Young’s Modulus Questions in Hindi

(B) हुक के नियम के अनुसार,प्रतिबल और विकृति के बीच का संबंध प्रत्यास्थता गुणांक द्वारा दिया जाता है।
प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसकी विमा $[M L^{-1} T^{-2}]$ होती है।
विकृति (Strain) को आयाम में परिवर्तन और मूल आयाम के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जो एक विमाहीन राशि है।
प्रत्यास्थता गुणांक प्रतिबल और विकृति का अनुपात है:
$\text{प्रत्यास्थता गुणांक} = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$
चूंकि विकृति विमाहीन है,इसलिए प्रत्यास्थता गुणांक की विमाएँ प्रतिबल की विमाओं के समान होती हैं।
अतः,प्रत्यास्थता गुणांक विमीय रूप से प्रतिबल (Stress) के समतुल्य है।

(C) लंबाई में परिवर्तन (विस्तार) $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 1 \, m$
क्षेत्रफल $A = 1 \, mm^2 = 1 \times 10^{-6} \, m^2$
द्रव्यमान $M = 1 \, kg$,अतः बल $F = Mg = 1 \times 10 = 10 \, N$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$
मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{10 \times 1}{(1 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta L = \frac{10}{2 \times 10^5} = 5 \times 10^{-5} \, m$
$mm$ में बदलने पर:
$\Delta L = 5 \times 10^{-5} \times 10^3 \, mm = 0.05 \, mm$.

(C) तार के विस्तार $l$ का सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ भार है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $l \propto \frac{F}{r^2}$ होता है।
प्रारंभिक स्थिति: $l_1 = 1 \ mm$,$F_1 = W$,और $r_1 = r$ है।
अंतिम स्थिति: $F_2 = 4W$ और $r_2 = 2r$ है।
समानुपात $l \propto \frac{F}{r^2}$ का उपयोग करने पर,हमें अनुपात मिलता है:
$\frac{l_2}{l_1} = \frac{F_2}{F_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$
मान रखने पर: $\frac{l_2}{1} = \frac{4W}{W} \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.
अतः,नया विस्तार $l_2 = 1 \ mm$ होगा।

(C) यंग का प्रत्यास्थता गुणांक $(Y)$ अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात होता है।
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$
चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है (लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई का अनुपात),इसलिए यंग के गुणांक का मात्रक प्रतिबल के मात्रक के समान होता है।
$\text{प्रतिबल} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$
बल का $SI$ मात्रक न्यूटन $(N)$ है और क्षेत्रफल का $SI$ मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है।
अतः,यंग के प्रत्यास्थता गुणांक का मात्रक $N/m^2$ या $N m^{-2}$ होता है।

(B) तार की लंबाई में वृद्धि $l$ को सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ भार है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि तार समान हैं ($L$ समान है),समान भार के अधीन हैं ($F$ समान है) और एक ही पदार्थ के बने हैं ($Y$ समान है),इसलिए $l \propto \frac{1}{A}$।
अतः,$\frac{A_2}{A_1} = \frac{l_1}{l_2}$।
दिया गया है $l_1 = 0.1 \ mm$,$l_2 = 0.05 \ mm$,और $A_1 = 4 \ mm^2$।
इन मानों को रखने पर: $A_2 = A_1 \times \left( \frac{l_1}{l_2} \right) = 4 \times \left( \frac{0.1}{0.05} \right) = 4 \times 2 = 8 \ mm^2$।

(C) तार में विस्तार $\Delta L$ को सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F$,$L$,और $\Delta L$ दोनों तारों के लिए स्थिर हैं,हमारे पास $r^2 Y = \text{स्थिरांक}$ है,जिसका अर्थ है $r^2 \propto \frac{1}{Y}$।
इसलिए,$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}$।
दिया गया है $Y_1 = 7 \times 10^{10}\, N/m^2$,$Y_2 = 12 \times 10^{10}\, N/m^2$,और व्यास $d_1 = 3\, mm$ (इसलिए $r_1 = 1.5\, mm$)।
$\frac{r_2}{1.5} = \sqrt{\frac{7 \times 10^{10}}{12 \times 10^{10}}} = \sqrt{\frac{7}{12}} \approx 0.7637$।
$r_2 = 1.5 \times 0.7637 \approx 1.145\, mm$।
व्यास $d_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 1.145 = 2.29\, mm$।

(C) दिया गया है:
व्यास $d = 0.6 \, mm = 0.6 \times 10^{-3} \, m$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.3 \times 10^{-3} \, m$.
यंग मापांक $Y = 0.9 \times 10^{11} \, N/m^2$.
विकृति $\frac{\Delta L}{L} = 0.2\% = \frac{0.2}{100} = 0.002$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.3 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 0.09 \times 10^{-6} \, m^2$.
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,हमें प्राप्त होता है $F = Y \times A \times \frac{\Delta L}{L}$.
मान रखने पर: $F = (0.9 \times 10^{11}) \times (\pi \times 0.09 \times 10^{-6}) \times (0.002)$.
$F = 0.9 \times 10^{11} \times 3.1416 \times 0.09 \times 10^{-6} \times 0.002$.
$F \approx 0.9 \times 0.09 \times 3.1416 \times 200 \approx 50.89 \, N$.
अतः,आवश्यक बल लगभग $51 \, N$ है.

(B) यंग मापांक $(Y)$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$
मान लीजिए तार की मूल लंबाई $L$ है। चूंकि लंबाई दोगुनी हो जाती है,इसलिए नई लंबाई $2L$ हो जाती है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 2L - L = L$ है।
विकृति को लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\text{विकृति} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$.
दिया गया प्रतिबल = $20 \times 10^8 \ N/m^2$.
इन मानों को यंग मापांक के सूत्र में रखने पर:
$Y = \frac{20 \times 10^8 \ N/m^2}{1} = 20 \times 10^8 \ N/m^2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) तार की लंबाई में वृद्धि $l$ का सूत्र $l = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ है,जहाँ $F$ आरोपित बल है,$L$ मूल लंबाई है,$r$ त्रिज्या है और $Y$ यंग मापांक है।
चूँकि $F$,$L$ और $Y$ स्थिर हैं,इसलिए $l \propto \frac{1}{r^2}$ होगा।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ और प्रारंभिक वृद्धि $l_1 = 2.00 \, mm$ दी गई है।
नई त्रिज्या $r_2 = r/2$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r}{r/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,नई वृद्धि $l_2 = 4 \times l_1 = 4 \times 2.00 \, mm = 8.00 \, mm$ होगी।

(B) परमाणुओं के बीच बल नियतांक $K$, यंग मापांक $Y$ और अंतर-परमाणु दूरी $r_0$ के साथ $K = Y \times r_0$ संबंध द्वारा संबंधित है।

दिया गया है, $Y = 20 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$ और $r_0 = 3.0 \mathring{A} = 3.0 \times 10^{-10} \text{ m}$।
मान रखने पर:
$K = (20 \times 10^{10} \text{ N/m}^2) \times (3.0 \times 10^{-10} \text{ m})$
$K = 60 \text{ N/m}$।
इसे $N/\mathring{A}$ में व्यक्त करने के लिए:
$K = 60 \text{ N/m} = 60 \text{ N} / (10^{10} \mathring{A})$
$K = 6 \times 10^1 \times 10^{-10} N/\mathring{A}$
$K = 6 \times 10^{-9} N/\mathring{A}$।

(A) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है।
$\Delta L$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$।
दी गई मान:
$F = 4.8 \times 10^3 \, N$
$L = 4.0 \, m$
$A = 1.2 \, cm^2 = 1.2 \times 10^{-4} \, m^2$
$Y = 1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$
मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{4.8 \times 10^3 \times 4.0}{(1.2 \times 10^{-4}) \times (1.2 \times 10^{11})}$
$\Delta L = \frac{19.2 \times 10^3}{1.44 \times 10^7}$
$\Delta L = 13.33 \times 10^{-4} \, m = 1.33 \times 10^{-3} \, m = 1.33 \, mm$।

(B) जब छड़ का तापमान $\Delta t$ से बढ़ता है,तो यह $\Delta L = L \alpha \Delta t$ की मात्रा तक फैलने की प्रवृत्ति रखती है।
चूंकि छड़ को दो कठोर आधारों के बीच जकड़ा गया है,इसलिए इस प्रसार को रोक दिया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप विकृति $e = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t$ उत्पन्न होती है।
हुक के नियम के अनुसार,प्रतिबल $\sigma = Y e$ होता है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
विकृति का मान रखने पर,हमें $\sigma = Y \alpha \Delta t$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल $(\sigma = \frac{F}{A})$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए आधारों पर लगाया गया बल $F = \sigma A$ होगा।
अतः,$F = Y A \alpha \Delta t$।

(A) यंग मापांक $Y$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\text{Strain}}$
विकृति के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\text{Strain} = \frac{F}{AY}$
अतः,तख्ते पर संपीड़ित विकृति $F/AY$ है।

(D) यंग का प्रत्यास्थता गुणांक $(Y)$ अंतर-परमाणु बल नियतांक $(k)$ और औसत अंतर-परमाणु दूरी $(r_0)$ का उपयोग करके निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: $Y = \frac{k}{r_0}$.
दिया गया है:
अंतर-परमाणु बल नियतांक $k = 7 \ N/m$.
औसत अंतर-परमाणु दूरी $r_0 = 3 \times 10^{-10} \ m$.
मान रखने पर:
$Y = \frac{7}{3 \times 10^{-10}} \ N/m^2$.
$Y = 2.333... \times 10^{10} \ N/m^2$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $Y = 2.33 \times 10^{10} \ N/m^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$,क्षेत्रफल $A = 0.1 \ cm^2 = 0.1 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-5} \ m^2$.
तार की लंबाई को दोगुना करने के लिए,लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ मूल लंबाई $L$ के बराबर होना चाहिए,इसलिए $\Delta L = L$.
विकृति (Strain) को $\frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
मान रखने पर: $2.0 \times 10^{11} = \frac{F}{10^{-5} \times 1}$.
$F = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-5} \ N = 2 \times 10^6 \ N$.

(C) यंग मापांक $(Y)$ तार के पदार्थ का एक अभिलक्षणिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है।
यह तार के आयामों जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या त्रिज्या $(r)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यदि लंबाई और त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाता है,तो $Y$ का मान समान रहता है।

(B) हुक के नियम से,यंग मापांक $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ (प्रतिबल/विकृति) होता है।
एक पूर्णतः दृढ़ पिंड में उत्पन्न विकृति शून्य होती है,अर्थात $\text{Strain} = 0$।
इसलिए,$Y = \frac{\text{Stress}}{0} \implies Y = \infty$।
अतः,पूर्णतः दृढ़ पिंड के पदार्थ का यंग मापांक अनंत होता है।

(D) तार की लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि आयतन $V = A \times L$ स्थिर है,हम $A = \frac{V}{L}$ लिख सकते हैं।
इसे लंबाई में वृद्धि के सूत्र में रखने पर: $\Delta L = \frac{FL}{(V/L)Y} = \frac{FL^2}{VY}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$,$V$ और $Y$ दोनों तारों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $\Delta L \propto L^2$ है।
दिया गया है कि $L_1 = 2\, m$ के लिए $\Delta L_1 = 2\, mm$ है,और हमें $L_2 = 8\, m$ के लिए $\Delta L_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2 = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = 4^2 = 16$।
अतः,$\Delta L_2 = 16 \times \Delta L_1 = 16 \times 2\, mm = 32\, mm$।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $32\, mm = 3.2\, cm$।

(A) तार के विस्तार $(l)$ का सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि पदार्थ $(Y)$,मूल लंबाई $(L)$ और लगाया गया बल $(F)$ स्थिर हैं,इसलिए $l \propto \frac{1}{A}$ होगा।
दिया गया है $A_1 = 4 \; mm^2$,$l_1 = 0.1 \; mm$,और $A_2 = 8 \; mm^2$।
अनुपात $\frac{l_2}{l_1} = \frac{A_1}{A_2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{l_2}{0.1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$l_2 = \frac{0.1}{2} = 0.05 \; mm$ होगा।

(A) $L$ लंबाई,$d$ घनत्व और $Y$ यंग मापांक वाली छड़ में उसके स्वयं के भार के कारण होने वाला विस्तार $\Delta L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta L = \frac{L^2 dg}{2Y}$.
दिए गए मान हैं: $L = 10\, m$,$d = 1500\, kg/m^3$,$Y = 5 \times 10^8\, N/m^2$,और $g = 10\, m/s^2$.
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\Delta L = \frac{(10)^2 \times 1500 \times 10}{2 \times 5 \times 10^8}$
$\Delta L = \frac{100 \times 15000}{10 \times 10^8}$
$\Delta L = \frac{1500000}{10^9} = 15 \times 10^5 \times 10^{-9} = 15 \times 10^{-4}\, m$.

(B) छड़ में विस्तार $l$ सूत्र $l = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$r$ त्रिज्या है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि छड़ें समान हैं ($Y$ स्थिर है) और बल $F$ समान है,इसलिए विस्तार $l$,$\frac{L}{r^2}$ या $\frac{L}{D^2}$ के समानुपाती है (जहाँ $D$ व्यास है)।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{L}{D^2}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$(a)$ $\frac{10}{1^2} = 10$
$(b)$ $\frac{100}{2^2} = \frac{100}{4} = 25$
$(c)$ $\frac{200}{3^2} = \frac{200}{9} \approx 22.22$
$(d)$ $\frac{300}{4^2} = \frac{300}{16} = 18.75$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ के लिए अनुपात अधिकतम है।

(A) एक खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $(E)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{strain})^2$
विकृति (strain) के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(\text{strain})^2 = \frac{2E}{Y}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\text{strain} = \sqrt{\frac{2E}{Y}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) प्रति इकाई आयतन प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है: $u = \frac{\text{stress}^2}{2Y}$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि दोनों तारों पर लगाया गया प्रतिबल समान है,इसलिए $u \propto \frac{1}{Y}$ होगा।
अतः,दोनों तारों के लिए प्रति इकाई आयतन प्रत्यास्थ ऊर्जा का अनुपात होगा:
$\frac{u_1}{u_2} = \frac{Y_2}{Y_1}$।
यंग मापांक का अनुपात $\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{2}{3}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{u_1}{u_2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,प्रति इकाई आयतन प्रत्यास्थ ऊर्जा का अनुपात $3:2$ है।

(B) रबर की डोरी के मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव के नीचे के भाग का भार $W = (A \cdot x \cdot D) \cdot g$ है।
इस खंड पर प्रतिबल $\sigma = \frac{W}{A} = x D g$ है।
हुक के नियम के अनुसार,विकृति $\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{x D g}{E}$ है।
छोटे अवयव $dx$ का विस्तार $dl = \epsilon dx = \frac{x D g}{E} dx$ है।
कुल विस्तार $l$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करते हैं:
$l = \int_{0}^{L} \frac{D g}{E} x dx = \frac{D g}{E} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{L^2 D g}{2 E}$.

(C) दो कठोर दीवारों के बीच स्थिर छड़ को $\Delta \theta$ तापमान परिवर्तन से गर्म करने पर उत्पन्न थर्मल स्ट्रेस $\sigma$ का सूत्र है:
$\sigma = Y \alpha \Delta \theta$
जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है।
यह दिया गया है कि थर्मल स्ट्रेस समान हैं $(\sigma_1 = \sigma_2)$ और तापमान में वृद्धि $\Delta \theta$ दोनों छड़ों के लिए समान है,इसलिए:
$Y_1 \alpha_1 \Delta \theta = Y_2 \alpha_2 \Delta \theta$
$Y_1 \alpha_1 = Y_2 \alpha_2$
$Y_1 : Y_2$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$
दिया गया है कि $\alpha_1 : \alpha_2 = 2 : 3$,इसलिए $\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{3}{2}$.
अतः,$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{3}{2}$ या $Y_1 : Y_2 = 3 : 2$.

(C) जब किसी छड़ को फैलने से रोका जाता है,तो उसमें उत्पन्न तापीय प्रतिबल का सूत्र है: $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है,और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि प्रतिबल पदार्थ के गुणों ($Y$ और $\alpha$) और तापमान परिवर्तन $(\Delta \theta)$ पर निर्भर करता है।
यह छड़ की मूल लंबाई $(L)$ या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,प्रतिबल छड़ की लंबाई से स्वतंत्र होता है।

(A) रिंग को पहिये पर फिट करने के लिए गर्म किया जाता है। जब यह ठंडी होती है,तो यह पहिये पर तनाव बल $F$ लगाती है।
तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के कारण उत्पन्न तापीय विकृति $\epsilon = \alpha \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/S}{\Delta L/L}$ होता है।
यहाँ,विकृति $\frac{\Delta L}{L}$ का मान $\alpha \Delta T$ के बराबर है।
इसलिए,रिंग में उत्पन्न तनाव बल $F = Y S \alpha \Delta T$ होता है।
चूंकि रिंग गोलाकार है और दो अर्धवृत्ताकार भागों पर बल लगाती है,इसलिए पहिये के एक भाग द्वारा दूसरे भाग पर लगाया गया बल $F = SY \alpha \Delta T$ प्राप्त होता है।

(B) यंग मापांक $Y = \frac{4MgL}{\pi d^2 \Delta L}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $M = 10 \, kg$,$L = 2 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$,$d = 0.4 \times 10^{-3} \, m$,$\Delta d = 0.01 \times 10^{-3} \, m$,$\Delta L = 0.88 \times 10^{-3} \, m$,$\delta(\Delta L) = 0.05 \times 10^{-3} \, m$.
$Y$ की गणना: $Y = \frac{4 \times 10 \times 9.8 \times 2}{3.14 \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times 0.88 \times 10^{-3}} \approx 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$.
सापेक्ष त्रुटि: $\frac{\Delta Y}{Y} = 2 \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L} = 2 \left( \frac{0.01}{0.4} \right) + \frac{0.05}{0.88} \approx 0.1068$.
निरपेक्ष त्रुटि: $\Delta Y = 0.1068 \times 2.0 \times 10^{11} \approx 0.2 \times 10^{11} \, N/m^2$.
अतः,$Y = (2.0 \pm 0.2) \times 10^{11} \, N/m^2$.

(A) दिया गया है: व्यास $d = 4 \, mm$,अतः त्रिज्या $r = 2 \times 10^{-3} \, m$.
यंग मापांक $Y = 9 \times 10^{10} \, N/m^2$.
विकृति $\frac{l}{L} = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 0.001$.
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot l}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$.
बल के लिए सूत्र: $F = Y \cdot A \cdot \frac{l}{L}$.
मान रखने पर: $F = (9 \times 10^{10}) \times (\pi \times (2 \times 10^{-3})^2) \times 0.001$.
$F = 9 \times 10^{10} \times \pi \times 4 \times 10^{-6} \times 10^{-3}$.
$F = 36 \times 10^1 \times \pi = 360 \pi \, N$.

(D) तार की लंबाई में विस्तार $l$ का सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ है।
चूंकि आयतन $V = A \times L$,हम $A = \frac{V}{L}$ लिख सकते हैं।
इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,$l = \frac{FL}{(V/L)Y} = \frac{FL^2}{VY}$ प्राप्त होता है।
यह देखते हुए कि $V$,$Y$ और $F$ स्थिर हैं,हमारे पास $l \propto L^2$ है।
इसलिए,$\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2$ होगा।
यहाँ $L_1 = 2 \, m$,$L_2 = 8 \, m$ और $l_1 = 2 \, mm = 0.2 \, cm$ दिया गया है।
$\frac{l_2}{0.2} = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (4)^2 = 16$।
$l_2 = 16 \times 0.2 \, cm = 3.2 \, cm$।

(A) तार की लंबाई में वृद्धि $l$ का सूत्र $l = \frac{FL}{A Y} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ है,जहाँ $Y$ यंग मापांक (Young's modulus) है।
पहले तार के लिए: $l_1 = \frac{F_1 L_1}{\pi r_1^2 Y} = \frac{FL}{\pi r^2 Y} = l$.
दूसरे तार के लिए: $l_2 = \frac{F_2 L_2}{\pi r_2^2 Y} = \frac{(2F)(2L)}{\pi (2r)^2 Y} = \frac{4FL}{\pi (4r^2) Y} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$.
दोनों की तुलना करने पर,हमें $l_2 = l_1 = l$ प्राप्त होता है।

(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta l}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
बल $F$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$F = \frac{Y A \Delta l}{L} = \frac{Y \pi r^2 \Delta l}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $Y_A = Y_B$ और लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ समान है,अतः $\Delta l_A = \Delta l_B$ है।
बलों का अनुपात $\frac{F_A}{F_B} = \frac{Y_A \pi r_A^2 \Delta l_A / L_A}{Y_B \pi r_B^2 \Delta l_B / L_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{L_B}{L_A} \right)$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$ और $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{F_A}{F_B} = (2)^2 \times (2) = 4 \times 2 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{F_A}{F_B} = 8:1$ होगा।

(B) हुक के नियम के अनुसार,तनाव $F$ के तहत तार की लंबाई $L_{total} = L_0 + \frac{F}{k}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L_0$ प्राकृतिक लंबाई है और $k$ बल नियतांक है।
$F = 4 \, N$ के लिए,$L_0 + \frac{4}{k} = a$ --- $(i)$
$F = 5 \, N$ के लिए,$L_0 + \frac{5}{k} = b$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$\frac{5}{k} - \frac{4}{k} = b - a \implies \frac{1}{k} = b - a$.
$\frac{1}{k}$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$L_0 + 4(b - a) = a \implies L_0 = a - 4b + 4a = 5a - 4b$.
अब,$F = 9 \, N$ के लिए:
$L_{total} = L_0 + \frac{9}{k} = (5a - 4b) + 9(b - a)$.
$L_{total} = 5a - 4b + 9b - 9a = 5b - 4a$.

(D) लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ का सूत्र है: $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi (d/2)^2 Y} = \frac{4FL}{\pi d^2 Y}$.
चूंकि बल $F$,यंग मापांक $Y$ और $\pi$ सभी तारों के लिए समान हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$ होगा।
विकल्प $A$ के लिए: $\frac{100}{1^2} = 100$.
विकल्प $B$ के लिए: $\frac{200}{2^2} = \frac{200}{4} = 50$.
विकल्प $C$ के लिए: $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$.
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{50}{0.5^2} = \frac{50}{0.25} = 200$.
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $D$ के लिए अनुपात अधिकतम $(200)$ है।
अतः,विकल्प $D$ वाले तार की लंबाई में वृद्धि अधिकतम होगी।

(A) यंग मापांक $(Y)$ पदार्थ का एक गुण है जो केवल पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है,न कि वस्तु के आयामों (लंबाई,त्रिज्या,आदि) पर।
चूंकि दोनों तार समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनका यंग मापांक समान होगा।
अतः,दूसरे तार का यंग मापांक $Y$ ही रहेगा।

(A) जब एक तार दोनों सिरों पर स्थिर होता है (या उसे फैलने से रोका जाता है),तो तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta$ के कारण उत्पन्न तापीय प्रतिबल का सूत्र है: $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$.
यहाँ,$Y = 1.2 \times 10^{11} \ N/m^2$,$\alpha = 1.1 \times 10^{-5} \ ^oC^{-1}$,और $\Delta \theta = 10^oC$ है।
मान रखने पर:
$\sigma = (1.2 \times 10^{11}) \times (1.1 \times 10^{-5}) \times 10$
$\sigma = 1.32 \times 10^{11} \times 10^{-4}$
$\sigma = 1.32 \times 10^7 \ N/m^2$.
नोट: यहाँ $200 \ N$ का लगाया गया बल तापीय प्रतिबल की गणना के लिए अप्रासंगिक है क्योंकि प्रश्न तापमान परिवर्तन के कारण उत्पन्न प्रतिबल के बारे में है।

(A) दिया है:
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 1 \, cm^2 = 1 \times 10^{-4} \, m^2$.
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.
अंतिम लंबाई $L_2 = 1.1 \, L_1$.
विकृति (Strain) $\frac{\Delta L}{L_1} = \frac{L_2 - L_1}{L_1} = \frac{1.1 \, L_1 - L_1}{L_1} = 0.1$.
यंग मापांक के सूत्रानुसार: $Y = \frac{F \cdot L_1}{A \cdot \Delta L}$,अतः बल $F$ ज्ञात करने के लिए:
$F = Y \cdot A \cdot \left( \frac{\Delta L}{L_1} \right)$.
मान रखने पर:
$F = (2 \times 10^{11}) \times (1 \times 10^{-4}) \times (0.1)$.
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-4} \times 10^{-1}$.
$F = 2 \times 10^{6} \, N$.

(B) प्रथम स्थिति में,तार को एक दृढ़ आधार से लटकाया गया है और इसके मुक्त सिरे पर $W$ भार लटकाया गया है। तार में तनाव $T_1 = W$ है। लंबाई में वृद्धि $\Delta l_1 = \frac{T_1 L}{AY} = \frac{WL}{AY} = 1.0 \, mm$ है।
दूसरी स्थिति में,तार को एक द्रव्यमानहीन और घर्षणहीन घिरनी के ऊपर से गुजारा जाता है और इसके दोनों सिरों पर $W$ भार लटकाया जाता है। इस स्थिति में तार के पूरे भाग में तनाव $T_2 = W$ रहता है।
इस स्थिति में लंबाई में वृद्धि $\Delta l_2 = \frac{T_2 L}{AY} = \frac{WL}{AY}$ होगी।
चूंकि $T_1 = T_2 = W$ है,इसलिए लंबाई में वृद्धि समान रहेगी।
अतः,$\Delta l_2 = 1.0 \, mm$।

(D) तार में विस्तार का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
यह मानते हुए कि सभी तारों की मूल लंबाई $L$ समान है,विस्तार $\Delta L$,$\frac{1}{AY}$ के समानुपाती है।
दिए गए अनुपात: $Y_1 : Y_2 : Y_3 = 2 : 2 : 1$ और $A_1 : A_2 : A_3 = 1 : 2 : 3$ हैं।
विस्तार का अनुपात $\Delta L_1 : \Delta L_2 : \Delta L_3 = \frac{1}{A_1 Y_1} : \frac{1}{A_2 Y_2} : \frac{1}{A_3 Y_3}$ होगा।
मान रखने पर: $\Delta L_1 : \Delta L_2 : \Delta L_3 = \frac{1}{1 \times 2} : \frac{1}{2 \times 2} : \frac{1}{3 \times 1}$।
यह सरल होकर $\frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{3}$ हो जाता है।
हर को हटाने के लिए,लघुत्तम समापवर्त्य $(12)$ से गुणा करने पर: $\frac{12}{2} : \frac{12}{4} : \frac{12}{3} = 6 : 3 : 4$।

(C) बिंदु $B$ का विस्थापन तार के खंड $AB$ में होने वाली वृद्धि (elongation) के बराबर होता है।
लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{MgL}{AY}$ है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$L$ तार की लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक (Young's modulus) है।
खंड $AB$ के लिए:
$M = 10 \, kg$
$g = 10 \, m/s^2$
$L = 0.1 \, m$
$A = 10^{-4} \, m^2$
$Y = 2.5 \times 10^{10} \, N/m^2$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta L_{AB} = \frac{10 \times 10 \times 0.1}{10^{-4} \times 2.5 \times 10^{10}}$
$\Delta L_{AB} = \frac{10}{2.5 \times 10^6} = 4 \times 10^{-6} \, m$
अतः,बिंदु $B$ का विस्थापन $4 \times 10^{-6} \, m$ है।

(A) बिंदु $D$ का विस्थापन खंडों $AB$,$BC$ और $CD$ की लंबाई में वृद्धि का योग है। बल $F = Mg = 10 \times 10 = 100 \ N$ सभी खंडों पर कार्य करता है।
लंबाई में वृद्धि $\Delta L = \frac{FL}{AY}$.
खंड $AB$ के लिए: $\Delta L_{AB} = \frac{100 \times 0.1}{10^{-4} \times 2.5 \times 10^{10}} = \frac{10}{2.5 \times 10^6} = 4 \times 10^{-6} \ m$.
खंड $BC$ के लिए: $\Delta L_{BC} = \frac{100 \times 0.2}{10^{-4} \times 4 \times 10^{10}} = \frac{20}{4 \times 10^6} = 5 \times 10^{-6} \ m$.
खंड $CD$ के लिए: $\Delta L_{CD} = \frac{100 \times 0.15}{10^{-4} \times 1 \times 10^{10}} = \frac{15}{1 \times 10^6} = 15 \times 10^{-6} \ m$.
$D$ का कुल विस्थापन $= \Delta L_{AB} + \Delta L_{BC} + \Delta L_{CD} = (4 + 5 + 15) \times 10^{-6} \ m = 24 \times 10^{-6} \ m$.

(B) घिरनी के ऊपर से डोरी द्वारा जुड़े दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के निकाय के लिए,डोरी में तनाव $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{{2{m_1}{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}g$
डोरी में प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\text{Stress} = \frac{T}{S} = \frac{{2{m_1}{m_2}g}}{{S({m_1} + {m_2})}}$
हुक के नियम के अनुसार,यंग मापांक $Y$ प्रतिबल और विकृति (Strain) का अनुपात है:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\text{Stress}}{l/L}$
विस्तार $l$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$l = \frac{\text{Stress} \cdot L}{Y} = \frac{{2{m_1}{m_2}g}}{{S({m_1} + {m_2})}} \cdot \frac{L}{Y}$
अतः,विस्तार $l$ है:
$l = \frac{{2{m_1}{m_2}gL}}{{YS({m_1} + {m_2})}}$

(C) द्रव्यमान $m$ के संतुलन के लिए,तार में तनाव $T$ का ऊर्ध्वाधर घटक वजन को संतुलित करता है:
$2T \sin \theta = mg$
चूंकि $x << L$,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{L}$.
अतः,$T = \frac{mg}{2 \sin \theta} = \frac{mgL}{2x}$.
तार में विस्तार $\Delta L$ तार की नई लंबाई और मूल लंबाई के बीच का अंतर है:
$\Delta L = 2 \sqrt{L^2 + x^2} - 2L = 2L \left[ (1 + \frac{x^2}{L^2})^{1/2} - 1 \right]$
द्विपद विस्तार $(1+z)^n \approx 1+nz$ का उपयोग करते हुए ($z << 1$ के लिए):
$\Delta L \approx 2L \left[ 1 + \frac{1}{2} \frac{x^2}{L^2} - 1 \right] = \frac{x^2}{L}$.
यंग मापांक $Y = \frac{T/A}{\Delta L / L_{original}}$ से,जहां तार के प्रत्येक आधे हिस्से के लिए $L_{original} = L$ है:
$T = \frac{YA \Delta L}{L} = \frac{YA (x^2/L)}{L} = \frac{YAx^2}{L^2}$.
$T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{mgL}{2x} = \frac{YAx^2}{L^2}$
$mg = \frac{2YAx^3}{L^3}$
$m = \frac{2YAx^3}{gL^3}$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,सबसे निकटतम रूप $m = \frac{YAx^3}{gL^3}$ (विकल्प $C$) है।

(B) तार का बल नियतांक $k$,$k = \frac{YA}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों तार समानांतर में हैं,इसलिए कुल बल नियतांक $k_{eq}$ व्यक्तिगत बल नियतांकों का योग है: $k_{eq} = k_1 + k_2$.
$k_1$ और $k_2$ के व्यंजक रखने पर: $\frac{Y_{eq} (2A)}{L} = \frac{Y_1 A}{L} + \frac{Y_2 A}{L}$.
यहाँ,समतुल्य प्रणाली का कुल अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $2A$ है और लंबाई $L$ समान है।
समीकरण को सरल करने पर: $Y_{eq} (2A) = (Y_1 + Y_2) A$.
अतः,$Y_{eq} = \frac{Y_1 + Y_2}{2}$.

(D) तापमान में $T$ के परिवर्तन के कारण तार में उत्पन्न तापीय विकृति $\frac{\Delta L}{L} = \alpha T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है।
चूंकि आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = 3\alpha$ है,इसलिए $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ है।
अतः,विकृति $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\gamma T}{3}$ है।
खींचे गए तार में संचित ऊर्जा घनत्व $u$ (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) $u = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain}$ द्वारा दी जाती है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,इसलिए $u = \frac{1}{2} Y (\text{Strain})^2$ है।
विकृति का मान रखने पर: $u = \frac{1}{2} Y \left( \frac{\gamma T}{3} \right)^2$.
$u = \frac{1}{2} Y \left( \frac{\gamma^2 T^2}{9} \right) = \frac{1}{18} \gamma^2 T^2 Y$.

(B) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{FL}{A\Delta L} = \frac{4FL}{\pi D^2 \Delta L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
लंबाई में परिवर्तन के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\Delta L = \frac{4FL}{\pi D^2 Y}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि सबस्क्रिप्ट $S$ और $C$ क्रमशः स्टील और तांबे के तारों के लिए हैं।
स्टील के तार पर बल $F_S = (5m + 2m)g = 7mg$ है।
तांबे के तार पर बल $F_C = 5mg$ है।
दिए गए अनुपात $\frac{D_S}{D_C} = p$,$\frac{L_S}{L_C} = q$,और $\frac{Y_S}{Y_C} = s$ हैं।
उनकी लंबाई में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta L_S}{\Delta L_C} = \left( \frac{F_S}{F_C} \right) \left( \frac{L_S}{L_C} \right) \left( \frac{D_C}{D_S} \right)^2 \left( \frac{Y_C}{Y_S} \right)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta L_S}{\Delta L_C} = \left( \frac{7mg}{5mg} \right) (q) \left( \frac{1}{p} \right)^2 \left( \frac{1}{s} \right) = \frac{7q}{5p^2s}$।

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{A \Delta L} = \frac{4FL}{\pi D^2 \Delta L}$ है।
विस्तार के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\Delta L = \frac{4FL}{\pi D^2 Y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी तार एक ही पदार्थ से बने हैं और उन पर समान तनाव $F$ लगाया गया है,इसलिए $Y$ और $F$ स्थिर हैं।
अतः,$\Delta L \propto \frac{L}{D^2}$।
प्रत्येक स्थिति के लिए $\frac{L}{D^2}$ अनुपात की गणना करने पर:
$(a)$ $\frac{50}{(0.5)^2} = \frac{50}{0.25} = 200 \; cm^{-1}$
$(b)$ $\frac{100}{(1)^2} = 100 \; cm^{-1}$
$(c)$ $\frac{200}{(2)^2} = \frac{200}{4} = 50 \; cm^{-1}$
$(d)$ $\frac{300}{(3)^2} = \frac{300}{9} \approx 33.3 \; cm^{-1}$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(a)$ के लिए अनुपात सबसे अधिक है।

(B) यह दिया गया है कि तांबे के तार का आयतन $V$ स्थिर है,इसलिए $V = A \cdot l$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $l$ तार की लंबाई है।
इससे,हम क्षेत्रफल को $A = \frac{V}{l}$ के रूप में लिख सकते हैं।
हुक के नियम के अनुसार,यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
विस्तार $\Delta l$ के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot A}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $A = \frac{V}{l}$ रखने पर,हमें $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot (V/l)} = \frac{F \cdot l^2}{Y \cdot V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$,$Y$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $\Delta l \propto l^2$ होता है।
अतः,$\Delta l$ और $l^2$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी।

(A) मान लीजिए कि $L$ और $A$ प्रत्येक तार की लंबाई और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल हैं।
तारों के निचले सिरों को एक ही स्तर पर रखने के लिए,दोनों तारों में उत्पन्न विस्तार समान होना चाहिए।
मान लीजिए कि स्टील और पीतल के तारों पर लटकाए गए भार क्रमशः $W_s$ और $W_b$ हैं।
यंग मापांक की परिभाषा $Y = \frac{W/A}{\Delta L/L}$ के अनुसार,स्टील के तार में उत्पन्न विस्तार $\Delta L_s = \frac{W_s L}{Y_s A}$ है।
पीतल के तार में उत्पन्न विस्तार $\Delta L_b = \frac{W_b L}{Y_b A}$ है।
चूंकि $\Delta L_s = \Delta L_b$,इसलिए $\frac{W_s L}{Y_s A} = \frac{W_b L}{Y_b A}$ होगा।
इसे सरल करने पर $\frac{W_s}{W_b} = \frac{Y_s}{Y_b}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि स्टील का यंग मापांक पीतल का दोगुना है,अर्थात $Y_s = 2 Y_b$,इसलिए $\frac{Y_s}{Y_b} = 2$ है।
अतः,$\frac{W_s}{W_b} = 2$,जिसका अर्थ है कि अनुपात $2:1$ है।

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{Fl}{A\Delta l}$ है।
चूंकि दोनों तारों का आयतन $V = A \times L$ समान है,और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A_1 = A$ और $A_2 = 3A$ हैं,इसलिए उनकी लंबाई क्रमशः $L_1 = 3l$ और $L_2 = l$ होगी।
पहले तार के लिए:
$\Delta l = \frac{F \cdot (3l)}{A \cdot Y} = \frac{3Fl}{AY} \quad ...(i)$
दूसरे तार के लिए,मान लीजिए आवश्यक बल $F'$ है। लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ समान है:
$\Delta l = \frac{F' \cdot l}{(3A) \cdot Y} = \frac{F'l}{3AY} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{3Fl}{AY} = \frac{F'l}{3AY}$
$3F = \frac{F'}{3}$
$F' = 9F$