Rigidity Modulus Questions in Hindi

(D) दृढ़ता मापांक (जिसे अपरूपण मापांक भी कहा जाता है) को अपरूपण प्रतिबल (shear stress) और अपरूपण विकृति (shear strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{दृढ़ता मापांक} = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल}}{\text{अपरूपण विकृति}}$
चूंकि अपरूपण विकृति एक विमाहीन राशि है (यह दो लंबाइयों का अनुपात है),इसलिए दृढ़ता मापांक का मात्रक प्रतिबल के मात्रक के समान ही होता है।
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका मात्रक $\frac{N}{m^2}$ या $\text{पास्कल} (Pa)$ है।
अतः,सही मात्रक $N/m^2$ है।

(D) दृढ़ता गुणांक $(\eta)$ को अपरूपण प्रतिबल (shear stress) और अपरूपण विकृति (shear strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अपरूपण प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[F]/[A] = [MLT^{-2}]/[L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अपरूपण विकृति एक विमाहीन राशि है क्योंकि यह दो लंबाइयों का अनुपात है।
इसलिए,दृढ़ता गुणांक का विमीय सूत्र प्रतिबल के समान ही होता है,जो $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) शीयर मापांक को शीयरिंग प्रतिबल (shearing stress) और शीयरिंग विकृति (shearing strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
शीयरिंग प्रतिबल = $\frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
शीयरिंग विकृति एक विमाहीन राशि है।
इसलिए,शीयर मापांक की विमाएँ प्रतिबल की विमाओं के समान होती हैं,जो $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।

(B) दृढ़ता गुणांक (जिसे कर्तन मापांक भी कहा जाता है) किसी पदार्थ के अपरूपण विरूपण (shear deformation) के प्रति प्रतिरोध को मापता है। हीरा प्राकृतिक रूप से पाया जाने वाला सबसे कठोर पदार्थ है,जो अपनी अत्यंत मजबूत सहसंयोजक क्रिस्टल संरचना के लिए जाना जाता है। इस अत्यंत मजबूत परमाणु बंधन के कारण,यह सभी ज्ञात पदार्थों में विरूपण के प्रति सबसे अधिक प्रतिरोध प्रदर्शित करता है। इसलिए,इसका दृढ़ता गुणांक किसी भी अन्य पदार्थ की तुलना में अधिक होता है। सही विकल्प $B$ है।

(D) दृढ़ता गुणांक (जिसे कर्तन मापांक भी कहा जाता है) पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
चूंकि दोनों छड़ें $A$ और $B$ एक ही पदार्थ से बनी हैं,इसलिए उनका दृढ़ता गुणांक समान होगा।
अतः,$A$ और $B$ के दृढ़ता गुणांक का अनुपात $1:1$ होगा।

(C) $l$ लंबाई,$r$ त्रिज्या और $\eta$ दृढ़ता गुणांक वाले तार में $\theta$ मरोड़ का कोण उत्पन्न करने के लिए आवश्यक मरोड़ बल-युग्म $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{\pi \eta r^4 \theta}{2l}$
इस समीकरण से स्पष्ट है कि यदि मरोड़ बल-युग्म $C$,लंबाई $l$ और पदार्थ का गुण $\eta$ समान हो,तो:
$\theta = \frac{2lC}{\pi \eta r^4}$
इसका अर्थ है कि $\theta \propto \frac{1}{r^4}$।
अतः,$r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले तारों $A$ और $B$ के लिए,मरोड़ के कोणों $\theta_1$ और $\theta_2$ का अनुपात होगा:
$\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{r_2^4}{r_1^4}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दृढ़ता गुणांक,जिसे अपरूपण गुणांक (Shear modulus) भी कहा जाता है,को अपरूपण प्रतिबल (Shear stress) और अपरूपण विकृति (Shear strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
द्रवों का कोई निश्चित आकार नहीं होता है और वे अपरूपण प्रतिबल का कोई प्रतिरोध नहीं करते हैं।
जब किसी द्रव पर अपरूपण प्रतिबल लगाया जाता है,तो वह लगातार बहने लगता है,जिसके परिणामस्वरूप किसी भी सीमित अपरूपण प्रतिबल के लिए अपरूपण विकृति बहुत अधिक (अनंत) हो जाती है।
चूंकि दृढ़ता गुणांक को $\text{Shear Stress} / \text{Shear Strain}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,और द्रव के लिए अपरूपण विकृति अनंत हो जाती है,इसलिए द्रव का दृढ़ता गुणांक $0$ होता है।

(B) अपरूपण कोण $\phi$ का सूत्र $\phi = \frac{r\theta}{L}$ है,जहाँ $r$ तार की त्रिज्या है,$\theta$ घुमाव का कोण है और $L$ तार की लंबाई है।
दिया गया है: $r = 4\, mm = 0.4\, cm$,$L = 100\, cm$,और $\theta = 30^\circ$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\phi = \frac{0.4\, cm}{100\, cm} \times 30^\circ$
$\phi = 0.004 \times 30^\circ = 0.12^\circ$।
अतः,अपरूपण कोण $0.12^\circ$ है।

(D) छड़ की मरोड़ दृढ़ता (torsional rigidity) $C = \frac{\pi \eta r^4}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\eta$ दृढ़ता गुणांक (modulus of rigidity) है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं,इसलिए दोनों छड़ों से गुजरने वाला टॉर्क $\tau$ समान है।
मान लीजिए जोड़ पर मरोड़ का कोण $\theta_0$ है।
छोटी छड़ के लिए (लंबाई $l/2$,त्रिज्या $r/2$): $\tau = C_1(\theta_0 - 0) = \frac{\pi \eta (r/2)^4}{2(l/2)} \theta_0 = \frac{\pi \eta r^4}{16(l/2)} \theta_0 = \frac{\pi \eta r^4}{8l} \theta_0$.
बड़ी छड़ के लिए (लंबाई $l$,त्रिज्या $r$): $\tau = C_2(\theta - \theta_0) = \frac{\pi \eta r^4}{2l} (\theta - \theta_0)$.
टॉर्क की तुलना करने पर: $\frac{\pi \eta r^4}{8l} \theta_0 = \frac{\pi \eta r^4}{2l} (\theta - \theta_0)$.
$\frac{\theta_0}{4} = \theta - \theta_0 \Rightarrow \theta_0 = 4\theta - 4\theta_0 \Rightarrow 5\theta_0 = 4\theta$.
पुनः गणना करने पर: $C_1 = \frac{\pi \eta r^4}{16l}$ और $C_2 = \frac{\pi \eta r^4}{2l}$.
$C_1 \theta_0 = C_2(\theta - \theta_0) \Rightarrow \frac{\theta_0}{16} = \frac{\theta - \theta_0}{2} \Rightarrow \theta_0 = 8(\theta - \theta_0) \Rightarrow 9\theta_0 = 8\theta \Rightarrow \theta_0 = 8\theta/9$.

(C) $l$ लंबाई,$r$ त्रिज्या और $\eta$ दृढ़ता गुणांक (modulus of rigidity) वाले तार में $\theta$ कोणीय विस्थापन उत्पन्न करने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau = \frac{\pi \eta r^4 \theta}{2l}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों तारों के लिए लंबाई $l$ और पदार्थ $(\eta)$ समान हैं,और लगाया गया टॉर्क $\tau$ समान है,इसलिए:
$\tau_1 = \tau_2$
$\frac{\pi \eta r_1^4 \theta_1}{2l} = \frac{\pi \eta r_2^4 \theta_2}{2l}$
$r_1^4 \theta_1 = r_2^4 \theta_2$
$\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{r_2^4}{r_1^4}$

(C) दृढ़ता गुणांक $\eta$ को अपरूपण प्रतिबल (shearing stress) और अपरूपण विकृति (shearing strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\eta = \frac{F/A}{x/L}$
जहाँ $F$ स्पर्शरेखीय बल है,$A$ उस सतह का क्षेत्रफल है जिस पर बल लगाया जाता है,$x$ पार्श्व विस्थापन है,और $L$ बल के लंबवत ब्लॉक की ऊँचाई है।
विस्थापन $x$ के लिए सूत्र:
$x = \frac{F \cdot L}{\eta \cdot A}$
चूंकि सभी मामलों के लिए $\eta$ और $F$ स्थिर हैं,इसलिए विस्थापन $x$ ऊँचाई और क्षेत्रफल के अनुपात के समानुपाती है: $x \propto \frac{L}{A}$.
प्रत्येक स्थिति के लिए $L/A$ की गणना:
स्थिति $P$ के लिए: $L = 5\,cm$,$A = 10 \times 8 = 80\,cm^2$. अतः,$L/A = 5/80 = 0.0625\,cm^{-1}$.
स्थिति $Q$ के लिए: $L = 10\,cm$,$A = 8 \times 5 = 40\,cm^2$. अतः,$L/A = 10/40 = 0.25\,cm^{-1}$.
स्थिति $R$ के लिए: $L = 8\,cm$,$A = 10 \times 5 = 50\,cm^2$. अतः,$L/A = 8/50 = 0.16\,cm^{-1}$.
मानों की तुलना करने पर,$L/A$ का अनुपात $Q$ स्थिति में अधिकतम है। इसलिए,विस्थापन $Q$ स्थिति में अधिकतम होगा।

(C) कर्तन प्रतिबल (shearing stress) को बल के समानांतर सतह के क्षेत्रफल और कर्तन बल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,कर्तन सामर्थ्य (अधिकतम कर्तन प्रतिबल) $\tau_{max} = 345 \, MN/m^2 = 345 \times 10^6 \, N/m^2$.
कर्तन के अधीन $ABCD$ फलक का क्षेत्रफल $A = BC \times BE = 2 \, cm \times 2 \, cm = 4 \, cm^2 = 4 \times 10^{-4} \, m^2$ है।
छड़ द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम कर्तन बल $F = \tau_{max} \times A$ है।
$F = (345 \times 10^6 \, N/m^2) \times (4 \times 10^{-4} \, m^2) = 345 \times 4 \times 10^2 \, N = 138000 \, N$.
चूंकि $F = mg$,जहाँ $m$ भार का द्रव्यमान है और $g = 10 \, m/s^2$ है:
$m = F / g = 138000 / 10 = 13800 \, kg$.
अतः,अधिकतम भार $13800 \, kg$ है।

(A) ब्लॉक एक नत समतल पर स्थिर है। गुरुत्वाकर्षण बल ब्लॉक पर कार्य करता है,जिसे दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: एक नत समतल के लंबवत $(mg \cos \theta)$ और एक नत समतल के समानांतर $(mg \sin \theta)$।
घटक $mg \sin \theta$ ब्लॉक पर कर्तन बल (shear force) के रूप में कार्य करता है,जिससे इसके कम कर्तन मापांक के कारण यह विरूपित हो जाता है। यह विरूपण एक कर्तन विकृति (shear strain) है,जिसके परिणामस्वरूप ब्लॉक बल की दिशा में झुक जाता है।
चूंकि आधार स्थिर है,ब्लॉक की ऊपरी सतह नत समतल के समानांतर खिसक जाएगी जबकि ऊर्ध्वाधर भुजाएं झुक जाएंगी। इसके परिणामस्वरूप ब्लॉक एक समांतर चतुर्भुज (parallelogram) का आकार ले लेगा,जैसा कि विकल्प $A$ में दिखाया गया है।

(B) समान पदार्थ के लिए,दृढ़ता गुणांक (modulus of rigidity) $\eta$ स्थिर रहता है,जहाँ $\eta = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल}}{\text{अपरूपण विकृति}}$.
अपरूपण प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = L^2$ फलक का क्षेत्रफल है।
अपरूपण विकृति $\gamma = \frac{\Delta x}{L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta x$ विस्थापन है और $L$ भुजा की लंबाई है।
अतः,$\eta = \frac{F/L^2}{\Delta x/L} = \frac{F}{L \cdot \Delta x}$.
पहले घन के लिए: $L_1 = 10\,cm$,$\Delta x_1 = 0.5\,cm$,$F = 10^5\,N$.
दूसरे घन के लिए: $L_2 = 20\,cm$,$\Delta x_2 = x$,$F = 10^5\,N$.
चूंकि पदार्थ समान है,$\eta_1 = \eta_2$:
$\frac{F}{L_1 \cdot \Delta x_1} = \frac{F}{L_2 \cdot \Delta x_2}$
$L_1 \cdot \Delta x_1 = L_2 \cdot \Delta x_2$
$10\,cm \times 0.5\,cm = 20\,cm \times x$
$5 = 20x$
$x = \frac{5}{20} = 0.25\,cm$.

(C) $0.3 \, cm$ मोटाई वाली स्टील की शीट में $D = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ व्यास का छेद करने के लिए,अपरूपण बल छेद की बेलनाकार सतह के क्षेत्रफल पर कार्य करना चाहिए।
अपरूपण प्रतिबल $\sigma_{max} = 3.5 \times 10^8 \, N \, m^{-2}$ दिया गया है।
अपरूपण का विरोध करने वाला क्षेत्रफल $A$ पंच किए गए सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:
$A = \text{परिधि} \times \text{मोटाई} = (\pi D) \times h$
मान रखने पर:
$A = \pi \times (10^{-2} \, m) \times (0.3 \times 10^{-2} \, m) = 0.3 \pi \times 10^{-4} \, m^2$
आवश्यक बल $F$:
$F = \sigma_{max} \times A$
$F = (3.5 \times 10^8 \, N \, m^{-2}) \times (0.3 \pi \times 10^{-4} \, m^2)$
$F = 3.5 \times 0.3 \times 3.14159 \times 10^4 \, N$
$F \approx 3.298 \times 10^4 \, N$
निकटतम मान लेने पर,$F \approx 3.3 \times 10^4 \, N$ प्राप्त होता है।

(A) शियरिंग बल छेद की परिधि (boundary) के क्षेत्रफल पर कार्य करता है।
वर्गाकार छेद की परिधि $P = 4 \times \text{भुजा} = 4 \times 2\,cm = 8\,cm = 0.08\,m$ है।
शीट की मोटाई $t = 2\,mm = 0.002\,m = 2 \times 10^{-3}\,m$ है।
वह क्षेत्रफल $A$ जिस पर शियरिंग बल कार्य करता है, परिधि और मोटाई का गुणनफल है:
$A = P \times t = 0.08\,m \times 0.002\,m = 1.6 \times 10^{-4}\,m^2$.
दिए गए शियरिंग स्ट्रेस $\tau = 3.5 \times 10^8\,N/m^2$ के लिए, बल $F$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$F = \tau \times A$
$F = (3.5 \times 10^8\,N/m^2) \times (1.6 \times 10^{-4}\,m^2)$
$F = 5.6 \times 10^4\,N$.

(C) दिया गया है:
तार की लंबाई $L = 1\,m = 100\,cm$.
तार की त्रिज्या $r = 4\,mm = 0.4\,cm$.
मरोड़ का कोण $\theta = 30^\circ$.
मरोड़े गए बेलन की ज्यामिति से,चाप की लंबाई $BB^{\prime}$ को दो तरह से व्यक्त किया जा सकता है:
$BB^{\prime} = r \theta = L \phi$
जहाँ $\phi$ अपरूपण कोण है।
$\phi$ के लिए सूत्र:
$\phi = \frac{r \theta}{L}$
मान रखने पर:
$\phi = \frac{0.4\,cm \times 30^\circ}{100\,cm}$
$\phi = \frac{12}{100} = 0.12^\circ$.
अतः,अपरूपण कोण $0.12^\circ$ है।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$,लंबाई $L = 100 \, cm = 1 \, m$,और मरोड़ का कोण $\theta = 60^o = 60 \times \frac{\pi}{180} \, rad = \frac{\pi}{3} \, rad$.
जब तार को $\theta$ कोण से मरोड़ा जाता है,तो सतह पर अपरूपण कोण $\phi$ का मान $\phi = \frac{r \theta}{L}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\phi = \frac{4 \times 10^{-3} \, m \times (60^o)}{1 \, m} = 4 \times 10^{-3} \times 60^o = 0.24^o$.

(D) कर्तन मापांक (Shear modulus),जिसे दृढ़ता मापांक (modulus of rigidity) के रूप में भी जाना जाता है,कर्तन विरूपण के प्रति सामग्री के प्रतिरोध को मापता है।
यह केवल ठोस पदार्थों के लिए परिभाषित है क्योंकि उनके पास एक निश्चित आकार होता है और वे स्पर्शरेखीय बलों का विरोध कर सकते हैं।
तरल पदार्थ (द्रव और गैस) का कोई निश्चित आकार नहीं होता है और वे कर्तन प्रतिबल (shear stress) को सहन नहीं कर सकते; ऐसे बल लगाए जाने पर वे प्रवाहित होने लगते हैं।
इसलिए,द्रव और गैस दोनों के लिए कर्तन मापांक $0$ होता है।

(N/A) लेड स्लैब नीचे से स्थिर है और $F = 9.0 \times 10^{4} \, N$ का अपरूपण बल ऊपरी संकीर्ण सतह के समानांतर लगाया जाता है।
उस सतह का क्षेत्रफल $A$ जिस पर बल लगाया गया है:
$A = 50 \, cm \times 10 \, cm = 0.5 \, m \times 0.1 \, m = 0.05 \, m^2$
अपरूपण प्रतिबल (Shearing Stress) इस प्रकार है:
$\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{9.0 \times 10^{4} \, N}{0.05 \, m^2} = 1.8 \times 10^{6} \, N/m^2$
हम जानते हैं कि अपरूपण विकृति (Shearing Strain) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\text{Strain} = \frac{\Delta x}{L} = \frac{\text{Stress}}{G}$
जहाँ $L = 50 \, cm = 0.5 \, m$ स्लैब की ऊँचाई है और $G = 5.6 \times 10^{9} \, N/m^2$ लेड का अपरूपण गुणांक है।
इसलिए,विस्थापन $\Delta x$ है:
$\Delta x = \frac{\text{Stress} \times L}{G} = \frac{1.8 \times 10^{6} \, N/m^2 \times 0.5 \, m}{5.6 \times 10^{9} \, N/m^2}$
$\Delta x = \frac{0.9 \times 10^{6}}{5.6 \times 10^{9}} \, m \approx 0.1607 \times 10^{-3} \, m$
$\Delta x \approx 1.6 \times 10^{-4} \, m = 0.16 \, mm$

(C) शियर मापांक $\eta$ को शियर प्रतिबल और शियर विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\eta = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$A$ फलक का क्षेत्रफल है,$L$ घन के किनारे की लंबाई है,और $\Delta L$ ऊर्ध्वाधर विक्षेपण है।
$\Delta L$ के लिए सूत्र:
$\Delta L = \frac{F L}{A \eta}$
दिया गया है:
$F = mg = 100\; kg \times 9.8\; m/s^2 = 980\; N$
$L = 10\; cm = 0.1\; m$
$A = L^2 = (0.1\; m)^2 = 0.01\; m^2 = 10^{-2}\; m^2$
$\eta = 25\; GPa = 25 \times 10^9\; Pa$
मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{980 \times 0.1}{10^{-2} \times 25 \times 10^9}$
$\Delta L = \frac{98}{0.25 \times 10^9} = 392 \times 10^{-9}\; m = 3.92 \times 10^{-7}\; m$
अतः,इस फलक का ऊर्ध्वाधर विक्षेपण $3.92 \times 10^{-7}\; m$ है।

(B) कर्तन मापांक $(G)$ को कर्तन प्रतिबल (shear stress) और कर्तन विकृति (shear strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
द्रवों का आकार निश्चित नहीं होता है और वे स्पर्शरेखीय (कर्तन) बल को सहन नहीं कर सकते हैं।
जब किसी द्रव पर स्पर्शरेखीय बल लगाया जाता है,तो वह लगातार बहता रहता है,जिसका अर्थ है कि कर्तन विकृति समय के साथ अनंत तक बढ़ती जाती है।
चूंकि द्रव कर्तन प्रतिबल का विरोध नहीं कर सकता है,इसलिए द्रव के लिए कर्तन मापांक $0$ होता है।

(B) जब एक स्प्रिंग को खींचा जाता है,तो स्प्रिंग के तार में केवल लंबाई में परिवर्तन के बजाय आकार में परिवर्तन (मरोड़/अपरूपण) होता है। इसलिए,स्प्रिंग की कठोरता उसके पदार्थ के शियर मॉडुलस $(G)$ द्वारा निर्धारित होती है।
अभिकथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के संबंध में,तांबे की तुलना में स्टील का यंग मॉडुलस और तन्य शक्ति बहुत अधिक होती है। इसलिए,समान आयामों वाली तांबे की स्प्रिंग की तुलना में स्टील की स्प्रिंग अधिक मजबूत होती है और विरूपण के प्रति अधिक प्रतिरोधी होती है। अतः,यह कथन कि तांबे की स्प्रिंग की तन्य शक्ति स्टील की स्प्रिंग से अधिक होती है,असत्य है।
कारण $(R)$ असत्य है।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) शीयर मापांक $\eta$ का सूत्र: $\eta = \frac{F/A}{x/L}$,जहाँ $F$ अपरूपण बल है,$A$ उस सतह का क्षेत्रफल है जिस पर बल लगाया गया है,$x$ विस्थापन है और $L$ स्लैब की भुजा की लंबाई है।
विस्थापन $x$ के लिए सूत्र: $x = \frac{F \cdot L}{A \cdot \eta}$.
दिया गया है: $F = 18.0 \times 10^{4} \, N$,$L = 60 \, cm = 0.6 \, m$,मोटाई $t = 15 \, cm = 0.15 \, m$,और $\eta = 25 \times 10^{9} \, N m^{-2}$.
संकीर्ण सतह का क्षेत्रफल $A = L \times t = 0.6 \, m \times 0.15 \, m = 0.09 \, m^2$.
मान रखने पर: $x = \frac{18.0 \times 10^{4} \times 0.6}{0.09 \times 25 \times 10^{9}}$.
$x = \frac{10.8 \times 10^{4}}{2.25 \times 10^{9}} = 4.8 \times 10^{-5} \, m = 48 \times 10^{-6} \, m = 48 \, \mu m$.

(B) दृढ़ता मापांक $(G)$ को अपरूपण प्रतिबल और अपरूपण विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$G = \frac{\text{Shear Stress}}{\text{Shear Strain}} = \frac{F/A}{x/L} = \frac{FL}{Ax}$
दिया गया है:
$F = 10 \, kN = 10 \times 10^3 \, N$
$L = 4 \, cm = 0.04 \, m$
$A = 1 \, cm^2 = 1 \times 10^{-4} \, m^2$
$G = 8 \times 10^{11} \, N/m^2$
पार्श्व विस्थापन $x$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x = \frac{FL}{AG}$
मान रखने पर:
$x = \frac{10 \times 10^3 \times 0.04}{1 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{11}}$
$x = \frac{400}{8 \times 10^7} = 50 \times 10^{-7} = 5 \times 10^{-6} \, m$
अतः,पार्श्व विस्थापन $5 \times 10^{-6} \, m$ है।

(B) किसी तार पर लगाया गया मरोड़ बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = \frac{\pi \eta r^4 \phi}{2L}$,जहाँ $\eta$ दृढ़ता गुणांक (modulus of rigidity) है,$r$ त्रिज्या है,$\phi$ मरोड़ कोण (angle of twist) है और $L$ तार की लंबाई है।
चूंकि तारों की लंबाई $L$ समान है,पदार्थ समान है (अतः $\eta$ समान है) और उन पर समान मरोड़ बल आघूर्ण $\tau$ लगाया गया है,इसलिए: $\tau = \frac{\pi \eta r_1^4 \phi_A}{2L} = \frac{\pi \eta r_2^4 \phi_B}{2L}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $r_1^4 \phi_A = r_2^4 \phi_B$.
अतः,तार $A$ के सिरे पर मरोड़ कोण और तार $B$ के सिरे पर मरोड़ कोण का अनुपात: $\frac{\phi_A}{\phi_B} = \frac{r_2^4}{r_1^4}$ होगा।

(D) अपरूपण मापांक (shear modulus) $\eta$ को अपरूपण प्रतिबल (shear stress) और अपरूपण विकृति $\phi$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\eta = \frac{\text{Shear stress}}{\phi}$
इसलिए,अपरूपण प्रतिबल का मान है:
$\text{Shear stress} = \eta \phi$
प्रति इकाई आयतन विकृति ऊर्जा का सूत्र है:
$\text{Energy density} = \frac{1}{2} \times \text{Shear stress} \times \text{Shear strain}$
मान रखने पर:
$\frac{\text{Strain energy}}{V} = \frac{1}{2} \times (\eta \phi) \times \phi$
$\frac{\text{Strain energy}}{V} = \frac{1}{2} \eta \phi^2$
आयतन $V$ से गुणा करने पर,हमें कुल विकृति ऊर्जा प्राप्त होती है:
$\text{Strain energy} = \frac{1}{2} \eta \phi^2 V$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मरोड़े गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ उसे मरोड़ने में किए गए कार्य के बराबर होती है।
$L$ लंबाई,$r$ त्रिज्या और $\eta$ दृढ़ता गुणांक वाले तार को $\alpha$ कोण से मरोड़ने में किए गए कार्य का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} C \alpha^2$
जहाँ $C$ तार की मरोड़ दृढ़ता (torsional rigidity) है।
मरोड़ दृढ़ता $C$ का मान है:
$C = \frac{\pi \eta r^4}{2 L}$
ऊर्जा के समीकरण में $C$ का मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi \eta r^4}{2 L} \right) \alpha^2$
$U = \frac{\pi \eta r^4 \alpha^2}{4 L}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है: व्यास $d = 12\,mm$,इसलिए त्रिज्या $r = 6\,mm = 6 \times 10^{-3}\,m$.
तार की लंबाई $\ell = 1\,m$.
मरोड़ का कोण $\theta = 30^{\circ}$.
तार के लिए अपरूपण कोण $\phi$ और मरोड़ के कोण $\theta$ के बीच का संबंध $r \theta = \ell \phi$ होता है।
इसलिए,$\phi = \frac{r \theta}{\ell}$.
मान रखने पर: $\phi = \frac{6 \times 10^{-3}\,m \times 30^{\circ}}{1\,m} = 180 \times 10^{-3}\,^{\circ} = 0.18^{\circ}$.
अतः,अपरूपण कोण $0.18^{\circ}$ है।

(B) अपरूपण प्रतिबल (shear stress) $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर लगाए गए बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। $l$ भुजा और $d$ मोटाई वाले स्लैब के लिए,उस फलक का क्षेत्रफल जिस पर बल लगाया गया है,$A = l \times d$ है।
अतः,दोनों स्लैब के लिए अपरूपण प्रतिबल:
$\sigma_1 = \frac{F}{l d_1}$ और $\sigma_2 = \frac{F}{l d_2}$ है।
अपरूपण मापांक $\eta$ को अपरूपण प्रतिबल और विरूपण कोण $\theta$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है (छोटे कोणों के लिए,$\theta \approx \tan \theta$):
$\eta = \frac{\sigma}{\theta} \Rightarrow \theta = \frac{\sigma}{\eta}$।
दिया गया है कि $\theta_2 = 2\theta_1$,हम व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{\sigma_2}{\eta_2} = 2 \left( \frac{\sigma_1}{\eta_1} \right)$।
$\sigma_1 = \frac{F}{l d_1}$,$\sigma_2 = \frac{F}{l d_2}$,और $d_2 = 2d_1$ रखने पर:
$\frac{F}{l d_2 \eta_2} = 2 \left( \frac{F}{l d_1 \eta_1} \right)$।
$\frac{1}{2d_1 \eta_2} = \frac{2}{d_1 \eta_1} \Rightarrow \frac{1}{\eta_2} = \frac{4}{\eta_1} \Rightarrow \eta_2 = \frac{\eta_1}{4}$।
दिया गया है कि $\eta_1 = 4 \times 10^9 \ N/m^2$,इसलिए:
$\eta_2 = \frac{4 \times 10^9}{4} = 1 \times 10^9 \ N/m^2$।
इसे $x \times 10^9 \ N/m^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(A) अपरूपण मापांक $G$ को अपरूपण प्रतिबल (shear stress) और अपरूपण विकृति (छोटे कोणों के लिए कोणीय विस्थापन $\theta$) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$G = \frac{\text{Shear Stress}}{\theta}$
अपरूपण प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A}$,जहाँ $F = 10^5 \ N$ और $A = \pi r^2$ है।
दिया गया है कि $r = 4 \ cm = 0.04 \ m = 4 \times 10^{-2} \ m$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi \times (4 \times 10^{-2})^2 = 16 \pi \times 10^{-4} \ m^2$ है।
अब,मानों को सूत्र में रखने पर:
$10^{10} = \frac{10^5 / (16 \pi \times 10^{-4})}{\theta}$
$\theta = \frac{10^5}{16 \pi \times 10^{-4} \times 10^{10}}$
$\theta = \frac{10^5}{16 \pi \times 10^6} = \frac{1}{160 \pi} \text{ radian}$.

(B) दिया गया है: छड़ की लंबाई $L = 2 \ m = 200 \ cm$। छड़ की त्रिज्या $R = 1 \ cm$। मरोड़ का कोण $\theta = 0.8 \ rad$।
एक सिरे पर मरोड़ी गई छड़ के लिए,अपरूपण विकृति $\phi$,त्रिज्या $R$,मरोड़ कोण $\theta$ और लंबाई $L$ के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $L \phi = R \theta$।
समीकरण में मान रखने पर:
$\phi = \frac{R \theta}{L} = \frac{1 \ cm \times 0.8 \ rad}{200 \ cm}$।
$\phi = \frac{0.8}{200} = 0.004 \ rad$।
अतः,उत्पन्न अपरूपण विकृति $0.004 \ rad$ है।

(B) दृढ़ता गुणांक (Shear Modulus) $\eta$ को $\eta = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल}}{\text{अपरूपण विकृति}} = \frac{F/A}{\Delta x/L}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ फलक का क्षेत्रफल है,$\Delta x$ विस्थापन है और $L$ भुजा की लंबाई है।
पहले घन के लिए: $\eta = \frac{F/L^2}{x_{1}/L} = \frac{F}{L x_{1}}$.
अतः,$x_{1} = \frac{F}{\eta L}$.
$2L$ भुजा वाले दूसरे घन के लिए: क्षेत्रफल $A' = (2L)^2 = 4L^2$ है। पदार्थ समान होने के कारण दृढ़ता गुणांक $\eta$ समान रहेगा।
माना नया विस्थापन $x_{2}$ है। तब $\eta = \frac{F/A'}{x_{2}/(2L)} = \frac{F/(4L^2)}{x_{2}/(2L)} = \frac{F}{2L x_{2}}$.
$\eta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{F}{L x_{1}} = \frac{F}{2L x_{2}}$.
$x_{2}$ के लिए हल करने पर: $x_{2} = \frac{x_{1}}{2}$.

(A) मान लीजिए कि $l$ तार की लंबाई है,$r$ त्रिज्या है,$\theta$ मरोड़ का कोण है और $\phi$ अपरूपण कोण है।
मरोड़े गए तार की ज्यामिति से,परिधि पर चाप की लंबाई $s = r \theta$ द्वारा दी जाती है।
छोटे कोणों के लिए,अपरूपण कोण $\phi$ का चाप की लंबाई $s$ और तार की लंबाई $l$ के साथ संबंध $\phi = \frac{s}{l}$ होता है।
$s = r \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\phi = \frac{r \theta}{l}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $l = 1 \text{ m}$,$r = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$,और $\theta = 45^{\circ}$।
इन मानों को रखने पर: $\phi = \frac{2 \times 10^{-3} \text{ m} \times 45^{\circ}}{1 \text{ m}} = 90 \times 10^{-3} \text{ degrees} = 0.09^{\circ}$।
अतः,अपरूपण कोण $0.09^{\circ}$ है।

(A) दिया गया है: बल $F = 50 \text{ kN} = 50 \times 10^3 \text{ N}$.
आयाम: $40 \text{ mm} \times 20 \text{ mm} = 40 \times 10^{-3} \text{ m} \times 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 800 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
कर्तन मापांक $G = 40 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2}$.
प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{50 \times 10^3}{800 \times 10^{-6}} = \frac{50 \times 10^9}{800} = 0.0625 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2} = 6.25 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2}$.
विकृति $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{G} = \frac{6.25 \times 10^7}{40 \times 10^9} = \frac{6.25}{40} \times 10^{-2} = 0.15625 \times 10^{-2} = 1.5625 \times 10^{-3}$.
अतः,विकृति लगभग $1.56 \times 10^{-3}$ है।

(B) जब एक सर्पिल स्प्रिंग पर भार लटकाया जाता है,तो स्प्रिंग के तार में मरोड़ (twisting) उत्पन्न होता है।
यह मरोड़ प्रभाव तार के अनुप्रस्थ काट के आकार में परिवर्तन लाता है,बिना उसके आयतन को बदले।
इस प्रकार के विरूपण को अपरूपण प्रतिबल और अपरूपण विकृति द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,जब एक सर्पिल स्प्रिंग को खींचा जाता है,तो उसमें उत्पन्न होने वाली विकृति अपरूपण विकृति होती है।

(C) दृढ़ता गुणांक $\eta$ को स्पर्शरेखीय प्रतिबल और अपरूपण विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\eta = \frac{F/A}{\Delta x/L}$,जहाँ $F$ स्पर्शरेखीय बल है,$A$ फलक का क्षेत्रफल है,$\Delta x$ पार्श्व विस्थापन है और $L$ घन की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है: $L = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$A = L^2 = (0.05 \ m)^2 = 25 \times 10^{-4} \ m^2$,$F = 1800 \ N$,और $\eta = 2.4 \times 10^6 \ N \ m^{-2}$.
पार्श्व विस्थापन $\Delta x$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta x = \frac{F \cdot L}{A \cdot \eta}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{1800 \times 0.05}{25 \times 10^{-4} \times 2.4 \times 10^6}$.
$\Delta x = \frac{90}{6000} = 0.015 \ m$.
मिलीमीटर में बदलने पर: $\Delta x = 0.015 \times 1000 \ mm = 15 \ mm$.

(B) एक कैंटिलीवर छड़ के सिरे पर $F = mg$ भार के कारण ऊर्ध्वाधर विक्षेपण $x$ और अपरूपण मापांक $\eta$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\eta = \frac{F L}{A x} \Rightarrow x = \frac{mg L}{A \eta}$
यहाँ $L = 6 \text{ cm} = 6 \times 10^{-2} \text{ m}$,त्रिज्या $r = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$,$m = 400 \pi \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,और $\eta = 3 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (2 \times 10^{-2})^2 = 4 \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{(400 \pi \times 10) \times (6 \times 10^{-2})}{(4 \pi \times 10^{-4}) \times (3 \times 10^{10})}$
$x = \frac{4000 \pi \times 6 \times 10^{-2}}{12 \pi \times 10^6}$
$x = \frac{24000 \pi \times 10^{-2}}{12 \pi \times 10^6} = \frac{240 \pi}{12 \pi \times 10^6} = 20 \times 10^{-6} \text{ m}$
$x = 20 \times 10^{-3} \text{ mm} = 0.02 \text{ mm}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है: स्लैब की भुजा $L = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$, मोटाई $t = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$, अपरूपण बल $F = 10^5 \text{ N}$, विस्थापन $x = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
बल के अधीन सतह का क्षेत्रफल $A = L \times t = 0.5 \text{ m} \times 0.1 \text{ m} = 0.05 \text{ m}^2$.
अपरूपण प्रतिबल (Shear stress) $= \frac{F}{A} = \frac{10^5}{0.05} = 2 \times 10^6 \text{ N/m}^2$.
अपरूपण विकृति (Shear strain) $= \frac{x}{L} = \frac{0.2 \times 10^{-3} \text{ m}}{0.5 \text{ m}} = 0.4 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-4}$.
अपरूपण मापांक $\eta = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल}}{\text{अपरूपण विकृति}} = \frac{2 \times 10^6}{4 \times 10^{-4}} = 0.5 \times 10^{10} \text{ N/m}^2 = 5 \times 10^9 \text{ N/m}^2 = 5 \text{ GPa}$.

(B) दृढ़ता गुणांक $\eta$ को अपरूपण प्रतिबल (shear stress) और अपरूपण विकृति (shear strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\eta = \frac{\text{Shear Stress}}{\text{Shear Strain}} = \frac{F/A}{x/L}$.
विस्थापन $x$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $x = \frac{FL}{A\eta}$.
दिए गए मान: भुजा की लंबाई $L = 5$ cm $= 0.05$ m,क्षेत्रफल $A = L^2 = (0.05)^2 = 0.0025$ m$^2$,बल $F = 10$ $N$,और दृढ़ता गुणांक $\eta = 10^5$ $N$/m$^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $x = \frac{10 \times 0.05}{0.0025 \times 10^5}$.
$x = \frac{0.5}{250} = 0.002$ m.
मीटर को मिलीमीटर में बदलने पर: $0.002$ m $= 2$ mm.