Uniformly Accelerated Motion Questions in Gujarati

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા પદાર્થ દ્વારા $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n-1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તેથી,$n^{th}$ અંતરાલમાં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{a}{2}(2n-1)$ થાય.
તે જ રીતે,$(n+1)^{th}$ અંતરાલમાં કાપેલું અંતર $S_{n+1} = \frac{a}{2}(2(n+1)-1) = \frac{a}{2}(2n+2-1) = \frac{a}{2}(2n+1)$ થાય.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{S_n}{S_{n+1}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{S_n}{S_{n+1}} = \frac{\frac{a}{2}(2n-1)}{\frac{a}{2}(2n+1)} = \frac{2n-1}{2n+1}$.

(B) આપેલ સંબંધ: $t = m x^{2} + n x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = 2mx + n$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{1}{v} = \frac{dt}{dx} = 2mx + n$.
તેથી,$v = (2mx + n)^{-1}$.
હવે,પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx}$.
$\frac{dv}{dx} = -1(2mx + n)^{-2} \cdot (2m) = -2m(2mx + n)^{-2}$.
કારણ કે $(2mx + n) = \frac{1}{v}$,તેથી $(2mx + n)^{-2} = v^{2}$.
તેથી,$a = v \cdot (-2m \cdot v^{2}) = -2mv^{3}$.
પ્રતિપ્રવેગ એ પ્રવેગનું ઋણ મૂલ્ય છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $= 2mv^{3}$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0$. ધારો કે અચળ પ્રવેગ $a$ છે.
પ્રથમ સમયગાળા $t$ માટે,કાપેલું અંતર $s_1 = 10 \, m$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 = 0(t) + \frac{1}{2}at^2 \implies 10 = \frac{1}{2}at^2$ --- (સમીકરણ $1$)
કુલ સમયગાળા $2t$ માટે,ધારો કે કુલ કાપેલું અંતર $s_2 = 10 + x$ છે,જ્યાં $x$ એ પછીના $t \, s$ માં કાપેલું અંતર છે.
$10 + x = 0(2t) + \frac{1}{2}a(2t)^2$
$10 + x = \frac{1}{2}a(4t^2) = 4 \left( \frac{1}{2}at^2 \right)$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$10 + x = 4(10)$
$10 + x = 40$
$x = 30 \, m$.

(D) સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $d$ એ સૂત્ર $d = \frac{v^2}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય છે.
બ્રેકિંગ પ્રવેગ $a$ અચળ રહેતો હોવાથી,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $d \propto v^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = 150 \ km/h$ છે અને પ્રારંભિક સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $d_1 = 27 \ m$ છે.
નવી ઝડપ $v_2 = \frac{1}{3} v_1$ છે.
તેથી,નવું સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $d_2 = (\frac{1}{3})^2 \times d_1 = \frac{1}{9} \times 27 \ m = 3 \ m$ થશે.

(C) ધારો કે કણ બિંદુ $A$ થી $u=0$ પ્રારંભિક વેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે. તે $s_1 = \frac{2}{3}d$ અંતર સુધી $f$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરીને બિંદુ $B$ પર $v_1$ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_1^2 - 0^2 = 2f(\frac{2}{3}d) \Rightarrow v_1^2 = \frac{4}{3}fd \Rightarrow v_1 = 2\sqrt{\frac{fd}{3}}$.
પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1$ એ $v = u + at$ પરથી મળે છે:
$v_1 = 0 + ft_1 \Rightarrow t_1 = \frac{v_1}{f} = \frac{2}{f}\sqrt{\frac{fd}{3}} = 2\sqrt{\frac{d}{3f}}$.
બીજા ભાગની ગતિ માટે $B$ થી $C$ સુધી,અંતર $s_2 = \frac{1}{3}d$ છે,પ્રારંભિક વેગ $v_1$ છે અને અંતિમ વેગ $v_2 = 0$ છે. ધારો કે પ્રતિપ્રવેગ $a'$ છે.
$v_2^2 - v_1^2 = 2a's_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 - \frac{4}{3}fd = 2a'(\frac{1}{3}d) \Rightarrow a' = -2f$.
બીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2$ એ $v_2 = v_1 + a't_2$ પરથી મળે છે:
$0 = v_1 - 2ft_2 \Rightarrow t_2 = \frac{v_1}{2f} = \frac{2\sqrt{fd/3}}{2f} = \sqrt{\frac{d}{3f}}$.
કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = 2\sqrt{\frac{d}{3f}} + \sqrt{\frac{d}{3f}} = 3\sqrt{\frac{d}{3f}} = \sqrt{\frac{9d}{3f}} = \sqrt{\frac{3d}{f}}$.

(A) $t = 5 \, s$ સમયે,કણનો વેગ $v_B = u + at = 0 + (1)(5) = 5 \, m/s$ છે અને તેનું સ્થાન $x_B = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(1)(5)^2 = 12.5 \, m$ છે.
ધારો કે વધારાનો પ્રવેગ $a'$ છે. $t > 5 \, s$ માટે કુલ પ્રવેગ $(1 + a')$ થશે.
વધારાના પ્રવેગ સાથેના કિસ્સામાં,$t = 10 \, s$ સમયે (જે ફેરફાર પછીના $5 \, s$ છે):
$v = v_B + (1 + a')(5) = 5 + 5 + 5a' = 10 + 5a'$
$x = x_B + v_B(5) + \frac{1}{2}(1 + a')(5)^2 = 12.5 + 25 + 12.5 + 12.5a' = 50 + 12.5a'$
જો વધારાનો પ્રવેગ આપવામાં ન આવ્યો હોત,તો $a' = 0$:
$v_0 = 5 + (1)(5) = 10 \, m/s$
$x_0 = 12.5 + 25 + 12.5 = 50 \, m$
આપેલ છે કે $x - x_0 = 12.5 \, m$:
$(50 + 12.5a') - 50 = 12.5 \implies 12.5a' = 12.5 \implies a' = 1 \, m/s^2$.
તેથી,$v - v_0 = (10 + 5a') - 10 = 5a' = 5(1) = 5 \, m/s$.

(B) $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t^{\text{th}}$ અને $(t+1)^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો સરવાળો $100 \text{ cm}$ છે.
$S_t + S_{t+1} = 100$
$[u + \frac{a}{2}(2t - 1)] + [u + \frac{a}{2}(2(t+1) - 1)] = 100$
$2u + \frac{a}{2}(2t - 1 + 2t + 2 - 1) = 100$
$2u + \frac{a}{2}(4t) = 100$
$2u + 2at = 100$
$u + at = 50$
$t$ સેકન્ડ પછીનો વેગ $v = u + at$ હોવાથી,આપણને $v = 50 \text{ cm/s}$ મળે છે.

(B) ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ છે,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રવેગ છે અને $t$ એ સમય છે.
$t = 2 \ s$ માટે,$v = 30 \ m/s$: $30 = u + 2a$ --- (સમીકરણ $1$)
$t = 4 \ s$ માટે,$v = 60 \ m/s$: $60 = u + 4a$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(60 - 30) = (u + 4a) - (u + 2a)$
$30 = 2a$
$a = 15 \ m/s^2$
$a = 15 \ m/s^2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મુકતા:
$30 = u + 2(15)$
$30 = u + 30$
$u = 0 \ m/s$
તેથી,પ્રારંભિક વેગ $0 \ m/s$ છે.

(D) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $\sqrt{x} = t + 7$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $x = (t + 7)^2 = t^2 + 14t + 49$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + 14t + 49) = 2t + 14$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનો ફેરફારનો દર છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t + 14) = 2 \, m/s^2$.
અહીં પ્રવેગ $a = 2 \, m/s^2$ એ અચળ મૂલ્ય હોવાથી,કણ અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.

(B) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. પ્રવેગ $a = 2 \, m/s^2$ છે.
$5$ મા અડધા સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે $2.5 \, s$ માં કપાયેલ કુલ અંતર અને $2 \, s$ માં કપાયેલ અંતર વચ્ચેનો તફાવત શોધીશું.
અંતરનું સૂત્ર $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ છે.
$t = 2.5 \, s$ માટે: $S_{2.5} = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (2.5)^2 = 6.25 \, m$.
$t = 2 \, s$ માટે: $S_2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 4 \, m$.
$5$ મા અડધા સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર = $S_{2.5} - S_2 = 6.25 - 4 = 2.25 \, m$.

(C) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $L$ છે અને તેનો અચળ પ્રવેગ $a$ છે.
પ્રથમ છેડાનો વેગ $v_1 = u$ અને બીજા છેડાનો વેગ $v_2 = 3u$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,ટ્રેનની સંપૂર્ણ લંબાઈ માટે:
$(3u)^2 = u^2 + 2aL$
$9u^2 = u^2 + 2aL$
$8u^2 = 2aL \implies aL = 4u^2$.
હવે,ધારો કે મધ્યબિંદુનો વેગ $v_m$ છે. પ્રથમ છેડાથી મધ્યબિંદુ દ્વારા કાપેલું અંતર $L/2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v_m^2 = u^2 + 2a(L/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_m^2 = u^2 + aL$
સમીકરણમાં $aL = 4u^2$ મૂકતા:
$v_m^2 = u^2 + 4u^2 = 5u^2$
$v_m = \sqrt{5}u$.
આમ,મધ્યબિંદુનો વેગ $\sqrt{5}u$ છે.

(C) આપેલ છે કે,પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \alpha t^{3/2}$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષે $0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{u}^{v} dv = \int_{0}^{t} a dt$
$\int_{u}^{v} dv = \int_{0}^{t} \alpha t^{3/2} dt$
$[v]_{u}^{v} = \alpha \left[ \frac{t^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} \right]_{0}^{t}$
$v - u = \alpha \left[ \frac{t^{5/2}}{5/2} \right]_{0}^{t}$
$v - u = \frac{2}{5} \alpha t^{5/2}$
$v = u + \frac{2}{5} \alpha t^{5/2}$

(B) આપેલ સ્થાનનું સમીકરણ: $x^2 = t + 2$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} = 1 \Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2x}$.
હવે,વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} x^{-1}$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને પ્રવેગ $a$ મેળવીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} x^{-1}) = \frac{1}{2} (-1) x^{-2} \frac{dx}{dt}$.
સમીકરણમાં $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2x}$ મૂકતા:
$a = -\frac{1}{2x^2} \times \frac{1}{2x} = -\frac{1}{4x^3}$.

(C) આપેલ સ્થાન વિધેય: $x = -2t^3 + 3t^2 + 5$.
વેગ $v$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-2t^3 + 3t^2 + 5) = -6t^2 + 6t$.
સમય $t$ શોધવા માટે વેગને શૂન્ય લો: $-6t^2 + 6t = 0 \Rightarrow 6t(1 - t) = 0$. આનાથી $t = 0 \ s$ અથવા $t = 1 \ s$ મળે છે. કણ ગતિમાં હોવાથી આપણે $t = 1 \ s$ લઈશું.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-6t^2 + 6t) = -12t + 6$.
પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 1 \ s$ મૂકતા: $a = -12(1) + 6 = -6 \ m/s^2$.

(D) સમાન પ્રવેગ $(a = \text{constant})$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે, વેગ $(v)$ અને સ્થાન $(x)$ વચ્ચેનો સંબંધ ગતિના ત્રીજા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v^2 = u^2 + 2ax$
ધારો કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે $(u = 0)$, તેથી સમીકરણ આ મુજબ થશે:
$v^2 = 2ax$
અહીં $2a$ અચળ હોવાથી, $v^2 \propto x$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $v \propto \sqrt{x}$.
$v = k\sqrt{x}$ (જ્યાં $k$ અચળ છે) નો આલેખ એ $x$-અક્ષની દિશામાં ખુલતો પરવલય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, આ સંબંધને દર્શાવતો વક્ર વિકલ્પ $(D)$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) આપેલ છે કે પ્રવેગ $a = kx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગને $a = v \frac{dv}{dx}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$a$ માટે આપેલ અભિવ્યક્તિ મૂકતા:
$v \frac{dv}{dx} = kx$
સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$v \, dv = kx \, dx$
પ્રારંભિક શરતો $x=0$ સમયે $v=u$ અને અંતિમ સ્થાન $x$ પર વેગ $v$ લઈને બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{u}^{v} v \, dv = \int_{0}^{x} kx \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{u}^{v} = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x}$
$\frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{kx^2}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$v^2 - u^2 = kx^2$
તેથી,$v^2 = u^2 + kx^2$.

(D) સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે,સમય $(t)$ ના વિધેય તરીકે સ્થાન $(x)$ એ $x = ut + \frac{1}{2}at^2$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ હોવું જોઈએ,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ અચળ પ્રવેગ છે.
ચાલો વિકલ્પ $(d)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ:
$\alpha t = \sqrt{\beta + x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\alpha t)^2 = \beta + x$
$\alpha^2 t^2 = \beta + x$
$x = \alpha^2 t^2 - \beta$
આને પ્રમાણિત ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણ $x = ut + \frac{1}{2}at^2$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સ્થાન $x$ એ સમય $t$ નું દ્વિઘાત વિધેય છે (જ્યાં $u = 0$ અને $a = 2\alpha^2$ છે).
કારણ કે પ્રવેગ $a = 2\alpha^2$ અચળ છે,તેથી આ સમીકરણ સમાન પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ છે કે વેગ $v = \alpha \sqrt{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ થાય.
પ્રથમ,$\frac{dv}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dv}{dx} = \alpha \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\alpha}{2\sqrt{x}}$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (\alpha \sqrt{x}) \cdot \left( \frac{\alpha}{2\sqrt{x}} \right) = \frac{\alpha^2}{2}$.
અહીં $\alpha$ અચળાંક હોવાથી,પ્રવેગ $a = \frac{\alpha^2}{2}$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,પ્રવેગ $a$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક આડી સુરેખા મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ધારો કે કુલ કાપેલું અંતર $d$ છે.
કુલ મુસાફરી માટે:
પ્રારંભિક વેગ $= u$,અંતિમ વેગ $= 0$,પ્રવેગ $= -a$,સમય $= T$.
$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = u - aT \Rightarrow u = aT$
કુલ અંતર $d = uT - \frac{1}{2}aT^2 = (aT)T - \frac{1}{2}aT^2 = \frac{1}{2}aT^2$.
મુસાફરીના પ્રથમ અડધા ભાગ માટે:
અંતર $= \frac{d}{2} = \frac{1}{4}aT^2$.
ધારો કે લાગતો સમય $t$ છે.
$s = ut - \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4}aT^2 = (aT)t - \frac{1}{2}at^2$
$a$ વડે ભાગતા:
$\frac{T^2}{4} = Tt - \frac{t^2}{2}$
$T^2 = 4Tt - 2t^2 \Rightarrow 2t^2 - 4Tt + T^2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{4T \pm \sqrt{16T^2 - 8T^2}}{4} = \frac{4T \pm \sqrt{8T^2}}{4} = \frac{4T \pm 2\sqrt{2}T}{4} = T \pm \frac{T}{\sqrt{2}}$.
અહીં $t < T$ હોવાથી,આપણે $t = T(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ લઈશું.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) કણનું પ્રારંભિક સ્થાન $(x_0, y_0) = (3, 7)$ છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = 4 \hat{i}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $a_x = 4$ અને $a_y = 0$.
બંને અક્ષો માટે ગતિના સમીકરણ $s = s_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x$-યામ માટે:
$x = x_0 + u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$x = 3 + (0)(3) + \frac{1}{2} \times 4 \times (3)^2$
$x = 3 + 0 + 2 \times 9 = 3 + 18 = 21$.
$y$-યામ માટે:
$y = y_0 + u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$y = 7 + (0)(3) + \frac{1}{2} \times 0 \times (3)^2$
$y = 7 + 0 + 0 = 7$.
આમ,$3 \,s$ પછીના અંતિમ યામ $(21, 7)$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $M = 500 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \, ms^{-1}$,પ્રવેગ $a = 2 \, ms^{-2}$,અને અંતર $s = 6 \, m$.
અંતિમ વેગ $v$ શોધવા માટે ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = (2)^2 + 2(2)(6)$
$v^2 = 4 + 24 = 28 \, m^2s^{-2}$.
ગતિઊર્જા $KE$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} \times 500 \times 28$
$KE = 250 \times 28 = 7000 \, J$.
કિલોજૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $7000 \, J = 7 \, kJ$.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \; m/s$. અંતિમ વેગ $v = 0$. અંતર $S_1 = 500 \; m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 - 2aS_1$:
$0 = (20)^2 - 2 \cdot a \cdot 500$
$1000a = 400 \Rightarrow a = 0.4 \; m/s^2$.
હવે,જો બ્રેક અડધા અંતરે લગાવવામાં આવે,તો $S_2 = 250 \; m$:
$v^2 = u^2 - 2aS_2$
$v^2 = (20)^2 - 2 \cdot 0.4 \cdot 250$
$v^2 = 400 - 200 = 200$
$v = \sqrt{200} \; m/s$.
$\sqrt{x} \; m/s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 200$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5\,g = 0.005\,kg$,રેખીય વેગમાન $p = 0.3\,kg\,m/s$,સમય $t = 5\,s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય વેગમાન $p = mv$,જ્યાં $v$ એ વેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.005 \times v = 0.3$.
વેગ માટે ઉકેલતા: $v = \frac{0.3}{0.005} = \frac{300}{5} = 60\,m/s$.
ધારો કે પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,તો કાપેલું અંતર $d = v \times t$.
$d = 60\,m/s \times 5\,s = 300\,m$.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 10.0 \, m/s$
અંતિમ વેગ $v = 60.0 \, m/s$
પ્રવેગ $a = 2.0 \, m/s^2$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = u + at$
કિંમતો મૂકતા:
$60.0 = 10.0 + (2.0)t$
$60.0 - 10.0 = 2.0t$
$50.0 = 2.0t$
$t = \frac{50.0}{2.0} = 25.0 \, s$
તેથી,લાગતો સમય $25 \, s$ છે.

(B) ધારો કે લાકડાના બ્લોક દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ $24\,cm$ $(s_1 = 24\,cm)$ માટે:
$(\frac{u}{3})^2 = u^2 - 2a(24)$
$\frac{u^2}{9} = u^2 - 48a$
$48a = u^2 - \frac{u^2}{9} = \frac{8u^2}{9}$
$a = \frac{8u^2}{9 \times 48} = \frac{u^2}{54}.........(1)$
હવે,ધારો કે બ્લોકની કુલ લંબાઈ $L$ છે. ગોળી સ્થિર થાય ત્યાં સુધીની સંપૂર્ણ ગતિ માટે $(v=0)$:
$0^2 = u^2 - 2aL$
$2aL = u^2$
$L = \frac{u^2}{2a}.........(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$L = \frac{u^2}{2 \times (u^2/54)} = \frac{54}{2} = 27\,cm$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$ અંતર કાપ્યા પછી,વેગ $v_1 = u - \frac{1}{3}u = \frac{2}{3}u$ થાય છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(\frac{2}{3}u)^2 - u^2 = 2(-a)(4 \times 10^{-2})$
$\frac{4}{9}u^2 - u^2 = -8a \times 10^{-2}$
$-\frac{5}{9}u^2 = -8a \times 10^{-2} \implies a = \frac{5u^2}{72 \times 10^{-2}} \dots(1)$
હવે,બાકીના અંતર $x = D \times 10^{-3} \ m$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $\frac{2}{3}u$ છે અને અંતિમ વેગ $0$ છે:
$0^2 - (\frac{2}{3}u)^2 = 2(-a)(x)$
$-\frac{4}{9}u^2 = -2ax \implies x = \frac{4u^2}{18a} = \frac{2u^2}{9a} \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$x = \frac{2u^2}{9} \times \frac{72 \times 10^{-2}}{5u^2} = \frac{2 \times 8 \times 10^{-2}}{5} = \frac{16}{5} \times 10^{-2} = 3.2 \times 10^{-2} \ m = 32 \times 10^{-3} \ m$.
$D \times 10^{-3} \ m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $D = 32$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. અચળ પ્રવેગ $a$ સાથે $t$ સમયમાં કપાતું સ્થાનાંતર $S = \frac{1}{2}at^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ $(p-1)$ સેકન્ડ માટે,સ્થાનાંતર $S_1 = \frac{1}{2}a(p-1)^2$ છે.
પ્રથમ $p$ સેકન્ડ માટે,સ્થાનાંતર $S_2 = \frac{1}{2}ap^2$ છે.
આપણે એવો સમય $t$ શોધવાનો છે કે જેથી કુલ સ્થાનાંતર $S_1 + S_2 = \frac{1}{2}at^2$ થાય.
$S_1$ અને $S_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2}a(p-1)^2 + \frac{1}{2}ap^2 = \frac{1}{2}at^2$
બંને બાજુ $\frac{1}{2}a$ વડે ભાગતા:
$(p-1)^2 + p^2 = t^2$
$p^2 - 2p + 1 + p^2 = t^2$
$2p^2 - 2p + 1 = t^2$
$t = \sqrt{2p^2 - 2p + 1} \ s$.

(B) આપેલ સ્થાન: $x = t^3 - 6t^2 + 20t + 15 \ m$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 12t + 20 \ m/s$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12 \ m/s^2$.
સમય શોધવા માટે પ્રવેગને શૂન્ય લેતા: $6t - 12 = 0 \implies t = 2 \ s$.
વેગના સમીકરણમાં $t = 2 \ s$ મૂકતા: $v = 3(2)^2 - 12(2) + 20 = 12 - 24 + 20 = 8 \ m/s$.

(B) ધારો કે સમય $t$ પર પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રવેગ $a$ છે.
આપેલ છે કે $1 \ s$ માં વેગમાં થતો વધારો $50 \ m/s$ છે,તેથી $v = u + a(1) = u + 50$.
આમ,$a = 50 \ m/s^2$.
$t$ થી $t+1$ ના અંતરાલમાં સ્થાનાંતર $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $t$ થી શરૂ થતા $1 \ s$ ના અંતરાલ માટે,સ્થાનાંતર $s = u(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 125$ છે.
$a = 50$ મૂકતા,આપણને $u + 25 = 125$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $u = 100 \ m/s$.
$(t+2)^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t+2$.
જોકે,પ્રશ્ન ગતિની શરૂઆતથી $(t+2)^{th}$ સેકન્ડમાં અંતર પૂછે છે. $u$ એ સમય $t$ પરનો વેગ હોવાથી,પછીની સેકન્ડમાં ($(t+1)^{th}$ સેકન્ડ) અંતર $125 \ m$ છે. $(t+2)^{th}$ સેકન્ડમાં અંતર $S = (u+a) + \frac{a}{2} = 100 + 50 + 25 = 175 \ m$ છે.

(B) આપેલ છે કે કણનો વેગ સ્થાનના વિધેય તરીકે: $v = 4\sqrt{x}$.
પ્રવેગ $a$ ને સ્થાન $x$ ના સંદર્ભમાં આ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવી શકાય છે: $a = v \frac{dv}{dx}$.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^{1/2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમતો પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (4\sqrt{x}) \cdot (\frac{2}{\sqrt{x}})$.
$a = 4 \cdot 2 = 8 \ m/s^2$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $8 \ m/s^2$ જેટલો અચળ છે.

(B) પદાર્થ દ્વારા $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલ અંતરનું સૂત્ર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
$n^{\text{th}}$ સેકન્ડ માટે: $102.5 = u + \frac{a}{2}(2n - 1) \quad \dots(1)$
$(n+2)^{\text{th}}$ સેકન્ડ માટે: $115.0 = u + \frac{a}{2}(2(n+2) - 1) = u + \frac{a}{2}(2n + 3) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$115.0 - 102.5 = [u + \frac{a}{2}(2n + 3)] - [u + \frac{a}{2}(2n - 1)]$
$12.5 = \frac{a}{2} (2n + 3 - 2n + 1)$
$12.5 = \frac{a}{2} (4)$
$12.5 = 2a$
$a = \frac{12.5}{2} = 6.25 \ m/s^2$.
આમ,પ્રવેગ $6.25 \ m/s^2$ છે.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} \,m/s = 20 \,m/s$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$ (કારણ કે બસ અટકી જાય છે).
સમય $t = 4 \,s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રવેગ શોધીએ છીએ:
$0 = 20 + a(4) \Rightarrow 4a = -20 \Rightarrow a = -5 \,m/s^2$.
બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $s$ ગતિના બીજા સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$s = (20)(4) + \frac{1}{2}(-5)(4)^2$
$s = 80 - \frac{1}{2}(5)(16)$
$s = 80 - 40 = 40 \,m$.

(B) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n-1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,$u = 0$,તેથી $S_n = \frac{a}{2}(2n-1)$.
$n=10$ માટે,$S_{10} = \frac{a}{2}(2(10)-1) = \frac{19a}{2}$.
$n-1=9$ માટે,$S_{9} = \frac{a}{2}(2(9)-1) = \frac{17a}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{S_{n-1}}{S_n} = \frac{17a/2}{19a/2} = \frac{17}{19}$ થાય.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $1 - \frac{2}{x}$ છે,તેથી $1 - \frac{2}{x} = \frac{17}{19}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2}{x} = 1 - \frac{17}{19} = \frac{2}{19}$.
તેથી,$x = 19$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x^2 = 1 + t^2$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x \frac{dx}{dt} = 2t$,જેનું સાદું રૂપ $x v = t$ થાય છે,જ્યાં $v$ એ વેગ છે.
$x v = t$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા: $x \frac{dv}{dt} + v \frac{dx}{dt} = 1$.
કારણ કે $\frac{dv}{dt} = a$ (પ્રવેગ) અને $\frac{dx}{dt} = v$,આપણને $x a + v^2 = 1$ મળે છે.
સમીકરણમાં $v = \frac{t}{x}$ મૂકતા: $x a + (\frac{t}{x})^2 = 1$.
$x a = 1 - \frac{t^2}{x^2} = \frac{x^2 - t^2}{x^2}$.
મૂળ સમીકરણ પરથી $x^2 - t^2 = 1$ હોવાથી,આપણને $x a = \frac{1}{x^2}$ મળે છે.
તેથી,$a = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
આને $x^{-n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.

(A) ધારો કે કાર $P$ નો પ્રવેગ $a_P = kt$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
ધારો કે કાર $Q$ નો પ્રવેગ $a_Q = a$ છે,જ્યાં $a$ અચળાંક છે.
$P$ ની સાપેક્ષમાં $Q$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{QP} = a_Q - a_P = a - kt$ છે.
સાપેક્ષ વેગ $v_{QP}$ એ સાપેક્ષ પ્રવેગનું સંકલન છે: $v_{QP} = u_{QP} + at - \frac{1}{2}kt^2$.
સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $s_{QP}$ એ સાપેક્ષ વેગનું સંકલન છે: $s_{QP} = u_{QP}t + \frac{1}{2}at^2 - \frac{1}{6}kt^3$.
કાર એકબીજાને ઓળંગે તે માટે,સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $s_{QP}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$s_{QP} = 0$ લેતા,$t(u_{QP} + \frac{1}{2}at - \frac{1}{6}kt^2) = 0$ મળે છે.
એક ઉકેલ $t = 0$ છે (જે આપેલ છે).
અન્ય ઓળંગણી ત્યારે થાય છે જ્યારે દ્વિઘાત સમીકરણ $u_{QP} + \frac{1}{2}at - \frac{1}{6}kt^2 = 0$ ના $t > 0$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલો મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણને વધુમાં વધુ $2$ ધન ઉકેલો હોઈ શકે છે.
તેથી,કુલ ઓળંગણીની સંખ્યા $1$ ($t=0$ પર) $+ 2$ (દ્વિઘાત સમીકરણમાંથી) $= 3$ થાય છે.

(B) આપેલ સંબંધ: $t = x^2 + x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dt}{dx} = 2x + 1$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{1}{v} = 2x + 1$,જેનો અર્થ છે કે $v = (2x + 1)^{-1}$.
પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = -1(2x + 1)^{-2} \times 2 = -2(2x + 1)^{-2}$.
પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા: $a = (2x + 1)^{-1} \times [-2(2x + 1)^{-2}]$.
તેથી,$a = -2(2x + 1)^{-3} = -\frac{2}{(2x + 1)^3}$.

(C) કણનું સ્થાન $x(t) = 10 + 6t - 3t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ શોધવા માટે,આપણે સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $v(t) = \frac{dx}{dt} = 6 - 6t$.
$v(t) = 0$ લેતા,આપણને મળે છે કે કણ $t = 1 \ s$ સમયે સ્થિર થાય છે.
આપેલ સમયગાળો $t = 1 \ s$ થી $t = 4 \ s$ હોવાથી,$t = 1 \ s$ પછી કણ માત્ર એક જ દિશામાં (ઋણ દિશામાં) ગતિ કરે છે.
$t = 1 \ s$ સમયે,સ્થાન $x(1) = 10 + 6(1) - 3(1)^2 = 10 + 6 - 3 = 13 \ m$ છે.
$t = 4 \ s$ સમયે,સ્થાન $x(4) = 10 + 6(4) - 3(4)^2 = 10 + 24 - 48 = -14 \ m$ છે.
કાપેલું અંતર એ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય છે: $d = |x(4) - x(1)| = |-14 - 13| = |-27| = 27 \ m$.

(B) ધારો કે પ્રવેગ $\alpha = 2 \ m/s^2$ અને પ્રતિપ્રવેગ $\beta = 4 \ m/s^2$ છે. કુલ સમય $t = 3 \ s$ છે.
ધારો કે પ્રવેગનો સમય $t_1$ અને પ્રતિપ્રવેગનો સમય $t_2$ છે. તેથી $t_1 + t_2 = 3$.
કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે સ્થિર થાય છે,તેથી પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ વેગ $v = \alpha t_1 = \beta t_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$2t_1 = 4t_2$,જેનો અર્થ છે કે $t_1 = 2t_2$.
સમયના સમીકરણમાં મૂકતા: $2t_2 + t_2 = 3$,તેથી $3t_2 = 3$,જે આપણને $t_2 = 1 \ s$ અને $t_1 = 2 \ s$ આપે છે.
મહત્તમ વેગ $v = 2 \times 2 = 4 \ m/s$ છે.
કુલ સ્થાનાંતર $d$ એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે એક ત્રિકોણ છે: $d = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \ m$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ m/s$
અંતિમ વેગ $v = 80 \ m/s$
અંતર $s = 200 \ m$
સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે,સરેરાશ વેગ $\frac{u+v}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાપેલું અંતર $s = \text{સરેરાશ વેગ} \times t$ છે.
$s = \left(\frac{u+v}{2}\right) t$
$200 = \left(\frac{20+80}{2}\right) t$
$200 = \left(\frac{100}{2}\right) t$
$200 = 50t$
$t = \frac{200}{50} = 4 \ s$.

(B) ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા. વાહન સ્થિર થાય છે, તેથી $v = 0$, એટલે કે $0 = u^2 - 2as$, જે આપણને $s = \frac{u^2}{2a}$ આપે છે.
સમાન વાહન માટે પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી, $s \propto u^2$ થાય.
અહીં $u_1 = 15 \,km/hr$ અને $s_1 = 5 \,m$ આપેલ છે.
અને $u_2 = 45 \,km/hr = 3 \times u_1$ છે.
તેથી, નવું અંતર $s_2 = s_1 \times (\frac{u_2}{u_1})^2$ દ્વારા મળે.
$s_2 = 5 \,m \times (3)^2 = 5 \,m \times 9 = 45 \,m$.

(D) ધારો કે પદાર્થ $A$ નો વેગ $v_A = u$ (અચળ) છે.
ધારો કે પદાર્થ $B$ નો વેગ $v_B = at$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગ $a$ સાથે) છે.
જ્યારે તેમના વેગ સમાન થાય ત્યારે $v_A = v_B$,એટલે કે $u = at$. તેથી,લાગતો સમય $t = \frac{u}{a}$ છે.
સમય $t$ માં પદાર્થ $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_A = u \cdot t = u \left( \frac{u}{a} \right) = \frac{u^2}{a}$ છે.
સમય $t$ માં પદાર્થ $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_B = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} a \left( \frac{u}{a} \right)^2 = \frac{u^2}{2a}$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = s_A - s_B = \frac{u^2}{a} - \frac{u^2}{2a} = \frac{u^2}{2a}$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
$n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
$u = 0$ હોવાથી,$S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$.
$n$ સેકન્ડમાં કપાયેલ કુલ અંતરનું સૂત્ર: $S_{total} = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}an^2 = \frac{1}{2}an^2$.
$n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર અને $n$ સેકન્ડમાં કપાયેલ કુલ અંતરનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= \frac{S_n}{S_{total}} = \frac{\frac{a}{2}(2n - 1)}{\frac{1}{2}an^2} = \frac{2n - 1}{n^2} = \frac{2n}{n^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $V$ છે અને અંતિમ ઝડપ $0$ છે. કાપેલું અંતર $s$ છે અને પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = V^2 - 2as$,તેથી $s = \frac{V^2}{2a}$.
વળી,$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = V - at$,તેથી $t = \frac{V}{a}$.
હવે,નવા કિસ્સા માટે,પ્રારંભિક ઝડપ $u' = nV$,અંતિમ ઝડપ $v' = 0$,અંતર $s' = s$,અને સમય $t' = t$ છે. ધારો કે નવો પ્રતિપ્રવેગ $a'$ છે.
$v' = u' - a't'$ પરથી,$0 = nV - a't$. $t = \frac{V}{a}$ મૂકતા,$0 = nV - a'(\frac{V}{a})$,જે દર્શાવે છે કે $a' = na$.
અંતરની શરત સાથે ચકાસતા: $s' = u't' - \frac{1}{2}a't'^2$. $s' = s = \frac{V^2}{2a}$,$u' = nV$,$t' = t = \frac{V}{a}$,અને $a' = na$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{V^2}{2a} = (nV)(\frac{V}{a}) - \frac{1}{2}(na)(\frac{V}{a})^2 = \frac{nV^2}{a} - \frac{nV^2}{2a} = \frac{nV^2}{2a}$.
આ કિંમત $\frac{V^2}{2a}$ જેટલી થવા માટે $n = 1$ હોવું જોઈએ. જોકે,પ્રશ્ન બંને શરતો સંતોષવા માટે જરૂરી પ્રતિપ્રવેગ પૂછે છે. આપેલી મર્યાદાઓ મુજબ,સમયની શરત સંતોષવા માટે પ્રતિપ્રવેગ $n \cdot a$ હોવો જોઈએ.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m/s$,પ્રતિપ્રવેગ $a = -0.3 \ m/s^2$,અને અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$ (જ્યારે વાહન અટકે છે).
સૌ પ્રથમ,વાહનને અટકતા લાગતો સમય શોધો: $t = \frac{v-u}{a} = \frac{0-15}{-0.3} = 50 \ s$.
વાહન $50 \ s$ માં અટકી જાય છે,જે $60 \ s$ (એક મિનિટ) કરતા ઓછો સમય છે,તેથી $60 \ s$ પછીનું સ્થાનાંતર એ $50 \ s$ પછીના સ્થાનાંતર જેટલું જ રહેશે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = (15 \times 50) + \frac{1}{2} \times (-0.3) \times (50)^2$
$s = 750 - 0.15 \times 2500 = 750 - 375 = 375 \ m$.
ટ્રાફિક સિગ્નલથી પ્રારંભિક અંતર $400 \ m$ હતું.
તેથી,એક મિનિટ પછી ટ્રાફિક સિગ્નલથી વાહનનું અંતર $400 \ m - 375 \ m = 25 \ m$ થશે.

(B) ધારો કે પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ છે અને બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે।
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A$ થી $B$ સુધીના પથ માટે:
$(30)^2 = (20)^2 + 2ad$
$900 = 400 + 2ad$
$2ad = 500$
$ad = 250$
ધારો કે $v_m$ એ $AB$ ના મધ્યબિંદુ પરનો વેગ છે। $A$ થી મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $d/2$ છે।
$A$ થી મધ્યબિંદુ સુધીના પથ માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v_m^2 = (20)^2 + 2a(d/2)$
$v_m^2 = 400 + ad$
$ad = 250$ મૂકતા:
$v_m^2 = 400 + 250 = 650$
$v_m = \sqrt{650} \approx 25.495 \,m/s \approx 25.5 \,m/s$.

(A) પદાર્થ $A$ માટે જે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે (પ્રારંભિક વેગ $u=0$):
$S_A = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$
પદાર્થ $B$ માટે જે $V$ જેટલા સમાન વેગ સાથે ગતિ કરે છે:
$S_B = Vt$
તેઓ $t$ સમય પછી એક જ બિંદુએ મળે છે,તેથી તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોવું જોઈએ:
$S_A = S_B$
$\frac{1}{2}at^2 = Vt$
બંને બાજુ $t$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારીને):
$\frac{1}{2}at = V$
$t = \frac{2V}{a}$

(B) આપેલ છે કે અંતર $s$ એ સમય $t$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી $s \propto t^{2}$.
આને $s = k t^{2}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં અંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^{2}) = 2kt$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
અહીં $k$ અચળ હોવાથી,$2k$ પણ અચળ છે અને તે શૂન્ય નથી.
તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ છે પણ શૂન્ય નથી.

(D) ગતિનું સમીકરણ $x=ut+\frac{1}{2}at^2$ એ અચળ પ્રવેગ હેઠળ પદાર્થની ગતિનું વર્ણન કરે છે.
આ સમીકરણ વેગ અને પ્રવેગની વ્યાખ્યાઓ પરથી કલનશાસ્ત્ર (calculus) અથવા આલેખની રીતોનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આ એક ગતિશાસ્ત્રીય સંબંધ છે અને તે સીધી રીતે ન્યુટનના ગતિના નિયમોમાંથી મળતું નથી,જે બળ,દળ અને પ્રવેગ $(F=ma)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.