$(a)$ $0.1\,cm$ त्रिज्या और वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट वाले स्टील के तार का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ है। क्षैतिज रूप से मापने पर तार की लंबाई $10\,m$ है और यह दीवार पर एक हुक से लटका हुआ है। तार के मुक्त सिरे से $25\,kg$ का द्रव्यमान लटकाया गया है। यह मानते हुए कि तार एकसमान है और पार्श्व विकृति $\ll$ अनुदैर्ध्य विकृति है,तार की लंबाई में विस्तार ज्ञात कीजिए। स्टील का घनत्व $7860\,kg/m^3$ और यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$ है।
$(b)$ यदि स्टील की यील्ड स्ट्रेंथ $2.5 \times 10^8\,N/m^2$ है,तो तार के निचले सिरे पर लटकाया जा सकने वाला अधिकतम भार क्या है?

(N/A) मान लीजिए $L = 10\,m$,$r = 0.1\,cm = 10^{-3}\,m$,$M = 25\,kg$,$\rho = 7860\,kg/m^3$,$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6}\,m^2$.
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \rho A = 7860 \times \pi \times 10^{-6} \approx 0.0247\,kg/m$.
निचले सिरे से $x$ दूरी पर तनाव $T(x) = Mg + \mu gx$ है।
$dx$ लंबाई के अवयव के लिए लंबाई में विस्तार $d\Delta L = \frac{T(x)dx}{AY} = \frac{(Mg + \mu gx)dx}{AY}$ है।
$x=0$ से $x=L$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_0^L \frac{(Mg + \mu gx)dx}{AY} = \frac{1}{AY} [MgL + \frac{1}{2}\mu gL^2] = \frac{gL}{AY} (M + \frac{1}{2}\mu L)$.
मान रखने पर: $\Delta L = \frac{9.8 \times 10}{(\pi \times 10^{-6})(2 \times 10^{11})} (25 + 0.5 \times 0.0247 \times 10) = \frac{98}{2\pi \times 10^5} (25.1235) \approx 3.92 \times 10^{-3}\,m = 3.92\,mm$.
$(b)$ अधिकतम प्रतिबल $\sigma_{max} = \frac{T_{max}}{A} = \text{Yield Strength} = 2.5 \times 10^8\,N/m^2$ है।
ऊपरी सिरे पर तनाव $T_{max} = Mg + \mu gL$ है।
$Mg + \mu gL = \sigma_{max} A$.
$Mg = \sigma_{max} A - \mu gL = (2.5 \times 10^8)(\pi \times 10^{-6}) - (0.0247)(9.8)(10) = 785.4 - 2.42 = 782.98\,N$.
अधिकतम द्रव्यमान $M = \frac{782.98}{9.8} \approx 79.9\,kg$।