Young’s Modulus Questions in Hindi

(B) दोनों तार समानांतर क्रम में एक ही भार से जुड़े हुए हैं। मान लीजिए प्रत्येक तार की लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
जब कुल बल $F$ लगाया जाता है,तो दोनों तारों में विस्तार $\Delta L$ समान होता है।
प्रत्येक तार में बल $F_1 = \frac{Y_1 A \Delta L}{L}$ और $F_2 = \frac{Y_2 A \Delta L}{L}$ है।
कुल बल $F = F_1 + F_2 = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta L}{L}$ है।
यदि $Y_{eq}$ तुल्य यंग मापांक है,तो $F = \frac{Y_{eq} (2A) \Delta L}{L}$ (क्योंकि कुल क्षेत्रफल $2A$ है)।
$F$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{Y_{eq} (2A) \Delta L}{L} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta L}{L}$।
$Y_{eq}$ के लिए हल करने पर,हमें $Y_{eq} = \frac{Y_1 + Y_2}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) रिंग की प्रारंभिक लंबाई (परिधि) $= 2 \pi r$.
रिंग की अंतिम लंबाई (परिधि) $= 2 \pi R$.
लंबाई में परिवर्तन $= 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$.
विकृति (Strain) $= \frac{\text{लंबाई में परिवर्तन}}{\text{मूल लंबाई}} = \frac{2 \pi (R - r)}{2 \pi r} = \frac{R - r}{r}$.
परिभाषा के अनुसार,यंग मापांक $E = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{F / A}{\Delta L / L}$.
मान रखने पर: $E = \frac{F / A}{(R - r) / r}$.
अतः,बल $F = AE \left( \frac{R - r}{r} \right)$.

(C) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। निकाय के लिए गति के समीकरण हैं:
$T - F = m_1a$ ($m_1$ द्रव्यमान के लिए)
$m_2g - T = m_2a$ ($m_2$ द्रव्यमान के लिए)
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $m_2g - F = (m_1 + m_2)a$
दिया गया है $F = m_2g/2$,इसलिए $m_2g - m_2g/2 = (m_1 + m_2)a$,जिससे $a = \frac{m_2g}{2(m_1 + m_2)}$ प्राप्त होता है।
अब,$m_2$ के समीकरण का उपयोग करके डोरी में तनाव $T$ ज्ञात करें:
$T = m_2(g - a) = m_2(g - \frac{m_2g}{2(m_1 + m_2)}) = m_2g(1 - \frac{m_2}{2(m_1 + m_2)}) = m_2g(\frac{2m_1 + 2m_2 - m_2}{2(m_1 + m_2)}) = \frac{m_2g(2m_1 + m_2)}{2(m_1 + m_2)}$.
विकृति (strain) $\text{Strain} = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{T}{AY}$ द्वारा दी जाती है।
$T$ का मान रखने पर: $\text{Strain} = \frac{m_2g(2m_1 + m_2)}{2AY(m_1 + m_2)}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) यंग मापांक को $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है।
बल के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{Y \cdot A \cdot \Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
स्टील की रिंग की मूल परिधि $L = 2 \pi r$ है।
डिस्क पर फिट होने पर अंतिम परिधि $2 \pi R$ है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{Y \cdot A \cdot 2 \pi (R - r)}{2 \pi r} = \frac{YA(R - r)}{r}$.

(B) छत से $y$ दूरी पर $dy$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव के नीचे छड़ के भाग का द्रव्यमान (लंबाई $L-y$) $m' = \frac{m}{L}(L-y)$ है।
इस खंड पर तनाव $T$ इसके नीचे के भाग के भार के बराबर है: $T = m'g = \frac{mg}{L}(L-y)$।
छोटे अवयव $dy$ में लंबाई में वृद्धि $d\Delta L = \frac{T dy}{AY} = \frac{mg(L-y)dy}{LAY}$ द्वारा दी जाती है।
कुल लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ ज्ञात करने के लिए,$y=0$ से $y=L$ तक समाकलन करें:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{mg(L-y)}{LAY} dy = \frac{mg}{LAY} \left[ Ly - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{mg}{LAY} \left( L^2 - \frac{L^2}{2} \right) = \frac{mgL}{2AY}$.

(A) दो दृढ़ आधारों के बीच स्थिर छड़ में उत्पन्न ऊष्मीय प्रतिबल का सूत्र है: $\text{प्रतिबल} = Y \alpha \Delta T$.
यहाँ,$Y = 1.2 \times 10^{11}\,N/m^2$ यंग मापांक है।
$\alpha = 1.1 \times 10^{-5}/\,^oC$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
$\Delta T = T_f - T_i = 10\,^oC - 20\,^oC = -10\,^oC$.
तापमान में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta T| = 10\,^oC$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{प्रतिबल} = (1.2 \times 10^{11}) \times (1.1 \times 10^{-5}) \times 10$
$\text{प्रतिबल} = 1.32 \times 10^{11} \times 10^{-4} = 1.32 \times 10^7\,N/m^2$.

(A) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ है।
विस्तार $\Delta \ell$ के लिए सूत्र $\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,इसलिए $\Delta \ell = \frac{4F \ell}{\pi d^2 Y}$ होगा।
यहाँ $F$ और $Y$ स्थिर हैं,इसलिए $\Delta \ell \propto \frac{\ell}{d^2}$.
विकल्प $A$ के लिए: $\frac{\ell}{d^2} = \frac{50}{(0.5)^2} = 200$.
विकल्प $B$ के लिए: $\frac{\ell}{d^2} = \frac{100}{(1)^2} = 100$.
विकल्प $C$ के लिए: $\frac{\ell}{d^2} = \frac{200}{(2)^2} = 50$.
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{\ell}{d^2} = \frac{300}{(3)^2} \approx 33.3$.
अतः,विकल्प $A$ का अनुपात सबसे अधिक है,इसलिए इसमें विस्तार सबसे अधिक होगा।

(C) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta l$ विस्तार है।
विस्तार $\Delta l$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\Delta l = \frac{F l}{A Y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आयतन $V = A l$ स्थिर है,हम $A = V/l$ लिख सकते हैं।
$A$ का मान विस्तार के सूत्र में रखने पर: $\Delta l = \frac{F l}{(V/l) Y} = \frac{F l^2}{V Y}$।
चूंकि $F$,$V$ और $Y$ स्थिर हैं,इसलिए विस्तार $\Delta l$,$l^2$ के समानुपाती है।

(A) यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
बल $(F)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$F = \left( \frac{YA}{L} \right) \Delta L$
स्प्रिंग के लिए हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल है:
$F = K \Delta L$
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K = \frac{YA}{L}$

(C) यंग मापांक $Y$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जो प्रतिबल-विकृति ग्राफ के ढलान (slope) के बराबर होता है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \tan \theta$
पदार्थ $A$ के लिए,विकृति अक्ष के साथ कोण $\theta_A = 30^\circ$ है। इसलिए,$Y_A = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
पदार्थ $B$ के लिए,विकृति अक्ष के साथ कोण $\theta_B = 60^\circ$ है। इसलिए,$Y_B = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$।
दोनों मापांकों का अनुपात लेने पर:
$\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$
अतः,$Y_B = 3Y_A$।

(C) विस्तार का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{YA}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,तांबे के तार के लिए:
$F = 100 \, N$
$L = 6 \, m$
$Y = 1 \times 10^{11} \, N/m^2$
$A = 10^{-5} \, m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta L = \frac{100 \times 6}{1 \times 10^{11} \times 10^{-5}}$
$\Delta L = \frac{600}{10^6} = 600 \times 10^{-6} \, m$
$\Delta L = 0.6 \times 10^{-3} \, m = 0.6 \, mm$.

(D) तार एक समान है,इसलिए इसका भार इसकी लंबाई $L$ पर समान रूप से वितरित है।
तार की प्रति इकाई लंबाई का भार $w = W/L$ है।
निचले सिरे से $h = 3L/4$ की ऊँचाई पर,इस बिंदु के नीचे तार की लंबाई $3L/4$ है।
तार के इस खंड का भार $W_{segment} = w \times (3L/4) = (W/L) \times (3L/4) = \frac{3}{4}W$ है।
इस अनुप्रस्थ काट पर कार्य करने वाला कुल बल इसके नीचे के खंड का भार और लटकाए गए भार $W_1$ का योग है।
कुल बल $F = \frac{3}{4}W + W_1$.
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{\frac{3}{4}W + W_1}{A}$.

(A) यंग मापांक $(Y)$ को प्रत्यास्थ सीमा के भीतर अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$।
यंग मापांक पदार्थ का एक आंतरिक गुण है,जिसका अर्थ है कि यह पूरी तरह से पदार्थ की प्रकृति (परमाणु संरचना और बंधन) पर निर्भर करता है।
यह पिंड के आयामों (आकार और माप) या उस पर लगाए गए बाहरी बल पर निर्भर नहीं करता है,बशर्ते पदार्थ अपनी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर रहे।

(C) तार की लंबाई में परिवर्तन (विस्तार) $\Delta l$ का सूत्र $\Delta l = \frac{Fl}{AY}$ है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$l$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि तार समान पदार्थ के हैं,इसलिए $Y$ स्थिर है। दिया गया है कि दोनों पर समान बल $F$ लगाया जाता है,इसलिए $\Delta l \propto \frac{l}{A}$।
चूंकि $A = \pi r^2$,हम लिख सकते हैं $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$।
अतः,लंबाई में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right) \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ होगा।
यहाँ $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ दिया है,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{2}$ होगा।
इन मानों को रखने पर: $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 2 = 1$।
इस प्रकार,अनुपात $1 : 1$ है।

(A) ग्राफ से,हम देखते हैं कि भार में परिवर्तन $\Delta W = (40 - 20) \, N = 20 \, N$ के लिए,विस्तार में परिवर्तन $\Delta(\Delta l) = (2 - 1) \times 10^{-4} \, m = 10^{-4} \, m$ है।
यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ है।
ग्राफ की ढाल का उपयोग करते हुए,$\frac{\Delta l}{F} = \frac{10^{-4} \, m}{20 \, N} = 0.05 \times 10^{-4} \, m/N = 5 \times 10^{-6} \, m/N$ है।
यहाँ $l = 1 \, m$ और $A = 10^{-6} \, m^2$ दिया गया है,इसलिए:
$Y = \frac{l}{A} \cdot \frac{F}{\Delta l} = \frac{1}{10^{-6}} \cdot \frac{1}{5 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{5 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10^{12} \, N/m^2 = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.

(D) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जहाँ $F$ आरोपित बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ विस्तार है।
चूंकि दोनों तार समान पदार्थ के हैं,इसलिए उनका यंग मापांक $(Y)$ समान है। साथ ही,दोनों तारों के लिए आरोपित भार $(F)$ और मूल लंबाई $(L)$ समान हैं।
अतः,$A_1 \cdot \Delta L_1 = A_2 \cdot \Delta L_2$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
इस प्रकार,$r_1^2 \cdot \Delta L_1 = r_2^2 \cdot \Delta L_2$.
दिया गया है कि दूसरे तार का व्यास पहले तार का दोगुना है,यानी $d_2 = 2d_1$,जिसका अर्थ है कि $r_2 = 2r_1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $r_1^2 \cdot \Delta L_1 = (2r_1)^2 \cdot \Delta L_2$.
$r_1^2 \cdot \Delta L_1 = 4r_1^2 \cdot \Delta L_2$.
$\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{4}{1}$.
अतः,विस्तार का अनुपात $4 : 1$ है।

(C) दिया गया है:
छड़ की लंबाई,$L = 2 \, m$
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 50 \, mm^2 = 50 \times 10^{-6} \, m^2$
लंबाई में परिवर्तन,$\Delta L = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$
द्रव्यमान,$M = 250 \, kg$
बल,$F = Mg = 250 \times 9.8 = 2450 \, N$
यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$
मान रखने पर:
$Y = \frac{2450 \times 2}{(50 \times 10^{-6}) \times (0.5 \times 10^{-3})}$
$Y = \frac{4900}{25 \times 10^{-9}}$
$Y = \frac{4900}{25} \times 10^9$
$Y = 196 \times 10^9 = 19.6 \times 10^{10} \, N/m^2$

(N/A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 10 \;mm = 10^{-2} \;m$,लंबाई $L = 1.0 \;m$,बल $F = 100 \;kN = 10^5 \;N$,यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \;N \;m^{-2}$.
$(a)$ प्रतिबल: $\text{प्रतिबल} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2} = \frac{10^5 \;N}{3.14 \times (10^{-2} \;m)^2} = \frac{10^5}{3.14 \times 10^{-4}} \approx 3.18 \times 10^8 \;N \;m^{-2}$.
$(b)$ विस्तार: $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta L = \frac{\text{प्रतिबल} \times L}{Y} = \frac{3.18 \times 10^8 \;N \;m^{-2} \times 1.0 \;m}{2.0 \times 10^{11} \;N \;m^{-2}} = 1.59 \times 10^{-3} \;m = 1.59 \;mm$.
$(c)$ विकृति: $\text{विकृति} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{1.59 \times 10^{-3} \;m}{1.0 \;m} = 1.59 \times 10^{-3} = 0.159 \% \approx 0.16 \%$.

(B) तांबे और स्टील के तार समान तनाव बल $W$ के अधीन हैं और दोनों का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ समान है,जहाँ $r = 1.5 \times 10^{-3} \; m$ है।
यंग मापांक के सूत्र $Y = \frac{W L}{A \Delta L}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\Delta L = \frac{W L}{A Y}$।
कुल लंबाई में वृद्धि $\Delta L_{total} = \Delta L_c + \Delta L_s = \frac{W L_c}{A Y_c} + \frac{W L_s}{A Y_s} = \frac{W}{A} \left( \frac{L_c}{Y_c} + \frac{L_s}{Y_s} \right)$ है।
दिया गया है: $L_c = 2.2 \; m$,$L_s = 1.6 \; m$,$Y_c = 1.1 \times 10^{11} \; N/m^2$,$Y_s = 2.0 \times 10^{11} \; N/m^2$,और $\Delta L_{total} = 0.70 \times 10^{-3} \; m$।
$A = \pi (1.5 \times 10^{-3})^2 \approx 7.068 \times 10^{-6} \; m^2$।
मान रखने पर: $0.70 \times 10^{-3} = \frac{W}{7.068 \times 10^{-6}} \left( \frac{2.2}{1.1 \times 10^{11}} + \frac{1.6}{2.0 \times 10^{11}} \right)$।
$0.70 \times 10^{-3} = \frac{W}{7.068 \times 10^{-6}} \left( 2.0 \times 10^{-11} + 0.8 \times 10^{-11} \right) = \frac{W \times 2.8 \times 10^{-11}}{7.068 \times 10^{-6}}$।
$W = \frac{0.70 \times 10^{-3} \times 7.068 \times 10^{-6}}{2.8 \times 10^{-11}} = 176.7 \; N \approx 180 \; N$।

(N/A) सभी कलाकारों,मेजों,पट्टिकाओं आदि का कुल द्रव्यमान $= 280 \; kg$ है।
नीचे लेटे हुए कलाकार का द्रव्यमान $= 60 \; kg$ है।
पिरामिड के निचले हिस्से में कलाकार के पैरों द्वारा समर्थित द्रव्यमान $= 280 \; kg - 60 \; kg = 220 \; kg$ है।
इस समर्थित द्रव्यमान का भार $F = 220 \; kg \times 9.8 \; m/s^2 = 2156 \; N$ है।
कलाकार की प्रत्येक जांघ की हड्डी द्वारा समर्थित भार $= \frac{1}{2} \times 2156 \; N = 1078 \; N$ है।
हड्डी के लिए यंग मापांक $Y = 9.4 \times 10^9 \; N/m^2$ है।
प्रत्येक जांघ की हड्डी की लंबाई $L = 50 \; cm = 0.5 \; m$ है।
जांघ की हड्डी की त्रिज्या $r = 2.0 \; cm = 2.0 \times 10^{-2} \; m$ है।
जांघ की हड्डी का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (2.0 \times 10^{-2})^2 \; m^2 \approx 1.26 \times 10^{-3} \; m^2$ है।
प्रत्येक जांघ की हड्डी में संपीड़न $(\Delta L)$ इस प्रकार है: $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times A}$।
मान रखने पर: $\Delta L = \frac{1078 \times 0.5}{9.4 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-3}} \; m$।
$\Delta L \approx 4.55 \times 10^{-5} \; m = 4.55 \times 10^{-3} \; cm$।

(1.79:1) दिया गया है:
स्टील के तार की लंबाई,$L_{1} = 4.7\; m$
स्टील के तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A_{1} = 3.0 \times 10^{-5}\; m^{2}$
तांबे के तार की लंबाई,$L_{2} = 3.5\; m$
तांबे के तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A_{2} = 4.0 \times 10^{-5}\; m^{2}$
दोनों तारों की लंबाई में परिवर्तन समान है,$\Delta L_{1} = \Delta L_{2} = \Delta L$
दोनों स्थितियों में लगाया गया बल समान है,$F_{1} = F_{2} = F$
यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है।
स्टील के तार के लिए:
$Y_{1} = \frac{F \cdot L_{1}}{A_{1} \cdot \Delta L} = \frac{F \cdot 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \cdot \Delta L} \quad \dots(i)$
तांबे के तार के लिए:
$Y_{2} = \frac{F \cdot L_{2}}{A_{2} \cdot \Delta L} = \frac{F \cdot 3.5}{4.0 \times 10^{-5} \cdot \Delta L} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{Y_{1}}{Y_{2}} = \frac{F \cdot 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \cdot \Delta L} \times \frac{4.0 \times 10^{-5} \cdot \Delta L}{F \cdot 3.5}$
$\frac{Y_{1}}{Y_{2}} = \frac{4.7 \times 4.0}{3.0 \times 3.5} = \frac{18.8}{10.5} \approx 1.79$
स्टील और तांबे के यंग मापांक का अनुपात $1.79:1$ है।

(N/A) दिया है:
तार का व्यास,$d = 0.25 \; cm = 0.25 \times 10^{-2} \; m$
तार की त्रिज्या,$r = d/2 = 0.125 \times 10^{-2} \; m$
स्टील के तार की लंबाई,$L_s = 1.5 \; m$
पीतल के तार की लंबाई,$L_b = 1.0 \; m$
स्टील का यंग मापांक,$Y_s = 2.0 \times 10^{11} \; Pa$
पीतल का यंग मापांक,$Y_b = 0.91 \times 10^{11} \; Pa$
$1$. स्टील के तार के लिए:
स्टील का तार $4.0 \; kg$ और $6.0 \; kg$ दोनों द्रव्यमानों को सहारा देता है।
कुल बल,$F_s = (4.0 + 6.0) \times 9.8 = 98 \; N$
लंबाई में वृद्धि,$\Delta L_s = \frac{F_s L_s}{A Y_s} = \frac{F_s L_s}{\pi r^2 Y_s}$
$\Delta L_s = \frac{98 \times 1.5}{\pi \times (0.125 \times 10^{-2})^2 \times 2.0 \times 10^{11}} \approx 1.49 \times 10^{-4} \; m$
$2$. पीतल के तार के लिए:
पीतल का तार केवल $6.0 \; kg$ द्रव्यमान को सहारा देता है।
कुल बल,$F_b = 6.0 \times 9.8 = 58.8 \; N$
लंबाई में वृद्धि,$\Delta L_b = \frac{F_b L_b}{A Y_b} = \frac{F_b L_b}{\pi r^2 Y_b}$
$\Delta L_b = \frac{58.8 \times 1.0}{\pi \times (0.125 \times 10^{-2})^2 \times 0.91 \times 10^{11}} \approx 1.3 \times 10^{-4} \; m$

(D) कुल द्रव्यमान $M = 50,000 \; kg$. कुल बल $F_{total} = Mg = 50,000 \times 9.8 = 490,000 \; N$.
चूंकि $4$ स्तंभ हैं,प्रत्येक स्तंभ पर बल $F = \frac{490,000}{4} = 122,500 \; N$ है।
प्रत्येक खोखले स्तंभ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi(R^2 - r^2)$ है,जहाँ $R = 0.6 \; m$ और $r = 0.3 \; m$ है।
$A = \pi(0.6^2 - 0.3^2) = \pi(0.36 - 0.09) = 0.27\pi \; m^2$.
प्रत्येक स्तंभ पर प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{122,500}{0.27\pi} \; Pa$ है।
यंग मापांक $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$ का उपयोग करते हुए,विकृति $\epsilon = \frac{\sigma}{Y}$ है।
$Y = 2.0 \times 10^{11} \; Pa$ दिया गया है,इसलिए $\epsilon = \frac{122,500}{0.27 \times \pi \times 2.0 \times 10^{11}}$.
$\epsilon = \frac{122,500}{1.69646 \times 10^{11}} \approx 7.22 \times 10^{-7}$.

(A) अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 15.2 \times 10^{-3} \; m \times 19.1 \times 10^{-3} \; m = 2.9032 \times 10^{-4} \; m^2 \approx 2.9 \times 10^{-4} \; m^2$ है।
अनुप्रयुक्त तनाव बल $F = 44,500 \; N$ है।
तांबे का प्रत्यास्थता गुणांक $\eta = 42 \times 10^9 \; N/m^2$ दिया गया है।
प्रतिबल (Stress) $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{44,500}{2.9 \times 10^{-4}} \approx 1.534 \times 10^8 \; N/m^2$ है।
विकृति (Strain) $\epsilon = \frac{\sigma}{\eta} = \frac{1.534 \times 10^8}{42 \times 10^9} \approx 3.65 \times 10^{-3}$।

(A) प्रत्येक तार पर कार्य करने वाला तनाव बल $F$ समान है। चूंकि तारों की लंबाई $L$ समान है,इसलिए प्रत्येक स्थिति में लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ समान है। अतः,विकृति $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$ सभी तारों के लिए समान है।
यंग मापांक की परिभाषा $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\epsilon}$ से,हमें $A = \frac{F}{Y \epsilon}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$ और $\epsilon$ स्थिर हैं,इसलिए $A \propto \frac{1}{Y}$ होगा।
वृत्ताकार तार का क्षेत्रफल $A = \frac{\pi d^2}{4}$ होने के कारण,$d^2 \propto \frac{1}{Y}$ या $d \propto \frac{1}{\sqrt{Y}}$ होता है।
अतः,तांबे के तार के व्यास $(d_c)$ और लोहे के तार के व्यास $(d_i)$ का अनुपात $\frac{d_c}{d_i} = \sqrt{\frac{Y_i}{Y_c}}$ होगा।
यहाँ $Y_i = 190 \times 10^9 \; Pa$ और $Y_c = 110 \times 10^9 \; Pa$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{d_c}{d_i} = \sqrt{\frac{190 \times 10^9}{110 \times 10^9}} = \sqrt{\frac{19}{11}} \approx 1.31$.
इस प्रकार,उनके व्यासों का अनुपात $1.31:1$ है।

(D) मान लीजिए कि सबसे निचले बिंदु पर तार में वृद्धि $\Delta l$ है।
सबसे निचले बिंदु पर,तार पर कार्य करने वाला कुल बल $F$ गुरुत्वाकर्षण बल और अभिकेंद्री बल का योग है:
$F = mg + ml\omega^2$
दिया गया है: $m = 14.5\; kg$,$l = 1.0\; m$,$\omega = 2\; rev/s$ (यहाँ गणना के लिए $\omega = 2\; rad/s$ लेने पर).
$F = 14.5 \times 9.8 + 14.5 \times 1.0 \times (2)^2 = 142.1 + 58 = 200.1\; N$.
यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ से,$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$.
स्टील के लिए $Y = 2 \times 10^{11}\; Pa$ और $A = 0.065 \times 10^{-4}\; m^2$.
$\Delta l = \frac{200.1 \times 1.0}{0.065 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}} = 1.539 \times 10^{-4}\; m$.

(0.0106 M) स्टील के तार की लंबाई $L = 1.0 \; m$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 0.50 \times 10^{-2} \; cm^{2} = 0.50 \times 10^{-6} \; m^{2}$ है।
द्रव्यमान $m = 100 \; g = 0.1 \; kg$ है।
मान लीजिए मध्य बिंदु पर अवनमन $l$ है। तार मूल क्षैतिज स्थिति के साथ एक त्रिभुज बनाता है। तार के प्रत्येक आधे भाग की नई लंबाई $\sqrt{(L/2)^2 + l^2}$ है।
लंबाई में वृद्धि $\Delta L = 2 \sqrt{(L/2)^2 + l^2} - L = 2(L/2) [1 + (l/(L/2))^2]^{1/2} - L \approx L(1 + l^2/(L/2)^2) - L = 2l^2/L$ है।
विकृति (Strain) $= \Delta L / L = 2l^2/L^2$ है।
मध्य बिंदु पर बल संतुलन से,$mg = 2T \sin \theta$,जहाँ $\sin \theta = l / \sqrt{(L/2)^2 + l^2} \approx l / (L/2) = 2l/L$ है।
अतः,$mg = 2T (2l/L) \implies T = mgL / 4l$ है।
प्रतिबल (Stress) $= T/A = mgL / (4lA)$ है।
यंग मापांक $Y = \text{प्रतिबल} / \text{विकृति} = (mgL / 4lA) / (2l^2/L^2) = mgL^3 / (8Al^3)$ है।
$l^3 = mgL^3 / (8AY) \implies l = L \sqrt[3]{mg / (8AY)}$ है।
$Y = 2 \times 10^{11} \; Pa$ का उपयोग करने पर,$l = 1.0 \times \sqrt[3]{(0.1 \times 9.8) / (8 \times 0.50 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11})} = \sqrt[3]{0.98 / 800000} \approx 0.0106 \; m$ है।

(N/A) प्रत्यास्थता गुणांक $(Y)$ को प्रतिबल (stress) और विकृति (strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$
चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है (आयाम में परिवर्तन और मूल आयाम का अनुपात),इसलिए प्रत्यास्थता गुणांक का मात्रक और विमाएं प्रतिबल के समान होती हैं।
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{Stress} = \frac{F}{A}$.
बल का $SI$ मात्रक न्यूटन $(N)$ है और क्षेत्रफल का $SI$ मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है।
इसलिए,प्रत्यास्थता गुणांक का $SI$ मात्रक $N/m^2$ या पास्कल $(Pa)$ है।
बल का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है और क्षेत्रफल का $[L^2]$ है।
अतः,प्रत्यास्थता गुणांक का विमीय सूत्र $\frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2]} = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।

(A) प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27\;^{\circ}C$. अंतिम तापमान $T_{2} = -39\;^{\circ}C$. तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_{2} - T_{1} = -39 - 27 = -66\;^{\circ}C$ (या $K$)।
लंबाई $L = 1.8\; m$. व्यास $d = 2.0 \times 10^{-3}\; m$. त्रिज्या $r = 1.0 \times 10^{-3}\; m$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2} = 3.14 \times (1.0 \times 10^{-3})^{2} = 3.14 \times 10^{-6}\; m^{2}$.
तापीय विकृति $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हुक के नियम के अनुसार,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
अतः,$F = Y A \alpha \Delta T$.
मान रखने पर:
$F = (0.91 \times 10^{11}) \times (3.14 \times 10^{-6}) \times (2.0 \times 10^{-5}) \times (-66)$.
$F = 0.91 \times 3.14 \times 2.0 \times 66 \times 10^{11-6-5} = 5.71228 \times 66 \approx 377\; N$.
उत्पन्न तनाव का परिमाण लगभग $3.8 \times 10^{2}\; N$ है।

(N/A) प्रायोगिक अवलोकन दर्शाते हैं कि किसी दिए गए पदार्थ के लिए,उत्पन्न विकृति का परिमाण समान होता है,चाहे प्रतिबल तन्य (tensile) हो या संपीड़ित (compressive)।
तन्य (या संपीड़ित) प्रतिबल $(\sigma)$ और अनुदैर्ध्य विकृति $(\varepsilon)$ के अनुपात को यंग मापांक कहा जाता है और इसे $Y$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
$\text{यंग मापांक} = \frac{\text{तन्य प्रतिबल } (\sigma)}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति } (\varepsilon)}$
$Y = \frac{\sigma}{\varepsilon}$
$\therefore Y = \frac{(F / A)}{(\Delta L / L)} = \frac{(F \times L)}{(A \times \Delta L)}$
चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है,यंग मापांक का मात्रक प्रतिबल के समान ही होता है,जो $N \ m^{-2}$ या पास्कल $(Pa)$ है।
विमीय सूत्र: $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$.
कुछ पदार्थों के यंग मापांक,प्रत्यास्थता सीमा और तन्य सामर्थ्य नीचे दिए गए हैं:
(तालिका ऊपर दी गई तालिका के समान रहेगी)
धातुओं के लिए यंग मापांक का मान अधिक होता है; इसलिए,इन पदार्थों में लंबाई में छोटा परिवर्तन करने के लिए बड़े बल की आवश्यकता होती है।
स्टील,तांबे,पीतल और एल्यूमीनियम की तुलना में अधिक प्रत्यास्थ है। यही कारण है कि भारी मशीनों और संरचनात्मक डिजाइनों में स्टील को प्राथमिकता दी जाती है।
लकड़ी,हड्डी,कंक्रीट और कांच के यंग मापांक अपेक्षाकृत छोटे होते हैं।

(N/A) किसी तार के पदार्थ का यंग मापांक निर्धारित करने के लिए एक विशिष्ट प्रायोगिक व्यवस्था चित्र में दिखाई गई है।
इसमें समान लंबाई और समान त्रिज्या के दो लंबे सीधे तार होते हैं,जिन्हें एक निश्चित दृढ़ आधार से अगल-बगल लटकाया जाता है।
तार $A$ (संदर्भ तार) में एक मिलीमीटर मुख्य पैमाना $M$ और वजन रखने के लिए एक पलड़ा होता है। समान अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाले तार $B$ (प्रायोगिक तार) में भी एक पलड़ा होता है जिसमें ज्ञात वजन रखे जा सकते हैं।
एक वर्नियर पैमाना $V$ प्रयोगात्मक तार $B$ के निचले हिस्से में एक पॉइंटर से जुड़ा होता है और मुख्य पैमाना $M$ संदर्भ तार $A$ पर स्थिर होता है।
पलड़े में रखे गए वजन नीचे की ओर बल लगाते हैं और प्रयोगात्मक तार को तन्य प्रतिबल (tensile stress) के तहत खींचते हैं। तार के विस्तार को वर्नियर व्यवस्था द्वारा मापा जाता है। संदर्भ तार का उपयोग कमरे के तापमान में परिवर्तन के कारण लंबाई में होने वाले किसी भी बदलाव की भरपाई करने के लिए किया जाता है; संदर्भ तार की लंबाई में कोई भी परिवर्तन प्रयोगात्मक तार में समान परिवर्तन के साथ होगा।
तारों को सीधा रखने के लिए संदर्भ और प्रयोगात्मक दोनों तारों को प्रारंभिक छोटा भार दिया जाता है और वर्नियर रीडिंग नोट की जाती है।
अब,प्रयोगात्मक तार को तन्य प्रतिबल के तहत लाने के लिए धीरे-धीरे और वजन के साथ लोड किया जाता है और वर्नियर रीडिंग को फिर से नोट किया जाता है।
दो वर्नियर रीडिंग के बीच का अंतर तार में उत्पन्न विस्तार देता है।
मान लीजिए $r$ और $L$ क्रमशः प्रयोगात्मक तार की प्रारंभिक त्रिज्या और लंबाई हैं,तो तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होगा। यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल $(mg)$ है और $\Delta L$ विस्तार है।

(B) यंग मापांक $(Y)$ किसी ठोस पदार्थ की कठोरता का माप है। इसे अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
स्टील के लिए,यंग मापांक का मान लगभग $2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$ होता है।
तांबे के लिए,यंग मापांक का मान लगभग $1.1 \times 10^{11} \ N/m^2$ होता है।
चूंकि $2.0 \times 10^{11} > 1.1 \times 10^{11}$,इसलिए स्टील का यंग मापांक तांबे से अधिक है।
अतः,स्टील तांबे की तुलना में अधिक प्रत्यास्थ (कठोर) है।

(N/A) बेंडिंग एक संरचनात्मक तत्व (जैसे बीम) का अनुप्रस्थ भार के तहत विरूपण है,जिसके कारण वह नीचे की ओर झुक जाता है।
अत्यधिक बेंडिंग को रोकने के लिए,हम $l$ लंबाई,$b$ चौड़ाई और $d$ गहराई वाले बीम के लिए अवसाद (sag) के सूत्र का उपयोग करते हैं,जो केंद्र में $W$ भार से लदा होता है: $\delta = \frac{W l^3}{4 b d^3 Y}$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है। बेंडिंग $(\delta)$ को कम करने के लिए:
$1$. सपोर्ट के बीच की लंबाई $(l)$ को कम करना चाहिए।
$2$. बीम की गहराई $(d)$ को बढ़ाना चाहिए (क्योंकि $\delta \propto 1/d^3$)।
$3$. उच्च यंग मापांक $(Y)$ वाली सामग्री का उपयोग करना चाहिए।
बकलिंग संरचनात्मक अस्थिरता का एक रूप है जो तब होता है जब एक लंबे,पतले कॉलम पर संपीड़ित अक्षीय भार लगाया जाता है। केवल दबने के बजाय,कॉलम अचानक मुड़ जाता है या किनारे की ओर झुक जाता है,जिससे संभावित संरचनात्मक विफलता हो सकती है।

(N/A) छड़ (या बीम) के झुकने का समीकरण इस प्रकार है: $M = \frac{Y I_g}{R}$,जहाँ $M$ बेंडिंग मोमेंट है,$Y$ पदार्थ का यंग मापांक है,$I_g$ उदासीन अक्ष के परितः अनुप्रस्थ काट का ज्यामितीय जड़त्व आघूर्ण है,और $R$ उदासीन अक्ष की वक्रता त्रिज्या है।
बेंडिंग मोमेंट $M$ बल और दूरी का गुणनफल है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक $N \cdot m$ (न्यूटन-मीटर) है।
बेंडिंग मोमेंट का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।

(B) स्टील रबर की तुलना में अधिक प्रत्यास्थ है।
प्रत्यास्थता को यंग मापांक $(Y)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जो प्रतिबल और विकृति का अनुपात है $(Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}})$।
दिए गए प्रतिबल के लिए,स्टील में उत्पन्न विकृति रबर में उत्पन्न विकृति की तुलना में बहुत कम होती है।
चूंकि स्थिर प्रतिबल के लिए $Y$ विकृति के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए कम विकृति का अर्थ है यंग मापांक का उच्च मान।
अतः,रबर की तुलना में समान विरूपण उत्पन्न करने के लिए स्टील को अधिक बल की आवश्यकता होती है,जो इसे अधिक प्रत्यास्थ बनाता है।

(A) यंग मापांक $(Y)$ प्रतिबल और विकृति का अनुपात है,जिसे $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
समान लंबाई $(l)$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ वाले स्टील के तार और प्लास्टिक के तार पर समान विरूपक बल $(F)$ लगाने पर:
स्टील के लिए: $Y_{S} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l_{S}}$
प्लास्टिक के लिए: $Y_{P} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l_{P}}$
समान बल के लिए प्लास्टिक में स्टील की तुलना में अधिक विस्तार होता है,इसलिए $\Delta l_{P} > \Delta l_{S}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{Y_{S}}{Y_{P}} = \frac{\Delta l_{P}}{\Delta l_{S}}$।
चूंकि $\Delta l_{P} > \Delta l_{S}$,इसलिए $\frac{Y_{S}}{Y_{P}} > 1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $Y_{S} > Y_{P}$।
प्रत्यास्थता किसी पदार्थ की विरूपण का विरोध करने की क्षमता है,जो यंग मापांक के सीधे आनुपातिक होती है। इसलिए,स्टील प्लास्टिक की तुलना में अधिक प्रत्यास्थ है।

(B) माना मूल लंबाई $l$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{T}{A} \cdot \frac{l}{\Delta l}$ है,जहाँ $\Delta l$ लंबाई में परिवर्तन है।
तनाव $T_1$ के लिए,लंबाई $l_1$ है,अतः $\Delta l_1 = l_1 - l$। इस प्रकार,$Y = \frac{T_1}{A} \cdot \frac{l}{l_1 - l}$।
तनाव $T_2$ के लिए,लंबाई $l_2$ है,अतः $\Delta l_2 = l_2 - l$। इस प्रकार,$Y = \frac{T_2}{A} \cdot \frac{l}{l_2 - l}$।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $Y$ स्थिर रहेगा। दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{T_1}{A} \cdot \frac{l}{l_1 - l} = \frac{T_2}{A} \cdot \frac{l}{l_2 - l}$
$\frac{T_1}{l_1 - l} = \frac{T_2}{l_2 - l}$
$T_1(l_2 - l) = T_2(l_1 - l)$
$T_1 l_2 - T_1 l = T_2 l_1 - T_2 l$
$T_2 l - T_1 l = T_2 l_1 - T_1 l_2$
$l(T_2 - T_1) = T_2 l_1 - T_1 l_2$
$l = \frac{T_2 l_1 - T_1 l_2}{T_2 - T_1}$

(B) यंग मापांक $(Y)$ को प्रतिबल (Stress) और विकृति (Strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$.
जब किसी ठोस का तापमान बढ़ता है,तो अंतर-परमाणु बंधन कमजोर हो जाते हैं,जिससे दिए गए प्रतिबल के लिए विकृति में वृद्धि होती है।
चूंकि हर (denominator) में विकृति तापमान के साथ बढ़ती है,इसलिए यंग मापांक $(Y)$ का मान घट जाता है।
इसके विपरीत,जब तापमान कम होता है,तो अंतर-परमाणु बंधन मजबूत हो जाते हैं,जिससे विकृति कम हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप यंग मापांक $(Y)$ में वृद्धि होती है।

(D) एक प्रत्यास्थ स्प्रिंग का विस्तार $\Delta l$,हुक के नियम $F = k \Delta l$ द्वारा निर्धारित होता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
$1$. $\Delta l = \frac{F}{k} = \frac{mg}{k}$,अतः विस्तार आरोपित भार $(mg)$ के सीधे समानुपाती होता है।
$2$. तार के लिए स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{YA}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $l$ मूल लंबाई है।
$3$. विस्तार के सूत्र में $k$ का मान रखने पर: $\Delta l = \frac{mg l}{YA}$.
$4$. इस प्रकार,$\Delta l$ भार $(mg)$,मूल लंबाई $(l)$,अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ और पदार्थ के गुणों ($Y$,जो स्प्रिंग के प्रकार को परिभाषित करता है) पर निर्भर करता है।

(B) भार $F$ के तहत एक तार का विस्तार $\Delta l$ सूत्र $\Delta l = \frac{Fl}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$l$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\Delta l \propto l$ है।
चूंकि मूल लंबाई $l$ को आधा कर दिया गया है,इसलिए नई लंबाई $l' = \frac{l}{2}$ हो जाती है।
अतः,नया विस्तार $\Delta l'$ होगा $\Delta l' = \frac{F(l/2)}{AY} = \frac{1}{2} \Delta l$।
इस प्रकार,लंबाई में होने वाली वृद्धि आधी हो जाएगी।

(B) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र इस प्रकार है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
दिया गया है: प्रतिबल (Stress) = $10^8 \, N m^{-2}$,$\Delta L = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,और मूल लंबाई $L = 1 \, m$.
मान रखने पर: $Y = \frac{10^8}{10^{-3} / 1} = 10^8 \times 10^3 = 10^{11} \, N m^{-2}$.

(A) गर्म करने के कारण छड़ में उत्पन्न तापीय विकृति (thermal strain) $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t = \alpha t$ द्वारा दी जाती है।
हुक के नियम के अनुसार,यंग मापांक $Y$ प्रतिबल और विकृति का अनुपात है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F / A}{\alpha t}$.
बल $F$ के लिए इस सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $F = Y A \alpha t$.
अतः,छड़ में उत्पन्न बल $Y A \alpha t$ है।

(N/A) एक दृढ़ पिंड का यंग मापांक अनंत होता है। चूंकि एक दृढ़ पिंड में कोई विकृति (strain) नहीं होती है,इसलिए $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{\text{stress}}{0} = \infty$.
$(b)$ दिया गया है: $\frac{\Delta l}{l} = 10^{-6}$ और $\text{stress} = 10^8 \ N/m^2$.
सूत्र $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{10^8}{10^{-6}} = 10^{14} \ N/m^2$ का उपयोग करने पर।
$(c)$ स्टील के लिए पॉइसन अनुपात का मान आमतौर पर $0.28$ से $0.30$ के बीच होता है।

(B) जब किसी ठोस वस्तु का तापमान बढ़ता है,तो अंतर-परमाणु बल कमजोर हो जाते हैं,जिससे यंग मापांक में कमी आती है। अतः,$(a-iii)$ सही है।
$(b)$ यंग मापांक ठोस पदार्थों के लिए परिभाषित होता है। हवा एक गैस है और इसका कोई निश्चित आकार नहीं होता है और न ही यह ठोस पदार्थों की तरह अपरूपण प्रतिबल (shear stress) का विरोध करती है,इसलिए इसका यंग मापांक शून्य माना जाता है। अतः,$(b-i)$ सही है।
इसलिए,सही मिलान $(a-iii), (b-i)$ है।

(A) यंग मापांक $Y$ को तन्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$Y = \frac{\text{Tensile stress}}{\text{Longitudinal strain}}$
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{Tensile stress} = Y \times \text{Longitudinal strain}$
समान अनुदैर्ध्य विकृति के लिए,तन्य प्रतिबल यंग मापांक $(Y)$ के सीधे आनुपातिक होता है:
$\text{Stress} \propto Y$
चूंकि स्टील का यंग मापांक $(Y_{\text{steel}})$ रबर के यंग मापांक $(Y_{\text{rubber}})$ से बहुत अधिक है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि:
$\text{Stress}_{\text{steel}} > \text{Stress}_{\text{rubber}}$
अतः,स्टील में अधिक तन्य प्रतिबल होगा।

(A) यंग मापांक $(Y)$ को $Y = \frac{F}{A} \times \frac{L}{\Delta L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए,किसी भी आरोपित बल के लिए लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 0$ होता है।
इसलिए,$Y = \frac{FL}{0} = \infty$ (अनंत)।
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B)$ को $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए,किसी भी आरोपित दबाव के लिए आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 0$ होता है।
इसलिए,$B = \frac{PV}{0} = \infty$ (अनंत)।

(B) तापमान में परिवर्तन $\Delta t = 200\,^{\circ}C - 0\,^{\circ}C = 200\,^{\circ}C$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1\,cm^2 = 10^{-4}\,m^2$ है।
जब छड़ को फैलने से रोका जाता है,तो उत्पन्न तापीय प्रतिबल $\sigma = Y \alpha \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
तनाव बल $F = \sigma A = Y A \alpha \Delta t$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$F = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-4}) \times (10^{-5}) \times (200)$.
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-9} \times 200$.
$F = 2 \times 10^2 \times 200 = 400 \times 100 = 4 \times 10^4 \,N$.

(A) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ है,जहाँ $F$ बल है,$l$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta l$ लंबाई में परिवर्तन है।
$\Delta l$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$ प्राप्त होता है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$,जहाँ $r = 5 \times 10^{-3} \, m$ है।
मान रखने पर: $A = 3.14 \times (5 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 25 \times 10^{-6} = 7.85 \times 10^{-5} \, m^2$.
अब,$\Delta l = \frac{800 \times 9.1}{7.85 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{11}}$.
$\Delta l = \frac{7280}{15.7 \times 10^6} = 463.69 \times 10^{-6} \, m = 4.6369 \times 10^{-4} \, m$.
अतः,केबल लगभग $4.64 \times 10^{-4} \, m$ खिंच गया है।

(N/A) मान लीजिए $L = 10\,m$,$r = 0.1\,cm = 10^{-3}\,m$,$M = 25\,kg$,$\rho = 7860\,kg/m^3$,$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6}\,m^2$.
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \rho A = 7860 \times \pi \times 10^{-6} \approx 0.0247\,kg/m$.
निचले सिरे से $x$ दूरी पर तनाव $T(x) = Mg + \mu gx$ है।
$dx$ लंबाई के अवयव के लिए लंबाई में विस्तार $d\Delta L = \frac{T(x)dx}{AY} = \frac{(Mg + \mu gx)dx}{AY}$ है।
$x=0$ से $x=L$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_0^L \frac{(Mg + \mu gx)dx}{AY} = \frac{1}{AY} [MgL + \frac{1}{2}\mu gL^2] = \frac{gL}{AY} (M + \frac{1}{2}\mu L)$.
मान रखने पर: $\Delta L = \frac{9.8 \times 10}{(\pi \times 10^{-6})(2 \times 10^{11})} (25 + 0.5 \times 0.0247 \times 10) = \frac{98}{2\pi \times 10^5} (25.1235) \approx 3.92 \times 10^{-3}\,m = 3.92\,mm$.
$(b)$ अधिकतम प्रतिबल $\sigma_{max} = \frac{T_{max}}{A} = \text{Yield Strength} = 2.5 \times 10^8\,N/m^2$ है।
ऊपरी सिरे पर तनाव $T_{max} = Mg + \mu gL$ है।
$Mg + \mu gL = \sigma_{max} A$.
$Mg = \sigma_{max} A - \mu gL = (2.5 \times 10^8)(\pi \times 10^{-6}) - (0.0247)(9.8)(10) = 785.4 - 2.42 = 782.98\,N$.
अधिकतम द्रव्यमान $M = \frac{782.98}{9.8} \approx 79.9\,kg$।