मृदु इस्पात के एक तार, जिसकी लंबाई $1.0 \,m$ तथा अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल $0.50 \times 10^{-2} cm ^{2}$ है, को दो खम्बों के बीच क्षैतिज दिशा में प्रत्यास्थ सीमा के अंदर ही तनित किया जाता है। तार के मध्य बिंदु से $100\, g$ का एक द्रव्यमान लटका दिया जाता है। मध्य बिंदु पर अवनमन की गणना कीजिए।
मृदु इस्पात के एक तार, जिसकी लंबाई $1.0 \,m$ तथा अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल $0.50 \times 10^{-2} cm ^{2}$ है, को दो खम्बों के बीच क्षैतिज दिशा में प्रत्यास्थ सीमा के अंदर ही तनित किया जाता है। तार के मध्य बिंदु से $100\, g$ का एक द्रव्यमान लटका दिया जाता है। मध्य बिंदु पर अवनमन की गणना कीजिए।
Length of the steel wire $=1.0 m$
Area of cross-section, $A=0.50 \times 10^{-2} cm ^{2}-0.50 \times 10^{-6} m ^{2}$
A mass $100 g$ is suspended from its midpoint.
$m=100 g =0.1 kg$
Hence, the wire dips, as shown in the given figure.
Original length $= XZ$
Depression $=l$
The length after mass $m$, is attached to the wire $= XO + OZ$
Increase in the length of the wire:
$\Delta l=( XO + OZ )- XZ$
$XO = OZ =\left[(0.5)^{2}+l^{2}\right]^{\frac{1}{2}}$
$\therefore \Delta l=2\left[(0.5)^{2}+(l)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}-1.0$
$=2 \times 0.5\left[1+\left(\frac{l}{0.5}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}-1.0$
Expanding and neglecting higher terms, we get:
$\Delta l=\frac{l^{2}}{0.5}$
Strain $=\frac{\text { Increase in length }}{\text { Original length }}$
Let $T$ be the tension in the wire.
$\therefore m g=2 T \cos \theta$
Using the figure, it can be written as
$\cos \theta=\frac{1}{\left((0.5)^{2}+l^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$
$=\frac{1}{(0.5)\left(1+\left(\frac{l}{0.5}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$
Expanding the expression and eliminating the higher terms
$\cos \theta=\frac{1}{(0.5)\left(1+\frac{l^{2}}{2(0.5)^{2}}\right)}$
$\left(1+\frac{l^{2}}{0.5}\right)=1$ for small $l$
$\therefore \cos \theta=\frac{l}{0.5}$
$\therefore T=\frac{m g}{2\left(\frac{l}{0.5}\right)}=\frac{m g \times 0.5}{2 l}=\frac{m g}{4 l}$
Stress $=\frac{\text { Tension }}{\text { Area }}=\frac{m g}{4 l \times A}$
Young's modulus $=\frac{\text { Stress }}{\text { Strain }}$
$Y=\frac{m g \times 0.5}{4 l \times A \times l^{2}}$
$I=\sqrt[3]{\frac{m g \times 0.5}{4 Y A}}$
Young's modulus of steel, $Y=2 \times 10^{11} Pa$
$\therefore l=\sqrt{\frac{0.1 \times 9.8 \times 0.5}{4 \times 2 \times 10^{11} \times 0.50 \times 10^{-6}}}$
$=0.0106 m$
Hence, the depression at the midpoint is $0.0106 m$
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एक प्रयोग में, पीतल तथा स्टील के दो तारों का प्रयोग किया गया है जिसमें प्रत्येक की लम्बाई $1 \,m$ तथा अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $1\, mm ^{2}$ है। इन तारों को श्रेणीक्रम में जोड़ते हैं तथा संयुक्त तार के एक सिरे को दूढ़ स्तम्भ
से जोड़ते हैं एवं दूसरे सिरे को खींचा जाता है। $0.2\, mm$ की कुल वृद्धि के लिये प्रतिबल का मान होगा :
(दिया है, स्टील तथा पीतल के यंग प्रत्यास्थता गुणांक, क्रमश: $120 \times 10^{9} \,N / m ^{2}$ तथा $60 \times 10^{9} \, N / m ^{2}$ है)
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- [JEE MAIN 2019]
$3$ मिलीमीटर व्यास का $5$ मीटर लम्बा ऐल्यूमीनियम तार $(Y = 7 \times {10^{10}}N{m^{ - 2}})$ $40$ किलोग्राम द्रव्यमान को लटकाये हुये है। समान लम्बाई के तांबे के तार $(Y = 12 \times {10^{10}}N{m^{ - 2}})$ में समान भार से वही लम्बाई वृद्धि प्राप्त करने के लिए, इसका व्यास (मिलीमीटर में) होना चाहिए
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स्टील तथा तांबे के समान लम्बाई के तारों को एक के बाद एक समान भार से खींचा जाता है। स्टील तथा तांबे का यंग प्रत्यास्थता गुणांक क्रमश: $2.0 \times {10^{11}}$तथा $1.2 \times {10^{11}}$न्यूटन/मी$^2$ है। स्टील तथा तांबे की लम्बाइयों में वृद्धि का अनुपात होगा
स्टील तथा तांबे के समान लम्बाई के तारों को एक के बाद एक समान भार से खींचा जाता है। स्टील तथा तांबे का यंग प्रत्यास्थता गुणांक क्रमश: $2.0 \times {10^{11}}$तथा $1.2 \times {10^{11}}$न्यूटन/मी$^2$ है। स्टील तथा तांबे की लम्बाइयों में वृद्धि का अनुपात होगा
जब तनाव $4N$ है तब एक प्रत्यास्थ डोरी की लम्बाई $a$ मीटर है तथा जब तनाव $5N$ छ है तब लम्बाई $b$ मीटर है। जब तनाव $9N$ है, तब डोरी की लम्बाई होगी (मीटर में)
जब तनाव $4N$ है तब एक प्रत्यास्थ डोरी की लम्बाई $a$ मीटर है तथा जब तनाव $5N$ छ है तब लम्बाई $b$ मीटर है। जब तनाव $9N$ है, तब डोरी की लम्बाई होगी (मीटर में)
$1.1$ मी लम्बे तांबे के तार की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $1$ वर्ग मिमी है। इससे $1$ किग्रा भार लटकाया जाता है। यदि तांबे का यंग प्रत्यास्थता गुणांक $1.1 × 10^{11}$ न्यूटन प्रति वर्ग मी है, तो लम्बाई में वृद्धि ........ $mm$ है (यदि $g$ $=$ $10 \,ms$$^{-2}$)
$1.1$ मी लम्बे तांबे के तार की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $1$ वर्ग मिमी है। इससे $1$ किग्रा भार लटकाया जाता है। यदि तांबे का यंग प्रत्यास्थता गुणांक $1.1 × 10^{11}$ न्यूटन प्रति वर्ग मी है, तो लम्बाई में वृद्धि ........ $mm$ है (यदि $g$ $=$ $10 \,ms$$^{-2}$)