Young’s Modulus Questions in Hindi

(N/A) त्रिज्या $r$ के तने पर झुकने वाला टॉर्क $\tau = \frac{Y \pi r^4}{4R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ वक्रता त्रिज्या है।
जब तना मुड़ता है,तो उसके अपने वजन $W$ के कारण टॉर्क $\tau = Wd$ होता है,जहाँ $d$ आधार से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर धुरी से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का क्षैतिज विस्थापन है।
टॉर्क की तुलना करने पर: $Wd = \frac{Y \pi r^4}{4R}$.
मान लीजिए कि पेड़ की ऊंचाई $h$ है,तो इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र $h/2$ ऊंचाई पर है। मुड़े हुए पेड़ की ज्यामिति से,वक्रता के केंद्र द्वारा निर्मित त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें $R^2 = (R-d)^2 + (h/2)^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर: $R^2 = R^2 - 2Rd + d^2 + h^2/4$। चूंकि $d$ बहुत छोटा है,$d^2 \approx 0$,इसलिए $2Rd \approx h^2/4$,जो $d = h^2 / (8R)$ देता है।
मान लीजिए $\rho$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है। वजन $W = \text{Volume} \times \rho g = (\pi r^2 h) \rho g$ है।
$W$ और $d$ को टॉर्क समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\pi r^2 h \rho g) \times (h^2 / 8R) = (Y \pi r^4) / (4R)$।
समीकरण को सरल बनाने पर: $(\rho g h^3) / 8 = (Y r^2) / 4$।
$h$ के लिए हल करने पर: $h^3 = (2 Y r^2) / (\rho g)$,इसलिए महत्वपूर्ण ऊंचाई $h = \left( \frac{2 Y r^2}{\rho g} \right)^{1/3}$।

(A) जब किसी डोरी में तरंग का संचरण होता है,तो डोरी में खिंचाव या तनाव उत्पन्न होता है।
यह विरूपण डोरी की लंबाई में होने वाले परिवर्तन द्वारा अभिलक्षित होता है।
प्रत्यास्थ गुण जो प्रतिबल और लंबाई में परिवर्तन (अनुदैर्ध्य विकृति) के बीच संबंध स्थापित करता है,उसे यंग मापांक $(Y)$ कहते हैं।
अतः,डोरी में तरंग के संचरण के लिए यंग मापांक उत्तरदायी है।

(D) छड़ जैसे रैखिक ठोस माध्यम में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Y$ यंग मापांक (Young's modulus) है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
पूर्णतः दृढ़ छड़ के लिए,किसी भी आरोपित प्रतिबल के लिए लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$ शून्य होता है।
यंग मापांक की परिभाषा $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\Delta P}{(\Delta l / l)}$ के अनुसार,जैसे-जैसे $\Delta l \to 0$ होता है,$Y$ का मान $\infty$ की ओर अग्रसर होता है।
इस मान को वेग के सूत्र में रखने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{\infty}{\rho}} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,पूर्णतः दृढ़ छड़ में ध्वनि का वेग अनंत होता है।

(A) एक प्रत्यास्थ तार को एक स्प्रिंग के रूप में माना जा सकता है,जिसका बल नियतांक $k = \frac{YA}{L}$ होता है।
द्रव्यमान-स्प्रिंग निकाय के लिए दोलन की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
आवृत्ति के सूत्र में $k$ का मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA/L}{m}}$
अतः,आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ है।

(A) यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
प्रतिबल = $\frac{F}{A} = \frac{Mg}{A}$
विकृति = $\frac{\Delta L}{L} = \frac{L_{1}-L}{L}$
अतः,$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{Mg/A}{(L_{1}-L)/L} = \frac{MgL}{A(L_{1}-L)}$.

(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
तार $A$ के लिए: $Y = \frac{F L_A}{\pi r_A^2 \Delta L_A} \implies Y = \frac{2 \cdot a}{\pi r_A^2 \cdot 2 \times 10^{-3}} \quad ......(1)$
तार $B$ के लिए: $Y = \frac{F L_B}{\pi r_B^2 \Delta L_B}$. दिया गया है कि $r_B = 4 r_A$,इसलिए $Y = \frac{2 \cdot b}{\pi (4 r_A)^2 \cdot 4 \times 10^{-3}} = \frac{2 \cdot b}{16 \pi r_A^2 \cdot 4 \times 10^{-3}} \quad ......(2)$
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ के हैं,इसलिए $Y$ समान रहेगा। समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{a}{2 \pi r_A^2 \times 10^{-3}} = \frac{2 b}{64 \pi r_A^2 \times 10^{-3}}$
$\frac{a}{2} = \frac{b}{32} \implies \frac{a}{b} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32}$.
अतः,$x = 32$.

(A) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot \ell}{A \cdot \Delta \ell}$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
लंबाई में वृद्धि $\Delta \ell$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\Delta \ell = \frac{F \cdot \ell}{Y \cdot A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A = \pi r^2$ (जहाँ $r$ त्रिज्या है,जो व्यास $D$ की आधी है),इसलिए $\Delta \ell = \frac{F \cdot \ell}{Y \cdot \pi r^2} = \frac{4 F \cdot \ell}{Y \cdot \pi D^2}$ होता है।
इससे पता चलता है कि $\Delta \ell \propto \frac{\ell}{D^2}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $\ell_1$ और प्रारंभिक व्यास $D_1$ है। अंतिम लंबाई $\ell_2 = 2\ell_1$ और अंतिम व्यास $D_2 = 2D_1$ है।
अतः,$\frac{\Delta \ell_2}{\Delta \ell_1} = \left( \frac{\ell_2}{\ell_1} \right) \left( \frac{D_1}{D_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta \ell_2}{\Delta \ell_1} = (2) \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
यहाँ $\Delta \ell_1 = 0.04\, m$ दिया गया है,इसलिए $\Delta \ell_2 = \frac{0.04}{2} = 0.02\, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर,$\Delta \ell_2 = 2\, cm$ प्राप्त होता है।

(B) कुल द्रव्यमान $M = 50 \times 10^{3} \; \text{kg}$ को $4$ समान स्तंभों द्वारा सहारा दिया जाता है।
प्रत्येक स्तंभ पर बल $F = \frac{Mg}{4} = \frac{50 \times 10^{3} \times 9.8}{4} = 1.225 \times 10^{5} \; \text{N}$ है।
खोखले बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi(R^2 - r^2)$ है,जहाँ $R = 1.0 \; \text{m}$ और $r = 0.5 \; \text{m}$ है।
$A = \pi(1.0^2 - 0.5^2) = \pi(1 - 0.25) = 0.75\pi \; \text{m}^2$ है।
यंग मापांक $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ है।
अतः,संपीड़न विकृति $\frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY}$ है।
मान रखने पर: $\text{Strain} = \frac{1.225 \times 10^{5}}{0.75 \times \pi \times 2.0 \times 10^{11}}$।
$\text{Strain} = \frac{1.225 \times 10^{5}}{1.5 \times \pi \times 10^{11}} \approx 2.60 \times 10^{-7}$।

(A) जब किसी छड़ को गर्म करने के कारण फैलने से रोका जाता है,तो उसमें थर्मल स्ट्रेस (तापीय प्रतिबल) उत्पन्न होता है।
तापीय बल $F$ का सूत्र है: $F = Y A \alpha \Delta T$।
यहाँ,$Y = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$,$A = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-3} \, m^2$,$\alpha = 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$,और $\Delta T = 400^\circ C - 0^\circ C = 400^\circ C$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$F = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-3}) \times (10^{-5}) \times (400)$
$F = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 400$
$F = 2.0 \times 10^3 \times 400$
$F = 800 \times 10^3 \, N = 8 \times 10^5 \, N$।
इसे $x \times 10^5 \, N$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 8$ प्राप्त होता है।

(C) श्रेणी क्रम संयोजन में,कुल विस्तार $\Delta l$ व्यक्तिगत विस्तारों का योग होता है: $\Delta l = \Delta l_{1} + \Delta l_{2}$.
यंग मापांक की परिभाषा से,$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$,अतः $\Delta l = \frac{Fl}{AY}$.
चूंकि तार श्रेणी क्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों तारों के लिए बल $F$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान रहेगा।
$2l$ लंबाई और $Y$ यंग मापांक वाले समतुल्य तार के लिए,कुल विस्तार $\Delta l = \frac{F(2l)}{AY}$ होगा।
$\Delta l, \Delta l_{1}$ और $\Delta l_{2}$ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{F(2l)}{AY} = \frac{Fl}{AY_{1}} + \frac{Fl}{AY_{2}}$.
दोनों पक्षों को $Fl/A$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{Y} = \frac{1}{Y_{1}} + \frac{1}{Y_{2}}$.
$\frac{2}{Y} = \frac{Y_{1} + Y_{2}}{Y_{1} Y_{2}}$.
अतः,$Y = \frac{2 Y_{1} Y_{2}}{Y_{1} + Y_{2}}$.

(D) अपने स्वयं के भार के अंतर्गत लटके हुए तार का विस्तार $\Delta \ell = \frac{MgL}{2AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि तार और उसके आयाम समान रहते हैं,इसलिए $\Delta \ell \propto g$ होगा।
अतः,$\frac{\Delta \ell_{\text{earth}}}{\Delta \ell_{\text{planet}}} = \frac{g_{\text{earth}}}{g_{\text{planet}}}$.
दिया गया है कि $\Delta \ell_{\text{earth}} = 10^{-4} \; m$,$\Delta \ell_{\text{planet}} = 6 \times 10^{-5} \; m$,और $g_{\text{earth}} = 10 \; m/s^2$.
मान रखने पर: $\frac{10^{-4}}{6 \times 10^{-5}} = \frac{10}{g_{\text{planet}}}$.
$\frac{10}{6} = \frac{10}{g_{\text{planet}}}$.
इस प्रकार,$g_{\text{planet}} = 6 \; m/s^2$.

(C) हुक के नियम के अनुसार,लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ लगाए गए बल $F$ के समानुपाती होती है,अर्थात $F = k \Delta L$,जहाँ $k$ तार का बल नियतांक है।
पहले मामले के लिए,$F_{1} = m_{1}g = 1 \cdot g = 10 \, N$ ($g = 10 \, m/s^2$ लेते हुए),और लंबाई में वृद्धि $\Delta L_{1} = L_{1} - L$ है।
अतः,$10 = k(L_{1} - L)$ --- $(1)$
दूसरे मामले के लिए,$F_{2} = m_{2}g = 2 \cdot g = 20 \, N$,और लंबाई में वृद्धि $\Delta L_{2} = L_{2} - L$ है।
अतः,$20 = k(L_{2} - L)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10}{20} = \frac{k(L_{1} - L)}{k(L_{2} - L)}$
$\frac{1}{2} = \frac{L_{1} - L}{L_{2} - L}$
$L_{2} - L = 2(L_{1} - L)$
$L_{2} - L = 2L_{1} - 2L$
$L = 2L_{1} - L_{2}$

(D) तार की लंबाई में परिवर्तन $\Delta \ell$ का सूत्र $\Delta \ell = \frac{F L}{A Y}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
पहले तार के लिए: $\Delta \ell_1 = \frac{F L}{\pi r^2 Y} = 5\,cm$.
दूसरे तार के लिए: $L_2 = 4L$,$r_2 = 4r$,और $F_2 = 4F$.
नया क्षेत्रफल $A_2 = \pi (4r)^2 = 16 \pi r^2$ होगा।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta \ell_2 = \frac{F_2 L_2}{A_2 Y} = \frac{(4F)(4L)}{(16 \pi r^2) Y} = \frac{16 F L}{16 \pi r^2 Y} = \frac{F L}{\pi r^2 Y}$.
चूँकि $\frac{F L}{\pi r^2 Y} = 5\,cm$,इसलिए दूसरे तार की लंबाई में वृद्धि $5\,cm$ है।

(A) पदार्थ का ब्रेकिंग स्ट्रेस (भंजक प्रतिबल) स्थिर रहता है,क्योंकि यह पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
ब्रेकिंग स्ट्रेस = $\frac{\text{अधिकतम भार}}{\text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल}}$.
माना $A_1 = 2.5 \times 10^{-4} \, m^2$ भार $L_1 = 10$ मीट्रिक टन के लिए प्रारंभिक क्षेत्रफल है।
माना $A_2$ भार $L_2 = 25$ मीट्रिक टन के लिए आवश्यक क्षेत्रफल है।
चूँकि ब्रेकिंग स्ट्रेस स्थिर है: $\frac{L_1}{A_1} = \frac{L_2}{A_2}$.
मान रखने पर: $\frac{10}{2.5 \times 10^{-4}} = \frac{25}{A_2}$.
$A_2 = \frac{25 \times 2.5 \times 10^{-4}}{10}$.
$A_2 = 6.25 \times 10^{-4} \, m^2$.

(B) अपने स्वयं के वजन के कारण $\ell$ लंबाई,$m$ द्रव्यमान और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली छड़ में विस्तार $\Delta \ell$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta \ell = \frac{mg\ell}{2AY}$
दी गई मान:
$m = 20\,kg$
$A = 0.4\,m^{2}$
$\ell = 20\,m$
$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^{2}$
$g = 10\,m/s^{2}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta \ell = \frac{20 \times 10 \times 20}{2 \times 0.4 \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta \ell = \frac{4000}{1.6 \times 10^{11}}$
$\Delta \ell = 2500 \times 10^{-11}\,m$
$\Delta \ell = 25 \times 10^{-9}\,m$
इसकी तुलना $x \times 10^{-9}\,m$ से करने पर,हमें $x = 25$ प्राप्त होता है।

(C) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{A\Delta L} = \frac{mgL}{(\pi d^2/4)\Delta L} = \frac{4mgL}{\pi d^2 \Delta L}$ है।
दिया गया है: $L = 1\;m$,$m = 1\;kg$,$g = 10\;m/s^2$,$\Delta L = 0.4 \times 10^{-3}\;m$,$d = 0.4 \times 10^{-3}\;m$.
$Y = \frac{4 \times 1 \times 10 \times 1}{\pi \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times 0.4 \times 10^{-3}} = \frac{40}{\pi \times 0.064 \times 10^{-9}} \approx 1.99 \times 10^{11}\;N/m^2$.
$Y$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए $\Delta m = 0$ और $\Delta L = 0$ (क्योंकि लंबाई सटीक है),$\frac{\Delta Y}{Y} = 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L} = 2 \times \frac{0.01}{0.4} + \frac{0.02}{0.4} = 0.05 + 0.05 = 0.1$.
$\Delta Y = 0.1 \times Y = 0.1 \times 1.99 \times 10^{11} = 1.99 \times 10^{10}\;N/m^2$.
$x \times 10^{10}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x \approx 2$ प्राप्त होता है।

(D) कुल लंबाई में वृद्धि $\Delta \ell$ स्टील के तार $(\Delta \ell_{S})$ और तांबे के तार $(\Delta \ell_{C})$ की व्यक्तिगत लंबाई में वृद्धि का योग है:
$\Delta \ell = \Delta \ell_{S} + \Delta \ell_{C}$
लंबाई में वृद्धि के सूत्र $\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta \ell = \frac{F \ell_{S}}{A Y_{S}} + \frac{F \ell_{C}}{A Y_{C}} = \frac{F}{A} \left( \frac{\ell_{S}}{Y_{S}} + \frac{\ell_{C}}{Y_{C}} \right)$
यहाँ $r = 1.4 \, mm = 1.4 \times 10^{-3} \, m$ है,इसलिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times (1.4 \times 10^{-3})^{2} = 6.16 \times 10^{-6} \, m^{2}$.
मान रखने पर:
$1.4 \times 10^{-3} = \frac{F}{6.16 \times 10^{-6}} \left( \frac{3.2}{2.0 \times 10^{11}} + \frac{4.4}{1.1 \times 10^{11}} \right)$
$1.4 \times 10^{-3} = \frac{F}{6.16 \times 10^{-6}} \left( 1.6 \times 10^{-11} + 4.0 \times 10^{-11} \right)$
$1.4 \times 10^{-3} = \frac{F}{6.16 \times 10^{-6}} \times 5.6 \times 10^{-11}$
$F = \frac{1.4 \times 10^{-3} \times 6.16 \times 10^{-6}}{5.6 \times 10^{-11}} = 154 \, N$.

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें विस्तार और भार का अनुपात $\frac{\Delta l}{F} = \frac{L}{YA}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,ग्राफ में $y$-अक्ष पर $\frac{\Delta l}{F}$ और $x$-अक्ष पर $L$ को आलेखित किया गया है।
इस ग्राफ का ढाल $m = \frac{\Delta l/F}{L} = \frac{1}{YA}$ है।
ग्राफ से,हम ढाल $m = \frac{0.25 \times 10^{-5}}{1} = 0.25 \times 10^{-5}\,m/N$ की गणना कर सकते हैं।
दिया गया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2\,mm^2 = 2 \times 10^{-6}\,m^2$ है।
इन मानों को ढाल के समीकरण में रखने पर: $0.25 \times 10^{-5} = \frac{1}{Y \times 2 \times 10^{-6}}$.
$Y = \frac{1}{0.25 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.5 \times 10^{-11}} = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
इसकी तुलना $x \times 10^{11}\,N/m^2$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(C) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ है,जहाँ $F$ बल है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta l$ लंबाई में परिवर्तन है और $l$ मूल लंबाई है।
बल के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $F = Y A \frac{\Delta l}{l}$.
दिया गया है: $A = 1 \ cm^{2} = 10^{-4} \ m^{2}$,$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^{2}$,और लंबाई को दोगुना किया जाता है,इसलिए $\Delta l = 2l - l = l$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $F = (2 \times 10^{11} \ N/m^{2}) \times (10^{-4} \ m^{2}) \times (l/l)$.
$F = 2 \times 10^{7} \ N$.

(B) डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{10 \times 10^{-3} \; kg}{0.5 \; m} = 0.02 \; kg/m$.
दिया गया है $v = 60 \; ms^{-1}$,इसलिए $60 = \sqrt{\frac{T}{0.02}}$,जिसका अर्थ है $T = 3600 \times 0.02 = 72 \; N$.
लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ हुक के नियम द्वारा दी जाती है: $\Delta L = \frac{TL}{AY}$.
मान रखने पर: $A = 2.0 \; mm^2 = 2.0 \times 10^{-6} \; m^2$,$L = 0.5 \; m$,$Y = 1.2 \times 10^{11} \; Nm^{-2}$.
$\Delta L = \frac{72 \times 0.5}{2.0 \times 10^{-6} \times 1.2 \times 10^{11}} = \frac{36}{2.4 \times 10^5} = 15 \times 10^{-5} \; m$.
इसे $x \times 10^{-5} \; m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 15$ प्राप्त होता है।

(A) यंग मापांक $(Y)$ तार के पदार्थ का एक अभिलक्षणिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है।
यह तार के आयामों जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या त्रिज्या $(r)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,तार की लंबाई या त्रिज्या बदलने से पदार्थ के यंग मापांक पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।
अतः,यंग मापांक समान रहेगा।

(C) दिया गया है:
प्रारंभिक लंबाई $L = 100 \, m$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 25^{\circ} C$
अंतिम तापमान $T_2 = 40^{\circ} C$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 40 - 25 = 15^{\circ} C$
रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} /^{\circ} C$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \, Pa$
चूंकि ट्रैक को फैलने से रोका गया है,इसलिए सामग्री में तापीय प्रतिबल उत्पन्न होता है।
तापीय प्रतिबल $\sigma$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\sigma = Y \cdot \alpha \cdot \Delta T$
मान रखने पर:
$\sigma = (2 \times 10^{11} \, Pa) \times (1.1 \times 10^{-5} /^{\circ} C) \times (15^{\circ} C)$
$\sigma = 2 \times 1.1 \times 15 \times 10^{11-5} \, Pa$
$\sigma = 33 \times 10^6 \, Pa$
$\sigma = 3.3 \times 10^7 \, Pa$
अतः,ट्रैक पर प्रतिबल $3.3 \times 10^7 \, Pa$ है।

(C) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$Y = \frac{F \times L}{A \times \Delta L}$
दी गई मान:
द्रव्यमान $(m)$ = $2 \,kg$,इसलिए बल $(F)$ = $mg = 2 \times 9.8 = 19.6 \,N$ (यदि $g = 10 \,m/s^2$ का उपयोग किया जाए तो $20 \,N$)।
लंबाई $(L)$ = $3 \,m$.
व्यास $(d)$ = $1 \,mm = 10^{-3} \,m$,इसलिए त्रिज्या $(r)$ = $0.5 \times 10^{-3} \,m$.
विस्तार $(\Delta L)$ = $1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ = $\pi r^2 = \pi \times (0.5 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 0.25 \times 10^{-6} \,m^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Y = \frac{20 \times 3}{(\pi \times 0.25 \times 10^{-6}) \times 10^{-3}}$
$Y = \frac{60}{\pi \times 0.25 \times 10^{-9}}$
गणना करने पर,$Y \approx 7.48 \times 10^{10} \,Nm^{-2}$ प्राप्त होता है।

(C) यंग मापांक $(Y)$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है जो उसकी कठोरता को दर्शाता है।
इसे प्रत्यास्थ सीमा के भीतर अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यद्यपि यह एक निश्चित तापमान पर किसी दिए गए पदार्थ के लिए स्थिर होता है,लेकिन यह तापमान के साथ बदलता है।
जैसे-जैसे पदार्थ का तापमान बढ़ता है,अंतर-परमाणु बंधन कमजोर हो जाते हैं,जिससे आमतौर पर यंग मापांक कम हो जाता है।
इसलिए,यंग मापांक पदार्थ के तापमान पर निर्भर करता है।

(D) एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए शर्त यह है कि किसी भी बल के लिए उसमें कोई विस्तार $(\Delta L = 0)$ नहीं होना चाहिए।
यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$
जहाँ:
$F$ लगाया गया बल है,
$L$ मूल लंबाई है,
$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,
$\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है।
सूत्र में $\Delta L = 0$ रखने पर:
$Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot 0} = \infty$
अतः,एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए यंग मापांक अनंत होता है।

(C) तार के विस्तार का सूत्र $\Delta x = \frac{F L}{A Y}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
पदार्थ और व्यास समान होने के कारण,$A$ और $Y$ स्थिर रहते हैं। अतः,$F \propto \frac{\Delta x}{L}$ या $F = \frac{A Y}{L} \Delta x$.
पहले तार के लिए: $L_1 = 1 \,m$,$\Delta x_1 = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$,$F_1 = 200 \,N$.
दूसरे तार के लिए: $L_2 = 10 \,m$,$\Delta x_2 = 1002 \,cm - 1000 \,cm = 2 \,cm = 0.02 \,m$,$F_2 = ?$.
अनुपात लेने पर: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{\Delta x_2 / L_2}{\Delta x_1 / L_1} = \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} \times \frac{L_1}{L_2}$.
मान रखने पर: $\frac{F_2}{200} = \frac{0.02}{10^{-3}} \times \frac{1}{10} = 20 \times 0.1 = 2$.
अतः,$F_2 = 200 \times 2 = 400 \,N$.

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है।
लंबाई में प्रतिशत वृद्धि के लिए: $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{F}{A Y} \times 100$.
दिया है: व्यास $d = 2.5 \,mm = 0.25 \,cm$. त्रिज्या $r = 0.125 \,cm$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.125)^2 \approx 0.049 \,cm^2$.
बल $F = 100 \,kg \text{ wt} = 100 \times 980 \times 980 \,dyne \approx 9.8 \times 10^7 \,dyne$ ($g \approx 980 \,cm/s^2$ का उपयोग करते हुए).
$Y = 12.5 \times 10^{11} \,dyne/cm^2$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{9.8 \times 10^7}{0.049 \times 12.5 \times 10^{11}} \times 100$.
$\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{9.8 \times 10^9}{0.6125 \times 10^{11}} = \frac{9.8}{61.25} \approx 0.16 \%$.

(B) विस्तार $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि दोनों तारों के लिए $F$,$L$ और $A$ समान हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{1}{Y}$ होगा।
मान लीजिए स्टील के तार में विस्तार $\Delta L_s$ है और तांबे के तार में विस्तार $\Delta L_c$ है।
दिया गया है कि $\Delta L_s + \Delta L_c = 2 \,cm$.
समानुपातिकता से,$\frac{\Delta L_s}{\Delta L_c} = \frac{Y_c}{Y_s} = \frac{12 \times 10^{11}}{20 \times 10^{11}} = \frac{12}{20} = 0.6$.
अतः,$\Delta L_s = 0.6 \Delta L_c$.
इसे कुल विस्तार के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $0.6 \Delta L_c + \Delta L_c = 2 \,cm$.
$1.6 \Delta L_c = 2 \,cm \implies \Delta L_c = \frac{2}{1.6} = 1.25 \,cm$.
तब,$\Delta L_s = 2 - 1.25 = 0.75 \,cm$.
इसलिए,स्टील के तार में विस्तार $0.75 \,cm$ और तांबे के तार में $1.25 \,cm$ है।

(B) दिया गया है:
त्रिज्या $r = 10 \,mm = 10^{-2} \,m$
लंबाई $L = 1.0 \,m$
विकृति $\frac{\Delta L}{L} = 0.32 \% = 0.32 \times 10^{-2} = 3.2 \times 10^{-3}$
यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \,N/m^2$
सूत्र:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
$F = Y \times A \times \left(\frac{\Delta L}{L}\right)$
गणना:
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (10^{-2})^2 = 3.14 \times 10^{-4} \,m^2$
$F = (2.0 \times 10^{11}) \times (3.14 \times 10^{-4}) \times (3.2 \times 10^{-3})$
$F = 2.0 \times 3.14 \times 3.2 \times 10^{11-4-3}$
$F = 20.096 \times 10^4 \,N$
$F = 200960 \,N = 200.96 \,kN \approx 201 \,kN$
अतः,बल का परिमाण $201 \,kN$ है।

(B) दिया गया है:
आनुपातिक सीमा (प्रतिबल) $\sigma = 8 \times 10^8 \, N/m^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$
प्रारंभिक लंबाई $L = 1 \, m$
प्रत्यास्थ सीमा के भीतर हुक के नियम के अनुसार:
$\text{प्रतिबल} = Y \times \text{विकृति}$
$\text{प्रतिबल} = Y \times \frac{\Delta L}{L}$
अधिकतम खिंचाव $\Delta L$ ज्ञात करने के लिए:
$\Delta L = \frac{\text{प्रतिबल} \times L}{Y}$
मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{8 \times 10^8 \times 1}{2 \times 10^{11}}$
$\Delta L = 4 \times 10^{-3} \, m$
मिलीमीटर में बदलने पर $(1 \, m = 1000 \, mm)$:
$\Delta L = 4 \times 10^{-3} \times 10^3 \, mm = 4 \, mm$
अतः,अधिकतम खिंचाव $4 \, mm$ है।

(B) छड़ के निचले सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव का भार $dW = \left( \frac{W}{L} \right) dx$ है।
यह अवयव अपने नीचे के भाग के भार द्वारा खिंचाव महसूस करता है,जो $W(x) = \left( \frac{W}{L} \right) x$ है।
इस छोटे अवयव में उत्पन्न विस्तार $d(\Delta L) = \frac{F dx}{A Y} = \frac{(W/L) x dx}{A Y}$ द्वारा दिया जाता है।
कुल विस्तार $\Delta L$ ज्ञात करने के लिए $x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{W x}{A Y L} dx = \frac{W}{A Y L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{W L^2}{2 A Y L} = \frac{W L}{2 A Y}$.
अतः,छड़ में उसके अपने भार के कारण उत्पन्न विस्तार $\frac{W L}{2 A Y}$ है।

(C) $L$ लंबाई,$A$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और $Y$ यंग मापांक वाले तार में $T$ तनाव के तहत विस्तार $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{TL}{AY}$ है।
स्थिति $A$ में,तार एक सिरे पर $W$ भार के साथ लटका हुआ है। तार में तनाव $T_A = W$ है।
स्थिति $B$ में,तार एक घिरनी (pulley) के ऊपर से गुजरता है और दोनों तरफ $W$ भार लटका हुआ है। तार में तनाव $T_B = W$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में तनाव $T$ समान है $(T_A = T_B = W)$ और तार के पैरामीटर $(L, A, Y)$ समान हैं,इसलिए दोनों स्थितियों में विस्तार समान होगा।
अतः,स्थिति $B$ में भी विस्तार $l$ होगा।

(A) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $F$ भार है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\Delta L$ विस्तार है।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के आयाम ($L$ और $A$) समान हैं,इसलिए स्थिर भार $F$ के लिए $Y \propto \frac{1}{\Delta L}$ होगा।
ग्राफ से,समान भार $F$ के लिए,तार $A$ का विस्तार $\Delta L_A$,तार $B$ के विस्तार $\Delta L_B$ से कम है (अर्थात $\Delta L_A < \Delta L_B$)।
चूंकि $Y \propto \frac{1}{\Delta L}$,कम विस्तार बड़े यंग मापांक के अनुरूप होता है।
इसलिए,$Y_A > Y_B$,जिसका अर्थ है कि यंग मापांक $B$ की तुलना में $A$ के लिए अधिक है।

(A) तार की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ को सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $Y$ स्थिर है। यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए $\Delta L$ भी समान है,इसलिए $F \propto \frac{A}{L}$ होगा।
चूंकि $A = \pi r^2$,हम लिख सकते हैं कि $F \propto \frac{r^2}{L}$।
अतः,बलों का अनुपात $\frac{F_A}{F_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 \times \left(\frac{L_B}{L_A}\right)$ होगा।
यहाँ $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ और $\frac{L_A}{L_B} = \frac{4}{1}$ दिया गया है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{F_A}{F_B} = (2)^2 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 4 \times \frac{1}{4} = 1$।
इस प्रकार,अनुपात $1:1$ है।

(A) मान लीजिए तार की प्राकृतिक लंबाई $L$ है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए,विस्तार $\Delta l = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $Y$ यंग मापांक है।
जब केवल $M_1$ द्रव्यमान लटकाया जाता है,तो कुल लंबाई $l_1$ होती है,इसलिए विस्तार $(l_1 - L)$ है।
अतः,$(l_1 - L) = \frac{M_1 g L}{AY} \quad \dots(1)$
जब $M_1$ और $M_2$ दोनों द्रव्यमान लटकाए जाते हैं,तो कुल लंबाई $l_2$ होती है,इसलिए विस्तार $(l_2 - L)$ है।
अतः,$(l_2 - L) = \frac{(M_1 + M_2) g L}{AY} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{l_1 - L}{l_2 - L} = \frac{M_1}{M_1 + M_2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$(l_1 - L)(M_1 + M_2) = M_1(l_2 - L)$
$l_1 M_1 + l_1 M_2 - L M_1 - L M_2 = M_1 l_2 - L M_1$
$l_1 M_1 + l_1 M_2 - L M_2 = M_1 l_2$
$L M_2 = l_1 M_1 + l_1 M_2 - M_1 l_2$
$L M_2 = M_1(l_1 - l_2) + l_1 M_2$
$M_2$ से विभाजित करने पर:
$L = \frac{M_1}{M_2}(l_1 - l_2) + l_1$

(C) जब एक छड़ को गर्म किया जाता है,तो वह $\Delta L = L \alpha \Delta T$ की मात्रा से फैलने की कोशिश करती है,जहाँ $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि छड़ दो कठोर दीवारों के बीच जकड़ी हुई है,इसलिए यह फैल नहीं सकती। यह बाधा छड़ में संपीड़ित प्रतिबल और संबंधित बल $F$ उत्पन्न करती है।
तापीय प्रतिबल $\sigma = Y \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
$\Delta L = L \alpha \Delta T$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sigma = Y \alpha \Delta T$ प्राप्त होता है।
बल $F = \sigma A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$F = (Y \alpha \Delta T) (\pi r^2)$।
चूंकि दिए गए पदार्थ और तापमान परिवर्तन के लिए $Y$,$\alpha$,$\Delta T$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए बल $F$,$r^2$ के समानुपाती होता है।

(A) यदि तार मुक्त होता तो होने वाला तापीय प्रसार $\Delta L = L \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L = 2 \,m$,$\alpha = 10^{-6} /^{\circ}C$,और $\Delta T = 80^{\circ}C - 0^{\circ}C = 80^{\circ}C$ है।
अतः,$\Delta L = 2 \times 10^{-6} \times 80 = 1.6 \times 10^{-4} \,m$ है।
इस प्रसार को रोकने के लिए,एक संपीड़न बल $F$ इस प्रकार लगाया जाना चाहिए कि संपीड़न तापीय प्रसार के बराबर हो।
यंग मापांक के सूत्र से,$Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,जिससे $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$ और $Y = 10^{10} \,N/m^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $F = \frac{10^{10} \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-4}}{2}$.
$F = \frac{1.6 \times 10^2}{2} = 0.8 \times 100 = 80 \,N$.

(C) संयुक्त छड़ का कुल विस्तार प्रत्येक छड़ के व्यक्तिगत विस्तार का योग है।
मान लीजिए कि तीन छड़ों के लिए विस्तार क्रमशः $x_1, x_2$ और $x_3$ हैं।
विस्तार का सूत्र $\Delta l = \frac{Fl}{AY}$ है।
पहली छड़ के लिए: $x_1 = \frac{Fl}{AY}$।
दूसरी छड़ के लिए: $x_2 = \frac{F(2l)}{(2A)Y} = \frac{Fl}{AY}$।
तीसरी छड़ के लिए: $x_3 = \frac{F(3l)}{(3A)Y} = \frac{Fl}{AY}$।
कुल विस्तार $x = x_1 + x_2 + x_3 = \frac{Fl}{AY} + \frac{Fl}{AY} + \frac{Fl}{AY} = \frac{3Fl}{AY}$।

(B) लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{F L}{A Y}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
तार $A$ के लिए:
$\Delta L_A = \frac{F \cdot L_A}{\pi r_A^2 \cdot Y_A} \dots (1)$
तार $B$ के लिए:
$\Delta L_B = \frac{F \cdot L_B}{\pi r_B^2 \cdot Y_B} \dots (2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{F \cdot L_A}{\pi r_A^2 \cdot Y_A} \times \frac{\pi r_B^2 \cdot Y_B}{F \cdot L_B} = \left(\frac{L_A}{L_B}\right) \times \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 \times \left(\frac{Y_B}{Y_A}\right)$
दिए गए अनुपातों का मान रखने पर:
$\frac{L_A}{L_B} = 4$,$\frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{3}$,और $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{2}{1}$.
$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = 4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times 2 = 4 \times \frac{1}{9} \times 2 = \frac{8}{9}$.

(D) कुल लंबाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए,हम छड़ के प्रत्येक भाग में आंतरिक बल का विश्लेषण करते हैं।
$1$. प्रथम भाग ($I^{st}$ part) के लिए ($l$ लंबाई का बायां खंड): बाएं सिरे पर कार्य करने वाला बल $3F$ (बाईं ओर) है। संतुलन बनाए रखने के लिए,इस खंड में आंतरिक तनाव बल $3F$ होना चाहिए। अतः,लंबाई में वृद्धि $\Delta x_1 = \frac{(3F)l}{AE} = \frac{3Fl}{AE}$ है।
$2$. द्वितीय भाग ($II^{nd}$ part) के लिए ($l$ लंबाई का दायां खंड): दाएं सिरे पर कार्य करने वाला बल $F$ (दाईं ओर) है। इस खंड में आंतरिक तनाव बल $F$ है। अतः,लंबाई में वृद्धि $\Delta x_2 = \frac{Fl}{AE}$ है।
$3$. कुल लंबाई में वृद्धि: चूंकि दोनों भाग खिंच रहे हैं,इसलिए कुल लंबाई में वृद्धि $\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 = \frac{3Fl}{AE} + \frac{Fl}{AE} = \frac{4Fl}{AE}$ होगी।

(A) मान लीजिए कि मध्य बिंदु पर अवनमन $x$ है। तार के प्रत्येक आधे भाग की मूल लंबाई $l$ है। प्रत्येक आधे भाग की नई लंबाई $\sqrt{l^2 + x^2}$ है।
तार की लंबाई में वृद्धि $\Delta L = 2(\sqrt{l^2 + x^2} - l) = 2l(\sqrt{1 + (x/l)^2} - 1)$ है।
छोटे $x/l$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + \epsilon)^n \approx 1 + n\epsilon$ का उपयोग करने पर,हमें $\Delta L \approx 2l(1 + \frac{1}{2} \frac{x^2}{l^2} - 1) = \frac{x^2}{l}$ प्राप्त होता है।
विकृति (strain) $\frac{\Delta L}{2l} = \frac{x^2/l}{2l} = \frac{x^2}{2l^2}$ है।
मध्य बिंदु पर बल संतुलन से,$2T \sin \theta = mg$,जहाँ $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{l^2 + x^2}} \approx \frac{x}{l}$ है।
अतः,$2T(x/l) = mg \implies T = \frac{mgl}{2x}$।
प्रतिबल (stress) $\frac{T}{A} = \frac{mgl}{2Ax}$ है।
यंग मापांक $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{mgl/2Ax}{x^2/2l^2} = \frac{mgl^3}{Ax^3}$ का उपयोग करने पर।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x^3 = \frac{mgl^3}{YA} \implies x = l \left( \frac{mg}{YA} \right)^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि प्रत्येक तार में तनाव $T$ समान है।
छड़ के फ्री बॉडी डायग्राम से,कुल ऊपर की ओर बल $3T$ है और नीचे की ओर बल $mg = 15 \times 10 = 150 \, N$ है।
अतः,$3T = 150 \, N \Rightarrow T = 50 \, N$।
चूंकि छड़ को सममित रूप से सहारा दिया गया है,इसलिए प्रत्येक तार में लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ समान होगी।
हम जानते हैं कि लंबाई में वृद्धि $\Delta L = \frac{FL}{AY}$,जहाँ $F$ तनाव है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि सभी तारों के लिए $F$,$L$ और $\Delta L$ समान हैं,इसलिए हमारे पास $A_C Y_C = A_S Y_S$ है,जहाँ $C$ तांबे के लिए और $S$ स्टील के लिए है।
इसलिए,$\frac{A_C}{A_S} = \frac{Y_S}{Y_C}$।
$A = \frac{\pi d^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d_C^2}{d_S^2} = \frac{Y_S}{Y_C}$ प्राप्त होता है।
$\frac{d_C}{d_S} = \sqrt{\frac{Y_S}{Y_C}} = \sqrt{\frac{190 \times 10^9}{110 \times 10^9}} = \sqrt{\frac{19}{11}}$।

(A) अपने स्वयं के भार के अंतर्गत छड़ के विस्तार के लिए, निचले सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें।
इस अवयव के नीचे के भाग का भार $W = (\text{भाग का द्रव्यमान}) \times g = (\rho \cdot A \cdot x) \cdot g$ है, जहाँ $\rho$ घनत्व है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस बिंदु पर प्रतिबल $\sigma = \frac{W}{A} = \rho g x$ है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए, विकृति $\epsilon = \frac{\sigma}{Y} = \frac{\rho g x}{Y}$ है, जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
$dx$ अवयव के लिए विस्तार $dy = \epsilon dx = \frac{\rho g x}{Y} dx$ है।
निचले सिरे से $x$ दूरी पर कुल विस्तार $y$ ज्ञात करने के लिए, हम $0$ से $x$ तक समाकलन करते हैं:
$y = \int_{0}^{x} \frac{\rho g x'}{Y} dx' = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x'^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{\rho g x^2}{2Y}$.
चूंकि $y \propto x^2$ है, इसलिए विस्तार $(y)$ बनाम दूरी $(x)$ का ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होने वाला ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है। अतः, सही वक्र विकल्प $A$ में दर्शाया गया है।

(D) $L$ लंबाई,$b$ चौड़ाई और $d$ मोटाई वाले बीम के मध्य-बिंदु पर $W$ भार रखने पर उत्पन्न अवनमन (depression) $\delta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\delta = \frac{W L^3}{4 Y b d^3}$
जहाँ $Y$ बीम के पदार्थ का यंग मापांक (Young's modulus) है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि अवनमन $\delta$ बीम की लंबाई के घन के समानुपाती है,अर्थात $\delta \propto L^3$।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) मान लीजिए कि छड़ों $AB$ और $BC$ की लंबाई क्रमशः $L_1$ और $L_2$ है। उनके यंग मापांक $Y_1 = 1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$ और $Y_2 = 1.5 \times 10^{11} \, N/m^2$ हैं। उनके रेखीय प्रसार गुणांक क्रमशः $\alpha_1 = 1.5 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ और $\alpha_2$ हैं।
किसी भी तापमान परिवर्तन $\Delta \theta$ के लिए जंक्शन $B$ में कोई विस्थापन न होने के लिए,छड़ $AB$ का तापीय प्रसार छड़ $BC$ के तापीय संकुचन के बराबर होना चाहिए।
तापीय प्रसार $\Delta L_1 = \alpha_1 L_1 \Delta \theta$.
छड़ $BC$ में उत्पन्न तापीय प्रतिबल $\sigma = Y_2 \frac{\Delta L_2}{L_2}$ है। बल $F = \sigma A = Y_2 A \frac{\Delta L_2}{L_2}$ है।
चूंकि जंक्शन विस्थापित नहीं होता है,इसलिए दोनों छड़ों द्वारा लगाया गया बल समान होना चाहिए: $F = \frac{Y_1 A \Delta L_1}{L_1} = \frac{Y_2 A \Delta L_2}{L_2}$।
कोई विस्थापन न होने के लिए $\Delta L_1 = \Delta L_2$ दिया गया है,इसलिए $Y_1 \alpha_1 \Delta \theta = Y_2 \alpha_2 \Delta \theta$।
अतः,$Y_1 \alpha_1 = Y_2 \alpha_2$।
मान रखने पर: $(1.2 \times 10^{11}) \times (1.5 \times 10^{-5}) = (1.5 \times 10^{11}) \times \alpha_2$।
$\alpha_2 = \frac{1.2 \times 10^{11} \times 1.5 \times 10^{-5}}{1.5 \times 10^{11}} = 1.2 \times 10^{-5} /^{\circ}C$।

(C) द्रव्यमान $m$ द्वारा उत्पन्न विस्तार $\Delta \ell = \frac{mgL}{AY}$ है।
ठंडा होने के कारण संकुचन $\Delta \ell = L\alpha \Delta T$ है।
चूंकि तार अपनी मूल लंबाई पुनः प्राप्त कर लेता है,इसलिए द्रव्यमान के कारण विस्तार,ठंडा होने के कारण संकुचन के बराबर होना चाहिए:
$\frac{mgL}{AY} = L\alpha \Delta T$
$m$ के लिए हल करने पर:
$m = \frac{YA\alpha \Delta T}{g}$
दिया गया है:
$Y = 10^{11} N/m^2$
$A = \pi r^2 = \pi (10^{-3} m)^2 = \pi \times 10^{-6} m^2$
$\alpha = 10^{-5} /^{\circ}C$
$\Delta T = 40^{\circ}C - 30^{\circ}C = 10^{\circ}C$
$g = 10 m/s^2$
मान रखने पर:
$m = \frac{10^{11} \times (\pi \times 10^{-6}) \times 10^{-5} \times 10}{10}$
$m = \pi \times 10^{11-6-5+1-1} = \pi \approx 3.14 kg$
अतः,$m$ का मान लगभग $3 kg$ है।

(D) तार में विस्तार (elongation) $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है।
दी गई मान हैं:
भार $F = 250\,N$
लंबाई $L = 100\,m$
क्षेत्रफल $A = 6.25 \times 10^{-4}\,m^2$
यंग मापांक $Y = 10^{10}\,N/m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta L = \frac{250 \times 100}{6.25 \times 10^{-4} \times 10^{10}}$
$\Delta L = \frac{25000}{6.25 \times 10^6}$
$\Delta L = \frac{25000}{6250000} = 0.004\,m$
$\Delta L = 4 \times 10^{-3}\,m$.

(D) ग्राफ से,विस्तार-भार वक्र की ढाल (slope) $\tan(45^{\circ}) = 1$ है।
अतः,$\frac{\Delta L}{F} = 1\,m/N$ है।
यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\Delta L$ विस्तार है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$Y = \frac{L}{A} \times \frac{F}{\Delta L} = \frac{L}{A} \times \frac{1}{1} = \frac{L}{A}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $L = 62.8\,cm = 0.628\,m$ और व्यास $d = 4\,mm = 4 \times 10^{-3}\,m$ है।
त्रिज्या $r = 2 \times 10^{-3}\,m$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-6} = 12.56 \times 10^{-6}\,m^2$ है।
मान रखने पर: $Y = \frac{0.628}{12.56 \times 10^{-6}} = \frac{628000}{12.56} = 50000 = 5 \times 10^4\,N/m^2$ है।
इसे $x \times 10^4\,N/m^2$ के साथ तुलना करने पर,$x = 5$ प्राप्त होता है।

(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ है,जहाँ $F$ बल है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\ell$ मूल लंबाई है और $\Delta \ell$ विस्तार है।
चूंकि पदार्थ समान है (स्टील),$Y$ स्थिर रहेगा। सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta \ell = \frac{F \ell}{Y A}$ प्राप्त होता है।
तार '$A$' के लिए: $\Delta \ell_A = \frac{F \ell_A}{Y A_A} = 0.2\,mm$.
तार '$B$' के लिए: $\ell_B = 2 \ell_A$ और $d_B = 2.4 d_A$ है। चूंकि $A = \pi (d/2)^2$,इसलिए क्षेत्रफल $A_B = (2.4)^2 A_A = 5.76 A_A$ होगा।
अब,$\Delta \ell_B = \frac{F \ell_B}{Y A_B} = \frac{F (2 \ell_A)}{Y (5.76 A_A)} = \frac{2}{5.76} \times \left( \frac{F \ell_A}{Y A_A} \right)$.
$\Delta \ell_A = 0.2\,mm$ का मान रखने पर: $\Delta \ell_B = \frac{2}{5.76} \times 0.2 = \frac{0.4}{5.76} \approx 0.06944\,mm$.
वांछित प्रारूप में बदलने पर: $0.06944\,mm = 6.944 \times 10^{-2\,mm}$। निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $6.9 \times 10^{-2\,mm}$ है।

(A) ठंडा होने के कारण लंबाई में कमी $\Delta l = l \alpha \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $l = 1\;m$,$\alpha = 2 \times 10^{-5}\;K^{-1}$,और $\Delta T = (210 - 160) = 50\;K$ दिया गया है।
अतः,$\Delta l = 1 \times 2 \times 10^{-5} \times 50 = 10^{-3}\;m$.
मूल लंबाई को पुनः प्राप्त करने के लिए,द्रव्यमान $M$ को $\Delta l$ के बराबर विस्तार उत्पन्न करना चाहिए।
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$,जहाँ $F = Mg$.
मान रखने पर: $2 \times 10^{11} = \frac{Mg / (3 \times 10^{-6})}{10^{-3} / 1}$.
$Mg = 2 \times 10^{11} \times 3 \times 10^{-9} = 600\;N$.
अतः,$M = \frac{600}{10} = 60\;kg$.