Work Done in Stretching a Wire Questions in Hindi

(B) किसी तार (या स्प्रिंग) को $x$ दूरी तक खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2}kx^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k$ बल नियतांक है और $x$ विस्तार है।
पहले तार के लिए,किया गया कार्य $W_1 = \frac{1}{2}k_1x^2$ है,जहाँ $k_1 = k$ है।
दूसरे तार के लिए,किया गया कार्य $W_2 = \frac{1}{2}k_2x^2$ है,जहाँ $k_2 = 2k$ है।
चूंकि दोनों तारों को समान दूरी $x$ तक खींचा जाता है,हम देख सकते हैं कि $W \propto k$ है।
इसलिए,किए गए कार्य का अनुपात $\frac{W_2}{W_1} = \frac{k_2}{k_1} = \frac{2k}{k} = 2$ है।
इसका अर्थ है कि $W_2 = 2W_1$।

(D) खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain}$
चूंकि यंग मापांक $y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$,इसलिए $\text{Stress} = y \times \text{Strain}$ होता है।
दी गई विकृति $x$ को समीकरण में रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (y \times x) \times x$
$u = \frac{1}{2} y x^2$

(C) तार को खींचने में किया गया कार्य का सूत्र: $W = \frac{1}{2} \frac{YA \Delta l^2}{L}$ है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 1.0 \, m$
क्षेत्रफल $A = 1.0 \times 10^{-2} \, cm^2 = 1.0 \times 10^{-6} \, m^2$
लंबाई में वृद्धि $\Delta l = 0.2 \, cm = 2 \times 10^{-3} \, m$
कार्य $W = 0.4 \, J$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.4 = \frac{1}{2} \times \frac{Y \times (1.0 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3})^2}{1.0}$
$0.4 = 0.5 \times Y \times 10^{-6} \times 4 \times 10^{-6}$
$0.4 = 2 \times 10^{-12} \times Y$
$Y = \frac{0.4}{2 \times 10^{-12}} = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$.

(D) $L$ लंबाई,$d$ घनत्व और $Y$ यंग मापांक वाली छड़ या पाइप की लंबाई में अपने स्वयं के भार के कारण होने वाला परिवर्तन $\Delta L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta L = \frac{L^2 dg}{2Y}$.
दिए गए मान हैं: $L = 8 \, m$,$d = 1.5 \times 10^3 \, kg/m^3$,$Y = 5 \times 10^6 \, N/m^2$,और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta L = \frac{(8)^2 \times (1.5 \times 10^3) \times 10}{2 \times (5 \times 10^6)}$
$\Delta L = \frac{64 \times 1.5 \times 10^4}{10 \times 10^6} = \frac{96 \times 10^4}{10^7} = 9.6 \times 10^{-2} \, m$.

(C) खींची गई रबर कॉर्ड में संचित स्थितिज ऊर्जा मिसाइल की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume} = \frac{1}{2} \frac{YA l^2}{L}$ है।
इसे मिसाइल की गतिज ऊर्जा के बराबर रखने पर: $\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \frac{YA l^2}{L}$.
वेग $v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{\frac{YA l^2}{mL}}$.
दिए गए मान: $Y = 5 \times 10^8\,N/m^2$,$A = 25 \times 10^{-6}\,m^2$,$l = 5 \times 10^{-2}\,m$,$L = 10 \times 10^{-2}\,m$,$m = 5 \times 10^{-3}\,kg$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{5 \times 10^8 \times 25 \times 10^{-6} \times (5 \times 10^{-2})^2}{5 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{5 \times 10^8 \times 25 \times 10^{-6} \times 25 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-4}}} = \sqrt{62500} = 250\,m/s$.

(B) एक प्रत्यास्थ तार को खींचने में प्रति इकाई आयतन किए गए कार्य को प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा घनत्व कहा जाता है।
हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल (Stress) विकृति (Strain) के समानुपाती होता है।
$L$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट वाले तार को $dl$ विस्थापन देने में किया गया कार्य $dW = F \cdot dl$ है।
चूंकि $F = Stress \times A$ और $dl = Strain \times L$ है,इसलिए प्रति इकाई आयतन किया गया कार्य प्रतिबल का विकृति के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है।
$u = \int_{0}^{\epsilon} \sigma \, d\epsilon = \int_{0}^{\epsilon} Y\epsilon \, d\epsilon = \frac{1}{2} Y \epsilon^2 = \frac{1}{2} \times Stress \times Strain$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक तार को खींचने में किया गया कार्य औसत बल और लंबाई में वृद्धि के गुणनफल के बराबर होता है।
चूंकि तार को खींचने पर बल $0$ से $Mg$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है, इसलिए औसत बल $\frac{0 + Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$ होता है।
अतः, किया गया कार्य $W = \text{औसत बल} \times \text{लंबाई में वृद्धि} = \frac{Mg}{2} \times l = \frac{Mgl}{2}$।

(A) तार को खींचने में किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = \frac{1}{2} F \Delta l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है और $\Delta l$ लंबाई में वृद्धि है।
हुक के नियम के अनुसार,$F = \frac{YA \Delta l}{l}$,इसलिए विस्तार $\Delta l = \frac{Fl}{YA}$ होगा।
इसे कार्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $W = \frac{1}{2} F \left( \frac{Fl}{YA} \right) = \frac{F^2 l}{2YA}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $F$,$Y$ (यंग मापांक) और $A$ (अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल) दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए $W \propto l$ होगा।
अतः,किए गए कार्य का अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{l}{2l} = \frac{1}{2}$ होगा।

(B) खींचे गए तार में संचित ऊर्जा (प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा) का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार}$
यहाँ, बल $F$ लटकाया गया भार है, $F = mg = 10 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 100 \, N$.
विस्तार $l = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$ है।
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 100 \, N \times 1 \times 10^{-3} \, m$
$U = 50 \times 10^{-3} \, J$
$U = 0.05 \, J$.

(C) तार को $l$ विस्तार तक खींचने के लिए आवश्यक बल $F = Kl$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ तार का बल नियतांक है।
तार को $dl$ के सूक्ष्म विस्तार तक खींचने में किया गया कार्य $dW = F \cdot dl = (Kl) \cdot dl$ है।
कुल कार्य ज्ञात करने के लिए,हम $0$ से $l$ तक समाकलन करते हैं:
$W = \int_{0}^{l} Kl \, dl = K \left[ \frac{l^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{1}{2}Kl^2$.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि बल $0$ से $Kl$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए औसत बल $\frac{0 + Kl}{2} = \frac{Kl}{2}$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = \text{औसत बल} \times \text{विस्तार} = \left( \frac{Kl}{2} \right) \times l = \frac{1}{2}Kl^2$ है।

(D) जब कोई तार तनाव में होता है,तो उसके परमाणुओं के बीच की अंतर-आणविक दूरी बढ़ जाती है,जिससे तार की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।
जब तनाव को अचानक हटा दिया जाता है,तो परमाणु अपनी संतुलन स्थिति में वापस आ जाते हैं,जिससे अंतर-परमाणु दूरी कम हो जाती है।
स्थितिज ऊर्जा में यह कमी तार के भीतर ऊष्मा ऊर्जा के रूप में निकलती है।
परिणामस्वरूप,तार की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है,जिससे उसका तापमान बढ़ जाता है।

(C) जब किसी पिंड को प्रत्यास्थ सीमा के भीतर विरूपित किया जाता है,तो आंतरिक प्रत्यानयन बलों (restoring forces) के विरुद्ध कार्य किया जाता है।
यह किया गया कार्य पिंड में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
चूंकि अंतर-आणविक दूरी बदल जाती है (खिंचाव के दौरान बढ़ जाती है),इसलिए निकाय की स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
अतः,पिंड की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।

(B) संपीड़न के तहत एक छड़ में संग्रहीत प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का सूत्र: $U = \frac{1}{2} \times \frac{\text{stress}^2}{Y} \times \text{volume}$ है।
$\text{stress} = \frac{F}{A}$ और $\text{volume} = A \times L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{F^2}{A^2 Y} \times (A \times L) = \frac{F^2 L}{2AY}$.
दिए गए मान:
$F = m \times g = 5 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 50 \, N$.
$L = 0.2 \, m$.
$A = 1 \, cm^2 = 1 \times 10^{-4} \, m^2$.
$Y = 1 \times 10^{11} \, N/m^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{(50)^2 \times 0.2}{2 \times (1 \times 10^{-4}) \times (1 \times 10^{11})} = \frac{2500 \times 0.2}{2 \times 10^7} = \frac{500}{2 \times 10^7} = 250 \times 10^{-7} = 2.5 \times 10^{-5} \, J$.

(C) तार में संचित ऊर्जा (प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा) $U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta l$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $F = 10 \, N$ और $\Delta l = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$ है।
$U = \frac{1}{2} \times 10 \times 0.5 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-3} \, J$.
अब,भार द्वारा $x = 1.5 \, mm = 1.5 \times 10^{-3} \, m$ विस्थापित करने में किया गया कार्य $W = F \times x$ है।
$W = 10 \times 1.5 \times 10^{-3} = 15 \times 10^{-3} \, J$.
प्रश्न के अनुसार,संचित ऊर्जा और कार्य का अनुपात $= \frac{U}{W} = \frac{2.5 \times 10^{-3}}{15 \times 10^{-3}} = \frac{1}{6}$ होता है। हालांकि,ऐसे प्रश्नों में मानक गणना के अनुसार अनुपात $1/2$ प्राप्त होता है।

(A) एक खींचे गए तार में संचित ऊर्जा प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के सूत्र द्वारा दी जाती है: $U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta L$.
दिया गया है:
बल $F = 20 \ N$
लंबाई में वृद्धि $\Delta L = 1.0 \ mm = 1.0 \times 10^{-3} \ m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 20 \times 1.0 \times 10^{-3} \ J$.
$U = 10 \times 10^{-3} \ J$.
$U = 0.01 \ J$.

(D) खींचे गए तार में संचित ऊर्जा (प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा) $U = \frac{1}{2} F \Delta l$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $F = 20\, N$ लगाया गया बल है और $\Delta l = 1.0\, mm$ लंबाई में वृद्धि है।
जब भार $\Delta l = 1.0\, mm$ नीचे जाता है,तो भार की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी $W_g = F \Delta l$ द्वारा दी जाती है।
तार की ऊर्जा में वृद्धि और गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी का अनुपात है:
अनुपात $= \frac{U}{W_g} = \frac{\frac{1}{2} F \Delta l}{F \Delta l} = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है: लंबाई $L = 20 \, cm = 0.2 \, m$,क्षेत्रफल $A = 2 \, cm^2 = 2 \times 10^{-4} \, m^2$,यंग मापांक $Y = 1.4 \times 10^{11} \, N/m^2$,बल $F = 5 \, kg-wt = 5 \times 9.8 \, N = 49 \, N$ ($g = 9.8 \, m/s^2$ लेने पर)।
छड़ में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{F^2 L}{AY}$
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{(49)^2 \times 0.2}{2 \times 10^{-4} \times 1.4 \times 10^{11}}$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{2401 \times 0.2}{2.8 \times 10^7}$
$U = \frac{480.2}{5.6 \times 10^7} \approx 8.57 \times 10^{-6} \, J$.

(C) खींचे गए तार में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$ है।
वैकल्पिक रूप से,$U = \frac{1}{2} \times \frac{YA \Delta l^2}{L}$।
दिए गए मान हैं:
$Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$
$A = 3 \times 10^{-6} \, m^2$
$L = 4 \, m$
$\Delta l = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{(2 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-6}) \times (10^{-3})^2}{4}$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{6 \times 10^5 \times 10^{-6}}{4}$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{0.6}{4} = \frac{0.3}{4} = 0.075 \, J$.

(C) तार को खींचने में किया गया कार्य प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होता है।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$
चूंकि $\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,हम लिख सकते हैं:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{Strain})^2 \times \text{Volume}$
यह देखते हुए कि $\text{Strain} = \frac{x}{L}$ और $\text{Volume} = A \times L$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{x}{L}\right)^2 \times (A \times L)$
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \frac{x^2}{L^2} \times A \times L$
$W = \frac{Y x^2 A}{2 L}$

(C) जब किसी तार को खींचा जाता है,तो अंतर-परमाणु बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है। यह कार्य तार में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
प्रति इकाई आयतन प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$
अतः,दिए गए आयतन के तार में संचित कुल प्रत्यास्थ ऊर्जा $(W)$ है:
$W = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$
यंग मापांक $(Y)$ की परिभाषा से:
$Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} \implies \text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y}$
स्ट्रेन के इस व्यंजक को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \left( \frac{\text{stress}}{Y} \right) \times \text{volume}$
$W = \frac{\text{stress}^2 \times \text{volume}}{2Y}$

(C) दिया गया है:
लंबाई $L = 50\, cm = 0.5\, m$
क्षेत्रफल $A = 1\, mm^2 = 10^{-6}\, m^2$
लंबाई में वृद्धि $l = 1\, mm = 10^{-3}\, m$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{10}\, N/m^2$
तार को खींचने में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$
$W = \frac{Y A l^2}{2 L}$
मान रखने पर:
$W = \frac{(2 \times 10^{10}) \times (10^{-6}) \times (10^{-3})^2}{2 \times 0.5}$
$W = \frac{2 \times 10^{10} \times 10^{-6} \times 10^{-6}}{1}$
$W = 2 \times 10^{-2}\, J$

(B) एक खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा (प्रति इकाई आयतन किया गया कार्य) का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{Strain})^2$.
चूंकि तार की लंबाई $1\%$ बढ़ाई गई है,इसलिए विकृति (Strain) $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{1}{100} = 0.01$ है।
यंग मापांक $Y = 9 \times 10^{11}\,N/m^2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{11}) \times (0.01)^2$
$U = 4.5 \times 10^{11} \times 10^{-4}$
$U = 4.5 \times 10^7\,J/m^3$.

(A) तार को खींचने में किया गया कार्य का सूत्र है: $W = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार}$।
यहाँ, लगाया गया बल भार का वजन है: $F = Mg = 5\,kg \times 10\,m/s^2 = 50\,N$।
उत्पन्न विस्तार $l = 3\,m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 50\,N \times 3\,m = 25 \times 3 = 75\,Joule$।
अतः, किया गया कार्य $75\,Joule$ है।

(A) एक खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा किए गए कार्य द्वारा दी जाती है,$W = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति} \times \text{आयतन}$।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा घनत्व $(u)$ को प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$u = \frac{W}{\text{आयतन}} = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta l$
दिया गया है:
बल $F = 200\, N$
विस्तार $\Delta l = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-3}$
$U = 100 \times 10^{-3}$
$U = 0.1\, J$
अतः,तार में संचित प्रत्यास्थ ऊर्जा $0.1\, J$ है।

(B) एक खींचे गए तार में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} F \Delta L = \frac{F^2 L}{2AY}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $F$ तनाव है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $U \propto \frac{L}{r^2}$ होता है क्योंकि दोनों तारों के लिए $F$ और $Y$ स्थिर हैं।
दिया गया है: $L_A = 3 L_B$ और $d_A = 2 d_B$ (जिसका अर्थ है $r_A = 2 r_B$)।
अतः,संचित ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_A}{U_B} = \left( \frac{L_A}{L_B} \right) \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{U_A}{U_B} = (3) \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(B) किसी पदार्थ के प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
हम जानते हैं कि यंग मापांक $(Y)$,प्रतिबल $(S)$ और विकृति $(\epsilon)$ का अनुपात होता है:
$Y = \frac{S}{\epsilon} \implies \epsilon = \frac{S}{Y}$
विकृति के इस व्यंजक को ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक खींचे गए तार में संचित ऊर्जा उसे खींचने में किए गए कार्य के बराबर होती है।
किया गया कार्य $W = \text{औसत बल} \times \text{विस्तार}$.
चूंकि बल $0$ से $Mg$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए औसत बल $\frac{0 + Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$ है।
अतः,संचित ऊर्जा $U = \frac{Mg}{2} \times l = \frac{Mgl}{2}$ होगी।

(A) तार में उत्पन्न तापीय विकृति (thermal strain) $\text{strain} = \frac{\Delta l}{L} = \alpha \Delta \theta$ द्वारा दी जाती है।
तापीय प्रतिबल के कारण तार में संचित ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) $u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{strain})^2$ है।
कुल संचित ऊर्जा $U = u \times \text{Volume} = \frac{1}{2} \times Y \times (\alpha \Delta \theta)^2 \times (A \times L)$.
दिए गए मान: $Y = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$,$\alpha = 18 \times 10^{-6} \, ^\circ C^{-1}$,$\Delta \theta = 100 ^\circ C$,$A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$,$L = 1 \, m$.
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{11}) \times (18 \times 10^{-6} \times 100)^2 \times (10^{-4} \times 1)$
$U = 10^{11} \times (18 \times 10^{-4})^2 \times 10^{-4}$
$U = 10^{11} \times 324 \times 10^{-8} \times 10^{-4}$
$U = 324 \times 10^{-1} = 32.4 \, J$.

(B) खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति} \times \text{आयतन}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\text{प्रतिबल} = \frac{F}{A}$ और $\text{आयतन} = A \times L$,जहाँ $L$ तार की मूल लंबाई है:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times s \times (A \times L) = \frac{1}{2} \times F \times s \times L$.
यह मानते हुए कि सभी तारों के लिए लंबाई $L$ समान है:
$A) \ U = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-3} \times L = 5 \times 10^{-3} \ L$
$B) \ U = \frac{1}{2} \times 15 \times 10^{-3} \times L = 7.5 \times 10^{-3} \ L$
$C) \ U = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-4} \times L = 0.5 \times 10^{-3} \ L$
$D) \ U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-3} \times L = 2.5 \times 10^{-3} \ L$
गुणांकों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ में ऊर्जा अधिकतम है।

(A) तार को मरोड़ने (twisting) में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} C \theta^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C$ टॉर्सनल रिजिडिटी है।
$C = \frac{\pi \eta r^4}{2l}$.
इस मान को कार्य के सूत्र में रखने पर: $W = \frac{\pi \eta r^4 \theta^2}{4l}$.
दिया गया है: $l = 25 \ cm = 0.25 \ m$,$r = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$\theta = 45^o = \frac{\pi}{4} \ rad$,$\eta = 8 \times 10^{10} \ N/m^2$.
$W = \frac{3.14 \times 8 \times 10^{10} \times (2 \times 10^{-3})^4 \times (\pi/4)^2}{4 \times 0.25}$.
$W = \frac{3.14 \times 8 \times 10^{10} \times 16 \times 10^{-12} \times 0.6168}{1} \approx 2.48 \ J$.

(A) खींचने के दौरान बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य तार में स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के रूप में संग्रहीत होता है,जिसे विकृति ऊर्जा (strain energy) कहा जाता है।
किया गया कार्य $W$,बल-विस्तार ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है,जो $W = \frac{1}{2} \times F \times l$ है,जहाँ $F$ भार है और $l$ विस्तार है।
प्रति इकाई आयतन किया गया कार्य ज्ञात करने के लिए,हम कुल ऊर्जा को तार के आयतन $(V = A \times L)$ से विभाजित करते हैं,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $L$ मूल लंबाई है।
$\text{प्रति इकाई आयतन ऊर्जा} = \frac{U}{V} = \frac{\frac{1}{2} F l}{A L}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{U}{V} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{F}{A} \right) \times \left( \frac{l}{L} \right)$
चूंकि $\text{प्रतिबल} = \frac{F}{A}$ और $\text{विकृति} = \frac{l}{L}$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\text{प्रति इकाई आयतन विकृति ऊर्जा} = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$.

(D) $1$. $M$ द्रव्यमान की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में कमी,जब यह $l$ दूरी नीचे जाता है,$\Delta PE = Mgl$ द्वारा दी जाती है। अतः,कथन $(I)$ सही है।
$2$. एक खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (विकृति ऊर्जा) $U = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार} = \frac{1}{2} Mgl$ होती है। अतः,कथन $(III)$ सही है और $(II)$ गलत है।
$3$. कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा और उत्पन्न ऊष्मा के योग के बराबर होता है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य = $Mgl$.
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा = $\frac{1}{2} Mgl$.
उत्पन्न ऊष्मा = कार्य - प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा = $Mgl - \frac{1}{2} Mgl = \frac{1}{2} Mgl$. अतः,कथन $(IV)$ सही है।
इसलिए,कथन $(I), (III)$ और $(IV)$ सही हैं।

(A) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{F/A}{l/L}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,$l$ लंबाई में वृद्धि है और $L$ मूल लंबाई है।
इससे,तार को खींचने के लिए आवश्यक बल $F = \frac{Y A l}{L}$ है।
तार को $dl$ सूक्ष्म दूरी तक खींचने के लिए किया गया कार्य $dW = F \, dl$ है।
$0$ से $l$ तक समाकलन करने पर,हमें $W = \int_{0}^{l} \frac{Y A}{L} l \, dl = \frac{1}{2} \frac{Y A l^2}{L}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान हैं: $L = 1 \, m$,$A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$,$l = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,और $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times \frac{(2 \times 10^{11} \, N/m^2) \times (10^{-6} \, m^2) \times (10^{-3} \, m)^2}{1 \, m}$
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 10^{-6} \, J$
$W = 10^{11} \times 10^{-12} \, J = 0.1 \, J$.

(B) जब किसी तार से $W$ भार लटकाया जाता है,तो वह $x$ दूरी नीचे चला जाता है।
भार की स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि $W \times x$ है।
हालाँकि,खींचे गए तार में संचित ऊर्जा (प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा) $U = \frac{1}{2} \times W \times x$ द्वारा दी जाती है।
शेष ऊर्जा,जो $\frac{1}{2}Wx$ है,ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,विकल्प $A$ गलत है।
विकल्प $B$ एक सही कथन है क्योंकि तार को खींचने में किया गया कार्य बल-विस्तार ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल होता है।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि प्रति इकाई आयतन ऊर्जा $\frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \times \frac{W}{A} \times \frac{x}{L} = \frac{1}{2} \frac{Wx}{AL}$ है,न कि $\frac{1}{2}Wx$।

(C) तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} \times \frac{(\text{stress})^2}{Y} \times \text{volume}$ है।
मान लीजिए कि पतले तार का क्षेत्रफल $A_1 = \pi R^2$ है और मोटे तार का क्षेत्रफल $A_2 = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$ है।
कुल ऊर्जा $U_T$ दोनों तारों में संचित ऊर्जा का योग है: $U_T = U_1 + U_2$.
$U_1 = \frac{1}{2} \frac{(W/A_1)^2}{Y} (A_1 L) = \frac{W^2 L}{2 Y A_1} = \frac{W^2 L}{2 Y \pi R^2}$.
$U_2 = \frac{1}{2} \frac{(W/A_2)^2}{Y} (A_2 L) = \frac{W^2 L}{2 Y A_2} = \frac{W^2 L}{2 Y (4\pi R^2)} = \frac{W^2 L}{8 Y \pi R^2}$.
इनका योग करने पर,$U_T = \frac{W^2 L}{2 Y \pi R^2} + \frac{W^2 L}{8 Y \pi R^2} = \frac{W^2 L}{2 Y \pi R^2} (1 + \frac{1}{4}) = \frac{W^2 L}{2 Y \pi R^2} (\frac{5}{4}) = \frac{5W^2 L}{8 \pi R^2 Y}$.

(A) प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है:
$u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{विकृति})^2$
चूंकि छड़ दो दीवारों के बीच स्थिर है,गर्म करने पर उत्पन्न तापीय विकृति:
$\text{विकृति} = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta \theta$
दिया गया है:
$Y = 10^{11} \, N/m^2$
$\alpha = 12 \times 10^{-6} / ^oC$
$\Delta \theta = 20 - 0 = 20 \, ^oC$
मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (12 \times 10^{-6} \times 20)^2$
$u = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (240 \times 10^{-6})^2$
$u = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times 5.76 \times 10^{-8}$
$u = 2880 \, J/m^3$

(B) छड़ का तापीय प्रसार $\Delta \ell = \ell \alpha t$ है।
इस प्रसार को रोकने के लिए आवश्यक बल $F$ (या छड़ द्वारा लगाया गया बल) हुक के नियम के अनुसार है: $F = Y A \frac{\Delta \ell}{\ell} = Y A \frac{\ell \alpha t}{\ell} = Y A \alpha t$।
इस प्रसार के दौरान छड़ द्वारा किया गया कार्य छड़ में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है,जो $W = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} \times (Y A \alpha t) \times (\ell \alpha t)$।

(A) खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र इस प्रकार है: $U = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} \times \text{volume}$.
हम जानते हैं कि $\text{stress} = \frac{F}{A} = \frac{Mg}{A}$ और $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y} = \frac{Mg}{AY}$.
तार का आयतन $V = A \times L$ है।
इन मानों को ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times \left( \frac{Mg}{A} \right) \times \left( \frac{Mg}{AY} \right) \times (AL)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$U = \frac{1}{2} \times \frac{M^2 g^2}{A^2 Y} \times AL = \frac{1}{2} \frac{M^2 g^2 L}{AY}$.

(B) खींची हुई रबर की डोरी में संचित स्थितिज ऊर्जा पत्थर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
खींची हुई डोरी में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \times Y \times A \times \ell \times \left( \frac{\Delta \ell}{\ell} \right)^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\ell$ मूल लंबाई है,और $\Delta \ell$ विस्तार है।
दिया गया है: $\ell = 0.42\, m$,$r = 3\, mm = 3 \times 10^{-3}\, m$,$\Delta \ell = 0.20\, m$,$m = 0.02\, kg$,$v = 20\, m/s$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (3 \times 10^{-3})^2 = 9\pi \times 10^{-6}\, m^2$.
ऊर्जा को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} \times Y \times (9\pi \times 10^{-6}) \times 0.42 \times \left( \frac{0.20}{0.42} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times (20)^2$.
$Y \times (9\pi \times 10^{-6}) \times 0.42 \times \frac{0.04}{0.1764} = 0.02 \times 400 = 8$.
$Y \times (9 \times 3.14 \times 10^{-6}) \times 0.42 \times 0.2267 = 8$.
$Y \approx 3 \times 10^6\, N/m^2$.

(A) खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} F \Delta l$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों पर समान बल $F = 500\,N$ कार्य करता है।
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 0.5\,cm^2 = 0.5 \times 10^{-4}\,m^2$ है।
तांबे के तार में विस्तार: $\Delta l_1 = \frac{F L_1}{Y_{cu} A} = \frac{500 \times 8}{1 \times 10^{11} \times 0.5 \times 10^{-4}} = 8 \times 10^{-4}\,m = 0.8\,mm$.
स्टील के तार में विस्तार: $\Delta l_2 = \frac{F L_2}{Y_{steel} A} = \frac{500 \times 4}{2 \times 10^{11} \times 0.5 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-4}\,m = 0.2\,mm$.
कुल विस्तार $\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = 0.8\,mm + 0.2\,mm = 1.0\,mm = 10^{-3}\,m$.
कुल प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} F \Delta l = \frac{1}{2} \times 500 \times 10^{-3} = 0.25\,J = 1/4\,J$.

(D) जैसे-जैसे तार $0$ से $l$ तक खिंचता है,उस पर लगाया गया बल $0$ से $F$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है।
खिंचाव की प्रक्रिया के दौरान लगाया गया औसत बल $F_{av} = \frac{0 + F}{2} = \frac{F}{2}$ है।
तार को खींचने में किया गया कार्य $(W)$,औसत बल और कुल विस्तार का गुणनफल होता है:
$W = F_{av} \times l = \left(\frac{F}{2}\right) \times l = \frac{Fl}{2}$.

(A) तार को खींचने में किए गए कार्य का सूत्र $W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$ है।
वैकल्पिक रूप से,$W = \frac{1}{2} \frac{YA}{L} (\Delta L)^2$।
दिए गए मान:
$Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$
$A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$
$L = 1 \ m$
$\Delta L = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times \frac{2 \times 10^{11} \times 1 \times 10^{-6}}{1} \times (10^{-3})^2$
$W = 10^{11} \times 10^{-6} \times 10^{-6}$
$W = 10^{11} \times 10^{-12} = 10^{-1} = 0.1 \ J$।

(A) एक खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा उसे खींचने में किए गए कार्य द्वारा दी जाती है।
किया गया कार्य $W = \int_{0}^{\ell} F \, dx = \frac{1}{2} F \ell$ है।
तार का आयतन $V = A \times L$ है।
प्रति इकाई आयतन संचित प्रत्यास्थ ऊर्जा $(u)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$u = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}} = \frac{\frac{1}{2} F \ell}{A L}$।
अतः,प्रति इकाई आयतन संचित प्रत्यास्थ ऊर्जा $\frac{F \ell}{2 AL}$ है।

(B) एक खींचे हुए तार में प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
हम जानते हैं कि यंग मापांक $(Y)$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} \implies \text{विकृति} = \frac{\text{प्रतिबल}}{Y}$
यहाँ प्रतिबल $= S$ दिया गया है,इसलिए:
$\text{विकृति} = \frac{S}{Y}$
इन मानों को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \frac{S}{Y} = \frac{S^2}{2Y}$

(A) प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा को प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा घनत्व $(u)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसकी गणना विरूपण प्रक्रिया के दौरान प्रति इकाई आयतन किए गए कार्य द्वारा की जाती है।
एक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए,प्रतिबल विकृति के समानुपाती होता है (हुक का नियम)।
इसका सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$

(C) एक खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार}$ होता है।
यहाँ,लगाया गया बल ब्लॉक का भार है,जो $F = Mg$ है।
तार में उत्पन्न विस्तार $l$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} (Mg) (l) = \frac{1}{2} Mgl$.
अतः,तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $\frac{1}{2} Mgl$ है।

(D) प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} = \frac{1}{2} \frac{(\text{Stress})^2}{Y}$।
चूंकि $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi (d/2)^2} = \frac{4F}{\pi d^2}$,इसलिए $u = \frac{1}{2Y} \left( \frac{4F}{\pi d^2} \right)^2$ होगा।
यह दिया गया है कि भार $(F)$,लंबाई और यंग मापांक $(Y)$ दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए $u \propto \frac{1}{d^4}$।
अतः,$\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4$।
दिया है $\frac{u_1}{u_2} = \frac{1}{4}$,इसलिए $\frac{1}{4} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,$\frac{d_2}{d_1} = \left( \frac{1}{4} \right)^{1/4} = \left( \frac{1}{2^2} \right)^{1/4} = \frac{1}{2^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{2} : 1$।