Stress Strain relationship and Graphical analysis Questions in Hindi

(A) हुक का नियम बताता है कि आनुपातिकता की सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक होता है।
दिए गए प्रतिबल-विकृति ग्राफ में,$OA$ क्षेत्र मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जो यह दर्शाता है कि इस क्षेत्र में प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक है।
इसलिए,हुक का नियम $OA$ भाग में लागू होता है।

(C) किसी पदार्थ के प्रतिबल-विकृति (stress-strain) वक्र में,बिंदु $B$ यील्ड पॉइंट (प्रवाह बिंदु) को दर्शाता है।
इस बिंदु पर,पदार्थ प्लास्टिक रूप से विकृत होना शुरू हो जाता है,जिसका अर्थ है कि लगाए गए प्रतिबल को हटाने के बाद भी यह अपने मूल आकार में वापस नहीं आएगा।
इस बिंदु के बाद,पदार्थ में स्थायी विरूपण (permanent deformation) हो जाता है।

(C) किसी पदार्थ के लिए सामान्य प्रतिबल-विकृति वक्र में,ग्राफ बढ़ते भार के तहत पदार्थ के व्यवहार को दर्शाता है।
बिंदु $A$ आमतौर पर आनुपातिकता की सीमा को दर्शाता है।
बिंदु $B$ पराभव बिंदु (yield point) को दर्शाता है।
बिंदु $C$ अंतिम तन्य शक्ति (ultimate tensile strength) को दर्शाता है।
बिंदु $D$ वक्र पर अंतिम बिंदु है जहाँ पदार्थ टूट जाता है या विफल हो जाता है,जिसे भंजन बिंदु (breaking point) या फ्रैक्चर पॉइंट के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,बिंदु $D$ भंजन बिंदु को दर्शाता है।

(D) दिए गए ग्राफ में,$x$-अक्ष पर प्रतिबल (stress) और $y$-अक्ष पर विकृति (strain) को दर्शाया गया है।
यंग मापांक $Y$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$.
ग्राफ से,रेखा का ढाल $\text{slope} = \frac{\text{strain}}{\text{stress}} = \frac{1}{Y}$ है।
इसलिए,$Y = \frac{1}{\text{slope}}$.
चूंकि रेखा $P$ का ढाल सबसे अधिक है,इसलिए इसका यंग मापांक $Y$ सबसे कम है।
चूंकि रेखा $R$ का ढाल सबसे कम है,इसलिए इसका यंग मापांक $Y$ सबसे अधिक है।
इस प्रकार,तार $R$ की प्रत्यास्थता अधिकतम है और तार $P$ की न्यूनतम है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A, B$ और $C$ गलत हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) ग्राफ एक रबर बैंड के लिए हिस्टैरिसीस लूप को दर्शाता है।
$1.$ कथन $I$ गलत है क्योंकि ग्राफ केवल तन्य बल के तहत विस्तार दिखाता है,संपीड़न नहीं।
$2.$ कथन $II$ गलत है क्योंकि ग्राफ मूल बिंदु $(0,0)$ पर शुरू और समाप्त होता है,जो दर्शाता है कि बल हटाए जाने के बाद रबर बैंड अपनी मूल लंबाई में वापस आ जाता है।
$3.$ कथन $III$ सही है। हिस्टैरिसीस लूप द्वारा घिरा क्षेत्र रबर बैंड को खींचने और छोड़ने के एक पूर्ण चक्र के दौरान गर्मी के रूप में नष्ट हुई ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए,रबर बैंड गर्म हो जाएगा।

(B) प्रतिबल-विकृति (स्ट्रेस-स्ट्रेन) ग्राफ में,वह क्षेत्र जहाँ पदार्थ प्लास्टिक विरूपण से गुजरता है और द्रव की तरह बहता है,वह क्षेत्र है जहाँ लगाए गए बल के कम होने पर भी विकृति बढ़ती है। दिए गए ग्राफ में,यह भाग $bc$ के अनुरूप है,जहाँ पदार्थ प्लास्टिक प्रवाह प्रदर्शित करता है।

(C) अनुप्रयुक्त बल $(F)$ और विस्तार $(x)$ के बीच का ग्राफ एक सीधी रेखा होती है क्योंकि हुक के नियम के अनुसार,$F = kx$,जिसका अर्थ है $F \propto x$.
हालाँकि,विस्तार $(x)$ और संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच का ग्राफ परवलयाकार (parabolic) होता है।
संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जिसका अर्थ है $U \propto x^2$.
चूंकि दिया गया ग्राफ परवलयाकार है,इसलिए $P$ विस्तार $(x)$ को दर्शाता है और $Q$ संचित प्रत्यास्थ ऊर्जा $(U)$ को दर्शाता है।

(B) दो अणुओं के बीच बल $F$,स्थितिज ऊर्जा $U$ से $F = -\frac{dU}{dx}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
क्षेत्र $BC$ में,ग्राफ का ढाल $\frac{dU}{dx}$ धनात्मक है।
इसलिए,$F = -(\text{धनात्मक}) = \text{ऋणात्मक}$,जिसका अर्थ है कि बल आकर्षण प्रकृति का है।
क्षेत्र $AB$ में,ग्राफ का ढाल $\frac{dU}{dx}$ ऋणात्मक है।
इसलिए,$F = -(\text{ऋणात्मक}) = \text{धनात्मक}$,जिसका अर्थ है कि बल प्रतिकर्षण प्रकृति का है।
अतः,अणु तब आकर्षित होते हैं जब $x$,$B$ और $C$ के बीच स्थित होता है और तब प्रतिकर्षित होते हैं जब $X$,$A$ और $B$ के बीच स्थित होता है।

(B) तन्य पदार्थों के लिए प्रतिबल-विकृति वक्र एक महत्वपूर्ण प्लास्टिक क्षेत्र को दर्शाता है जहाँ पदार्थ टूटने से पहले बड़े विरूपण से गुजरता है,जो अक्सर एक पराभव बिंदु (yield point) दिखाता है।
इसके विपरीत,एक भंगुर पदार्थ प्रत्यास्थ सीमा के तुरंत बाद टूट जाता है,जिसमें बहुत कम या कोई प्लास्टिक विरूपण नहीं होता है।
ग्राफ को देखने पर,पदार्थ $A$ एक स्पष्ट पराभव बिंदु और एक महत्वपूर्ण प्लास्टिक क्षेत्र प्रदर्शित करता है,जो एक तन्य पदार्थ की विशेषता है।
पदार्थ $B$ का वक्र बिना किसी महत्वपूर्ण प्लास्टिक क्षेत्र या पराभव बिंदु के अचानक समाप्त हो जाता है,जो एक भंगुर पदार्थ की विशेषता है।
इसलिए,$A$ तन्य है और $B$ भंगुर है।

(D) यंग मापांक $(Y)$ को प्रत्यास्थ सीमा (ग्राफ का रैखिक क्षेत्र) के भीतर प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिए गए ग्राफ से,हम रैखिक क्षेत्र में एक बिंदु चुनते हैं जहाँ प्रतिबल $8 \times 10^7 \ N/m^2$ है और संबंधित विकृति $4 \times 10^{-4}$ है।
सूत्र $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ का उपयोग करते हुए:
$Y = \frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^{-4}}$
$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$.
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) हुक के नियम से,$F = kx$,जहाँ $k$ तार का बल नियतांक है। $F-x$ ग्राफ का ढाल बल नियतांक $k = \frac{YA}{L}$ के बराबर होता है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $L$ तार की लंबाई है।
सामान्यतः तापमान बढ़ने पर पदार्थ की प्रत्यास्थता (यंग मापांक $Y$) घटती है।
दिए गए ग्राफ में,$T_2$ के लिए रेखा का ढाल $T_1$ के लिए रेखा के ढाल से अधिक है (अर्थात,$\text{slope}_{T_2} > \text{slope}_{T_1}$)।
चूंकि उच्च ढाल उच्च यंग मापांक $(Y)$ के अनुरूप है,और उच्च $Y$ कम तापमान के अनुरूप है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $T_2 < T_1$ या $T_1 > T_2$।

(C) यंग मापांक $(Y)$ को प्रत्यास्थ सीमा के भीतर प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे सूत्र $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ द्वारा दिया जाता है।
हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $\text{Stress} \propto \text{Strain}$।
इसलिए,$X$-अक्ष पर विकृति और $Y$-अक्ष पर प्रतिबल (या इसके विपरीत) लेकर खींचा गया ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा प्रदान करता है।
दिए गए विकल्पों में से,यंग मापांक के निर्धारण के लिए सबसे मानक निरूपण प्रतिबल-विकृति ग्राफ है,जहाँ $Y$-अक्ष पर प्रतिबल और $X$-अक्ष पर विकृति को दर्शाया जाता है।
अतः,$X$ और $Y$ अक्षों पर राशियाँ क्रमशः उत्पन्न विकृति और अनुप्रयुक्त प्रतिबल हैं। हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,विकल्प $C$ मौलिक भौतिक संबंध को दर्शाता है।

(C) प्रतिबल-विकृति वक्र का ढाल पदार्थ के यंग मापांक $(Y)$ को दर्शाता है,जहाँ $Y = \tan \theta$ होता है।
चित्र के अनुसार,विकृति अक्ष के साथ बने कोण $\theta_A > \theta_B > \theta_C$ की शर्त को पूरा करते हैं।
चूँकि टेंजेंट फलन प्रथम चतुर्थांश में बढ़ता है,इसलिए $\tan \theta_A > \tan \theta_B > \tan \theta_C$ होगा,जिसका अर्थ है कि $Y_A > Y_B > Y_C$ है।
दिए गए पदार्थों के यंग मापांक के मानों की तुलना करने पर,हम जानते हैं कि स्टील सबसे अधिक कठोर (उच्चतम $Y$) है,उसके बाद पीतल है,और रबर सबसे कम कठोर (न्यूनतम $Y$) है।
अतः,रेखाएँ $A, B$ और $C$ क्रमशः स्टील,पीतल और रबर के लिए हैं।

(A) प्रश्न में दिया गया है कि एओर्टा के इलास्टिक ऊतक के लिए,स्ट्रेस,स्ट्रेन के वर्ग के समानुपाती होता है। गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$Stress \propto (Strain)^2$
$Stress = k \cdot (Strain)^2$
जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
यह समीकरण एक पैराबोला (परवलय) को दर्शाता है जो मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होकर ऊपर की ओर खुलता है।
जैसे-जैसे स्ट्रेन बढ़ता है,स्ट्रेस त्वरित दर से बढ़ता है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए ऊपर की ओर वक्रता वाले ग्राफ के अनुरूप है।

(A) हुक के नियम के अनुसार,प्रतिबल $F = Y \cdot \text{विकृति} = Y \cdot (X/L)$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $L$ मूल लंबाई है।
अतः,$X = (F \cdot L) / Y$.
$F-X$ ग्राफ का ढाल $F/X = Y/L$ है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,पदार्थ का यंग मापांक $Y$ सामान्यतः घटता है।
दिए गए ग्राफ में,$T_1$ के लिए रेखा का ढाल $T_2$ के लिए रेखा के ढाल से कम है (अर्थात,$\text{slope}_{T_1} < \text{slope}_{T_2}$)।
चूंकि $\text{slope} = Y/L$,इसका तात्पर्य है कि $Y_{T_1} < Y_{T_2}$।
चूंकि तापमान बढ़ने पर यंग मापांक घटता है,इसलिए कम यंग मापांक उच्च तापमान के अनुरूप होता है।
इसलिए,$T_1 > T_2$।

(A) प्रतिबल-विकृति वक्र में,अंतिम सामर्थ्य बिंदु उस अधिकतम प्रतिबल को दर्शाता है जिसे एक पदार्थ सहन कर सकता है। भंजन बिंदु वह बिंदु है जहाँ पदार्थ टूट जाता है।
भंगुर पदार्थ के लिए,पदार्थ प्रत्यास्थ सीमा या अंतिम सामर्थ्य बिंदु के तुरंत बाद टूट जाता है,जिसका अर्थ है कि भंजन बिंदु अंतिम सामर्थ्य बिंदु के बहुत करीब होता है।
तन्य पदार्थ के लिए,पदार्थ अंतिम सामर्थ्य बिंदु के बाद महत्वपूर्ण प्लास्टिक विरूपण से गुजरता है और उसके बाद ही टूटता है,जिसका अर्थ है कि भंजन बिंदु अंतिम सामर्थ्य बिंदु से काफी दूर होता है।
चूंकि पदार्थ $X$ के लिए ये बिंदु एक-दूसरे के करीब हैं,इसलिए यह भंगुर है।
चूंकि पदार्थ $Y$ के लिए ये बिंदु एक-दूसरे से दूर हैं,इसलिए यह तन्य है।
अतः,$X$ और $Y$ क्रमशः भंगुर और तन्य हैं।

(N/A) दिए गए ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $150 \times 10^{6} \, N/m^{2}$ के प्रतिबल (stress) के लिए,विकृति (strain) $0.002$ है।
$(a)$ यंग मापांक,$Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$
$Y = \frac{150 \times 10^{6} \, N/m^{2}}{0.002} = 7.5 \times 10^{10} \, N/m^{2}$
अतः,दिए गए पदार्थ के लिए यंग मापांक $7.5 \times 10^{10} \, N/m^{2}$ है।
$(b)$ किसी पदार्थ की पराभव सामर्थ्य (yield strength) वह अधिकतम प्रतिबल है जिसे पदार्थ प्रत्यास्थ सीमा (elastic limit) को पार किए बिना सहन कर सकता है।
दिए गए ग्राफ से यह स्पष्ट है कि इस पदार्थ की अनुमानित पराभव सामर्थ्य $300 \times 10^{6} \, N/m^{2}$ या $3 \times 10^{8} \, N/m^{2}$ है।

(A) ; $(b)$ $A$
दी गई विकृति के लिए,पदार्थ $A$ का प्रतिबल पदार्थ $B$ की तुलना में अधिक है,जैसा कि दोनों ग्राफ में दिखाया गया है।
यंग मापांक $= \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$
दी गई विकृति के लिए,यदि किसी पदार्थ का प्रतिबल अधिक है,तो उस पदार्थ के लिए यंग मापांक भी अधिक होता है। इसलिए,पदार्थ $A$ का यंग मापांक पदार्थ $B$ की तुलना में अधिक है।
पदार्थ की मजबूती उस प्रतिबल की मात्रा से निर्धारित होती है जो उसे तोड़ने के लिए आवश्यक है,जो उसके भंजन बिंदु (fracture point) के अनुरूप होती है। भंजन बिंदु प्रतिबल-विकृति वक्र का अंतिम बिंदु है। ग्राफ का अवलोकन करने पर,पदार्थ $A$ के लिए भंजन बिंदु पर प्रतिबल पदार्थ $B$ की तुलना में अधिक है।
अतः,पदार्थ $A$ पदार्थ $B$ से अधिक मजबूत है।

(N/A) धातु के लिए प्रतिबल $\to$ विकृति वक्र चित्र में दर्शाया गया है।
ग्राफ से हम देख सकते हैं कि $O$ से $A$ के बीच के क्षेत्र में,वक्र रैखिक है। इस क्षेत्र में,हुक के नियम का पालन होता है।
जब लगाया गया बल हटा दिया जाता है तो वस्तु अपने मूल आयामों को पुनः प्राप्त कर लेती है। इस क्षेत्र में,ठोस एक प्रत्यास्थ वस्तु के रूप में व्यवहार करता है।
$A$ से $B$ तक के क्षेत्र में,प्रतिबल और विकृति समानुपाती नहीं होते हैं। जब भार हटा दिया जाता है तो वस्तु अभी भी अपने मूल आयाम में वापस आ जाती है। वक्र में बिंदु $B$ को पराभव बिंदु (यिल्ड पॉइंट) (जिसे प्रत्यास्थ सीमा भी कहा जाता है) के रूप में जाना जाता है और संबंधित प्रतिबल को सामग्री की पराभव सामर्थ्य (यिल्ड स्ट्रेंथ) $(\sigma_{y})$ के रूप में जाना जाता है।
यदि भार को और बढ़ाया जाता है,तो बिंदु $B$ से,विकसित प्रतिबल पराभव सामर्थ्य से अधिक हो जाता है और विकृति तेजी से बढ़ती है।
$B$ और $D$ के बीच वक्र का भाग इसे दर्शाता है; जब भार हटा दिया जाता है,मान लीजिए $B$ और $D$ के बीच किसी बिंदु $C$ पर,तो वस्तु अपने मूल आयाम को पुनः प्राप्त नहीं करती है।
इस स्थिति में,जब प्रतिबल शून्य होता है तब भी,विकृति शून्य नहीं होती है। कहा जाता है कि सामग्री में स्थायी विरूपण (परमानेंट सेट) आ गया है। इस विरूपण को प्लास्टिक विरूपण कहा जाता है। वक्र पर बिंदु $D$ सामग्री की चरम तनन सामर्थ्य (अल्टीमेट टेंसाइल स्ट्रेंथ) $(\sigma_{u})$ है। इस बिंदु से आगे,कम लगाए गए बल द्वारा भी अतिरिक्त विकृति उत्पन्न होती है और बिंदु $E$ पर फ्रैक्चर (भंग) होता है।
यदि चरम सामर्थ्य और फ्रैक्चर बिंदु $D$ और $E$ करीब हैं,तो सामग्री को भंगुर (brittle) कहा जाता है। यदि वे दूर हैं,तो सामग्री को तन्य (ductile) कहा जाता है।

(N/A) वे पदार्थ जिन्हें खींचने पर उनमें विकृति का मान बहुत अधिक हो जाता है,उन्हें इलास्टोमर्स कहा जाता है। उदाहरण के लिए: रबर,महाधमनी (aorta) के लचीले ऊतक।
रबर को उसकी मूल लंबाई से कई गुना अधिक खींचा जा सकता है और वह वापस अपने मूल आकार में आ जाता है।
चित्र में महाधमनी (aorta) के लचीले ऊतक के लिए प्रतिबल $\to$ विकृति वक्र दर्शाया गया है,जो हृदय से रक्त ले जाने वाली एक बड़ी वाहिका है।
वक्र से मुख्य अवलोकन:
$1$. प्रत्यास्थ क्षेत्र (elastic region) बहुत बड़ा होता है।
$2$. यह पदार्थ इस क्षेत्र के अधिकांश भाग में हुक के नियम का पालन नहीं करता है।
$3$. इन पदार्थों के लिए कोई सुस्पष्ट प्लास्टिक क्षेत्र नहीं होता है।

(A) किसी पदार्थ के लिए प्रतिबल-विकृति ग्राफ उसके यांत्रिक गुणों को दर्शाता है।
$1$. यदि कोई पदार्थ टूटने से पहले प्लास्टिक विरूपण की एक बड़ी सीमा प्रदर्शित करता है,तो उसे तन्य पदार्थ माना जाता है। ग्राफ $A$ एक स्पष्ट यील्ड बिंदु और महत्वपूर्ण प्लास्टिक प्रवाह दिखाता है,जो तन्य पदार्थों की विशेषता है।
$2$. यदि कोई पदार्थ प्रत्यास्थ सीमा के तुरंत बाद बहुत कम प्लास्टिक विरूपण के साथ टूट जाता है,तो उसे भंगुर पदार्थ माना जाता है। ग्राफ $B$,$A$ की तुलना में प्लास्टिक विरूपण की छोटी सीमा दिखाता है,जो दर्शाता है कि यह अधिक भंगुर है।
अतः,सही मिलान है: $(a-i)$ और $(b-iv)$।

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
$1$. प्रतिबल-विकृति वक्र का ढाल $(\tan \theta)$ दिए गए पदार्थ के लिए यंग मापांक $(Y)$ का मान देता है, अर्थात $Y = \tan \theta$.
$2$. दिए गए ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $\theta_A > \theta_B$, जिसका अर्थ है कि $\tan \theta_A > \tan \theta_B$. इसलिए, पदार्थ $A$ का यंग मापांक अधिक है।
$3$. बिंदु $P$ से $Q$ तक की दूरी पदार्थ के प्लास्टिक क्षेत्र को दर्शाती है। पदार्थ $A$ में $PQ$ की दूरी पदार्थ $B$ में $PQ$ की दूरी से अधिक है, जो यह दर्शाता है कि पदार्थ $A$ टूटने से पहले पदार्थ $B$ की तुलना में अधिक प्लास्टिक विरूपण (deformation) का अनुभव कर सकता है।
$4$. जो पदार्थ टूटने से पहले महत्वपूर्ण प्लास्टिक विरूपण का अनुभव करते हैं, उन्हें तन्य (ductile) कहा जाता है, जबकि जो प्रत्यास्थ सीमा के तुरंत बाद टूट जाते हैं, उन्हें भंगुर (brittle) कहा जाता है। इस प्रकार, पदार्थ $A$ तन्य है और पदार्थ $B$ भंगुर है।
चूंकि सभी कथन सही हैं, इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) किसी पदार्थ का यंग मापांक $(Y)$ प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है,जो प्रतिबल-विकृति ग्राफ के ढाल (slope) के बराबर होता है।
दिए गए ग्राफ से,$T_2$ के लिए रेखा का ढाल $T_1$ के लिए रेखा के ढाल से अधिक है। इसलिए,$Y_{T_2} > Y_{T_1}$ है।
जैसे-जैसे किसी पदार्थ का तापमान बढ़ता है,अंतर-परमाणु बल कमजोर हो जाते हैं,जिससे पदार्थ अधिक लचीला और कम कठोर हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप यंग मापांक में कमी आती है।
चूंकि तापमान बढ़ने पर $Y$ घटता है,इसलिए उच्च यंग मापांक कम तापमान के अनुरूप होता है।
अतः,$T_1 > T_2$।

(C) प्रतिबल-विकृति हिस्टेरेसिस लूप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल लोडिंग और अनलोडिंग के एक चक्र के दौरान प्रति इकाई आयतन ऊष्मा के रूप में नष्ट हुई ऊर्जा को दर्शाता है।
$1$. जिन पदार्थों में हिस्टेरेसिस लूप बड़ा होता है (अधिक क्षेत्रफल),वे शॉक एब्जॉर्बर के लिए उपयुक्त होते हैं क्योंकि वे यांत्रिक ऊर्जा की एक महत्वपूर्ण मात्रा को अवशोषित और नष्ट कर सकते हैं,जिससे झटके प्रभावी ढंग से कम हो जाते हैं।
$2$. जिन पदार्थों में हिस्टेरेसिस लूप छोटा होता है (कम क्षेत्रफल),वे कार के टायरों के लिए उपयुक्त होते हैं क्योंकि वे ऊष्मा के रूप में ऊर्जा की हानि को कम करते हैं,जिससे निरंतर उपयोग के दौरान टायर अधिक गर्म नहीं होते हैं।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,पदार्थ $B$ के लिए लूप का क्षेत्रफल पदार्थ $A$ की तुलना में अधिक है। इसलिए,पदार्थ $B$ शॉक एब्जॉर्बर के लिए अधिक उपयुक्त है और पदार्थ $A$ कार के टायरों के लिए अधिक उपयुक्त है।

(C) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिए गए ग्राफ में,विकृति $y$-अक्ष पर है और प्रतिबल $x$-अक्ष पर है। इसलिए,वक्र का ढाल (slope) $\frac{\text{strain}}{\text{stress}} = \frac{1}{Y}$ है।
चूंकि पदार्थ $P$ का ढाल पदार्थ $Q$ के ढाल से अधिक है,इसलिए $\frac{1}{Y_P} > \frac{1}{Y_Q}$ है,जिसका अर्थ है $Y_P < Y_Q$। अतः,कथन $(D)$ गलत है।
पदार्थ $P$,$Q$ की तुलना में दिए गए प्रतिबल के लिए अधिक विकृति दर्शाता है,जो इंगित करता है कि $P$,$Q$ से अधिक तन्य (ductile) है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
चूंकि $P$ अधिक तन्य है,इसलिए यह $Q$ की तुलना में कम भंगुर है। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
तन्य शक्ति वह अधिकतम प्रतिबल है जिसे कोई पदार्थ टूटने से पहले सहन कर सकता है। ग्राफ से,$Q$ वक्र समाप्त होने से पहले $P$ की तुलना में अधिक प्रतिबल सहन कर सकता है,इसलिए $Q$ की तन्य शक्ति $P$ से अधिक है। अतः,कथन $(A)$ गलत है।
इसलिए,केवल कथन $(B)$ सही है।

(C) तन्य पदार्थ वे होते हैं जिन्हें खींचकर पतले तारों में बदला जा सकता है। यह गुण प्रत्यास्थ सीमा और भंजन बिंदु के बीच बड़े प्लास्टिक विरूपण (plastic deformation) क्षेत्र के कारण होता है।
इसलिए,कथन $(A)$ सत्य है।
तन्य पदार्थों के लिए प्रतिबल-विकृति वक्र में,प्रत्यास्थ सीमा और भंजन बिंदु के बीच का क्षेत्र बड़ा होता है,जो पदार्थ के टूटने से पहले महत्वपूर्ण विस्तार की अनुमति देता है।
कारण $(R)$ कहता है कि यह लंबाई बहुत कम है,जो कि गलत है।
अतः,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(C) यंग मापांक $Y$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो प्रतिबल-विकृति ग्राफ के ढलान (slope) के बराबर होता है।
$Y = \text{slope} = \tan(\theta)$, जहाँ $\theta$ वह कोण है जो रेखा विकृति अक्ष के साथ बनाती है।
तार $A$ के लिए, विकृति अक्ष के साथ कोण $\theta_A = 30^{\circ}$ है।
इसलिए, $Y_A = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
तार $B$ के लिए, विकृति अक्ष के साथ कोण $\theta_B = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
इसलिए, $Y_B = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$.
अब, अनुपात $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$ की गणना करने पर।
अतः, $Y_B = 3 Y_A$.

(B) प्रतिबल-विकृति वक्र में,जो पदार्थ टूटने से पहले बड़ी प्लास्टिक विरूपण (plastic deformation) दर्शाता है,उसे तन्य (ductile) कहा जाता है,जबकि जो पदार्थ प्रत्यास्थ सीमा के तुरंत बाद टूट जाता है,उसे भंगुर (brittle) कहा जाता है।
दिए गए ग्राफ से,पदार्थ $A$ फ्रैक्चर से पहले एक महत्वपूर्ण प्लास्टिक क्षेत्र दिखाता है (जो वक्र के आगे बढ़ने और यील्ड पॉइंट दिखाने से स्पष्ट है),जो तन्य पदार्थों की विशेषता है।
पदार्थ $B$ विरूपण का एक छोटा क्षेत्र दिखाता है और प्रत्यास्थ सीमा के बाद अपेक्षाकृत जल्दी टूट जाता है,जो भंगुर पदार्थों की विशेषता है।
इसलिए,$A$ तन्य है और $B$ भंगुर है।

(C) धातु के लिए एक विशिष्ट प्रतिबल-विकृति वक्र में:
$P$ आनुपातिकता की सीमा को दर्शाता है।
$Q$ प्रत्यास्थ सीमा (या यील्ड पॉइंट) को दर्शाता है।
$R$ अंतिम तन्य शक्ति (ultimate tensile strength) को दर्शाता है,जो वह अधिकतम प्रतिबल है जिसे सामग्री नेकिंग शुरू होने से पहले सहन कर सकती है।
$S$ फ्रैक्चर या टूटने के बिंदु को दर्शाता है।
इसलिए,बिंदु $R$ सामग्री की अंतिम तन्य शक्ति के अनुरूप है।

(A) यंग मापांक $(Y)$ को स्ट्रेस और स्ट्रेन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$.
दिए गए ग्राफ में,स्ट्रेन को $y$-अक्ष पर और स्ट्रेस को $x$-अक्ष पर दर्शाया गया है।
इसलिए,ग्राफ की ढाल (slope) $\text{Slope} = \frac{\text{Strain}}{\text{Stress}} = \frac{1}{Y}$ होगी।
सबसे अधिक यंग मापांक $(Y)$ प्राप्त करने के लिए,$\frac{1}{Y}$ का मान सबसे कम होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि स्ट्रेन-स्ट्रेस ग्राफ की ढाल न्यूनतम होनी चाहिए।
चित्र को देखने पर,पदार्थ $C$ की ढाल सबसे कम है।
अतः,पदार्थ $C$ का यंग मापांक सबसे अधिक है।