,$\frac{s_{2}}{s_{1}} = \left(\frac{u_{2}}{u_{1}}\right)^{2} = \left(\frac{2u}{u}\right)^{2} = 4$.
$s_{2} = 4 \times s_{1} = 4 \times 80 \ m = 320 \ m$.
આમ,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ મૂળ અંતર કરતા ચાર ગણું થશે.

(C) આપેલ છે:
પ્રવેગ $a = 2\,m/s^2$.
પદાર્થ $A$ એ $t = 0$ સમયે શરૂઆત કરે છે અને $t_A = 2\,s$ સમય માટે ગતિ કરે છે ($B$ શરૂ કરે તેના એક સેકન્ડ પછી,એટલે કે કુલ $1+1=2\,s$).
પદાર્થ $B$ એ $t = 1\,s$ સમયે શરૂઆત કરે છે અને $t_B = 1\,s$ સમય માટે ગતિ કરે છે (આગળની એક સેકન્ડના અંતે).
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$2\,s$ માં $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_A = \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 4\,m$ છે.
$1\,s$ માં $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_B = \frac{1}{2} \times 2 \times (1)^2 = 1\,m$ છે.
બંને પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર $s_A - s_B = 4\,m - 1\,m = 3\,m$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. $t_0$ સમયમાં વેગ $\frac{3}{4}u$ જેટલો ઘટે છે,તેથી $t_0$ સમયે અંતિમ વેગ $v = u - \frac{3}{4}u = \frac{1}{4}u$ થાય.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રવેગ ઋણ છે (મંદન),આપણને મળે છે: $\frac{1}{4}u = u - at_0$.
આને સાદું રૂપ આપતા $at_0 = u - \frac{1}{4}u = \frac{3}{4}u$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{3u}{4t_0}$.
ધારો કે વેગ શૂન્ય થવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ છે. $v = u - aT$ માં $v = 0$ મૂકતા,$0 = u - aT$,તેથી $T = \frac{u}{a}$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$T = \frac{u}{(3u / 4t_0)} = \frac{4}{3}t_0$ મળે છે.

(B) સ્થાનનું સમીકરણ આપેલ છે: $x = 4(t-2) + a(t-2)^2$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[4(t-2) + a(t-2)^2] = 4 + 2a(t-2)$.
પ્રવેગ $a_{acc}$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[4 + 2a(t-2)] = 2a$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(a)$ $t=0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $v = 4 + 2a(0-2) = 4 - 4a$ છે. જો $a=0$ ન હોય તો આ $4$ નથી.
$(b)$ પ્રવેગ $2a$ છે,જે આપણી ગણતરી સાથે મેળ ખાય છે.
$(c)$ $t=0$ સમયે,$x = 4(0-2) + a(0-2)^2 = -8 + 4a$ છે. જો $a=2$ ન હોય તો આ $0$ નથી.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે કણનો પ્રવેગ $2a$ છે.

(C) સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે,સ્થાન $x$ એ સમય $t$ નું દ્વિઘાત વિધેય હોવું જોઈએ,એટલે કે $x = x_0 + u t + \frac{1}{2} a t^2$.
આપેલ વિકલ્પ $(C)$: $t = \sqrt{\frac{x+a}{b}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$t^2 = \frac{x+a}{b}$
$b t^2 = x + a$
$x = b t^2 - a$
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત ગતિના સમીકરણ $x = x_0 + u t + \frac{1}{2} a t^2$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રવેગ અચળ છે $(a_{accel} = 2b)$ અને પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે. આમ,આ સમાન પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે કુલ સમય $T$ છે. પ્રથમ અડધો સમય $t = T/2$ છે.
કણ $A$ માટે:
$t = T/2$ સમયે વેગ $v_A = 0 + 2(T/2) = T$ છે.
પ્રથમ અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $s_{A1} = 0 + 1/2(2)(T/2)^2 = T^2/4$ છે.
બીજા અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $s_{A2} = v_A(T/2) + 1/2(4)(T/2)^2 = T(T/2) + 2(T^2/4) = T^2/2 + T^2/2 = T^2$ છે.
કુલ અંતર $S_A = T^2/4 + T^2 = 5T^2/4$ છે.
કણ $B$ માટે:
$t = T/2$ સમયે વેગ $v_B = 0 + 4(T/2) = 2T$ છે.
પ્રથમ અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $s_{B1} = 0 + 1/2(4)(T/2)^2 = T^2/2$ છે.
બીજા અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $s_{B2} = v_B(T/2) + 1/2(2)(T/2)^2 = 2T(T/2) + 1(T^2/4) = T^2 + T^2/4 = 5T^2/4$ છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. $B$ માટે આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $A$ કરતા વધારે છે,તેથી $B$ એ વધુ અંતર કાપ્યું છે.

(B) આપેલ વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \alpha dt$.
આનાથી $[2x^{1/2}]_{0}^{x} = \alpha t$ મળે છે.
તેથી,$2\sqrt{x} = \alpha t$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x} = \frac{\alpha}{2} t$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x = \frac{\alpha^2}{4} t^2$.
તેથી,સ્થાનાંતર $x$ એ $t^2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) આપેલ સ્થાન-સમય સંબંધ: $x^2 = 2 + t$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} = 1$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,આપણને $2xv = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{1}{2x}$.
પ્રવેગ $a$ એ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$v = \frac{1}{2} x^{-1}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} (-1) x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમતો પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (\frac{1}{2x}) \times (-\frac{1}{2x^2}) = -\frac{1}{4x^3}$.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગિત થતા તબક્કા માટે: $v_{\max} = \alpha t_1$ અને $x_1 = \frac{1}{2} \alpha t_1^2$.
સ્થિર થતા પ્રતિપ્રવેગિત તબક્કા માટે: $v_{\max} = \beta t_2$ અને $x_2 = \frac{1}{2} \beta t_2^2$.
મહત્તમ વેગને સરખાવતા: $\alpha t_1 = \beta t_2$,જે સૂચવે છે કે $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\beta}{\alpha}$.
હવે,અંતરનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{\frac{1}{2} \alpha t_1^2}{\frac{1}{2} \beta t_2^2} = \frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{t_1}{t_2} \right)^2$.
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{t_2}{t_1}$ ને અંતરના ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{x_1}{x_2} = \left( \frac{t_2}{t_1} \right) \left( \frac{t_1}{t_2} \right)^2 = \frac{t_1}{t_2}$.
આમ,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\beta}{\alpha}$ હોવાથી,આપણને $\frac{x_1}{x_2} = \frac{t_1}{t_2} = \frac{\beta}{\alpha}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $x \propto t^{5/2}$,તેથી $x = K t^{5/2}$ જ્યાં $K$ અચળાંક છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(K t^{5/2}) = K \cdot \frac{5}{2} t^{3/2}$.
આમ,$v \propto t^{3/2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{5}{2} K t^{3/2}) = \frac{5}{2} K \cdot \frac{3}{2} t^{1/2} = \frac{15}{4} K t^{1/2}$.
આમ,$a \propto t^{1/2}$ અથવા $a \propto \sqrt{t}$.
તેથી,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રવેગ $a$ છે.
પ્રથમ $t = 4\, s$ ના સમયગાળા માટે,અંતર $s_1 = 24\, m$:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$24 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2$
$24 = 4u + 8a$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $6 = u + 2a$ $...(i)$
કુલ સમય $t = 8\, s$ માટે,કુલ અંતર $s_{total} = 24 + 64 = 88\, m$:
$88 = u(8) + \frac{1}{2}a(8)^2$
$88 = 8u + 32a$
$8$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $11 = u + 4a$ $...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(u + 4a) - (u + 2a) = 11 - 6$
$2a = 5 \implies a = 2.5\, m/s^2$
$a = 2.5$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$u + 2(2.5) = 6$
$u + 5 = 6$
$u = 1\, m/s$.

(D) આપેલ પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 3t^2 + 2t + 2$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું: $dv = (3t^2 + 2t + 2)dt$.
આપેલ સીમાઓ સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} (3t^2 + 2t + 2) dt$.
$t = 0$ સમયે $v_0 = 2\,m/s$ આપેલ છે,તેથી: $v - 2 = [t^3 + t^2 + 2t]_0^2$.
ઉપરની સીમા $t = 2$ મૂકતા: $v - 2 = (2^3 + 2^2 + 2(2)) - 0$.
$v - 2 = 8 + 4 + 4 = 16$.
$v = 16 + 2 = 18\,m/s$.

(B) આપેલ છે કે,પ્રવેગ $a = 4t$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,$t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{dv}{dt}$,તેથી $dv = a \ dt = 4t \ dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $v = \int 4t \ dt = 2t^2 + C$.
$t = 0$ સમયે $v = 0$ હોવાથી,$C = 0$. આમ,$v = 2t^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $dx = v \ dt = 2t^2 \ dt$.
ઉગમબિંદુથી ($t=0$ સમયે $x=0$) કાપેલું અંતર $d$ શોધવા માટે બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$d = \int_{0}^{3} 2t^2 \ dt = \left[ \frac{2t^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$d = \frac{2(3)^3}{3} = \frac{2 \times 27}{3} = 2 \times 9 = 18 \ m$.

(C) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$,તેથી $dv = a \ dt$.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t = 2 \ s$ સુધી સંકલન કરતા:
$v = \int_{0}^{2} a \ dt = \int_{0}^{2} (3t + 4) \ dt$.
$v = \left[ \frac{3t^2}{2} + 4t \right]_{0}^{2}$.
$v = \left( \frac{3(2)^2}{2} + 4(2) \right) - (0)$.
$v = \left( \frac{3 \times 4}{2} + 8 \right) = 6 + 8 = 14 \ m/s$.

(D) સ્થાનાંતર $x = \alpha t^2 - \beta t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. કણ તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે કે કેમ તે તપાસવા માટે,$x = 0$ લો:
$\alpha t^2 - \beta t^3 = 0 \implies t^2(\alpha - \beta t) = 0$.
આનાથી $t = 0$ અને $t = \frac{\alpha}{\beta}$ મળે છે. તેથી,કણ $t = \frac{\alpha}{\beta}$ સમયે $x = 0$ પર પાછો ફરે છે,તેથી વિધાન $(a)$ ખોટું છે.
$2$. વેગ $v = \frac{dx}{dt} = 2\alpha t - 3\beta t^2$. સ્થિરતા માટે $v = 0$ લેતા:
$t(2\alpha - 3\beta t) = 0 \implies t = 0$ અથવા $t = \frac{2\alpha}{3\beta}$. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
$3$. પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 2\alpha - 6\beta t$. $t = 0$ સમયે,$a = 2\alpha$. $2\alpha \neq 0$ હોવાથી,પ્રારંભિક પ્રવેગ શૂન્ય નથી. તેથી,વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) કણનું સ્થાન $x = 32t - \frac{8t^3}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(32t - \frac{8t^3}{3}) = 32 - 8t^2$.
જ્યારે $v = 0$ હોય ત્યારે કણ સ્થિર હોય છે:
$32 - 8t^2 = 0 \implies 8t^2 = 32 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \, s$ (કારણ કે $t > 0$).
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(32 - 8t^2) = -16t$.
$t = 2 \, s$ ક્ષણે,પ્રવેગ:
$a = -16(2) = -32 \, m/s^2$.