Young’s Modulus Questions in Hindi

(D) ठोस छड़ में अनुदैर्ध्य तरंग का वेग ज्ञात करने का सूत्र $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
दिए गए मान $Y = 3.2 \times 10^{11} \, N m^{-2}$ और $\rho = 8 \times 10^3 \, kg m^{-3}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{3.2 \times 10^{11}}{8 \times 10^3}}$
$v = \sqrt{0.4 \times 10^8}$
$v = \sqrt{40 \times 10^6}$
$v = \sqrt{40} \times 10^3 \, m s^{-1}$
चूंकि $\sqrt{40} \approx 6.32$,इसलिए वेग $6.32 \times 10^3 \, m s^{-1}$ होगा।

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $F$ भार है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ लंबाई में वृद्धि है।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए भार $F$ और वृद्धि $\Delta L$ समान है,इसलिए $Y \propto \frac{L}{A}$।
तार $A$ के लिए: $L_A = 5.0 \, m$,$A_A = 2.5 \times 10^{-5} \, m^2$।
तार $B$ के लिए: $L_B = 6.0 \, m$,$A_B = 3.0 \times 10^{-5} \, m^2$।
यंग मापांक का अनुपात $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{L_A / A_A}{L_B / A_B} = \frac{L_A}{A_A} \times \frac{A_B}{L_B}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{5.0}{2.5 \times 10^{-5}} \times \frac{3.0 \times 10^{-5}}{6.0} = \frac{5.0}{2.5} \times \frac{3.0}{6.0} = 2 \times 0.5 = 1$।
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(C) दिया गया है:
लंबाई $L = 6\,m$
क्षेत्रफल $A = 3\,mm^2 = 3 \times 10^{-6}\,m^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
द्रव्यमान $m = 4\,kg$
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g_e = 10\,m/s^2$
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p = \frac{1}{4} g_e = \frac{10}{4} = 2.5\,m/s^2$
तार में तनाव $F$ ग्रह पर ब्लॉक के भार के बराबर होता है:
$F = m \times g_p = 4 \times 2.5 = 10\,N$
तार में विस्तार $\Delta L$ का सूत्र है:
$\Delta L = \frac{FL}{AY}$
मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{10 \times 6}{3 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta L = \frac{60}{6 \times 10^5} = 10 \times 10^{-5} = 10^{-4}\,m$
मिलीमीटर में बदलने पर:
$\Delta L = 10^{-4} \times 10^3\,mm = 0.1\,mm$

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 20\,mm = 0.02\,m$,बल $F = 62.8\,kN = 62.8 \times 10^3\,N$,यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11}\,N/m^2$.
प्रतिबल (Stress) को $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर: $\text{Stress} = \frac{62.8 \times 10^3}{\pi \times (0.02)^2} = \frac{62.8 \times 10^3}{3.14 \times 4 \times 10^{-4}} = \frac{62.8 \times 10^3}{12.56 \times 10^{-4}} = 5 \times 10^7\,N/m^2$.
अनुदैर्ध्य विकृति (Strain) $\text{Strain} = \frac{\text{Stress}}{Y}$ द्वारा दी जाती है।
$\text{Strain} = \frac{5 \times 10^7}{2.0 \times 10^{11}} = 2.5 \times 10^{-4}$.
आवश्यक प्रारूप में बदलने पर: $2.5 \times 10^{-4} = 25 \times 10^{-5}$.

(A) छड़ को फैलने से रोकने पर उत्पन्न तापीय प्रतिबल (thermal stress) $\sigma = Y \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
संपीड़ित बल $F = \text{प्रतिबल} \times A = Y A \alpha \Delta T$ है।
दिए गए मान:
$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
$A = 10^{-4}\,m^2$
$\alpha = 10^{-5}\,K^{-1}$
$\Delta T = 200^{\circ}C - 0^{\circ}C = 200\,K$
मान रखने पर:
$F = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-4}) \times (10^{-5}) \times (200)$
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-9} \times 200$
$F = 2 \times 10^2 \times 200 = 400 \times 100 = 4 \times 10^4\,N$.
अतः,उत्पन्न संपीड़ित बल $4 \times 10^4\,N$ है।

(D) पीतल के तार में तनाव $(T_1)$, $1.14\,kg$ द्रव्यमान को सहारा देता है:
$T_1 = 1.14 \times g = 1.14 \times 10 = 11.4\,N$.
स्टील के तार में तनाव $(T_2)$, $2\,kg$ और $1.14\,kg$ दोनों द्रव्यमानों को सहारा देता है:
$T_2 = (2 + 1.14) \times g = 3.14 \times 10 = 31.4\,N$.
स्टील के तार में विस्तार $(\Delta L)$ इस प्रकार है:
$\Delta L = \frac{T_2 L}{A Y} = \frac{T_2 L}{(\pi r^2) Y}$.
दिया गया है: $T_2 = 31.4\,N$, $L = 1.6\,m$, $r = 0.2\,cm = 0.2 \times 10^{-2}\,m$, $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
$\Delta L = \frac{31.4 \times 1.6}{\pi \times (0.2 \times 10^{-2})^2 \times 2 \times 10^{11}} = \frac{50.24}{3.14 \times 0.04 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{50.24}{2.512 \times 10^7} \approx 20 \times 10^{-6}\,m$.
अतः, विस्तार $20 \times 10^{-6}\,m$ है।

(B) तार में विस्तार $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ भार है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए भार $F$ और लंबाई $L$ समान हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{1}{AY}$ होगा।
अतः,विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{A_B}{A_A} \times \frac{Y_B}{Y_A}$ होगा।
यहाँ $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{1}{4}$ और $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{3}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4}{1} = \frac{12}{1}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $12: 1$ है।

(B) माना तार की प्राकृतिक लंबाई $\ell_0$ है और बल नियतांक $K$ है।
हुक के नियम के अनुसार,$T = K(\ell - \ell_0)$।
प्रथम स्थिति के लिए: $100 = K(l_1 - \ell_0)$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $120 = K(l_2 - \ell_0)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{100}{120} = \frac{l_1 - \ell_0}{l_2 - \ell_0} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{l_1 - \ell_0}{l_2 - \ell_0}$
$5(l_2 - \ell_0) = 6(l_1 - \ell_0)$
$5l_2 - 5\ell_0 = 6l_1 - 6\ell_0$
$\ell_0 = 6l_1 - 5l_2$
दिया गया है कि $10l_2 = 11l_1$,इसलिए $l_2 = \frac{11}{10}l_1$।
$\ell_0$ के समीकरण में $l_2$ का मान रखने पर:
$\ell_0 = 6l_1 - 5(\frac{11}{10}l_1)$
$\ell_0 = 6l_1 - \frac{11}{2}l_1$
$\ell_0 = \frac{12l_1 - 11l_1}{2} = \frac{1}{2}l_1$
इसकी तुलना $\frac{1}{x}l_1$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{A\Delta L}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
पहले तार के लिए: $Y = \frac{fL}{(\pi r^2)l} \Rightarrow l = \frac{fL}{Y\pi r^2}$.
दूसरे तार के लिए: $Y = \frac{(2f)(2L)}{\pi(2r)^2 l'} = \frac{4fL}{4\pi r^2 l'} = \frac{fL}{\pi r^2 l'}$.
$Y$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{fL}{\pi r^2 l} = \frac{fL}{\pi r^2 l'}$.
अतः,$l' = l$.

(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\ell/L} = \frac{FL}{A\ell}$.
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $Y = \frac{FL}{\pi r^2 \ell}$,जिसका अर्थ है $\ell = \frac{FL}{Y \pi r^2}$.
प्रारंभिक स्थिति में,विस्तार $\ell = \frac{FL}{Y \pi r^2}$ है।
नई स्थिति में,बल $F' = F/2$ और त्रिज्या $r' = r/2$ है। लंबाई $L$ स्थिर रहती है।
नया विस्तार $\ell'$ इस प्रकार है: $\ell' = \frac{F' L}{Y \pi (r')^2} = \frac{(F/2) L}{Y \pi (r/2)^2}$.
इसे सरल करने पर: $\ell' = \frac{(F/2) L}{Y \pi (r^2/4)} = \frac{FL}{2 Y \pi (r^2/4)} = \frac{FL}{Y \pi r^2 / 2} = 2 \times \frac{FL}{Y \pi r^2}$.
प्रारंभिक $\ell$ का मान रखने पर,हमें $\ell' = 2\ell$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबाई में वृद्धि मूल मान की $2$ गुना हो जाएगी।

(A) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{Fl}{A\Delta l}$ है।
विस्तार के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आयतन $V = A \times l$ है,हम $l = \frac{V}{A}$ लिख सकते हैं।
$l$ का मान विस्तार के सूत्र में रखने पर: $\Delta l = \frac{F(V/A)}{AY} = \frac{FV}{A^2Y}$।
चूंकि दोनों तारों के लिए $Y$ और $V$ समान हैं,इसलिए $\Delta l \propto \frac{F}{A^2}$।
यहाँ $\Delta l_1 = \Delta l_2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{F_1}{A_1^2} = \frac{F_2}{A_2^2}$ होगा।
अतः,$\frac{F_1}{F_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2$।
क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{1}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{F_1}{F_2} = (4)^2 = 16$ प्राप्त होता है।

(C) यंग मापांक तार के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है,न कि तार के आयामों जैसे कि उसकी लंबाई $L$ या अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ पर।
इसलिए,यदि लंबाई दोगुनी कर दी जाए और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल आधा कर दिया जाए,तब भी यंग मापांक $Y$ अपरिवर्तित रहता है।

(D) तार में तनाव $T$ को एटवुड मशीन के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g = \frac{2 \times 2 \times 4}{2 + 4} \times 10 = \frac{16}{6} \times 10 = \frac{80}{3} \ N$
तार का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है:
$A = \pi r^2 = \pi (4.0 \times 10^{-5})^2 = 16 \pi \times 10^{-10} \ m^2$
अनुदैर्ध्य विकृति की परिभाषा:
$\text{Strain} = \frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{F}{AY} = \frac{T}{AY}$
मान रखने पर:
$\text{Strain} = \frac{80/3}{16 \pi \times 10^{-10} \times 2.0 \times 10^{11}}$
$\text{Strain} = \frac{80/3}{32 \pi \times 10} = \frac{80}{3 \times 320 \pi} = \frac{80}{960 \pi} = \frac{1}{12 \pi}$
इसे $\frac{1}{\alpha \pi}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 12$ प्राप्त होता है।

(B) यंग का प्रत्यास्थता गुणांक $(Y)$ किसी पदार्थ की कठोरता का माप है।
जब किसी ठोस का तापमान बढ़ता है,तो परमाणुओं की तापीय ऊर्जा बढ़ जाती है,जिससे अंतर-परमाण्विक बंधन कमजोर हो जाते हैं।
जैसे-जैसे अंतर-परमाण्विक बल घटते हैं,पदार्थ कम कठोर हो जाता है,जिससे यंग के प्रत्यास्थता गुणांक में कमी आती है।
अतः,तापमान में वृद्धि के साथ,यंग का प्रत्यास्थता गुणांक घट जाता है।

(D) अनुदैर्ध्य विकृति $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों तारों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और यंग मापांक $Y$ समान हैं,इसलिए विकृति तार में तनाव बल $F$ के सीधे आनुपातिक होती है।
निचले तार के लिए,तनाव बल $F_2$,$1 \ kg$ के भार के कारण है: $F_2 = m_2 g = 1 \ kg \times 10 \ ms^{-2} = 10 \ N$.
ऊपरी तार के लिए,तनाव बल $F_1$,$2 \ kg$ और $1 \ kg$ दोनों भारों के कारण है: $F_1 = (m_1 + m_2) g = (2 \ kg + 1 \ kg) \times 10 \ ms^{-2} = 30 \ N$.
ऊपरी तार की अनुदैर्ध्य विकृति और निचले तार की अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात:
$\frac{\text{Strain}_1}{\text{Strain}_2} = \frac{F_1 / AY}{F_2 / AY} = \frac{F_1}{F_2} = \frac{30 \ N}{10 \ N} = 3$.

(C) द्रव्यमान के संतुलन के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में,तार में तनाव $T$ के ऊर्ध्वाधर घटक द्रव्यमान के भार को संतुलित करते हैं:
$2T \sin \theta = mg$
यहाँ $m = 2 \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,और $\theta = \frac{1}{100} \text{ rad}$ दिया गया है। छोटे कोण सन्निकटन $\sin \theta \approx \theta$ का उपयोग करने पर:
$2T \theta = 20$
$T = \frac{10}{\theta} = \frac{10}{1/100} = 1000 \text{ N}$
तार की मूल लंबाई $2L = 2 \text{ m}$ है,इसलिए $L = 1 \text{ m}$।
तार की नई लंबाई $2 \sqrt{L^2 + x^2}$ है,जहाँ $x = L \tan \theta \approx L \theta$।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ इस प्रकार है:
$\Delta L = 2 \sqrt{L^2 + x^2} - 2L = 2L \left( \sqrt{1 + \tan^2 \theta} - 1 \right) \approx 2L \left( 1 + \frac{\tan^2 \theta}{2} - 1 \right) = L \tan^2 \theta \approx L \theta^2$
$\Delta L = 1 \times (1/100)^2 = 10^{-4} \text{ m}$
यंग मापांक $Y = \frac{T/A}{\Delta L / (2L)}$ का उपयोग करने पर:
$2 \times 10^{11} = \frac{1000 / A}{10^{-4} / 2}$
$2 \times 10^{11} = \frac{2000}{A \times 10^{-4}}$
$A = \frac{2000}{2 \times 10^{11} \times 10^{-4}} = \frac{1000}{10^7} = 10^{-4} \text{ m}^2$
अतः,$A$ का मान $1 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ है।

(C) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ है, जहाँ $F$ आरोपित बल है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, $\ell$ मूल लंबाई है और $\Delta \ell$ लंबाई में परिवर्तन है।
दिया गया है:
बल $F = 200 \, N$ (नोट: जब तार को दोनों सिरों से $200 \, N$ के बल से खींचा जाता है, तो तार में तनाव $200 \, N$ ही रहता है)
मूल लंबाई $\ell = 2 \, m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2 \, cm^2 = 2 \times 10^{-4} \, m^2$
यंग मापांक $Y = 1 \times 10^{11} \, N \, m^{-2}$
लंबाई में वृद्धि $\Delta \ell$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$
मान रखने पर:
$\Delta \ell = \frac{200 \times 2}{(2 \times 10^{-4}) \times (1 \times 10^{11})}$
$\Delta \ell = \frac{400}{2 \times 10^7}$
$\Delta \ell = 200 \times 10^{-7} \, m$
$\Delta \ell = 2 \times 10^{-5} \, m$
माइक्रोमीटर $(\mu m)$ में बदलने पर:
$1 \, m = 10^6 \, \mu m$
$\Delta \ell = 2 \times 10^{-5} \times 10^6 \, \mu m = 20 \, \mu m$.

(D) अधिकतम विस्तार के लिए,लगाया गया प्रतिबल (stress) सामग्री की प्रत्यास्थता सीमा के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है:
तार की लंबाई,$L = 1 \,m$
प्रत्यास्थता सीमा (अधिकतम प्रतिबल),$\sigma = 8 \times 10^8 \,N \,m^{-2}$
यंग मापांक,$Y = 2 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}$
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\sigma}{\Delta L / L}$
विस्तार $\Delta L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta L = \frac{\sigma \times L}{Y}$
मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{8 \times 10^8 \times 1}{2 \times 10^{11}}$
$\Delta L = 4 \times 10^{-3} \,m$
मिलीमीटर में बदलने पर:
$\Delta L = 4 \,mm$
अतः,अधिकतम विस्तार $4 \,mm$ है।

(A) छड़ में उत्पन्न तापीय विकृति $\epsilon = \alpha \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\alpha = 10^{-5} \,^{\circ}C^{-1}$ और $\Delta T = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$ दिया गया है।
अतः, $\epsilon = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3}$.
चूंकि छड़ को फैलने से रोका जाता है, इसलिए संपीड़न प्रतिबल $\sigma = Y \times \epsilon$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
$\sigma = (0.5 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}) \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^8 \,N \,m^{-2}$.
संपीडन बल $F = \sigma \times A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$F = (0.5 \times 10^8 \,N \,m^{-2}) \times (10^{-3} \,m^2) = 0.5 \times 10^5 \,N = 50 \times 10^3 \,N$.

(B) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{Ae} = \frac{4FL}{\pi D^2 e}$ है।
दिया गया है: $L = 2 \,m$, $F = 1.0 \times 9.8 \,N$, $e = 0.8 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta e = 0.05 \times 10^{-3} \,m$, $D = 0.4 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta D = 0.01 \times 10^{-3} \,m$.
सबसे पहले, $Y$ का मान ज्ञात करें:
$Y = \frac{4 \times 9.8 \times 2}{\pi \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times (0.8 \times 10^{-3})} = \frac{78.4}{\pi \times 0.16 \times 10^{-6} \times 0.8 \times 10^{-3}} \approx 1.95 \times 10^{11} \,N/m^2 \approx 2.0 \times 10^{11} \,N/m^2$.
अब, सापेक्ष अनिश्चितता $\frac{\Delta Y}{Y}$ ज्ञात करें:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta e}{e}$.
चूंकि $F$ और $L$ सटीक हैं, $\frac{\Delta F}{F} = 0$ और $\frac{\Delta L}{L} = 0$.
$\frac{\Delta Y}{Y} = 2 \left( \frac{0.01}{0.4} \right) + \left( \frac{0.05}{0.8} \right) = 2(0.025) + 0.0625 = 0.05 + 0.0625 = 0.1125$.
निरपेक्ष अनिश्चितता $\Delta Y = 0.1125 \times Y = 0.1125 \times 1.95 \times 10^{11} \approx 0.22 \times 10^{11} \,N/m^2$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, $\Delta Y \approx 0.2 \times 10^{11} \,N/m^2$.
अतः, $Y = (2.0 \pm 0.2) \times 10^{11} \,N/m^2$.

(C) $L$ लंबाई, $A$ क्षेत्रफल और $Y$ यंग मापांक वाले तार से लटके $m$ द्रव्यमान की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ है。
दिया गया है: $m = 0.1 \,kg$, $L = 1 \,m$, $A = 4.9 \times 10^{-7} \,m^2$, $\omega = 140 \,rad \,s^{-1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\omega^2 = \frac{YA}{mL}$.
$Y$ के लिए हल करने पर: $Y = \frac{\omega^2 mL}{A}$.
मान रखने पर: $Y = \frac{(140)^2 \times 0.1 \times 1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{19600 \times 0.1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{1960}{4.9 \times 10^{-7}} = 400 \times 10^7 = 4 \times 10^9 \,N \,m^{-2}$.
इसे $n \times 10^9 \,N \,m^{-2}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।

(A) $m$ द्रव्यमान द्वारा उत्पन्न विस्तार $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{mgL}{AY}$ है।
ठंडा होने के कारण संकुचन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है।
चूंकि तार अपनी मूल लंबाई वापस पा लेता है,इसलिए द्रव्यमान के कारण विस्तार ठंडा होने के कारण संकुचन के बराबर होना चाहिए:
$\frac{mgL}{AY} = L \alpha \Delta T \Rightarrow mg = AY \alpha \Delta T$.
यहाँ $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$.
दिया गया है $\Delta T = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10^{\circ} C$,$\alpha = 10^{-5} /^{\circ} C$,$Y = 10^{11} \ N/m^2$,और $g \approx 10 \ m/s^2$.
मान रखने पर:
$m = \frac{A Y \alpha \Delta T}{g} = \frac{(\pi \times 10^{-6}) \times 10^{11} \times 10^{-5} \times 10}{10} = \pi \approx 3.14 \ kg$.
निकटतम पूर्णांक में,$m \approx 3 \ kg$.

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{4 MLg}{\pi \ell d^2}$ है।
$Y$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि $\left(\frac{\Delta Y}{Y}\right)_{\max} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta d}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों उपकरणों का अल्पतमांक (Least Count) $\text{LC} = \frac{\text{pitch}}{\text{divisions}} = \frac{0.5 \ mm}{100} = 0.005 \ mm$ है। अतः,$\Delta d = \Delta \ell = 0.005 \ mm$ है।
$\ell$ के कारण सापेक्ष त्रुटि का योगदान $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.005 \ mm}{0.25 \ mm} = 0.02$ है।
$d$ के कारण सापेक्ष त्रुटि का योगदान $2 \frac{\Delta d}{d} = 2 \times \frac{0.005 \ mm}{0.5 \ mm} = 2 \times 0.01 = 0.02$ है।
चूंकि दोनों योगदान $0.02$ के बराबर हैं,इसलिए $d$ और $\ell$ के मापन में त्रुटियाँ $Y$ की अधिकतम संभावित त्रुटि में समान योगदान देती हैं।

(C) मान लीजिए $T_S$ स्टील के तार में तनाव है और $T_C$ तांबे के तार में तनाव है।
क्षैतिज $(x)$ दिशा में बलों को वियोजित करने पर:
$T_C \cos 30^{\circ} = T_S \cos 60^{\circ}$
$T_C \times \frac{\sqrt{3}}{2} = T_S \times \frac{1}{2}$
$T_S = \sqrt{3} T_C \quad \dots (i)$
ऊर्ध्वाधर $(y)$ दिशा में बलों को वियोजित करने पर:
$T_C \sin 30^{\circ} + T_S \sin 60^{\circ} = 100$
$\frac{T_C}{2} + \frac{T_S \sqrt{3}}{2} = 100 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{T_C}{2} + \frac{(\sqrt{3} T_C) \sqrt{3}}{2} = 100$
$\frac{T_C}{2} + \frac{3 T_C}{2} = 100 \implies 2 T_C = 100 \implies T_C = 50 \ N$
$T_S = \sqrt{3} \times 50 = 50\sqrt{3} \ N$
विस्तार के सूत्र $\Delta \ell = \frac{FL}{AY}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\Delta \ell_C}{\Delta \ell_S} = \frac{T_C L_C}{A_C Y_C} \times \frac{A_S Y_S}{T_S L_S}$
यहाँ $A_C = A_S = 0.5 \ cm^2$,$L_C = \sqrt{3} \ m$,$L_S = 1 \ m$,$Y_C = 1 \times 10^{11} \ N/m^2$,$Y_S = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$ है:
$\frac{\Delta \ell_C}{\Delta \ell_S} = \left( \frac{50 \times \sqrt{3}}{0.5 \times 10^{11}} \right) \times \left( \frac{0.5 \times 2 \times 10^{11}}{50\sqrt{3} \times 1} \right) = \frac{50\sqrt{3}}{50\sqrt{3}} \times \frac{2}{1} = 2$
अतः,अनुपात $2$ है।

(C) मान लीजिए पतले तार की लंबाई $L_1 = L$ और त्रिज्या $r_1 = R$ है। इसका क्षेत्रफल $A_1 = \pi R^2$ है।
मान लीजिए मोटे तार की लंबाई $L_2 = 2L$ और त्रिज्या $r_2 = 2R$ है। इसका क्षेत्रफल $A_2 = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2 = 4A_1$ है।
चूंकि तार श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों तारों पर समान बल $F$ कार्य करता है।
यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\Delta L = \frac{FL}{AY}$।
पतले तार के लिए: $\Delta L_1 = \frac{FL_1}{A_1 Y} = \frac{FL}{\pi R^2 Y}$।
मोटे तार के लिए: $\Delta L_2 = \frac{FL_2}{A_2 Y} = \frac{F(2L)}{(4\pi R^2) Y} = \frac{FL}{2\pi R^2 Y}$।
पतले तार में विस्तार और मोटे तार में विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{FL/\pi R^2 Y}{FL/2\pi R^2 Y} = 2$ है।

(D) हुक के नियम के अनुसार,डोरी में तनाव $T$ उसकी लंबाई में विस्तार के समानुपाती होता है: $T = K(\ell - \ell_0)$,जहाँ $K$ बल नियतांक है,$\ell$ खिंची हुई लंबाई है और $\ell_0$ मूल लंबाई है।
प्रथम स्थिति के लिए: $5 = K(1.4 - \ell_0)$ -- (समीकरण $1$)
द्वितीय स्थिति के लिए: $7 = K(1.56 - \ell_0)$ -- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{7} = \frac{1.4 - \ell_0}{1.56 - \ell_0}$
$5(1.56 - \ell_0) = 7(1.4 - \ell_0)$
$7.8 - 5\ell_0 = 9.8 - 7\ell_0$
$2\ell_0 = 9.8 - 7.8$
$2\ell_0 = 2.0$
$\ell_0 = 1 \ m$.

(B) दिया गया है: $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{3}$ और $\frac{d_A}{d_B} = 2$।
तार की लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि दोनों तार समान पदार्थ के बने हैं,इसलिए $Y_A = Y_B$। दिया गया है कि लगाया गया बल समान है,इसलिए $F_A = F_B$।
लंबाई में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{F_A L_A}{A_A Y_A} \times \frac{A_B Y_B}{F_B L_B} = \left(\frac{L_A}{L_B}\right) \left(\frac{A_B}{A_A}\right)$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ होने के कारण,क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{A_B}{A_A} = \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$।

(A) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है।
यहाँ,$F = mg = 50 \times 3 \pi \ N$,$L = 3 \ m$,$r = 3 \times 10^{-3} \ m$,और $\Delta L = 0.1 \times 10^{-3} \ m$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (3 \times 10^{-3})^2 = 9 \pi \times 10^{-6} \ m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Y = \frac{(50 \times 3 \pi) \times 3}{(9 \pi \times 10^{-6}) \times (0.1 \times 10^{-3})}$
$Y = \frac{450 \pi}{0.9 \pi \times 10^{-9}} = \frac{450}{0.9} \times 10^9 = 500 \times 10^9 = 5 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.
इसे $P \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = 5$ प्राप्त होता है।

(A) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot \ell}{A \cdot \Delta \ell} = \frac{F}{A \cdot (\Delta \ell / \ell)}$ है।
दिया गया है:
क्षेत्रफल $(A)$ = $10^{-6} \ m^2$
विकृति $(\Delta \ell / \ell)$ = $0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$
तनाव $(F)$ = $1000 \ N$
मान रखने पर:
$Y = \frac{1000}{10^{-6} \times 10^{-3}}$
$Y = \frac{10^3}{10^{-9}}$
$Y = 10^{12} \ N/m^2$.

(B) लंबाई में परिवर्तन (विस्तार) के लिए सूत्र $\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ है।
यहाँ,$F = mg = 8000 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 80000 \ N$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \frac{\pi d^2}{4}$,जहाँ $d = 2.5 \ mm = 2.5 \times 10^{-3} \ m$ है।
$A = \frac{3.14 \times (2.5 \times 10^{-3})^2}{4} \approx 4.906 \times 10^{-6} \ m^2$ है।
मान रखने पर: $\Delta \ell = \frac{80000 \times 3.14}{4.906 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}}$।
$\Delta \ell = \frac{251200}{9.812 \times 10^5} \approx 0.0256 \times 10^{-2} \ m = 0.256 \times 10^{-3} \ m = 0.256 \ mm$ है।
दिए गए विकल्पों और ऐसे प्रश्नों में सामान्य अनुमानों को देखते हुए,निकटतम मान $0.026 \ mm$ है।

(B) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि तार समान हैं,उनकी लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है। खिंचाव बल $F$ भी दोनों के लिए समान है।
इसलिए,$Y \propto \frac{1}{\Delta l}$।
यह दिया गया है कि $Q$ का विस्तार $P$ से अधिक है,अर्थात $(\Delta l)_Q > (\Delta l)_P$।
चूंकि $Y$ विस्तार के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए $Y_P > Y_Q$ प्राप्त होता है।
उच्च यंग मापांक यह दर्शाता है कि पदार्थ अधिक प्रत्यास्थ है (विरूपण के प्रति अधिक प्रतिरोध)।
अतः,$P$,$Q$ से अधिक प्रत्यास्थ है।

(A) मान लीजिए कि तार की लंबाई $L$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और आयतन $V$ है। चूंकि आयतन स्थिर है,$V = A \times L$,जिसका अर्थ है $A = \frac{V}{L}$।
यंग मापांक के सूत्र के अनुसार,$Y = \frac{F \times L}{A \times \Delta L}$,जहाँ $\Delta L$ विस्तार है।
$\Delta L$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times A}$।
समीकरण में $A = \frac{V}{L}$ रखने पर,हमें मिलता है $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times (V/L)} = \frac{F \times L^{2}}{Y \times V}$।
चूंकि $F$,$Y$,और $V$ स्थिर हैं,इसलिए विस्तार $\Delta L$,$L^{2}$ के समानुपाती है।

(A) तार में विस्तार $\Delta l$ को सूत्र $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$l$ लंबाई है,$Y$ यंग मापांक है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ के बने हैं,इसलिए $Y$ दोनों के लिए समान होगा। क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
मोटे तार $(1)$ के लिए: $l_1 = 2L$,$r_1 = 2R$,$A_1 = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$ है।
पतले तार $(2)$ के लिए: $l_2 = L$,$r_2 = R$,$A_2 = \pi R^2$ है।
चूंकि दोनों तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं और उन पर समान बल $F$ लगाया गया है,इसलिए दोनों तारों में तनाव समान है।
अतः,विस्तार का अनुपात:
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{F \cdot l_1 / (Y \cdot A_1)}{F \cdot l_2 / (Y \cdot A_2)} = \frac{l_1}{l_2} \cdot \frac{A_2}{A_1}$
मान रखने पर:
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{2L}{L} \cdot \frac{\pi R^2}{4\pi R^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,मोटे तार में विस्तार और पतले तार में विस्तार का अनुपात $1:2$ है।

(A) तार का विस्तार $\Delta L$,सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि दोनों तारों के लिए $F$,$L$ और $Y$ समान हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{1}{A}$ होगा।
तार का द्रव्यमान $m$,$m = \rho AL$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है। चूंकि $\rho$ और $L$ समान हैं,इसलिए $m \propto A$ होगा।
अतः,$\Delta L \propto \frac{1}{m}$ होगा।
द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{4}$ दिया गया है,इसलिए विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{4}{3}$ होगा।

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र है: $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$।
चूंकि आयतन $V = A \cdot l$,हम लिख सकते हैं $l = \frac{V}{A}$।
इसे सूत्र में रखने पर: $Y = \frac{F \cdot (V/A)}{A \cdot \Delta l} = \frac{F \cdot V}{A^2 \cdot \Delta l}$।
विस्तार $\Delta l$ के लिए: $\Delta l = \frac{F \cdot V}{Y \cdot A^2}$।
चूंकि $F, V,$ और $Y$ दोनों छड़ों के लिए समान हैं,$\Delta l \propto \frac{1}{A^2}$।
अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है,इसलिए क्षेत्रफल $A \propto d^2$,अतः $\Delta l \propto \frac{1}{d^4}$।
दिया गया है $d_1 = \frac{1}{2} d_2$,अर्थात $d_2 = 2 d_1$।
विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4 = \left( \frac{2 d_1}{d_1} \right)^4 = 2^4 = 16$।
अतः,अनुपात $16: 1$ है।

(D) $1$. प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(Stress = F/A)$। चूंकि दोनों तारों का व्यास $d$ समान है,इसलिए उनका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi(d/2)^2$ भी समान है। जब संयुक्त तार पर $F$ बल लगाया जाता है,तो प्रत्येक तार पर समान बल $F$ कार्य करता है। इसलिए,दोनों तार समान प्रतिबल का अनुभव करते हैं।
$2$. विकृति को लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है $(Strain = \Delta L / L)$। हुक के नियम के अनुसार,$Stress = Y \times Strain$,जहाँ $Y$ पदार्थ का यंग मापांक है।
$3$. चूंकि तार अलग-अलग पदार्थों से बने हैं,इसलिए उनके यंग मापांक अलग-अलग $(Y_1 \neq Y_2)$ होंगे।
$4$. चूंकि $Strain = Stress / Y$,और दोनों के लिए प्रतिबल समान है लेकिन यंग मापांक अलग-अलग हैं,इसलिए दोनों तारों में विकृति अलग-अलग होगी।
$5$. अतः,तारों में समान प्रतिबल लेकिन अलग विकृति होती है।

(A) मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर प्रतिबल $\sigma = \frac{(\rho A x) g}{A} = \rho g x$ है।
एक छोटे अवयव $dx$ में लंबाई में वृद्धि $d\ell = \frac{\sigma dx}{Y} = \frac{\rho g x dx}{Y}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करने पर,कुल लंबाई में वृद्धि $\ell$ है:
$\ell = \int_0^L \frac{\rho g x}{Y} dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{\rho g L^2}{2Y}$.
यंग मापांक $Y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Y = \frac{\rho g L^2}{2 \ell}$.

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F l}{A \Delta l}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta l = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $Y$ स्थिर है। यह दिया गया है कि बल $F$ भी समान है,इसलिए $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$ होगा।
माना लंबाई $l_1 = l$ और $l_2 = 2l$ है,और त्रिज्या $r_1 = r$ और $r_2 = \sqrt{2}r$ है।
लंबाई में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{l_1}{r_1^2} \times \frac{r_2^2}{l_2} = \frac{l}{r^2} \times \frac{(\sqrt{2}r)^2}{2l} = \frac{l}{r^2} \times \frac{2r^2}{2l} = 1$ है।
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है।
बल के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
रिंग की मूल लंबाई $L = 2 \pi r$ है।
डिस्क पर फिट होने पर रिंग की अंतिम लंबाई $2 \pi R$ हो जाती है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{Y A \times 2 \pi (R - r)}{2 \pi r} = \frac{Y A (R - r)}{r}$.

(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र है: $Y = \frac{F L}{A l} = \frac{F L}{\pi r^2 l}$।
पहले तार के लिए: $Y = \frac{F L}{\pi r^2 l} \quad \dots (i)$।
दूसरे तार के लिए पैरामीटर हैं: $L' = 2L$,$r' = 2r$,$F' = 2F$,और मान लीजिए नई वृद्धि $l'$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए यंग मापांक $Y$ स्थिर रहेगा।
$Y = \frac{F' L'}{\pi (r')^2 l'} = \frac{(2F) (2L)}{\pi (2r)^2 l'} = \frac{4 F L}{\pi (4 r^2) l'} = \frac{F L}{\pi r^2 l'} \quad \dots (ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{F L}{\pi r^2 l} = \frac{F L}{\pi r^2 l'}$।
अतः,$l' = l$ प्राप्त होता है।

(C) यंग मापांक $Y$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Y = \frac{F L}{A \Delta L}$
$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$
अतः,लंबाई में होने वाली कमी $\frac{F L}{A Y}$ है।

(B) यदि छड़ स्वतंत्र रूप से फैलती है,तो उसका तापीय प्रसार $\Delta L = \alpha L T$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रसार को रोकने के लिए,एक संपीड़न बल $F$ लगाया जाना चाहिए।
उत्पन्न प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A}$ है।
उत्पन्न विकृति $\epsilon = \frac{\Delta L}{L_{new}}$ है,जहाँ $L_{new} = L(1 + \alpha T)$ है।
यंग मापांक $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L / L(1 + \alpha T)}$ का उपयोग करते हुए।
$F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{Y A \Delta L}{L(1 + \alpha T)}$ प्राप्त होता है।
$\Delta L = \alpha L T$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = \frac{Y A (\alpha L T)}{L(1 + \alpha T)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$F = \frac{Y A \alpha T}{1 + \alpha T}$।

(B) दोनों सिरों पर समर्थित और केंद्र पर भारित बीम का झुकाव (sag) $\delta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\delta = \frac{W l^3}{48 Y I}$।
यहाँ,$W$ भार है,$l$ लंबाई है,$Y$ यंग मापांक है और $I$ ज्यामितीय जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) है।
$b$ चौड़ाई और $d$ गहराई वाले आयताकार अनुप्रस्थ काट के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{b d^3}{12}$ होता है।
$\delta$ के सूत्र में $I$ का मान रखने पर:
$\delta = \frac{W l^3}{48 Y (\frac{b d^3}{12})}$
$\delta = \frac{W l^3}{48 Y} \times \frac{12}{b d^3}$
$\delta = \frac{W l^3}{4 b d^3 Y}$।

(D) $l$ लंबाई,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $Y$ यंग मापांक वाले तार में $\Delta l$ विस्तार उत्पन्न करने के लिए आवश्यक बल $F = \frac{Y A \Delta l}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है,हम बल को $F = \frac{Y \pi d^2 \Delta l}{4 l}$ के रूप में लिख सकते हैं।
समान पदार्थ के तारों के लिए,$Y$ स्थिर है। अतः,$F \propto \frac{d^2 \Delta l}{l}$।
दिया गया है कि $\Delta l_A = \Delta l_B$,इसलिए बलों का अनुपात $\frac{F_A}{F_B} = \frac{d_A^2}{d_B^2} \times \frac{l_B}{l_A}$ होगा।
दिया है कि $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{2} \implies \frac{l_B}{l_A} = 2$ और $\frac{d_A}{d_B} = \frac{2}{1}$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{F_A}{F_B} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 \times 2 = 4 \times 2 = 8$।
अतः,अनुपात $F_A : F_B = 8: 1$ है।

(A) विस्तार $\Delta L$ सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार समान पदार्थ के हैं और समान भार से खींचे गए हैं,इसलिए $F$ और $Y$ स्थिर हैं।
अतः,$\Delta L \propto \frac{L}{r^2}$।
प्रत्येक मामले के लिए आनुपातिकता कारक $\frac{L}{r^2}$ की गणना करने पर:
$A$ के लिए: $\frac{100}{1^2} = 100$.
$B$ के लिए: $\frac{200}{3^2} = \frac{200}{9} \approx 22.22$.
$C$ के लिए: $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$.
$D$ के लिए: $\frac{400}{4^2} = \frac{400}{16} = 25$.
मानों की तुलना करने पर,$L=100 \ cm$ और $r=1 \ mm$ वाले तार का $\frac{L}{r^2}$ मान सबसे अधिक है,इसलिए यह सबसे अधिक विस्तारित होगा।

(B) विस्तार $l$ का सूत्र $l = \frac{F L}{A Y} = \frac{F L}{\pi r^2 Y}$ है।
चूंकि $l, F,$ और $L$ दोनों तारों के लिए स्थिर हैं, इसलिए $r^2 Y = \text{स्थिरांक}$, जिसका अर्थ है $r^2 \propto \frac{1}{Y}$।
अतः, $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}$।
दिया गया है $Y_1 = 7 \times 10^{10} \,N/m^2$, $Y_2 = 12 \times 10^{10} \,N/m^2$, और व्यास $d_1 = 3 \,mm$ (इसलिए $r_1 = 1.5 \,mm$)।
$r_2 = r_1 \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}} = 1.5 \times \sqrt{\frac{7 \times 10^{10}}{12 \times 10^{10}}} = 1.5 \times \sqrt{\frac{7}{12}} \approx 1.5 \times 0.7637 \approx 1.145 \,mm$.
व्यास $d_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 1.145 = 2.29 \,mm$.

(C) ठंडा करने के कारण होने वाला तापीय संकुचन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है。
इस संकुचन को रोकने के लिए, द्रव्यमान '$m$' द्वारा लगाया गया तनाव बल $F$ समान विस्तार उत्पन्न करना चाहिए: $\Delta L = \frac{FL}{AY}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $L \alpha \Delta T = \frac{FL}{AY}$.
अतः, आवश्यक बल $F = AY \alpha \Delta T$ है。
चूंकि $F = Mg$, इसलिए $Mg = AY \alpha \Delta T$.
दिए गए मानों को रखने पर: $M = \frac{AY \alpha \Delta T}{g}$.
$M = \frac{(3 \times 10^{-6} \,m^{2}) \times (10^{11} \,N/m^{2}) \times (10^{-5} /K) \times (100 - 0) \,K}{10 \,m/s^{2}}$.
$M = \frac{3 \times 10^{0} \times 100}{10} = \frac{300}{10} = 30 \,kg$.

(C) छड़ का ऊष्मीय प्रसार $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रसार को रोकने के लिए,एक संपीड़न बल $F$ इस प्रकार लगाया जाना चाहिए कि संपीड़न ऊष्मीय प्रसार के बराबर हो।
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$।
अतः,प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A} = Y \frac{\Delta L}{L}$।
प्रतिबल समीकरण में $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$ रखने पर:
$\sigma = Y \frac{L \alpha \Delta \theta}{L} = Y \alpha \Delta \theta$।

(C) छड़ का ऊष्मीय प्रसार $\Delta L = L \alpha T$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रसार को रोकने के लिए,हमें एक संपीड़न बल $F$ लगाना होगा ताकि संपीड़न विकृति ऊष्मीय विकृति के बराबर हो।
उत्पन्न प्रतिबल $\sigma = Y \times \text{विकृति} = Y \times \frac{\Delta L}{L_{final}}$ है।
गर्म करने के बाद छड़ की अंतिम लंबाई $L_{final} = L(1 + \alpha T)$ है।
अतः,बल $F = \text{प्रतिबल} \times A = Y \times \frac{\Delta L}{L_{final}} \times A$।
मान रखने पर,$F = Y \times \frac{L \alpha T}{L(1 + \alpha T)} \times A = \frac{YA \alpha T}{1 + \alpha T}$।