Mix Examples-Mechanical Properties of Solids Questions in Hindi

(C) $Dyne/cm^2$ मात्रक प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल को दर्शाता है।
दाब को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल के रूप में परिभाषित किया गया है $(P = F/A)$,इसलिए $CGS$ प्रणाली में इसका मात्रक $Dyne/cm^2$ है।
प्रतिबल (Stress) को भी प्रति इकाई क्षेत्रफल पर प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका मात्रक भी $Dyne/cm^2$ है।
यंग मापांक (Young's modulus) प्रतिबल और विकृति का अनुपात है। चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है (लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई का अनुपात),इसलिए यंग मापांक का मात्रक प्रतिबल के समान ही $Dyne/cm^2$ होता है।
विकृति (Strain) को आयाम में परिवर्तन और मूल आयाम के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है (जैसे,$\Delta L/L$)। चूंकि यह दो समान भौतिक राशियों का अनुपात है,इसलिए यह एक विमाहीन राशि है और इसका कोई मात्रक नहीं होता है।
अतः,$Dyne/cm^2$ विकृति का मात्रक नहीं है।

(B) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल तार में तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है। टूटने के बिंदु पर, तनाव ब्रेकिंग बल के बराबर होता है।
ब्रेकिंग बल $F = \text{ब्रेकिंग स्ट्रेस} \times \text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल} = (4.8 \times 10^7\, N/m^2) \times (10^{-6}\, m^2) = 48\, N$.
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = m\omega^2 r$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $m\omega^2 r = 48$.
यहाँ $m = 10\, kg$ और $r = 0.3\, m$ दिया गया है:
$10 \times \omega^2 \times 0.3 = 48$
$3\omega^2 = 48$
$\omega^2 = 16$
$\omega = 4\, rad/sec$.

(C) तार का ब्रेकिंग बल उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के सीधे समानुपाती होता है.
ब्रेकिंग बल $F_b = \text{ब्रेकिंग स्ट्रेस} \times \text{क्षेत्रफल}$.
चूंकि ब्रेकिंग स्ट्रेस पदार्थ का एक गुण है, इसलिए तांबे के लिए यह स्थिर रहता है.
क्षेत्रफल $A = \pi R^2$.
इसलिए, $F \propto R^2$.
यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए $(R' = 2R)$, तो नया बल $F'$ होगा:
$F' \propto (2R)^2 = 4R^2 = 4F$.
अतः, $2R$ त्रिज्या वाले तार को तोड़ने के लिए आवश्यक बल $4F$ है.

(B) तार द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम भार या ब्रेकिंग बल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = \text{Breaking Stress} \times \text{Area of Cross-section}$.
चूंकि ब्रेकिंग स्ट्रेस पदार्थ का एक गुण है और तार की लंबाई बदलने पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल नहीं बदलता है,इसलिए ब्रेकिंग बल तार की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,यदि तार की लंबाई को आधा कर दिया जाए,तो भी वह समान भार ही सहन कर सकता है।

(C) किसी पदार्थ के दिए गए आयतन में परमाणुओं की संख्या उसके परमाणु घनत्व द्वारा निर्धारित होती है।
परमाणु घनत्व का सूत्र $n = \frac{\rho N_A}{M}$ है,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है,$N_A$ आवोगाद्रो संख्या है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि तार आयामों में समान हैं,इसलिए उनका आयतन बराबर है।
लोहे का घनत्व $(\rho_{Fe} \approx 7870 \ kg/m^3)$ रबर के घनत्व $(\rho_{rubber} \approx 1100 \ kg/m^3)$ से काफी अधिक है।
इसके अलावा,लोहे का मोलर द्रव्यमान $(55.85 \ g/mol)$ रबर में पाई जाने वाली जटिल,उच्च-आणविक भार वाली बहुलक श्रृंखलाओं की तुलना में अपेक्षाकृत कम है।
परिणामस्वरूप,लोहे में प्रति इकाई आयतन परमाणुओं की संख्या रबर की तुलना में बहुत अधिक होती है।
इसलिए,लोहे के तार में रबर के तार की तुलना में अधिक परमाणु होते हैं।

(D) किसी पदार्थ की प्रत्यास्थता कई बाहरी और आंतरिक कारकों से प्रभावित होती है:
$1$. तापमान: सामान्यतः,तापमान बढ़ने के साथ अधिकांश पदार्थों की प्रत्यास्थता कम हो जाती है।
$2$. अशुद्धियाँ: अशुद्धियाँ मिलाने से पदार्थ के भीतर के अंतर-परमाणु बल बदल सकते हैं,जिससे इसके प्रत्यास्थ गुण बदल जाते हैं।
$3$. हथौड़े से पीटना और एनीलिंग: ये यांत्रिक और थर्मल उपचार पदार्थ की आंतरिक क्रिस्टलीय संरचना को बदलते हैं। हथौड़े से पीटने पर क्रिस्टल के दाने छोटी इकाइयों में टूट जाते हैं,जबकि एनीलिंग बड़े और अधिक समान दाने बनाने में मदद करती है,जो दोनों ही पदार्थ की प्रत्यास्थता को काफी प्रभावित करते हैं।
अतः,दिए गए सभी कारक पदार्थ की प्रत्यास्थता को प्रभावित करते हैं।

(C) जब $L$ लंबाई और $\rho$ घनत्व वाले तार को लंबवत लटकाया जाता है,तो उसके अपने भार के कारण उत्पन्न प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A} = \frac{(\rho AL)g}{A} = \rho Lg$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,ब्रेकिंग स्ट्रेस $\sigma = 10^6 \ N/m^2$,घनत्व $\rho = 3 \times 10^3 \ kg/m^3$,और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर।
प्रतिबल को ब्रेकिंग स्ट्रेस के बराबर करने पर: $10^6 = (3 \times 10^3) \times L \times 10$.
$10^6 = 3 \times 10^4 \times L$.
$L = \frac{10^6}{3 \times 10^4} = \frac{100}{3} = 33.3 \ m$.

(C) सही उत्तर $C$ है।
$L$ लंबाई और $r$ त्रिज्या वाली छड़ को $\theta$ कोण से मरोड़ने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau = \frac{\eta \pi r^4 \theta}{2L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\eta$ दृढ़ता गुणांक है।
इस संबंध से,हम देखते हैं कि $\tau \propto \frac{1}{L}$।
इसका अर्थ है कि एक निश्चित टॉर्क के लिए,मरोड़ का कोण $\theta \propto L$ होता है।
इसलिए,छोटी छड़ की तुलना में लंबी छड़ को मरोड़ना आसान होता है क्योंकि समान टॉर्क लंबी छड़ में मरोड़ का बड़ा कोण उत्पन्न करता है।
अतः,'छोटे छड़ की तुलना में लंबी छड़ को मरोड़ना कठिन होता है' यह कथन गलत है।

(B) जब किसी पिंड पर अपरूपण बल लगाया जाता है,तो आंतरिक प्रत्यानयन बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है,जो पिंड में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ के रूप में संचित हो जाता है।
जब बल को हटा दिया जाता है,तो पिंड अपने आंतरिक प्रत्यानयन बलों के कारण अपने मूल आकार में वापस आ जाता है।
इस प्रक्रिया के दौरान,संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। यह ऊर्जा आंतरिक घर्षण या आणविक कंपन के कारण पिंड के भीतर ऊष्मा के रूप में व्यय हो जाती है,जिससे पिंड के तापमान में थोड़ी वृद्धि होती है।

(A) ब्रेकिंग स्ट्रेस का सूत्र इस प्रकार है: $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A} = \frac{(\rho V)g}{A} = \frac{\rho (A L) g}{A} = \rho L g$.
यहाँ,$\sigma = 10^6 \, N/m^2$,$\rho = 3 \times 10^3 \, kg/m^3$,और $g = 10 \, m/s^2$ है।
लंबाई $L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $L = \frac{\sigma}{\rho g}$.
मान रखने पर: $L = \frac{10^6}{3 \times 10^3 \times 10} = \frac{10^6}{3 \times 10^4} = \frac{100}{3} \approx 33.33 \, m$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $L = 34 \, m$ प्राप्त होता है।

(A) $bcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
निकटतम पड़ोसी दूरी $d$ और इकाई सेल की भुजा की लंबाई $a$ के बीच संबंध $d = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ है,इसलिए $a = \frac{2d}{\sqrt{3}}$।
दिया गया है $d = 4.525 \times 10^{-10} \ m$।
अतः,$a = \frac{2 \times 4.525 \times 10^{-10}}{\sqrt{3}} \approx 5.232 \times 10^{-10} \ m$।
घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{N_A \times a^3}$ है,जहाँ $M = 39 \times 10^{-3} \ kg/mol$ और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{2 \times 39 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23} \times (5.232 \times 10^{-10})^3}$।
$\rho = \frac{78 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23} \times 143.28 \times 10^{-30}} \approx \frac{78 \times 10^{-3}}{862.83 \times 10^{-7}} \approx 903.9 \ kg/m^3$।
निकटतम मान $900 \ kg/m^3$ है।

(C) क्रिस्टलीय पदार्थों में उनकी पूरी संरचना में परमाणुओं या अणुओं की एक नियमित और दोहराव वाली व्यवस्था होती है। इसके उदाहरणों में $Copper$ (तांबा) जैसी धातुएं,$Sodium$ $chloride$ (नमक) जैसे आयनिक ठोस,और $Diamond$ (हीरा) जैसे सहसंयोजक नेटवर्क शामिल हैं।
अक्रिस्टलीय (या अनाकार) पदार्थों में इस प्रकार की दीर्घ-परासी व्यवस्था का अभाव होता है। $Wood$ (लकड़ी) सेलुलोज,हेमीसेलुलोज और लिग्निन से बना एक जटिल कार्बनिक पदार्थ है,जिसमें दीर्घ-परासी क्रिस्टलीय संरचना नहीं होती है। इसलिए,$Wood$ को एक अक्रिस्टलीय पदार्थ के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

(D) एक ठोस जो दृश्य क्षेत्र में प्रकाश को प्रसारित करता है और जिसका गलनांक बहुत कम होता है,वह आमतौर पर एक आणविक ठोस होता है।
ये ठोस कमजोर वान डर वाल्स बलों द्वारा एक साथ बंधे होते हैं।
चूंकि ये बल कमजोर होते हैं,इसलिए इनका गलनांक बहुत कम होता है।
इसके अतिरिक्त,वे अक्सर दृश्य प्रकाश को अपने माध्यम से गुजरने देते हैं,क्योंकि उनमें मुक्त इलेक्ट्रॉन या मजबूत स्थानीयकृत बंधन नहीं होते हैं जो दृश्य प्रकाश ऊर्जा को अवशोषित कर सकें।

(D) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ जालक में,परमाणु फलक के विकर्ण पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
माना $a$ जालक नियतांक है और $r$ परमाणु त्रिज्या है।
फलक का विकर्ण $\sqrt{2}a = 4r$ द्वारा दिया जाता है।
अंतर-परमाणु दूरी (निकटतम पड़ोसियों के बीच की दूरी) $d = 2r = 2.54 \ \mathring{A}$ है।
समीकरण $\sqrt{2}a = 2(2r)$ में $2r = 2.54 \ \mathring{A}$ रखने पर:
$\sqrt{2}a = 2 \times 2.54 \ \mathring{A}$.
$a = \sqrt{2} \times 2.54 \ \mathring{A} \approx 1.414 \times 2.54 \ \mathring{A} \approx 3.59 \ \mathring{A}$.

(B) बल $F$,$A$ क्षेत्रफल वाली मूल अनुप्रस्थ काट के लंबवत कार्य करता है।
झुकी हुई अनुप्रस्थ काट $PQRS$ के लिए,जिसका क्षेत्रफल $A' = A / \cos \theta$ है,बल $F$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. अभिलंब घटक: $F_n = F \cos \theta$
$2$. स्पर्शरेखीय (अपरूपण) घटक: $F_t = F \sin \theta$
स्पर्शरेखीय प्रतिबल को स्पर्शरेखीय बल और झुकी हुई अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\text{स्पर्शरेखीय प्रतिबल} = \frac{F_t}{A'} = \frac{F \sin \theta}{A / \cos \theta} = \frac{F \sin \theta \cos \theta}{A}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\text{स्पर्शरेखीय प्रतिबल} = \frac{F \sin 2\theta}{2A}$

(A) मान लीजिए कि $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक छड़ पर $F$ तन्य बल कार्य कर रहा है।
मान लीजिए कि अनुप्रस्थ काट $PQRS$,बल $F$ के लंबवत तल के साथ $\theta$ कोण पर झुका हुआ है।
झुकी हुई अनुप्रस्थ काट $PQRS$ का क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{\cos \theta}$ है।
अनुप्रस्थ काट $PQRS$ के लंबवत बल $F$ का घटक $F_n = F \cos \theta$ है।
अनुप्रस्थ काट $PQRS$ पर तन्य प्रतिबल $\sigma$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\sigma = \frac{F_n}{A'} = \frac{F \cos \theta}{A / \cos \theta} = \frac{F}{A} \cos^2 \theta$.
तन्य प्रतिबल $\sigma$ को अधिकतम होने के लिए,$\cos^2 \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos^2 \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $\theta = 0^o$ पर प्राप्त होता है।

(A) तार में उसके स्वयं के भार के कारण उत्पन्न प्रतिबल (stress) $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A} = \frac{(V \rho) g}{A} = \frac{(A L \rho) g}{A} = L \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ ब्रेकिंग स्ट्रेस $10^6 \, N/m^2$,घनत्व $\rho = 3 \times 10^3 \, kg/m^3$ और $g = 10 \, m/s^2$ दिया गया है।
प्रतिबल को ब्रेकिंग स्ट्रेस के बराबर रखने पर: $10^6 = L \times (3 \times 10^3) \times 10$.
$10^6 = L \times (3 \times 10^4)$.
$L = \frac{10^6}{3 \times 10^4} = \frac{100}{3} \approx 33.33 \, m$.
निकटतम पूर्णांक में,लंबाई $34 \, m$ है।

(C) ब्रेकिंग बल $F$,ब्रेकिंग प्रतिबल और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल का गुणनफल होता है: $F = \text{ब्रेकिंग प्रतिबल} \times \text{क्षेत्रफल} = 4.8 \times 10^7 \times 10^{-6} = 48 \, N$.
क्षैतिज वृत्त में घूमते हुए पिंड के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल तार में उत्पन्न तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है: $F = m\omega^2 l$.
दोनों को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है: $48 = 10 \times \omega^2 \times 0.3$.
$48 = 3 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{48}{3} = 16$.
$\omega = 4 \, rad/sec$.

(D) $1$. $m_1 = 1 \, kg$ और $m_2 = 4 \, kg$ द्रव्यमान वाले पुली सिस्टम के लिए तार में तनाव $T$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g = \frac{2 \times 1 \times 4}{1 + 4} \times 10 = \frac{8}{5} \times 10 = 16 \, N$.
$2$. ब्रेकिंग बल,ब्रेकिंग प्रतिबल और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ का गुणनफल होता है:
$F_{breaking} = \text{Stress} \times A = 3.18 \times 10^{10} \times \pi r^2$.
$3$. तार न टूटे इसके लिए,तनाव $T$ ब्रेकिंग बल के बराबर या उससे कम होना चाहिए:
$16 = 3.18 \times 10^{10} \times \pi r^2$.
$4$. त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{16}{3.18 \times 10^{10} \times 3.14} \approx 16 \times 10^{-10} \, m^2$.
$r = \sqrt{16 \times 10^{-10}} = 4 \times 10^{-5} \, m$.

(D) तार का ब्रेकिंग बल सूत्र $F = \sigma_{max} \times A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\sigma_{max}$ ब्रेकिंग स्ट्रेस (पदार्थ का गुण) है और $A$ तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है。
चूंकि दिए गए पदार्थ के लिए ब्रेकिंग स्ट्रेस $\sigma_{max}$ स्थिर रहता है, इसलिए ब्रेकिंग बल $F$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक होता है $(F \propto A)$。
जब समान पदार्थ और आयामों वाले दो तारों को समानांतर में जोड़ा जाता है, तो कुल अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A + A = 2A$ हो जाता है。
इसलिए, नया ब्रेकिंग बल $F'$ होगा: $F' = \sigma_{max} \times (2A) = 2 \times (\sigma_{max} \times A) = 2F$。

(B) तार का ब्रेकिंग बल, ब्रेकिंग प्रतिबल (breaking stress) और तार के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है।
ब्रेकिंग बल = $\text{ब्रेकिंग प्रतिबल} \times \text{क्षेत्रफल}$.
चूंकि ब्रेकिंग प्रतिबल पदार्थ का एक गुण है और यह स्थिर रहता है, इसलिए ब्रेकिंग बल अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A = \pi r^2)$ के सीधे समानुपाती होता है।
अतः, $\text{ब्रेकिंग बल} \propto r^2$.
जब तार की मोटाई (त्रिज्या $r$) दोगुनी कर दी जाती है $(r' = 2r)$, तो नया ब्रेकिंग बल $F'$ होगा:
$F' \propto (2r)^2 = 4r^2 = 4F$.
इस प्रकार, ब्रेकिंग बल $4F$ हो जाएगा।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_0 = 20 ^o C$ है। इस तापमान पर,तार पर कोई तनाव नहीं है,इसलिए विकृति $\epsilon = 0$ और प्रत्यास्थ ऊर्जा घनत्व $u = 0$ है।
जब तापमान $\Delta T = (T_0 - T)$ से कम हो जाता है,तो तार $\Delta L = L \alpha \Delta T$ की मात्रा से सिकुड़ने की प्रवृत्ति रखता है,जहाँ $L$ लंबाई है और $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है।
चूंकि तार जकड़ा हुआ है,इसलिए दीवारों के बीच अपनी लंबाई बनाए रखने के लिए इसे इसी मात्रा $\Delta L$ से खींचा जाता है।
विकृति $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T = \alpha (T_0 - T)$ है।
प्रत्यास्थ ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} Y \epsilon^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
विकृति के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $u = \frac{1}{2} Y \alpha^2 (T_0 - T)^2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है जो ऊपर की ओर खुलता है और जिसका शीर्ष $T = T_0 = 20 ^o C$ और $u = 0$ पर है।
जैसे-जैसे $T$ का मान $20 ^o C$ से कम होता है,$(T_0 - T)$ बढ़ता है,और $u$ द्विघात रूप से बढ़ता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,चित्र $86-$a110 में दिखाया गया ग्राफ दर्शाता है कि जैसे-जैसे $T$ का मान $20 ^o C$ से कम होता है,$u$ एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हुए बढ़ता है,जो हमारे व्युत्पन्न संबंध से मेल खाता है।

(A) मान लीजिए कि मूल रैखिक आयाम $L$ है। नया रैखिक आयाम $L' = 9L$ है।
चूंकि घनत्व $\rho$ स्थिर रहता है,द्रव्यमान $m$ आयतन $V = L^3$ के समानुपाती होता है।
इसलिए,नए द्रव्यमान और मूल द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m'}{m} = \left(\frac{L'}{L}\right)^3 = 9^3 = 729$ है।
पैर का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ रैखिक आयाम के वर्ग के समानुपाती होता है,$A \propto L^2$।
इसलिए,नए क्षेत्रफल और मूल क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{A'}{A} = \left(\frac{L'}{L}\right)^2 = 9^2 = 81$ है।
प्रतिबल $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ बल वजन $mg$ है।
$\sigma = \frac{mg}{A}$।
नए प्रतिबल $\sigma'$ और मूल प्रतिबल $\sigma$ का अनुपात है:
$\frac{\sigma'}{\sigma} = \left(\frac{m'}{m}\right) \times \left(\frac{A}{A'}\right) = \frac{9^3}{9^2} = 9$।
अतः,पैर में प्रतिबल $9$ के गुणक से बढ़ जाएगा।

(A) द्रव्यमान $m$ की गति दो भागों से बनी है: छड़ों के बीच मुक्त गति और टक्करों के दौरान लगा समय।
$1$. छड़ों के बीच $L$ दूरी तय करने में लगा समय: द्रव्यमान एक चक्र में $L$ दूरी दो बार तय करता है (एक बार दाईं ओर और एक बार बाईं ओर)। इसलिए,$t_{free} = \frac{2L}{v}$.
$2$. टक्करों में लगा समय: छड़ें स्प्रिंग के रूप में कार्य करती हैं। छड़ $B$ (क्षेत्रफल $A$,मापांक $Y$,लंबाई $L$) के लिए,स्प्रिंग नियतांक $k_B = \frac{YA}{L}$ है। छड़ $B$ के संपर्क में लगा समय स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के आवर्तकाल का आधा है: $t_B = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_B}} = \pi \sqrt{\frac{mL}{AY}}$.
$3$. छड़ $A$ (क्षेत्रफल $A/2$,मापांक $2Y$,लंबाई $L$) के लिए,स्प्रिंग नियतांक $k_A = \frac{(2Y)(A/2)}{L} = \frac{YA}{L}$ है। छड़ $A$ के संपर्क में लगा समय $t_A = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_A}} = \pi \sqrt{\frac{mL}{AY}}$ है।
$4$. कुल आवर्तकाल $T = t_{free} + t_A + t_B = \frac{2L}{v} + \pi \sqrt{\frac{mL}{AY}} + \pi \sqrt{\frac{mL}{AY}} = \frac{2L}{v} + 2\pi \sqrt{\frac{mL}{AY}}$.

(D) पिटवां लोहा व्यावसायिक लोहे का सबसे शुद्ध रूप है,जिसमें लगभग $99.5\%$ से $99.9\%$ लोहा होता है।
इसमें आमतौर पर लगभग $0.02\%$ से $0.08\%$ कार्बन होता है।
विकल्प $D$ कहता है कि इसमें $0.0001\%$ से कम कार्बन होता है,जो तथ्यात्मक रूप से गलत है क्योंकि कार्बन की मात्रा आमतौर पर इस मान से अधिक होती है।
इसलिए,विकल्प $D$ में दिया गया कथन गलत है।

(B) $(i)$ गैल्वेनोमीटर का सस्पेंशन फाइबर मरोड़ (twist) का अनुभव करता है,जिसमें अपरूपण प्रतिबल (shear stress) और विकृति शामिल होती है। अतः,$(i) - b$ है।
$(ii)$ बीम का झुकना रैखिक (यंग मापांक) प्रत्यास्थता से संबंधित है। अतः,$(ii) - a$ है।
$(iii)$ कागज का टुकड़ा काटना अपरूपण प्रतिबल के कारण सामग्री के विफल होने से संबंधित है। अतः,$(iii) - d$ है।
$(iv)$ तरल में यांत्रिक तरंगें (जैसे ध्वनि तरंगें) दबाव के कारण आयतन में परिवर्तन करती हैं,जो बल्क मापांक द्वारा नियंत्रित होता है। अतः,$(iv) - c$ है।
अतः,सही मिलान $(i)-b, (ii)-a, (iii)-d, (iv)-c$ है।

(A) केबल में अनुमत अधिकतम प्रतिबल $\sigma_{max} = 7 \times 10^7\,N/m^2$ है।
जब एलीवेटर $a = 1.5\,m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है,तो केबल में तनाव $T$ न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार है:
$T - mg = ma$
$T = m(g + a)$
यहाँ $m = 2000\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,और $a = 1.5\,m/s^2$ दिया गया है:
$T = 2000(10 + 1.5) = 2000 \times 11.5 = 23000\,N$.
प्रतिबल $\sigma$ को $\sigma = \frac{T}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए,$\sigma \leq \sigma_{max}$,इसलिए $A \geq \frac{T}{\sigma_{max}}$.
$A = \frac{23000}{7 \times 10^7} = \frac{2.3 \times 10^4}{7 \times 10^7} \approx 0.32857 \times 10^{-3}\,m^2$.
$A = 3.2857 \times 10^{-4}\,m^2$.
चूँकि $1\,m^2 = 10^4\,cm^2$,इसलिए:
$A = 3.2857 \times 10^{-4} \times 10^4\,cm^2 = 3.2857\,cm^2$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,न्यूनतम क्षेत्रफल $3.28\,cm^2$ है।

(C) दिया गया है: यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \, Nm^{-2}$,प्रतिबल $\sigma = 5 \times 10^7 \, Nm^{-2}$,आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V} = -0.02\% = -2 \times 10^{-4}$।
अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_L = \frac{\sigma}{Y} = \frac{5 \times 10^7}{2 \times 10^{11}} = 2.5 \times 10^{-4}$।
आयतन $V = \pi r^2 L$। लघुगणकीय अवकलन लेने पर,$\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$।
चूंकि $\frac{\Delta L}{L} = \epsilon_L = 2.5 \times 10^{-4}$,इसलिए $-2 \times 10^{-4} = 2\frac{\Delta r}{r} + 2.5 \times 10^{-4}$।
$2\frac{\Delta r}{r} = -2 \times 10^{-4} - 2.5 \times 10^{-4} = -4.5 \times 10^{-4}$।
$\frac{\Delta r}{r} = -2.25 \times 10^{-4}$।
नोट: भिन्नात्मक कमी परिमाण है,जो $2.25 \times 10^{-4}$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $0.25 \times 10^{-4}$ है।

(C) तार का ब्रेकिंग फोर्स (तोड़ने वाला बल) उसके ब्रेकिंग स्ट्रेस और उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल द्वारा निर्धारित होता है। ब्रेकिंग फोर्स का सूत्र $F = \text{Breaking Stress} \times \text{Area}$ है।
चूंकि ब्रेकिंग स्ट्रेस पदार्थ का एक गुण है और तार को दो बराबर भागों में काटने पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल नहीं बदलता है, इसलिए प्रत्येक भाग के लिए ब्रेकिंग फोर्स समान रहता है।
अतः, प्रत्येक भाग अभी भी $100\,kg$ वजन सहन कर सकता है।

(A) मान लीजिए कि स्टील के तार में तनाव $T_1$ है और पीतल के तार में तनाव $T_2$ है। $A_1 = 0.1\,cm^2$ और $A_2 = 0.2\,cm^2$ उनके संबंधित अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल हैं।
चूंकि प्रतिबल समान हैं,$\frac{T_1}{A_1} = \frac{T_2}{A_2}$.
मान रखने पर,$\frac{T_1}{0.1} = \frac{T_2}{0.2}$,जिससे $T_2 = 2T_1$ प्राप्त होता है।
छड़ के स्थानांतरण संतुलन के लिए,$T_1 + T_2 = W$,जहाँ $W$ लटकाया गया वजन है।
$T_2 = 2T_1$ रखने पर,$T_1 + 2T_1 = W$,इसलिए $T_1 = \frac{W}{3}$ और $T_2 = \frac{2W}{3}$.
मान लीजिए कि वजन $W$ की स्टील के तार से दूरी $x$ है। जिस बिंदु पर वजन लटकाया गया है,उसके परितः घूर्णी संतुलन के लिए,टॉर्क को संतुलित होना चाहिए: $T_1 x = T_2 (L - x)$,जहाँ $L = 200\,cm = 2\,m$.
मान रखने पर,$\frac{W}{3} x = \frac{2W}{3} (2 - x)$.
$\frac{W}{3}$ से विभाजित करने पर,$x = 2(2 - x) = 4 - 2x$.
इस प्रकार,$3x = 4$,जिससे $x = \frac{4}{3}\,m$ स्टील के तार से प्राप्त होता है।

(D) ब्रेकिंग फोर्स (तोड़ने वाला बल) ब्रेकिंग स्ट्रेस और तार के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है।
ब्रेकिंग फोर्स $F = \text{ब्रेकिंग स्ट्रेस} \times A = \text{ब्रेकिंग स्ट्रेस} \times \pi r^2$.
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए ब्रेकिंग स्ट्रेस स्थिर रहता है।
अतः,$F \propto r^2$ या $F \propto D^2$,जहाँ $D$ व्यास है।
दिया गया है $F_1 = 200\, N$ और $D_2 = 2D_1$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
$F_2 = 4 \times F_1 = 4 \times 200\, N = 800\, N$.

(B) किसी पदार्थ की संपीड्यता उसके अंतर-आणविक बलों और उसके अणुओं के बीच की दूरी पर निर्भर करती है।
ठोसों में,परमाणु या अणु मजबूत अंतर-आणविक बलों द्वारा एक साथ बंधे होते हैं और बहुत पास-पास होते हैं,जिससे वे सबसे कम संपीड्य होते हैं।
गैसों में,अंतर-आणविक बल नगण्य होते हैं और अणु एक-दूसरे से बहुत दूर होते हैं,जिससे उन्हें आसानी से संपीडित किया जा सकता है।
यद्यपि $Reason$ में ठोस और गैसों के आकार और आयतन के गुणों को सही ढंग से बताया गया है,लेकिन यह उनकी संपीड्यता के पीछे के भौतिक तंत्र (अंतर-आणविक बलों) की सीधी व्याख्या नहीं करता है। इसलिए,दोनों कथन सही हैं,लेकिन $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) माना भार का आयतन $V$ है और इसका सापेक्ष घनत्व $\rho$ है।
जब भार हवा में होता है,तो तार में तनाव $T_a = V \rho g$ होता है। विस्तार $l_a = \frac{T_a L}{AY} = \frac{V \rho g L}{AY} \quad ...(1)$ है।
जब भार को पानी में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल ऊपर की ओर कार्य करता है। प्रभावी भार (तनाव) $T_w = V \rho g - V \sigma g$ हो जाता है,जहाँ $\sigma$ पानी का घनत्व है। चूँकि $\rho$ सापेक्ष घनत्व है,$\sigma = 1$ लेने पर,$T_w = Vg(\rho - 1)$ प्राप्त होता है।
विस्तार $l_w = \frac{T_w L}{AY} = \frac{Vg(\rho - 1)L}{AY} \quad ...(2)$ है।
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{l_a}{l_w} = \frac{\rho}{\rho - 1}$
$l_a(\rho - 1) = l_w \rho$
$l_a \rho - l_a = l_w \rho$
$\rho(l_a - l_w) = l_a$
$\rho = \frac{l_a}{l_a - l_w}$

(D) तार में उत्पन्न तनाव $T$ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T = m \omega^{2} L$.
ब्रेकिंग स्ट्रेस को प्रति इकाई क्षेत्रफल अधिकतम बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{Breaking Stress} = \frac{T}{A}$.
तनाव का मान रखने पर: $\text{Breaking Stress} = \frac{m \omega^{2} L}{A}$.
दिया गया है: $m = 10 \; kg$,$L = 0.3 \; m$,$\text{Breaking Stress} = 4.8 \times 10^{7} \; N m^{-2}$,और $A = 10^{-2} \; cm^{2} = 10^{-2} \times 10^{-4} \; m^{2} = 10^{-6} \; m^{2}$.
$\omega^{2}$ के लिए हल करने पर: $\omega^{2} = \frac{(\text{Breaking Stress}) \times A}{m \times L}$.
$\omega^{2} = \frac{4.8 \times 10^{7} \times 10^{-6}}{10 \times 0.3} = \frac{48}{3} = 16$.
अतः,$\omega = \sqrt{16} = 4 \; rad \; s^{-1}$.

(A) असत्य। दिए गए प्रतिबल के लिए,रबर में उत्पन्न विकृति स्टील में उत्पन्न विकृति से बहुत अधिक होती है। चूंकि यंग मापांक $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ होता है,और स्थिर प्रतिबल के लिए $Y$ विकृति के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए रबर का यंग मापांक स्टील से कम होता है।
$(b)$ सत्य। कुंडली का खिंचाव कुंडली बनाने वाले तार के आकार में परिवर्तन को शामिल करता है,बिना उसकी लंबाई में महत्वपूर्ण परिवर्तन किए। यह विरूपण पदार्थ के अपरूपण मापांक द्वारा निर्धारित होता है।

(A) दिया गया है:
छड़ की लंबाई $L = 1.05 \; m$
स्टील के तार $A$ का क्षेत्रफल $(a_1)$ = $1.0 \times 10^{-6} \; m^2$
एल्युमिनियम के तार $B$ का क्षेत्रफल $(a_2)$ = $2.0 \times 10^{-6} \; m^2$
स्टील के लिए यंग मापांक $(Y_1)$ = $2 \times 10^{11} \; N/m^2$
एल्युमिनियम के लिए यंग मापांक $(Y_2)$ = $7.0 \times 10^{10} \; N/m^2$
$(a)$ समान प्रतिबल के लिए:
प्रतिबल = $\frac{F}{a}$. यदि प्रतिबल समान हैं,तो $\frac{F_1}{a_1} = \frac{F_2}{a_2} \implies \frac{F_1}{F_2} = \frac{a_1}{a_2} = 0.5$.
तार $A$ से $y$ दूरी पर निलंबन बिंदु पर टॉर्क लेने पर:
$F_1 y = F_2 (1.05 - y) \implies \frac{F_1}{F_2} = \frac{1.05 - y}{y} = 0.5$.
$1.05 - y = 0.5y \implies 1.5y = 1.05 \implies y = 0.7 \; m$.
$(b)$ समान विकृति के लिए:
विकृति = $\frac{\text{प्रतिबल}}{Y} = \frac{F}{aY}$. यदि विकृति समान हैं,तो $\frac{F_1}{a_1 Y_1} = \frac{F_2}{a_2 Y_2}$.
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{a_1 Y_1}{a_2 Y_2} = \left(\frac{1.0}{2.0}\right) \times \left(\frac{2 \times 10^{11}}{7 \times 10^{10}}\right) = \frac{10}{7}$.
तार $A$ से $y_1$ दूरी पर निलंबन बिंदु पर टॉर्क लेने पर:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1.05 - y_1}{y_1} = \frac{10}{7}$.
$7(1.05 - y_1) = 10y_1 \implies 7.35 - 7y_1 = 10y_1 \implies 17y_1 = 7.35 \implies y_1 \approx 0.432 \; m$.

(C) रिवेट का व्यास,$d = 6.0\; mm = 6.0 \times 10^{-3}\; m$.
रिवेट की त्रिज्या,$r = d/2 = 3.0 \times 10^{-3}\; m$.
अधिकतम कर्तन प्रतिबल,$\tau_{max} = 6.9 \times 10^{7}\; Pa$.
एक रिवेट के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = \pi r^{2} = \pi \times (3.0 \times 10^{-3})^{2} = 9\pi \times 10^{-6}\; m^{2}$.
एक रिवेट द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम बल,$F_{rivet} = \tau_{max} \times A = 6.9 \times 10^{7} \times 9\pi \times 10^{-6} \approx 1950.6\; N$.
चूंकि प्रत्येक रिवेट कुल भार $F$ का एक चौथाई हिस्सा वहन करता है,इसलिए कुल तनाव $F = 4 \times F_{rivet}$ होगा।
$F = 4 \times 1950.6 = 7802.4\; N$ ($\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करते हुए)।
सार्थक अंकों के अनुसार,अधिकतम तनाव लगभग $7.8 \times 10^{3}\; N$ है।

(A) दोनों जांघ की हड्डियों का कुल अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 2 \times 10 \; cm^{2} = 20 \times 10^{-4} \; m^{2} = 2 \times 10^{-3} \; m^{2}$ है।
जांघ की हड्डियों पर कार्य करने वाला बल शरीर के ऊपरी हिस्से का भार है,$F = mg = 40 \; kg \times 10 \; m s^{-2} = 400 \; N$.
जांघ की हड्डियों द्वारा अनुभव किया गया औसत दबाव $P_{av}$ सूत्र $P_{av} = \frac{F}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$P_{av} = \frac{400 \; N}{2 \times 10^{-3} \; m^{2}} = 200 \times 10^{3} \; N m^{-2} = 2 \times 10^{5} \; N m^{-2}$.

(A) $1$. अपरूपण मापांक (Shear Modulus,$\eta$): इसे अपरूपण प्रतिबल और अपरूपण विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। सूत्र: $\eta = \frac{F/A}{\Delta x/L}$. विमीय सूत्र: $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$. $SI$ मात्रक: $N/m^2$ (पास्कल,$Pa$).
$2$. आयतन मापांक (Bulk Modulus,$B$): इसे हाइड्रोलिक प्रतिबल और आयतन विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। सूत्र: $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$. ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दबाव बढ़ने पर आयतन घटता है। विमीय सूत्र: $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$. $SI$ मात्रक: $N/m^2$ (पास्कल,$Pa$).

(N/A) पृथ्वी पर पर्वत की अधिकतम ऊँचाई चट्टान के अपरूपण मापांक (shear modulus) पर निर्भर करती है।
पर्वत का आधार समान संपीड़न के अधीन नहीं होता है,और यह चट्टानों को कुछ अपरूपण प्रतिबल (shearing stress) प्रदान करता है,जिसके तहत वे प्रवाहित हो सकती हैं।
शीर्ष पर मौजूद सभी पदार्थों के कारण प्रतिबल उस क्रांतिक अपरूपण प्रतिबल से कम होना चाहिए जिस पर चट्टानें प्रवाहित होती हैं।
$h$ ऊँचाई के पर्वत के तल पर,पर्वत के भार के कारण प्रति इकाई क्षेत्रफल बल $h \rho g$ है,जहाँ $\rho$ पर्वत के पदार्थ का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
तल पर स्थित पदार्थ इस बल को ऊर्ध्वाधर दिशा में अनुभव करता है,और पर्वत के किनारे मुक्त होते हैं।
यह एक अपरूपण घटक बनाता है जो स्वयं लगभग $h \rho g$ होता है।
एक सामान्य चट्टान के लिए प्रत्यास्थता सीमा (elastic limit) $30 \times 10^{7} \ N \ m^{-2}$ है।
अतः,$h \rho g = \text{प्रत्यास्थता सीमा}$.
$h \rho g = 30 \times 10^{7}$.
$h = \frac{30 \times 10^{7}}{\rho g}$.
$\rho = 3 \times 10^{3} \ kg \ m^{-3}$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$ रखने पर:
$h = \frac{30 \times 10^{7}}{3 \times 10^{3} \times 10} = 10^{4} \ m = 10 \ km$.
यह मान माउंट एवरेस्ट की ऊँचाई $(8848 \ m)$ के अनुरूप है।

(N/A) बकलिंग एक ऐसी घटना है जिसमें एक संरचनात्मक सदस्य,जैसे कि एक छड़ या कॉलम,उच्च संपीड़ित भार (compressive load) के अधीन होने पर अचानक अपना आकार बदल लेता है (आमतौर पर मुड़ जाता है या झुक जाता है),भले ही सामग्री अपनी यील्ड स्ट्रेंथ (yield strength) तक न पहुँची हो।
बकलिंग को रोकने के लिए,छड़ को इस तरह से डिज़ाइन किया जाना चाहिए कि उसका जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) अधिक हो। यह न्यूट्रल एक्सिस से दूर क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र को बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है। इसलिए,समान द्रव्यमान की ठोस गोलाकार छड़ की तुलना में एक खोखली छड़ या $I$-आकार के क्रॉस-सेक्शन वाली छड़ बकलिंग को रोकने में अधिक प्रभावी होती है।

(D) प्रत्यास्थता गुणांक (जैसे यंग मापांक,आयतन मापांक या दृढ़ता मापांक) किसी पदार्थ का एक अभिलाक्षणिक गुण है।
यह निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. पदार्थ की प्रकृति: विभिन्न पदार्थों की परमाणु संरचना और अंतर-परमाणु बल अलग-अलग होते हैं,जिससे उनके प्रत्यास्थता गुणांक भिन्न होते हैं।
$2$. तापमान: तापमान बढ़ने के साथ प्रत्यास्थता गुणांक आमतौर पर घटता है क्योंकि तापीय हलचल अंतर-परमाणु बंधों को कमजोर कर देती है।
$3$. विरूपण का प्रकार: यह गुणांक लगाए गए प्रतिबल के प्रकार पर निर्भर करता है,जैसे तन्य प्रतिबल (यंग मापांक),संपीड़न प्रतिबल (आयतन मापांक) या अपरूपण प्रतिबल (दृढ़ता मापांक)।

(D) दिया गया है: $m = 50\,g = 0.05\,kg$,$L = 1\,cm = 0.01\,m$,$v = 10\,cm/s = 0.1\,m/s$,$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
अधिकतम संपीड़न पर,घनों की गतिज ऊर्जा प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
एक घन के लिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k$,$F = k \Delta L = Y A \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$k = \frac{YA}{L} = \frac{Y L^2}{L} = YL$.
कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE = 2 \times (\frac{1}{2} m v^2) = m v^2 = 0.05 \times (0.1)^2 = 5 \times 10^{-4}\,J$.
दो घनों के लिए अधिकतम संपीड़न $\Delta L_{max}$ पर कुल प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $PE = 2 \times (\frac{1}{2} k (\Delta L_{max})^2) = k (\Delta L_{max})^2$ है।
$KE = PE$ को बराबर करने पर: $m v^2 = (YL) (\Delta L_{max})^2$.
$\Delta L_{max} = \sqrt{\frac{m v^2}{YL}} = \sqrt{\frac{5 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{11} \times 0.01}} = \sqrt{2.5 \times 10^{-13}} \approx 5 \times 10^{-7}\,m$.

(D) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{A\ell} = \frac{mgL}{\pi R^2 \ell}$ है।
भिन्नात्मक त्रुटि $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान:
$m = 1 \, kg = 1000 \, g$,$\Delta m = 1 \, g$
$L = 1 \, m = 1000 \, mm$,$\Delta L = 1 \, mm$
$R = 0.2 \, cm$,$\Delta R = 0.001 \, cm$
$\ell = 0.5 \, cm$,$\Delta \ell = 0.001 \, cm$
इन मानों को त्रुटि सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = \left( \frac{1}{1000} + \frac{1}{1000} + 2 \times \frac{0.001}{0.2} + \frac{0.001}{0.5} \right) \times 100$
$= \left( 0.001 + 0.001 + 0.01 + 0.002 \right) \times 100$
$= 0.014 \times 100 = 1.4 \%$.

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ के निचले बिंदु पर,डोरी में तनाव $T$ गुरुत्वाकर्षण बल और अभिकेंद्री बल के योग के बराबर होता है:
$T = mg + \frac{mv^{2}}{R}$
दिया गया है: $m = 2 \, kg$,$v = 5 \, m/s$,$R = 0.5 \, m$,$g = 10 \, m/s^{2}$,$A = 4 \times 10^{-6} \, m^{2}$,$Y = 10^{11} \, N/m^{2}$.
$T = (2 \times 10) + \frac{2 \times (5)^{2}}{0.5} = 20 + \frac{50}{0.5} = 20 + 100 = 120 \, N$.
हुक के नियम के अनुसार,प्रतिबल (Stress) $= Y \times \text{विकृति (Strain)}$,इसलिए $\text{विकृति} = \frac{\text{प्रतिबल}}{Y} = \frac{T}{AY}$.
$\text{विकृति} = \frac{120}{(4 \times 10^{-6}) \times 10^{11}} = \frac{120}{4 \times 10^{5}} = 30 \times 10^{-5}$.
अतः,विकृति $30 \times 10^{-5}$ है।

(D) तार में उत्पन्न तनाव $T$ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T = \frac{mv^{2}}{\ell}$.
यहाँ $m = 10\; kg$ और $\ell = 0.5\; m$ दिया गया है,इसलिए $T = \frac{10 \times v^{2}}{0.5} = 20v^{2}$.
तार द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव ब्रेकिंग स्ट्रेस द्वारा निर्धारित होता है: $T_{\max} = \text{ब्रेकिंग स्ट्रेस} \times \text{क्षेत्रफल}$.
$T_{\max} = (5 \times 10^{8}\; N/m^{2}) \times (10^{-4}\; m^{2}) = 5 \times 10^{4}\; N$.
तनाव को अधिकतम ब्रेकिंग बल के बराबर रखने पर: $20v^{2} = 5 \times 10^{4}$.
$v^{2} = \frac{5 \times 10^{4}}{20} = 0.25 \times 10^{4} = 2500$.
$v = \sqrt{2500} = 50\; m/s$.

(A) प्रत्यास्थता गुणांक किसी पदार्थ की कठोरता को दर्शाता है।
जब किसी पदार्थ में अशुद्धियाँ मिलाई जाती हैं,तो वे उसकी आंतरिक संरचना और अंतर-परमाणु बंधन को बदल देती हैं।
यदि मिलाई गई अशुद्धियाँ मूल पदार्थ की तुलना में अधिक प्रत्यास्थ हैं,तो मिश्रण का कुल प्रत्यास्थता गुणांक बढ़ सकता है।
इसके विपरीत,यदि मिलाई गई अशुद्धियाँ कम प्रत्यास्थ हैं,तो कुल प्रत्यास्थता गुणांक कम हो जाएगा।
इसलिए,प्रत्यास्थता गुणांक पर अशुद्धियों का प्रभाव निश्चित नहीं होता है और यह मिलाई गई अशुद्धियों की प्रकृति पर निर्भर करता है।

(A) छड़ की लंबाई अपरिवर्तित रहती है। इसका अर्थ है कि ठंडा होने के कारण हुआ संकुचन,लटके हुए भार के कारण हुए विस्तार के बराबर है।
तापीय विकृति = भार के कारण उत्पन्न विकृति
$\alpha \Delta \theta = \frac{\Delta l}{l}$
चूंकि यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ है,इसलिए $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{YA}$ होता है।
इस मान को तापीय विकृति के समीकरण में रखने पर:
$\alpha \Delta \theta = \frac{F}{YA}$
$\Delta \theta = \frac{F}{YA \alpha}$
यहाँ $F = 5000 \, N$,$Y = 4 \times 10^{12} \, N/m^{2}$,$A = 10^{-4} \, m^{2}$,और $\alpha = 2.5 \times 10^{-6} \, K^{-1}$ दिए गए हैं:
$\Delta \theta = \frac{5000}{4 \times 10^{12} \times 10^{-4} \times 2.5 \times 10^{-6}}$
$\Delta \theta = \frac{5000}{1000} = 5^{\circ} C$
चूंकि $\Delta \theta = 20^{\circ} C - T = 5^{\circ} C$,इसलिए हमें $T = 15^{\circ} C$ प्राप्त होता है।

(A) तार का ब्रेकिंग फोर्स $F$ उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होता है।
चूंकि $A = \frac{\pi d^2}{4}$,जहाँ $d$ व्यास है,इसलिए $F \propto d^2$ होता है।
अतः,ब्रेकिंग फोर्स का अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई मान: $F_1 = 4 \times 10^5 \,N$,$d_1 = 2 \,mm$,$d_2 = 1.5 \,mm$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{4 \times 10^5}{F_2} = \frac{(2)^2}{(1.5)^2} = \frac{4}{2.25}$.
$F_2$ के लिए हल करने पर:
$F_2 = 4 \times 10^5 \times \frac{2.25}{4} = 2.25 \times 10^5 \,N$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $2.3 \times 10^5 \,N$ प्राप्त होता है।

(D) प्रतिबल (Stress) को $\sigma = \frac{F}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि तार श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए दोनों तारों से समान बल $F$ गुजरता है। व्यास समान होने के कारण,दोनों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ भी समान है। इसलिए,दोनों तारों में प्रतिबल समान होगा।
विकृति (Strain) को $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। यंग मापांक $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ होता है,जिसका अर्थ है $\text{Strain} = \frac{\sigma}{Y}$।
चूंकि प्रतिबल $\sigma$ दोनों तारों के लिए समान है लेकिन तांबे और स्टील के लिए यंग मापांक $Y$ अलग-अलग हैं,इसलिए प्रत्येक तार में उत्पन्न विकृति अलग-अलग होगी।