Uniformly Accelerated Motion Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $v_s = 0$ એ સ્ત્રોત (સાયરન) ની ઝડપ છે અને $v_o$ એ અવલોકનકાર (વાહન) ની ઝડપ છે। ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ: $f' = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$, જ્યાં $v = 330 \,m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $f' = 0.94 f_0$, તેથી $0.94 = \frac{330 - v_o}{330}$.
$v_o$ માટે ઉકેલતા: $330 \times 0.94 = 330 - v_o \implies 310.2 = 330 - v_o \implies v_o = 19.8 \,m/s$.
વાહન સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ માંથી $a = 2 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે શરૂ થાય છે। ગતિના સમીકરણ $v_o^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(19.8)^2 = 0^2 + 2(2)s \implies 392.04 = 4s$.
$s = \frac{392.04}{4} = 98.01 \,m$.
આમ, વાહન લગભગ $98 \,m$ જેટલું દૂર ગયું હશે.

(C) ધારો કે કુલ સમય $t$ છે અને પ્રવેગ $a$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
સમયના પ્રથમ અડધા ભાગ માટે,$t_{1} = t/2$:
$x_{1} = u t_{1} + \frac{1}{2} a t_{1}^{2} = 0 + \frac{1}{2} a (t/2)^{2} = \frac{1}{8} a t^{2}$.
કુલ સમય $t$ માટે,કુલ અંતર $x_{total} = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} a t^{2}$.
કુલ અંતરના સમીકરણમાં $x_{1} = \frac{1}{8} a t^{2}$ મૂકતા:
$\frac{1}{8} a t^{2} + x_{2} = \frac{1}{2} a t^{2}$.
$x_{2} = \frac{1}{2} a t^{2} - \frac{1}{8} a t^{2} = \frac{4-1}{8} a t^{2} = \frac{3}{8} a t^{2}$.
$x_{1}$ અને $x_{2}$ ની સરખામણી કરતા:
$x_{2} = 3 \times (\frac{1}{8} a t^{2}) = 3 x_{1}$.

(D) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $v^2 - u^2 = 2as$, જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ), $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે, $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ $(-a)$ છે, અને $s$ એ અંતર છે।
$0^2 - u^2 = 2(-a)s \Rightarrow u^2 = 2as \Rightarrow s = \frac{u^2}{2a}$.
અહીં પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી, $s \propto u^2$ થાય.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $40 = \frac{(20)^2}{2a} \Rightarrow 2a = \frac{400}{40} = 10 \,m \,s^{-2}$.
બીજા કિસ્સા માટે, નવો વેગ $u' = 2 \times 20 = 40 \,m \,s^{-1}$ છે.
નવું અંતર $s' = \frac{(u')^2}{2a} = \frac{(40)^2}{10} = \frac{1600}{10} = 160 \,m$.

(C) $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
પ્રથમ સેકન્ડ માટે $(n=1)$: $5 = u + \frac{a}{2}(2(1) - 1) \implies 5 = u + \frac{a}{2}$ (સમીકરણ $i$).
ત્રીજી સેકન્ડ માટે $(n=3)$: $2 = u + \frac{a}{2}(2(3) - 1) \implies 2 = u + \frac{5a}{2}$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા: $(2 - 5) = (u + \frac{5a}{2}) - (u + \frac{a}{2}) \implies -3 = 2a \implies a = -1.5 \,m/s^2$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે.
બળનું મૂલ્ય $F = |m \times a| = 4 \,kg \times 1.5 \,m/s^2 = 6 \,N$ થાય.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $= v_0$,અંતિમ વેગ $= v$,પ્રવેગ $= a$,સમયગાળો $= t$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - v_0^2 = 2as$.
આના પરથી,કાપેલું કુલ અંતર $s$ નીચે મુજબ મળે: $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો.
$\bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{\frac{v^2 - v_0^2}{2a}}{t}$.
તેથી,$\bar{v} = \frac{v^2 - v_0^2}{2at}$.

(A) કણનું સ્થાનાંતર $x$ અને સમય $t$ વચ્ચેનો સંબંધ $t = \sqrt{x} + 3$ આપેલ છે.
$\sqrt{x}$ ને કર્તા બનાવતા: $\sqrt{x} = t - 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ મળે છે: $x = (t - 3)^2 = t^2 - 6t + 9$.
કણનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 6t + 9) = 2t - 6$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે સ્થાનાંતર શોધવા માટે,$v = 0$ લેતા:
$2t - 6 = 0 \Rightarrow 2t = 6 \Rightarrow t = 3 \ s$.
હવે,$t = 3 \ s$ ની કિંમત સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = (3 - 3)^2 = 0^2 = 0 \ m$.
આમ,જ્યારે કણનો વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $0 \ m$ થશે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 3 \ cm$,અંતિમ સ્થાન $x_f = -5 \ cm$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 12 \hat{i} \ cm \ s^{-1}$,અને સમય $t = 2 \ s$.
સ્થાનાંતર $\vec{s} = x_f - x_i = (-5 - 3) \hat{i} = -8 \hat{i} \ cm$.
ગતિના સમીકરણ $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-8 \hat{i} = (12 \hat{i})(2) + \frac{1}{2} \vec{a} (2)^2$
$-8 \hat{i} = 24 \hat{i} + 2 \vec{a}$
$2 \vec{a} = -8 \hat{i} - 24 \hat{i} = -32 \hat{i}$
$\vec{a} = -16 \ cm \ s^{-2} \hat{i}$.

(C) ગતિશાસ્ત્રના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ,$v^2 - u^2 = 2as$ છે.
ધારો કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v^2 = 2as$ મળે છે,જેને $s = \frac{v^2}{2a}$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a$ એ સમાન (અચળ) પ્રવેગ હોવાથી,સ્થાનાંતર $s$ અને વેગ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $s \propto v^2$ છે.
આ $s$-અક્ષ પર ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
આલેખ $C$ એક પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $s$ એ $v$ ના વર્ગ સાથે વધે છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી શરૂ થાય છે,જે તારવેલા સંબંધ $s = \frac{1}{2a} v^2$ સાથે સુસંગત છે.

(D) કણનો વેગ $v = e^{-\beta x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = e^{-\beta x}$ થાય.
પદોને અલગ કરવા માટે ગોઠવતા,આપણને $e^{\beta x} dx = dt$ મળે છે.
પ્રારંભિક શરત $t = 0$ પર $x = 0$ નો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^x e^{\beta x} dx = \int_0^t dt$
$\left[ \frac{e^{\beta x}}{\beta} \right]_0^x = [t]_0^t$
$\frac{1}{\beta} (e^{\beta x} - e^0) = t - 0$
$\frac{1}{\beta} (e^{\beta x} - 1) = t$
$e^{\beta x} - 1 = \beta t$
$e^{\beta x} = 1 + \beta t$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\beta x = \log(1 + \beta t)$
$x = \frac{1}{\beta} \log(1 + \beta t)$

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $3 s = 9 t + 5 t^2$ છે.
આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $s = 3 t + (5/3) t^2$ મળે છે.
અચળ પ્રવેગી ગતિ માટેનું પ્રમાણિત ગતિનું સમીકરણ $s = u t + (1/2) a t^2$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
આપેલ સમીકરણ $s = 3 t + (5/3) t^2$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સમીકરણ $s = u t + (1/2) a t^2$ સાથે કરતા,આપણને $(1/2) a = 5/3$ મળે છે.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = 2 \times (5/3) = 10/3 \ m s^{-2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $S = 30t + 5t^2$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે: $v = \frac{dS}{dt}$.
$S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $v = \frac{d}{dt}(30t + 5t^2) = 30 + 10t$.
પ્રારંભિક વેગ એ $t = 0$ સમયે વેગ છે.
વેગના સમીકરણમાં $t = 0$ મૂકતા: $v = 30 + 10(0) = 30 \ m \ s^{-1}$.
તેથી,પ્રારંભિક વેગ $30 \ m \ s^{-1}$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 6.25 \,ms^{-1}$, પ્રતિપ્રવેગ $a = -2.5 \sqrt{v} \,ms^{-2}$, અને અંતિમ વેગ $v = 0$ (સ્થિર સ્થિતિ).
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dv}{dt} = -2.5 \sqrt{v}$
સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dv}{\sqrt{v}} = -2.5 dt$
બંને બાજુ પ્રારંભિક વેગ $u$ થી અંતિમ વેગ $0$ સુધી અને સમય $0$ થી $T$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{6.25}^{0} v^{-1/2} dv = \int_{0}^{T} -2.5 dt$
$[2 \sqrt{v}]_{6.25}^{0} = -2.5 [t]_{0}^{T}$
$2(\sqrt{0} - \sqrt{6.25}) = -2.5(T - 0)$
$2(0 - 2.5) = -2.5T$
$-5 = -2.5T$
$T = \frac{5}{2.5} = 2 \,s$
તેથી, કારને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય $2 \,s$ છે.

(B) ધારો કે વિદ્યાર્થીનો લઘુત્તમ વેગ $v$ છે જેથી તે બસને પકડી શકે.
જો વિદ્યાર્થી $t$ સમયમાં બસને પકડે,તો $t$ સમયમાં વિદ્યાર્થી દ્વારા કાપેલું અંતર $= 16 \ m +$ બસ દ્વારા $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર.
ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા:
વિદ્યાર્થી દ્વારા કાપેલું અંતર $= v t$
બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $= u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9 \times t^2 = 4.5 t^2$
અંતરને સરખાવતા:
$v t = 16 + 4.5 t^2$
$4.5 t^2 - v t + 16 = 0$
સાદુરૂપ આપવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$9 t^2 - 2 v t + 32 = 0$
વિદ્યાર્થી બસને પકડી શકે તે માટે,સમય $t$ વાસ્તવિક હોવો જોઈએ. તેથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ $(D \geq 0)$:
$(-2 v)^2 - 4 \times 9 \times 32 \geq 0$
$4 v^2 - 1152 \geq 0$
$v^2 \geq 288$
$v \geq \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$
લઘુત્તમ વેગ $12 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ છે.
આને $\alpha \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 12$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, પ્રવેગ $a = \frac{5}{4} \,ms^{-2}$, અને સમય $n = 3 \,s$.
$n$ મી સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_{3} = 0 + \frac{5/4}{2}(2 \times 3 - 1)$
$S_{3} = \frac{5}{8}(6 - 1)$
$S_{3} = \frac{5}{8} \times 5$
$S_{3} = \frac{25}{8} \,m$.

(D) આપેલ સંબંધ: $t = \alpha x^2 + \beta x$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 = 2 \alpha x \left( \frac{dx}{dt} \right) + \beta \left( \frac{dx}{dt} \right)$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી:
$1 = (2 \alpha x + \beta) v \implies v = \frac{1}{2 \alpha x + \beta}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
$v = (2 \alpha x + \beta)^{-1}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = -1(2 \alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2 \alpha) = -2 \alpha v^2$.
તેથી,$a = v (-2 \alpha v^2) = -2 \alpha v^3$.
પ્રતિપ્રવેગ એ પ્રવેગનું ઋણ મૂલ્ય છે:
$\text{પ્રતિપ્રવેગ} = -a = -(-2 \alpha v^3) = 2 \alpha v^3$.

(C) કણનો વેગ $v = \sqrt{196 - 16x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $v^2 = 196 - 16x$ મળે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(196 - 16x)$
$2v \frac{dv}{dt} = -16 \frac{dx}{dt}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ અને વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ છે, તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2v \cdot a = -16v$
બંને બાજુ $2v$ વડે ભાગતા (ધારો કે $v \neq 0$):
$a = -8 \text{ m/s}^2$.
આમ, કણનો પ્રવેગ $-8 \text{ m/s}^2$ જેટલો અચળ છે.

(B) આપેલ છે: કારનું સ્થાનાંતર,$s = 200 \,m$.
લાગતો સમય,$t = 10 \,s$.
કારનો અંતિમ વેગ,$v = 0 \,m/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સરેરાશ વેગ $\frac{v + u}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
સ્થાનાંતર એ સરેરાશ વેગ અને સમયના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$s = \left(\frac{v + u}{2}\right) \times t$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$200 = \left(\frac{0 + u}{2}\right) \times 10$
$200 = 5u$
$u = \frac{200}{5} = 40 \,m/s$.
તેથી,કારની પ્રારંભિક ઝડપ $40 \,m/s$ છે.

(A) ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$v$ એ અંતિમ ઝડપ છે,$u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $a$ એ સમય $t$ માટેનો પ્રવેગ છે.
અહીં અચળ પ્રતિપ્રવેગ હોવાથી,પ્રવેગ ઋણ લેવામાં આવે છે,એટલે કે $a_{eff} = -a$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = u + (-a)t = u - at$.
સમય $t > 0$ માટે $at > 0$ હોવાથી,$v < u$ મળે છે.
તેથી,અચળ પ્રતિપ્રવેગ હેઠળ પદાર્થની ઝડપ ઘટે છે.

(D) કણનો વેગ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt}$.
આપેલ છે કે $s = 9t^2 - 2t^3$,તેથી $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(9t^2 - 2t^3) = 18t - 6t^2$.
જ્યારે કણ શૂન્ય વેગ પ્રાપ્ત કરે ત્યારે $v = 0$ લેતા:
$18t - 6t^2 = 0$.
$6t$ સામાન્ય કાઢતા:
$6t(3 - t) = 0$.
આથી આપણને બે ઉકેલ મળે છે: $t = 0$ અને $t = 3$.
કણ $t = 0$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી તે ફરીથી $t = 3 \ s$ સમયે શૂન્ય વેગ પ્રાપ્ત કરશે.

(C) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$. ધારો કે સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
સમય $t = n$ પર,વેગ $v = u + at = 0 + an$,તેથી $a = \frac{v}{n}$.
$k^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_k = u + \frac{a}{2}(2k - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u = 0$ હોવાથી,$S_k = \frac{a}{2}(2k - 1)$.
$n^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
$(n-1)^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_{n-1} = \frac{a}{2}(2(n-1) - 1) = \frac{a}{2}(2n - 3)$ છે.
આ બે સેકન્ડમાં કુલ સ્થાનાંતર $S_{total} = S_n + S_{n-1} = \frac{a}{2}(2n - 1 + 2n - 3) = \frac{a}{2}(4n - 4) = 2a(n - 1)$.
$a = \frac{v}{n}$ મૂકતા,આપણને $S_{total} = 2(\frac{v}{n})(n - 1) = \frac{2v(n - 1)}{n}$ મળે છે.

(C) ધારો કે ટ્રક $v_t = 12 \,m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે અને કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u_c = 0)$ $a_c = 2 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે શરૂ થાય છે.
ધારો કે કારને ટ્રક સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
સમય $t$ માં, ટ્રક દ્વારા કાપેલું અંતર $s_t = v_t \times t = 12t$ છે.
કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_c = u_c t + \frac{1}{2} a_c t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2 = t^2$ છે.
કાર ટ્રકને પસાર કરે તે માટે, બંને દ્વારા કાપેલું અંતર સમાન હોવું જોઈએ: $s_c = s_t$.
તેથી, $t^2 = 12t$.
અહીં $t \neq 0$ હોવાથી, $t = 12 \,s$ મળે છે.
કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_c = t^2 = (12)^2 = 144 \,m$ થશે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ $2 \,s$ માટે,$S_1 = 200 \,m$:
$200 = u(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 \implies 200 = 2u + 2a \implies u + a = 100$ ...$(1)$
પ્રથમ $6 \,s$ માટે (પ્રથમ $2 \,s$ + પછીના $4 \,s$),કુલ અંતર $S_2 = 200 + 220 = 420 \,m$:
$420 = u(6) + \frac{1}{2}a(6)^2 \implies 420 = 6u + 18a \implies u + 3a = 70$ ...$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(u + 3a) - (u + a) = 70 - 100 \implies 2a = -30 \implies a = -15 \,m/s^2$
સમીકરણ $(1)$ માં $a$ ની કિંમત મુકતા:
$u - 15 = 100 \implies u = 115 \,m/s$
$t = 7 \,s$ પછીનો વેગ $v = u + at$ દ્વારા મળે છે:
$v = 115 + (-15)(7) = 115 - 105 = 10 \,m/s$.

(C) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v_f^2 - v_i^2 = 2as$.
ધારો કે ટ્રેનની કુલ લંબાઈ $L$ છે.
જ્યારે એન્જિન ઝાડને પસાર કરે છે ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. જ્યારે છેલ્લો ડબ્બો ઝાડને પસાર કરે છે,ત્યારે ટ્રેને તેની લંબાઈ $L$ જેટલું અંતર કાપ્યું હોય છે અને તેનો અંતિમ વેગ $v$ હોય છે.
તેથી,$v^2 - u^2 = 2aL$,જે આપણને $a = \frac{v^2 - u^2}{2L}$ આપે છે ....$(1)$
હવે,મધ્યમ ડબ્બાનો વિચાર કરો. તે એન્જિનથી $\frac{L}{2}$ અંતરે છે.
ધારો કે $v_m$ એ મધ્યમ ડબ્બાનો વેગ છે જ્યારે તે ઝાડને પસાર કરે છે.
$\frac{L}{2}$ અંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v_m^2 - u^2 = 2a(\frac{L}{2}) = aL$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_m^2 = u^2 + (\frac{v^2 - u^2}{2L}) \times L$
$v_m^2 = u^2 + \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{2u^2 + v^2 - u^2}{2} = \frac{v^2 + u^2}{2}$
તેથી,$v_m = \sqrt{\frac{v^2 + u^2}{2}}$.

(B) કણનો વેગ $v = 4t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણ દ્વારા કપાયેલું અંતર $S$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$S = \int_{0}^{t} v \ dt$
$v$ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા:
$S = \int_{0}^{4} 4t \ dt$
$S = 4 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$S = 2 \times [t^2]_{0}^{4}$
$S = 2 \times (4^2 - 0^2)$
$S = 2 \times 16 = 32 \ m$
વૈકલ્પિક રીતે,ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = 4t$ ને $v = 0 + at$ સાથે સરખાવતા પ્રવેગ $a = 4 \ m s^{-2}$ મળે છે.
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 0(4) + \frac{1}{2}(4)(4)^2 = 2 \times 16 = 32 \ m$.

(A) આપેલ પ્રારંભિક વેગ $u = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} \ m/s = 10 \ m/s$.
વસ્તુ સ્થિર થાય છે,તેથી અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$.
કાપેલું અંતર $s = 200 \ m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 200$.
$-100 = 400a$.
$a = -\frac{100}{400} = -0.25 \ m/s^2$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે.
તેથી,બ્રેક દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પ્રતિપ્રવેગ $0.25 \ m/s^2$ છે.

(B) આપેલ છે: પદાર્થનું દળ, $m = 10 \,kg$.
પ્રારંભિક વેગ, $u = 10 \,m \,s^{-1}$.
સમયગાળો, $t = 4 \,s$.
અંતિમ વેગ, $v = -2 \,m \,s^{-1}$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં છે).
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $v = u + at$.
પ્રવેગ માટે સૂત્ર: $a = \frac{v - u}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{-2 - 10}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \,m \,s^{-2}$.
આમ, ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $-3 \,m \,s^{-2}$ છે.

(D)
ધારો કે $u = 0$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પદાર્થનો સમાન પ્રવેગ છે।
પ્રથમ $t = 2 \,s$ માં કાપેલું અંતર:
$x_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 2a \quad (i)$
$2 \,s$ ના અંતે પદાર્થનો વેગ:
$v = u + at = 0 + a(2) = 2a \quad (ii)$
આગામી $2 \,s$ માં ($t = 2 \,s$ થી $t = 4 \,s$ સુધી) પ્રારંભિક વેગ $v = 2a$ સાથે કાપેલું અંતર:
$x_2 = vt + \frac{1}{2}at^2 = (2a)(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 4a + 2a = 6a$
$x_1$ અને $x_2$ ની સરખામણી કરતા:
$x_2 = 6a = 3(2a) = 3x_1$
આમ, $x_2 = 3x_1$

(B) ધારો કે પદાર્થ $t=0$ સમયે બિંદુ $A$ થી પ્રારંભિક વેગ $u=0$ અને અચળ પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે. $t=2 \ s$ સમયે,તે બિંદુ $B$ પર પહોંચે છે. કાપેલું અંતર $s_1 = \frac{1}{2} a (2)^2 = 2a$ છે. $B$ પર વેગ $v_B = a(2) = 2a$ છે.
$t=2 \ s$ સમયે,પદાર્થ તેની દિશા ઉલટાવે છે પરંતુ પ્રવેગ $a$ સમાન દિશામાં રહે છે (જે પ્રતિપ્રવેગ તરીકે કાર્ય કરે છે). તે બિંદુ $C$ પર અટકે છે જ્યાં તેનો વેગ $0$ થાય છે. ધારો કે $B$ થી $C$ સુધીનો સમય $t'$ છે. $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = 2a - a(t')$,જે આપણને $t' = 2 \ s$ આપે છે. અંતર $BC$ એ $s_2 = (2a)(2) - \frac{1}{2} a (2)^2 = 4a - 2a = 2a$ છે.
$A$ થી $C$ સુધીનું કુલ અંતર $AC = s_1 + s_2 = 2a + 2a = 4a$ છે.
હવે,પદાર્થ $C$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અચળ પ્રવેગ $a$ સાથે $A$ તરફ ગતિ કરે છે. ધારો કે $AC$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $T$ છે. $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$4a = 0 + \frac{1}{2} a T^2$,જે $T^2 = 8$ આપે છે,તેથી $T = 2\sqrt{2} \ s$.
કુલ સમય $t_0$ એ $C$ સુધી પહોંચવાનો સમય અને $A$ પર પાછા ફરવાનો સમયનો સરવાળો છે. $C$ સુધી પહોંચવાનો સમય $2 \ s + 2 \ s = 4 \ s$ છે. આમ,$t_0 = 4 + 2\sqrt{2} \ s$.

(D) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. એક પાટિયામાંથી પસાર થયા પછી,વેગ $v = u - \frac{u}{25} = \frac{24u}{25}$ થાય છે.
અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s$ એ એક પાટિયાની જાડાઈ છે અને $a$ એ અચળ પ્રતિપ્રવેગ છે:
$\left(\frac{24u}{25}\right)^2 - u^2 = 2as$
$\frac{576u^2}{625} - u^2 = 2as$
$2as = -\frac{49u^2}{625}$.
જો ગોળીને અટકાવવા માટે $n$ પાટિયાની જરૂર હોય,તો કુલ અંતર $ns$ કાપ્યા પછી અંતિમ વેગ $0$ થાય છે:
$0^2 - u^2 = 2a(ns)$
$-u^2 = n(2as)$
$-u^2 = n \left(-\frac{49u^2}{625}\right)$
$n = \frac{625}{49} \approx 12.75$.
પાટિયાઓની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી ગોળીને અટકાવવા માટે ઓછામાં ઓછા $13$ પાટિયાની જરૂર પડશે.

(A) આપેલ છે કે ગતિઊર્જા $K \propto t$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv^2 \propto t$,જેનો અર્થ છે કે $v^2 \propto t$ અથવા $v \propto t^{1/2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$.
$v = kt^{1/2}$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે) હોવાથી,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $a = k \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \frac{k}{2\sqrt{t}}$ મળે છે.
તેથી,$a \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$.

(C) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
$x$ મીટર અંતર કાપ્યા પછી,વેગ $v_1 = u - \frac{1}{3}u = \frac{2u}{3}$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a$ એ લક્ષ્યની અંદર પ્રતિપ્રવેગ છે:
$(\frac{2u}{3})^2 = u^2 - 2ax$
$\frac{4u^2}{9} = u^2 - 2ax$
$2ax = u^2 - \frac{4u^2}{9} = \frac{5u^2}{9} \quad \dots (1)$
હવે,ગતિના બીજા ભાગ માટે,ગોળી $\frac{2u}{3}$ વેગથી શરૂ થાય છે અને વધુ $x^{\prime}$ અંતર કાપીને સ્થિર (અંતિમ વેગ $v_2 = 0$) થાય છે:
$0^2 = (\frac{2u}{3})^2 - 2ax^{\prime}$
$2ax^{\prime} = \frac{4u^2}{9} \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2ax^{\prime}}{2ax} = \frac{4u^2/9}{5u^2/9}$
$\frac{x^{\prime}}{x} = \frac{4}{5}$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 10 \ m \ s^{-1}$,સમય $t = 2 \ s$.
અચળ પ્રવેગ માટે,આપણે ગતિનું પ્રથમ સમીકરણ વાપરીએ છીએ:
$v = u + at$
$10 = 0 + a \times 2$
$a = \frac{10}{2} = 5 \ m \ s^{-2}$.
હવે,કાપેલા અંતર $(s)$ માટે,આપણે ગતિનું બીજું સમીકરણ વાપરીએ છીએ:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$s = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2$
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times 4$
$s = 10 \ m$.
આમ,પ્રવેગ $5 \ m \ s^{-2}$ છે અને કાપેલું અંતર $10 \ m$ છે.

(B) કણનો વેગ $v(t) = 1 - 3t^2 + 2t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ એ સ્થાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,$v = \frac{dx}{dt}$.
તેથી,સ્થાનાંતર $x$ ને સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
$x(t) = \int v(t) \ dt = \int (1 - 3t^2 + 2t^3) \ dt$.
સંકલન કરતા:
$x(t) = t - t^3 + \frac{2t^4}{4} + C = t - t^3 + \frac{t^4}{2} + C$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે,$x = 0$,તેથી અચળાંક $C$ શોધવા માટે આ કિંમતો મૂકતા:
$0 = 0 - 0^3 + \frac{0^4}{2} + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,સ્થાનનું વિધેય $x(t) = t - t^3 + \frac{t^4}{2}$ છે.
$t = 2 \ s$ સમયે,સ્થાન:
$x(2) = 2 - (2)^3 + \frac{(2)^4}{2} = 2 - 8 + \frac{16}{2} = 2 - 8 + 8 = 2 \ m$.

(C) કણનો પ્રવેગ $f = f_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $f = \frac{dv}{dt}$,વેગ $v$ એ પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવાથી મળે છે:
$v = \int f dt = \int f_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right) dt = f_0 \left(t - \frac{t^2}{2T}\right) + C$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $v = 0$,તેથી સંકલનનો અચળાંક $C = 0$ મળે છે.
આમ,કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ $v = f_0 \left(t - \frac{t^2}{2T}\right)$ છે.
જ્યારે $f = 0$ થાય ત્યારે પ્રવેગ શૂન્ય બને છે,જેનો અર્થ છે કે $1 - \frac{t}{T} = 0$,તેથી $t = T$.
વેગના સમીકરણમાં $t = T$ મૂકતા:
$v = f_0 \left(T - \frac{T^2}{2T}\right) = f_0 \left(T - \frac{T}{2}\right) = \frac{f_0 T}{2}$.

(A) આપેલ છે કે,$v = \alpha \sqrt{x}$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int x^{-1/2} dx = \int \alpha dt \Rightarrow 2\sqrt{x} = \alpha t + C$.
$t = 0$ સમયે,$x = 0$ હોવાથી $C = 0$ મળે. તેથી,$2\sqrt{x} = \alpha t \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{\alpha t}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x = \frac{\alpha^2 t^2}{4}$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\alpha^2 t^2}{4} \right) = \frac{\alpha^2}{4} (2t) = \frac{\alpha^2 t}{2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\alpha^2 t}{2} \right) = \frac{\alpha^2}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,પ્રતિપ્રવેગ $a = -3 v^{2/3} \,m/s^2$.
પ્રારંભિક બિંદુએ $(t=0)$,વેગ $u = 8 \,m/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{ds}$.
$a$ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા:
$-3 v^{2/3} = v \frac{dv}{ds}$
$-3 v^{2/3} ds = v dv$
$ds = -\frac{1}{3} v^{1 - 2/3} dv = -\frac{1}{3} v^{1/3} dv$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{s} ds = -\frac{1}{3} \int_{8}^{0} v^{1/3} dv$
$s = -\frac{1}{3} \left[ \frac{v^{4/3}}{4/3} \right]_{8}^{0}$
$s = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} [0 - 8^{4/3}]$
$s = -\frac{1}{4} [0 - (2^3)^{4/3}]$
$s = -\frac{1}{4} [0 - 16] = 4 \,m$.
તેથી,પદાર્થ અટકે તે પહેલાં તેણે કાપેલું અંતર $4 \,m$ છે.

(A) આપેલ પ્રતિપ્રવેગ $\omega = -\frac{dv}{dt} = a \sqrt{v}$.
$1$. સમય $t$ શોધવા માટે:
$\frac{dv}{dt} = -a \sqrt{v} \implies \int_{v_0}^{0} v^{-1/2} dv = \int_{0}^{t} -a dt$
$[2 \sqrt{v}]_{v_0}^{0} = -at \implies -2 \sqrt{v_0} = -at \implies t = \frac{2 \sqrt{v_0}}{a}$.
$2$. અંતર $s$ શોધવા માટે:
$\omega = v \frac{dv}{ds} = a \sqrt{v}$ નો ઉપયોગ કરતા $\implies v \frac{dv}{ds} = -a \sqrt{v} \implies \sqrt{v} dv = -a ds$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{v_0}^{0} v^{1/2} dv = \int_{0}^{s} -a ds$
$[\frac{2}{3} v^{3/2}]_{v_0}^{0} = -as \implies -\frac{2}{3} v_0^{3/2} = -as \implies s = \frac{2 v_0^{3/2}}{3 a}$.

(B) કણનું સ્થાનાંતર $x = A t^3 + B t^2 + C t + D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = 3At^2 + 2Bt + C$.
પ્રારંભિક વેગ $(v_{\text{initial}})$ એ $t = 0$ સમયે વેગ છે:
$v_{\text{initial}} = 3A(0)^2 + 2B(0) + C = C$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = 6At + 2B$.
પ્રારંભિક પ્રવેગ $(a_{\text{initial}})$ એ $t = 0$ સમયે પ્રવેગ છે:
$a_{\text{initial}} = 6A(0) + 2B = 2B$.
પ્રારંભિક પ્રવેગ અને પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_{\text{initial}}}{v_{\text{initial}}} = \frac{2B}{C}$ થાય છે.

(D) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કણનું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ અચળ પ્રવેગ છે.
ત્રીજી સેકન્ડ માટે $(n=3)$: $10 = u + \frac{a}{2}(2(3) - 1) \implies 10 = u + 2.5a$ --- (સમીકરણ $1$)
પાંચમી સેકન્ડ માટે $(n=5)$: $18 = u + \frac{a}{2}(2(5) - 1) \implies 18 = u + 4.5a$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(18 - 10) = (u + 4.5a) - (u + 2.5a) \implies 8 = 2a \implies a = 4 \ ms^{-2}$.
$a = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $10 = u + 2.5(4) \implies 10 = u + 10 \implies u = 0 \ ms^{-1}$.
$t$ સમયે વેગ $v = u + at$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 4 \ s$ સમયે: $v = 0 + (4)(4) = 16 \ ms^{-1}$.

(C) આપેલ સંબંધ: $t = ax^2 + bx$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dt}{dx} = 2ax + b$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{v} = 2ax + b$,જેનો અર્થ છે કે $v = (2ax + b)^{-1}$.
પ્રવેગ $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx}$.
$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = -1(2ax + b)^{-2} \cdot (2a) = -2a(2ax + b)^{-2}$.
$(2ax + b) = \frac{1}{v}$ મૂકતા: $\frac{dv}{dx} = -2a \cdot (\frac{1}{v})^{-2} = -2av^2$.
આમ,પ્રવેગ $a_{acc} = v \cdot (-2av^2) = -2av^3$.

(B) આપેલ છે કે, અવરોધક બળ $F \propto \sqrt{v}$, તેથી $ma = -k\sqrt{v}$, જેનો અર્થ છે $a = -c\sqrt{v}$ જ્યાં $c$ અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{dv}{dt} = -c\sqrt{v}$.
ગોઠવતા, $\frac{dv}{\sqrt{v}} = -c \, dt$.
$t=0$ $(v=u)$ થી $t=T$ $(v=0)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{u}^{0} v^{-1/2} \, dv = \int_{0}^{T} -c \, dt \Rightarrow [2\sqrt{v}]_{u}^{0} = -cT \Rightarrow -2\sqrt{u} = -cT \Rightarrow c = \frac{2\sqrt{u}}{T}$.
હવે, $v \frac{dv}{ds} = -c\sqrt{v} \Rightarrow \sqrt{v} \, dv = -c \, ds$.
$s=0$ $(v=u)$ થી $s=S$ $(v=0)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{u}^{0} v^{1/2} \, dv = \int_{0}^{S} -c \, ds \Rightarrow [\frac{2}{3} v^{3/2}]_{u}^{0} = -cS \Rightarrow -\frac{2}{3} u^{3/2} = -cS \Rightarrow S = \frac{2u^{3/2}}{3c}$.
$c = \frac{2\sqrt{u}}{T}$ મૂકતા:
$S = \frac{2u^{3/2}}{3(2\sqrt{u}/T)} = \frac{uT}{3}$.
આપેલ છે $u = 120 \,m/s$ અને $T = 1.5 \,s$:
$S = \frac{120 \times 1.5}{3} = \frac{180}{3} = 60 \,m$.
આમ, $60 \,m$ વિકલ્પોમાં આપેલ નથી, તેથી આપેલા વિકલ્પો ખોટા છે.

(C) મુસાફરીના પ્રથમ ભાગ માટે: $u = 0, a = 4 \,m/s^2$, સમય $= t_1$. $t_1$ સમયના અંતે પ્રાપ્ત થયેલ વેગ $v_1 = u + at_1 = 4t_1$ છે.
પ્રથમ $t_1$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $s_1 = \frac{1}{2}at_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times t_1^2 = 2t_1^2$ છે.
મુસાફરીના બીજા ભાગ માટે: પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 4t_1$, સમય $= t_2$, અને પ્રવેગ $= 0$.
આગામી $t_2$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $s_2 = v_1 t_2 = 4t_1 t_2$ છે.
મુસાફરીના ત્રીજા ભાગ માટે: પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 4t_1$, અંતિમ વેગ $= 0$, સમયગાળો $= t_1$.
ત્રીજા ભાગમાં સ્થાનાંતર $s_3 = \frac{v_1 + v_f}{2} \times t_1 = \frac{4t_1 + 0}{2} \times t_1 = 2t_1^2$ છે.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 + t_1 = 2t_1 + t_2 = 10 \,s$, તેથી $t_2 = 10 - 2t_1$.
સરેરાશ વેગ $v_{\text{avg}} = \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{10} = 5.1$.
કિંમતો મૂકતા: $5.1 = \frac{2t_1^2 + 4t_1 t_2 + 2t_1^2}{10} = \frac{4t_1^2 + 4t_1(10 - 2t_1)}{10}$.
$51 = 4t_1^2 + 40t_1 - 8t_1^2$.
$4t_1^2 - 40t_1 + 51 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $t_1 = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4(4)(51)}}{2(4)} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 816}}{8} = \frac{40 \pm \sqrt{784}}{8} = \frac{40 \pm 28}{8}$.
$t_1 = \frac{68}{8} = 8.5 \,s$ (શક્ય નથી) અથવા $t_1 = \frac{12}{8} = 1.5 \,s$.
તેથી, $t_1 = 1.5 \,s$.

(C)
1. પ્રથમ $3 \,s$ માટે, કણ સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી $a_1 = 2 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે।
2. $t = 3 \,s$ પર વેગ:
$v = u + a_1 t = 0 + 2(3) = 6 \,m/s$
3. $t = 3 \,s$ પર સ્થાનાંતર:
$s_1 = ut + \frac{1}{2} a_1 t^2 = 0 + \frac{1}{2}(2)(3^2) = 9 \,m$
4. $t = 3 \,s$ પછી પ્રવેગ ઉલટાય છે, એટલે $a_2 = -2 \,m/s^2$. ધારો કે વધારાનો સમય $t'$ છે।
5. $t'$ સમયે સ્થાન:
$s = s_1 + vt' + \frac{1}{2} a_2 (t')^2$
6. કણ તેના પ્રારંભિક સ્થાન પર પાછો ફરે તે માટે $s = 0$ હોવું જોઈએ।
7. $0 = 9 + 6t' - \frac{1}{2}(2)(t')^2$
$0 = 9 + 6t' - (t')^2$
$(t')^2 - 6t' - 9 = 0$
8. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$t' = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-9)}}{2}
= \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2}
= 3 \pm 3\sqrt{2}$
9. $t' > 0$ હોવાથી:
$t' = 3 + 3\sqrt{2} = 3(1+\sqrt{2}) \,s$
10. કુલ સમય:
$T = 3 + t' = 3 + 3 + 3\sqrt{2} = 6 + 3\sqrt{2} = 3(2+\sqrt{2}) \,s$

(D) સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે,$n^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર $S_n = u + (2n - 1) \frac{a}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોથી સેકન્ડ માટે $(n=4)$: $25 = u + (2 \times 4 - 1) \frac{a}{2} = u + 3.5a$ ...$(i)$
છઠ્ઠી સેકન્ડ માટે $(n=6)$: $37 = u + (2 \times 6 - 1) \frac{a}{2} = u + 5.5a$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $12 = 2a \implies a = 6 \ m/s^2$.
$a$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $25 = u + 3.5(6) = u + 21 \implies u = 4 \ m/s$.
$t=6 \ s$ સમયે વેગ $v = u + at = 4 + (6 \times 6) = 40 \ m/s$ થાય.
ત્યારબાદની $2 \ s$ માં કપાયેલું અંતર $S = vt + \frac{1}{2}at^2 = (40 \times 2) + \frac{1}{2} \times 6 \times (2)^2 = 80 + 12 = 92 \ m$ થાય.

(D) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ધારો કે સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
$n$ સેકન્ડ પછીનો વેગ $v = u + at$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V = 0 + a(n)$,જે આપણને $a = \frac{V}{n}$ આપે છે.
છેલ્લી $t = 2 \text{ s}$ માં સ્થાનાંતર $S$ ની ગણતરી $S = v_{final}t - \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે,જ્યાં $v_{final} = V$.
$S = V(2) - \frac{1}{2} \left(\frac{V}{n}\right)(2)^2$.
$S = 2V - \frac{1}{2} \left(\frac{V}{n}\right)(4)$.
$S = 2V - \frac{2V}{n}$.
$S = 2V \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{2V(n-1)}{n}$.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m/s$ અને પ્રવેગ $a = 2 \,m/s^2$ છે.
સમયગાળા $\Delta t = 1 \,s$ માટે ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_1$ માટે ($t=3 \,s$ થી $t=4 \,s$ નો ગાળો):
$t=3 \,s$ સમયે વેગ $v_3 = u + at = 10 + 2(3) = 16 \,m/s$ છે.
$S_1 = v_3(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 16(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 16 + 1 = 17 \,m$.
$S_2$ માટે ($t=4 \,s$ થી $t=5 \,s$ નો ગાળો):
$t=4 \,s$ સમયે વેગ $v_4 = u + at = 10 + 2(4) = 18 \,m/s$ છે.
$S_2 = v_4(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 18(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 18 + 1 = 19 \,m$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{S_2}{S_1} = \frac{19}{17}$ થાય.

(B) આપેલ છે: પ્રવેગ $a = 6t$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \ m/s$,પ્રારંભિક સ્થાન $x_0 = 0$.
પગલું $1$: પ્રવેગનું સંકલન કરીને વેગ $v(t)$ શોધો.
$v(t) = \int a \ dt = \int 6t \ dt = 3t^2 + C$.
$t = 0$ સમયે,$v = 10 \ m/s$,તેથી $C = 10$. આમ,$v(t) = 3t^2 + 10$.
પગલું $2$: વેગનું સંકલન કરીને સ્થાન $x(t)$ શોધો.
$x(t) = \int v(t) \ dt = \int (3t^2 + 10) \ dt = t^3 + 10t + C'$.
$t = 0$ સમયે,$x = 0$,તેથી $C' = 0$. આમ,$x(t) = t^3 + 10t$.
પગલું $3$: $t = 2 \ s$ સમયે અંતરની ગણતરી કરો.
$x(2) = (2)^3 + 10(2) = 8 + 20 = 28 \ m$.
કારણ કે વેગ $v(t) = 3t^2 + 10$ એ $t \ge 0$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી કાપેલું અંતર એ સ્થાનાંતર જેટલું જ છે.
સાચો જવાબ $28 \ m$ છે.

(B) આપેલ છે,ટ્રકનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 54 \,km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \,m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 0$.
પ્રતિપ્રવેગ,$a = -10 \,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા,$(0)^2 = (15)^2 + 2 \times (-10) \times s$.
$0 = 225 - 20s$.
$20s = 225$.
$s = \frac{225}{20} = 11.25 \,m$.

(A) આપેલ છે કે વેગ $v$ એ સમયનું વિધેય છે: $v(t) = 10t \text{ cm/s}$.
કણ $t=0$ સમયે ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો હોવાથી, પ્રારંભિક વેગ $u = v(0) = 0 \text{ cm/s}$ છે.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(10t) = 10 \text{ cm/s}^2$.
અચળ પ્રવેગ માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s$ નીચે મુજબ મળે છે:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
કિંમતો $u = 0 \text{ cm/s}$, $a = 10 \text{ cm/s}^2$, અને $t = 8 \text{ s}$ મૂકતા:
$s = (0)(8) + \frac{1}{2} \times 10 \times (8)^2$
$s = 0 + 5 \times 64$
$s = 320 \text{ cm}$.
આમ, $8 \text{ s}$ માં કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $320 \text{ cm}$ છે.