Acceleration and its graph Questions in Gujarati

(C) પદાર્થનો વેગ $v = 20 + 0.1t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,$a = \frac{dv}{dt}$.
$a = \frac{d}{dt}(20 + 0.1t^2) = 0 + 0.1 \times 2t = 0.2t$.
અહીં પ્રવેગ $a = 0.2t$ એ સમય $t$ પર આધારિત હોવાથી,તે અચળ નથી.
તેથી,પદાર્થ અનિયમિત પ્રવેગ અનુભવી રહ્યો છે.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર $x = 2t^2 + t + 5$ છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + t + 5) = 4t + 1$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t + 1) = 4$.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,$t = 2 \ s$ સમયે પ્રવેગ $4 \ m/s^2$ રહેશે.

(C) વેગ $v$ એ સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2 - bt^3) = 2at - 3bt^2$
પ્રવેગ $a_{acc}$ એ વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2at - 3bt^2) = 2a - 6bt$
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,$a_{acc} = 0$ લેતા:
$2a - 6bt = 0$
$6bt = 2a$
$t = \frac{2a}{6b} = \frac{a}{3b}$

(C) પદાર્થનું સ્થાનાંતર સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે: $x = at + bt^2 - ct^3$.
વેગ $(v)$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતરનું સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at + bt^2 - ct^3) = a + 2bt - 3ct^2$.
પ્રવેગ $(a_{acc})$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(a + 2bt - 3ct^2) = 0 + 2b - 6ct$.
તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ $2b - 6ct$ છે.

(C) પ્રવેગને સમયની સાપેક્ષમાં વેગના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ દ્વારા દર્શાવાય છે.
વેગ $\vec{v}$ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,તે મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંને ધરાવે છે.
જો વેગનું મૂલ્ય બદલાય,તો કણ પ્રવેગિત થાય છે.
જો વેગની દિશા બદલાય,તો પણ કણ પ્રવેગિત થાય છે (દા.ત.,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં).
તેથી,જો વેગનું મૂલ્ય અથવા દિશા બંનેમાંથી કોઈ પણ બદલાય,તો કણનો પ્રવેગ બદલાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $s = 3t^3 + 7t^2 + 14t + 8$ આપેલ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^3 + 7t^2 + 14t + 8) = 9t^2 + 14t + 14$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(9t^2 + 14t + 14) = 18t + 14$.
$t = 1 \ s$ સમયે,પ્રવેગ:
$a = 18(1) + 14 = 18 + 14 = 32 \ m/s^2$.

(C) તાત્ક્ષણિક વેગ $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોષ્ટકમાંથી ડેટાનો ઉપયોગ કરતા:
સમયગાળા $t = 0$ થી $t = 1 \ s$ માટે: $v_1 = \frac{0 - (-2)}{1} = 2 \ m/s$.
સમયગાળા $t = 1$ થી $t = 2 \ s$ માટે: $v_2 = \frac{6 - 0}{1} = 6 \ m/s$.
સમયગાળા $t = 2$ થી $t = 3 \ s$ માટે: $v_3 = \frac{16 - 6}{1} = 10 \ m/s$.
જેમ કે વેગ સમય સાથે બદલાય છે $(2 \ m/s, 6 \ m/s, 10 \ m/s)$,તેથી ગતિ અનિયમિત છે.
જેમ કે વેગ વધી રહ્યો છે,તેથી ગતિ પ્રવેગી છે. આમ,ગતિ અનિયમિત અને પ્રવેગી છે.

(B) કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $s = 2t^2 + 2t + 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનાંતર $s$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + 2t + 4) = 4t + 2$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t + 2) = 4$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $4 \ m/s^2$ છે.

(B) પ્રવેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ કણના વેગમાં થતો ફેરફાર આપે છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
મહત્તમ વેગ $t = 11 \, s$ સમયે પ્રાપ્ત થાય છે,જ્યાં પ્રવેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આમ,મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ એ આપેલા આલેખમાં ત્રિકોણ $OAB$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે.
$v_{\max} = \Delta OAB \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$v_{\max} = \frac{1}{2} \times 11 \, s \times 10 \, m/s^2 = 55 \, m/s$.
તેથી,કણની મહત્તમ ઝડપ $55 \, m/s$ છે.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v_1} = +10 \, m/s$ (ગતિની દિશાને ધન લેતા).
અંતિમ વેગ $\vec{v_2} = -2 \, m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં છે).
સમયગાળો $t = 4 \, s$.
પ્રવેગ $\vec{a}$ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે:
$\vec{a} = \frac{\vec{v_2} - \vec{v_1}}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{a} = \frac{-2 - 10}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \, m/s^2$.
આમ,ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $-3 \, m/s^2$ છે.

(D) સરેરાશ પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતો ફેરફાર ભાગ્યા સમયગાળો.
$a_{avg} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1}$
અહીં $v(t) = 10 + 2t^2$,$t_1 = 2 \ s$ અને $t_2 = 5 \ s$ આપેલ છે.
$t_1 = 2 \ s$ સમયે વેગ: $v(2) = 10 + 2(2)^2 = 10 + 8 = 18 \ m/s$.
$t_2 = 5 \ s$ સમયે વેગ: $v(5) = 10 + 2(5)^2 = 10 + 50 = 60 \ m/s$.
હવે,સરેરાશ પ્રવેગની ગણતરી કરતા:
$a_{avg} = \frac{60 - 18}{5 - 2} = \frac{42}{3} = 14 \ m/s^2$.

(B) પ્રવેગ $a$ અને વેગ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\int_{u}^{v} v \ dv = \int_{0}^{x} a \ dx$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{v^2 - u^2}{2} = a-x \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
આપેલ છે કે $x = 0$ પર $u = 0.8 \ m/s$.
$x = 0$ થી $x = 1.4$ સુધીના $a-x$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એક લંબચોરસ અને એક સમલંબ ચતુષ્કોણ ધરાવે છે:
ક્ષેત્રફળ $1$ ($x=0$ થી $x=0.4$): $0.4 \times 0.4 = 0.16 \ m^2/s^2$.
ક્ષેત્રફળ $2$ ($x=0.4$ થી $x=0.8$): $\frac{1}{2} \times (0.4 + 0.2) \times 0.4 = 0.12 \ m^2/s^2$.
ક્ષેત્રફળ $3$ ($x=0.8$ થી $x=1.4$): $0.2 \times (1.4 - 0.8) = 0.2 \times 0.6 = 0.12 \ m^2/s^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 0.16 + 0.12 + 0.12 = 0.40 \ m^2/s^2$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v^2 - (0.8)^2}{2} = 0.40$.
$v^2 - 0.64 = 0.80$.
$v^2 = 1.44$.
$v = 1.2 \ m/s$.

(C) કણનું સ્થાન સમીકરણ $x(t) = a + bt - ct^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v(t)$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન કરીએ છીએ:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt - ct^2) = b - 2ct$.
પ્રવેગ $a_{acc}(t)$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a_{acc}(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(b - 2ct) = -2c$.
કારણ કે $c$ એ ધન અચળાંક છે,પ્રવેગ એ અચળ ઋણ મૂલ્ય છે. આમ,સાચું પદ $a_{acc} = -2c$ છે.

(D) ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,એટલે કે $|\vec v|$.
$1$. જો $\vec v$ અને $\vec a$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય (બંને ધન અથવા બંને ઋણ),તો પદાર્થની ઝડપ વધે છે.
$2$. જો $\vec v$ અને $\vec a$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો પદાર્થની ઝડપ ઘટે છે.
વિકલ્પ $(B)$ માં,$\vec v > 0$ અને $\vec a < 0$ (વિરુદ્ધ ચિહ્નો),તેથી ઝડપ ઘટે છે. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માં,$\vec v < 0$ અને $\vec a < 0$ (સમાન ચિહ્નો),તેથી ઝડપ વધે છે. આ સાચું છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) કણનો પ્રવેગ $a$ એ સંબંધ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વેગ $v = x^2 - 5x + 4$ છે.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 4) = 2x - 5$.
હવે,પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકો:
$a = (x^2 - 5x + 4)(2x - 5)$.
જ્યારે વેગ $v = 0$ હોય ત્યારે આપણે પ્રવેગ શોધવાનો છે:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
$(x - 1)(x - 4) = 0$
તેથી,$x = 1$ અથવા $x = 4$.
જો $x = 1$ હોય,તો $a = (0)(2(1) - 5) = 0$.
જો $x = 4$ હોય,તો $a = (0)(2(4) - 5) = 0$.
તેથી,જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે પ્રવેગ $0$ થાય છે.

(B) વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v$ એ પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$(a-t)$ આલેખમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 2\,s \times 10\,m/s^2 = 10\,m/s$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta v = v_f - v_i$,જ્યાં $v_f$ એ અંતિમ વેગ છે અને $v_i$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
$v_f - 5\,m/s = 10\,m/s$
$v_f = 15\,m/s$
આમ,$2\,s$ પછીનો વેગ $15\,m/s$ છે.

(A) સ્થાનાંતર $s = t^3 - 3t^2 + 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 6t$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} = 6t - 6$.
પ્રવેગ શૂન્ય થાય તે સમય $t$ શોધવા માટે:
$6t - 6 = 0 \implies t = 1 \, s$.
હવે,આ ક્ષણે સ્થાનાંતર શોધવા માટે $t = 1 \, s$ ને સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$s = (1)^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \, m$.

(B) આપેલ છે કે અંતર (અથવા સ્થાનાંતર) $s$ એ $t^3$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$s = k t^3$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^3) = 3k t^2$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3k t^2) = 6k t$.
આમ,$a = 6k t$ હોવાથી,તે દર્શાવે છે કે $a \propto t$.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે ઉગમબિંદુથી શરૂ થતા સીધી રેખાના આલેખને અનુરૂપ છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,જે આલેખ $a$ નું $t$ સાથે રેખીય વધારો દર્શાવે છે તે આલેખ $B$ છે.

(D) જ્યારે વેગ અને પ્રવેગ સમાન દિશામાં (સમાન ચિહ્ન ધરાવતા) હોય ત્યારે ઝડપ વધે છે.
આપેલ છે કે પદાર્થનો $t_1$ સમયે વેગ ધન છે,તેથી જો $t_1$ થી $t_2$ ના અંતરાલ દરમિયાન પ્રવેગ ધન રહે તો તેની ઝડપ વધશે.
આલેખ $I$ માં,પ્રવેગ $a$ ધન છે અને વધી રહ્યો છે,તેથી વેગ સતત વધે છે અને ઝડપ વધે છે.
આલેખ $II$ માં,પ્રવેગ $a$ અચળ અને ધન છે,તેથી વેગ રેખીય રીતે વધે છે અને ઝડપ વધે છે.
આલેખ $III$ માં,પ્રવેગ $a$ અંતરાલ $[t_1, t_2]$ દરમિયાન ધન છે,ભલે તે ઘટી રહ્યો હોય. $a > 0$ હોવાથી,વેગ સતત વધે છે અને તેથી ઝડપ વધે છે.
આમ,ત્રણેય આલેખોમાં પ્રવેગ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ વધે છે,અને પરિણામે,સમગ્ર અંતરાલ દરમિયાન ઝડપ વધે છે.

(D) પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ ત્રણ અલગ-અલગ ભાગો દર્શાવે છે:
$1$. પ્રથમ ભાગમાં,પ્રવેગ અચળ અને ધન છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે (ઢાળ અચળ અને ધન છે).
$2$. બીજા ભાગમાં,પ્રવેગ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ અચળ રહે છે ($v-t$ આલેખ પર એક આડી રેખા).
$3$. ત્રીજા ભાગમાં,પ્રવેગ અચળ અને ધન છે,પરંતુ તેનું મૂલ્ય પ્રથમ ભાગ કરતા વધારે છે. આનો અર્થ એ છે કે વેગ ફરીથી સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,પરંતુ પ્રથમ ભાગની તુલનામાં વધુ તીવ્ર ઢાળ સાથે.
તેથી,વેગ-સમયનો આલેખ રેખીય વધારો,ત્યારબાદ આડી રેખા અને પછી વધુ તીવ્ર રેખીય વધારો દર્શાવવો જોઈએ. આ વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલા આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(B) વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v$ એ પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
ધારો કે ટ્રેન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(v_0 = 0)$,તો કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ $v(t) = \int_{0}^{t} a(t) \, dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઝડપ ત્યારે મળે છે જ્યારે પ્રવેગ ધનમાંથી શૂન્ય થાય છે,જે $t = 8\,s$ પર છે.
$t = 0$ થી $t = 8\,s$ સુધીના $a-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ = ($0$ થી $4\,s$ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ) + ($4$ થી $8\,s$ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ)
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 4\,s \times 5\,m/s^2 + (8\,s - 4\,s) \times 5\,m/s^2$
ક્ષેત્રફળ = $10\,m/s + 20\,m/s = 30\,m/s$.
તેથી,ટ્રેનની મહત્તમ ઝડપ $30\,m/s$ છે.

(A) અંતર-સમય $(s-t)$ આલેખનો ઢાળ કણનો વેગ દર્શાવે છે.
સમય $t$ પર પ્રારંભિક વેગ $v_i = \tan(45^{\circ}) = 1 \, m/s$ છે.
એક સેકન્ડ પછી અંતિમ વેગ $v_f = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \, m/s$ છે.
સરેરાશ પ્રવેગ એ વેગમાં થતો ફેરફાર ભાગ્યા સમયગાળો છે:
$a_{av} = \frac{v_f - v_i}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા:
$a_{av} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1} = (\sqrt{3} - 1) \, m/s^2$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x^2 = 1 + t^2$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} = 2t$
$\frac{dx}{dt} = \frac{t}{x} = v$ (વેગ).
હવે,પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે વેગ $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{t}{x} \right)$
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dt} (u/v) = \frac{v(du/dt) - u(dv/dt)}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{x(1) - t(\frac{dx}{dt})}{x^2}$
$\frac{dx}{dt} = \frac{t}{x}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = \frac{x - t(\frac{t}{x})}{x^2}$
$a = \frac{x - \frac{t^2}{x}}{x^2}$
$a = \frac{x}{x^2} - \frac{t^2}{x^3}$
$a = \frac{1}{x} - \frac{t^2}{x^3}$.

(A) કણની ઝડપ એ તેના વેગ સદિશ $v$ નું મૂલ્ય છે. ઝડપમાં થતા ફેરફારનો દર પ્રવેગના સ્પર્શકીય ઘટક દ્વારા આપવામાં આવે છે,$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{a \cdot v}{|v|}$.
$1$. જો $v \cdot a > 0$ હોય,તો વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ $(0^\circ \le \theta < 90^\circ)$ હોય છે,તેથી સ્પર્શકીય પ્રવેગ ધન હોય છે અને ઝડપ વધે છે.
$2$. જો $v \cdot a < 0$ હોય,તો વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ $(90^\circ < \theta \le 180^\circ)$ હોય છે,તેથી સ્પર્શકીય પ્રવેગ ઋણ હોય છે અને ઝડપ ઘટે છે.
$3$. સદિશ ગુણાકાર $v \times a$ એ વેગની દિશામાં થતા ફેરફાર (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) સાથે સંબંધિત છે,એક-પરિમાણીય ગતિમાં ઝડપના ફેરફાર સાથે નહીં. આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(A) $\frac{dv}{dt}$ એ પ્રવેગની વ્યાખ્યા છે, જે વેગ સદિશના ફેરફારનો દર છે। તેથી, $(A \rightarrow p)$.
$(B)$ $\frac{d|v|}{dt}$ એ વેગના મૂલ્યમાં થતા ફેરફારનો દર દર્શાવે છે, જે સ્પર્શક પ્રવેગ અથવા ઝડપમાં થતા ફેરફારનો દર છે। તેથી, $(B \rightarrow q)$.
$(C)$ $\frac{dr}{dt}$ એ વેગની વ્યાખ્યા છે, જે સ્થાન સદિશના ફેરફારનો દર છે। તેથી, $(C \rightarrow r)$.
$(D)$ $\left|\frac{dr}{dt}\right|$ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે, જે કણની ઝડપ છે। તેથી, $(D \rightarrow s)$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $v_0 < 0$ અને પ્રવેગ $a > 0$ (અચળ).
$(A)$ વેગ-સમયનો આલેખ: $v(t) = v_0 + at$. આલેખનો ઢાળ $\frac{dv}{dt} = a > 0$ (ધન) છે. જેમ વેગ ઋણમાંથી શૂન્ય તરફ જાય છે,તેમ તેનું મૂલ્ય $|v|$ ઘટે છે. તેથી,$(A) \rightarrow Q, T$.
$(B)$ પ્રવેગ-સમયનો આલેખ: પ્રવેગ અચળ અને ધન હોવાથી,$a-t$ આલેખનો ઢાળ શૂન્ય છે. તેથી,$(B) \rightarrow R, U$.
$(C)$ સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ: $s(t) = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$. આલેખનો ઢાળ $\frac{ds}{dt} = v(t)$ છે. વેગ ઋણ હોવાથી,ઢાળ ઋણ છે. જેમ સમય $t$ વધે છે,વેગ ઓછો ઋણ બને છે (શૂન્યની નજીક),તેથી ઢાળનું મૂલ્ય $|v|$ ઘટે છે. તેથી,$(C) \rightarrow P, T$.
આમ,સાચી જોડ $(A) \rightarrow Q, T; (B) \rightarrow R, U; (C) \rightarrow P, T$ છે.

(A) મંદન (Retardation) ને ઋણ પ્રવેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ સદિશ એ વેગ સદિશની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. આના કારણે સમય સાથે વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) ઘટે છે.
$Assertion$ સાચું છે કારણ કે મંદન,વ્યાખ્યા મુજબ,વેગને ઘટાડવા માટે તેની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
$Reason$ પણ સાચું છે કારણ કે મંદન એ ખરેખર ઝડપમાં થતા ઘટાડાનો સમય દર છે.
આમ,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(N/A) આપેલ $a-t$ આલેખ દર્શાવે છે કે શરૂઆતમાં પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે (પ્રવેગ શૂન્ય છે).
ત્યારબાદ,સમયના ટૂંકા ગાળા માટે,પ્રવેગ વધીને મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને પછી ફરીથી ઘટીને શૂન્ય થઈ જાય છે.
અંતે,પદાર્થ ફરીથી અચળ વેગ સાથે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
આ આલેખ માટે એક યોગ્ય ભૌતિક પરિસ્થિતિ એ છે કે જ્યારે અચળ વેગથી ગતિ કરતું હથોડી ખીલી પર પ્રહાર કરે છે. અથડામણ દરમિયાન,હથોડી તેની ગતિ ચાલુ રાખતા પહેલા અથવા સ્થિર થતા પહેલા ટૂંકા ગાળા માટે ઉચ્ચ પ્રવેગ (મંદન) અનુભવે છે.

(N/A) વેગમાં થતા સમય સાથેના ફેરફારને પ્રવેગ કહે છે.
ધારો કે એક કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે અને $t_{1}$ અને $t_{2}$ સમયે તેનો વેગ અનુક્રમે $v_{1}$ અને $v_{2}$ છે.
આમ,$\Delta t = t_{2} - t_{1}$ સમયગાળામાં કણના વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = v_{2} - v_{1}$ છે.
સરેરાશ પ્રવેગની વ્યાખ્યા મુજબ:
$\text{સરેરાશ પ્રવેગ} = \frac{\text{વેગમાં ફેરફાર}}{\text{સમયગાળો}}$
$\langle a \rangle = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$
સરેરાશ પ્રવેગ એ સદિશ રાશિ છે અને તેની દિશા વેગમાં થતા ફેરફાર $(\Delta v)$ ની દિશામાં હોય છે.
પ્રવેગનો $SI$ એકમ $m/s^{2}$ છે.
કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે વેગ કેવી રીતે બદલાય છે તે સમજવા માટે,આપણે $\Delta t \rightarrow 0$ લક્ષ લઈને તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:
$a = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}$
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,આપણે પ્રવેગને સમયની સાપેક્ષે સ્થાનના દ્વિતીય વિકલન તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$a = \frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} \right) = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$
જો $\frac{dv}{dt} > 0$ હોય,તો પ્રવેગ ધન $X$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,અને જો $\frac{dv}{dt} < 0$ હોય,તો પ્રવેગ ઋણ $X$-અક્ષની દિશામાં હોય છે.

(N/A) વેગ એ સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તે મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંને ધરાવે છે. તેથી,વેગ નીચે મુજબની રીતે બદલી શકાય છે:
$(1)$ માત્ર વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) બદલીને.
$(2)$ માત્ર વેગની દિશા બદલીને.
$(3)$ વેગનું મૂલ્ય અને દિશા બંને બદલીને.
પ્રવેગ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર હોવાથી,આમાંથી કોઈપણ ફેરફારને કારણે પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે.

(N/A) $x-t$ (સ્થાન-સમય) આલેખ પદાર્થની ગતિ દર્શાવે છે. $x-t$ આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો વેગ આપે છે. આલેખની વક્રતા પ્રવેગ સૂચવે છે.
$(a)$ ધન પ્રવેગ માટે $(a > 0)$: આલેખ ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ (concave upwards) હોય છે (ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલય જેવો). સમય સાથે વેગ વધે છે.
$(b)$ ઋણ પ્રવેગ માટે $(a < 0)$: આલેખ નીચેની તરફ અંતર્ગોળ (concave downwards) હોય છે (નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય જેવો). સમય સાથે વેગ ઘટે છે.
$(c)$ શૂન્ય પ્રવેગ માટે $(a = 0)$: આલેખ અચળ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે અચળ વેગ સૂચવે છે.

(N/A) વેગમાં થતા સમય સાથેના ફેરફારને પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે.
સરેરાશ પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતો ફેરફાર અને તે ફેરફાર માટે લાગતા સમયગાળાનો ગુણોત્તર. જો કોઈ કણનો સમય $t_{1}$ અને $t_{2}$ સમયે વેગ અનુક્રમે $v_{1}$ અને $v_{2}$ હોય,તો સરેરાશ પ્રવેગ $\langle a \rangle$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\langle a \rangle = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$
સરેરાશ પ્રવેગ એ સદિશ રાશિ છે અને તેની દિશા વેગમાં થતા ફેરફાર $\Delta v$ ની દિશામાં હોય છે.
તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ $a$ ને સરેરાશ પ્રવેગના લક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે સમયગાળો $\Delta t$ શૂન્યને અનુલક્ષે છે:
$a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}$
તે કોઈ ચોક્કસ સમયે પદાર્થનો પ્રવેગ દર્શાવે છે.

(A) જ્યારે વેગ (ચોક્કસ દિશામાં ઝડપ) અને પ્રવેગ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,ત્યારે પ્રવેગ ગતિની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જો બંને ધન હોય,તો પદાર્થ ધન દિશામાં ગતિ કરે છે અને તે જ દિશામાં પ્રવેગિત થાય છે,જેના કારણે ઝડપમાં વધારો થાય છે.
જો બંને ઋણ હોય,તો પદાર્થ ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે અને ઋણ દિશામાં જ પ્રવેગિત થાય છે,જે વેગના મૂલ્ય (ઝડપ) માં પણ વધારો કરે છે.
તેથી,બંને કિસ્સાઓમાં પદાર્થની ઝડપ વધે છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેનો વેગ સદિશ ગતિની દિશામાં હોય છે.
જો પદાર્થની ઝડપ ઘટતી હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરી રહ્યો છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,જ્યારે પ્રવેગ સદિશ વેગ સદિશની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે ત્યારે પ્રતિપ્રવેગ ઉદ્ભવે છે.
તેથી,ઘટતી ઝડપ ધરાવતા ગતિમાન પદાર્થ માટે,પ્રવેગની દિશા વેગની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે.

(N/A) જ્યારે પદાર્થનો વેગ સમયની સાપેક્ષમાં ઘટે છે,ત્યારે તેને મંદન (retardation) અથવા પ્રતિપ્રવેગ (deceleration) કહેવામાં આવે છે.
વાસ્તવમાં,ઋણ પ્રવેગને સામાન્ય રીતે મંદન કહેવામાં આવે છે.
તેનો $SI$ એકમ $m/s^2$ છે.

(D) પ્રવેગને સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $a = \frac{dv}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વેગમાં વધારો થવાનો અર્થ એ નથી કે પ્રવેગમાં પણ વધારો થાય.
જો વેગ અચળ દરે વધતો હોય,તો પ્રવેગ અચળ રહે છે (દા.ત.,નિયમિત પ્રવેગ).
જો વેગ વધતા દરે વધતો હોય,તો પ્રવેગ વધે છે.
જો વેગ ઘટતા દરે વધતો હોય,તો પ્રવેગ ઘટે છે.
તેથી,પ્રવેગમાં થતો ફેરફાર સંપૂર્ણપણે ગતિના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે,ખાસ કરીને સમય સાથે વેગ કેવી રીતે બદલાય છે તેના પર.

(A) જો વેગ અને પ્રવેગ એક જ દિશામાં હોય તો કણની ઝડપ વધે છે. જો વેગ ધન હોય,તો ધન પ્રવેગ $(a > 0)$ ઝડપમાં વધારો કરે છે. તેથી,$(1)$ એ $(b)$ સાથે જોડાય છે.
જો વેગ અને પ્રવેગ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તો કણની ઝડપ ઘટે છે. જો વેગ ધન હોય,તો ઋણ પ્રવેગ $(a < 0)$ ઝડપમાં ઘટાડો કરે છે. તેથી,$(2)$ એ $(a)$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $1-b$ અને $2-a$ છે.

(N/A) એકમ સમયમાં વેગમાં થતા ફેરફારને પ્રવેગ કહે છે.
તેની દિશા વેગના ફેરફારની દિશામાં હોય છે.
પ્રવેગનો $SI$ એકમ $m/s^2$ અથવા $m s^{-2}$ છે.

(N/A) વેગ અથવા ઝડપમાં થતા ઘટાડાના સમય દરને પ્રતિપ્રવેગ કહે છે. તેની દિશા હંમેશા વેગ અથવા ઝડપની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

(B) જ્યારે કણનો વેગ અને પ્રવેગ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય ત્યારે કણ પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે તેમ કહેવાય.
ગાણિતિક રીતે,જો વેગ $v$ અને પ્રવેગ $a$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોય (એટલે કે $v \cdot a < 0$),તો સમયની સાથે કણની ઝડપમાં ઘટાડો થાય છે,જેને પ્રતિપ્રવેગ કહેવામાં આવે છે.

(B) એક પરિમાણીય ગતિમાં,જો વેગ $(v)$ અને પ્રવેગ $(a)$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,તો પ્રવેગ પ્રતિપ્રવેગ (retardation) તરીકે કાર્ય કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ પદાર્થની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,સમય જતાં વેગનું મૂલ્ય ઘટે છે.
તેથી,સાચો જવાબ એ છે કે વેગનું મૂલ્ય ઘટે છે.

(A) ધારો કે કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t)$ છે.
$1$. સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાન સદિશનું પ્રથમ વિકલન વેગ સદિશ આપે છે:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$
$2$. સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાન સદિશનું દ્વિતીય વિકલન (અથવા વેગનું પ્રથમ વિકલન) પ્રવેગ સદિશ આપે છે:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$
તેથી,પ્રથમ વિકલન વેગ આપે છે અને દ્વિતીય વિકલન પ્રવેગ આપે છે.

(N/A) સુરેખ પથ પર ગતિ માટે વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો ખૂણો ફક્ત $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોઈ શકે છે.
$1$. જો ખૂણો $0^{\circ}$ હોય,તો વેગ અને પ્રવેગ એક જ દિશામાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થની ઝડપ વધે છે (પ્રવેગી ગતિ).
ઉદાહરણ: સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને સુરેખ માર્ગ પર ઝડપ વધારતી કાર.
$2$. જો ખૂણો $180^{\circ}$ હોય,તો વેગ અને પ્રવેગ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થની ઝડપ ઘટે છે (મંદીવાળી ગતિ).
ઉદાહરણ: સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરતી વખતે બ્રેક લગાવતી કાર.

(A) સમયગાળા $\Delta t$ દરમિયાન સરેરાશ પ્રવેગને $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તત્કાલીન પ્રવેગને $\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો પ્રવેગ અચળ હોય,તો વેગમાં થતો ફેરફારનો દર દરેક ક્ષણે સમાન રહે છે.
તેથી,કોઈપણ સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ પ્રવેગ તે સમયગાળાના કોઈપણ બિંદુએ તત્કાલીન પ્રવેગ જેટલો જ હોય છે.

(B) અચળ પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરતા કણ માટે:
$1$. પ્રવેગ-સમયનો આલેખ એક આડી રેખા હોય છે,કારણ કે $a$ અચળ છે.
$2$. વેગ-સમયનો સંબંધ $v(t) = u + at$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે શૂન્ય ન હોય તેવા ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$3$. સ્થાન-સમયનો સંબંધ $x(t) = x_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે એક પરવલય (parabola) દર્શાવે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખોનો બીજો સેટ (જે $981-$b614 ઈમેજ દ્વારા દર્શાવેલ છે) યોગ્ય રીતે અચળ પ્રવેગ,રેખીય રીતે વધતો વેગ અને પરવલયાકાર સ્થાન-સમયનો આલેખ દર્શાવે છે.

(A) વેગ $v$ એ સ્થાન $s$ ના વિધેય તરીકે આપેલ છે,જ્યાં સ્થાનની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતો ફેરફાર $\frac{dv}{ds} = 5\,m^{-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a$ ને $a = v \frac{dv}{ds}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં $v = 20\,m/s$ અને $\frac{dv}{ds} = 5\,m^{-1}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $a = 20 \times 5 = 100\,m/s^2$ મળે છે.

(A) વેગનું મૂલ્ય એટલે ઝડપ.
ગાણિતિક રીતે,$v = |\vec{v}|$,જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $\vec{v}$ એ વેગ છે.
જો કોઈ ક્ષણે ઝડપ $v = 0$ હોય,તો વેગનું મૂલ્ય પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,તે ક્ષણે વેગ $\vec{v}$ શૂન્ય જ હોય.
નોંધો કે પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જરૂરી નથી; ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે કોઈ દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે,ત્યારે તેના મહત્તમ બિંદુએ તેનો વેગ અને ઝડપ બંને શૂન્ય હોય છે,પરંતુ તેના પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સતત પ્રવેગ $(g = 9.8 \ m/s^2)$ લાગે છે.

(B) જો પદાર્થની ઝડપ વધતી હોય,તો પ્રવેગ વેગની દિશામાં જ હોવો જોઈએ.
જોકે,પ્રવેગનું મૂલ્ય અચળ કે ધન હોવું જરૂરી નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,જો કોઈ કણ ધન દિશામાં $v > 0$ વેગ સાથે ગતિ કરતો હોય અને તેનો પ્રવેગ $a$ ધન હોય પરંતુ ઘટતો જતો હોય (દા.ત.,$a = 2 - t$),તો જ્યાં સુધી $a > 0$ છે ત્યાં સુધી ઝડપ વધતી રહેશે.
તે જ રીતે,જો કોઈ કણ ઋણ દિશામાં $v < 0$ વેગ સાથે ગતિ કરતો હોય અને તેનો પ્રવેગ $a$ ઋણ હોય અને તેનું મૂલ્ય ઘટતું જતું હોય (દા.ત.,$a = -2 + t$),તો પણ ઝડપ $|v|$ વધતી રહેશે.
તેથી,પ્રવેગ ધન કે ઋણ હોઈ શકે છે,અને ઝડપ વધતી હોય ત્યારે પ્રવેગનું મૂલ્ય ઘટતું હોઈ શકે છે.

(A) કણની ઝડપ એ તેના વેગનું મૂલ્ય,$|v|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઝડપ વધવા માટે,પ્રવેગ વેગની દિશામાં જ હોવો જોઈએ.
જો વેગ $v$ ધન હોય $(v > 0)$,તો ઝડપ વધારવા માટે પ્રવેગ $a$ પણ ધન $(a > 0)$ હોવો જોઈએ.
જો વેગ $v$ ઋણ હોય $(v < 0)$,તો વેગનું મૂલ્ય વધારવા માટે પ્રવેગ $a$ પણ ઋણ $(a < 0)$ હોવો જોઈએ.
તેથી,જ્યારે વેગ અને પ્રવેગનો ગુણાકાર ધન હોય,એટલે કે $v \cdot a > 0$,ત્યારે ઝડપ વધે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$v > 0, a > 0$ (વિકલ્પ $A$) અને $v < 0, a < 0$ (વિકલ્પ $B$) આ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના ફેરફારનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$a = \frac{dv}{dt}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે આને સ્થાન $x$ ના સંદર્ભમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dx} \cdot v = v \frac{dv}{dx}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.